Bohr's Model of Hydrogen Atom Questions in Hindi

(N/A) हाइड्रोजन परमाणु में $r = 5.3 \times 10^{-11} \, m$ त्रिज्या की कक्षा में प्रोटॉन के चारों ओर घूमते इलेक्ट्रॉन का वेग $v = 2.2 \times 10^{6} \, m/s$ है।
प्रोटॉन के चारों ओर घूमते इलेक्ट्रॉन की आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{v}{2 \pi r}$ है।
मान रखने पर:
$f = \frac{2.2 \times 10^{6} \, m/s}{2 \times 3.14 \times 5.3 \times 10^{-11} \, m}$
$f \approx 6.6 \times 10^{15} \, Hz$.
शास्त्रीय विद्युतचुंबकीय सिद्धांत के अनुसार,घूमते हुए इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्सर्जित विद्युतचुंबकीय तरंगों की आवृत्ति नाभिक के चारों ओर उसकी परिक्रमण आवृत्ति के बराबर होती है। इसलिए,उत्सर्जित प्रकाश की प्रारंभिक आवृत्ति $6.6 \times 10^{15} \, Hz$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E = -13.6 \; eV$ दी गई है।
कुल ऊर्जा,गतिज ऊर्जा $(K)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का योग होती है,अर्थात $E = K + U$.
हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए,गतिज ऊर्जा कुल ऊर्जा से $K = -E$ के रूप में संबंधित है।
अतः,$K = -(-13.6 \; eV) = 13.6 \; eV$.
स्थितिज ऊर्जा कुल ऊर्जा से $U = 2E$ के रूप में संबंधित है।
अतः,$U = 2 \times (-13.6 \; eV) = -27.2 \; eV$.
इस प्रकार,गतिज ऊर्जा $13.6 \; eV$ है और स्थितिज ऊर्जा $-27.2 \; eV$ है।

(N/A) मान लीजिए $v_{n}$ हाइड्रोजन परमाणु में $n$-वें स्तर में इलेक्ट्रॉन की कक्षीय गति है। गति $v_{n} = \frac{v_{1}}{n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v_{1} = \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} h} \approx 2.18 \times 10^{6} \, m/s$ है।
$n=1$ के लिए: $v_{1} = 2.18 \times 10^{6} \, m/s$.
$n=2$ के लिए: $v_{2} = \frac{v_{1}}{2} = 1.09 \times 10^{6} \, m/s$.
$n=3$ के लिए: $v_{3} = \frac{v_{1}}{3} = 7.27 \times 10^{5} \, m/s$.
$(b)$ कक्षीय आवर्तकाल $T_{n}$ को $T_{n} = \frac{2 \pi r_{n}}{v_{n}}$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $r_{n} = n^{2} r_{1}$ और $v_{n} = \frac{v_{1}}{n}$ है,इसलिए $T_{n} = n^{3} T_{1}$ होता है,जहाँ $T_{1} = \frac{2 \pi r_{1}}{v_{1}} \approx 1.52 \times 10^{-16} \, s$ है।
$n=1$ के लिए: $T_{1} = 1.52 \times 10^{-16} \, s$.
$n=2$ के लिए: $T_{2} = 2^{3} T_{1} = 8 \times 1.52 \times 10^{-16} = 1.22 \times 10^{-15} \, s$.
$n=3$ के लिए: $T_{3} = 3^{3} T_{1} = 27 \times 1.52 \times 10^{-16} = 4.12 \times 10^{-15} \, s$.

(N/A) हाइड्रोजन परमाणु की सबसे आंतरिक कक्षा की त्रिज्या $r_{1} = 5.3 \times 10^{-11} \;m$ दी गई है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_{n} = n^{2} r_{1}$ है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
$n=2$ के लिए:
$r_{2} = (2)^{2} \times r_{1} = 4 \times 5.3 \times 10^{-11} = 2.12 \times 10^{-10} \;m$.
$n=3$ के लिए:
$r_{3} = (3)^{2} \times r_{1} = 9 \times 5.3 \times 10^{-11} = 4.77 \times 10^{-10} \;m$.
अतः,$n=2$ और $n=3$ कक्षाओं के लिए त्रिज्याएँ क्रमशः $2.12 \times 10^{-10} \;m$ और $4.77 \times 10^{-10} \;m$ हैं।

(D) दिया गया है:
कक्षा की त्रिज्या,$r = 1.5 \times 10^{11} \; m$
कक्षीय गति,$v = 3 \times 10^{4} \; m/s$
पृथ्वी का द्रव्यमान,$m = 6.0 \times 10^{24} \; kg$
प्लांक नियतांक,$h = 6.626 \times 10^{-34} \; J \cdot s$
कोणीय संवेग के लिए बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार:
$L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$
क्वांटम संख्या $n$ के लिए सूत्र:
$n = \frac{2\pi mvr}{h}$
मान रखने पर:
$n = \frac{2 \times 3.1416 \times (6.0 \times 10^{24}) \times (3 \times 10^{4}) \times (1.5 \times 10^{11})}{6.626 \times 10^{-34}}$
$n = \frac{169.646 \times 10^{39}}{6.626 \times 10^{-34}}$
$n \approx 25.603 \times 10^{73} \approx 2.56 \times 10^{74}$
अतः,क्वांटम संख्या $n \approx 2.6 \times 10^{74}$ है।

(N/A) पहली बोहर कक्षा की त्रिज्या निम्नलिखित संबंध द्वारा दी जाती है:
$r_{1} = \frac{4 \pi \epsilon_{0} (\frac{h}{2 \pi})^{2}}{m_{e} e^{2}} \dots (i)$
जहाँ:
$\epsilon_{0} = 8.854 \times 10^{-12} \, C^{2} N^{-1} m^{-2}$ (निर्वात की विद्युतशीलता)
$h = 6.63 \times 10^{-34} \, J s$ (प्लांक नियतांक)
$m_{e} = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$ (इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान)
$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ (इलेक्ट्रॉन का आवेश)
$m_{p} = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$ (प्रोटॉन का द्रव्यमान)
$G = 6.67 \times 10^{-11} \, N m^{2} kg^{-2}$ (गुरुत्वाकर्षण नियतांक)
कूलम्ब बल: $F_{c} = \frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}}$
गुरुत्वाकर्षण बल: $F_{G} = \frac{G m_{p} m_{e}}{r^{2}}$
यदि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन गुरुत्वाकर्षण आकर्षण द्वारा बंधे होते, तो अभिकेंद्र बल को गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर रखने पर:
$\frac{m_{e} v^{2}}{r} = \frac{G m_{p} m_{e}}{r^{2}}$
बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त $m_{e} v r = \frac{h}{2 \pi}$ का उपयोग करते हुए, $v = \frac{h}{2 \pi m_{e} r}$ को बल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$r_{1} = \frac{h^{2}}{4 \pi^{2} G m_{p} m_{e}^{2}}$
मान रखने पर:
$r_{1} = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^{2}}{4 \times (3.14)^{2} \times 6.67 \times 10^{-11} \times 1.67 \times 10^{-27} \times (9.1 \times 10^{-31})^{2}}$
$r_{1} \approx 1.21 \times 10^{29} \, m$
चूंकि अवलोकन योग्य ब्रह्मांड लगभग $1.5 \times 10^{27} \, m$ है, इसलिए गणना की गई त्रिज्या ब्रह्मांड के आकार से बहुत बड़ी है।

