Bohr's Model of Hydrogen Atom Questions in Hindi

(D) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,${n^{th}}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या ${r_n} \propto {n^2}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,${r_n}$ बनाम ${n}$ का ग्राफ एक परवलय है,जो विकल्प $(a)$ को सही बनाता है।
अनुपात लेने पर,हमारे पास $\frac{r_n}{r_1} = n^2$ है। दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,हमें $\log \left( \frac{r_n}{r_1} \right) = 2 \log n$ प्राप्त होता है। यह $y = mx$ के रूप में है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है। अतः,विकल्प $(b)$ भी सही है।
परिक्रमण की आवृत्ति के लिए,${f_n} \propto \frac{1}{n^3}$ है। अनुपात लेने पर,हमारे पास $\frac{f_n}{f_1} = \frac{1}{n^3} = n^{-3}$ है। दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,हमें $\log \left( \frac{f_n}{f_1} \right) = -3 \log n$ प्राप्त होता है। यह भी ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा है,इसलिए विकल्प $(c)$ भी तकनीकी रूप से एक सीधी रेखा है। हालाँकि,ऐसे प्रश्नों के मानक ढांचे को देखते हुए,$(d)$ ही अभीष्ट उत्तर है क्योंकि $(a)$ और $(b)$ मानक पाठ्यपुस्तक निरूपण हैं।

(A) $n^{th}$ कक्षा द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल $A_n = \pi r_n^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि हाइड्रोजन जैसे परमाणु में $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $n^2$ के समानुपाती होती है (अर्थात $r_n \propto n^2$), इसलिए हमारे पास है:
$\frac{A_n}{A_1} = \left( \frac{r_n}{r_1} \right)^2 = \left( \frac{n^2}{1^2} \right)^2 = n^4$.
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक $(\ln)$ लेने पर:
$\ln \left( \frac{A_n}{A_1} \right) = \ln (n^4) = 4 \ln (n)$.
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर, जहाँ $y = \ln \left| \frac{A_n}{A_1} \right|$, $x = \ln |n|$, $m = 4$, और $c = 0$ है, हम देख सकते हैं कि ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली $4$ के ढलान वाली एक सीधी रेखा है।
दिए गए ग्राफ को देखने पर, वक्र $4$ एक $4$ के ढलान वाली सीधी रेखा को दर्शाता है (क्योंकि $\ln |n| = 1$ पर, $\ln \left| \frac{A_n}{A_1} \right| = 4$ है)।
अतः, सही वक्र $4$ है।

(D) बोर का मॉडल हाइड्रोजन परमाणु और एकल-इलेक्ट्रॉन प्रजातियों के लाइन स्पेक्ट्रम को सैद्धांतिक रूप से समझाने वाला पहला मॉडल था।
यह स्पष्टीकरण इस धारणा पर आधारित है कि इलेक्ट्रॉन केवल निश्चित ऊर्जा वाली कक्षाओं में ही रह सकते हैं।
इन कक्षाओं के बीच इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के दौरान ऊर्जा का विकिरण या अवशोषण अलग-अलग पैकेटों (क्वांटा) के रूप में होता है।
इसके अलावा,कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग क्वांटाइज्ड होता है,जो अलग-अलग स्पेक्ट्रल लाइनों के निर्माण का कारण बनता है।

(D) फोटॉन की ऊर्जा $E$ को सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
दिया गया है:
$h = 6.63 \times 10^{-34}\,J\cdot s$
$c = 3 \times 10^8\,m/s$
$\lambda = 21\,cm = 0.21\,m = 21 \times 10^{-2}\,m$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{21 \times 10^{-2}}$
$E = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{21 \times 10^{-2}}$
$E \approx 0.947 \times 10^{-24}\,J$
$E \approx 10^{-24}\,J$.

