Electron Energy and Electron Energy Levels in Hydrogen Atom Questions in Hindi

(A) $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ है।
पहली कक्षा $(n=1)$ के लिए: $E_1 = -\frac{13.6}{1^2} = -13.6 \text{ eV}$।
दूसरी कक्षा $(n=2)$ के लिए: $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \text{ eV}$।
इलेक्ट्रॉन को पहली कक्षा से दूसरी कक्षा में उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा ऊर्जा स्तरों के अंतर द्वारा प्राप्त की जाती है:
$\Delta E = E_2 - E_1$
$\Delta E = -3.4 \text{ eV} - (-13.6 \text{ eV})$
$\Delta E = -3.4 + 13.6 = 10.2 \text{ eV}$।
अतः,आवश्यक ऊर्जा $10.2 \text{ eV}$ है।

(A) इलेक्ट्रॉन के $n=2$ कक्षा से $n=4$ कक्षा में उत्तेजन को दर्शाता है,जो बामर श्रेणी में एक अवशोषण रेखा के अनुरूप है।
$E$ इलेक्ट्रॉन के $\infty$ कक्षा से $n=1$ कक्षा में संक्रमण को दर्शाता है,जो हाइड्रोजन के आयनीकरण विभव $(13.6 \ eV)$ के बराबर मुक्त ऊर्जा के अनुरूप है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
इलेक्ट्रॉन को बाहर निकालने (अर्थात इसे आयनित करने) के लिए,हमें उस कक्षा की बंधन ऊर्जा के परिमाण के बराबर ऊर्जा प्रदान करने की आवश्यकता होती है।
$n^{th}$ कक्षा से इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा $E = +\frac{13.6}{n^2} \ eV$ है।
तीसरी कक्षा के लिए,$n = 3$ है।
अतः,आवश्यक ऊर्जा $E = +\frac{13.6}{3^2} \ eV = +\frac{13.6}{9} \ eV$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ है।
$n = 10$ अवस्था से इलेक्ट्रॉन को अनंत $(E_{\infty} = 0)$ तक निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा उस अवस्था के लिए आयनन ऊर्जा है।
आवश्यक ऊर्जा $= E_{\infty} - E_{10} = 0 - \left(-\frac{13.6}{10^2}\right) \text{ eV}$।
आवश्यक ऊर्जा $= \frac{13.6}{100} \text{ eV} = 0.136 \text{ eV}$।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए, मुख्य क्वांटम संख्या $n_1 = 2$ है।
द्वितीय उत्तेजित अवस्था के लिए, मुख्य क्वांटम संख्या $n_2 = 3$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था में ऊर्जा $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} \text{ eV}$ है।
द्वितीय उत्तेजित अवस्था में ऊर्जा $E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \text{ eV}$ है।
ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_2}{E_3} = \frac{-13.6/4}{-13.6/9} = \frac{9}{4}$ है।

(C) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
यहाँ $n_1 = 2$,$n_2 = 4$,और $R = 10^5 \text{ cm}^{-1} = 10^7 \text{ m}^{-1}$ है।
$\frac{1}{\lambda} = 10^5 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 10^5 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 10^5 \left( \frac{3}{16} \right) \text{ cm}^{-1}$.
अतः,$\lambda = \frac{16}{3} \times 10^{-5} \text{ cm} = \frac{16}{3} \times 10^{-7} \text{ m}$.
आवृत्ति $\nu = \frac{c}{\lambda}$,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ है।
$\nu = \frac{3 \times 10^8}{\frac{16}{3} \times 10^{-7}} = \frac{9}{16} \times 10^{15} \text{ Hz}$.

