Bohr's Model of Hydrogen Atom Questions in Hindi

(D) वृत्ताकार लूप के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ त्रिज्या की कक्षा में $v$ वेग से गति करने वाले इलेक्ट्रॉन के कारण धारा $i = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में $i$ का मान रखने पर: $B = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$।
बोर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,$mvr = \frac{nh}{2\pi}$,इसलिए $v = \frac{nh}{2\pi mr}$।
$B$ के व्यंजक में $v$ का मान रखने पर: $B = \frac{\mu_0 e}{4\pi r^2} \left( \frac{nh}{2\pi mr} \right) = \frac{\mu_0 enh}{8\pi^2 mr^3}$।
हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए,त्रिज्या $r \propto \frac{n^2}{Z}$ होती है।
$B$ के व्यंजक में $r^3 \propto \frac{n^6}{Z^3}$ रखने पर: $B \propto \frac{n}{r^3} \propto \frac{n}{(n^2/Z)^3} = \frac{n}{n^6/Z^3} = \frac{Z^3}{n^5}$।
अतः,$B \propto \frac{Z^3}{n^5}$।

(D) हाइड्रोजन परमाणु में $n = 2$ और $n = 1$ स्तरों के बीच ऊर्जा का अंतर $\Delta E = 13.6 \ eV \times (1 - 1/4) = 10.2 \ eV$ है।
जब परमाणु एक फोटॉन उत्सर्जित करता है, तो संवेग संरक्षण के लिए उसे पीछे की ओर (recoil) हटना पड़ता है। मान लीजिए $p_p$ फोटॉन का संवेग है और $p_a$ परमाणु का संवेग है। संवेग संरक्षण के नियम से, $p_a = p_p = E/c$ होता है।
कुल मुक्त ऊर्जा $10.2 \ eV$ है, जो फोटॉन की ऊर्जा $(E_p)$ और परमाणु की गतिज ऊर्जा $(K_a)$ के बीच विभाजित होती है। अतः, $E_p + K_a = 10.2 \ eV$ है।
चूंकि $K_a > 0$, इसलिए $E_p < 10.2 \ eV$ होगा। अतः, कथन $(b)$ सही है।
चूंकि $K_a = 10.2 \ eV - E_p$ और $E_p$ का मान $10.2 \ eV$ के बहुत करीब है, इसलिए $K_a$ बहुत छोटा है, अतः $K_a < 10.2 \ eV$ होगा। अतः, कथन $(c)$ सही है।
कथन $(d)$ गलत है क्योंकि कुल ऊर्जा $10.2 \ eV$ विभाजित होती है; परमाणु की गतिज ऊर्जा फोटॉन की ऊर्जा की तुलना में बहुत कम होती है।

(D) बोहर मॉडल के अनुसार, $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र है: $K.E. = \frac{2 \pi^2 m k^2 Z^2 e^4}{n^2 h^2}$।
यहाँ, $K.E. \propto e^4$ है, जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉनिक आवेश है।
यदि केवल इलेक्ट्रॉन का आवेश $e$ दोगुना $(e' = 2e)$ कर दिया जाए, तो नई गतिज ऊर्जा $K.E.' \propto (2e)^4 = 16 e^4$ होगी।
अतः, $K.E.$ $16$ गुना हो जाएगी।

(B) आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार,एक बद्ध प्रणाली का द्रव्यमान उसके घटकों के द्रव्यमान के योग से बंधन ऊर्जा को $c^2$ से विभाजित करने पर प्राप्त मान के बराबर कम होता है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,कुल द्रव्यमान $M = m_{proton} + m_{electron} - \frac{B}{c^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B$ हाइड्रोजन परमाणु की बंधन ऊर्जा $(13.6 \, eV)$ है।
यह द्रव्यमान क्षति परमाणु के निर्माण के दौरान मुक्त हुई ऊर्जा को दर्शाती है।

(B) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right]$ है।
हाइड्रोजन परमाणु $(Z=1)$ के लिए $n_i=2$ से $n_f=1$ के संक्रमण हेतु,$\frac{1}{\lambda_0} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4}$ है।
$He^+$ आयन $(Z=2)$ के लिए,हमें तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ चाहिए,अतः $\frac{1}{\lambda_0} = R(2)^2 \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right]$ होगा।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{3R}{4} = 4R \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right] \Rightarrow \frac{3}{16} = \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right]$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर,$n_i=4$ और $n_f=2$ के लिए: $\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{16} = \frac{4-1}{16} = \frac{3}{16}$ है।
अतः,संक्रमण $n=4$ से $n=2$ है।

(B) बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2\pi r = \frac{nh}{mv}$ प्राप्त होता है।
चूंकि डी-ब्रोग्ली तरंग दैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ है,इसलिए शर्त $2\pi r = n\lambda$ या $\lambda = \frac{2\pi r}{n}$ बन जाती है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 n^2$ है,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है।
तरंग दैर्ध्य के सूत्र में $r_n$ का मान रखने पर: $\lambda_n = \frac{2\pi (a_0 n^2)}{n} = 2\pi a_0 n$।
पहली कक्षा $(n=1)$ के लिए,$\lambda_1 = 2\pi a_0 (1) = 2\pi a_0$।
दूसरी कक्षा $(n=2)$ के लिए,$\lambda_2 = 2\pi a_0 (2) = 4\pi a_0$।
अतः,अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{2\pi a_0}{4\pi a_0} = \frac{1}{2}$ है।