(N/A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2 n^2}$ द्वारा दी जाती है।
जब परमाणु स्तर $n$ से $(n-1)$ में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $h \nu = E_n - E_{n-1}$ होती है।
$h \nu = \frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2} \left( \frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2} \right)$.
$
u = \frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3} \left( \frac{n^2 - (n-1)^2}{n^2(n-1)^2} \right) = \frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3} \left( \frac{2n-1}{n^2(n-1)^2} \right)$.
बड़े $n$ के लिए,$2n-1 \approx 2n$ और $(n-1) \approx n$,इसलिए $
u \approx \frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3} \left( \frac{2n}{n^4} \right) = \frac{m e^4}{4 \epsilon_0^2 h^3 n^3}$.
परिक्रमण की चिरसम्मत आवृत्ति $\nu_c = \frac{v}{2 \pi r}$ है।
$v = \frac{e^2}{2 \epsilon_0 h n}$ और $r = \frac{\epsilon_0 h^2 n^2}{\pi m e^2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\nu_c = \frac{v}{2 \pi r} = \frac{e^2 / (2 \epsilon_0 h n)}{2 \pi (\epsilon_0 h^2 n^2 / \pi m e^2)} = \frac{m e^4}{4 \epsilon_0^2 h^3 n^3}$ प्राप्त होता है।
अतः,बड़े $n$ के लिए,क्वांटम आवृत्ति चिरसम्मत आवृत्ति के बराबर होती है।

(N/A) $e, m_{e},$ और $c$ को शामिल करने वाली लंबाई के आयाम वाली मात्रा शास्त्रीय इलेक्ट्रॉन त्रिज्या है,जो $r_{e} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{e^{2}}{m_{e} c^{2}}$ द्वारा दी जाती है।
$e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$,$m_{e} = 9.1 \times 10^{-31} \; kg$,$c = 3 \times 10^{8} \; m/s$,और $\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \; Nm^{2}C^{-2}$ का उपयोग करते हुए:
$r_{e} = (9 \times 10^{9}) \times \frac{(1.6 \times 10^{-19})^{2}}{9.1 \times 10^{-31} \times (3 \times 10^{8})^{2}} \approx 2.81 \times 10^{-15} \; m$.
यह मान परमाणु के आकार $\sim 10^{-10} \; m$ से बहुत छोटा है।
$(b)$ $h, m_{e},$ और $e$ को शामिल करने वाली लंबाई के आयाम वाली मात्रा बोहर त्रिज्या $a_{0} = \frac{4 \pi \epsilon_{0} \hbar^{2}}{m_{e} e^{2}}$ है,जहाँ $\hbar = \frac{h}{2 \pi}$ है।
$h = 6.63 \times 10^{-34} \; Js$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a_{0} = \frac{1}{9 \times 10^{9}} \times \frac{(6.63 \times 10^{-34} / (2 \times 3.14))^{2}}{9.1 \times 10^{-31} \times (1.6 \times 10^{-19})^{2}} \approx 0.53 \times 10^{-10} \; m$.
यह मान $10^{-10} \; m$ के क्रम का है,जो परमाणु के ज्ञात आकार से मेल खाता है।

(N/A) कोणीय संवेग का क्वांटीकरण प्रकृति का एक मौलिक नियम है, लेकिन इसके प्रभाव केवल सूक्ष्म स्तर पर ही देखे जा सकते हैं।
ग्रहीय गति के लिए, कोणीय संवेग $(L)$ प्लांक नियतांक $(h)$ की तुलना में अत्यंत विशाल है।
उदाहरण के लिए, अपनी कक्षा में पृथ्वी का कोणीय संवेग $10^{70} h$ की कोटि का है।
बोहर के अभिगृहीत के अनुसार, $L = n(h / 2 \pi)$, जिसका अर्थ है $n = 2 \pi L / h$।
मान रखने पर, हम पाते हैं कि क्वांटम संख्या $(n)$ $10^{70}$ की कोटि की है।
$(n)$ के इतने बड़े मानों के लिए, क्रमिक ऊर्जा स्तरों या कोणीय संवेग अवस्थाओं के बीच का अंतर अत्यंत सूक्ष्म होता है।
इसलिए, कक्षाओं की असतत प्रकृति एक सतत वितरण से अप्रभेद्य हो जाती है, और हम ग्रहीय गति को चिरसम्मत यांत्रिकी (classical mechanics) का उपयोग करके समझते हैं।

(N/A) ऋणावेशित म्यूऑन का द्रव्यमान $m_{\mu} = 207 m_{e}$ है।
बोहर के मॉडल के अनुसार,$n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m Z e^2}$ द्वारा दी जाती है। चूँकि $r \propto \frac{1}{m}$,इसलिए $r_{\mu} = r_{e} \times \frac{m_{e}}{m_{\mu}}$ होगा।
यहाँ $r_{e} = 0.53 \times 10^{-10} \, m$ दिया गया है,अतः म्यूओनिक हाइड्रोजन परमाणु की त्रिज्या $r_{\mu} = \frac{0.53 \times 10^{-10}}{207} \approx 2.56 \times 10^{-13} \, m$ होगी।
मूल अवस्था की ऊर्जा $E_n = -\frac{m Z^2 e^4}{8 \epsilon_0^2 n^2 h^2}$ द्वारा दी जाती है। चूँकि $E \propto m$,इसलिए $E_{\mu} = E_{e} \times \frac{m_{\mu}}{m_{e}}$ होगा।
यहाँ $E_{e} = -13.6 \, eV$ दिया गया है,अतः म्यूओनिक हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था ऊर्जा $E_{\mu} = -13.6 \times 207 \, eV = -2815.2 \, eV \approx -2.81 \, keV$ होगी।

(N/A) बोर के हाइड्रोजन परमाणु सिद्धांत के अनुसार,नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच का स्थिर-वैद्युत बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$F_e = F_c$
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$
इससे,हम इलेक्ट्रॉन की कक्षीय त्रिज्या $r$ और वेग $v$ के बीच संबंध प्राप्त कर सकते हैं:
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r} = mv^2$
अतः,संबंध $r = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 mv^2}$ है।

(N/A) बोर के परमाणु मॉडल ने परमाणु की स्थिरता को सफलतापूर्वक समझाया,यह प्रतिपादित करके कि इलेक्ट्रॉन स्थिर कक्षाओं में घूमते हैं जहाँ वे ऊर्जा का विकिरण नहीं करते हैं।
इसने हाइड्रोजन और हाइड्रोजन जैसे परमाणुओं (एक-इलेक्ट्रॉन प्रजातियों) के ऊर्जा स्तरों और त्रिज्याओं की सफलतापूर्वक गणना की।
इसने रिडबर्ग सूत्र और हाइड्रोजन की वर्णक्रमीय श्रेणियों के लिए एक सैद्धांतिक आधार प्रदान किया,जो $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ द्वारा दिया जाता है।
इसने $He^+$,$Li^{2+}$ और $Be^{3+}$ जैसे हाइड्रोजन-समान आयनों के स्पेक्ट्रा को सफलतापूर्वक समझाया,जहाँ $Z$ परमाणु क्रमांक है।

(N/A) रीडबर्ग नियतांक,जिसे $R$ द्वारा दर्शाया जाता है,हाइड्रोजन के परमाणु स्पेक्ट्रम से संबंधित एक भौतिक नियतांक है। इसका मान लगभग $R = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ है।