(B) हाइड्रोजन परमाणु के बोहर सिद्धांत के अनुसार,$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गति $(v)$ को इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $v \propto \frac{1}{n}$।
यह दर्शाता है कि इलेक्ट्रॉन की गति मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
जैसे-जैसे $n$ का मान बढ़ता है,गति $(v)$ कम होती जाती है।
दिए गए ग्राफ को देखने पर,वक्र $B$ $n$ के बढ़ने के साथ घटता हुआ रुझान दिखाता है,जो $v \propto \frac{1}{n}$ संबंध से मेल खाता है।
इसलिए,ग्राफ $B$ मुख्य क्वांटम संख्या के फलन के रूप में इलेक्ट्रॉन की गति को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) किसी परमाणु के लिए रिडबर्ग नियतांक $R$ को $R = \frac{\mu e^{4}}{8 \epsilon_{0}^{2} h^{3} c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu$ इलेक्ट्रॉन-नाभिक प्रणाली का समानित द्रव्यमान (reduced mass) है। समानित द्रव्यमान $\mu$ को $\mu = \frac{m_{e} M}{m_{e} + M}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $m_{e}$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $M$ नाभिक का द्रव्यमान है। चूँकि ड्यूटेरियम नाभिक का द्रव्यमान $(M_{D} \approx 2M_{H})$ हाइड्रोजन नाभिक के द्रव्यमान $(M_{H})$ से भिन्न है,इसलिए ड्यूटेरियम के लिए समानित द्रव्यमान $\mu$ हाइड्रोजन से भिन्न होता है। परिणामस्वरूप,रिडबर्ग नियतांक $R$ और वर्णक्रमीय रेखाओं की प्राप्त तरंगदैर्घ्य $(\frac{1}{\lambda} = R Z^{2} (\frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}}))$ दोनों के बीच थोड़ी भिन्न होती है।

(C) बोर के मॉडल के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $r_1 = r_0$ और $r_2 = 4r_0$ दिया गया है,इसलिए $n_1^2 \propto r_0$ और $n_2^2 \propto 4r_0$ होगा।
अतः,$n_2/n_1 = \sqrt{4r_0/r_0} = 2$।
$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n \propto 1/n$ होता है।
परिक्रमण की आवृत्ति $f$,$f = v / (2\pi r)$ द्वारा प्राप्त होती है।
$v \propto 1/n$ और $r \propto n^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f \propto (1/n) / n^2 = 1/n^3$ प्राप्त होता है।
इसलिए,आवृत्तियों का अनुपात $f_1/f_2 = (n_2/n_1)^3 = (2)^3 = 8/1$ है।
अतः,अनुपात $8:1$ है।

(A) बोर के अभिधारणा के अनुसार,इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग इस प्रकार दिया जाता है:
$mvr = \frac{nh}{2\pi}$
इससे,वेग $v$ होगा:
$v = \frac{nh}{2\pi mr}$
अभिकेंद्र (कक्षीय) त्वरण $a$ इस प्रकार दिया जाता है:
$a = \frac{v^2}{r}$
$v$ का मान रखने पर:
$a = \frac{(\frac{nh}{2\pi mr})^2}{r} = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m^2 r^2 \cdot r} = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m^2 r^3}$

(B) रिडबर्ग नियतांक $R$,हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था (ground state) की ऊर्जा से संबंधित है।
हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था की ऊर्जा $E_1 = -13.6 \ eV$ होती है।
ऊर्जा स्तरों के लिए सूत्र $E_n = -\frac{Rhc}{n^2}$ है,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए,$E_1 = -Rhc$ होता है।
$E_1 = -13.6 \ eV$ का मान रखने पर,हमें $Rhc = 13.6 \ eV$ प्राप्त होता है।
अतः,रिडबर्ग नियतांक के समतुल्य ऊर्जा $13.6 \ eV$ है।

(A) $r$ दूरी पर स्थित दो द्रव्यमानों $m_1$ और $m_2$ के निकाय की उनके द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन गतिज ऊर्जा $(RKE)$ का सूत्र $RKE = \frac{L^2}{2I}$ है,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है और $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
समानित द्रव्यमान (reduced mass) $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ है।
द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \mu r^2 = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} r^2$ है।
बोहर के क्वांटाइजेशन नियम के अनुसार,कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ है।
इन मानों को $RKE$ के सूत्र में रखने पर:
$RKE = \frac{(nh/2\pi)^2}{2I} = \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 \cdot 2 \cdot (\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} r^2)} = \frac{n^2 h^2 (m_1 + m_2)}{8\pi^2 m_1 m_2 r^2}$।

(A) हाइड्रोजन जैसे आयन की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ है।
$Li^{++}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
$1^{st}$ कक्षा $(n_1 = 1)$ में ऊर्जा: $E_1 = -13.6 \times \frac{3^2}{1^2} = -13.6 \times 9 = -122.4 \ eV$ है।
$3^{rd}$ कक्षा $(n_2 = 3)$ में ऊर्जा: $E_3 = -13.6 \times \frac{3^2}{3^2} = -13.6 \times 1 = -13.6 \ eV$ है।
उत्तेजना के लिए आवश्यक ऊर्जा: $\Delta E = E_3 - E_1 = -13.6 - (-122.4) = 108.8 \ eV$ है।

