Spectral Series of Hydrogen Atom Questions in Hindi

(C) हाइड्रोजन परमाणु की स्पेक्ट्रल रेखाओं को इलेक्ट्रॉन के ऊर्जा स्तर संक्रमण के आधार पर विभिन्न श्रेणियों में वर्गीकृत किया गया है।
लायमन श्रेणी के लिए,इलेक्ट्रॉन किसी भी उच्च ऊर्जा स्तर $(n_2 = 2, 3, 4, ...)$ से मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ में संक्रमण करता है।
इन संक्रमणों के लिए ऊर्जा का अंतर $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दिया जाता है।
ये संक्रमण उच्च ऊर्जा वाले फोटॉनों के उत्सर्जन का कारण बनते हैं,जो विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के पराबैंगनी $(UV)$ क्षेत्र के अनुरूप होते हैं।

(B) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में स्पेक्ट्रल रेखाओं की कई श्रेणियाँ होती हैं।
$1$. लाइमन श्रेणी मूल अवस्था $(n_f = 1)$ में संक्रमण के अनुरूप है और यह पराबैंगनी क्षेत्र में स्थित है।
$2$. बामर श्रेणी दूसरे ऊर्जा स्तर $(n_f = 2)$ में संक्रमण के अनुरूप है और यह दृश्य क्षेत्र में स्थित है।
$3$. पाश्चन,ब्रैकेट और फंड श्रेणियाँ उच्च ऊर्जा स्तरों ($n_f = 3, 4, 5$ क्रमशः) में संक्रमण के अनुरूप हैं और ये अवरक्त (इन्फ्रारेड) क्षेत्र में स्थित हैं।
अतः,सही उत्तर बामर श्रेणी है।

(C) संक्रमण $A$,$n = \infty$ से $n = 1$ तक होता है। यह लाइमन श्रेणी की श्रेणी सीमा को दर्शाता है।
संक्रमण $B$,$n = 5$ से $n = 2$ तक होता है। बामर श्रेणी की स्पेक्ट्रल रेखाएं $n_i > 2$ से $n_f = 2$ तक के संक्रमण द्वारा दी जाती हैं। पहली रेखा $n=3 \to 2$ है,दूसरी $n=4 \to 2$ है,और तीसरी $n=5 \to 2$ है। अतः,$B$ बामर श्रेणी की तीसरी स्पेक्ट्रल रेखा है।
संक्रमण $C$,$n = 5$ से $n = 3$ तक होता है। पाश्चन श्रेणी की स्पेक्ट्रल रेखाएं $n_i > 3$ से $n_f = 3$ तक के संक्रमण द्वारा दी जाती हैं। पहली रेखा $n=4 \to 3$ है,और दूसरी $n=5 \to 3$ है। अतः,$C$ पाश्चन श्रेणी की दूसरी स्पेक्ट्रल रेखा है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(B) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम असतत रेखाओं से बना होता है,न कि एक सतत स्पेक्ट्रम से।
$1$. लाइमन श्रेणी पराबैंगनी क्षेत्र में स्थित है।
$2$. बामर श्रेणी दृश्य क्षेत्र में स्थित है।
$3$. पाश्चन श्रेणी अवरक्त क्षेत्र में स्थित है।
$4$. स्पेक्ट्रल श्रेणी का सूत्र बोहर मॉडल से प्राप्त किया जाता है,न कि रदरफोर्ड मॉडल से।
अतः,सही कथन यह है कि पाश्चन श्रेणी अवरक्त क्षेत्र में एक रेखीय स्पेक्ट्रम है।

(C) स्पेक्ट्रल रेखाओं की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
तरंगदैर्ध्य की ऊपरी सीमा के लिए,ऊर्जा का अंतर न्यूनतम होना चाहिए,जो $n_2 = n_1 + 1$ से $n_1$ में संक्रमण के अनुरूप है।
मान रखने पर: $\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{(n_1+1)^2} = \frac{1}{R \lambda}$.
यहाँ $\lambda = 18752 \mathring{A} = 18752 \times 10^{-10} \ m$ और $R = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ दिया गया है।
$\frac{1}{R \lambda} = \frac{1}{1.097 \times 10^7 \times 18752 \times 10^{-10}} \approx 0.0486$.
हम जानते हैं कि $\frac{7}{144} \approx 0.0486$. इसे $\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{(n_1+1)^2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n_1 = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} = \frac{1}{9} - \frac{1}{16} = \frac{7}{144}$.
चूँकि $n_1 = 3$ है,इसलिए यह पाशन श्रेणी है।

