m द्रव्यमान का एक कण एक केंद्रीय विभव क्षेत्र | vedclass

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Question

(A) दिया गया स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}kr^2$ है।बल $F = -\frac{dU}{dr} = -kr$ है।वृत्ताकार गति के लिए,अभिकेंद्री बल विभव क्षेत्र द्वारा प्रदान किय

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$r_n \propto \sqrt{n}, E_n \propto n$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}kr^2$ है।बल $F = -\frac{dU}{dr} = -kr$ है।वृत्ताकार गति के लिए,अभिकेंद्री बल विभव क्षेत्र द्वारा प्रदान किया जाता है:$\frac{mv^2}{r} = kr \implies mv^2 = kr^2$ .... $(i)$बोहर की क्वांटमीकरण शर्त के अनुसार:$mvr = \frac{nh}{2\pi} \implies v = \frac{nh}{2\pi mr}$ .... $(ii)$$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$m(\frac{nh}{2\pi mr})^2 = kr^2$$\frac{n^2h^2}{4\pi^2mr^2} = kr^2 \implies r^4 = \frac{n^2h^2}{4\pi^2mk} \implies r^2 \propto n \implies r_n \propto \sqrt{n}$.कुल ऊर्जा $E = K + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kr^2$.$(i)$ से,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kr^2$,इसलिए $E = \frac{1}{2}kr^2 + \frac{1}{2}kr^2 = kr^2$.चूंकि $r^2 \propto n$,इसलिए $E_n \propto n$ प्राप्त होता है।

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