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ है।
$n = 2$ अवस्था से इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए,हमें उस अवस्था में उसकी बंधन ऊर्जा के परिमाण के बराबर ऊर्जा प्रदान करनी होगी।
आवश्यक ऊर्जा $E = |E_2| = |-\frac{13.6}{2^2}| \, eV$ है।
$E = \frac{13.6}{4} \, eV = 3.4 \, eV$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) $2E$ से $E$ तक के संक्रमण के लिए:
$\Delta E_1 = 2E - E = E = \frac{hc}{\lambda} \implies E = \frac{hc}{\lambda}$ (समीकरण $1$)
$\frac{4E}{3}$ से $E$ तक के संक्रमण के लिए:
$\Delta E_2 = \frac{4E}{3} - E = \frac{E}{3} = \frac{hc}{\lambda'}$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ से $E$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:
$\frac{1}{3} \left( \frac{hc}{\lambda} \right) = \frac{hc}{\lambda'}$
$\frac{1}{3\lambda} = \frac{1}{\lambda'} \implies \lambda' = 3\lambda$
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(D) संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य से कम होती है $(\lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{red}})$,इसलिए नीली रेखा के संगत फोटॉन की ऊर्जा लाल रेखा के संगत फोटॉन की ऊर्जा से अधिक होनी चाहिए $(E_{\text{blue}} > E_{\text{red}})$।
यह दिया गया है कि $Q$ से $S$ का संक्रमण लाल रेखा के संगत है,इसलिए हमें $E_{Q \to S}$ से अधिक ऊर्जा अंतर वाले संक्रमण की आवश्यकता है।
ऊर्जा स्तर आरेख को देखने पर,$R$ से $G$ का संक्रमण $Q$ से $S$ की तुलना में बड़ा ऊर्जा अंतराल रखता है।
इसलिए,$R$ से $G$ का संक्रमण उच्च ऊर्जा वाला फोटॉन उत्सर्जित करेगा,जो नीली रेखा के संगत है।
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
पहली उत्तेजित अवस्था के लिए,$n_1 = 2$ है।
तीसरी उत्तेजित अवस्था के लिए,$n_2 = 4$ है।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा ऊर्जा के अंतर द्वारा प्राप्त होती है: $\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \ eV$.
मान रखने पर: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 13.6 \left( \frac{4-1}{16} \right) = 13.6 \times \frac{3}{16} = 2.55 \ eV$.

(C) अवशोषण स्पेक्ट्रम में,परमाणु मूल अवस्था से उच्च ऊर्जा स्तरों में संक्रमण करने के लिए फोटॉन को अवशोषित करते हैं।
दी गई आकृति में,मूल अवस्था को स्तर $X$ द्वारा दर्शाया गया है।
इसलिए,केवल स्तर $X$ से शुरू होने वाले संक्रमण ही अवशोषण स्पेक्ट्रम में दिखाई देंगे।
आकृति को देखने पर,स्तर $X$ से उत्पन्न होने वाले संक्रमण रेखाएं $1, 2$ और $3$ हैं।
अतः,रेखाएं $1, 2$ और $3$ अवशोषण स्पेक्ट्रम में दिखाई देंगी।

(A) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$r$ त्रिज्या वाली कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ और स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ इस प्रकार हैं:
$K.E. = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{2r}$
$P.E. = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{r}$
जब हाइड्रोजन परमाणु को मूल अवस्था से उत्तेजित अवस्था में ले जाया जाता है,तो मुख्य क्वांटम संख्या $n$ बढ़ जाती है,जिससे कक्षीय त्रिज्या $r$ बढ़ जाती है $(r \propto n^2)$।
चूंकि $K.E. \propto \frac{1}{r}$,जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,$K.E.$ घटता है।
चूंकि $P.E. \propto -\frac{1}{r}$,जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,$P.E.$ का मान बढ़ता है (यह कम ऋणात्मक हो जाता है)।
अतः,$P.E.$ बढ़ता है और $K.E.$ घटता है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के बोहर मॉडल के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ द्वारा दी जाती है।
सबसे निचली कक्षा के लिए,$n = 1$ है।
सूत्र में $n = 1$ रखने पर,हमें $E_1 = -\frac{13.6}{1^2} = -13.6 \, eV$ प्राप्त होता है।
चूंकि $-13.6 \, eV$ हाइड्रोजन परमाणु के ऊर्जा स्तरों के लिए संभव सबसे अधिक ऋणात्मक मान है,यह न्यूनतम ऊर्जा अवस्था (ग्राउंड स्टेट) को दर्शाता है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ है।
$n = 3$ अवस्था के लिए,ऊर्जा $E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \, eV$ है।
$E_3 = -1.51 \, eV$ प्राप्त होता है।
परमाणु को आयनित करने के लिए,हमें इलेक्ट्रॉन को $n = \infty$ अवस्था में लाने के लिए पर्याप्त ऊर्जा प्रदान करनी होगी,जहाँ ऊर्जा $0 \, eV$ होती है।
आवश्यक आयनन ऊर्जा $\Delta E = E_{\infty} - E_3 = 0 - (-1.51) = 1.51 \, eV$ है।

