Circuit Solving for current and Voltage Questions in Gujarati

(B) બે લૂપ માટે કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
લૂપ $1$ (ઉપરની લૂપ) માટે:
$4 - 2i_1 - 2(i_1 - i_2) = 0 \Rightarrow 2i_1 - i_2 = 2$ ... $(i)$
લૂપ $2$ (નીચેની લૂપ) માટે:
$6 - 4i_2 - 2(i_2 - i_1) = 0 \Rightarrow -i_1 + 3i_2 = 3$ ... $(ii)$
સમીકરણો ઉકેલતા:
સમીકરણ $(i)$ અને $2 \times (ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(2i_1 - i_2) + 2(-i_1 + 3i_2) = 2 + 6$
$5i_2 = 8 \Rightarrow i_2 = 1.6\,A$
હવે $i_2$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$2i_1 - 1.6 = 2 \Rightarrow 2i_1 = 3.6 \Rightarrow i_1 = 1.8\,A$.

(A) આપેલ પરિપથમાં,બે બેટરીઓ એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં જોડાયેલી છે.
પરિપથનું કુલ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) નીચે મુજબ છે:
$E_{net} = E_1 - E_2 = 10\,V - 5\,V = 5\,V$
પરિપથનો કુલ અવરોધ શ્રેણીમાં જોડાયેલા અવરોધોનો સરવાળો છે:
$R_{total} = R_1 + R_2 = 2\,\Omega + 3\,\Omega = 5\,\Omega$
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$:
$i = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{5\,V}{5\,\Omega} = 1\,A$

(C) કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
પરિપથમાં $Q$ થી $P$ તરફ જતાં પ્રવાહ $I = 2 \, A$ છે.
$P$ બિંદુ પાસેનો વોલ્ટેજ $15 \, V$ છે.
$P$ અને $Q$ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ તફાવત $V_{PQ} = V_P - V_Q$ છે.
આપેલ સમીકરણ મુજબ: $- 5 \times 2 - V_{PQ} + 15 = 0$
$- 10 - V_{PQ} + 15 = 0$
$5 - V_{PQ} = 0$
$V_{PQ} = 5 \, V$.

(A) ધારો કે જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $V$ છે. જંકશન પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{20 - V}{2} + \frac{5 - V}{4} = \frac{V - 0}{2}$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$2(20 - V) + (5 - V) = 2V$
$40 - 2V + 5 - V = 2V$
$45 - 3V = 2V$
$5V = 45$
$V = 9\,V$
કળ $S$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $i_3 = \frac{V - 0}{2} = \frac{9}{2} = 4.5\,A$ છે.

(C) એમિટર પરિપથમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = 2 \, A$ માપે છે.
વોલ્ટમીટર $75 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે,અને તે અવરોધ $(R = 75 \, \Omega)$ અને વોલ્ટમીટરના અવરોધ $(R_V)$ ના સમાંતર જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ $V = 120 \, V$ માપે છે.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{XY}$ નીચે મુજબ છે:
$R_{XY} = \frac{R \cdot R_V}{R + R_V} = \frac{75 R_V}{75 + R_V}$
ઓમના નિયમ મુજબ,સમાંતર જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ $V = I \cdot R_{XY}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$120 = 2 \cdot \left( \frac{75 R_V}{75 + R_V} \right)$
$60 = \frac{75 R_V}{75 + R_V}$
$60(75 + R_V) = 75 R_V$
$4500 + 60 R_V = 75 R_V$
$15 R_V = 4500$
$R_V = \frac{4500}{15} = 300 \, \Omega$
આમ,વોલ્ટમીટરનો અવરોધ $300 \, \Omega$ છે.

(A) આપેલ પરિપથમાં,એમીટર $(A)$ ને વોલ્ટમીટર $(V)$ સાથે સમાંતર જોડેલ છે.
આદર્શ એમીટરનો અવરોધ શૂન્ય હોય છે અને આદર્શ વોલ્ટમીટરનો અવરોધ અનંત હોય છે.
એમીટર વોલ્ટમીટર સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ હોવાથી,પરિપથનો સમગ્ર પ્રવાહ એમીટરમાંથી પસાર થશે કારણ કે તે શૂન્ય અવરોધનો માર્ગ પૂરો પાડે છે.
પરિણામે,એમીટર અને વોલ્ટમીટરના સમાંતર જોડાણ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય થશે.
તેથી,વોલ્ટમીટરનું અવલોકન $0 \ V$ હશે.

(A) હીટર દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનું સૂત્ર $H = \frac{V^2 t}{R}$ છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે,$t$ એ સમય છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
અહીં વોલ્ટેજ $V$ અને સમય $t$ અચળ હોવાથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા એ અવરોધના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $H \propto \frac{1}{R}$.
જ્યારે કોઇલને બે સમાન ભાગમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો અવરોધ $R' = \frac{R}{2}$ થાય છે.
ધારો કે $H_{Full}$ એ $R$ અવરોધ ધરાવતી આખી કોઇલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા છે અને $H_{Half}$ એ $R/2$ અવરોધ ધરાવતી અડધી કોઇલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા છે.
તેથી,$\frac{H_{Half}}{H_{Full}} = \frac{R}{R_{Half}} = \frac{R}{R/2} = \frac{2}{1}$.
આમ,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.

(C) ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{V^2 t}{R}$ છે,જ્યાં $V$ વોલ્ટેજ છે,$t$ સમય છે અને $R$ કોઈલનો અવરોધ છે.
તેટલું જ પાણી ગરમ કરવાનું હોવાથી,$H$ અચળ રહેશે. તેમજ વોલ્ટેજ $V$ પણ અચળ છે.
તેથી,$t \propto R$.
અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ અવરોધકતા છે,$l$ લંબાઈ છે અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આમ,$t \propto l$.
આપેલ છે કે $l_2 = \frac{2}{3} l_1$ અને $t_1 = 15 \ min$.
ગુણોત્તર $\frac{t_2}{t_1} = \frac{l_2}{l_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{t_2}{15} = \frac{2/3 l_1}{l_1}$ મળે છે.
$t_2 = 15 \times \frac{2}{3} = 10 \ min$.