(B) कूलम्ब के नियम के अनुसार,नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच स्थिर-वैद्युत बल $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Ze^2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $F \propto \frac{1}{r^2}$,हमें त्रिज्या $r$ और मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के बीच संबंध ज्ञात करना होगा।
बोहर मॉडल में,$n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ होती है।
इस मान को बल के समीकरण में रखने पर: $F \propto \frac{1}{(n^2)^2} = \frac{1}{n^4}$ प्राप्त होता है।
अतः,इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $1/n^4$ के समानुपाती होता है।

(C) तरंग दैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
हाइड्रोजन $(H)$ के पहले लाइमैन संक्रमण के लिए,$Z_H = 1$,$n_1 = 1$,और $n_2 = 2$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_H} = R(1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$।
$He^+$ के लिए,$Z_{He} = 2$ है। हमें ऐसे $n_1$ और $n_2$ खोजने हैं कि $\frac{1}{\lambda_{He}} = \frac{1}{\lambda_H} = \frac{3R}{4}$ हो।
मान रखने पर: $R(2)^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) = \frac{3R}{4}$।
$4R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) = \frac{3R}{4} \implies \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) = \frac{3}{16}$।
इसकी तुलना $\left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = \frac{4-1}{16} = \frac{3}{16}$ से करने पर।
अतः,संक्रमण $n = 4$ से $n = 2$ है।

(B) एक उदासीन हीलियम परमाणु से एक इलेक्ट्रॉन निकालने के बाद,यह $He^+$ आयन बन जाता है।
$He^+$ आयन एक हाइड्रोजन-समान प्रजाति है जिसका परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
हाइड्रोजन-समान आयन की मूल अवस्था $(n = 1)$ से शेष इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा का सूत्र है:
$E = 13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \, eV$
मान $Z = 2$ और $n = 1$ रखने पर:
$E = 13.6 \times \frac{2^2}{1^2} \, eV$
$E = 13.6 \times 4 \, eV$
$E = 54.4 \, eV$

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है:
$E_n = - \left( \frac{me^4}{8 \epsilon_0^2 h^2} \right) \frac{Z^2}{n^2}$
इस समीकरण में $hc$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E_n = - \left( \frac{me^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c} \right) hc \frac{Z^2}{n^2} = - Rch \frac{Z^2}{n^2}$
जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है।
आयनन ऊर्जा वह ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को मूल अवस्था $(n=1)$ से अनंत $(n=\infty)$ तक ले जाने के लिए आवश्यक होती है:
$E_{ion} = E_{\infty} - E_1 = 0 - (- Rch \frac{Z^2}{1^2}) = Rch Z^2$
$Li^{++}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
अतः,$E_{ion} = Rch (3)^2 = 9 \,hcR$.

(B) कोणीय संवेग के क्वांटाइजेशन के लिए बोहर के अभिधारणा के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कक्षीय कोणीय संवेग $L_n = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$L_n \propto n$ है।
हाइड्रोजन परमाणु में $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m e^2}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$r_n \propto n^2$,जिसका अर्थ है कि $n \propto \sqrt{r_n}$ है।
संबंध $L_n \propto n$ में $n \propto \sqrt{r_n}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $L_n \propto \sqrt{r_n}$ प्राप्त होता है।

(B) दूसरी उत्तेजित अवस्था मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ के अनुरूप है।
इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $l = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि हाइड्रोजन परमाणु और $Li^{2+}$ आयन दोनों समान अवस्था $(n = 3)$ में हैं,इसलिए उनके कोणीय संवेग समान हैं: $l_{H} = l_{Li}$।
हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
हाइड्रोजन $(Z_H = 1)$ और $Li^{2+}$ $(Z_{Li} = 3)$ के लिए,ऊर्जा का परिमाण $|E| \propto Z^2$ होता है (चूंकि $n$ स्थिर है)।
अतः,$|E_{Li}| = Z_{Li}^2 |E_H| = 3^2 |E_H| = 9 |E_H|$।
इसलिए,$|E_H| < |E_{Li}|$।