(D) बोहर कक्षा के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य की शर्त $2 \pi r_n = n \lambda_n$ है।
प्रथम कक्षा $(n=1)$ के लिए,$2 \pi r_1 = \lambda \Rightarrow r_1 = \frac{\lambda}{2 \pi}$।
द्वितीय कक्षा $(n=2)$ के लिए,$r_2 = 4 r_1 = \frac{4 \lambda}{2 \pi} = \frac{2 \lambda}{\pi}$।
दोनों कक्षाओं के बीच की दूरी $r_2 - r_1 = \frac{2 \lambda}{\pi} - \frac{\lambda}{2 \pi} = \frac{3 \lambda}{2 \pi}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $D$ है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था में,इलेक्ट्रॉन पहली बोहर कक्षा $(n=1)$ में घूमता है।
बोहर के क्वांटाइजेशन प्रतिबंध के अनुसार,कक्षा की परिधि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के एक पूर्णांक गुणज के बराबर होती है: $2\pi r = n\lambda$।
मूल अवस्था के लिए,$n=1$,इसलिए परिधि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के बराबर होती है: $\lambda = 2\pi r$।
पहली बोहर कक्षा की त्रिज्या $r = 0.53 \ \mathring{A}$ है।
मान रखने पर: $\lambda = 2 \times 3.1416 \times 0.53 \ \mathring{A} \approx 3.33 \ \mathring{A}$।

(C) हाइड्रोजन-समान परमाणु की $n$ वीं कक्षा की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 Z^2}{n^2} \, \text{eV}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम उत्तेजन विभव वह ऊर्जा है जो एक इलेक्ट्रॉन को मूल अवस्था $(n=1)$ से प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ में उत्तेजित करने के लिए आवश्यक होती है।
ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_2 - E_1 = 13.6 Z^2 \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = 13.6 Z^2 \left( \frac{3}{4} \right)$ है।
दिया गया है कि प्रथम उत्तेजन विभव $V$ है, इसलिए $V = \frac{3}{4} E_i$, जहाँ $E_i = 13.6 Z^2$ आयनन ऊर्जा है।
अतः, आयनन ऊर्जा $E_i = \frac{4}{3} V \, \text{eV}$ होगी।

(B) बोर के क्वांटमीकरण (quantization) की शर्त के अनुसार,कोणीय संवेग इस प्रकार दिया जाता है:
$mvr = \frac{nh}{2\pi}$
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{h}{mv} = \frac{2\pi r}{n}$ .......... $(i)$
इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$\lambda = \frac{h}{mv}$ .......... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lambda = \frac{2\pi r}{n}$
हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था (पहली कक्षा) के लिए,$n = 1$ और त्रिज्या $r = 0.53 \text{ } \mathring{A}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda = \frac{2 \times 3.14 \times 0.53}{1} \text{ } \mathring{A} = 3.33 \text{ } \mathring{A}$

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की आयनन ऊर्जा $(E_{ion})$ का सूत्र है:
$E_{ion} = 13.6 \, Z^2 \, \text{eV}$
जहाँ $Z$ परमाणु क्रमांक है।
हाइड्रोजन $(H)$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z_H = 1$ है।
अतः,$(E_{ion})_H = 13.6 \times (1)^2 = 13.6 \, \text{eV}$.
हाइड्रोजन जैसे लिथियम आयन $(Li^{2+})$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z_{Li} = 3$ है।
अतः,$(E_{ion})_{Li} = 13.6 \times (3)^2 = 13.6 \times 9 = 122.4 \, \text{eV}$.
हाइड्रोजन और लिथियम की आयनन ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{(E_{ion})_H}{(E_{ion})_{Li}} = \frac{13.6 \times (1)^2}{13.6 \times (3)^2} = \frac{1}{9}$.
अतः,अनुपात $1 : 9$ है।

(C) बोर के क्वांटाइजेशन प्रतिबंध के अनुसार, कक्षा की परिधि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होती है: $2 \pi r_n = n \lambda$.
दिया गया है: $\lambda = 10^{-9} \, m$.
हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 a_0$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $a_0 \approx 0.529 \times 10^{-10} \, m$.
प्रतिबंध में $r_n$ का मान रखने पर: $2 \pi (n^2 a_0) = n \lambda$.
$n$ के लिए सरल करने पर: $n = \frac{\lambda}{2 \pi a_0}$.
मान रखने पर: $n = \frac{10^{-9}}{2 \times 3.14159 \times 0.529 \times 10^{-10}} \approx \frac{10^{-9}}{3.32 \times 10^{-10}} \approx 3.01$.
अतः, मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ है।