(B) उत्सर्जित फोटॉन की आवृत्ति $\nu = \frac{\Delta E}{h}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\Delta E$ दो स्तरों के बीच का ऊर्जा अंतर है। चूँकि $\nu \propto \Delta E$,सबसे कम आवृत्ति उस संक्रमण के अनुरूप होती है जिसमें ऊर्जा का अंतर सबसे कम होता है।
ऊर्जा स्तर आरेख से:
$n = 2$ से $n = 1$ के लिए: $\Delta E = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \, eV$
$n = 4$ से $n = 3$ के लिए: $\Delta E = -0.85 - (-1.51) = 0.66 \, eV$
$n = 3$ से $n = 1$ के लिए: $\Delta E = -1.51 - (-13.6) = 12.09 \, eV$
$n = 4$ से $n = 2$ के लिए: $\Delta E = -0.85 - (-3.4) = 2.55 \, eV$
संक्रमण $n = 4$ से $n = 3$ में ऊर्जा का अंतर सबसे कम $(0.66 \, eV)$ है,और इसलिए यह सबसे कम आवृत्ति वाले फोटॉन का उत्सर्जन करता है। अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
$n_i$ से $n_f$ संक्रमण के लिए ऊर्जा परिवर्तन $\Delta E = E_{n_i} - E_{n_f} = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ है।
प्रत्येक विकल्प के लिए ऊर्जा परिवर्तन की गणना:
$(A)$ $n = 2$ से $n = 1$: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \times (1 - 0.25) = 10.2 \text{ eV}$.
$(B)$ $n = 3$ से $n = 1$: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \times (1 - 0.111) = 12.09 \text{ eV}$.
$(C)$ $n = 4$ से $n = 2$: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 13.6 \times (0.25 - 0.0625) = 2.55 \text{ eV}$.
$(D)$ $n = 3$ से $n = 2$: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \times (0.25 - 0.111) = 1.89 \text{ eV}$.
इन मानों की तुलना करने पर,$n = 3$ से $n = 1$ के संक्रमण में $12.09 \text{ eV}$ का अधिकतम ऊर्जा परिवर्तन होता है। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \; eV$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए,ऊर्जा $E_1 = -13.6 \; eV$ है।
परमाणु को पहली उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ में उत्तेजित करने के लिए,ऊर्जा $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \; eV$ है।
उत्तेजन के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \; eV$ है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$।
$3^{rd}$ कक्षा $(n=3)$ के लिए: $E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \approx -1.51 \, eV$।
$4^{th}$ कक्षा $(n=4)$ के लिए: $E_4 = -\frac{13.6}{4^2} = -\frac{13.6}{16} = -0.85 \, eV$।
$4^{th}$ और $3^{rd}$ कक्षा के बीच संक्रमण के लिए ऊर्जा का अंतर: $\Delta E = E_4 - E_3 = -0.85 - (-1.51) = 0.66 \, eV$ है।