(D) हाइड्रोजन-समान परमाणु में $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_n = \frac{Ze^2}{2\epsilon_0 nh}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि किसी दिए गए परमाणु के लिए ($Z$ स्थिर है):
$v_n \propto \frac{1}{n}$
यहाँ दूसरी कक्षा $(n=2)$ में वेग $v$ दिया गया है,इसलिए:
$v_2 = v$
पाँचवीं कक्षा $(n=5)$ के लिए:
$\frac{v_5}{v_2} = \frac{n_2}{n_5} = \frac{2}{5}$
अतः,पाँचवीं कक्षा में वेग होगा:
$v_5 = \frac{2}{5}v_2 = \frac{2}{5}v$

(C) कोणीय वेग $\omega$ को संबंध $\omega = \frac{v}{r}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोहर के सिद्धांत के अनुसार:
$1$. $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कक्षीय वेग $v_n \propto \frac{1}{n}$ होता है।
$2$. $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ होती है।
इन समानुपातों को कोणीय वेग के सूत्र में रखने पर:
$\omega_n = \frac{v_n}{r_n} \propto \frac{1/n}{n^2} = \frac{1}{n^3}$.
अतः,$\omega_n \propto \frac{1}{n^3}$।

(D) दिया गया है: त्रिज्या $r = 0.5 \, \mathring{A} = 0.5 \times 10^{-10} \, m$,वेग $v = 2.2 \times 10^6 \, m/s$,आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$.
परिक्रमण करते हुए इलेक्ट्रॉन के कारण केंद्र (प्रोटॉन) पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $I = \frac{e}{T}$ और $T = \frac{2\pi r}{v}$,इसलिए $I = \frac{ev}{2\pi r}$ है।
$B$ के सूत्र में $I$ का मान रखने पर: $B = \frac{\mu_0}{2r} \left( \frac{ev}{2\pi r} \right) = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$.
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$ का उपयोग करने पर:
$B = \frac{10^{-7} \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (2.2 \times 10^6)}{(0.5 \times 10^{-10})^2}$.
$B = \frac{10^{-7} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2.2 \times 10^6}{0.25 \times 10^{-20}}$.
$B = \frac{3.52 \times 10^{-20}}{0.25 \times 10^{-20}} = 14.08 \, T$.

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग ज्ञात करने का सूत्र $v_n = \frac{Z}{n} \times \frac{c}{137}$ है,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
$He^+$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
पहली बोहर कक्षा के लिए,$n = 1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v = \frac{2}{1} \times \frac{c}{137} = \frac{2c}{137}$।

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा का सूत्र $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 1$ है,इसलिए $E_n \propto \frac{1}{n^2}$।
$He^+$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है। मान लीजिए कि ऊर्जा $E'_n$ है।
अतः,$E'_n \propto \frac{Z^2}{n^2} = \frac{2^2}{n^2} = 4 \left( \frac{1}{n^2} \right)$।
चूंकि $E_n \propto \frac{1}{n^2}$ है,इसलिए हम लिख सकते हैं कि $E'_n = 4 E_n$।

(A) बोहर मॉडल के अनुसार,$n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m k Z e^2}$ द्वारा दी जाती है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$,इसलिए $r_n \propto n^2$।
$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = \frac{2 \pi k Z e^2}{nh}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $Z = 1$,इसलिए $v_n \propto \frac{1}{n}$।
रैखिक संवेग $p_n$ को $p_n = m v_n$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि $m$ स्थिर है,इसलिए $p_n \propto v_n$।
अतः,$p_n \propto \frac{1}{n}$।

(D) बोर के सिद्धांत के अनुसार,$n$-वीं कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है कि $E_n \propto \frac{1}{n^2}$ है।
$n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $J_n = \frac{nh}{2\pi}$ होता है,जिसका अर्थ है कि $J_n \propto n$ है।
ऊर्जा के संबंध में $n \propto J_n$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E_n \propto \frac{1}{J_n^2}$ प्राप्त होता है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में $n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है।
कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r_n^2$ होता है।
$r_n$ का व्यंजक रखने पर,हमें $A \propto (n^2)^2 = n^4$ प्राप्त होता है।
मूल अवस्था के लिए,$n_1 = 1$ और प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए,$n_2 = 2$ है।
क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{A_2}{A_1} = \left( \frac{n_2}{n_1} \right)^4 = \left( \frac{2}{1} \right)^4 = \frac{16}{1}$ है।
अतः,अनुपात $16 : 1$ है।