(B) एकल आयनित हीलियम परमाणु $(He^+)$ से इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा का सूत्र $E = 13.6 \times Z^2 / n^2$ eV है।
$He^+$ के लिए,$Z = 2$ और $n = 1$ है,इसलिए $E_1 = 13.6 \times 2^2 / 1^2 = 54.4$ eV.
मान लीजिए कि एक तटस्थ हीलियम परमाणु से पहले इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा $x$ eV है।
प्रश्न के अनुसार,$54.4 = 2.2 \times x$.
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = 54.4 / 2.2 \approx 24.73$ eV प्राप्त होता है।
हीलियम परमाणु को पूरी तरह से आयनित करने के लिए आवश्यक कुल ऊर्जा,पहले इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा और परिणामी $He^+$ आयन से दूसरे इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा का योग है।
कुल ऊर्जा $= x + 54.4 = 24.73 + 54.4 = 79.13$ eV.
निकटतम पूर्णांक में,हमें $79$ eV प्राप्त होता है।

(D) कक्षा की त्रिज्या $r_n = \frac{\epsilon_0 n^2 h^2}{\pi m Z e^2}$ द्वारा दी जाती है। चूँकि $r \propto \frac{1}{m}$,म्यूओनिक कक्षा की त्रिज्या $r_{\mu} = \frac{r_e}{200}$ होगी। अतः,$(A)$ सही है।
$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = \frac{Z e^2}{2 \epsilon_0 n h}$ होता है। चूँकि वेग $v$ द्रव्यमान $m$ से स्वतंत्र है,म्यूऑन की गति इलेक्ट्रॉन के समान ही रहती है। अतः,$(B)$ गलत है।
आयनीकरण ऊर्जा $E_n = \frac{m Z^2 e^4}{8 \epsilon_0^2 n^2 h^2}$ होती है। चूँकि $E \propto m$,म्यूओनिक परमाणु की आयनीकरण ऊर्जा $E_{\mu} = 200 E_H$ होगी। अतः,$(C)$ सही है।
संवेग $p = m v$ होता है। चूँकि दोनों के लिए वेग $v$ समान है और $m_{\mu} = 200 m_e$ है,म्यूऑन का संवेग इलेक्ट्रॉन की तुलना में $200$ गुना अधिक होगा। अतः,$(D)$ सही है।
इसलिए,कथन $(A), (C)$ और $(D)$ सही हैं।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है।
हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए,कक्षीय त्रिज्या $r_n$ का मान $n^2$ के समानुपाती होता है और वेग $v_n$ का मान $1/n$ के समानुपाती होता है।
कोणीय संवेग का क्वांटमीकरण सूत्र $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ है,जिसका अर्थ है $2\pi r = n\lambda$।
अतः,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ कक्षा की परिधि के समानुपाती होती है,$\lambda = \frac{2\pi r_n}{n}$।
चूंकि $r_n \propto n^2$,इसलिए $\lambda \propto \frac{n^2}{n} = n$।
मूल अवस्था के लिए,$n_G = 1$,इसलिए $\lambda_G \propto 1$।
दूसरी उत्तेजित अवस्था के लिए,$n_B = 3$,इसलिए $\lambda_B \propto 3$।
अतः,$\frac{\lambda_B}{\lambda_G} = \frac{3}{1}$,जिससे $\lambda_B = 3\lambda_G$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,धारा $I$,आवेश $e$ को समय अवधि $T$ से विभाजित करने पर प्राप्त होती है,इसलिए $I = \frac{e}{T}$।
समय अवधि $T = \frac{2\pi r}{v}$ है,जहाँ $v$ कक्षीय वेग है।
अतः,$I = \frac{ev}{2\pi r}$।
इस मान को चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में रखने पर: $B = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$।
बोर के सिद्धांत के अनुसार,त्रिज्या $r \propto n^2$ और वेग $v \propto n^{-1}$ है।
इन समानुपातों को रखने पर: $B \propto \frac{n^{-1}}{(n^2)^2} = \frac{n^{-1}}{n^4} = n^{-5}$।
इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र $n^{-5}$ के समानुपाती है।

(C) वृत्ताकार कक्षा में घूम रहे इलेक्ट्रॉन का अभिकेंद्र त्वरण $a = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
बोर के अभिधारणा के अनुसार,कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ है। पहली कक्षा $(n=1)$ के लिए,$v = \frac{h}{2\pi mr}$ होता है।
इस मान को त्वरण के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$a = \frac{(\frac{h}{2\pi mr})^2}{r} = \frac{h^2}{4\pi^2 m^2 r^2} \cdot \frac{1}{r} = \frac{h^2}{4\pi^2 m^2 r^3}$.

(C) चुंबकीय बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$q v B = \frac{m v^2}{r} \implies q B = \frac{m v}{r} \implies r = \frac{m v}{q B}$ ..... $(i)$
कोणीय संवेग के लिए बोहर की क्वांटमीकरण शर्त के अनुसार:
$m v r = \frac{n h}{2 \pi}$ ..... $(ii)$
समीकरण $(i)$ से $r$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$m v \left( \frac{m v}{q B} \right) = \frac{n h}{2 \pi}$
$m^2 v^2 = \frac{n h q B}{2 \pi}$
गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{m^2 v^2}{2 m}$ है।
$m^2 v^2$ का मान रखने पर:
$E = \frac{1}{2 m} \left( \frac{n h q B}{2 \pi} \right) = n \left( \frac{h q B}{4 \pi m} \right)$.