(D) ऊर्जा स्तर $n_i$ और $n_f$ के बीच संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
$n = 4$ से $n = 2$ के संक्रमण के लिए,उत्सर्जित ऊर्जा नीले प्रकाश के अनुरूप है।
$n = 5$ से $n = 2$ के संक्रमण के लिए,ऊर्जा का अंतर $\Delta E_{5 \to 2} = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{5^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right) = 13.6 \left( \frac{21}{100} \right) = 2.856 \text{ eV}$ है।
$n = 4$ से $n = 2$ के संक्रमण के लिए,ऊर्जा का अंतर $\Delta E_{4 \to 2} = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 13.6 \left( \frac{3}{16} \right) = 2.55 \text{ eV}$ है।
चूंकि $\Delta E_{5 \to 2} > \Delta E_{4 \to 2}$ है,इसलिए उत्सर्जित प्रकाश की आवृत्ति अधिक होगी और तरंगदैर्ध्य कम होगी।
दृश्य स्पेक्ट्रम में,बैंगनी प्रकाश की आवृत्ति नीले प्रकाश से अधिक और तरंगदैर्ध्य कम होती है। इसलिए,परमाणु बैंगनी प्रकाश का उत्सर्जन करेगा।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = \frac{-13.6 \ eV}{n^2}$।
प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए,क्वांटम संख्या $n = 2$ है।
सूत्र में $n = 2$ रखने पर:
$E_2 = \frac{-13.6 \ eV}{2^2} = \frac{-13.6 \ eV}{4} = -3.4 \ eV$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए,कुल ऊर्जा $(E)$,गतिज ऊर्जा $(K)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$E = -K$
$U = 2E = -2K$
दिया गया है कि प्रथम उत्तेजित अवस्था में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E = -3.4 \ eV$ है।
इसलिए,गतिज ऊर्जा $K = -E = -(-3.4 \ eV) = +3.4 \ eV$ होगी।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था $(n = 1)$ के लिए,$E_1 = -13.6 \, eV$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n = 2)$ के लिए,$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \, eV$ है।
इलेक्ट्रॉन को $n = 1$ से $n = 2$ में उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 \, eV - (-13.6 \, eV) = 10.2 \, eV$ है।
इस ऊर्जा को जूल में बदलने के लिए,हम इसे $1.6 \times 10^{-19} \, J/eV$ के रूपांतरण कारक से गुणा करते हैं:
$\Delta E = 10.2 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 16.32 \times 10^{-19} \, J = 1.632 \times 10^{-18} \, J$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) परमाणुओं के उत्सर्जन या अवशोषण स्पेक्ट्रा में असतत स्पेक्ट्रल रेखाओं का अस्तित्व इलेक्ट्रॉन ऊर्जा स्तरों के क्वांटाइजेशन के लिए प्रत्यक्ष प्रमाण प्रदान करता है। बोहर मॉडल के अनुसार,जब एक इलेक्ट्रॉन दो ऊर्जा स्तरों $E_2$ और $E_1$ के बीच संक्रमण करता है,तो वह $h\nu = E_2 - E_1$ ऊर्जा वाला एक फोटॉन उत्सर्जित या अवशोषित करता है। चूंकि केवल विशिष्ट ऊर्जा स्तर ही अनुमत हैं,इसलिए प्रकाश की केवल विशिष्ट आवृत्तियाँ ही देखी जाती हैं,जिसके परिणामस्वरूप स्पष्ट स्पेक्ट्रल रेखाएं प्राप्त होती हैं।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$.
चूंकि $n$ (मुख्य क्वांटम संख्या) हमेशा एक धनात्मक पूर्णांक $(n = 1, 2, 3, ...)$ होता है,इसलिए पद $\frac{13.6}{n^2}$ हमेशा धनात्मक होता है।
अतः,कुल ऊर्जा $E_n$ हमेशा ऋणात्मक होती है,जो यह दर्शाती है कि इलेक्ट्रॉन नाभिक से बंधा हुआ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
$n=2$ और $n=3$ के बीच ऊर्जा का अंतर $E = E_3 - E_2$ के रूप में दिया गया है।
$E = -\frac{13.6}{3^2} - \left( -\frac{13.6}{2^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \left( \frac{5}{36} \right)$.
अतः,$13.6 = E \times \frac{36}{5} = 7.2 E$.
हाइड्रोजन परमाणु की आयनन ऊर्जा वह ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को $n=1$ से $n=\infty$ तक ले जाने के लिए आवश्यक है,जो $E_{\infty} - E_1 = 0 - (-13.6) = 13.6 \text{ eV}$ है।
इसलिए,आयनन ऊर्जा $7.2 E$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,कुल ऊर्जा $E_n$,स्थितिज ऊर्जा $U_n$,और गतिज ऊर्जा $K_n$ इस प्रकार हैं:
$E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
$U_n = 2E_n = -27.2 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
$K_n = |E_n| = 13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
जब एक इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था $(n > 1)$ से मूल अवस्था $(n = 1)$ में संक्रमण करता है,तो $n$ का मान घटता है।
जैसे-जैसे $n$ घटता है,$K_n$ बढ़ता है क्योंकि यह $1/n^2$ के समानुपाती है।
चूंकि $E_n$ और $U_n$ ऋणात्मक हैं और जैसे-जैसे $n$ घटता है,उनके परिमाण कम होते हैं,जिससे उनके मान अधिक ऋणात्मक हो जाते हैं,जिसका अर्थ है कि वे घटते हैं।
अतः,गतिज ऊर्जा बढ़ती है,जबकि स्थितिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा घटती है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र निम्नलिखित है:
$E_n = \frac{-13.6}{n^2} \, eV$
यहाँ क्वांटम संख्या $n = 5$ दी गई है,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$E_5 = \frac{-13.6}{5^2} \, eV$
$E_5 = \frac{-13.6}{25} \, eV$
$E_5 = -0.544 \, eV$
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $E_5 = -0.54 \, eV$ प्राप्त होता है।