(C) સૌ પ્રથમ,$P = VI$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બલ્બ માટે જરૂરી પ્રવાહ $I$ શોધો:
$I = \frac{P}{V} = \frac{90\,W}{30\,V} = 3\,A$.
બલ્બને $120\,V$ ના સપ્લાય સાથે અવરોધ $R$ ની શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,તેથી તે જ પ્રવાહ $I = 3\,A$ અવરોધમાંથી પસાર થશે.
અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_R = V_{supply} - V_{bulb} = 120\,V - 30\,V = 90\,V$ થશે.
અવરોધ માટે ઓહ્મના નિયમ $V_R = IR$ નો ઉપયોગ કરતા:
$R = \frac{V_R}{I} = \frac{90\,V}{3\,A} = 30\,\Omega$.

(B) ધારો કે નીચેની શાખામાં ($5 \, \Omega$ અવરોધ ધરાવતી) પ્રવાહ $i_1$ છે અને ઉપરની શાખામાં ($4 \, \Omega$ અને $6 \, \Omega$ શ્રેણીમાં ધરાવતી) પ્રવાહ $i_2$ છે。
શાખાઓ સમાંતર હોવાથી, તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે: $V = i_1 R_1 = i_2 R_2$.
અહીં, $R_1 = 5 \, \Omega$ અને $R_2 = 4 + 6 = 10 \, \Omega$ છે。
તેથી, $5 i_1 = 10 i_2 \implies i_1 = 2 i_2$.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો દર (પાવર) $H = i^2 R$ છે。
$5 \, \Omega$ ના અવરોધ માટે: $H_1 = i_1^2 \times 5 = 10 \, \text{cal/sec}$.
$i_1 = 2 i_2$ મૂકતા: $(2 i_2)^2 \times 5 = 10 \implies 20 i_2^2 = 10 \implies i_2^2 = 0.5$.
$4 \, \Omega$ ના અવરોધ માટે: $H_2 = i_2^2 \times 4 = 0.5 \times 4 = 2 \, \text{cal/sec}$.

(C) બલ્બ મહત્તમ તીવ્રતાથી પ્રકાશિત થાય તે માટે,તેણે તેના રેટિંગ વોલ્ટેજ $V_{rated} = 100 \, V$ પર કાર્ય કરવું જોઈએ.
દરેક બલ્બ માટે રેટિંગ પ્રવાહ $I_{bulb} = \frac{P}{V} = \frac{50 \, W}{100 \, V} = 0.5 \, A$ છે.
ધારો કે સમાંતરમાં જોડાયેલા બલ્બની સંખ્યા $n$ છે. બેટરીમાંથી ખેંચાતો કુલ પ્રવાહ $I = n \times I_{bulb} = 0.5n \, A$ છે.
બેટરીનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = E - I r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E = 120 \, V$ અને $r = 10 \, \Omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $100 = 120 - (0.5n) \times 10$.
$100 = 120 - 5n$.
$5n = 20$.
$n = 4$.
આમ,$4$ બલ્બ જોડી શકાય છે.

(D) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,$\rho$ અચળ છે. તેથી,$R \propto \frac{l}{r^2}$.
આપેલ છે કે $\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{1}$.
અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{l_2} \times (\frac{r_2}{r_1})^2 = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$ થાય.
જ્યારે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે ત્યારે બંને તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન હોય છે.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = \frac{V^2 t}{R}$ છે,તેથી $H \propto \frac{1}{R}$.
તેથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{H_1}{H_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{8}{1}$ થાય.

(B) મૂળ કોઈલનો અવરોધ $R = \frac{V^2}{P} = \frac{220^2}{100} = 484 \, \Omega$ છે.
જ્યારે કોઈલને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો અવરોધ $R' = \frac{R}{2} = 242 \, \Omega$ થાય છે.
જ્યારે આ બે ભાગોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R' \times R'}{R' + R'} = \frac{R'}{2} = \frac{R}{4} = \frac{484}{4} = 121 \, \Omega$ થાય છે.
સમાંતર જોડાણમાં વપરાતો પાવર $P' = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{220^2}{121} = \frac{48400}{121} = 400 \, W$ છે.
$H = P' \times t$ હોવાથી,$t = 1 \, sec$ માટે,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = 400 \times 1 = 400 \, J$ છે.

(A) દરેક બલ્બનો અવરોધ $R$ એ $R = \frac{V^2}{P} = \frac{220^2}{500} \, \Omega$ દ્વારા મળે છે.
જ્યારે બે સમાન બલ્બને $110 \, V$ ના સપ્લાય સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક બલ્બ પરનો વોલ્ટેજ $V' = \frac{110}{2} = 55 \, V$ થાય છે.
દરેક બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર $P' = \frac{(V')^2}{R} = \frac{V'^2}{(V^2/P)} = P \times \left( \frac{V'}{V} \right)^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P' = 500 \times \left( \frac{55}{220} \right)^2 = 500 \times \left( \frac{1}{4} \right)^2 = 500 \times \frac{1}{16} = \frac{125}{4} \, W$.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતવિભાજનના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જમા થતું દળ $m = ZIt$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z$ એ વિદ્યુત-રાસાયણિક તુલ્યાંક છે,$I$ એ પ્રવાહ છે અને $t$ એ સમય છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $m_1 = m$,$I_1 = 4 \, A$,$t_1 = 2 \, minute = 120 \, s$.
તેથી,$m = Z \times 4 \times 120$.
બીજા કિસ્સા માટે: $I_2 = 6 \, A$,$t_2 = 40 \, s$.
ધારો કે જમા થતું દળ $m_2$ છે. તો $m_2 = Z \times 6 \times 40$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{m_2}{m} = \frac{Z \times 6 \times 40}{Z \times 4 \times 120} = \frac{240}{480} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$m_2 = \frac{m}{2} \, g$.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતવિભાજનના નિયમ મુજબ,જમા થયેલ દળ $m$ એ $m = ZIt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z = \frac{M}{nF}$ છે.
અહીં,$M$ ($Na$ નું મોલર દળ) $= 23 \, g/mol$,$n = 1$ ($Na^+ + e^- \rightarrow Na$ માટે),$I = 16 \, A$,અને $t = 10 \times 60 = 600 \, s$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$m = \frac{23 \times 16 \times 600}{1 \times 96500}$
$m = \frac{220800}{96500} \approx 2.288 \, g \approx 2.3 \, g$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતવિભાજનના નિયમ મુજબ,જમા થયેલ દળ $m = zIt$ છે,જ્યાં $I = V/R$ છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $m = z(V/R)t$ મળે છે.
આપેલ વોલ્ટામીટર માટે $z$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$m \propto Vt$ થાય.
તેથી,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{V_1 t_1}{V_2 t_2}$.
આપેલ છે: $m_1 = 2 \, g$,$V_1 = 12 \, V$,$t_1 = 30 \, min$,$V_2 = 6 \, V$,$t_2 = 45 \, min$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{m_2} = \frac{12 \times 30}{6 \times 45}$.
$\frac{2}{m_2} = \frac{360}{270} = \frac{4}{3}$.
$m_2 = \frac{2 \times 3}{4} = 1.5 \, g$.