(C) बामर श्रेणी में स्पेक्ट्रमी रेखा की तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right]$
बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n = 3$:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left[ \frac{5}{36} \right]$
दिया गया है $\lambda_1 = 6561 \; \mathring{A}$,इसलिए $\frac{1}{6561} = \frac{5R}{36} \implies R = \frac{36}{5 \times 6561}$.
बामर श्रेणी की दूसरी रेखा के लिए,$n = 4$:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = R \left[ \frac{3}{16} \right]$
$R$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{\lambda_2} = \left( \frac{36}{5 \times 6561} \right) \times \frac{3}{16} = \frac{108}{80 \times 6561} = \frac{27}{20 \times 6561}$
$\lambda_2 = \frac{20 \times 6561}{27} = 20 \times 243 = 4860 \; \mathring{A}$.

(D) हाइड्रोजन परमाणु की स्पेक्ट्रल श्रेणियों को इलेक्ट्रॉन के ऊर्जा स्तर संक्रमण के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है।
- $Lyman$ श्रेणी मूल अवस्था $(n_f = 1)$ में संक्रमण के अनुरूप है,जिसमें उच्च ऊर्जा वाले फोटॉन पराबैंगनी $(UV)$ क्षेत्र में आते हैं।
- $Balmer$ श्रेणी $n_f = 2$ में संक्रमण के अनुरूप है,जो दृश्य प्रकाश क्षेत्र में स्थित है।
- $Paschen$,$Brackett$ और $Pfund$ श्रेणियाँ क्रमशः $n_f = 3, 4$ और $5$ में संक्रमण के अनुरूप हैं,जो अवरक्त $(IR)$ क्षेत्र में स्थित हैं।
अतः,पराबैंगनी क्षेत्र में स्थित सही श्रेणी $Lyman$ श्रेणी है।

(A) आवृत्ति $\nu$ को $\nu = \frac{c}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है। लंबी तरंगदैर्ध्य सीमा एक श्रेणी के लिए न्यूनतम ऊर्जा संक्रमण के अनुरूप होती है।
लाइमन श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ तक होता है:
$\nu_L = Rc \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = Rc \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3Rc}{4}$
बामर श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_2 = 3$ से $n_1 = 2$ तक होता है:
$\nu_B = Rc \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = Rc \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = Rc \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5Rc}{36}$
आवृत्तियों का अनुपात है:
$\frac{\nu_L}{\nu_B} = \frac{3Rc/4}{5Rc/36} = \frac{3}{4} \times \frac{36}{5} = \frac{3 \times 9}{5} = \frac{27}{5}$
अतः,अनुपात $27:5$ है।

(C) तरंग संख्या $\bar{\nu}$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
बामर श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_1 = 2$ ऊर्जा स्तर पर होता है।
बामर श्रेणी की पहली रेखा $n_2 = 3$ से $n_1 = 2$ तक के संक्रमण के अनुरूप है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right)$
$\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$
$\bar{\nu} = R \left( \frac{9 - 4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$.

(C) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
लायमन श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_1 = 1$ और $n_2 = 2$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_L} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$,जिसका अर्थ है $\lambda_L = \frac{4}{3R}$।
बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = 3$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$,जिसका अर्थ है $\lambda_B = \frac{36}{5R}$।
अनुपात $\frac{\lambda_L}{\lambda_B} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{27}$ है।

(A) बामर श्रेणी के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए, $n_1 = 2$ और $n_2 = 3$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$.
दिया गया है $\lambda = 6563 \; Å = 6563 \times 10^{-10} \; m$.
$R$ के लिए हल करने पर: $R = \frac{36}{5 \lambda} = \frac{36}{5 \times 6563 \times 10^{-10}} \approx 1.097 \times 10^7 \; m^{-1}$.
अतः, रिडबर्ग नियतांक लगभग $1.09 \times 10^7 \; m^{-1}$ है।