(D) ऊर्जा स्तरों $n_i$ और $n_f$ के बीच संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
आवृत्ति $\nu$ ऊर्जा से $\nu = \frac{\Delta E}{h}$ द्वारा संबंधित है।
दिए गए संक्रमणों के लिए ऊर्जा अंतर की गणना करने पर:
$(a)$ $3 \rightarrow 2$: $\Delta E \propto \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5}{36} \approx 0.138$
$(b)$ $4 \rightarrow 3$: $\Delta E \propto \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = \frac{7}{144} \approx 0.048$
$(c)$ $4 \rightarrow 2$: $\Delta E \propto \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = \frac{3}{16} = 0.1875$
$(d)$ $3 \rightarrow 1$: $\Delta E \propto \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{9} \right) = \frac{8}{9} \approx 0.888$
चूंकि संक्रमण $3 \rightarrow 1$ में सबसे बड़ा ऊर्जा अंतर है,इसलिए यह उच्चतम आवृत्ति के अनुरूप है।

(C) उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति $\nu$ का सूत्र है: $\nu = RC \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$
यहाँ,$R = 10^7 \ m^{-1}$,$C = 3 \times 10^8 \ m/s$,$n_1 = 4$,और $n_2 = 5$ है।
मान रखने पर:
$\nu = (10^7) \times (3 \times 10^8) \left[ \frac{1}{4^2} - \frac{1}{5^2} \right]$
$\nu = 3 \times 10^{15} \left[ \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right]$
$\nu = 3 \times 10^{15} \left[ \frac{25 - 16}{400} \right]$
$\nu = 3 \times 10^{15} \left[ \frac{9}{400} \right]$
$\nu = \frac{27}{400} \times 10^{15} = 0.0675 \times 10^{15} \ Hz = 6.75 \times 10^{13} \ Hz$.

(D) जब एक इलेक्ट्रॉन एक उत्तेजित अवस्था $n$ से निचली ऊर्जा अवस्थाओं में संक्रमण करता है,तो संभावित उत्सर्जन रेखाओं की संख्या निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$N = \frac{n(n - 1)}{2}$
यहाँ,उच्चतम ऊर्जा स्तर $n = 4$ है।
सूत्र में $n = 4$ रखने पर:
$N = \frac{4(4 - 1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$
अतः,$6$ संभावित उत्सर्जन रेखाएँ हैं जो इन संक्रमणों के अनुरूप हैं: $4 \to 3, 4 \to 2, 4 \to 1, 3 \to 2, 3 \to 1,$ और $2 \to 1$.

(C) $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = - \frac{13.6}{n^2} \ eV$ है।
पहली कक्षा $(n = 1)$ के लिए:
$E_1 = - \frac{13.6}{1^2} = - 13.6 \ eV$.
तीसरी कक्षा $(n = 3)$ के लिए:
$E_3 = - \frac{13.6}{3^2} = - \frac{13.6}{9} = - 1.51 \ eV$.
इलेक्ट्रॉन को पहली कक्षा से तीसरी कक्षा में स्थानांतरित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_3 - E_1$ है।
$\Delta E = - 1.51 - (- 13.6) = - 1.51 + 13.6 = 12.09 \ eV$.

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
जब एक इलेक्ट्रॉन प्रारंभिक कक्षा $n_1 = 2$ से अंतिम कक्षा $n_2 = 1$ में कूदता है,तो उत्सर्जित ऊर्जा ऊर्जा स्तरों के अंतर के बराबर होती है:
$\Delta E = E_{n_1} - E_{n_2} = -13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ (उत्सर्जित ऊर्जा के लिए,हम परिवर्तन का परिमाण लेते हैं)।
$\Delta E = -13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{1^2} \right) \ eV$
$\Delta E = -13.6 \left( \frac{1}{4} - 1 \right) \ eV$
$\Delta E = -13.6 \left( -\frac{3}{4} \right) \ eV$
$\Delta E = 10.2 \ eV$.
चूंकि प्रश्न में उत्सर्जित ऊर्जा पूछी गई है,इसलिए सही मान $10.2 \ eV$ है। दिए गए विकल्पों में से कोई भी इस परिणाम से मेल नहीं खाता है।