(N/A) $1913$ में,बोर ने निष्कर्ष निकाला कि बड़े पैमाने की घटनाओं को समझाने में विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत की सफलता के बावजूद,इसे परमाणु स्तर की प्रक्रियाओं पर लागू नहीं किया जा सकता है।
परमाणु की संरचना और परमाणु संरचना के परमाणु स्पेक्ट्रा के साथ संबंध को समझने के लिए क्लासिकल मैकेनिक्स और इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म से अलग अवधारणाओं की आवश्यकता थी।
बोर ने क्लासिकल और प्रारंभिक क्वांटम अवधारणाओं को मिलाकर तीन अभिधारणाएं दीं:
$(1)$ परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत की भविष्यवाणी के विपरीत,विकिरण ऊर्जा का उत्सर्जन किए बिना कुछ स्थिर कक्षाओं में घूम सकता है। प्रत्येक परमाणु में कुछ निश्चित स्थिर अवस्थाएँ होती हैं जिनमें वह अस्तित्व में रह सकता है और प्रत्येक संभावित अवस्था की एक निश्चित कुल ऊर्जा होती है। इन्हें परमाणु की स्थिर अवस्थाएँ कहा जाता है।
$(2)$ इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर केवल उन्हीं कक्षाओं में घूमता है जिनके लिए कोणीय संवेग $\frac{h}{2 \pi}$ का एक पूर्णांक गुणज होता है,जहाँ $h$ प्लांक का स्थिरांक $(6.626 \times 10^{-34} \ J \ s)$ है। इस प्रकार,परिक्रमा करने वाले इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $(L)$ क्वांटाइज्ड है।
अर्थात,$L = \frac{nh}{2\pi} = mvr$,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$
$(3)$ बोर की तीसरी अभिधारणा में प्लांक और आइंस्टीन द्वारा विकसित प्रारंभिक क्वांटम अवधारणाओं को शामिल किया गया था। यह बताता है कि एक इलेक्ट्रॉन अपनी निर्दिष्ट गैर-विकिरण कक्षाओं में से एक से कम ऊर्जा वाली दूसरी कक्षा में संक्रमण कर सकता है। जब ऐसा होता है,तो प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं के बीच ऊर्जा के अंतर के बराबर ऊर्जा वाला एक फोटॉन उत्सर्जित होता है।
उत्सर्जित फोटॉन की आवृत्ति $(v)$:
$hv = E_i - E_f$
$\therefore v = \frac{E_i - E_f}{h}$
जहाँ $E_i$ प्रारंभिक अवस्था की ऊर्जा है,$E_f$ अंतिम अवस्था की ऊर्जा है,और $E_i > E_f$ है।

(N/A) बोहर का परमाणु मॉडल चित्र में दर्शाया गया है।
मान लीजिए कि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m$,उसका आवेश $e$,$n^{th}$ कक्षा में उसकी रैखिक गति $v_n$,कक्षा की त्रिज्या $r_n$ और नाभिक पर आवेश $Ze$ है,जहाँ $Z$ परमाणु क्रमांक है।
आवश्यक अभिकेंद्र बल इलेक्ट्रॉन और नाभिक के बीच कूलम्बिक आकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है। अतः,
$\frac{m v_n^2}{r_n} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{(Ze)(e)}{r_n^2} = \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0 r_n^2}$ ... $(1)$
बोहर की दूसरी अभिधारणा के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L_n$ इस प्रकार है:
$L_n = m v_n r_n = \frac{n h}{2 \pi}$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ से,हमारे पास $m v_n^2 = \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0 r_n}$ है।
दोनों पक्षों को $r_n^2$ से गुणा करने पर,$m v_n^2 r_n^2 = \frac{Z e^2 r_n}{4 \pi \epsilon_0}$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$m v_n r_n = \sqrt{\frac{Z e^2 m r_n}{4 \pi \epsilon_0}}$।
इसे समीकरण $(2)$ के बराबर रखने पर:
$\frac{n h}{2 \pi} = \sqrt{\frac{Z e^2 m r_n}{4 \pi \epsilon_0}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{n^2 h^2}{4 \pi^2} = \frac{Z e^2 m r_n}{4 \pi \epsilon_0}$
$r_n$ के लिए हल करने पर:
$r_n = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m Z e^2}$

(N/A) $m$ द्रव्यमान और $e$ आवेश वाला एक इलेक्ट्रॉन जो $Ze$ आवेश वाले नाभिक के चारों ओर $r_n$ त्रिज्या की कक्षा में $v_n$ वेग से घूम रहा है,उसके लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल स्थिर-वैद्युत आकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है:
$\frac{m v_n^2}{r_n} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(Ze)(e)}{r_n^2}$
दोनों पक्षों को $\frac{r_n}{2}$ से गुणा करने पर,हमें गतिज ऊर्जा $K$ प्राप्त होती है:
$K = \frac{1}{2} m v_n^2 = \frac{Ze^2}{8 \pi \epsilon_0 r_n} \quad \dots (1)$
नाभिक के क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $U$ है:
$U = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(Ze)(e)}{r_n} = -\frac{Ze^2}{4 \pi \epsilon_0 r_n} \quad \dots (2)$
कुल ऊर्जा $E_n$ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है:
$E_n = K + U = \frac{Ze^2}{8 \pi \epsilon_0 r_n} - \frac{Ze^2}{4 \pi \epsilon_0 r_n}$
$E_n = -\frac{Ze^2}{8 \pi \epsilon_0 r_n}$
ऊर्जा के सूत्र में $r_n = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m Z e^2}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$E_n = -\frac{Ze^2}{8 \pi \epsilon_0} \left( \frac{\pi m Z e^2}{n^2 h^2 \epsilon_0} \right) = -\frac{m Z^2 e^4}{8 \epsilon_0^2 n^2 h^2}$

(A) इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E_n = -\frac{Z^2me^4}{8\epsilon_0^2n^2h^2}$ का व्यंजक बोहर की वृत्ताकार कक्षा की परिकल्पना पर आधारित है।
इस मॉडल में,यह माना जाता है कि इलेक्ट्रॉन स्थिर वैद्युत बल के प्रभाव में नाभिक के चारों ओर वृत्ताकार कक्षाओं में घूमता है।
भौतिक विज्ञानी सोमरफेल्ड ने बाद में इस मॉडल को दीर्घवृत्ताकार कक्षाओं को शामिल करने के लिए विस्तारित किया। उन्होंने प्रदर्शित किया कि जब वृत्ताकार कक्षा के प्रतिबंध को हटा दिया जाता है,तब भी यह ऊर्जा व्यंजक दीर्घवृत्ताकार कक्षाओं के लिए मान्य रहता है,बशर्ते कि केंद्रीय बल व्युत्क्रम-वर्ग नियम का पालन करता हो।

(N/A) बोर के परमाणु मॉडल के अनुसार, हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन की $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र निम्नलिखित है:
$r_n = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m Z e^2}$
जहाँ:
$n$ मुख्य क्वांटम संख्या (कक्षा की संख्या) है,
$h$ प्लांक नियतांक है,
$\epsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है,
$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,
$Z$ परमाणु क्रमांक है,
$e$ मूल आवेश है।