(D) हाइड्रोजन के संपूर्ण उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य $(\lambda_{\min})$ $n = \infty$ से $n = 1$ (लाइमन श्रेणी की सीमा) के संक्रमण के लिए प्राप्त होती है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$।
अतः, $\lambda_{\min} = \frac{1}{R}$।
पाँच श्रेणियों (लाइमन, बामर, पाश्चन, ब्रैकेट, फंड) में सबसे लंबी तरंगदैर्घ्य $(\lambda_{\max})$ $n = 6$ से $n = 5$ (फंड श्रेणी की अंतिम रेखा) के संक्रमण के लिए प्राप्त होती है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{5^2} - \frac{1}{6^2} \right) = R \left( \frac{1}{25} - \frac{1}{36} \right) = R \left( \frac{36 - 25}{900} \right) = \frac{11R}{900}$।
अतः, $\lambda_{\max} = \frac{900}{11R}$।
सबसे लंबी तरंगदैर्घ्य और सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य का अनुपात $\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{900/11R}{1/R} = \frac{900}{11}$ है।

(B) पाश्चन श्रेणी के लिए,रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है,जहाँ $n_1 = 3$ और $n_2 = 4, 5, 6, \dots, \infty$ है।
अधिकतम तरंगदैर्ध्य (न्यूनतम ऊर्जा संक्रमण) के लिए,हम $n_1 = 3$ और $n_2 = 4$ लेते हैं:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = \frac{7R}{144}$.
$\lambda_{\max} = \frac{144}{7R} = \frac{144}{7 \times 1.097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1}} \approx 1.89 \,\mu m$.
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (अधिकतम ऊर्जा संक्रमण) के लिए,हम $n_1 = 3$ और $n_2 = \infty$ लेते हैं:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{9}$.
$\lambda_{\min} = \frac{9}{R} = \frac{9}{1.097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1}} \approx 0.818 \,\mu m$.
अतः,चरम तरंगदैर्ध्य $0.818 \,\mu m$ और $1.89 \,\mu m$ हैं।

(B) जब एक इलेक्ट्रॉन मुख्य क्वांटम संख्या $n$ वाली उत्तेजित अवस्था से मूल अवस्था में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या का सूत्र इस प्रकार है:
$N = \frac{n(n - 1)}{2}$
यह दिया गया है कि इलेक्ट्रॉन मुख्य क्वांटम संख्या $n = 4$ वाली अवस्था में उत्तेजित होता है,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$N = \frac{4(4 - 1)}{2}$
$N = \frac{4 \times 3}{2}$
$N = \frac{12}{2} = 6$
अतः,उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में स्पेक्ट्रल रेखाओं की कुल संख्या $6$ होगी।

(A) स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = 3$:
$\frac{1}{\lambda_{Balmer}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5R}{36}$.
दिया गया है $\lambda_{Balmer} = 6563 \mathring{A}$,इसलिए $\frac{1}{6563} = \frac{5R}{36} \implies R = \frac{36}{5 \times 6563}$.
लाइमन श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_1 = 1$ और $n_2 = 2$:
$\frac{1}{\lambda_{Lyman}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
$R$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{\lambda_{Lyman}} = \frac{3}{4} \times \left( \frac{36}{5 \times 6563} \right) = \frac{27}{5 \times 6563} = \frac{27}{32815}$.
$\lambda_{Lyman} = \frac{32815}{27} \approx 1215.4 \mathring{A}$.

(A) हाइड्रोजन परमाणु में स्पेक्ट्रमी रेखाओं की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R_H \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है,जहाँ $R_H$ रिडबर्ग नियतांक है।
लाइमन श्रेणी के लिए,संक्रमण मूल अवस्था में होता है,इसलिए $n_1 = 1$ है। सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य (प्रथम रेखा) के लिए $n_2 = 2$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R_H \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = R_H \left( \frac{3}{4} \right)$.
अतः,$\lambda = \frac{4}{3 R_H}$.
चूँकि $R_H \approx 10967 \text{ cm}^{-1}$ दिया गया है,हमें $\lambda = \frac{4}{3 \times 10967} \text{ cm}$ प्राप्त होता है।

(B) जब एक इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था $n$ से मूल अवस्था में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रम रेखाओं की संख्या का सूत्र $N = \frac{n(n - 1)}{2}$ होता है।
यहाँ $n = 3$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$N = \frac{3(3 - 1)}{2} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$.
संभावित संक्रमण $n = 3 \to n = 2$,$n = 3 \to n = 1$,और $n = 2 \to n = 1$ हैं। अतः,कुल $3$ स्पेक्ट्रम रेखाएँ प्राप्त होती हैं।

