RL, RC and LC AC Circuits Questions in Hindi

(A) दिया गया $\text{emf } E = E_{0} \cos(\omega t)$ है,जहाँ $E_{0} = 4 \text{ V}$ और $\omega = 1000 \text{ rad/s}$ है।
$LR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^{2} + X_{L}^{2}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_{L} = \omega L$ है।
यहाँ $R = 4 \text{ } \Omega$,$L = 3 \text{ mH} = 3 \times 10^{-3} \text{ H}$,और $\omega = 1000 \text{ rad/s}$ है।
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_{L} = \omega L = 1000 \times 3 \times 10^{-3} = 3 \text{ } \Omega$ ज्ञात करें।
अब,प्रतिबाधा $Z = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ } \Omega$ प्राप्त होती है।
धारा का आयाम $i_{0} = \frac{E_{0}}{Z} = \frac{4}{5} = 0.8 \text{ A}$ है।

(C) दिया गया है कि प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \sqrt{3} R$ है।
$L-R$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ होता है।
$X_L = \sqrt{3} R$ रखने पर,हमें $Z = \sqrt{R^2 + (\sqrt{3} R)^2} = \sqrt{R^2 + 3R^2} = \sqrt{4R^2} = 2R$ प्राप्त होता है।
परिपथ में शिखर धारा $I_0 = \frac{E_0}{Z} = \frac{E_0}{2R}$ है।
$AC$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P = I_{rms}^2 R = \left(\frac{I_0}{\sqrt{2}}\right)^2 R$ द्वारा दी जाती है।
$I_0 = \frac{E_0}{2R}$ का मान रखने पर,हमें $P = \frac{1}{2} \left(\frac{E_0}{2R}\right)^2 R = \frac{1}{2} \cdot \frac{E_0^2}{4R^2} \cdot R = \frac{E_0^2}{8R}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 450 \Omega$,प्रेरकत्व $L = 1.5 \text{ H}$,आवृत्ति $f = \frac{150}{\pi} \text{ Hz}$.
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L$ का सूत्र $X_L = \omega L = 2\pi f L$ है।
मान रखने पर: $X_L = 2 \pi \times \left(\frac{150}{\pi}\right) \times 1.5 = 2 \times 150 \times 1.5 = 300 \times 1.5 = 450 \Omega$.
$RL$ परिपथ में वोल्टेज और धारा के बीच कलान्तर $\phi$,$\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \phi = \frac{450}{450} = 1$.
अतः,$\phi = \tan^{-1}(1)$.

(D) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 200 \ \Omega$,प्रेरकत्व $L = \frac{1}{2 \pi} \ H$,आवृत्ति $f = 100 \ Hz$।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = 2 \pi f L$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $X_L = 2 \pi \times 100 \times \frac{1}{2 \pi} = 100 \ \Omega$।
$RL$ श्रेणी परिपथ में कला कोण $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ है।
मान रखने पर: $\tan \phi = \frac{100}{200} = \frac{1}{2} = 0.5$।
अतः,कला कोण $\phi = \tan^{-1}(0.5)$ है।

(B) दी गई मान हैं: प्रेरकत्व $L = \frac{1}{\pi} \ H$,प्रतिरोध $R = 300 \ \Omega$,आवृत्ति $f = 200 \ Hz$।
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2\pi f L$ की गणना करें।
$X_L = 2 \times \pi \times 200 \times \frac{1}{\pi} = 400 \ \Omega$।
$LR$ श्रेणी परिपथ में कलान्तर $\phi$,$\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \phi = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$।
अतः,$\phi = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$।

(A) $L-R$ श्रेणी परिपथ में,वोल्टेज और धारा के बीच कला कोण $\phi$ को सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि कला कोण $\phi = 45^{\circ}$ और $\tan 45^{\circ} = 1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $1 = \frac{X_L}{R}$ प्राप्त होता है।
अतः,$X_L = R$।
इस प्रकार,प्रेरणिक प्रतिघात का मान प्रतिरोध $R$ के बराबर है।

(D) $LR$ श्रेणी परिपथ में, धारा और विभवांतर के बीच का कला कोण $\phi$ सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: प्रतिरोध $R = 12 \ \Omega$ और प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 5 \ \Omega$ है।
मान रखने पर: $\tan \phi = \frac{5}{12}$।
इसका अर्थ है $\phi = \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)$।
इसे $\sin$ या $\cos$ के पदों में व्यक्त करने के लिए, हम एक समकोण त्रिभुज पर विचार करते हैं जिसकी सम्मुख भुजा $5$ और आसन्न भुजा $12$ है। कर्ण $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ है।
अतः, $\sin \phi = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{5}{13}$, जिसका अर्थ है $\phi = \sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)$।
साथ ही, $\cos \phi = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{12}{13}$, जिसका अर्थ है $\phi = \cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर, सही विकल्प $\cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$ है।