(B) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
बोर के सिद्धांत के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v$,मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $v \propto \frac{1}{n}$।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{m(k/n)} = \frac{h}{mk} \cdot n$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\lambda \propto n$।
मूल अवस्था $(n = 1)$ के लिए,मान लीजिए तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ है।
$n = 4$ स्तर के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda_4$ का मान $\lambda_4 = 4 \lambda_1$ होगा।
अतः,$n = 4$ स्तर में डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य,मूल अवस्था की तरंगदैर्ध्य का चार गुना होती है।

(C) अभिकेंद्र बल स्थिरवैद्युत बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $\frac{mv^2}{r} = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r^2} + \frac{\beta}{r^3} \right)$.
बोहर के क्वांटाइजेशन प्रतिबंध के अनुसार,$mvr = \frac{nh}{2\pi}$,इसलिए $v = \frac{nh}{2\pi mr}$.
$v$ का मान बल समीकरण में रखने पर: $\frac{m}{r} \left( \frac{nh}{2\pi mr} \right)^2 = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{r + \beta}{r^3} \right)$.
सरलीकरण करने पर: $\frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m r^3} = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{r + \beta}{r^3} \right)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{n^2 h^2 \varepsilon_0}{\pi m e^2} = r + \beta$.
दिया गया है कि $a_0 = \frac{\varepsilon_0 h^2}{m \pi e^2}$,अतः हमें $a_0 n^2 = r + \beta$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$r_n = a_0 n^2 - \beta$.

(B) कक्षा $n_2$ से $n_1$ में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
यहाँ,$n_1 = n$ और $n_2 = n + 1$ है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) = R \left( \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} \right)$.
अंश को सरल करने पर: $(n^2 + 2n + 1 - n^2) = 2n + 1$.
अतः,$\frac{1}{\lambda} = R \frac{2n + 1}{n^2(n+1)^2}$.
बड़े $n$ के लिए,$2n + 1 \approx 2n$ और $(n+1)^2 \approx n^2$ होता है।
इस प्रकार,$\frac{1}{\lambda} \approx R \frac{2n}{n^2 \cdot n^2} = R \frac{2n}{n^4} = \frac{2R}{n^3}$.
इसलिए,$\lambda \propto n^3$.

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_n = \frac{2 \pi K Z e^2}{n h}$
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि वेग मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है:
$v_n \propto \frac{1}{n}$
यह संबंध एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है जहाँ जैसे-जैसे मुख्य क्वांटम संख्या $n$ बढ़ती है,वेग घटता जाता है।
दिए गए चित्र में,आलेख $B$ एक वक्र को दर्शाता है जहाँ $n$ के बढ़ने पर $v$ का मान घटता है,जो व्युत्क्रम संबंध $v \propto 1/n$ से मेल खाता है। इसलिए,आलेख $B$ सही निरूपण है।

(C) अवशोषित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12500 \ \text{eV-\AA}}{980 \ \text{\AA}} \approx 12.755 \ \text{eV}$ है।
मूल अवस्था $(n=1)$ में हाइड्रोजन परमाणु की ऊर्जा $E_1 = -13.6 \ \text{eV}$ है।
मान लीजिए कि परमाणु $n$ ऊर्जा स्तर में उत्तेजित होता है। प्रदान की गई ऊर्जा $E = E_n - E_1$ है।
$12.755 = -\frac{13.6}{n^2} - (-13.6) = 13.6 \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)$.
$1 - \frac{1}{n^2} = \frac{12.755}{13.6} \approx 0.9378$.
$\frac{1}{n^2} = 1 - 0.9378 = 0.0622$.
$n^2 = \frac{1}{0.0622} \approx 16$.
अतः, $n = 4$.
$n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 a_0$ द्वारा दी जाती है।
$n = 4$ के लिए, $r_4 = 4^2 a_0 = 16 \ a_0$.

(A) दिया गया स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}kr^2$ है।
बल $F = -\frac{dU}{dr} = -kr$ है।
वृत्ताकार गति के लिए,अभिकेंद्री बल विभव क्षेत्र द्वारा प्रदान किया जाता है:
$\frac{mv^2}{r} = kr \implies mv^2 = kr^2$ .... $(i)$
बोहर की क्वांटमीकरण शर्त के अनुसार:
$mvr = \frac{nh}{2\pi} \implies v = \frac{nh}{2\pi mr}$ .... $(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$m(\frac{nh}{2\pi mr})^2 = kr^2$
$\frac{n^2h^2}{4\pi^2mr^2} = kr^2 \implies r^4 = \frac{n^2h^2}{4\pi^2mk} \implies r^2 \propto n \implies r_n \propto \sqrt{n}$.
कुल ऊर्जा $E = K + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kr^2$.
$(i)$ से,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kr^2$,इसलिए $E = \frac{1}{2}kr^2 + \frac{1}{2}kr^2 = kr^2$.
चूंकि $r^2 \propto n$,इसलिए $E_n \propto n$ प्राप्त होता है।