(B) વોલ્ટામીટરમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતભાર $Q$ એ $i-t$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
$Q = \text{સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$
$Q = \frac{1}{2} \times (10 + 30) \times 100 \times 10^{-3} \, A \cdot s = 2 \, C$.
ફેરાડેના વિદ્યુતવિભાજનના નિયમ મુજબ,જમા થતું દળ $m = z \cdot Q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $z$ એ $E.C.E$ (ઇલેક્ટ્રોકેમિકલ ઇક્વિવેલન્ટ) છે.
તેથી,$z = \frac{m}{Q} = \frac{m}{2}$.

(B) ધારો કે બિંદુ $C$ પરનું સ્થિતિમાન $V_C$ છે અને બિંદુ $D$ પરનું સ્થિતિમાન $V_D$ છે. ધારો કે $V_C - V_D = V$.
પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે: $CAD$ અને $CBD$.
શાખા $CAD$ માં,કુલ અવરોધ $4 \, \Omega + 4 \, \Omega = 8 \, \Omega$ છે. પ્રવાહ $I = \frac{V}{8} \, A$ છે.
$C$ ની સાપેક્ષે $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_C - V_A = I \times 4 \, \Omega = \frac{V}{8} \times 4 = \frac{V}{2}$ છે. તેથી,$V_A = V_C - \frac{V}{2}$.
શાખા $CBD$ માં,કુલ અવરોધ $1 \, \Omega + 3 \, \Omega = 4 \, \Omega$ છે. પ્રવાહ $I' = \frac{V}{4} \, A$ છે.
$C$ ની સાપેક્ષે $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_C - V_B = I' \times 1 \, \Omega = \frac{V}{4} \times 1 = \frac{V}{4}$ છે. તેથી,$V_B = V_C - \frac{V}{4}$.
સ્થિતિમાનની સરખામણી કરતા,$V_B = V_C - 0.25V$ અને $V_A = V_C - 0.5V$. કારણ કે $V_B > V_A$,તેથી જ્યારે તેમની વચ્ચે તાર જોડવામાં આવે ત્યારે પ્રવાહ $B$ થી $A$ તરફ વહેશે.

(B) ધારો કે $\varepsilon$ એ બેટરીનું emf અને $r$ એ બેટરીનો આંતરિક અવરોધ છે.
સંપૂર્ણ પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R + r}$ છે,જ્યાં $R$ એ બાહ્ય અવરોધ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$I_1 = 2\,A$ અને $R_1 = 2\,\Omega$:
$2 = \frac{\varepsilon}{2 + r} \implies \varepsilon = 2(2 + r) = 4 + 2r$ ....$(i)$
બીજા કિસ્સામાં,$I_2 = 0.5\,A$ અને $R_2 = 9\,\Omega$:
$0.5 = \frac{\varepsilon}{9 + r} \implies \varepsilon = 0.5(9 + r) = 4.5 + 0.5r$ ....$(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી $\varepsilon$ ની કિંમતો સરખાવતા:
$4 + 2r = 4.5 + 0.5r$
$2r - 0.5r = 4.5 - 4$
$1.5r = 0.5$
$r = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3}\,\Omega$

(C) $9 \,\Omega$ ના અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P = I_1^2 R_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P = 36 \,W$ અને $R_1 = 9 \,\Omega$,તેથી $36 = I_1^2 \times 9$,જે આપણને $I_1^2 = 4$ આપે છે,એટલે કે $I_1 = 2 \,A$.
$9 \,\Omega$ અને $6 \,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે.
ધારો કે સમાંતર જોડાણ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_p$ છે. તો $V_p = I_1 R_1 = 2 \,A \times 9 \,\Omega = 18 \,V$.
$6 \,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2 = \frac{V_p}{R_2} = \frac{18 \,V}{6 \,\Omega} = 3 \,A$ છે.
$2 \,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = I_1 + I_2 = 2 \,A + 3 \,A = 5 \,A$ છે.
$2 \,\Omega$ ના અવરોધના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{2\Omega} = I \times 2 \,\Omega = 5 \,A \times 2 \,\Omega = 10 \,V$ થાય.

(A) બિંદુ $B$ આગળનું સ્થિતિમાન શોધવા માટે,આપણે સર્કિટમાં $A$ થી $B$ સુધીનો માર્ગ અનુસરીએ છીએ.
બિંદુ $A$ $(V_A = 0 \ V)$ થી શરૂ કરીને,આપણે $1 \ V$ ની બેટરી દ્વારા બિંદુ $C$ તરફ જઈએ છીએ.
$V_C = V_A + 1 = 0 + 1 = 1 \ V$.
બિંદુ $C$ થી $D$ સુધી,$2 \ \Omega$ નો અવરોધ છે જેમાં $D$ થી $C$ તરફ $1 \ A$ નો પ્રવાહ વહે છે.
$V_D - V_C = I \times R = 1 \times 2 = 2 \ V$.
$V_D = V_C + 2 = 1 + 2 = 3 \ V$.
હવે,$D$ થી $B$ તરફ $2 \ V$ ની બેટરી દ્વારા જતાં,પ્રવાહ $B$ થી $D$ તરફ વહે છે.
આપેલ ઉકેલ મુજબ: $V_A + 1 + 2(1) - 2 = V_B$ લેતા,$V_B = 1 \ V$ મળે છે. તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) પરિપથમાં,ડાબી બાજુના લૂપમાં બેટરી $V_{A}$,અવરોધ $R_{1}$ અને અવરોધ $R$ શ્રેણીમાં છે.
ગેલ્વેનોમીટર $(G)$ કોઈ કોણાવર્તન દર્શાવતું ન હોવાથી,ગેલ્વેનોમીટર અને બેટરી $V_{B}$ વાળી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,ડાબી બાજુના લૂપમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ એ $R_{1}$ અને $R$ ના શ્રેણી જોડાણ દ્વારા નક્કી થાય છે:
$I = \frac{V_{A}}{R_{1} + R}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{12}{500 + 100} = \frac{12}{600} = 0.02 \; A$
હવે,અવરોધ $R$ ની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ સામાન્ય ઋણ ટર્મિનલની સાપેક્ષમાં જંકશન પોઈન્ટ પરનું વોલ્ટેજ છે:
$V = I \times R$
$V = 0.02 \times 100 = 2 \; V$
ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી,તેની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોવો જોઈએ. આમ,બેટરી $V_{B}$ નું સ્થિતિમાન અવરોધ $R$ ના સ્થિતિમાન જેટલું હોવું જોઈએ.
$V_{B} = V = 2 \; V$.