(A) कक्षा में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न समतुल्य विद्युत धारा $I = \frac{e}{T}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
चूंकि $T = \frac{2\pi r}{v}$ और $r \propto n^2$,$v \propto \frac{1}{n}$,इसलिए $T \propto \frac{n^2}{1/n} = n^3$ होता है।
अतः,$I \propto \frac{1}{n^3}$।
पहली और दूसरी कक्षा के लिए $(n_1 = 1, n_2 = 2)$:
$\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{n_2}{n_1} \right)^3 = \left( \frac{2}{1} \right)^3 = 8$।
इस प्रकार,अनुपात $8 : 1$ है।

(A) इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ होता है।
बोहर के सिद्धांत के अनुसार,$n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $(v)$,मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $v \propto \frac{1}{n}$।
इस मान को गतिज ऊर्जा के व्यंजक में रखने पर: $K \propto v^2 \propto \left(\frac{1}{n}\right)^2$।
अतः,$K \propto \frac{1}{n^2}$।

(A) ऊर्जा स्तरों के बीच संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
चूंकि दोनों परमाणुओं के लिए संक्रमण समान उत्तेजित अवस्था $n$ से मूल अवस्था $(n_1 = 1, n_2 = n)$ में हो रहा है,इसलिए पद $\left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ स्थिर रहता है।
अतः,$\frac{1}{\lambda} \propto Z^2$,जिसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$.
हाइड्रोजन $(Z_H = 1)$ और हीलियम $(Z_{He} = 2)$ के लिए:
$\frac{\lambda_H}{\lambda_{He}} = \frac{Z_{He}^2}{Z_H^2} = \frac{2^2}{1^2} = \frac{4}{1}$.
इस प्रकार,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $4:1$ होगा।

(C) हाइड्रोजन-समान परमाणु की आयनन ऊर्जा का सूत्र $E_n = 13.6 \times Z^2 \, eV$ होता है।
दिया गया आयनन विभव $V = 122.4 \, V$ है,इसलिए आयनन ऊर्जा $E = 122.4 \, eV$ होगी।
संबंध $E = 13.6 \times Z^2$ का उपयोग करने पर:
$122.4 = 13.6 \times Z^2$
$Z^2 = \frac{122.4}{13.6}$
$Z^2 = 9$
$Z = \sqrt{9} = 3$.
अतः,परमाणु क्रमांक $3$ है।

(A) $n_i$ से $n_k$ में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = \frac{hc}{\lambda} = 13.6 \ Z^2 \left( \frac{1}{n_k^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $n_i = 2$ और $n_k = 1$ सभी मामलों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $\frac{hc}{\lambda} \propto Z^2$ होता है,जिसका अर्थ है $\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$ या $\lambda Z^2 = \text{स्थिरांक}$.
हाइड्रोजन $(Z=1)$,ड्यूटेरॉन $(Z=1)$,$He^+$ $(Z=2)$ और $Li^{++}$ $(Z=3)$ के लिए:
$\lambda_1 (1)^2 = \lambda_2 (1)^2 = \lambda_3 (2)^2 = \lambda_4 (3)^2$.
अतः,$\lambda_1 = \lambda_2 = 4\lambda_3 = 9\lambda_4$।

(C) $n$ वीं बोहर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = r_1 \cdot n^2$ है,जहाँ $r_1$ पहली कक्षा की त्रिज्या है।
दिया गया है: $r_1 = 0.53 \, \mathring A$ और $n = 3$।
सूत्र में मान रखने पर:
$r_3 = r_1 \cdot (3)^2$
$r_3 = 0.53 \, \mathring A \cdot 9$
$r_3 = 4.77 \, \mathring A$।
अतः,तीसरी बोहर कक्षा की त्रिज्या $4.77 \, \mathring A$ होगी।

(C) अभिकेंद्र बल आकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $mv^2/r = k/r$.
यह सरल होकर $mv^2 = k$ हो जाता है।
गतिज ऊर्जा $K_n = (1/2)mv^2 = k/2$.
चूंकि $k$ एक स्थिरांक है,इसलिए गतिज ऊर्जा $K_n$ क्वांटम संख्या $n$ से स्वतंत्र है।
बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,$mvr_n = nh/(2\pi)$.
$v = \sqrt{k/m}$ प्रतिस्थापित करने पर,$m \sqrt{k/m} \cdot r_n = nh/(2\pi)$.
इससे $r_n = [h/(2\pi \sqrt{mk})] \cdot n$ प्राप्त होता है।
अतः,$r_n \propto n$।

(A) प्रणाली की स्थितिज ऊर्जा $U = eV = eV_0 \ln \left( \frac{r}{r_0} \right)$ है।
बल $F = -\frac{dU}{dr} = -\frac{eV_0}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
यह बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$\frac{mv^2}{r} = \frac{eV_0}{r} \implies v = \sqrt{\frac{eV_0}{m}}$.
बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,कोणीय संवेग $mvr = n \frac{h}{2\pi}$ है।
$v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$mr \left( \sqrt{\frac{eV_0}{m}} \right) = n \frac{h}{2\pi}$.
चूंकि $m, e, V_0, h$ स्थिरांक हैं,इसलिए $r \propto n$ प्राप्त होता है।
अतः,$r_n \propto n$.