(D) संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_i - E_f = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ संक्रमण के ऊर्जा अंतर $\Delta E$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
उत्सर्जन तब होता है जब एक इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर से निम्न ऊर्जा स्तर में जाता है।
दिए गए संक्रमणों की तुलना करने पर:
$(A)$ $n = 2$ से $n = 1$: बड़ा ऊर्जा अंतर।
$(B)$ $n = 1$ से $n = 2$: अवशोषण (absorption),उत्सर्जन नहीं।
$(C)$ $n = 2$ से $n = 5$: अवशोषण (absorption),उत्सर्जन नहीं।
$(D)$ $n = 5$ से $n = 2$: $n = 2$ से $n = 1$ की तुलना में छोटा ऊर्जा अंतर।
चूंकि $n = 5 \to 2$ के लिए $\Delta E$,$n = 2 \to 1$ के लिए $\Delta E$ से कम है,इसलिए $n = 5 \to 2$ संक्रमण के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ अधिक होगी।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
दो क्रमिक स्तरों $n$ और $n+1$ के बीच ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_{n+1} - E_n = -13.6 \left( \frac{1}{(n+1)^2} - \frac{1}{n^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) = 13.6 \left( \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} \right) = 13.6 \left( \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} \right)$ है।
जैसे-जैसे मुख्य क्वांटम संख्या $n$ बढ़ती है,हर (denominator) $n^2(n+1)^2$ अंश (numerator) $(2n+1)$ की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ता है।
इसलिए,जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,ऊर्जा का अंतर $\Delta E$ घटता जाता है।
दिए गए चित्र से,हम देख सकते हैं कि जैसे-जैसे हम उच्च ऊर्जा अवस्थाओं की ओर बढ़ते हैं,ऊर्जा का अंतर कम होता जाता है: $E_1 > E_2 > E_3$।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -\frac{13.6 \ Z^2}{n^2} \ eV$ है।
$Li^{++}$ (लिथियम आयन) के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $n = 2$ के अनुरूप होती है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,प्रथम उत्तेजित अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_2 = -\frac{13.6 \times 3^2}{2^2} = -\frac{13.6 \times 9}{4} = -30.6 \ eV$ प्राप्त होती है।
बंधन ऊर्जा (इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा) इस ऊर्जा का परिमाण है,जो $30.6 \ eV$ है।

(D) $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \; eV$ द्वारा दी जाती है।
$n = 3$ के लिए,$E_3 = \frac{-13.6}{3^2} = \frac{-13.6}{9} \approx -1.51 \; eV$.
$n = 2$ के लिए,$E_2 = \frac{-13.6}{2^2} = \frac{-13.6}{4} = -3.4 \; eV$.
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा दोनों अवस्थाओं के बीच ऊर्जा के अंतर के बराबर होती है:
$\Delta E = E_3 - E_2 = -1.51 - (-3.4) = -1.51 + 3.4 = 1.89 \; eV$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,ऊर्जा लगभग $1.9 \; eV$ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E = 13.6 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right] eV$.
बामर श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_1 = 2$ ऊर्जा स्तर पर समाप्त होता है।
उच्चतम ऊर्जा वाला फोटॉन सबसे उच्च संभव ऊर्जा स्तर,यानी $n_2 = \infty$ से होने वाले संक्रमण के अनुरूप होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] eV$
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{4} - 0 \right] eV$
$E = \frac{13.6}{4} eV = 3.4 eV$.
अतः,बामर श्रेणी के उच्चतम ऊर्जा वाले फोटॉन की ऊर्जा $3.4 eV$ है।

(A) बोर के अभिधारणाओं के अनुसार,$m$ द्रव्यमान और $v$ वेग वाले इलेक्ट्रॉन के लिए $r$ त्रिज्या की कक्षा में घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल,नाभिक (आवेश $+e$) और इलेक्ट्रॉन (आवेश $-e$) के बीच स्थिर-विद्युत आकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है:
$\frac{mv^2}{r} = \frac{ke^2}{r^2} \implies mv^2 = \frac{ke^2}{r} \quad (1)$
बोर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,कोणीय संवेग क्वांटाइज्ड होता है:
$mvr = \frac{nh}{2\pi} \implies v = \frac{nh}{2\pi mr} \quad (2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ में रखने पर:
$m\left(\frac{nh}{2\pi mr}\right)^2 = \frac{ke^2}{r} \implies \frac{n^2h^2}{4\pi^2mr^2} = \frac{ke^2}{r} \implies r = \frac{n^2h^2}{4\pi^2kme^2}$
गतिज ऊर्जा $E_K$ है:
$E_K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{ke^2}{r}\right) = \frac{ke^2}{2} \left(\frac{4\pi^2kme^2}{n^2h^2}\right) = \frac{2\pi^2k^2me^4}{n^2h^2}$
स्थितिज ऊर्जा $E_p$ है:
$E_p = -\frac{ke^2}{r} = -ke^2 \left(\frac{4\pi^2kme^2}{n^2h^2}\right) = -\frac{4\pi^2k^2me^4}{n^2h^2}$
कुल ऊर्जा $E$ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है:
$E = E_K + E_p = \frac{2\pi^2k^2me^4}{n^2h^2} - \frac{4\pi^2k^2me^4}{n^2h^2} = -\frac{2\pi^2k^2me^4}{n^2h^2}$