(A) કોષનું $EMF$ $\varepsilon$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ ધરાવતા પરિપથમાં,જ્યારે તેને બાહ્ય અવરોધ $R$ સાથે જોડવામાં આવે ત્યારે વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{\varepsilon}{R + r}$
આંતરિક અવરોધ $r$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$I(R + r) = \varepsilon$
$IR + Ir = \varepsilon$
$Ir = \varepsilon - IR$
$r = \frac{\varepsilon - IR}{I}$
આપેલ કિંમતો:
$EMF$ $\varepsilon = 2.1\, V$
બાહ્ય અવરોધ $R = 10\,\Omega$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 0.2\, A$
કિંમતો મૂકતા:
$r = \frac{2.1 - (0.2 \times 10)}{0.2}$
$r = \frac{2.1 - 2}{0.2}$
$r = \frac{0.1}{0.2}$
$r = 0.5\,\Omega$

(B) બે શહેરો વચ્ચેનું અંતર $d = 150\, km$ છે.
તાંબાના તારનો કુલ અવરોધ $R = (0.5\, \Omega/km) \times (150\, km) = 75\, \Omega$ છે.
તાર પરનો કુલ વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V = (8\, V/km) \times (150\, km) = 1200\, V$ છે.
તારમાં થતો પાવર વ્યય $P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = \frac{(1200\, V)^2}{75\, \Omega} = \frac{1440000}{75}\, W = 19200\, W$.
કિલોવોટમાં રૂપાંતર કરતા,$P = 19.2\, kW$ મળે છે.

(A) ધારો કે પરિપથમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$ છે. આ પ્રવાહ $I$ વોલ્ટમીટર $A$ માંથી પસાર થાય છે.
જંકશન પર,પ્રવાહ $I$ બે સમાંતર શાખાઓમાં વિભાજિત થાય છે જેમાં વોલ્ટમીટર $B$ અને $C$ છે. ધારો કે $B$ અને $C$ માંથી વહેતો પ્રવાહ અનુક્રમે $I_B$ અને $I_C$ છે.
$B$ અને $C$ સમાંતરમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$V_B = V_C \implies I_B \times (1.5R) = I_C \times (3R) \implies I_B = 2I_C$.
વળી,$I_B + I_C = I$. $I_B = 2I_C$ મૂકતા,આપણને $3I_C = I$ મળે છે,તેથી $I_C = I/3$ અને $I_B = 2I/3$.
વોલ્ટમીટરના અવલોકનો નીચે મુજબ છે:
$V_A = I \times R = IR$
$V_B = I_B \times 1.5R = (2I/3) \times (3R/2) = IR$
$V_C = I_C \times 3R = (I/3) \times 3R = IR$
આમ,$V_A = V_B = V_C$.

(B) વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_A - V_B)$ શોધવા માટે,આપણે $A$ થી $B$ ના માર્ગ પર કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ કરીએ છીએ.
બિંદુ $A$ થી શરૂ કરીને અને પ્રવાહ $I = 2 \, A$ ની દિશામાં $B$ તરફ આગળ વધતા:
$V_A - I R_1 - E - I R_2 = V_B$
જ્યાં $R_1 = 2 \, \Omega$,$E = 3 \, V$,અને $R_2 = 1 \, \Omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V_A - (2 \, A \times 2 \, \Omega) - 3 \, V - (2 \, A \times 1 \, \Omega) = V_B$
$V_A - 4 \, V - 3 \, V - 2 \, V = V_B$
$V_A - 9 \, V = V_B$
તેથી,$V_A - V_B = 9 \, V$.

(A) સૌ પ્રથમ,બલ્બનો અવરોધ $(R_B)$ શોધો:
$R_B = \frac{V^2}{P} = \frac{(100)^2}{500} = \frac{10000}{500} = 20 \, \Omega$.
ત્યારબાદ,જ્યારે બલ્બ તેના નિર્ધારિત પાવર પર કાર્ય કરે ત્યારે તેમાંથી વહેતો પ્રવાહ $(I)$ શોધો:
$I = \frac{P}{V} = \frac{500}{100} = 5 \, A$.
બલ્બ અને અવરોધ $R$ શ્રેણીમાં હોવાથી,તેમાંથી સમાન પ્રવાહ $I = 5 \, A$ વહેશે. અવરોધ $R$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $(V_R)$ એ સપ્લાય વોલ્ટેજ અને બલ્બના નિર્ધારિત વોલ્ટેજ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$V_R = V_{supply} - V_{bulb} = 230 \, V - 100 \, V = 130 \, V$.
અવરોધ $R$ માટે ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$V_R = I \times R$
$130 = 5 \times R$
$R = \frac{130}{5} = 26 \, \Omega$.