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $m$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_m = \frac{E_1}{m^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E_1$ मूल अवस्था की ऊर्जा है (जो ऋणात्मक होती है)।
$2n$-वीं अवस्था से उत्सर्जित फोटॉन की अधिकतम ऊर्जा मूल अवस्था $(m=1)$ में संक्रमण के अनुरूप होती है।
दिया गया है: $E_{2n} - E_1 = 204 \ eV$.
$\frac{E_1}{(2n)^2} - E_1 = 204 \ eV \implies E_1 \left( \frac{1}{4n^2} - 1 \right) = 204 \ eV \quad \dots(1)$
जब इलेक्ट्रॉन $2n$ कक्षा से $n$ कक्षा में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $40.8 \ eV$ होती है।
दिया गया है: $E_{2n} - E_n = 40.8 \ eV$.
$\frac{E_1}{4n^2} - \frac{E_1}{n^2} = 40.8 \ eV \implies E_1 \left( \frac{1 - 4}{4n^2} \right) = 40.8 \ eV \implies E_1 \left( -\frac{3}{4n^2} \right) = 40.8 \ eV \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{E_1 (\frac{1-4n^2}{4n^2})}{E_1 (-\frac{3}{4n^2})} = \frac{204}{40.8}$
$\frac{1-4n^2}{-3} = 5 \implies 1 - 4n^2 = -15 \implies 4n^2 = 16 \implies n^2 = 4 \implies n = 2$.

(A) निकाय का समानित द्रव्यमान (reduced mass) $\mu_{red} = \frac{m_p m_{\mu}}{m_p + m_{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $m_p \approx 1836 \, m_e$ और $m_{\mu} = 207 \, m_e$ दिया गया है, इसलिए $\mu_{red} = \frac{1836 \times 207}{1836 + 207} \, m_e \approx 186 \, m_e$ है।
हाइड्रोजन जैसे परमाणु के ऊर्जा स्तर $E_n = -\frac{\mu_{red}}{m_e} \times \frac{13.6 \, eV}{n^2}$ सूत्र द्वारा दिए जाते हैं।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए, ऊर्जा $E_1 = -186 \times 13.6 \, eV = -2529.6 \, eV$ होती है।
आयनन ऊर्जा वह ऊर्जा है जो म्यूऑन को मूल अवस्था से अनंत तक ले जाने के लिए आवश्यक है, जो $-E_1 = 2529.6 \, eV \approx 2.53 \, keV$ है।

(B) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12400}{975} \approx 12.718 \, \text{eV}$ है।
यह ऊर्जा $n=1$ से $n=4$ स्तर के संक्रमण के अनुरूप है,क्योंकि $E_4 - E_1 = 12.75 \, \text{eV}$ है।
जब परमाणु $n=4$ से वापस आता है,तो संभावित संक्रमण $4 \to 3, 4 \to 2, 4 \to 1, 3 \to 2, 3 \to 1, 2 \to 1$ हैं।
अधिकतम तरंगदैर्ध्य न्यूनतम ऊर्जा अंतर $(4 \to 3)$ के अनुरूप है।
$E_{4 \to 3} = 0.66 \, \text{eV}$ है।
$\lambda_{max} = \frac{12400}{0.66} \approx 18787.8 \, \mathring{A}$ है।
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य अधिकतम ऊर्जा अंतर $(4 \to 1)$ के अनुरूप है।
$\lambda_{min} = \frac{12400}{12.75} \approx 972.5 \, \mathring{A} \approx 975 \, \mathring{A}$ है।
अतः,सही उत्तर $18787 \, \mathring{A}$ और $975 \, \mathring{A}$ है।

