Bohr's Model of Hydrogen Atom Questions in Gujarati

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{kQ}{r}$ છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ છે.
હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસ માટે,વિદ્યુતભાર $Q = +e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ છે.
કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = 0.53 \times 10^{-10} \, m$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{9 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-19}}{0.53 \times 10^{-10}}$
$V = \frac{14.4 \times 10^{-10}}{0.53 \times 10^{-10}}$
$V \approx 27.17 \, V \approx 27.2 \, V$.

(B) પરિભ્રમણ કરતા વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $I$ એ સૂત્ર $I = qf$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $q$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે અને $f$ એ પરિભ્રમણની આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે:
ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
આવૃત્તિ $f = 6.6 \times 10^{15} \, \text{rev/s}$
કિંમતો મૂકતા:
$I = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (6.6 \times 10^{15} \, \text{s}^{-1})$
$I = 10.56 \times 10^{-4} \, A$
$I \approx 1.056 \times 10^{-3} \, A$
$I \approx 1 \, mA$
તેથી, સમતુલ્ય પ્રવાહ લગભગ $1 \, mA$ છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોનના પરિભ્રમણનો સમયગાળો $T = \frac{2\pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહ $i$ એ વિદ્યુતભારના વહેવાનો દર હોવાથી,$i = \frac{e}{T}$ થાય.
$T$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $i = \frac{ev}{2\pi r}$ મળે છે.
આપેલ છે: $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$v = 2 \times 10^6 \ m/s$,અને $r = 0.5 \ \mathring{A} = 0.5 \times 10^{-10} \ m$.
$i = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^6}{2 \times 3.14 \times 0.5 \times 10^{-10}}$.
$i = \frac{3.2 \times 10^{-13}}{3.14 \times 10^{-10}} \approx 1.019 \times 10^{-3} \ A$.
$mA$ માં રૂપાંતર કરતા,$i \approx 1 \ mA$ મળે છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લીના અધિતર્ક મુજબ,$n$ મી કક્ષાનો પરિઘ એ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇના પૂર્ણાંક ગુણાંક જેટલો હોય છે: $2\pi r_n = n\lambda$.
આપેલ છે: તરંગલંબાઇ $\lambda = 10^{-9} \ m$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = n^2 a_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a_0 = 0.529 \times 10^{-10} \ m$ છે.
$n=3$ માટે,$r_3 = 3^2 \times 0.529 \times 10^{-10} \ m = 9 \times 0.529 \times 10^{-10} \ m \approx 4.76 \times 10^{-10} \ m$.
શરત $n = \frac{2\pi r_n}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n = \frac{2 \times 3.14159 \times 4.76 \times 10^{-10}}{10^{-9}} \approx 3$.
આમ,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $3$ છે.

(D) બોહરના હાઇડ્રોજન પરમાણુ મોડેલ મુજબ,$n$ મી સ્થિર કક્ષાની ત્રિજ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$r_n = \frac{\varepsilon_0 n^2 h^2}{\pi Z m e^2}$
આ સમીકરણમાં,$\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે,$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે.
આ તમામ પરિમાણો આપેલ પરમાણુ માટે અચળ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$r \propto n^2$.

(D) ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેના સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
$n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ ના સંક્રમણ માટે,પદ $\left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \frac{3}{4}$ તમામ હાઇડ્રોજન જેવા તત્વો માટે અચળ છે.
તેથી,$\frac{1}{\lambda} \propto Z^2$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$.
લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda$ મેળવવા માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ મહત્તમ હોવો જોઈએ.
- હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(H)$: $Z = 1$
- ડ્યુટેરિયમ પરમાણુ $(D)$: $Z = 1$
- એક-આયનીકૃત હિલિયમ $(He^+)$: $Z = 2$
- દ્વિ-આયનીકૃત લિથિયમ $(Li^{2+})$: $Z = 3$
જેহেতু $Li^{2+}$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $(Z = 3)$ સૌથી વધુ છે,તેથી તે લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ ધરાવતી વર્ણપટ રેખા ઉત્પન્ન કરશે.