(B) $LR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $X_L = 2R$,इसलिए $Z^2 = R^2 + (2R)^2 = R^2 + 4R^2 = 5R^2$ होगा।
$AC$ परिपथ में व्यय होने वाली औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ है,जहाँ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ शक्ति गुणांक (power factor) है।
चूँकि $V_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ और $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{E_0}{\sqrt{2}Z}$ है,इसलिए शक्ति $P = \frac{E_0}{\sqrt{2}} \times \frac{E_0}{\sqrt{2}Z} \times \frac{R}{Z} = \frac{E_0^2 R}{2 Z^2}$ होगी।
$Z^2 = 5R^2$ का मान रखने पर,हमें $P = \frac{E_0^2 R}{2(5R^2)} = \frac{E_0^2 R}{10 R^2} = \frac{E_0^2}{10 R}$ प्राप्त होता है।

(C) $AC$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P = E_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,शक्ति गुणांक (power factor) $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ है।
$rms$ धारा $I_{rms} = \frac{E_{rms}}{Z} = \frac{E_0}{\sqrt{2} Z}$ है।
इन मानों को शक्ति के सूत्र में रखने पर:
$P = \left( \frac{E_0}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{E_0}{\sqrt{2} Z} \right) \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{E_0^2 R}{2 Z^2} \dots (i)$.
दिया गया है कि प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = R$,इसलिए $L-R$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z$ होगी:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2} R$.
समीकरण $(i)$ में $Z^2 = 2 R^2$ रखने पर:
$P = \frac{E_0^2 R}{2 (2 R^2)} = \frac{E_0^2 R}{4 R^2} = \frac{E_0^2}{4 R}$.

(A) धारितीय प्रतिघात $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि धारिता $(C)$ बढ़ाई जाती है,तो धारितीय प्रतिघात $(X_{C})$ कम हो जाएगा।
परिपथ की कुल प्रतिबाधा $(Z)$,$Z = \sqrt{R^2 + X_{C}^2}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे $X_{C}$ घटता है,परिपथ की कुल प्रतिबाधा $(Z)$ कम हो जाती है।
$A.C.$ परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,धारा $(I = V/Z)$ बढ़ जाएगी।
चूंकि लैंप की चमक व्यय होने वाली शक्ति $(P = I^2 R)$ पर निर्भर करती है,इसलिए धारा में वृद्धि होने से लैंप की चमक बढ़ जाएगी।

(A) यह परिपथ एक $LCR$ श्रेणी परिपथ है जिसमें $X_L = 200 \, \Omega$, $X_C = 100 \, \Omega$, $R = 100 \, \Omega$ और $V_{rms} = 200 \sqrt{2} \, V$ है।
परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z$ का मान है:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
$Z = \sqrt{100^2 + (200 - 100)^2}$
$Z = \sqrt{100^2 + 100^2} = \sqrt{2 \times 100^2} = 100 \sqrt{2} \, \Omega$
धारा का r.m.s. मान $i_{rms}$ इस प्रकार है:
$i_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$
$i_{rms} = \frac{200 \sqrt{2}}{100 \sqrt{2}} = 2 \, A$
अतः, धारा का r.m.s. मान $2 \, A$ है।

(C) दिया गया है: $E = 15 \, V$, $f = 50 \, Hz$, $I = 0.5 \, A$, $\phi = \frac{\pi}{3} \, rad$.
परिपथ की प्रतिबाधा (Impedance) $Z = \frac{E}{I} = \frac{15}{0.5} = 30 \, \Omega$ है।
$LR$ परिपथ में कलान्तर $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ होता है।
मान रखने पर: $\tan \frac{\pi}{3} = \frac{X_L}{R} \implies \sqrt{3} = \frac{X_L}{R} \implies X_L = \sqrt{3}R$.
प्रतिबाधा का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है।
$X_L = \sqrt{3}R$ रखने पर: $Z = \sqrt{R^2 + (\sqrt{3}R)^2} = \sqrt{R^2 + 3R^2} = \sqrt{4R^2} = 2R$.
चूंकि $Z = 30 \, \Omega$, इसलिए $2R = 30 \, \Omega$ होगा।
अतः, $R = \frac{30}{2} = 15 \, \Omega$।