(D) हाइड्रोजन परमाणु में, एक इलेक्ट्रॉन मुख्य क्वांटम संख्या $n = 1, 2, 3, \dots, \infty$ द्वारा परिभाषित ऊर्जा स्तरों की अनंत संख्या में से किसी में भी रह सकता है।
चूंकि संक्रमण किसी भी उच्च ऊर्जा स्तर $n_2$ से किसी भी निचले ऊर्जा स्तर $n_1$ में हो सकता है, और $n$ के मान की कोई ऊपरी सीमा नहीं है, इसलिए संभावित स्पेक्ट्रमी रेखाओं की संख्या अनंत है।

(B) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
$n_2 = 3$ से $n_1 = 2$ के संक्रमण के लिए,तरंगदैर्ध्य ${\lambda _0}$ है:
$\frac{1}{\lambda_0} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = \frac{5R}{36}$.
$n_2 = 4$ से $n_1 = 2$ के संक्रमण के लिए,मान लीजिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = \frac{3R}{16}$.
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda}{\lambda_0} = \frac{5R/36}{3R/16} = \frac{5}{36} \times \frac{16}{3} = \frac{20}{27}$.
अतः,$\lambda = \frac{20}{27}{\lambda _0}$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में स्पेक्ट्रमी रेखाओं की तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ होता है। हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम का दृश्य क्षेत्र बामर श्रेणी के अनुरूप होता है।
$4860 \mathring A$ (या $486 \ nm$) की तरंगदैर्ध्य बामर श्रेणी की $H_{\beta}$ रेखा के अनुरूप है,जो तब प्राप्त होती है जब एक इलेक्ट्रॉन $n_2 = 4$ से $n_1 = 2$ में संक्रमण करता है।
चूंकि यह तरंगदैर्ध्य दृश्य स्पेक्ट्रम के भीतर आती है,इसलिए यह बामर श्रेणी से संबंधित है।

(A) बामर श्रेणी के लिए, रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ है, जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$
प्रथम रेखा (अधिकतम तरंगदैर्ध्य) के लिए, $n = 3$ है।
दूसरी रेखा के लिए, $n = 4$ है।
सूत्र में $n = 4$ रखने पर:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{4 - 1}{16} \right) = \frac{3R}{16}$
अतः, $\lambda = \frac{16}{3R}$.

(B) लाइमन श्रेणी के लिए,तरंग संख्या $\bar{\nu}$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
जहाँ $n_1 = 1$ और $n_2 = 2, 3, 4, \dots$
लाइमन श्रेणी की पहली रेखा के लिए,हम $n_1 = 1$ और $n_2 = 2$ लेते हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right)$
$\bar{\nu} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right)$
$\bar{\nu} = R \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{3R}{4}$

(C) पाश्चन श्रेणी के लिए,रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ है,जहाँ $n = 4, 5, 6, \dots$ है।
पाश्चन श्रेणी के प्रथम सदस्य के लिए,$n = 4$:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7R}{144}$ है।
दिया गया है $\lambda_1 = 18,800 \,\mathring{A}$,इसलिए $R = \frac{144}{7 \times 18,800} \,\mathring{A}^{-1}$ है।
लघु तरंगदैर्ध्य सीमा (श्रेणी सीमा) के लिए,$n = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_{\infty}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{9}$ है।
अतः,$\lambda_{\infty} = \frac{9}{R} = 9 \times \left( \frac{7 \times 18,800}{144} \right) = \frac{63 \times 18,800}{144} = 8,225 \,\mathring{A}$ है।

(D) लाइमैन श्रेणी के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$,जहाँ $n_1 = 1$ और $n_2 = 2, 3, 4, \dots$
सबसे बड़ी तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\max})$ के लिए,हम $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ तक का संक्रमण लेते हैं:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{\max} = \frac{4}{3R}$.
सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\min})$ के लिए,हम $n_2 = \infty$ से $n_1 = 1$ तक का संक्रमण लेते हैं:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R [1 - 0] = R \implies \lambda_{\min} = \frac{1}{R}$.
सबसे बड़ी और सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{4/3R}{1/R} = \frac{4}{3}$.