(B) રેખીય વેગમાન $p$ એ પદાર્થના દળ $m$ અને તેના વેગ $v$ નો ગુણાકાર છે.
$p = m \times v$
આપેલ છે:
દળ $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$
વેગ $v = 2.2 \times 10^6 \ m/s$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$p = (9.1 \times 10^{-31} \ kg) \times (2.2 \times 10^6 \ m/s)$
$p = (9.1 \times 2.2) \times 10^{-31+6} \ kg \cdot m/s$
$p = 20.02 \times 10^{-25} \ kg \cdot m/s$
$p = 2.002 \times 10^{-24} \ kg \cdot m/s$
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા:
$p \approx 2.0 \times 10^{-24} \ kg \cdot m/s$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) બોહરના મોડેલ મુજબ,હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = n^2 a_0$ છે,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે.
બીજી બોહર કક્ષા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 2$ છે.
સૂત્રમાં $n = 2$ મૂકતા,આપણને $r_2 = (2)^2 a_0 = 4 a_0$ મળે છે.
તેથી,બીજી બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા $4 a_0$ છે.

(C) બીજા $He$ ઇલેક્ટ્રોનના આયનીકરણ માટે,$He^+$ આયન હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ તરીકે વર્તે છે,જેનો પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે આયનીકરણ ઉર્જાનું સૂત્ર $E = Z^2 \times 13.6 \, eV$ છે.
સૂત્રમાં $Z = 2$ મૂકતા:
$E = (2)^2 \times 13.6 \, eV = 4 \times 13.6 \, eV = 54.4 \, eV$.
તેથી,આયનીકરણ પોટેન્શિયલ $54.4 \, V$ છે.

(B) $CGS$ પદ્ધતિમાં,હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{e^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1/r$ સ્થિતિમાન ધરાવતી સિસ્ટમ માટે વિરિયલ પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જા $K$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = -\frac{1}{2}U$ છે.
$U$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $K = -\frac{1}{2} \left( -\frac{e^2}{r} \right) = \frac{e^2}{2r}$.

(B) ધારો કે $A, B$ અને $C$ અવસ્થાઓની ઉર્જા અનુક્રમે $E_A, E_B$ અને $E_C$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$C$ થી $A$ ના સંક્રમણની ઉર્જા એ $C$ થી $B$ અને $B$ થી $A$ ના સંક્રમણની ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
આમ,$(E_C - E_A) = (E_C - E_B) + (E_B - E_A)$.
સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{hc}{\lambda_3} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_2}$
બંને બાજુને $hc$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{\lambda_1 + \lambda_2}{\lambda_1 \lambda_2}$
તેથી,$\lambda_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$.

(C) બોહરના બીજા અધિતર્ક મુજબ,સ્થાયી કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L$ ક્વોન્ટાઈઝ્ડ હોય છે.
તે $L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n = 1, 2, 3, ...)$ છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,અને $m, v, r$ એ અનુક્રમે ઇલેક્ટ્રોનનું દળ,વેગ અને કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની આયનીકરણ ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = 13.6 \times Z^2 \text{ eV}$ છે,જ્યાં $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
સોડિયમ $(Na)$ પરમાણુ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 11$ છે.
$10$ વખત આયનીકૃત સોડિયમ પરમાણુ એ હાઇડ્રોજન જેવો આયન છે જેમાં એક ઇલેક્ટ્રોન બાકી રહે છે.
તેથી,આયનીકરણ ઉર્જા $E = 13.6 \times Z^2 \text{ eV} = 13.6 \times (11)^2 \text{ eV}$ થશે.

(D) બોહરના મોડેલ મુજબ,$n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$r = \frac{\varepsilon_0 n^2 h^2}{\pi Z m e^2}$
આ સમીકરણમાં,$\varepsilon_0$,$h$,$\pi$,$m$,અને $e$ એ તમામ ભૌતિક અચળાંકો છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r$ એ $n^2$ ના સમપ્રમાણમાં અને $Z$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
આમ,$r \propto \frac{n^2}{Z}$.