(N/A) परमाणु की ग्राउंड स्टेट (मूल अवस्था) सिस्टम की सबसे कम ऊर्जा वाली अवस्था होती है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोहर मॉडल के संदर्भ में,यह उस अवस्था के अनुरूप है जहाँ इलेक्ट्रॉन सबसे आंतरिक कक्षा में होता है,जो कि मुख्य क्वांटम संख्या $n = 1$ वाली कक्षा है।
हाइड्रोजन परमाणु की ग्राउंड स्टेट में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा लगभग $-13.6 \ eV$ होती है।

(N/A) आयनन ऊर्जा को उस न्यूनतम ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो किसी परमाणु की मूल अवस्था (ground state) में मौजूद इलेक्ट्रॉन को नाभिक से अनंत दूरी तक ले जाने के लिए आवश्यक होती है,जिससे वह परमाणु से मुक्त हो जाता है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,मूल अवस्था $(n = 1)$ की ऊर्जा $E_1 = -13.6 \ eV$ होती है।
परमाणु को आयनित करने के लिए,हमें उसे इतनी ऊर्जा देनी होगी कि उसकी कुल ऊर्जा $0 \ eV$ (अनंत पर स्थित इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा) हो जाए।
अतः,आयनन ऊर्जा $E_{\infty} - E_1 = 0 - (-13.6 \ eV) = 13.6 \ eV$ होती है।

(N/A) बोर के तीसरे अभिधारणा के अनुसार,जब एक इलेक्ट्रॉन $n_{i}$ क्वांटम संख्या वाली उच्च ऊर्जा अवस्था से $n_{f}$ $(n_{i} > n_{f})$ क्वांटम संख्या वाली निम्न ऊर्जा अवस्था में संक्रमण करता है,तो दोनों अवस्थाओं के बीच ऊर्जा के अंतर के बराबर ऊर्जा का एक फोटॉन उत्सर्जित होता है।
$n_{i}$ अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा:
$E_{n_{i}} = -\frac{m e^{4}}{8 \epsilon_{0}^{2} h^{2} n_{i}^{2}}$
$n_{f}$ अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा:
$E_{n_{f}} = -\frac{m e^{4}}{8 \epsilon_{0}^{2} h^{2} n_{f}^{2}}$
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $h \nu_{if} = E_{n_{i}} - E_{n_{f}}$ है।
समीकरणों को रखने पर:
$h \nu_{if} = -\frac{m e^{4}}{8 \epsilon_{0}^{2} h^{2} n_{i}^{2}} - \left( -\frac{m e^{4}}{8 \epsilon_{0}^{2} h^{2} n_{f}^{2}} \right)$
$h \nu_{if} = \frac{m e^{4}}{8 \epsilon_{0}^{2} h^{2}} \left[ \frac{1}{n_{f}^{2}} - \frac{1}{n_{i}^{2}} \right]$
अतः,उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति:
$\nu_{if} = \frac{m e^{4}}{8 \epsilon_{0}^{2} h^{3}} \left[ \frac{1}{n_{f}^{2}} - \frac{1}{n_{i}^{2}} \right]$
तरंग संख्या $\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = \frac{\nu}{c}$ होने के कारण,आवृत्ति को प्रकाश की गति $c$ से विभाजित करने पर:
$\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda_{if}} = \frac{m e^{4}}{8 \epsilon_{0}^{2} h^{3} c} \left[ \frac{1}{n_{f}^{2}} - \frac{1}{n_{i}^{2}} \right]$
यहाँ,$R = \frac{m e^{4}}{8 \epsilon_{0}^{2} h^{3} c}$ रिडबर्ग नियतांक है,जिसका सैद्धांतिक मान लगभग $1.097 \times 10^{7} \ m^{-1}$ है।

(N/A) रीडबर्ग नियतांक $(R)$ हाइड्रोजन के परमाणु स्पेक्ट्रा से संबंधित एक मूलभूत भौतिक नियतांक है।
रीडबर्ग नियतांक का सैद्धांतिक मान निम्नलिखित सूत्र से प्राप्त किया जाता है:
$R = \frac{m_e e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c}$
जहाँ $m_e$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,$e$ प्राथमिक आवेश है,$\epsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है,$h$ प्लांक नियतांक है और $c$ प्रकाश की गति है।
मानक मान रखने पर:
$R \approx 1.0973731568 \times 10^7 \ m^{-1}$।
प्रायोगिक मान हाइड्रोजन परमाणुओं की उच्च-सटीकता वाली स्पेक्ट्रोस्कोपी के माध्यम से निर्धारित किया जाता है और यह सैद्धांतिक मान के अनुरूप पाया जाता है:
$R \approx 1.0973731568 \times 10^7 \ m^{-1}$।

(N/A) अपनी दूसरी अभिधारणा में,बोहर ने प्रस्तावित किया कि नाभिक के चारों ओर परिक्रमा करने वाले इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग क्वांटीकृत होता है।
लुई डी ब्रोग्ली ने $1923$ में इसके लिए भौतिक व्याख्या प्रदान की।
डी ब्रोग्ली की परिकल्पना के अनुसार,पदार्थ के कण तरंग प्रकृति प्रदर्शित करते हैं। डेविसन और जर्मर ने प्रयोगात्मक रूप से इस तरंग प्रकृति की पुष्टि की।
बोहर ने सुझाव दिया कि एक वृत्ताकार कक्षा में इलेक्ट्रॉन एक पदार्थ तरंग के रूप में व्यवहार करता है।
एक डोरी पर तरंगों की तरह,कण तरंगें भी अनुनाद की स्थिति में अप्रगामी तरंगें (standing waves) बना सकती हैं।
जब एक डोरी को छेड़ा जाता है,तो कई तरंगें उत्पन्न होती हैं,लेकिन केवल वही तरंगें बनी रहती हैं जो अप्रगामी तरंगें बनाती हैं (सिरों पर निस्पंद बिंदुओं के साथ)। यह तब होता है जब तरंग द्वारा तय की गई कुल दूरी उसकी तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होती है।
अन्य तरंगदैर्ध्य वाली तरंगें परावर्तन पर विनाशी व्यतिकरण करती हैं और उनका आयाम शून्य हो जाता है; इसलिए,एक इलेक्ट्रॉन ऐसी कक्षा में नहीं रह सकता है।
$r_n$ त्रिज्या वाली $n$-वीं वृत्ताकार कक्षा में गति करने वाले इलेक्ट्रॉन के लिए,कक्षा की परिधि तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का एक पूर्णांक गुणज होनी चाहिए।
अतः,$2 \pi r_n = n \lambda$ ... $(1)$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
तरंगदैर्ध्य और संवेग के लिए डी ब्रोग्ली के संबंध का उपयोग करते हुए,$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v_n}$ ... $(2)$.
समीकरण $(2)$ को $(1)$ में रखने पर:
$2 \pi r_n = n \left( \frac{h}{m v_n} \right)$
पदों को व्यवस्थित करने पर कोणीय संवेग के लिए क्वांटीकरण की शर्त प्राप्त होती है:
$m v_n r_n = \frac{n h}{2 \pi}$