(A) ब्रैकेट श्रेणी के लिए,तरंग दैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$,जहाँ $n_1 = 4$ और $n_2 = 5, 6, 7, \dots$
सबसे लंबी तरंग दैर्ध्य $(\lambda_{\max})$ $n_2 = 5$ से $n_1 = 4$ तक के संक्रमण के अनुरूप है:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left[ \frac{1}{4^2} - \frac{1}{5^2} \right] = R \left[ \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right] = R \left[ \frac{25 - 16}{400} \right] = \frac{9R}{400}$
$\lambda_{\max} = \frac{400}{9R}$
सबसे छोटी तरंग दैर्ध्य $(\lambda_{\min})$ $n_2 = \infty$ से $n_1 = 4$ तक के संक्रमण के अनुरूप है:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left[ \frac{1}{4^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R \left[ \frac{1}{16} - 0 \right] = \frac{R}{16}$
$\lambda_{\min} = \frac{16}{R}$
सबसे लंबी और सबसे छोटी तरंग दैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{400/9R}{16/R} = \frac{400}{9 \times 16} = \frac{25}{9}$

(A) स्पेक्ट्रल रेखाओं की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ है।
अधिकतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\max})$ के लिए,संक्रमण $n_2 = 3$ से $n_1 = 2$ होता है:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left[ \frac{5}{36} \right] \Rightarrow \lambda_{\max} = \frac{36}{5R}$.
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\min})$ के लिए,संक्रमण $n_2 = \infty$ से $n_1 = 2$ होता है:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - 0 \right] = \frac{R}{4} \Rightarrow \lambda_{\min} = \frac{4}{R}$.
न्यूनतम और अधिकतम तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_{\min}}{\lambda_{\max}} = \frac{4/R}{36/5R} = \frac{4}{1} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{9}$ है।

(B) एक उत्तेजित अवस्था $n$ से निचली अवस्था $n_f$ में संक्रमण के लिए संभावित स्पेक्ट्रमी रेखाओं की संख्या $N = \frac{(n - n_f)(n - n_f + 1)}{2}$ द्वारा दी जाती है। जैसे-जैसे हम लाइमैन श्रेणी $(n_f = 1)$ से फंड श्रेणी $(n_f = 5)$ की ओर बढ़ते हैं,एक निश्चित उच्च ऊर्जा स्तर $n$ के लिए उपलब्ध संक्रमणों की संख्या कम हो जाती है क्योंकि उच्च स्तर और निचले स्तर के बीच का अंतर छोटा होता जाता है। इसलिए,स्पेक्ट्रमी रेखाओं की संख्या घटती है।

(B) तरंग संख्या $\bar{\nu}$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का व्युत्क्रम होती है।
दिया गया है: $\lambda = 5896 \mathring{A} = 5896 \times 10^{-8} \, \text{सेमी}$.
सूत्र: $\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda}$.
गणना: $\bar{\nu} = \frac{1}{5896 \times 10^{-8}} \, \text{सेमी}^{-1}$.
$\bar{\nu} = \frac{10^8}{5896} \approx 16960.65 \, \text{सेमी}^{-1}$.
निकटतम पूर्णांक में, $\bar{\nu} = 16961 \, \text{सेमी}^{-1}$ प्राप्त होता है।

(D) स्पेक्ट्रल रेखाओं की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
Lyman श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_1 = 1$ और $n_2 = 2$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$. इसलिए,$\lambda = \frac{4}{3R}$.
Balmer श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = 3$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$. इसलिए,$\lambda_B = \frac{36}{5R}$.
$\lambda_B$ को $\lambda$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{\lambda_B}{\lambda} = \frac{36/5R}{4/3R} = \frac{36}{5R} \times \frac{3R}{4} = \frac{9 \times 3}{5} = \frac{27}{5}$.
अतः,$\lambda_B = \frac{27}{5} \lambda$.