(B) बोर मॉडल के अनुसार,$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = \frac{Z e^2}{2 \epsilon_0 n h}$ द्वारा दिया जाता है।
$CGS$ इकाई प्रणाली में,कूलम्ब स्थिरांक $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 1$ होता है,जिसका अर्थ है कि $\epsilon_0 = \frac{1}{4 \pi}$।
अब $Z=1$ और $n=1$ (मूल अवस्था) के लिए वेग के सूत्र में $\epsilon_0 = \frac{1}{4 \pi}$ रखने पर:
$v_1 = \frac{1 \cdot e^2}{2 (1/4 \pi) (1) h} = \frac{4 \pi e^2}{2 h} = \frac{2 \pi e^2}{h}$।
इस वेग और प्रकाश के वेग $c$ का अनुपात $\frac{v_1}{c} = \frac{2 \pi e^2}{hc}$ होगा।

(A) बोहर के अभिधारणा के अनुसार,इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr = nh/2\pi$ द्वारा दिया जाता है।
पहली कक्षा के लिए,$n = 1$,इसलिए $mvr = h/2\pi$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $mv = h/(2\pi r)$ प्राप्त होता है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $\lambda = h/p = h/(mv)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$mv$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda = h / (h / 2\pi r) = 2\pi r$ प्राप्त होता है।
अतः,पहली बोहर कक्षा में इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य कक्षा की परिधि के बराबर यानी $2\pi r$ है।

(A) बोर के अभिधारणा के अनुसार, $n$ वीं कक्षा की परिधि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होती है:
$2\pi r_n = n\lambda$
हाइड्रोजन परमाणु $(Z=1)$ के लिए, $n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 n^2$ द्वारा दी जाती है।
इसे बोर की क्वांटाइजेशन शर्त में प्रतिस्थापित करने पर:
$2\pi (a_0 n^2) = n\lambda$
$2\pi a_0 n = \lambda$
तीसरी कक्षा $(n=3)$ के लिए:
$\lambda = 2\pi a_0 (3)$
$\lambda = 6\pi a_0$

(B) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{1240}{\lambda \text{ (nm में)}} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda = 60 \text{ nm}$ रखने पर,हमें $E = \frac{1240}{60} \approx 20.67 \text{ eV}$ प्राप्त होता है।
मूल अवस्था $(n=1)$ में हाइड्रोजन परमाणु की आयनीकरण ऊर्जा $13.6 \text{ eV}$ होती है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{\max})$ का मान $K_{\max} = E - \text{आयनीकरण ऊर्जा}$ होता है।
$K_{\max} = 20.67 \text{ eV} - 13.6 \text{ eV} = 7.07 \text{ eV}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $7.1 \text{ eV}$ है।

(A) कोणीय संवेग के क्वांटाइजेशन के लिए बोर की अभिधारणा के अनुसार,$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
डी ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
कोणीय संवेग समीकरण में $mv = \frac{h}{\lambda}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{h}{\lambda} \cdot r = \frac{nh}{2\pi}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2\pi r = n\lambda$ प्राप्त होता है।
चूंकि $2\pi r$ $n$ वीं कक्षा की परिधि है,इसलिए समीकरण $2\pi r = n\lambda$ यह दर्शाता है कि कक्षा की परिधि डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य की $n$ गुना है।
अतः,$n$ वीं कक्षा में डी ब्रोग्ली तरंगों की संख्या $n$ है।

(B) डी ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,बोहर की कक्षाओं के लिए परिधि का सूत्र $2\pi r_n = n\lambda$ है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $\lambda$ डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य है।
यहाँ $n = 2$ (दूसरी कक्षा) और $\lambda = 10^{-9} \ m$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
परिधि $= n \times \lambda = 2 \times 10^{-9} \ m$.
अतः,कक्षा की परिधि $2 \times 10^{-9} \ m$ है।

(C) बोर के क्वांटाइजेशन नियम के अनुसार,कक्षा की परिधि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होनी चाहिए:
$2\pi r = n\lambda$
जहाँ $r = 5.3 \times 10^{-11} \ m$,$\lambda = 10^{-10} \ m$,और $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
$n$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$n = \frac{2\pi r}{\lambda}$
मान रखने पर:
$n = \frac{2 \times 3.14 \times 5.3 \times 10^{-11}}{10^{-10}}$
$n = \frac{33.284 \times 10^{-11}}{10^{-10}}$
$n = 33.284 \times 10^{-1} = 3.3284$
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए दिए गए मापदंडों के आधार पर निकटतम पूर्णांक मान $n = 3$ है।