(N/A) $(1)$ बोर मॉडल केवल हाइड्रोजन जैसे परमाणुओं (hydrogenic atoms) के लिए लागू होता है। इसे हीलियम जैसे साधारण दो-इलेक्ट्रॉन वाले परमाणुओं तक भी विस्तारित नहीं किया जा सकता है।
- एक से अधिक इलेक्ट्रॉन वाले परमाणुओं का विश्लेषण हाइड्रोजन जैसे परमाणुओं के लिए बोर के मॉडल के आधार पर करने का प्रयास किया गया था,लेकिन इसमें कोई सफलता नहीं मिली।
- कठिनाई इस तथ्य में निहित है कि प्रत्येक इलेक्ट्रॉन न केवल धनावेशित नाभिक के साथ,बल्कि अन्य सभी इलेक्ट्रॉनों के साथ भी परस्पर क्रिया करता है।
- बोर मॉडल के निर्माण में धनावेशित नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच विद्युत बल शामिल है। इसमें इलेक्ट्रॉनों के बीच का विद्युत बल शामिल नहीं है,जो बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में अनिवार्य रूप से मौजूद होता है।
$(2)$ हालांकि बोर का मॉडल हाइड्रोजन जैसे परमाणुओं द्वारा उत्सर्जित प्रकाश की आवृत्तियों की सही भविष्यवाणी करता है,लेकिन यह स्पेक्ट्रम में आवृत्तियों की सापेक्ष तीव्रता को समझाने में असमर्थ है।
- हाइड्रोजन के उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में,कुछ दृश्य आवृत्तियों की तीव्रता कम होती है जबकि अन्य की अधिक होती है। क्यों?
- प्रायोगिक अवलोकन दर्शाते हैं कि कुछ संक्रमण दूसरों की तुलना में अधिक पसंदीदा होते हैं।
- बोर का मॉडल इन तीव्रता विविधताओं को समझाने में असमर्थ है।
- यह मॉडल जटिल परमाणुओं पर लागू नहीं किया जा सकता है। जटिल परमाणुओं के लिए हमें क्वांटम यांत्रिकी पर आधारित एक नए सिद्धांत का उपयोग करना होगा।

(N/A) बोहर के दूसरे अभिधारणा के अनुसार,इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर केवल उन्हीं कक्षाओं में घूमता है जिनके लिए इसका कोणीय संवेग $\frac{h}{2\pi}$ का एक पूर्णांक गुणज होता है।
गणितीय रूप से,इस शर्त को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$
जहाँ:
$L$ इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग है।
$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
$v$ अपनी कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग है।
$r$ कक्षा की त्रिज्या है।
$n$ मुख्य क्वांटम संख्या है $(n = 1, 2, 3, ...)$।
$h$ प्लांक नियतांक है।

(N/A) ${ }_{2} He^{3}$ और ${ }_{2} He^{4}$ दोनों हीलियम के समस्थानिक (isotopes) हैं।
जब उनमें से प्रत्येक से एक इलेक्ट्रॉन हटा दिया जाता है,तो वे दोनों एकल इलेक्ट्रॉन वाले हाइड्रोजन-जैसे आयन $(He^+)$ बन जाते हैं।
हाइड्रोजन-जैसे आयन के ऊर्जा स्तर $E_n = -\frac{Z^2 R_y}{n^2}$ सूत्र द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $Z$ परमाणु क्रमांक है और $R_y$ रिडबर्ग नियतांक है।
चूंकि दोनों समस्थानिकों का परमाणु क्रमांक $Z = 2$ समान है,इसलिए आदर्श बोहर मॉडल में उनके ऊर्जा स्तर समान होते हैं।
हालाँकि,$He^3$ और $He^4$ के नाभिकों के द्रव्यमान में मामूली अंतर के कारण इलेक्ट्रॉन-नाभिक प्रणाली के रिड्यूस्ड मास (reduced mass) में बहुत सूक्ष्म अंतर आता है,यही कारण है कि उनके ऊर्जा स्तर बहुत करीब होते हैं लेकिन पूरी तरह से समान नहीं होते हैं।

(N/A) शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स के अनुसार,एक त्वरित आवेशित कण विद्युत चुम्बकीय तरंगों के रूप में ऊर्जा उत्सर्जित करता है।
जब एक इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा कक्षा से निम्न ऊर्जा कक्षा में संक्रमण करता है,तो वह नाभिक के करीब आ जाता है।
स्थिर विद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन और कोणीय संवेग को बनाए रखने की आवश्यकता के कारण,इलेक्ट्रॉन के वेग में परिवर्तन होता है,जिससे वह प्रभावी रूप से त्वरित गति करता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन एक आवेशित कण है,इसलिए यह त्वरित गति ऊर्जा को समय-समय पर दोलन करने वाले विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के रूप में उत्सर्जित करती है,जिसे हम विद्युत चुम्बकीय विकिरण के रूप में देखते हैं।
ऊर्जा के अन्य रूप,जैसे कि यांत्रिक या तापीय ऊर्जा,ऐसे संक्रमणों के दौरान मूलभूत संरक्षण नियमों और इलेक्ट्रॉन के आवेश और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के बीच विशिष्ट अंतःक्रिया गतिशीलता को संतुष्ट नहीं करते हैं।

(A) हाँ,इस स्थिति में भी $H-$ परमाणु के लिए बोहर मॉडल में दिया गया सूत्र समान रहेगा क्योंकि यहाँ भी प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन के बीच का स्थिर-वैद्युत बल समान रहता है।
मूल स्थिति में,स्थिर-वैद्युत बल $F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{(e)(e)}{r^{2}} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
नई स्थिति में,आवेशों के परिमाण $q_{1} = \frac{4e}{3}$ और $q_{2} = \frac{3e}{4}$ हैं। नया स्थिर-वैद्युत बल $F^{\prime}$ इस प्रकार है:
$F^{\prime} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{(\frac{4e}{3})(\frac{3e}{4})}{r^{2}} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r^{2}}$.
चूँकि $F^{\prime} = F$,कक्षा के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल समान रहता है,और इसलिए बोहर मॉडल के ऊर्जा स्तर और त्रिज्या के सूत्र अपरिवर्तित रहते हैं।

(B) बोहर मॉडल के अनुसार,हाइड्रोजन परमाणु के $n^{\text{th}}$ ऊर्जा स्तर में एक इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
यदि ऊर्जा $E_n$ अलग-अलग है,तो मुख्य क्वांटम संख्या $n$ भी अलग-अलग होनी चाहिए।
$n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L_n = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कोणीय संवेग $L_n$,$n$ के सीधे आनुपातिक है,यदि $n$ के मान अलग हैं,तो कोणीय संवेग $L_n$ के मान भी अलग होने चाहिए।
इसलिए,यह संभव नहीं है कि इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा अलग-अलग हो लेकिन कोणीय संवेग समान हो।

(B) पॉज़िट्रोनियम एक बाइनरी सिस्टम है जो एक इलेक्ट्रॉन और एक पॉज़िट्रॉन से बना है। दोनों कण अपने सामान्य द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर घूमते हैं।
इसे एक-कण प्रणाली के रूप में मानने के लिए,हम बाइनरी सिस्टम के रिड्यूस्ड मास (घटाए गए द्रव्यमान) $\mu$ का उपयोग करते हैं:
$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{m_e \times m_e}{m_e + m_e} = \frac{m_e}{2} = \frac{m}{2}$
हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की मूल अवस्था ऊर्जा इस प्रकार है:
$E_1 = -\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2} = -13.6 \text{ eV}$
चूंकि मूल अवस्था की ऊर्जा परिक्रमा करने वाले कण के द्रव्यमान के सीधे आनुपातिक होती है,इसलिए पॉज़िट्रोनियम की मूल अवस्था ऊर्जा $E_1'$ होगी:
$E_1' = \frac{\mu}{m} E_1 = \frac{m/2}{m} E_1 = \frac{1}{2} E_1$
$E_1$ का मान रखने पर:
$E_1' = \frac{1}{2} (-13.6 \text{ eV}) = -6.8 \text{ eV}$