(D) दिया गया है: $E_v = 15 \, V$, $I = 0.3 \, A$, $\phi = \frac{\pi}{3} \, rad$.
$LR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \frac{E_v}{I} = \frac{15}{0.3} = 50 \, \Omega$ है।
$LR$ परिपथ में कलांतर $\phi$ का सूत्र $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ होता है।
मान रखने पर: $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{R}{50}$.
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, इसलिए $\frac{1}{2} = \frac{R}{50}$.
अतः, $R = \frac{50}{2} = 25 \, \Omega$ प्राप्त होता है।

(D) जब d.c. वोल्टेज लगाया जाता है, तो कुंडली एक शुद्ध प्रतिरोधक के रूप में कार्य करती है क्योंकि $f = 0$ के लिए प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2 \pi f L = 0$ होता है।
$R = \frac{V}{I_{dc}} = \frac{200}{1} = 200 \, \Omega$
जब a.c. वोल्टेज लगाया जाता है, तो $LR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ इस प्रकार दी जाती है:
$Z = \frac{V}{I_{ac}} = \frac{200}{0.5} = 400 \, \Omega$
प्रतिबाधा, प्रतिरोध और प्रेरणिक प्रतिघात के साथ $Z^2 = R^2 + X_L^2$ द्वारा संबंधित है।
$(400)^2 = (200)^2 + X_L^2$
$160000 = 40000 + X_L^2$
$X_L^2 = 120000$
$X_L = \sqrt{120000} = 200 \sqrt{3} \, \Omega$
चूंकि $X_L = 2 \pi f L$, इसलिए:
$2 \pi f \left( \frac{2 \sqrt{3}}{\pi} \right) = 200 \sqrt{3}$
$4 \sqrt{3} f = 200 \sqrt{3}$
$f = \frac{200}{4} = 50 \, Hz$

(C) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 12 \ \Omega$ और प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 5 \ \Omega$.
$L-R$ श्रेणी परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ होता है।
मान रखने पर: $Z = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \ \Omega$.
धारा और विभवांतर के बीच कलान्तर $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ है।
अतः,$\tan \phi = \frac{5}{12}$,जिसका अर्थ है $\phi = \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)$.
वैकल्पिक रूप से,$\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{12}{13}$ का उपयोग करने पर,हमें $\phi = \cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों में से,विकल्प $C$ सबसे सटीक है।

(C) $L-R$ श्रेणी परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\cos \phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$,जिसका अर्थ है $\phi = \frac{\pi}{6}$।
फेज कोण $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा भी दिया जाता है।
चूंकि $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{X_L}{R} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
$R = 50 \ \Omega$ रखने पर,हमें $X_L = \frac{50}{\sqrt{3}} \ \Omega$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $X_L = 2 \pi f L$। $f = 50 \ Hz$ दिया गया है,इसलिए $\frac{50}{\sqrt{3}} = 2 \pi (50) L$।
$L$ के लिए हल करने पर: $L = \frac{50}{\sqrt{3} \times 100 \pi} = \frac{1}{2 \sqrt{3} \pi} \ H$।

(B) $CR$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$ है।
दिया गया है कि $\cos \phi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{R}{Z} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $R = X_{C1} = \frac{1}{2\pi f_1 C}$ है।
जब आवृत्ति आधी कर दी जाती है,तो $f_2 = \frac{f_1}{2}$ हो जाता है।
नया धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_{C2} = \frac{1}{2\pi f_2 C} = \frac{1}{2\pi (f_1/2) C} = 2 X_{C1} = 2R$ है।
नया शक्ति गुणांक $\cos \phi_2 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_{C2}^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (2R)^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + 4R^2}} = \frac{R}{\sqrt{5R^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ होगा।

(B) $LR$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $X_L = R$,इसलिए $P_1 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{R}{\sqrt{2R^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
जब एक संधारित्र $C$ को इस प्रकार जोड़ा जाता है कि $X_C = X_L$ हो,तो परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में एक श्रेणी $LCR$ परिपथ बन जाता है।
$LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
चूंकि $X_L = X_C$,इसलिए प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + 0} = R$ है।
नया शक्ति गुणांक $P_2 = \frac{R}{Z} = \frac{R}{R} = 1$ है।
अतः,अनुपात $P_1 : P_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} : 1 = 1 : \sqrt{2}$ होगा।

(B) $R-L$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{R^2}{R^2 + X_L^2} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $2R^2 = R^2 + X_L^2$,अतः $R^2 = X_L^2$ या $X_L = R$.
चूंकि $X_L = \omega L = 2\pi f L$,यदि आवृत्ति $f$ को दोगुना किया जाता है,तो नया प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L'$ का मान $2X_L = 2R$ हो जाएगा।
नया शक्ति गुणांक $\cos \phi' = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (X_L')^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (2R)^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + 4R^2}} = \frac{R}{\sqrt{5R^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ होगा।