(B) બોહરના મોડેલ મુજબ,$n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બીજી કક્ષાની $(n=2)$ ત્રિજ્યા $R$ છે,તેથી $r_2 = k(2)^2 = 4k = R$,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
તેથી,$k = \frac{R}{4}$.
ત્રીજી કક્ષા $(n=3)$ માટે,ત્રિજ્યા $r_3 = k(3)^2 = 9k$ થશે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $r_3 = 9 \times \frac{R}{4} = 2.25 R$ મળે છે.

(A) $C.G.S.$ પદ્ધતિમાં,ન્યુક્લિયસ (વીજભાર $Ze$) અને ઇલેક્ટ્રોન (વીજભાર $e$) વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત આકર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{(Ze)(e)}{r^2} = \frac{Ze^2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{r}$ છે.
બંને બળોને સરખાવતા: $\frac{mv^2}{r} = \frac{Ze^2}{r^2}$.
બંને બાજુ $r$ વડે ગુણતા,આપણને $mv^2 = \frac{Ze^2}{r}$ મળે છે.
ગતિઊર્જા $K$ ને $K = \frac{1}{2}mv^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$mv^2$ માટેનું પદ મૂકતા: $K = \frac{1}{2} \left( \frac{Ze^2}{r} \right) = \frac{Ze^2}{2r}$.

(D) કોણીય વેગમાનના ક્વોન્ટાઈઝેશન માટેના બોહરના પૂર્વધારણા મુજબ,$n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = mvr = n\frac{h}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $2\pi r = n\left(\frac{h}{mv}\right)$ મળે છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ ની વ્યાખ્યા $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકી શકીએ છીએ.
તેથી,કક્ષાનો પરિઘ $2\pi r = n\lambda$ થાય છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે બોહરના મોડેલ મુજબ,$r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ $K.E. = \frac{kZe^2}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિઊર્જા $(P.E.)$ $P.E. = -\frac{kZe^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે બંને પદોનો ભાગાકાર કરીએ:
$\frac{K.E.}{P.E.} = \frac{\frac{kZe^2}{2r}}{-\frac{kZe^2}{r}} = -\frac{1}{2} = -0.5$.
આમ,ગુણોત્તર $-0.5$ છે.

(C) તરંગ આંક $\bar{\nu}$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
અહીં,સંક્રમણ $n_2 = 4$ થી $n_1 = 2$ તરફ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right]$.
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right]$.
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{4 - 1}{16} \right] = \frac{3R}{16}$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુના બોહર મોડેલમાં,કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ $K.E. = \frac{kZe^2}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા $(T.E.)$ $T.E. = -\frac{kZe^2}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $K.E. = -(T.E.)$.
તેથી,ગતિઊર્જા અને કુલ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K.E.}{T.E.} = \frac{K.E.}{-K.E.} = -1$ થાય છે.

(A) બોહરના મોડેલ મુજબ,કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ વધે છે,તેમ કક્ષાની ઉર્જા વધે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન નીચી ઉર્જા સ્તર $(n=1)$ થી ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $(n=3)$ માં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે ઉર્જાના તફાવતને દૂર કરવા માટે તેણે બહારના સ્ત્રોતમાંથી ઉર્જા મેળવવી પડે છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન $\Delta E = E_3 - E_1$ જેટલી ઉર્જાનું શોષણ કરે છે.

(A) કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $(P.E.)$ $P.E. = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{(Ze)( -e)}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(Z=1)$ માટે,આ $P.E. = - \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 r}$ થાય છે.
સ્થિર કક્ષા માટે વિરિયલ પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જા $(K.E.)$ અને સ્થિતિઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ $K.E. = -\frac{1}{2} (P.E.)$ છે.
$P.E.$ નું સમીકરણ મૂકતા,આપણને $K.E. = -\frac{1}{2} \left( - \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 r} \right) = + \frac{e^2}{8\pi \varepsilon_0 r}$ મળે છે.
આમ,ગતિઊર્જા $+ \frac{e^2}{8\pi \varepsilon_0 r}$ છે અને સ્થિતિઊર્જા $- \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 r}$ છે.