(B) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,कुल ऊर्जा $(E)$,गतिज ऊर्जा $(K)$,और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$E = -K$
$U = 2E$
दिया गया है कि मूल अवस्था ऊर्जा $E = -13.6 \, eV$ है।
अतः,स्थितिज ऊर्जा $U = 2 \times (-13.6 \, eV) = -27.2 \, eV$ होगी।

(D) उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_{initial} - E_{final}$ द्वारा दी जाती है।
उत्सर्जन तब होता है जब एक इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर से निचले ऊर्जा स्तर में संक्रमण करता है।
संक्रमण $II$ और $IV$ उत्सर्जन का प्रतिनिधित्व करते हैं।
संक्रमण $II$,$n=4$ से $n=3$ तक है,और संक्रमण $IV$,$n=4$ से $n=2$ तक है।
ऊर्जा का अंतर $\Delta E$ ऊर्जा स्तरों के बीच के अंतराल के समानुपाती होता है।
चूंकि $n=4$ और $n=2$ के बीच का अंतराल $n=4$ और $n=3$ के बीच के अंतराल से बड़ा है,इसलिए संक्रमण $IV$,संक्रमण $II$ की तुलना में अधिक ऊर्जा मुक्त करता है।
अतः,संक्रमण $IV$ सबसे अधिक ऊर्जा वाले फोटॉन के उत्सर्जन का प्रतिनिधित्व करता है।

(A) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,$T$ तापमान पर गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2} kT$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक $(k = 1.38 \times 10^{-23} \, J/K)$ है।
हाइड्रोजन परमाणु को प्रथम उत्तेजित अवस्था में उत्तेजित करने के लिए,टकराने वाले कणों की गतिज ऊर्जा कम से कम $10.2 \, eV$ होनी चाहिए।
ऊर्जा को जूल में बदलने पर: $E = 10.2 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 1.632 \times 10^{-18} \, J$.
ऊर्जा को बराबर रखने पर: $1.632 \times 10^{-18} = \frac{3}{2} \times (1.38 \times 10^{-23}) \times T$.
$T$ के लिए हल करने पर: $T = \frac{1.632 \times 10^{-18} \times 2}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}} \approx 7.88 \times 10^4 \, K$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$T \approx 7.9 \times 10^4 \, K$ प्राप्त होता है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु को प्रथम उत्तेजित अवस्था में उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = 10.2 \ eV$ है।
तापमान $T$ ज्ञात करने के लिए,हम गैस के परमाणुओं की औसत गतिज ऊर्जा को उत्तेजन ऊर्जा के बराबर रखते हैं: $\frac{3}{2} kT = \Delta E$.
यहाँ,$k = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $\Delta E = 10.2 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$ है।
मान रखने पर: $T = \frac{2 \Delta E}{3k} = \frac{2 \times 10.2 \times 1.6 \times 10^{-19}}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}}$.
$T = \frac{32.64 \times 10^{-19}}{4.14 \times 10^{-23}} \approx 7.88 \times 10^4 \ K$.

(A) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U$ का मान $U = -\frac{ke^2}{r}$ होता है,जिसका अर्थ है $U \propto -\frac{1}{r}$।
गतिज ऊर्जा $K$ का मान $K = \frac{ke^2}{2r}$ होता है,जिसका अर्थ है $K \propto \frac{1}{r}$।
जब इलेक्ट्रॉन मूल अवस्था से उत्तेजित अवस्था में जाता है,तो मुख्य क्वांटम संख्या $n$ बढ़ती है,जिसका अर्थ है कि कक्षीय त्रिज्या $r$ बढ़ती है।
जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,गतिज ऊर्जा $K$ घटती है।
चूंकि $U$ ऋणात्मक है और $-1/r$ के समानुपाती है,इसलिए जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,$U$ का परिमाण कम होता है,जिससे $U$ का मान शून्य की ओर बढ़ता है (अर्थात यह बढ़ता है)।
अतः,स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है और गतिज ऊर्जा घटती है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ है।
ग्राउंड स्टेट के लिए,$n = 1$,इसलिए ऊर्जा $E_1 = -13.6 \ eV$ है।
परमाणु से इलेक्ट्रॉन को हटाने (आयनन) के लिए,हमें उसे उस अवस्था में लाने के लिए पर्याप्त ऊर्जा देनी होगी जहाँ $n = \infty$ हो,जहाँ ऊर्जा $E_{\infty} = 0 \ eV$ होती है।
आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_{\infty} - E_1 = 0 - (-13.6 \ eV) = 13.6 \ eV$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
जब इलेक्ट्रॉन $(n+1)$ से $n$ में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_{n+1} - E_n = 13.6 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) \text{ eV}$ होती है।
इसे सरल करने पर $\Delta E = 13.6 \left( \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} \right) = 13.6 \left( \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} \right)$ प्राप्त होता है।
बड़े $n$ के लिए,$2n+1 \approx 2n$ और $n^2(n+1)^2 \approx n^4$ होता है।
अतः,$\Delta E \approx 13.6 \left( \frac{2n}{n^4} \right) = \frac{27.2}{n^3}$।
चूंकि फोटॉन की ऊर्जा और तरंगदैर्ध्य के बीच संबंध $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ है,इसलिए $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ होगा।
$\Delta E \propto \frac{1}{n^3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda \propto n^3$ प्राप्त होता है।