(D) प्रेरकीय प्रतिघात $X_L$ का सूत्र $X_L = L\omega = L(2\pi f)$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $X_L = \frac{1}{\pi} \times 2\pi \times 200 = 400 \text{ } \Omega$.
$LR$ श्रेणी परिपथ में कला कोण $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ होता है।
मान रखने पर: $\tan \phi = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$.
अतः,$\phi = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$।

(A) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 25.48 \ mH = 25.48 \times 10^{-3} \ H$,प्रतिरोध $R = 8 \ \Omega$,आवृत्ति $\nu = 50 \ Hz$.
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ की गणना करें:
$X_L = \omega L = 2 \pi \nu L$
$X_L = 2 \times 3.14 \times 50 \times 25.48 \times 10^{-3}$
$X_L = 314 \times 25.48 \times 10^{-3} \approx 8 \ \Omega$.
$LR$ श्रेणी परिपथ में कलान्तर $\phi$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\tan \phi = \frac{X_L}{R}$
$\tan \phi = \frac{8}{8} = 1$
$\phi = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$.

(B) $LC$ श्रेणी परिपथ में,कुल प्रतिघात (reactance) $X = X_{L} - X_{C}$ होता है।
दिया गया है कि $X_{C} > X_{L}$,इसलिए कुल प्रतिघात $X$ ऋणात्मक है,जिसका अर्थ है कि परिपथ की प्रकृति धारिता (capacitive) है।
एक शुद्ध धारिता परिपथ में,वोल्टेज धारा से $\frac{\pi}{2}$ के कला कोण से पीछे रहता है।
अतः,विभव धारा से $\frac{\pi}{2}$ कला में पीछे है।

(B) दिया गया $AC$ वोल्टेज $V = V_m \cos(\omega t)$ है, जहाँ $V_m = 5 \text{ V}$ और $\omega = 1000 \text{ rad/s}$ है。
$L-R$ परिपथ के लिए, प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $X_L = \omega L$ है。
यहाँ $L = 3 \text{ mH} = 3 \times 10^{-3} \text{ H}$ और $R = 4 \text{ } \Omega$ दिया गया है。
प्रेरकीय प्रतिघात की गणना: $X_L = 1000 \times 3 \times 10^{-3} = 3 \text{ } \Omega$ है。
प्रतिबाधा की गणना: $Z = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ } \Omega$ है。
अधिकतम धारा $I_m = \frac{V_m}{Z}$ द्वारा दी जाती है。
मान रखने पर: $I_m = \frac{5}{5} = 1 \text{ A}$ प्राप्त होता है।

(D) $RL$ श्रेणी परिपथ के लिए,वोल्टेज और धारा के बीच कलान्तर $\phi$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \frac{\omega L}{R}$.
दिया गया है: आवृत्ति $\nu = \frac{25}{\pi} \text{ Hz}$,प्रतिरोध $R = 100 \ \Omega$,प्रेरकत्व $L = 2 \text{ H}$.
चूंकि $\omega = 2 \pi \nu$,हमें प्राप्त होता है:
$\tan \phi = \frac{2 \pi \nu L}{R}$
$\tan \phi = \frac{2 \pi \times (\frac{25}{\pi}) \times 2}{100}$
$\tan \phi = \frac{2 \times 25 \times 2}{100} = \frac{100}{100} = 1$.
अतः,$\phi = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$.

(B) $AC$ परिपथ में खपत होने वाली शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $V_{m} = 100 \ V$,$I_{m} = 1.1 \ A$,$X_{C} = 60 \ \Omega$,$R = 80 \ \Omega$।
प्रतिबाधा $Z$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $Z = \sqrt{R^{2} + X_{C}^{2}} = \sqrt{80^{2} + 60^{2}} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100 \ \Omega$।
शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{80}{100} = 0.8$ है।
$rms$ मान $V_{rms} = \frac{V_{m}}{\sqrt{2}}$ और $I_{rms} = \frac{I_{m}}{\sqrt{2}}$ हैं।
इन मानों को शक्ति के सूत्र में रखने पर:
$P = \left(\frac{100}{\sqrt{2}}\right) \times \left(\frac{1.1}{\sqrt{2}}\right) \times 0.8$
$P = \frac{100 \times 1.1}{2} \times 0.8$
$P = 50 \times 1.1 \times 0.8 = 55 \times 0.8 = 44.0 \ W$।