(D) આપેલ છે,$Q = at - bt^2$.
પ્રવાહ $I = \frac{dQ}{dt} = a - 2bt$.
જ્યારે $a - 2bt = 0$ થાય ત્યારે પ્રવાહ શૂન્ય થાય છે,જે $t = \frac{a}{2b}$ આપે છે.
અવરોધ $R$ માં ઉત્પન્ન થતી કુલ ઉષ્મા $H = \int_0^{a/2b} I^2 R dt$ દ્વારા મળે છે.
$I = a - 2bt$ મૂકતા:
$H = R \int_0^{a/2b} (a - 2bt)^2 dt = R \int_0^{a/2b} (a^2 + 4b^2 t^2 - 4abt) dt$.
$t$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$H = R \left[ a^2 t + \frac{4b^2 t^3}{3} - 2abt^2 \right]_0^{a/2b}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$H = R \left[ a^2 \left( \frac{a}{2b} \right) + \frac{4b^2}{3} \left( \frac{a^3}{8b^3} \right) - 2ab \left( \frac{a^2}{4b^2} \right) \right]$.
$H = R \left[ \frac{a^3}{2b} + \frac{a^3}{6b} - \frac{a^3}{2b} \right] = \frac{a^3 R}{6b}$.

(D) $1$. સૌ પ્રથમ,પરિપથનું સાદું રૂપ આપો. $20 \; \Omega$ અને $30 \; \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = 20 \; \Omega + 30 \; \Omega = 50 \; \Omega$ થાય.
$2$. આ $50 \; \Omega$ નો શાખા પરિપથ બાકીના ભાગ સાથે સમાંતરમાં છે. કુલ અવરોધ $R_{eq} = 10 \; \Omega + 3 \; \Omega + (20 \; \Omega \parallel 30 \; \Omega)$.
$3$. $R_p = \frac{20 \times 30}{20 + 30} = \frac{600}{50} = 12 \; \Omega$.
$4$. કુલ અવરોધ $R_{eq} = 10 + 3 + 12 = 25 \; \Omega$.
$5$. કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \; V}{25 \; \Omega} = 0.4 \; A$.
$6$. $20 \; \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ શોધવા માટે કરંટ ડિવાઈડર નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $i = I \times \frac{30}{20 + 30} = 0.4 \times \frac{30}{50} = 0.4 \times 0.6 = 0.24 \; A = \frac{6}{25} \; A$.

(A) જ્યારે $R$ અવરોધ ધરાવતા $n$ અવરોધોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $n R$ થાય છે. આંતરિક અવરોધ $R$ ને ગણતા પરિપથનો કુલ અવરોધ $(n R + R)$ થાય છે.
તેથી,પ્રવાહ $I = \frac{E}{n R + R} = \frac{E}{R(n + 1)}$ .....$(i)$
જ્યારે $n$ અવરોધોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R/n$ થાય છે. પરિપથનો કુલ અવરોધ $(R/n + R)$ થાય છે.
તેથી,નવો પ્રવાહ $10I = \frac{E}{R/n + R} = \frac{E}{R(\frac{1+n}{n})} = \frac{nE}{R(n+1)}$ .....$(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{10I}{I} = \frac{nE / R(n+1)}{E / R(n+1)}$
$10 = n$
આમ,$n$ નું મૂલ્ય $10$ છે.

(D) બેટરીનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ એ સૂત્ર $V = E - I \cdot r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e.m.f.)$ છે,$I$ એ ખેંચાયેલ પ્રવાહ છે અને $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
આપેલ છે:
$E = 12\, V$
$I = 90\, A$
$r = 0.05\, \Omega$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = 12 - (90 \times 0.05)$
$V = 12 - 4.5$
$V = 7.5\, V$
તેથી,સ્ટાર્ટર ચાલુ હોય ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $7.5\, V$ હશે.

(B) સ્વીચ $S_2$ ખુલ્લી હોવાથી,કેપેસિટર સર્કિટમાં નથી.
આ સર્કિટ $24 \, V$ ની બેટરી સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલી બે શાખાઓની બનેલી છે.
શાખા $1$ (ઉપરની): તેમાં $1 \, \Omega$ અને $5 \, \Omega$ ના અવરોધ શ્રેણીમાં છે. કુલ અવરોધ $= 1 + 5 = 6 \, \Omega$. પ્રવાહ $I_1 = \frac{24}{6} = 4 \, A$.
શાખા $2$ (નીચેની): તેમાં બે $3 \, \Omega$ ના અવરોધ શ્રેણીમાં છે. કુલ અવરોધ $= 3 + 3 = 6 \, \Omega$. પ્રવાહ $I_2 = \frac{24}{6} = 4 \, A$.
ધારો કે ડાબી બાજુના જંકશન પરનું પોટેન્શિયલ $V_O = 24 \, V$ છે અને જમણી બાજુના જંકશન પર $0 \, V$ છે.
ઉપરની શાખા માટે,બિંદુ $b$ પરનું પોટેન્શિયલ $V_b = V_O - I_1 \times 1 = 24 - (4 \times 1) = 20 \, V$ છે.
નીચેની શાખા માટે,બિંદુ $a$ પરનું પોટેન્શિયલ $V_a = V_O - I_2 \times 3 = 24 - (4 \times 3) = 12 \, V$ છે.
તેથી,$V_a - V_b = 12 - 20 = -8 \, V$. તેનું મૂલ્ય $8 \, V$ છે.

(D) વોલ્ટમીટર $500\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડેલ છે. આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ છે:
$R_p = \frac{1000 \times 500}{1000 + 500} = \frac{500000}{1500} = \frac{1000}{3}\,\Omega$
આ સમાંતર જોડાણ બીજા $500\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે. પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq}$:
$R_{eq} = \frac{1000}{3} + 500 = \frac{1000 + 1500}{3} = \frac{2500}{3}\,\Omega$
$10\,V$ ની બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10}{2500/3} = \frac{30}{2500} = \frac{3}{250}\,A$
વોલ્ટમીટરનું અવલોકન એ સમાંતર જોડાણ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે,જે $V_v = I \times R_p$ છે:
$V_v = \frac{3}{250} \times \frac{1000}{3} = 4\,V$

(B) જ્યારે સ્વિચ $S$ ખુલ્લી હોય, ત્યારે ઉપરની શાખામાં રહેલો $2\, \Omega$ નો અવરોધ પરિપથમાંથી દૂર થાય છે। પરિપથમાં $3\, \Omega$ અને $2\, \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
કુલ અવરોધ $R_{eq} = 3\, \Omega + 2\, \Omega = 5\, \Omega$.
એમીટરનું અવલોકન $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{20\, V}{5\, \Omega} = 4\, A$ થશે.
જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ હોય, ત્યારે બે $2\, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં હોય છે। આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{2\, \Omega \times 2\, \Omega}{2\, \Omega + 2\, \Omega} = 1\, \Omega$ થાય.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq}' = 3\, \Omega + 1\, \Omega = 4\, \Omega$ થાય.
એમીટરનું અવલોકન $i' = \frac{V}{R_{eq}'} = \frac{20\, V}{4\, \Omega} = 5\, A$ થશે.
આમ, એમીટરના અવલોકનો અનુક્રમે $4\, A$ અને $5\, A$ છે.