(C) उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ आवृत्ति है।
चूँकि $\nu = E/h$,सबसे अधिक आवृत्ति उस संक्रमण के अनुरूप होती है जिसमें सबसे बड़ा ऊर्जा अंतर $\Delta E$ होता है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n$ स्तर की ऊर्जा $E_n = -13.6/n^2 \ eV$ है।
अवशोषण वाले संक्रमण (जैसे $n=1$ से $n=2$ या $n=2$ से $n=6$) फोटॉन का उत्सर्जन नहीं करते हैं।
उत्सर्जन संक्रमणों की तुलना करने पर:
$n=6$ से $n=2$ के लिए,$\Delta E = 13.6 \times (1/2^2 - 1/6^2) = 13.6 \times (1/4 - 1/36) = 13.6 \times (8/36) \approx 3.02 \ eV$.
$n=2$ से $n=1$ के लिए,$\Delta E = 13.6 \times (1/1^2 - 1/2^2) = 13.6 \times (1 - 1/4) = 13.6 \times (3/4) = 10.2 \ eV$.
चूँकि $10.2 \ eV > 3.02 \ eV$,इसलिए $n=2$ से $n=1$ का संक्रमण सबसे अधिक ऊर्जा मुक्त करता है और इस प्रकार सबसे अधिक आवृत्ति वाले फोटॉन का उत्सर्जन करता है।

(A) उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा संक्रमण में शामिल दो स्तरों के बीच ऊर्जा के अंतर द्वारा दी जाती है: $E = E_{initial} - E_{final} = h\nu$.
उत्सर्जन होने के लिए,इलेक्ट्रॉन को उच्च ऊर्जा स्तर से निम्न ऊर्जा स्तर में संक्रमण करना चाहिए।
संक्रमण $II$ और $III$ उत्सर्जन संक्रमण हैं (नीचे की ओर तीर)।
संक्रमण $I$ एक अवशोषण संक्रमण है (ऊपर की ओर तीर)।
संक्रमण $IV$ भी एक उत्सर्जन संक्रमण है।
ऊर्जा अंतराल की तुलना करने पर:
संक्रमण $II$,$n=4$ से $n=3$ तक है।
संक्रमण $III$,$n=2$ से $n=1$ तक है।
संक्रमण $IV$,$n=4$ से $n=2$ तक है।
ऊर्जा का अंतर स्तरों के बीच के अंतराल के समानुपाती होता है। $n=2$ और $n=1$ के बीच का अंतराल $n=4$ और $n=3$ या $n=4$ और $n=2$ के बीच के अंतराल से काफी बड़ा है।
इसलिए,संक्रमण $III$ सबसे बड़े ऊर्जा परिवर्तन के अनुरूप है और इस प्रकार यह सबसे अधिक ऊर्जा वाले फोटॉन का उत्सर्जन करेगा।

(D) हाइड्रोजन परमाणु में उत्सर्जित फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$.
इसका अर्थ है कि $\lambda$ संक्रमण के ऊर्जा अंतर $\Delta E$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जहाँ $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$.
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य प्राप्त करने के लिए,ऊर्जा अंतर $\Delta E$ अधिकतम होना चाहिए।
संक्रमणों की तुलना करने पर:
$(A)$ $\Delta E \propto (1/16 - 1/25) = 0.0225$
$(B)$ $\Delta E \propto (1/9 - 1/16) = 0.0486$
$(C)$ $\Delta E \propto (1/4 - 1/9) = 0.1389$
$(D)$ $\Delta E \propto (1/1 - 1/4) = 0.7500$
$n = 2$ से $n = 1$ का संक्रमण सबसे बड़ा ऊर्जा परिवर्तन देता है,और इसलिए,इसकी तरंगदैर्ध्य न्यूनतम होगी।