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $E = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
हाइड्रोजन $(Z=1)$ के लिए $n=2$ से $n=1$ संक्रमण के लिए ऊर्जा $E = 13.6 \times 1^2 \times \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \times \frac{3}{4} \text{ eV}$ है।
$He^+$ आयन $(Z=2)$ के लिए,$n_i$ से $n_f$ संक्रमण के लिए आवश्यक ऊर्जा $E = 13.6 \times 2^2 \times \left( \frac{1}{n_i^2} - \frac{1}{n_f^2} \right) = 13.6 \times 4 \times \left( \frac{1}{n_i^2} - \frac{1}{n_f^2} \right) \text{ eV}$ है।
हम ऊर्जाओं की तुलना करते हैं: $13.6 \times \frac{3}{4} = 13.6 \times 4 \times \left( \frac{1}{n_i^2} - \frac{1}{n_f^2} \right)$.
यह समीकरण $\frac{3}{16} = \frac{1}{n_i^2} - \frac{1}{n_f^2}$ में सरल हो जाता है।
यदि आयन $n=2$ अवस्था में है $(n_i=2)$,तो $\frac{1}{4} - \frac{1}{n_f^2} = \frac{3}{16}$.
$\frac{1}{n_f^2} = \frac{1}{4} - \frac{3}{16} = \frac{4-3}{16} = \frac{1}{16}$.
अतः,$n_f^2 = 16$,जिसका अर्थ है कि $n_f = 4$.
इसलिए,संक्रमण $n = 2 \to n = 4$ है।

(A) जब एक इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था $n$ से मूल अवस्था $(n=1)$ में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या का सूत्र: $N = \frac{n(n-1)}{2}$ है।
यहाँ $N = 6$ दिया गया है,इसलिए $\frac{n(n-1)}{2} = 6$,जिसका अर्थ है $n^2 - n - 12 = 0$। इस द्विघात समीकरण को हल करने पर,हमें $(n-4)(n+3) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $n > 0$,इलेक्ट्रॉन $n = 4$ स्तर में उत्तेजित होता है।
हाइड्रोजन जैसे आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z$ होने पर $n=1$ से $n=4$ में उत्तेजित करने के लिए अवशोषित फोटॉन की ऊर्जा: $\Delta E = 13.6 \cdot Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) eV$ है।
$Li^{++}$ के लिए,$Z = 3$ है। अतः,$\Delta E = 13.6 \times 3^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 13.6 \times 9 \times \frac{15}{16} \approx 114.75 \, eV$।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ द्वारा प्राप्त होती है। $hc \approx 1240 \, eV \cdot nm$ का उपयोग करने पर,$\lambda = \frac{1240}{114.75} \approx 10.8 \, nm$ प्राप्त होता है।

(C) फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{1240}{\lambda} \, eV$ द्वारा दी जाती है।
पहले संक्रमण के लिए, $\lambda_1 = 108.5 \, nm$, इसलिए $E_1 = \frac{1240}{108.5} \approx 11.43 \, eV$.
दूसरे संक्रमण के लिए, $\lambda_2 = 30.4 \, nm$, इसलिए $E_2 = \frac{1240}{30.4} \approx 40.79 \, eV$.
कुल मुक्त ऊर्जा $E_{total} = E_1 + E_2 = 11.43 + 40.79 = 52.22 \, eV$ है।
हाइड्रोजन जैसे आयन की $n$-वीं अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \, Z^2 \frac{1}{n^2}$ होती है।
$He^+$ के लिए, $Z = 2$, इसलिए $E_n = -13.6 \times 4 \times \frac{1}{n^2} = -54.4 \frac{1}{n^2} \, eV$.
संक्रमण $n$ अवस्था से ग्राउंड स्टेट $(n=1)$ तक है, इसलिए $E_{total} = E_n - E_1 = -54.4 \left(\frac{1}{n^2} - 1\right) = 54.4 \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)$.
$54.4 \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = 52.22$ रखने पर, हमें $1 - \frac{1}{n^2} = \frac{52.22}{54.4} \approx 0.96$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{n^2} = 1 - 0.96 = 0.04$.
$n^2 = \frac{1}{0.04} = 25$, इसलिए $n = 5$.

(B) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए,बोहर के अभिधारणा के अनुसार स्थिर कक्षा के लिए शर्त $2 \pi r_n = n \lambda_n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है,$r_n$ $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या है और $\lambda_n$ डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य है।
मूल अवस्था $n=1$ के अनुरूप है,पहली उत्तेजित अवस्था $n=2$ के और दूसरी उत्तेजित अवस्था $n=3$ के अनुरूप है।
यहाँ इलेक्ट्रॉन दूसरी उत्तेजित अवस्था में है,इसलिए $n=3$ और त्रिज्या $r_3 = 4.65 \, \mathring{A}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$3 \lambda_3 = 2 \pi r_3$
$\lambda_3 = \frac{2 \pi (4.65 \, \mathring{A})}{3}$
$\lambda_3 = 2 \times 3.14159 \times 1.55 \, \mathring{A}$
$\lambda_3 \approx 9.738 \, \mathring{A}$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $\lambda_3 = 9.7 \, \mathring{A}$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $n^{th}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,हम लिख सकते हैं कि $\frac{r_n}{r_1} = n^2$।
दोनों पक्षों का लघुगणक (logarithm) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\log \left( \frac{r_n}{r_1} \right) = \log (n^2)$
लघुगणक के गुणधर्म $\log (a^b) = b \log a$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है:
$\log \left( \frac{r_n}{r_1} \right) = 2 \log n$।
यह समीकरण $y = mx$ के रूप में है,जहाँ $y = \log \left( \frac{r_n}{r_1} \right)$,$x = \log n$,और ढाल (slope) $m = 2$ है।
चूँकि यह एक रैखिक समीकरण है जो मूल बिंदु से होकर गुजरता है और इसकी ढाल धनात्मक है,इसलिए ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होगी।