(C) બોહરના અભિધારણા મુજબ,સ્થિર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L$ ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$
જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,$v$ એ તેનો વેગ છે અને $r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુના સૌથી નીચા ઉર્જા સ્તર (ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ) માટે,$n = 1$ હોય છે.
સૂત્રમાં $n = 1$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$L = \frac{1 \cdot h}{2\pi} = \frac{h}{2\pi}$.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 n^2 h^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહર મોડેલનો ઉપયોગ કરીને,$n_2$ થી $n_1$ માં સંક્રમણ માટે તરંગ સંખ્યા $\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
ઉર્જા તફાવત $\Delta E = h c \bar{\nu} = E_{n_2} - E_{n_1}$ પરથી,આપણને $R = \frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 c h^3}$ મળે છે.
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ મૂકતા,આપણી પાસે $\varepsilon_0 = \frac{1}{4 \pi k}$ છે,તેથી $\varepsilon_0^2 = \frac{1}{16 \pi^2 k^2}$ થાય.
આમ,$R = \frac{m e^4}{8 (\frac{1}{16 \pi^2 k^2}) c h^3} = \frac{16 \pi^2 k^2 m e^4}{8 c h^3} = \frac{2 \pi^2 k^2 m e^4}{c h^3}$.
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $R = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \right)^2 \frac{2 \pi^2 m e^4}{c h^3}$ મળે છે.

(C) બોહરના અભિધારણા મુજબ,$n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $L = n \left( \frac{h}{2\pi} \right)$.
બીજી કક્ષા માટે,આપણી પાસે $n = 2$ છે.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા: $L = 2 \times \left( \frac{h}{2\pi} \right) = \frac{h}{\pi}$.
તેથી,બીજી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $\frac{h}{\pi}$ થશે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n = v_0 \frac{Z}{n}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે અને $n$ એ કક્ષાનો ક્રમાંક છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આપેલ પરમાણુ માટે (અચળ $Z$),વેગ એ કક્ષાના ક્રમાંકના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $v_n \propto \frac{1}{n}$.
આપેલ છે કે બીજી કક્ષામાં $(n_2 = 2)$ વેગ $v$ છે,તેથી $v_2 = v$.
આપણે પાંચમી કક્ષામાં $(n_5 = 5)$ વેગ $v_5$ શોધવાનો છે.
પ્રમાણસરતા $v_n \propto \frac{1}{n}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ગુણોત્તર લખી શકીએ: $\frac{v_5}{v_2} = \frac{n_2}{n_5}$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_5}{v} = \frac{2}{5}$.
તેથી,$v_5 = \frac{2}{5}v$.

(D) ઉત્તેજિત અવસ્થા $n$ થી ધરા અવસ્થામાં સંભવિત ઉત્સર્જન સંક્રમણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $N_E = \frac{n(n - 1)}{2}$ છે.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોન ચોથી ઉર્જા અવસ્થામાં છે,તેથી $n = 4$.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા:
$N_E = \frac{4(4 - 1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
તેથી,કુલ $6$ ઉત્સર્જન સંક્રમણો શક્ય છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોનની વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેના સ્થિત-વિદ્યુત કુલંબ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
કેન્દ્રગામી બળને કુલંબ બળ સાથે સરખાવતા:
$\frac{m{v^2}}{{a_0}} = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{{e^2}}}{{a_0^2}}$
બંને બાજુથી $a_0$ ને દૂર કરતા:
$m{v^2} = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{{e^2}}}{{a_0}}$
$v^2$ માટે ઉકેલતા:
${v^2} = \frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{a_0}m}}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ મળે છે:
$v = \frac{e}{{\sqrt {4\pi {\varepsilon _0}{a_0}m} }}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) બોહર મોડેલ મુજબ,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ધરાવતી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $r \propto n^2$ અને $v \propto \frac{1}{n}$,તેથી $T \propto n^3$ મળે છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક અવસ્થામાં આવર્તકાળ અંતિમ અવસ્થા કરતા આઠ ગણો છે: $T_{n_1} = 8 T_{n_2}$.
પ્રમાણસરતા મૂકતા: $n_1^3 = 8 n_2^3$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $n_1 = 2 n_2$.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $(a)$ માટે: $n_1 = 4, n_2 = 2$. અહીં $4 = 2(2)$,જે સાચું છે.
વિકલ્પ $(b)$ માટે: $n_1 = 6, n_2 = 3$. અહીં $6 = 2(3)$,જે સાચું છે.
આમ,$(a)$ અને $(b)$ બંને શક્યતાઓ સાચી છે.