(C) $RL$ श्रेणी परिपथ में कलान्तर $\phi$ का सूत्र: $\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \frac{\omega L}{R}$ होता है।
दिया गया है:
प्रतिरोध $R = 1 \Omega$
प्रेरकत्व $L = 2.5 \text{ mH} = 2.5 \times 10^{-3} \text{ H}$
आवृत्ति $\nu = 50 \text{ Hz}$
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi \nu = 2 \pi \times 50 = 100 \pi \text{ rad/s}$.
मान रखने पर:
$\tan \phi = \frac{100 \pi \times 2.5 \times 10^{-3}}{1}$
$\tan \phi = 100 \times 2.5 \times 10^{-3} \times \pi$
$\tan \phi = 0.25 \pi = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$\phi = \tan^{-1} \left( \frac{\pi}{4} \right)$.

(A) दिया गया है: स्व-प्रेरकत्व $L = 0.04 \ H$,प्रतिरोध $R = 12 \ \Omega$,वोल्टेज $V = 220 \ V$,आवृत्ति $f = 50 \ Hz$.
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ की गणना करें:
$X_L = \omega L = 2 \pi f L$
$X_L = 2 \times 3.14 \times 50 \times 0.04 = 12.56 \ \Omega$.
इसके बाद,$RL$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ की गणना करें:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$
$Z = \sqrt{12^2 + 12.56^2} = \sqrt{144 + 157.75} = \sqrt{301.75} \approx 17.37 \ \Omega$.
अंत में,$AC$ परिपथ के लिए ओम के नियम का उपयोग करके धारा $I$ ज्ञात करें:
$I = \frac{V}{Z} = \frac{220}{17.37} \approx 12.66 \ A \approx 12.7 \ A$.

(C) $RL$ श्रेणी परिपथ में,वोल्टेज और धारा के बीच कला कोण $\phi$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$,जहाँ $X_L = \omega L$ प्रेरणिक प्रतिघात है।
दिया गया है कि कला कोण $\phi = 45^{\circ}$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $\tan 45^{\circ} = \frac{X_L}{R}$।
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $1 = \frac{X_L}{R}$।
अतः,$X_L = R$।

(D) $LR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$,$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_L = \omega L$ है।
अतः,$Z = \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}$ है।
परिपथ में $RMS$ धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$ है।
परिपथ में व्ययित शक्ति $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है।
$I$ का मान रखने पर,हमें $P = \left( \frac{V}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}} \right)^2 R = \frac{V^2 R}{R^2 + \omega^2 L^2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है, $L$ के सिरों पर विभवांतर, $V_L = 40 \,V$; $C$ के सिरों पर विभवांतर, $V_C = 120 \,V$; $R$ के सिरों पर विभवांतर, $V_R = 60 \,V$ है।
श्रेणी $LCR$ परिपथ में स्रोत वोल्टेज $V$ का सूत्र इस प्रकार है:
$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$V = \sqrt{60^2 + (40 - 120)^2}$
$V = \sqrt{3600 + (-80)^2}$
$V = \sqrt{3600 + 6400}$
$V = \sqrt{10000}$
$V = 100 \,V$
अतः, स्रोत वोल्टेज $100 \,V$ है।

(A) प्रतिरोधक का प्रतिरोध: $R = \frac{V}{I} = \frac{100}{10} = 10 \, \Omega$.
$50 \, Hz$ पर चोक का प्रेरणिक प्रतिघात (Inductive reactance): $X_L = \frac{V}{I} = \frac{100}{8} = 12.5 \, \Omega$.
चूंकि $X_L = 2 \pi f L$, इसलिए $12.5 = 2 \pi \times 50 \times L$, जिससे $L = \frac{12.5}{100 \pi} = \frac{1}{8 \pi} \, H$ प्राप्त होता है।
अब, $40 \, Hz$ के नए स्रोत के लिए, नया प्रेरणिक प्रतिघात $X_L' = 2 \pi f' L = 2 \pi \times 40 \times \frac{1}{8 \pi} = 10 \, \Omega$ है।
श्रेणीक्रम $RL$ परिपथ की प्रतिबाधा (Impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L'^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2} \, \Omega$ है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V'}{Z} = \frac{150}{10\sqrt{2}} = \frac{15}{\sqrt{2}} \, A$ होगी।

(A) $RC$ श्रेणी परिपथ में, प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज $(V_R)$ और संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $(V_C)$ एक-दूसरे से $90^{\circ}$ के कलांतर (phase difference) पर होते हैं।
दिया गया है: $V_R = 12 \,V$ और $V_C = 5 \,V$.
कुल आरोपित वोल्टेज $V$ को फेजर योग द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$V = \sqrt{V_R^2 + V_C^2}$
मान रखने पर:
$V = \sqrt{(12)^2 + (5)^2}$
$V = \sqrt{144 + 25}$
$V = \sqrt{169}$
$V = 13 \,V$
अतः, आरोपित वोल्टेज $13 \,V$ है।