(C) वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
कक्षा में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न धारा $I = \frac{e}{T} = ef$ है,जहाँ $f$ परिक्रमण की आवृत्ति है।
बोहर के सिद्धांत के अनुसार,आवृत्ति $f \propto \frac{1}{n^3}$ और त्रिज्या $r \propto n^2$ होती है।
इन मानों को $B$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$B \propto \frac{f}{r} \propto \frac{1/n^3}{n^2} = \frac{1}{n^5}$।
प्रथम कक्षा $(n_1 = 1)$ के लिए,$B_1 = B$ है।
दूसरी कक्षा $(n_2 = 2)$ के लिए,$B_2 = B_1 \times (n_1/n_2)^5 = B \times (1/2)^5 = B/32$।

(C) बोर के अभिधारणा के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $(L)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$L = \frac{nh}{2\pi}$
यहाँ इलेक्ट्रॉन $5^{th}$ कक्षा में है,इसलिए $n = 5$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$L = \frac{5h}{2\pi}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$L = 2.5 \frac{h}{\pi}$
अतः,$5^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $2.5 \frac{h}{\pi}$ है।

(A) घूमते हुए इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय आघूर्ण $(\mu)$ संबंध $\mu = \frac{e}{2m} L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ कक्षीय कोणीय संवेग है।
बोर की क्वांटमीकरण शर्त के अनुसार,कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ होता है।
इस मान को चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\mu = \frac{e}{2m} \left( \frac{nh}{2\pi} \right)$
$\mu = n \left( \frac{eh}{4\pi m} \right)$
चूंकि $e$,$h$,और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए पद $\frac{eh}{4\pi m}$ भी एक स्थिरांक है (जिसे बोर मैग्नेटोन $\mu_B$ कहा जाता है)।
अतः,$\mu \propto n$ होता है।

(B) बोहर मॉडल में,नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच स्थिर-वैद्युत बल $F$ कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Ze^2}{r^2}$।
बोहर के सिद्धांत के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ होती है।
इस मान को बल के समीकरण में रखने पर,हमें $F \propto \frac{1}{(n^2)^2} = \frac{1}{n^4}$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,अभिकेंद्र बल $F = \frac{mv^2}{r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v \propto \frac{1}{n}$ और $r \propto n^2$ है,हमें $F \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$ प्राप्त होता है।

(C) बोर की कक्षाओं के लिए डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,कक्षा की परिधि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होती है:
$2 \pi r = n \lambda$
जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है,$r$ कक्षा की त्रिज्या है और $\lambda$ डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है: $r = 5.3 \times 10^{-11} \ m$ और $\lambda = 10^{-10} \ m$।
मान रखने पर:
$n = \frac{2 \pi r}{\lambda} = \frac{2 \times 3.14 \times 5.3 \times 10^{-11}}{10^{-10}}$
$n = \frac{33.284 \times 10^{-11}}{10^{-10}} = 3.3284 \approx 3$
अतः,मुख्य क्वांटम संख्या $3$ है।

(D) इलेक्ट्रॉन और नाभिक के बीच स्थिर वैद्युत बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^2}{r^2}$।
चूंकि $n$-वीं बोहर कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ होती है,इसलिए पहली कक्षा $(n=1)$ के लिए $r_1 \propto 1^2 = 1$ और दूसरी कक्षा $(n=2)$ के लिए $r_2 \propto 2^2 = 4$ होगा।
अतः,$r_2 = 4r_1$।
दूसरी कक्षा में बल $F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^2}{r_2^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^2}{(4r_1)^2}$ होगा।
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^2}{r_1^2}$ का मान रखने पर,हमें $F_2 = \frac{F}{16}$ प्राप्त होता है।

(D) केपलर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,जो केंद्रीय बल के अंतर्गत वृत्ताकार कक्षा में घूमने वाले इलेक्ट्रॉनों पर भी लागू होता है,आवर्तकाल $T$ का वर्ग कक्षा की त्रिज्या $R$ के घन के समानुपाती होता है: $T^{2} \propto R^{3}$।
दी गई त्रिज्याएँ $R_{1} = R$ और $R_{2} = 4R$ हैं।
आवर्तकाल का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \sqrt{\frac{R_{1}^{3}}{R_{2}^{3}}}$
मान रखने पर:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \sqrt{\frac{R^{3}}{(4R)^{3}}} = \sqrt{\frac{R^{3}}{64R^{3}}} = \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8}$।
अतः,लिए गए समय का अनुपात $1:8$ है।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र है:
$r_n = \frac{n^2}{Z} r_0$
जहाँ $r_0 = 0.51 \times 10^{-10} \text{ m}$ हाइड्रोजन परमाणु की पहली कक्षा की त्रिज्या है।
दिया गया है कि सबसे छोटी कक्षा $(n=1)$ की त्रिज्या $r_1 = \frac{0.51 \times 10^{-10}}{4} \text{ m}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{0.51 \times 10^{-10}}{4} = \frac{1^2}{Z} \times 0.51 \times 10^{-10}$
$\frac{1}{4} = \frac{1}{Z}$
$Z = 4$
परमाणु क्रमांक $Z=4$ बेरिलियम $(Be)$ के लिए होता है। चूंकि यह हाइड्रोजन जैसा आयन है,इसलिए यह $Be^{3+}$ होगा।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रतिक्षिप्त हाइड्रोजन परमाणु का संवेग उत्सर्जित फोटॉन के संवेग के बराबर होता है।
फोटॉन का संवेग $p = \frac{E}{c} = \frac{h}{\lambda} = hR \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n_i = 4$ और $n_f = 1$ है। रिडबर्ग नियतांक $R \approx 1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$ और प्लांक नियतांक $h \approx 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ का उपयोग करने पर:
$p = hR \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{4^2} \right) = (6.626 \times 10^{-34}) \times (1.097 \times 10^7) \times \left( 1 - \frac{1}{16} \right)$
$p \approx 7.27 \times 10^{-27} \times \frac{15}{16} \approx 6.8 \times 10^{-27} \, kg \cdot m/s$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $6.5 \times 10^{-27} \, kg \cdot m/s$ है।