(D) બોહર મોડેલ મુજબ,હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \; eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે વાર આયનીકૃત લિથિયમ પરમાણુ $(Li^{2+})$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
ભૂમિ અવસ્થા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,ભૂમિ અવસ્થાની ઊર્જા $E_1 = -13.6 \times \frac{3^2}{1^2} \; eV = -13.6 \times 9 \; eV = -122.4 \; eV$ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા (આયનીકરણ ઊર્જા) એ ઇલેક્ટ્રોનને ભૂમિ અવસ્થામાંથી અનંત સુધી $(E_{\infty} = 0)$ લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા છે.
તેથી,આયનીકરણ ઊર્જા $= E_{\infty} - E_1 = 0 - (-122.4 \; eV) = 122.4 \; eV$.

(B) બોહરના મોડેલમાં,$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઊર્જા $PE = -\frac{ke^2}{r_n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_n \propto n^2$ છે. જેમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ વધે છે,તેમ ત્રિજ્યા $r_n$ વધે છે,જેનાથી સ્થિતિ ઊર્જા $PE$ ઓછી ઋણ બને છે (એટલે કે,તે વધે છે).
કુલ ઊર્જા $TE = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $n$ વધે છે,તેમ છેદ $n^2$ વધે છે,જેનાથી કુલ ઊર્જા $TE$ ઓછી ઋણ બને છે (એટલે કે,તે શૂન્ય તરફ વધે છે).
તેથી,જેમ ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઊર્જા સ્તરમાં જાય છે તેમ $PE$ અને $TE$ બંને વધે છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં $n^{\text{મી}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = r_0 \times \frac{n^2}{Z}$, જ્યાં $r_0 = 0.53 \ \mathring{A}$ એ હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
હિલિયમ આયન $(He^+)$ માટે, પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
બીજી કક્ષા માટે, $n = 2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$r_2 = 0.53 \times \frac{2^2}{2} \ \mathring{A}$
$r_2 = 0.53 \times \frac{4}{2} \ \mathring{A}$
$r_2 = 0.53 \times 2 \ \mathring{A} = 1.06 \ \mathring{A}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા આયનો માટે રિડબર્ગના સૂત્ર મુજબ,વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$,તેથી $\frac{1}{\lambda_H} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
આયનીય પરમાણુ માટે,$\frac{1}{\lambda_{ion}} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
આપેલ છે કે $\lambda_{ion} = \frac{1}{4} \lambda_H$,તેથી $\frac{1}{\lambda_{ion}} = 4 \frac{1}{\lambda_H}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) = 4 R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $Z^2 = 4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $Z = 2$.
પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ ધરાવતું તત્વ હિલિયમ $(He)$ છે. તે આયન હોવાથી તે $He^+$ છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) બામર શ્રેણીની ત્રીજી રેખા માટે,સંક્રમણ $n_2 = 5$ થી $n_1 = 2$ થાય છે.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
આપેલ છે કે $\lambda = 108.5 \ nm = 108.5 \times 10^{-9} \ m$ અને $R \approx 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{108.5 \times 10^{-9}} = (1.097 \times 10^7) Z^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{5^2} \right]$.
$\frac{1}{108.5 \times 10^{-9}} = (1.097 \times 10^7) Z^2 \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right] = (1.097 \times 10^7) Z^2 \left[ \frac{21}{100} \right]$.
$Z^2$ માટે ઉકેલતા: $Z^2 \approx 4$,તેથી $Z = 2$.
હાઇડ્રોજન જેવા આયન માટે ધરા-સ્થિતિની ઉર્જા $E = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધરા-સ્થિતિ માટે,$n = 1$,તેથી $E = -13.6 \times \frac{2^2}{1^2} = -54.4 \ eV$.
આમ,ધરા-સ્થિતિની ઉર્જાનું મૂલ્ય $54.4 \ eV$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n = 1$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની બંધન ઉર્જા એ ઇલેક્ટ્રોનને પરમાણુમાંથી અનંત અંતરે દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે,જે $13.6\, eV$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,આયનીકરણ ઉર્જા એ ઇલેક્ટ્રોનને તેની ધરા-સ્થિતિમાંથી ન્યુક્લિયસથી અનંત અંતરે દૂર કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા છે.
તેથી,આયનીકરણ ઉર્જા એ બંધન ઉર્જાના મૂલ્ય જેટલી જ હોય છે.
આયનીકરણ ઉર્જા = $13.6\, eV$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની આયનીકરણ ઉર્જા $E$ અને રિડબર્ગ અચળાંક $R$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = Rch$ છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે અને $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
$R$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$R = \frac{E}{ch}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $E = 13.6 \, eV = 13.6 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J$,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$,અને $h = 6.6 \times 10^{-34} \, J \cdot s$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{13.6 \times 1.6 \times 10^{-19}}{3 \times 10^8 \times 6.6 \times 10^{-34}}$
$R = \frac{21.76 \times 10^{-19}}{19.8 \times 10^{-26}}$
$R \approx 1.098 \times 10^7 \, m^{-1}$.
આમ,$R$ નો ક્રમ $10^7 \, m^{-1}$ છે.