(C) जब एक इलेक्ट्रॉन $n=2$ ऊर्जा स्तर (बामर श्रेणी) पर संक्रमण करता है,तो यदि $n > 2$ है,तो वह उत्तेजित अवस्था में होता है।
अंततः,इलेक्ट्रॉन को मूल अवस्था $(n=1)$ तक पहुँचने के लिए निचले ऊर्जा स्तरों में संक्रमण करना ही पड़ता है।
$n=1$ स्तर पर संक्रमण के परिणामस्वरूप लाइमन श्रेणी में फोटॉन का उत्सर्जन होता है।
इसलिए,बामर श्रेणी में एक फोटॉन उत्सर्जित करने के बाद,इलेक्ट्रॉन अंततः मूल अवस्था में संक्रमण करेगा और लाइमन श्रेणी में एक फोटॉन उत्सर्जित करेगा।

(A) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
प्रथम संक्रमण के लिए ($n_2 = 2$ से $n_1 = 1$):
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4}$.
अतः,$R = \frac{4}{3\lambda}$.
द्वितीय संक्रमण के लिए ($n_2 = 3$ से $n_1 = 1$):
$\frac{1}{\lambda'} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{9} \right] = \frac{8R}{9}$.
$R$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{\lambda'} = \left( \frac{4}{3\lambda} \right) \times \frac{8}{9} = \frac{32}{27\lambda}$.
इसलिए,$\lambda' = \frac{27}{32}\lambda$.

(A) तरंग संख्या $\bar{\nu}$ को रिडबर्ग सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\bar{\nu} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
यहाँ,इलेक्ट्रॉन अनंत $(n_2 = \infty)$ से पहली कक्षा $(n_1 = 1)$ में संक्रमण करता है।
इन मानों को रखने पर: $\bar{\nu} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R \times (1 - 0) = R$.
रिडबर्ग नियतांक $R$ का मान लगभग $1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ होता है।
इसे $cm^{-1}$ में बदलने पर: $R = 1.097 \times 10^7 \times 10^{-2} \ cm^{-1} = 1.097 \times 10^5 \ cm^{-1} = 109700 \ cm^{-1}$.

(A) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान रिडबर्ग सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
लायमैन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$। सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य के लिए,$n_2 = \infty$। अतः,$\frac{1}{\lambda_L} = R(1 - 0) = R$,जिससे $\lambda_L = \frac{1}{R} = 912 \ \mathring{A}$ प्राप्त होता है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$। सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य के लिए,$n_2 = \infty$। अतः,$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - 0 \right) = \frac{R}{4}$।
इससे $\lambda_B = \frac{4}{R} = 4 \times \lambda_L$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\lambda_B = 4 \times 912 \ \mathring{A} = 3648 \ \mathring{A}$।

(A) बामर श्रेणी उन संक्रमणों के अनुरूप है जहाँ इलेक्ट्रॉन $n=2$ कक्षा में कूदता है।
पहली रेखा $n=3$ से $n=2$ तक के संक्रमण के अनुरूप है।
दूसरी रेखा $n=4$ से $n=2$ तक के संक्रमण के अनुरूप है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करके की जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{3}{16} \right)$.
इसकी गणना करने पर $\lambda \approx 486.1 \ nm$ प्राप्त होता है।
यह तरंगदैर्ध्य दृश्य स्पेक्ट्रम के नीले-हरे क्षेत्र में आती है,जिसे सामान्यतः नीला माना जाता है।

(D) तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R_H \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ है।
प्रथम तरंगदैर्घ्य (प्रथम रेखा) के लिए,$n_2 = 3$:
$\frac{1}{\lambda_1} = 1.097 \times 10^7 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = 1.097 \times 10^7 \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = 1.097 \times 10^7 \left[ \frac{5}{36} \right]$.
$\lambda_1 = \frac{36}{5 \times 1.097 \times 10^7} \approx 6.563 \times 10^{-7} \ m = 6563 \ \mathring{A}$.
द्वितीय तरंगदैर्घ्य (द्वितीय रेखा) के लिए,$n_2 = 4$:
$\frac{1}{\lambda_2} = 1.097 \times 10^7 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = 1.097 \times 10^7 \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = 1.097 \times 10^7 \left[ \frac{3}{16} \right]$.
$\lambda_2 = \frac{16}{3 \times 1.097 \times 10^7} \approx 4.861 \times 10^{-7} \ m = 4861 \ \mathring{A}$.