(C) बोर के क्वांटाइजेशन प्रतिबंध के अनुसार,$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ होता है।
डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है,जिसका अर्थ है $mv = \frac{h}{\lambda}$।
इस मान को बोर के प्रतिबंध में रखने पर: $(\frac{h}{\lambda})r = \frac{nh}{2\pi}$।
इसे सरल करने पर,$r = \frac{n\lambda}{2\pi}$ प्राप्त होता है।
तीसरी कक्षा के लिए $n = 3$ रखने पर,$r_3 = \frac{3\lambda}{2\pi}$ प्राप्त होता है।

(A) हाइड्रोजन-समान प्रजातियों की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = 13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु $(Z=1)$ के लिए,मूल अवस्था $(n=1)$ में $KE = 13.6 \times \frac{1^2}{1^2} = 13.6 \text{ eV}$ है।
$Li^{2+}$ $(Z=3)$ के लिए,$n=3$ अवस्था में $KE = 13.6 \times \frac{3^2}{3^2} = 13.6 \text{ eV}$ है।
इस प्रकार,हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन की $KE$ और $Li^{2+}$ की $n=3$ अवस्था में इलेक्ट्रॉन की $KE$ समान है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,आपतित फोटॉन की ऊर्जा का उपयोग हाइड्रोजन परमाणु को आयनित करने के लिए किया जाता है और शेष ऊर्जा उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(E)$ = $15.0\, eV$.
ग्राउंड स्टेट में हाइड्रोजन परमाणु की आयनीकरण ऊर्जा $(E_i)$ = $13.6\, eV$.
उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K)$ = $E - E_i$.
$K = 15.0\, eV - 13.6\, eV = 1.4\, eV$.

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \, eV$ है।
$He^+$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
पहली कक्षा के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = -13.6 \times \frac{2^2}{1^2} \, eV$
$E = -13.6 \times 4 \, eV$
$E = -54.4 \, eV$.

(C) बोर के अभिधारणा के अनुसार,कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
मूल अवस्था (ground state) के लिए,$n = 1$ होता है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए,$n = 2$ होता है।
द्वितीय उत्तेजित अवस्था के लिए,$n = 3$ होता है।
अतः,$2^{nd}$ उत्तेजित अवस्था के लिए,कोणीय संवेग $L = \frac{3h}{2\pi}$ होगा।

(B) चिरसम्मत भौतिकी (classical physics) के अनुसार,त्वरित गति करने वाले किसी भी आवेशित कण को विद्युत चुम्बकीय ऊर्जा का उत्सर्जन करना चाहिए। चूंकि नाभिक के चारों ओर कक्षा में घूमता हुआ इलेक्ट्रॉन अभिकेंद्र त्वरण का अनुभव करता है,इसलिए चिरसम्मत विद्युतगतिकी के अनुसार उसे लगातार ऊर्जा खोनी चाहिए और नाभिक में गिर जाना चाहिए।
इस अस्थिरता को हल करने के लिए,बोर ने यह अभिधारणा दी कि विशिष्ट 'स्थिर' कक्षाओं में इलेक्ट्रॉन ऊर्जा का उत्सर्जन नहीं करते हैं।
कथन और कारण दोनों वैज्ञानिक रूप से सही हैं। हालाँकि,कारण चिरसम्मत भौतिकी के विरोधाभास का वर्णन करता है,जबकि कथन उस विरोधाभास को दूर करने के लिए बोर की विशिष्ट क्वांटम अभिधारणा का वर्णन करता है। कारण यह नहीं बताता कि बोर की अभिधारणा क्यों सही है; यह केवल यह बताता है कि यह अभिधारणा क्यों आवश्यक थी। इसलिए,कारण कथन की सही व्याख्या नहीं है।