(N/A) कथन में की गई धारणा के अनुसार,चूंकि $He$ परमाणु एक हाइड्रोजन-समान परमाणु की तरह व्यवहार करता है (जहाँ इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण को नजरअंदाज किया जाता है),हम $He$ परमाणु पर बोहर के परमाणु मॉडल को लागू कर सकते हैं।
कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है:
$E_{n} = -\frac{m Z^{2} e^{4}}{8 \epsilon_{0}^{2} n^{2} h^{2}}$
इसे इस प्रकार सरल किया जा सकता है:
$E_{n} = -13.6 \frac{Z^{2}}{n^{2}} \text{ eV}$
$He$ परमाणु के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है। मूल अवस्था के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$E_{1} = -13.6 \times \frac{(2)^{2}}{(1)^{2}} \text{ eV}$
$E_{1} = -13.6 \times 4 \text{ eV}$
$E_{1} = -54.4 \text{ eV}$
चूंकि $He$ परमाणु में दो इलेक्ट्रॉन होते हैं और हम मानते हैं कि उनके बीच कोई प्रतिकर्षण नहीं है,इसलिए $He$ परमाणु की कुल मूल अवस्था ऊर्जा दोनों इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा का योग होगी:
$E_{\text{total}} = 2 \times E_{1} = 2 \times (-54.4 \text{ eV}) = -108.8 \text{ eV}$.

(A) $H$-परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कक्षीय त्रिज्या $r_{n} = \frac{\epsilon_{0} n^{2} h^{2}}{\pi m Z e^{2}}$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था के लिए,$n = 1$ और $Z = 1$,इसलिए $r_{1} = a_{0} = 0.53 \times 10^{-10} \text{ m}$।
$n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_{n} = \frac{Z e^{2}}{2 \epsilon_{0} n h}$ है। $n = 1$ के लिए,$v_{1} = 2.187 \times 10^{6} \text{ m/s}$।
परिक्रमण की आवृत्ति $f_{1} = \frac{v_{1}}{2 \pi r_{1}}$ द्वारा दी जाती है।
विद्युत धारा $I = f_{1} e = \frac{v_{1} e}{2 \pi r_{1}}$ है।
मान रखने पर: $I = \frac{(2.187 \times 10^{6} \text{ m/s}) \times (1.6 \times 10^{-19} \text{ C})}{2 \times 3.1416 \times (0.53 \times 10^{-10} \text{ m})}$।
$I \approx 1.05 \times 10^{-3} \text{ A} = 1.05 \text{ mA}$।

(N/A) $Z$ परमाणु क्रमांक वाले तत्व के परमाणु में,जब एक इलेक्ट्रॉन $(n+x)^{\text{th}}$ कक्षा (जहाँ $x=1, 2, 3, \dots$) से $n^{\text{th}}$ कक्षा में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति $f$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda} = R Z^{2} \left( \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{(n+x)^{2}} \right)$
चूंकि $f = \frac{c}{\lambda}$,हमें प्राप्त होता है:
$f = c R Z^{2} \left( \frac{(n+x)^{2} - n^{2}}{n^{2}(n+x)^{2}} \right)$
$f = c R Z^{2} \left( \frac{n^{2} + 2nx + x^{2} - n^{2}}{n^{2}(n+x)^{2}} \right)$
$f = c R Z^{2} \left( \frac{2nx + x^{2}}{n^{2}(n+x)^{2}} \right)$
यह देखते हुए कि $n >> 1$ और $x$ छोटा है $(x=1, 2, 3, \dots)$,हम $(n+x) \approx n$ मान सकते हैं:
$f \approx c R Z^{2} \left( \frac{2nx}{n^{2} \cdot n^{2}} \right)$
$f \approx \left( \frac{2 R c Z^{2}}{n^{3}} \right) x$
चूंकि एक निश्चित $n$ के लिए $\frac{2 R c Z^{2}}{n^{3}}$ स्थिर है,इसलिए $f \propto x$ है।
अतः,$x=1, 2, 3$ के लिए आवृत्तियों का अनुपात $f_{1} : f_{2} : f_{3} = 1 : 2 : 3$ है।

(D) हाइड्रोजन के परमाणु स्पेक्ट्रम की बामर श्रेणी के लिए,संक्रमण $n=2$ पर समाप्त होता है। रेखाओं को $H_{\alpha} (n=3 \to 2)$,$H_{\beta} (n=4 \to 2)$,$H_{\gamma} (n=5 \to 2)$ आदि के रूप में परिभाषित किया गया है।
$H_{\gamma}$ रेखा उत्सर्जित करने के लिए,इलेक्ट्रॉन को ग्राउंड स्टेट $(n=1)$ से $n=5$ ऊर्जा स्तर तक उत्तेजित किया जाना चाहिए।
आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_{5} - E_{1}$ है।
$E_{n} = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^{2}}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta E = -\frac{13.6}{5^{2}} - (-13.6) = 13.6 \left(1 - \frac{1}{25}\right) = 13.6 \times \frac{24}{25} = 13.056 \text{ eV}$.
उत्सर्जित फोटॉन का कोणीय संवेग $n=5$ से $n=2$ के संक्रमण के दौरान इलेक्ट्रॉन के कक्षीय कोणीय संवेग में हुए परिवर्तन के बराबर होता है।
बोर की क्वांटाइजेशन शर्त $L = \frac{nh}{2\pi}$ का उपयोग करते हुए:
$L_{\text{photon}} = L_{5} - L_{2} = \frac{5h}{2\pi} - \frac{2h}{2\pi} = \frac{3h}{2\pi}$.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ Js}$ रखने पर:
$L_{\text{photon}} = \frac{3 \times 6.626 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14159} \approx 3.165 \times 10^{-34} \text{ Js}$.

(A) रिडबर्ग नियतांक $R = \frac{\mu e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu$ इलेक्ट्रॉन-नाभिक प्रणाली का समानित द्रव्यमान (reduced mass) है,$\mu = \frac{M m_e}{M + m_e}$।
हाइड्रोजन $(H)$ के लिए,$M_H \approx 1836 m_e$,इसलिए $\mu_H = \frac{1836 m_e^2}{1837 m_e} \approx 0.99945 m_e$।
ड्यूटेरियम $(D)$ के लिए,$M_D \approx 3670 m_e$,इसलिए $\mu_D = \frac{3670 m_e^2}{3671 m_e} \approx 0.99973 m_e$।
सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ से,$\lambda \propto \frac{1}{R} \propto \frac{1}{\mu}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\lambda_D}{\lambda_H} = \frac{\mu_H}{\mu_D} \approx \frac{0.99945}{0.99973} \approx 0.99972$।
तरंगदैर्ध्य में विस्थापन $\Delta \lambda = \lambda_H - \lambda_D = \lambda_H (1 - 0.99972) = 0.00028 \lambda_H$ होगा।