(A) हाइड्रोजन परमाणु में संक्रमण के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
लायमैन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$। सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य सबसे कम ऊर्जा संक्रमण के अनुरूप होती है,जो $n_2 = 2$ से होती है। अतः,$\frac{1}{\lambda_{L, \max}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$,जिससे $\lambda_{L, \max} = \frac{4}{3R}$ प्राप्त होता है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$। सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य $n_2 = 3$ से संक्रमण के अनुरूप होती है। अतः,$\frac{1}{\lambda_{B, \max}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$,जिससे $\lambda_{B, \max} = \frac{36}{5R}$ प्राप्त होता है।
लायमैन श्रेणी की सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य और बामर श्रेणी की सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_{L, \max}}{\lambda_{B, \max}} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3R} \times \frac{5R}{36} = \frac{4 \times 5}{3 \times 36} = \frac{20}{108} = \frac{5}{27}$ है।

(B) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$
यहाँ,इलेक्ट्रॉन $n_2 = 4$ से $n_1 = 2$ में संक्रमण करता है।
मान रखने पर:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right]$
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right]$
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{4 - 1}{16} \right] = R \left[ \frac{3}{16} \right]$
अतः,$\lambda = \frac{16}{3R}$.

(B) इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के दौरान उत्सर्जित विकिरण की तरंग दैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$,जहाँ $R$ रिडबर्ग स्थिरांक है।
$n_2 = 4$ से $n_1 = 2$ के संक्रमण के लिए: $\frac{1}{\lambda_1} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = R \left[ \frac{4-1}{16} \right] = \frac{3R}{16}$. अतः,$\lambda_1 = \frac{16}{3R}$.
$n_2 = 3$ से $n_1 = 2$ के संक्रमण के लिए: $\frac{1}{\lambda_2} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left[ \frac{9-4}{36} \right] = \frac{5R}{36}$. अतः,$\lambda_2 = \frac{36}{5R}$.
तरंग दैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{16}{3R} \times \frac{5R}{36} = \frac{16 \times 5}{3 \times 36} = \frac{80}{108} = \frac{20}{27}$.
अतः,अनुपात $20 : 27$ है।

(D) जब एक सतत स्पेक्ट्रम किसी पदार्थ से होकर गुजरता है,तो कुछ तरंग दैर्ध्य अवशोषित हो जाती हैं,जिसके परिणामस्वरूप काली रेखाएं बनती हैं,जिसे अवशोषण रेखा स्पेक्ट्रम कहा जाता है।
यह अवशोषण इसलिए होता है क्योंकि प्रकाश के मार्ग में मौजूद विशिष्ट तत्वों की ठंडी वाष्प उनकी विशिष्ट तरंग दैर्ध्य के अनुरूप ऊर्जा को अवशोषित कर लेती है।
इसलिए,सतत स्पेक्ट्रम में अनुपस्थित रेखाएं प्रकाश स्रोत के चारों ओर कुछ तत्वों की ठंडी वाष्प की उपस्थिति को दर्शाती हैं।

(B) रेखीय स्पेक्ट्रम गैसीय अवस्था में परमाणुओं द्वारा उत्पन्न होते हैं। जब विद्युत चुम्बकीय विकिरण एक गैस से गुजरता है,तो परमाणु अपने असतत इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा स्तरों के बीच ऊर्जा संक्रमण के अनुरूप विशिष्ट तरंग दैर्ध्य को अवशोषित करते हैं। इसके परिणामस्वरूप निरंतर स्पेक्ट्रम में काली रेखाएं (अवशोषण स्पेक्ट्रम) दिखाई देती हैं या जब उत्तेजित परमाणु विकिरण उत्सर्जित करते हैं तो चमकीली रेखाएं (उत्सर्जन स्पेक्ट्रम) दिखाई देती हैं। चूंकि परमाणुओं में ऊर्जा स्तर अच्छी तरह से परिभाषित और असतत होते हैं,इसलिए प्राप्त स्पेक्ट्रम एक निरंतर बैंड के बजाय अलग-अलग रेखाओं से बना होता है।

(B) ऊर्जा स्तरों $n_i$ और $n_f$ के बीच संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
इन्फ्रारेड विकिरण पाश्चन श्रेणी $(n_f = 3)$,ब्रैकेट श्रेणी $(n_f = 4)$,या फंड श्रेणी $(n_f = 5)$ के अनुरूप होता है।
$n = 4$ से $n = 3$ का संक्रमण पाश्चन श्रेणी में आता है,जो इन्फ्रारेड क्षेत्र में स्थित है।
दिए गए विकल्पों में से,$5 \rightarrow 4$ का संक्रमण ब्रैकेट श्रेणी में आता है,जो भी इन्फ्रारेड क्षेत्र में स्थित है।
अतः,सही संक्रमण $5 \rightarrow 4$ है।