(B) બોહરનું પરમાણુ મોડેલ કેટલાક અભિધારણાઓ પર આધારિત છે. એક પાયાની અભિધારણા કોણીય વેગમાનનું ક્વોન્ટાઈઝેશન છે. બોહરે સૂચવ્યું કે ઇલેક્ટ્રોન ફક્ત એવી જ કક્ષાઓમાં ભ્રમણ કરી શકે છે જેના માટે તેનું કોણીય વેગમાન $h / (2\pi)$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે. આને $L = mvr = n(h / 2\pi)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ છે. આમ,બોહરે પરમાણુઓની સ્થિરતા અને અવલોકિત વર્ણપટ રેખાઓને સમજાવવા માટે કોણીય વેગમાનના ક્વોન્ટાઈઝેશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કર્યો હતો.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = r_0 n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_0$ એ ધરા અવસ્થા $(n=1)$ ની ત્રિજ્યા છે.
તેથી,અંતિમ ત્રિજ્યા $r_f$ અને પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_i$ નો ગુણોત્તર $\frac{r_f}{r_i} = \left( \frac{n_f}{n_i} \right)^2$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $r_i = 5.3 \times 10^{-11} \ m$ ($n_i = 1$ માટે) અને $r_f = 21.2 \times 10^{-11} \ m$ ($n_f = n$ માટે) આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{21.2 \times 10^{-11}}{5.3 \times 10^{-11}} = \left( \frac{n}{1} \right)^2$.
$4 = n^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $n = 2$ મળે છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = n^2 a_0$ છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ (મૂળ અવસ્થા) માટે,$n = 1$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n = 2$ છે.
સૂત્રમાં $n = 2$ મૂકતા,આપણને $r_2 = (2)^2 a_0 = 4 a_0$ મળે છે.
તેથી,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થાની ત્રિજ્યા બોહર ત્રિજ્યા કરતાં $4$ ગણી હોય છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની $n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = r_0 n^2 / Z$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ છે,તેથી સમીકરણ $r_n = r_0 n^2$ બને છે.
ત્રીજી કક્ષા માટે,આપણે સૂત્રમાં $n = 3$ મૂકીએ છીએ.
તેથી,ત્રીજી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_3 = r_0 \times (3)^2 = 9r_0$ થશે.