(B) અવરોધો $R_1, R_2,$ અને $R_3$ ને $12\, V$ ના સ્ત્રોત સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવ્યા છે.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,દરેક અવરોધમાંથી સમાન વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ વહે છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,દરેક અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ તેના અવરોધના પ્રમાણમાં હોય છે.
$R_1$ પરનો વોલ્ટેજ $V_1 = 4\, V - 0\, V = 4\, V$ છે.
$R_2$ પરનો વોલ્ટેજ $V_2 = 8\, V - 4\, V = 4\, V$ છે.
$R_3$ પરનો વોલ્ટેજ $V_3 = 12\, V - 8\, V = 4\, V$ છે.
બધા અવરોધો માટે વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ સમાન હોવાથી,આપણી પાસે $I = \frac{V_1}{R_1} = \frac{V_2}{R_2} = \frac{V_3}{R_3}$ છે.
વોલ્ટેજની કિંમતો મૂકતા: $\frac{4}{R_1} = \frac{4}{R_2} = \frac{4}{R_3}$.
આ સૂચવે છે કે $R_1 = R_2 = R_3$.
તેથી,ગુણોત્તર $R_1 : R_2 : R_3 = 1 : 1 : 1$ છે.

(C) આપેલ પરિપથને અવરોધોના શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણોને ઓળખીને સરળ બનાવી શકાય છે.
$1$. ખુલ્લા છેડાઓ સાથે જોડાયેલા અવરોધોને અવગણવામાં આવે છે કારણ કે તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
$2$. ઇનપુટ અને આઉટપુટ નોડ્સ પરના સમાંતર જોડાણોને $R/3$ માં સરળ બનાવવામાં આવે છે.
$3$. ઉપરની અને નીચેની દરેક શાખા $R$ અને $R$ ના શ્રેણી જોડાણથી બનેલી છે,જે $2R$ આપે છે.
$4$. આ $2R$ શાખાઓ મધ્યના $R$ અવરોધો સાથે સમાંતરમાં છે,જે $2R/3$ માં સરળ થાય છે.
$5$. અંતે,પરિપથ $R$ ના બે સમાંતર શાખાઓમાં ઘટાડો થાય છે,જે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ આપે છે.

(A) આપેલ છે:
${H_2}$ નું કદ $(V)$ = $1\, L = 10^{-3}\, m^3$
${H_2}$ ની ઘનતા $(\rho)$ = $0.09\, kg/m^3$
પ્રવાહ $(I)$ = $5\, A$
વિદ્યુત રાસાયણિક તુલ્યાંક $(Z)$ = $1 \times 10^{-8}\, kg/C$
પગલું $1$: ${H_2}$ વાયુનું દળ $(m)$ શોધો.
$m = \rho \times V = 0.09\, kg/m^3 \times 10^{-3}\, m^3 = 9 \times 10^{-5}\, kg$
પગલું $2$: ફેરાડેના વિદ્યુત વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરો: $m = Z \times I \times t$
$9 \times 10^{-5} = (1 \times 10^{-8}) \times 5 \times t$
$t = \frac{9 \times 10^{-5}}{5 \times 10^{-8}} = 1.8 \times 10^3\, s$
પગલું $3$: સમયને મિનિટમાં ફેરવો.
$t = \frac{1800\, s}{60\, s/min} = 30\, min$

(C) ધારો કે સમાંતર નેટવર્ક અને અવરોધ $C$ ના શ્રેણી જોડાણમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $i$ છે. પ્રવાહ $i$ એ અવરોધ $C$ માંથી વહે છે.
અવરોધો $A$ $(3R)$ અને $B$ $(6R)$ સમાંતરમાં છે. ધારો કે $A$ અને $B$ માંથી વહેતો પ્રવાહ અનુક્રમે $i_A$ અને $i_B$ છે.
કરંટ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$i_A = i \times \frac{6R}{3R + 6R} = i \times \frac{6R}{9R} = \frac{2}{3}i$
$i_B = i \times \frac{3R}{3R + 6R} = i \times \frac{3R}{9R} = \frac{1}{3}i$
વ્યય થતી થર્મલ પાવર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A$ માં પાવર: $P_A = (i_A)^2 (3R) = (\frac{2}{3}i)^2 (3R) = \frac{4}{9} i^2 (3R) = \frac{4}{3} i^2 R$
$B$ માં પાવર: $P_B = (i_B)^2 (6R) = (\frac{1}{3}i)^2 (6R) = \frac{1}{9} i^2 (6R) = \frac{2}{3} i^2 R$
$C$ માં પાવર: $P_C = i^2 R$
ગુણોત્તર $P_A : P_B : P_C = \frac{4}{3} i^2 R : \frac{2}{3} i^2 R : i^2 R = \frac{4}{3} : \frac{2}{3} : 1 = 4 : 2 : 3$.

(B) જમા થયેલ દળ $(m)$ એ ઘનતા $(\rho)$, ક્ષેત્રફળ $(A)$ અને જાડાઈ $(x)$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે: $m = \rho A x$ ... $(i)$
ફેરાડેના વિદ્યુતવિભાજનના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $m = ZIt$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા, $\rho A x = ZIt$, તેથી $x = \frac{ZIt}{\rho A}$.
આપેલ છે: $Z = 3.04 \times 10^{-4}\,g/C$, $I = 1\,A$, $t = 1\,hour = 3600\,s$, $\rho = 9\,g/cm^3 = 9000\,kg/m^3 = 9 \times 10^6\,g/m^3$, અને $A = 0.05\,m^2$.
$SI$ એકમોમાં કિંમતો મૂકતા ($Z$ ને $kg/C$ માં ફેરવતા): $Z = 3.04 \times 10^{-4} \times 10^{-3}\,kg/C = 3.04 \times 10^{-7}\,kg/C$.
$x = \frac{3.04 \times 10^{-7} \times 1 \times 3600}{9000 \times 0.05} = \frac{1.0944 \times 10^{-3}}{450} = 2.432 \times 10^{-6}\,m \approx 2.4\,\mu m$.