(B) दिया गया वोल्टेज $V = 100 \sqrt{2} \sin(1000 t)$ है।
इसे मानक समीकरण $V = V_0 \sin(\omega t)$ से तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = 1000 \ rad/s$ प्राप्त होती है।
प्रेरकीय प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = \omega L = 1000 \times 0.5 = 500 \ \Omega$ है।
प्रतिरोध $R = 500 \ \Omega$ है।
$RL$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{500^2 + 500^2} = 500 \sqrt{2} \ \Omega$ है।
शक्ति गुणांक को $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान रखने पर,$\cos \phi = \frac{500}{500 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है, $X_{L} = 4 \, \Omega$ और $X_{C} = 4 \, \Omega$.
श्रेणी $LC$ परिपथ में, प्रेरक $(V_{L})$ और संधारित्र $(V_{C})$ के सिरों पर वोल्टेज $180^{\circ}$ के कलांतर (phase difference) पर होते हैं।
इसलिए, प्रेरक और संधारित्र के श्रेणी संयोजन पर कुल वोल्टेज $V_{\text{net}} = |V_{L} - V_{C}|$ है।
चूंकि $X_{L} = X_{C}$, वोल्टेज के परिमाण समान हैं, अर्थात $V_{L} = I X_{L}$ और $V_{C} = I X_{C}$।
अतः, $V_{\text{net}} = I(X_{L} - X_{C}) = I(4 - 4) = 0 \, V$.
वोल्टमीटर इस श्रेणी $LC$ संयोजन के सिरों पर जुड़ा है, इसलिए इसका पाठ्यांक $0 \, V$ है।
परिपथ की कुल प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$ है।
मान रखने पर, $Z = \sqrt{45^{2} + (4 - 4)^{2}} = \sqrt{45^{2}} = 45 \, \Omega$.
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{90 \, V}{45 \, \Omega} = 2 \, A$ है।
इसलिए, वोल्टमीटर का पाठ्यांक $0 \, V$ और एमीटर का पाठ्यांक $2 \, A$ है।

(C) बल्ब का प्रतिरोध $R = \frac{V^2}{P} = \frac{100^2}{50} = 200 \, \Omega$ है।
बल्ब को अपनी रेटेड शक्ति पर कार्य करने के लिए, धारा $I = \frac{P}{V} = \frac{50}{100} = 0.5 \, A$ होनी चाहिए।
जब इसे $200 \, V$ $AC$ स्रोत से जोड़ा जाता है, तो परिपथ का कुल प्रतिबाधा (impedance) $Z = \frac{V_{source}}{I} = \frac{200}{0.5} = 400 \, \Omega$ होता है।
$RL$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है, जहाँ $X_L = 2\pi fL$ है।
मान रखने पर: $400 = \sqrt{200^2 + X_L^2}$।
$160000 = 40000 + X_L^2 \implies X_L^2 = 120000$।
$X_L = \sqrt{120000} = 200\sqrt{3} \, \Omega$।
चूंकि $X_L = 2\pi fL$, इसलिए $200\sqrt{3} = 2 \times \pi \times 50 \times L$।
$L = \frac{200\sqrt{3}}{100\pi} = \frac{2\sqrt{3}}{\pi} \approx 1.1 \, H$।

(B) जब कुंडली में लोहे की छड़ डाली जाती है,तो कोर की पारगम्यता (permeability) बढ़ जाती है,जिससे कुंडली का स्व-प्रेरकत्व $(L)$ काफी बढ़ जाता है।
परिपथ का प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = \omega L$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे $L$ बढ़ता है,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ बढ़ता है।
परिपथ का कुल प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है,जहाँ $R$ बल्ब का प्रतिरोध है।
चूंकि $X_L$ बढ़ता है,इसलिए परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ बढ़ जाती है।
$A$.$C$. परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,धारा $I = V / Z$ होती है। जैसे-जैसे प्रतिबाधा $Z$ बढ़ती है,परिपथ से बहने वाली धारा $I$ कम हो जाती है।
बल्ब की चमक व्यय होने वाली शक्ति पर निर्भर करती है,जो $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है। चूंकि धारा $I$ कम हो जाती है,इसलिए बल्ब में व्यय होने वाली शक्ति कम हो जाती है।
अतः,बल्ब कम चमकता है।