(A) $H$-परमाणु की मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन की कक्षीय त्रिज्या बोहर त्रिज्या $a_0 = 0.53 \mathring{A} = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m e^2}$ है।
स्थिति $(i)$ के लिए,$R = 0.1 \mathring{A}$। यहाँ $R < a_0$ है,इसलिए प्रोटॉन को बिंदु आवेश माना जा सकता है। मूल अवस्था ऊर्जा $E_1 = -13.6 \text{ eV}$ होगी।
स्थिति $(ii)$ के लिए,$R = 10 \mathring{A}$। यहाँ $R > a_0$ है,इसलिए इलेक्ट्रॉन प्रोटॉन के अंदर गति करता है। $b_0$ त्रिज्या पर प्रभावी आवेश $e' = e \left( \frac{b_0^3}{R^3} \right)$ है।
बोहर त्रिज्या की शर्त के अनुसार $b_0 = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m e e'} = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m e^2} \left( \frac{R^3}{b_0^3} \right) = a_0 \frac{R^3}{b_0^3}$।
अतः,$b_0^4 = a_0 R^3 \Rightarrow b_0 = (a_0 R^3)^{1/4} = (0.53 \times 10^3)^{1/4} \approx 4.8 \mathring{A}$।
एक समान आवेशित गोले के अंदर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{e}{4\pi\epsilon_0 R^3} \left( \frac{3R^2 - b_0^2}{2} \right) (-e)$ है।
कुल ऊर्जा $E = K + U = -\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 R^3} (3R^2 - b_0^2)$ प्राप्त होती है।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_{n} = -13.6 \frac{Z^{2}}{n^{2}} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
क्रोमियम $(Z = 24)$ के लिए:
$n = 2$ अवस्था की ऊर्जा: $E_{2} = -13.6 \times \frac{24^{2}}{2^{2}} = -13.6 \times 144 = -1958.4 \ eV$.
$n = 1$ अवस्था की ऊर्जा: $E_{1} = -13.6 \times \frac{24^{2}}{1^{2}} = -13.6 \times 576 = -7833.6 \ eV$.
$n = 2$ से $n = 1$ संक्रमण के दौरान मुक्त ऊर्जा $\Delta E = E_{2} - E_{1} = -1958.4 - (-7833.6) = 5875.2 \ eV$ है।
यह ऊर्जा $n = 4$ अवस्था में एक इलेक्ट्रॉन को स्थानांतरित की जाती है।
$n = 4$ अवस्था की ऊर्जा $E_{4} = -13.6 \times \frac{24^{2}}{4^{2}} = -13.6 \times 36 = -489.6 \ eV$ है।
उत्सर्जित ऑगर इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K = \Delta E - |E_{4}| = 5875.2 - 489.6 = 5385.6 \ eV$ है।

(A) दिया गया है $\lambda = \frac{m_p c}{\hbar} = \frac{2 \pi m_p c}{h}$. $m_p = 10^{-6} m_e$ के साथ,$\lambda = \frac{2 \pi (10^{-6} \times 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}) (3 \times 10^8 \text{ m/s})}{6.63 \times 10^{-34} \text{ J s}} \approx 2.58 \times 10^6 \text{ m}^{-1}$.
चूंकि बोहर त्रिज्या $r_B \approx 5.3 \times 10^{-11} \text{ m}$ है,इसलिए $\lambda r_B \approx 1.37 \times 10^{-4} \ll 1$ है।
संशोधित विभव $U(r) = -\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0} \frac{e^{-\lambda r}}{r}$ का उपयोग करते हुए,छोटी $\lambda r$ के लिए घातांकीय पद का विस्तार करने पर: $U(r) \approx -\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0} \frac{1-\lambda r}{r} = -\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0} (\frac{1}{r} - \lambda)$।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_{modified} - U_{coulomb} = \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0} \lambda$ है।
$\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0} = k e^2 \approx 1.44 \text{ eV nm} = 1.44 \times 10^{-9} \text{ eV m}$ प्रतिस्थापित करने पर,ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E \approx \Delta U = (1.44 \times 10^{-9} \text{ eV m}) (2.58 \times 10^6 \text{ m}^{-1}) \approx 3.7 \times 10^{-3} \text{ eV}$ प्राप्त होता है।

$r < R_0$ के लिए,संशोधित बल $F = \frac{k e^2}{R_0^{2-\epsilon} r^{\epsilon}}$ है।
इसे अभिकेंद्री बल के बराबर रखने पर: $\frac{m v^2}{r} = \frac{k e^2}{R_0^{2-\epsilon} r^{\epsilon}}$.
अतः,$v^2 = \frac{k e^2}{m R_0^{2-\epsilon} r^{\epsilon-1}}$.
बोहर का क्वांटमीकरण प्रतिबंध $mvr = n\hbar$ है। मूल अवस्था के लिए,$n=1$,इसलिए $v = \frac{\hbar}{mr}$.
$v^2 = \frac{\hbar^2}{m^2 r^2}$ को बल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\hbar^2}{m r^3} = \frac{k e^2}{R_0^{2-\epsilon} r^{\epsilon}}$.
$r^{3-\epsilon} = \frac{\hbar^2 R_0^{2-\epsilon}}{m k e^2} = a_0 R_0^{2-\epsilon}$,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है।
$r = (a_0 R_0^{2-\epsilon})^{1/(3-\epsilon)}$.
कुल ऊर्जा $E = K + U = \frac{1}{2} m v^2 + \int_{\infty}^{r} F dr$.
स्थितिज ऊर्जा $U = -\int_{\infty}^{R_0} \frac{k e^2}{r^2} dr - \int_{R_0}^{r} \frac{k e^2}{R_0^{2-\epsilon} r^{\epsilon}} dr$ की गणना करना।
इन समाकलों का मूल्यांकन करने पर मूल अवस्था ऊर्जा $E$ प्राप्त होती है।

(D) विभवांतर $V$ के माध्यम से त्वरित आवेशित कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = qV = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
इससे,चाल $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ प्राप्त होती है।
हाइड्रोजन आयन $(H^+)$ के लिए,आवेश $q_H = e$ और द्रव्यमान $m_H \approx m$ है।
एकल आयनित हीलियम परमाणु $(He^+)$ के लिए,आवेश $q_{He} = e$ और द्रव्यमान $m_{He} \approx 4m$ है।
चालों का अनुपात $\frac{v_H}{v_{He}} = \frac{\sqrt{2q_H V / m_H}}{\sqrt{2q_{He} V / m_{He}}} = \sqrt{\frac{q_H}{q_{He}} \cdot \frac{m_{He}}{m_H}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{v_H}{v_{He}} = \sqrt{\frac{e}{e} \cdot \frac{4m}{m}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(D) माना $m = 200 \, MeV/c^2$ कण का द्रव्यमान है और $M = 1000 \, MeV/c^2$ हाइड्रोजन परमाणु का द्रव्यमान है।
माना $v$ कण का प्रारंभिक वेग है और $V$ परमाणु का प्रतिक्षेप वेग है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $mv = MV = p$,जहाँ $p$ संवेग है।
हाइड्रोजन परमाणु को उसकी पहली उत्तेजित अवस्था में उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \, eV \times (1 - 1/4) = 10.2 \, eV$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $K_{initial} = K_{final} + \Delta E$.
$K_{initial} = \frac{p^2}{2m}$ और $K_{final} = \frac{p^2}{2M}$.
अतः,$\frac{p^2}{2m} - \frac{p^2}{2M} = 10.2 \, eV$.
$\frac{p^2}{2m} (1 - \frac{m}{M}) = 10.2 \, eV$.
चूँकि $m/M = 200/1000 = 0.2$ दिया गया है,इसलिए $K_{initial} (1 - 0.2) = 10.2 \, eV$.
$K_{initial} (0.8) = 10.2 \, eV$.
$K_{initial} = \frac{10.2}{0.8} = 12.75 \, eV$.
हमें $K_{initial} = \frac{N}{4}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{N}{4} = 12.75$.
$N = 12.75 \times 4 = 51$.