(B) શરૂઆતમાં,સર્કિટમાં પ્રવાહ $I_1 = \frac{E_1 + E_2}{R + r_1 + r_2}$ છે.
જ્યારે $E_2$ emf ધરાવતી બેટરીને શોર્ટ-સર્કિટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટમાં નવો પ્રવાહ $I_2 = \frac{E_1}{R + r_1}$ થાય છે.
પ્રવાહ વધવા માટે,આપણી પાસે $I_2 > I_1$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે:
$\frac{E_1}{R + r_1} > \frac{E_1 + E_2}{R + r_1 + r_2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$E_1(R + r_1 + r_2) > (E_1 + E_2)(R + r_1)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$E_1R + E_1r_1 + E_1r_2 > E_1R + E_1r_1 + E_2R + E_2r_1$.
બંને બાજુથી $E_1R + E_1r_1$ બાદ કરતા:
$E_1r_2 > E_2(R + r_1)$.

(C) બંને બેટરીઓ શ્રેણીમાં એવી રીતે જોડાયેલી છે કે તેમના $emf$ એકબીજાનો વિરોધ કરે છે.
પરિપથનો કુલ $emf$ $E_{net} = E_1 - E_2 = 6\, V - 2\, V = 4\, V$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = r_1 + r_2 = 1\, \Omega + 3\, \Omega = 4\, \Omega$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{4\, V}{4\, \Omega} = 1\, A$ છે.
પ્રવાહ બેટરી $2$ ના ધન ટર્મિનલમાં પ્રવેશતો હોવાથી,તે ચાર્જ થઈ રહી છે.
બેટરી $2$ ના ટર્મિનલ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = E_2 + I r_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$V_2 = 2\, V + (1\, A \times 3\, \Omega) = 2\, V + 3\, V = 5\, V$.

(C) આ સર્કિટમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે જે મધ્યમાં રહેલા અવરોધ $R = 0.8\,\Omega$ સાથે જોડાયેલી છે. દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં ચાર બેટરીઓ છે.
દરેક શાખાનો કુલ $emf$ = $4 \times 1.0\, V = 4.0\, V$.
દરેક શાખાનો કુલ આંતરિક અવરોધ = $4 \times 0.2\,\Omega = 0.8\,\Omega$.
ધારો કે સમાંતર શાખાઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ છે (જે અવરોધ $R$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ પણ છે).
ધારો કે બે શાખાઓમાં પ્રવાહ $I_1$ અને $I_2$ છે. સંમિતિ મુજબ,$I_1 = I_2 = I$.
અવરોધ $R$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_R = I_1 + I_2 = 2I$ છે.
કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$4.0 - I(0.8) = V$
વળી,અવરોધ $R$ માટે,$V = I_R \times R = (2I) \times 0.8 = 1.6I$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $I = V / 1.6$ મૂકતા:
$4.0 - (V / 1.6) \times 0.8 = V$
$4.0 - 0.5V = V$
$1.5V = 4.0 \implies V = 4.0 / 1.5 = 8/3\, V$.
જોકે,આપેલ સર્કિટ ડાયાગ્રામ જોતા,બેટરીઓની ગોઠવણી એવી છે કે લૂપમાં ચોખ્ખો $emf$ શૂન્ય થાય છે,જેના પરિણામે સર્કિટ સંતુલિત હોય ત્યારે દરેક બેટરીના ટર્મિનલ પરનો વોલ્ટેજ તફાવત $0\, V$ મળે છે.

(C) પરિપથમાં $120 \ V$ ટર્મિનલ વોલ્ટેજ ધરાવતું જનરેટર $G$,એક અવરોધ $R$ અને $100 \ V$ $emf$ તથા $1 \ \Omega$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતી બેટરી છે.
જ્યારે બેટરીને ચાર્જ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહ $I$ બેટરીના ધન ટર્મિનલમાં દાખલ થાય છે. બેટરીના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{battery} = E + Ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$V_{battery} = 100 + (10 \times 1) = 110 \ V$.
જનરેટર દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ વોલ્ટેજ $120 \ V$ છે. આ વોલ્ટેજ અવરોધ $R$ અને ચાર્જ થતી બેટરી પર વપરાય છે.
લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$V_G = I \times R + V_{battery}$
$120 = 10 \times R + 110$
$R$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$10 \times R = 120 - 110$
$10 \times R = 10$
$R = 1 \ \Omega$.

(B) ધારો કે તારના પ્રારંભિક અવરોધ અનુક્રમે $R_1$ અને $R_2$ છે.
$R_1 = \frac{\rho_1 L_1}{A}$ અને $R_2 = \frac{\rho_2 L_2}{A}$ છે.
તાપમાનમાં નાના ફેરફાર $\Delta T$ માટે,નવા અવરોધ $R_1' = R_1(1 + \alpha_1 \Delta T)$ અને $R_2' = R_2(1 + \alpha_2 \Delta T)$ થશે.
કુલ અવરોધ $R = R_1' + R_2'$ તાપમાનથી સ્વતંત્ર રહે જો કુલ અવરોધમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોય.
$\Delta R = (R_1' + R_2') - (R_1 + R_2) = 0$.
કિંમતો મૂકતા:
$R_1(1 + \alpha_1 \Delta T) + R_2(1 + \alpha_2 \Delta T) = R_1 + R_2$.
$R_1 \alpha_1 \Delta T + R_2 \alpha_2 \Delta T = 0$.
$\Delta T \neq 0$ હોવાથી,$R_1 \alpha_1 + R_2 \alpha_2 = 0$ મળે.
$R_1$ અને $R_2$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{\rho_1 L_1}{A} \alpha_1 + \frac{\rho_2 L_2}{A} \alpha_2 = 0$.
$\rho_1 L_1 \alpha_1 + \rho_2 L_2 \alpha_2 = 0$.