(A) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ છે.
નિશ્ચિત સંક્રમણ ($n_i = 4$ થી $n_f = 2$) માટે,તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$.
હાઇડ્રોજન $(H)$ માટે,$Z = 1$,તેથી $\lambda_H = 20.397 \, cm$.
હિલિયમ આયન $(He^+)$ માટે,$Z = 2$,તેથી $\lambda_{He^+} = \frac{\lambda_H}{Z^2} = \frac{20.397}{2^2} = \frac{20.397}{4} = 5.099 \, cm$.

(C) ઉત્તેજન પોટેન્શિયલ એ ઉત્તેજન ઊર્જાને પ્રાથમિક વિદ્યુતભાર $e$ વડે ભાગવાથી મળે છે.
લઘુત્તમ ઉત્તેજન ઊર્જા એ ઇલેક્ટ્રોનનું ધરા અવસ્થા $(n = 1)$ માંથી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n = 2)$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $n$-મી કક્ષાની ઊર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 1$ માટે,$E_1 = -13.6 \, eV$.
$n = 2$ માટે,$E_2 = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \, eV$.
લઘુત્તમ ઉત્તેજન ઊર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \, eV$ છે.
તેથી,લઘુત્તમ ઉત્તેજન પોટેન્શિયલ $10.2 \, V$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે બોહરના મોડેલ મુજબ:
$(I)$ ભ્રમણકક્ષાની ઝડપ $v_n$ એ $v_n \propto \frac{1}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $n$ વધે છે (ન્યુક્લિયસથી દૂર જતાં),$v_n$ ઘટે છે. તેથી,વિધાન $(I)$ સાચું છે.
$(II)$ $n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ છે. વિધાન $(II)$ ખોટું છે કારણ કે તે મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબરના વર્ગના પ્રમાણમાં છે.
$(III)$ પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{v}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $v \propto \frac{1}{n}$ અને $r \propto n^2$ હોવાથી,આપણને $f \propto \frac{1/n}{n^2} = \frac{1}{n^3}$ મળે છે. તેથી,વિધાન $(III)$ સાચું છે.
$(IV)$ સ્થિર વિદ્યુત બંધન બળ $F = \frac{ke^2}{r^2}$ છે. જેમ $n$ વધે છે તેમ $r$ વધે છે,તેથી બળ $F$ ઘટે છે. તેથી,વિધાન $(IV)$ ખોટું છે.
તેથી,વિધાનો $(I)$ અને $(III)$ સાચા છે.

(D) $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n \propto 1/n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગ $\omega_n$ ને $\omega_n = v_n / r_n$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પ્રમાણસરતા મૂકતા: $\omega_n \propto (1/n) / n^2$.
તેથી,$\omega_n \propto 1/n^3$.

(C) બોહરના અધિતર્ક મુજબ,$n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n_1 = 4$ થી $n_2 = 5$ કક્ષામાં જાય ત્યારે કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta L$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta L = L_2 - L_1 = \frac{n_2 h}{2\pi} - \frac{n_1 h}{2\pi} = \frac{h}{2\pi}(n_2 - n_1)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta L = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14} \times (5 - 4)$.
$\Delta L = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{6.28} \times 1$.
$\Delta L \approx 1.05 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.

(A) સ્થિર કક્ષાનો ખ્યાલ $1913$ માં નીલ્સ બોહર દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો,જેને પરમાણુનું બોહર મોડેલ કહેવામાં આવે છે. આ મોડેલ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની આસપાસ માત્ર અમુક ચોક્કસ સ્થિર કક્ષાઓમાં જ ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કર્યા વિના પરિભ્રમણ કરે છે. આ કક્ષાઓને સ્થિર કક્ષાઓ કહેવામાં આવે છે.