(A) बोहर मॉडल केवल एकल-इलेक्ट्रॉन प्रजातियों के लिए लागू होता है,जो ऐसे परमाणु या आयन होते हैं जिनमें केवल एक इलेक्ट्रॉन होता है।
$1$. हाइड्रोजन परमाणु $(H)$ में $1$ इलेक्ट्रॉन होता है।
$2$. एकल आयनित हीलियम परमाणु $(He^+)$ में $2 - 1 = 1$ इलेक्ट्रॉन होता है।
$3$. ड्यूटेरॉन परमाणु (हाइड्रोजन का एक समस्थानिक) में $1$ इलेक्ट्रॉन होता है।
$4$. एकल आयनित नियॉन परमाणु $(Ne^+)$ में $10 - 1 = 9$ इलेक्ट्रॉन होते हैं।
चूंकि $Ne^+$ में एक से अधिक इलेक्ट्रॉन हैं,इसलिए बोहर मॉडल इसके लिए मान्य नहीं है।

(D) घूमते हुए इलेक्ट्रॉन के कारण कक्षा के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,धारा $i = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$ है।
$i$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$ प्राप्त होता है।
हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा के लिए,वेग $v_n = \frac{v_1}{n} = \frac{2.18 \times 10^6}{3} \approx 7.27 \times 10^5 \ m/s$ है।
त्रिज्या $r_n = r_1 n^2 = 0.529 \times 10^{-10} \times 3^2 = 4.761 \times 10^{-10} \ m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{(10^{-7}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (7.27 \times 10^5)}{(4.761 \times 10^{-10})^2}$.
$B = \frac{1.1632 \times 10^{-20}}{22.667 \times 10^{-20}} \approx 0.0513 \ T$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,मान $0.05 \ T$ है।

(D) बोर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा की परिधि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होती है: $2 \pi r_n = n \lambda$.
इसलिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{2 \pi r_n}{n}$ द्वारा दी जाती है।
हाइड्रोजन जैसे आयन के लिए $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ होती है,जहाँ $a_0 \approx 0.529 \ \mathring{A}$ है।
$He^{+1}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है। $3^{rd}$ कक्षा के लिए,$n = 3$ है।
इन मानों को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर: $r_3 = 0.529 \times \frac{3^2}{2} = 0.529 \times 4.5 = 2.3805 \ \mathring{A}$।
अब,$r_3$ और $n$ का मान तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर: $\lambda = \frac{2 \pi (2.3805)}{3}$।
$\lambda = \frac{2 \times 3.14159 \times 2.3805}{3} \approx \frac{14.958}{3} \approx 4.986 \ \mathring{A}$।
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $\lambda \approx 5 \ \mathring{A}$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्ताकार कक्षा में गति कर रहे इलेक्ट्रॉन का अभिकेंद्र त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a = \frac{v^{2}}{r}$
दिए गए मान:
वेग $v = 2.18 \times 10^{6} \; m/s$
त्रिज्या $r = 0.528 \; \mathring{A} = 0.528 \times 10^{-10} \; m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$a = \frac{(2.18 \times 10^{6})^{2}}{0.528 \times 10^{-10}}$
$a = \frac{4.7524 \times 10^{12}}{0.528 \times 10^{-10}}$
$a \approx 9 \times 10^{22} \; m/s^{2}$

(C) वृत्ताकार पथ में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
धारा $I = \frac{ev}{2\pi r}$ है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$v$ वेग है,और $r$ त्रिज्या है।
चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में $I$ का मान रखने पर: $B = \frac{\mu_{0} ev}{4\pi r^{2}}$।
दिए गए मान: $\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$v = 2.18 \times 10^{6} \, m/s$,और $r = 5 \times 10^{-11} \, m$।
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (2.18 \times 10^{6})}{4\pi \times (5 \times 10^{-11})^{2}}$
$B = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 2.18 \times 10^{6} \times 10^{-7}}{25 \times 10^{-22}}$
$B = \frac{3.488 \times 10^{-20}}{25 \times 10^{-22}} = \frac{348.8}{25} = 13.952 \, T$।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र लगभग $13.95 \, T$ है।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग सूत्र $v_n = v_0 \frac{Z}{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_0$ हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन का वेग है।
$v_0$ का मान $2.18 \times 10^{6} \text{ m/s}$ होता है।
हाइड्रोजन परमाणु ($H$-atom) के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 1$ है। हमें चौथी कक्षा में गति ज्ञात करनी है,इसलिए $n = 4$ लेते हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v_4 = (2.18 \times 10^{6} \text{ m/s}) \times \frac{1}{4}$
$v_4 = 0.545 \times 10^{6} \text{ m/s}$
$v_4 = 5.45 \times 10^{5} \text{ m/s}$.
अतः,चौथी कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गति $5.45 \times 10^{5} \text{ m/s}$ है।

(A) हाइड्रोजन जैसे आयन के लिए इलेक्ट्रॉन की त्रिज्या का सूत्र है:
$r = r_{0} \frac{n^{2}}{Z}$
जहाँ $r_{0}$ बोहर त्रिज्या है,$n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
$Be^{3+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 4$ है।
हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था के लिए,त्रिज्या $r = r_{0}$ है (जहाँ $n = 1$ और $Z = 1$)।
दोनों त्रिज्याओं को बराबर रखने पर:
$r_{0} = r_{0} \frac{n^{2}}{4}$
$n^{2} = 4$
$n = 2$
मुख्य क्वांटम संख्या $n = 2$ पहली उत्तेजित अवस्था के अनुरूप है।
अतः,$Be^{3+}$ की पहली उत्तेजित अवस्था में इलेक्ट्रॉन की त्रिज्या $H$ परमाणु की मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन की त्रिज्या के समान होगी।

(B) बोर के हाइड्रोजन परमाणु सिद्धांत के अनुसार,$n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $(v_n)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_n = \frac{2 \pi k Z e^2}{n h}$
जहाँ:
$k$ कूलम्ब नियतांक है,
$Z$ परमाणु क्रमांक है (हाइड्रोजन के लिए,$Z=1$),
$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,
$h$ प्लांक नियतांक है,
$n$ मुख्य क्वांटम संख्या (कक्षा की संख्या) है।
चूंकि $2, \pi, k, Z, e^2,$ और $h$ नियतांक हैं,इसलिए वेग कक्षा की संख्या $n$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
अतः,$v_n \propto \frac{1}{n}$.

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु के ऊर्जा स्तर $E_n = -\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 n^2 h^2}$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $m$ परिक्रमा करने वाले कण का द्रव्यमान है।
चूंकि $E \propto m$,इसलिए आयनन विभव $(IP)$ कण के द्रव्यमान के सीधे आनुपातिक होता है।
मानक हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$IP_e = 13.6 \ eV$ है।
जब इलेक्ट्रॉन को $m_{\mu} = 207 m_e$ द्रव्यमान वाले म्यूऑन से बदल दिया जाता है,तो नया आयनन विभव $IP_{\mu}$ इस प्रकार होगा:
$IP_{\mu} = IP_e \times \frac{m_{\mu}}{m_e}$
$IP_{\mu} = 13.6 \ eV \times 207$
$IP_{\mu} = 2815.2 \ eV$.