(B) दिया गया है: प्रेरणिक प्रतिघात $ X_L = \omega L = \frac{1}{\sqrt{3}} \ \Omega $,प्रतिरोध $ R = 1 \ \Omega $,आवृत्ति $ f = 50 \ Hz $.
$ RL $ परिपथ में,वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर (phase difference) $ \phi $ को $ \tan \phi = \frac{X_L}{R} $ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$ \tan \phi = \frac{1/\sqrt{3}}{1} = \frac{1}{\sqrt{3}} $.
अतः,$ \phi = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ रेडियन} $.
कलांतर $ \phi $ और समय अंतराल $ t $ के बीच का संबंध $ \phi = \omega t $ है।
चूंकि $ \omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 = 100\pi \ rad/s $.
इसलिए,$ t = \frac{\phi}{\omega} = \frac{\pi/6}{100\pi} = \frac{1}{600} \ s $.
अधिकतम वोल्टेज और धारा के बीच का समय अंतराल $ \frac{1}{600} \ s $ है।

(B) दिया गया है: प्रेरक प्रतिघात $X_L = \frac{1}{\sqrt{3}} \ \Omega$,प्रतिरोध $R = 1 \ \Omega$,आवृत्ति $f = 50 \ Hz$.
$LR$ श्रेणी परिपथ में,कला कोण (phase angle) $\phi$ का मान $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \phi = \frac{1/\sqrt{3}}{1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\phi = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \ \text{रेडियन}$.
कलांतर $\phi$ और समय अंतराल $\Delta t$ के बीच संबंध $\phi = \omega \Delta t$ है,जहाँ $\omega = 2\pi f$.
$\omega = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi \ \text{rad/s}$.
मान रखने पर: $\frac{\pi}{6} = 100\pi \times \Delta t$.
$\Delta t = \frac{\pi}{6 \times 100\pi} = \frac{1}{600} \ s$.
इस प्रकार,समय अंतराल $\frac{1}{600} \ s$ है।

(D) माना कि संधारित्र,प्रतिरोधक और प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज क्रमशः $V_C = 2x$,$V_R = 3x$ और $V_L = 6x$ हैं।
एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,कुल वोल्टेज $V$ का मान $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$ संबंध द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $V = 240 \ V$,मान रखने पर:
$240 = \sqrt{(3x)^2 + (6x - 2x)^2}$
$240 = \sqrt{9x^2 + (4x)^2}$
$240 = \sqrt{9x^2 + 16x^2}$
$240 = \sqrt{25x^2}$
$240 = 5x$
$x = \frac{240}{5} = 48 \ V$.
प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $V_L = 6x = 6 \times 48 = 288 \ V$ है।

(C) दिया गया वोल्टेज $V = 144 \sin \left(100 \pi t + \frac{\pi}{2}\right) \text{ V}$ और धारा $I = 6 \sin \left(100 \pi t + \frac{\pi}{6}\right) \text{ A}$ है।
मानक रूपों $V = V_0 \sin(\omega t + \phi_V)$ और $I = I_0 \sin(\omega t + \phi_I)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $V_0 = 144 \text{ V}$,$I_0 = 6 \text{ A}$,और कलांतर $\phi = \phi_V - \phi_I = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$ प्राप्त होता है।
$LR$ श्रेणी परिपथ में,कला कोण $\phi$ को $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan(60^\circ) = \frac{X_L}{R} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{X_L}{R} \Rightarrow X_L = \sqrt{3} R$.
प्रतिबाधा (impedance) $Z = \frac{V_0}{I_0} = \frac{144}{6} = 24 \ \Omega$ है।
साथ ही,$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$.
$X_L = \sqrt{3} R$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $24 = \sqrt{R^2 + (\sqrt{3} R)^2} = \sqrt{R^2 + 3R^2} = \sqrt{4R^2} = 2R$ प्राप्त होता है।
अतः,$R = \frac{24}{2} = 12 \ \Omega$।

(D) $LR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ को इस सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है: $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$,जहाँ $X_L = \omega L = 2 \pi f L$ है।
दिया गया है: $R = 8 \Omega$,$L = \frac{60}{\pi} \text{ mH} = \frac{60}{\pi} \times 10^{-3} \text{ H}$,और $f = 50 \text{ Hz}$।
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L$ की गणना करें:
$X_L = 2 \pi \times 50 \times \left( \frac{60}{\pi} \times 10^{-3} \right) = 100 \pi \times \frac{60}{\pi} \times 10^{-3} = 6000 \times 10^{-3} = 6 \Omega$.
अब,प्रतिबाधा $Z$ की गणना करें:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \Omega$.