(C) बोहर त्रिज्या $r = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m e^2}$ द्वारा दी जाती है, जिसका अर्थ है $r \propto \frac{1}{m}$।
दिया गया है $m_{\mu} = 207 m_e$, इसलिए नई त्रिज्या $r_{\mu} = \frac{r_e}{207} = \frac{0.53 \times 10^{-10} \; m}{207} \approx 2.56 \times 10^{-13} \; m$।
मूल अवस्था ऊर्जा $E = -\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 n^2 h^2}$ द्वारा दी जाती है, जिसका अर्थ है $E \propto m$।
दिया गया है $m_{\mu} = 207 m_e$, इसलिए नई ऊर्जा $E_{\mu} = E_e \times 207 = -13.6 \; eV \times 207 = -2815.2 \; eV \approx -2.8 \; keV$।

(C) $n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन के परिक्रमण का आवर्तकाल $T \propto \frac{n^3}{Z^2}$ द्वारा दिया जाता है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$,इसलिए $T \propto n^3$ है।
मूल अवस्था $n_1 = 1$ के अनुरूप है,और प्रथम उत्तेजित अवस्था $n_2 = 2$ के अनुरूप है।
दिया गया है $T_1 = 1.6 \times 10^{-16} \; s$।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए,$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^3 = \left(\frac{2}{1}\right)^3 = 8$ है।
अतः,$T_2 = 8 \times T_1 = 8 \times 1.6 \times 10^{-16} = 12.8 \times 10^{-16} \; s$ है।
आवृत्ति $f_2$ आवर्तकाल का व्युत्क्रम है: $f_2 = \frac{1}{T_2} = \frac{1}{12.8 \times 10^{-16}} \approx 0.078125 \times 10^{16} \; s^{-1} = 7.8 \times 10^{14} \; s^{-1}$।

(D) हाइड्रोजन जैसे आयन की मूल अवस्था में आयनीकरण ऊर्जा $E = 13.6 Z^2 \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि आयनीकरण ऊर्जा $9$ रिडबर्ग है,और $1 \text{ Rydberg} = 13.6 \text{ eV}$,इसलिए $13.6 Z^2 = 9 \times 13.6$.
अतः,$Z^2 = 9$,जिसका अर्थ है $Z = 3$.
जब इलेक्ट्रॉन दूसरी उत्तेजित अवस्था $(n_2 = 3)$ से मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ में कूदता है,तो उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = R \times 3^2 \times \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \times 9 \times \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = R \times 9 \times \frac{8}{9} = 8R$.
चूंकि $R \approx 1.097 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$,इसलिए $\frac{1}{\lambda} = 8 \times 1.097 \times 10^7 \text{ m}^{-1} = 8.776 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$.
$\lambda = \frac{1}{8.776 \times 10^7} \text{ m} \approx 1.14 \times 10^{-8} \text{ m} = 11.4 \text{ nm}$.

(N/A) $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$ द्वारा दी जाती है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$q_1 = e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$ और $q_2 = -e = -1.6 \times 10^{-19} \; C$,जहाँ $r = 0.53 \times 10^{-10} \; m$ है।
$U = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (-1.6 \times 10^{-19})}{0.53 \times 10^{-10}} \; J = -43.58 \times 10^{-19} \; J$.
$eV$ में बदलने पर: $U = \frac{-43.58 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \; eV \approx -27.2 \; eV$.
$(b)$ गतिज ऊर्जा $K = -\frac{1}{2} U = -\frac{1}{2} (-27.2) = 13.6 \; eV$.
कुल ऊर्जा $E = K + U = 13.6 - 27.2 = -13.6 \; eV$.
इलेक्ट्रॉन को मुक्त करने के लिए आवश्यक कार्य वह ऊर्जा है जो कुल ऊर्जा को $0$ करने के लिए आवश्यक है,जो $13.6 \; eV$ है।
$(c)$ यदि स्थितिज ऊर्जा का शून्य $r_0 = 1.06 \; \mathring{A}$ पर हो,तो नई स्थितिज ऊर्जा $U' = U(r) - U(r_0)$ होगी।
$U(r_0) = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{1.06 \times 10^{-10}} \; J = 21.73 \times 10^{-19} \; J = 13.58 \; eV$.
नई $U' = -27.2 - 13.58 = -40.78 \; eV$.
नई $K$ का मान $13.6 \; eV$ ही रहेगा। नई कुल ऊर्जा $E' = K + U' = 13.6 - 40.78 = -27.18 \; eV$.
इलेक्ट्रॉन को मुक्त करने के लिए आवश्यक कार्य $27.18 \; eV$ है।

हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E = -13.6 \; eV = -13.6 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J = -2.176 \times 10^{-18} \; J \approx -2.2 \times 10^{-18} \; J$ है।
कुल ऊर्जा के सूत्र $E = -\frac{e^2}{8 \pi \varepsilon_0 r}$ का उपयोग करके,हम कक्षीय त्रिज्या $r$ के लिए हल कर सकते हैं:
$r = -\frac{e^2}{8 \pi \varepsilon_0 E} = -\frac{(9 \times 10^9 \; N \cdot m^2/C^2) \times (1.6 \times 10^{-19} \; C)^2}{2 \times (-2.176 \times 10^{-18} \; J)} \approx 5.3 \times 10^{-11} \; m$.
वेग $v$ के लिए,हम संबंध $v = \sqrt{\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 m r}}$ का उपयोग करते हैं:
$v = \sqrt{\frac{(9 \times 10^9) \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{(9.1 \times 10^{-31}) \times (5.3 \times 10^{-11})}} \approx 2.2 \times 10^6 \; m/s$.