(D) निकटतम पहुँच की दूरी $(r)$ पर,प्रोटॉन की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K)$ पूरी तरह से स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $(U)$ में परिवर्तित हो जाती है।
$K = U = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$
यहाँ,$q_1 = e$ (प्रोटॉन का आवेश) और $q_2 = 120e$ (नाभिक का आवेश)।
$K = (9 \times 10^9) \times \frac{e \times 120e}{10 \times 10^{-15}} = 108 \times 10^{23} e^2 \ J$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_p K}}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 \times (5/3 \times 10^{-27}) \times (108 \times 10^{23} e^2)}}$
गणना करने पर,$\lambda = 7 \ fm$ प्राप्त होता है।

(A) बोर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2\pi r = n \frac{h}{mv}$ प्राप्त होता है।
चूंकि डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य को $\lambda = \frac{h}{mv}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करके $2\pi r = n\lambda$ प्राप्त कर सकते हैं।
पहली कक्षा के लिए,$n = 1$ रखने पर,$2\pi r = \lambda$ प्राप्त होता है।
अतः,डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य पहली कक्षा की परिधि के बराबर होती है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है।
कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r_n^2$ होता है।
अतः,$A \propto (n^2)^2 = n^4$ होगा।
मूल अवस्था (ground state) के लिए,$n_1 = 1$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था (first excited state) के लिए,$n_2 = 2$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था के क्षेत्रफल $(A_2)$ और मूल अवस्था के क्षेत्रफल $(A_1)$ का अनुपात:
$\frac{A_2}{A_1} = \frac{n_2^4}{n_1^4} = \frac{2^4}{1^4} = \frac{16}{1}$ है।
अतः,अनुपात $16 : 1$ है।

(A) स्थितिज ऊर्जा $U = eV = eV_0 \ln(r/r_0)$ है।
बल $F = -\frac{dU}{dr} = -\frac{d}{dr} [eV_0 \ln(r/r_0)] = -\frac{eV_0}{r}$ है।
अभिकेंद्र बल इस बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $\frac{mv^2}{r} = \frac{eV_0}{r}$।
इससे,$v^2 = \frac{eV_0}{m}$,अर्थात $v = \sqrt{\frac{eV_0}{m}}$ प्राप्त होता है। यहाँ $v$,$r$ और $n$ से स्वतंत्र है।
बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ होता है।
$v$ का मान रखने पर: $mr \sqrt{\frac{eV_0}{m}} = \frac{nh}{2\pi}$।
$r$ के लिए हल करने पर: $r = \frac{nh}{2\pi} \sqrt{\frac{1}{meV_0}}$।
अतः,$h, m, e, V_0$ स्थिरांक होने के कारण,$r_n \propto n$ प्राप्त होता है।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की त्रिज्या का सूत्र $r_n = r_1 \cdot n^2$ होता है,जहाँ $r_1$ पहली कक्षा (मूल अवस्था) की त्रिज्या है।
दिया गया है: $r_1 = 1.06 \, \mathring{A}$ और $n = 10$।
सूत्र में मान रखने पर:
$r_{10} = 1.06 \times (10)^2$
$r_{10} = 1.06 \times 100$
$r_{10} = 106 \, \mathring{A}$।
अतः,$10$वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की त्रिज्या $106 \, \mathring{A}$ होगी।

(C) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र इस प्रकार है: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
$2 \to 1$ संक्रमण के लिए,पद $\left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4}$ तीनों के लिए समान है।
इसलिए,$\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$.
परमाणु क्रमांक $Z_{Li} = 3$,$Z_{He} = 2$,और $Z_{H} = 1$ हैं।
अतः,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\lambda_{Li} : \lambda_{He^+} : \lambda_{H} = \frac{1}{3^2} : \frac{1}{2^2} : \frac{1}{1^2}$ होगा।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{9} : \frac{1}{4} : 1$ प्राप्त होता है।
हर को हटाने के लिए $36$ से गुणा करने पर,हमें $4 : 9 : 36$ प्राप्त होता है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के पदों में त्रिज्या $R$,वेग $v$ और कुल ऊर्जा $E$ के व्यंजक इस प्रकार हैं:
$R = \frac{\varepsilon_0 n^2 h^2}{\pi m Z e^2} \implies R \propto n^2$
$v = \frac{Z e^2}{2 \varepsilon_0 n h} \implies v \propto \frac{1}{n}$
$E = -\frac{m Z^2 e^4}{8 \varepsilon_0^2 n^2 h^2} \implies E \propto \frac{1}{n^2}$
अब,गुणनफल $vR$ पर विचार करें:
$vR \propto \left(\frac{1}{n}\right) \cdot (n^2) = n$
अतः,$n \propto vR$.