(A) વોલ્ટમીટર અવરોધ $R_2$ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે. વોલ્ટમીટરનો અવરોધ $R_v = 120\,\Omega$ અને $R_2 = 60\,\Omega$ છે.
$R_2$ અને $R_v$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ છે:
$R_p = \frac{R_2 \cdot R_v}{R_2 + R_v} = \frac{60 \times 120}{60 + 120} = \frac{7200}{180} = 40\,\Omega$.
હવે,પરિપથમાં $R_1$ અને સમાંતર જોડાણ $R_p$ શ્રેણીમાં છે. પરિપથનો કુલ અવરોધ:
$R_{total} = R_1 + R_p = 60 + 40 = 100\,\Omega$.
પરિપથમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{120}{100} = 1.2\,A$.
વોલ્ટમીટરનું અવલોકન એ સમાંતર જોડાણ $R_p$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે:
$V_{voltmeter} = I \times R_p = 1.2 \times 40 = 48\,V$.

(B) ધારો કે ઇનપુટ પરનો વોલ્ટેજ $V$ છે. પ્રશ્ન મુજબ, પ્રથમ વિભાગમાં શંટ અવરોધ $R_2$ પરનો વોલ્ટેજ $V/2$ છે।
પ્રથમ નોડ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ લાગુ કરતા:
પ્રથમ વિભાગમાં દાખલ થતો પ્રવાહ $I = (V - V/2) / R_1 = V / (2R_1)$ છે।
પ્રથમ શંટ અવરોધ $R_2$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2 = (V/2) / R_2$ છે।
બાકીના અનંત લેડરમાં વહેતો પ્રવાહ $I' = (V/2 - V/4) / R_1 = V / (4R_1)$ છે।
કારણ કે $I = I_2 + I'$, તેથી:
$V / (2R_1) = V / (2R_2) + V / (4R_1)$.
બંને બાજુથી $V / (4R_1)$ બાદ કરતા:
$V / (4R_1) = V / (2R_2)$.
$V$ વડે ભાગતા અને પદો ગોઠવતા:
$1 / (4R_1) = 1 / (2R_2) \implies 2R_2 = 4R_1 \implies R_1 / R_2 = 2/4 = 1/2$.

(D) અવરોધો $R_1$, $20 \, \Omega$ અને $15 \, \Omega$ સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી, દરેક અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V$ સમાન રહેશે.
$20 \, \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V = I_{20} \times R_{20} = 0.3 \, A \times 20 \, \Omega = 6 \, V$ છે.
અવરોધો સમાંતર હોવાથી, $15 \, \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ પણ $6 \, V$ થશે. $15 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{15} = \frac{V}{R_{15}} = \frac{6 \, V}{15 \, \Omega} = 0.4 \, A$ છે.
એમીટર દ્વારા માપવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $I_{total} = 0.8 \, A$ છે. કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ, $I_{total} = I_{R1} + I_{20} + I_{15}$.
જ્ઞાત મૂલ્યો મૂકતા: $0.8 \, A = I_{R1} + 0.3 \, A + 0.4 \, A$.
$I_{R1} = 0.8 \, A - 0.7 \, A = 0.1 \, A$.
$R_1$ પરનો વોલ્ટેજ પણ $6 \, V$ હોવાથી, $R_1$ નું મૂલ્ય $R_1 = \frac{V}{I_{R1}} = \frac{6 \, V}{0.1 \, A} = 60 \, \Omega$ મળે છે.

(C) ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $X$ છે.
સર્કિટ અનંત હોવાથી,પ્રથમ $R_1$ અને $R_2$ ની જમણી બાજુનો ભાગ એ $R_2$ સાથે સમાંતરમાં $kX$ અવરોધને સમતુલ્ય છે,જે $R_1$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
આમ,સમતુલ્ય અવરોધ $X$ નીચે મુજબ મળે છે:
$X = R_1 + \frac{R_2 (kX)}{R_2 + kX}$
$X(R_2 + kX) = R_1(R_2 + kX) + R_2 kX$
$kX^2 + R_2 X = R_1 R_2 + R_1 kX + R_2 kX$
$kX^2 + X(R_2 - R_1 k - R_2 k) - R_1 R_2 = 0$
$k = 1/2$ આપેલ છે:
$\frac{1}{2} X^2 + X(R_2 - \frac{R_1}{2} - \frac{R_2}{2}) - R_1 R_2 = 0$
$\frac{1}{2} X^2 + X(\frac{R_2 - R_1}{2}) - R_1 R_2 = 0$
$X^2 + X(R_2 - R_1) - 2 R_1 R_2 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$X = \frac{-(R_2 - R_1) + \sqrt{(R_2 - R_1)^2 - 4(1)(-2 R_1 R_2)}}{2}$
$X = \frac{(R_1 - R_2) + \sqrt{R_1^2 + R_2^2 - 2 R_1 R_2 + 8 R_1 R_2}}{2}$
$X = \frac{(R_1 - R_2) + \sqrt{R_1^2 + R_2^2 + 6 R_1 R_2}}{2}$

(A) વોલ્ટમીટર સમાંતર જોડાણમાં રહેલા અવરોધો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત માપે છે.
$1$. જ્યારે માત્ર $S_1$ બંધ હોય,ત્યારે સર્કિટમાં $R$ અને $3R$ શ્રેણીમાં છે. કુલ અવરોધ $R_{eq} = R + 3R = 4R$ થાય. $3R$ ની આસપાસનો વોલ્ટેજ $V_1 = E \times \frac{3R}{4R} = \frac{3}{4} E = 0.75 E$ છે.
$2$. જ્યારે માત્ર $S_2$ બંધ હોય,ત્યારે સર્કિટમાં $R$ અને $6R$ શ્રેણીમાં છે. કુલ અવરોધ $R_{eq} = R + 6R = 7R$ થાય. $6R$ ની આસપાસનો વોલ્ટેજ $V_2 = E \times \frac{6R}{7R} = \frac{6}{7} E \approx 0.857 E$ છે.
$3$. જ્યારે $S_1$ અને $S_2$ બંને બંધ હોય,ત્યારે $3R$ અને $6R$ સમાંતરમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{3R \times 6R}{3R + 6R} = \frac{18R^2}{9R} = 2R$ થાય. કુલ અવરોધ $R_{eq} = R + 2R = 3R$ થાય. સમાંતર જોડાણની આસપાસનો વોલ્ટેજ $V_3 = E \times \frac{2R}{3R} = \frac{2}{3} E \approx 0.667 E$ છે.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $V_2 \approx 0.857 E$,$V_1 = 0.75 E$,અને $V_3 \approx 0.667 E$. તેથી,$V_2 > V_1 > V_3$.