(D) लाइमन श्रेणी उन संक्रमणों के अनुरूप है जहाँ इलेक्ट्रॉन मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ में आता है।
लाइमन श्रेणी के लिए तरंगदैर्घ्य का परास लगभग $912 \, \mathring{A}$ से $1216 \, \mathring{A}$ तक होता है।
चूंकि यह पूरा परास दृश्य प्रकाश स्पेक्ट्रम ($4000 \, \mathring{A}$ से $7000 \, \mathring{A}$) से कम है,इसलिए यह पूरी तरह से पराबैंगनी क्षेत्र में स्थित है।

(B) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम की बामर श्रेणी विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के दृश्य क्षेत्र में स्थित होती है।
इस श्रेणी की तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$ है।
सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य ($n=3$ के लिए) $6563 \, \mathring{A}$ है और सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य ($n=\infty$ के लिए) $3646 \, \mathring{A}$ है।
ये दोनों मान दृश्य प्रकाश की सीमा के अंतर्गत आते हैं।

(A) जब एक इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था $n$ से मूल अवस्था $n=1$ में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या ज्ञात करने का सूत्र है: $N = \frac{n(n-1)}{2}$।
यहाँ दिया गया है कि इलेक्ट्रॉन $n = 4$ अवस्था में उत्तेजित होता है,इसलिए सूत्र में $n = 4$ रखने पर:
$N = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$।
अतः,कुल स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या $6$ होगी।

(D) जब कोई इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था $n$ से मूल अवस्था में वापस आता है,तो उत्सर्जित वर्णक्रमीय रेखाओं की संख्या ज्ञात करने का सूत्र $N = \frac{n(n-1)}{2}$ है।
यहाँ इलेक्ट्रॉन $5$ वीं कक्षा में है $(n = 5)$,इसलिए वर्णक्रमीय रेखाओं की संख्या $N = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ होगी।
संभावित संक्रमण इस प्रकार हैं:
$n=5$ से: $(5 \to 4), (5 \to 3), (5 \to 2), (5 \to 1)$
$n=4$ से: $(4 \to 3), (4 \to 2), (4 \to 1)$
$n=3$ से: $(3 \to 2), (3 \to 1)$
$n=2$ से: $(2 \to 1)$
रेखाओं की कुल संख्या = $4 + 3 + 2 + 1 = 10$।

(A) तरंग संख्या $\bar{\nu}$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
लाइमैन श्रेणी की श्रेणी सीमा के लिए,इलेक्ट्रॉन $n_2 = \infty$ से $n_1 = 1$ कक्षा में संक्रमण करता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R(1 - 0) = R$.
रिडबर्ग नियतांक $R$ का मान लगभग $1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$ होता है।
अतः,तरंग संख्या $1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$ प्राप्त होती है।

(C) स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र है: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$।
प्रथम लाइमन रेखा के लिए,$n_1 = 1$ और $n_2 = 2$ लेने पर,$\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R Z^2 \left( \frac{3}{4} \right)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$ है।
हाइड्रोजन $(Z=1)$,$He^+$ $(Z=2)$ और $Li^{2+}$ $(Z=3)$ के लिए:
$\lambda_1 : \lambda_2 : \lambda_3 = \frac{1}{1^2} : \frac{1}{2^2} : \frac{1}{3^2} = 1 : \frac{1}{4} : \frac{1}{9}$।
अनुपात को सरल बनाने के लिए $36$ से गुणा करने पर:
$\lambda_1 : \lambda_2 : \lambda_3 = 36 : 9 : 4$।

(A) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
लायमैन श्रेणी की प्रथम रेखा के लिए,$n_1 = 1$ और $n_2 = 2$ है।
ड्यूटेरियम $(D)$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z_D = 1$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_D} = R (1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$।
द्वि-आयनित लिथियम $(Li^{2+})$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z_{Li} = 3$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_{Li}} = R (3)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 9R \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{27R}{4}$।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_{Li}}{\lambda_D} = \frac{4/27R}{4/3R} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$।
अतः,अनुपात $1 : 9$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के लिए ऊर्जा स्तर का सूत्र $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ है।
$n=2$ से $n=1$ के लिए ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \text{ eV}$ होता है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ के अनुसार,$\lambda = \frac{1240}{10.2} \approx 121.6 \text{ nm}$।
अतः,लगभग $122 \text{ nm}$ उत्तर प्राप्त होता है।