(B) एक श्रेणी $L-C-R$ परिपथ में,कुल वोल्टेज $V$ प्रतिरोधक,प्रेरक और संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज के फेजर योग द्वारा प्राप्त होता है।
वोल्टेज और धारा के बीच का कला कोण $\phi$,$\phi = \tan^{-1} \left( \frac{X_L - X_C}{R} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
यदि $X_L > X_C$ है,तो $\phi$ धनात्मक होता है,जिसका अर्थ है कि वोल्टेज धारा से आगे (leads) है।
यदि $X_L < X_C$ है,तो $\phi$ ऋणात्मक होता है,जिसका अर्थ है कि धारा वोल्टेज से आगे है।
अतः,जब $X_L > X_C$ होता है तो वोल्टेज धारा से आगे होता है।

(C) $LR$ श्रेणीक्रम $AC$ परिपथ के लिए दिया गया है:
वोल्टेज, $V_{rms} = 12 \, V$
आवृत्ति, $f = 50 \, Hz$
धारा, $I = 0.5 \, A$
कलांतर, $\phi = \frac{\pi}{3}$
सबसे पहले, $AC$ परिपथ के लिए ओम के नियम का उपयोग करके परिपथ का कुल प्रतिबाधा $Z$ ज्ञात करें:
$Z = \frac{V_{rms}}{I} = \frac{12}{0.5} = 24 \, \Omega$
$LR$ श्रेणीक्रम परिपथ का शक्ति गुणांक (power factor) इस प्रकार है:
$\cos \phi = \frac{R}{Z}$
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{R}{24}$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = 0.5$:
$0.5 = \frac{R}{24}$
$R = 24 \times 0.5 = 12 \, \Omega$
अतः, $R$ का मान $12 \, \Omega$ है।

(C) दिया गया है: $L = 10 \mu H = 10 \times 10^{-6} H$,$C = 1 \mu F = 10^{-6} F$,$R = 10 \Omega$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 70 \times 10^3 \text{ rad s}^{-1}$।
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = \omega L = (70 \times 10^3) \times (10 \times 10^{-6}) = 0.7 \Omega$ की गणना करें।
इसके बाद,धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{(70 \times 10^3) \times (10^{-6})} = \frac{1}{0.07} \approx 14.29 \Omega$ की गणना करें।
दोनों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $X_C > X_L$ है।
चूंकि धारितीय प्रतिघात,प्रेरणिक प्रतिघात से काफी अधिक है,इसलिए परिपथ एक श्रेणी $RC$ परिपथ की तरह व्यवहार करता है।

(D) $L-R$ परिपथ के लिए, प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (L\omega)^2}$ द्वारा दी जाती है। धारा $I = V/Z$ है, इसलिए $R^2 + L^2\omega^2 = (V/I)^2$.
स्थिति $1$: $I_1 = 0.5 \,A$, $f_1 = 175/\pi \,Hz$, $\omega_1 = 2\pi f_1 = 350 \,rad/s$, $V = 8\sqrt{2} \,V$.
$R^2 + L^2(350)^2 = (8\sqrt{2} / 0.5)^2 = 512$.
स्थिति $2$: $I_2 = 0.4 \,A$, $f_2 = 225/\pi \,Hz$, $\omega_2 = 2\pi f_2 = 450 \,rad/s$, $V = 8\sqrt{2} \,V$.
$R^2 + L^2(450)^2 = (8\sqrt{2} / 0.4)^2 = 800$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $L^2(450^2 - 350^2) = 800 - 512 = 288$.
$L^2(80000) = 288 \Rightarrow L^2 = 0.0036 \Rightarrow L = 0.06 \,H = 60 \,mH$.
$L$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $R^2 + (0.06 \times 350)^2 = 512$.
$R^2 + 441 = 512 \Rightarrow R^2 = 71 \Rightarrow R = \sqrt{71} \,\Omega$.

(A) दिया गया है: $E = 6 \cos(6000t) \ V$,$L = 4 \ mH = 4 \times 10^{-3} \ H$,$R = 7 \ \Omega$.
$E = E_0 \cos(\omega t)$ की तुलना दिए गए समीकरण से करने पर,हमें $E_0 = 6 \ V$ और $\omega = 6000 \ rad/s$ प्राप्त होता है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 6000 \times 4 \times 10^{-3} = 24 \ \Omega$ है।
$L-R$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \ \Omega$ है।
धारा का आयाम $I_0 = \frac{E_0}{Z} = \frac{6}{25} = 0.24 \ A$ है।

(C) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 0.2 \ H$,प्रतिरोध $R = 100 \ \Omega$,वोल्टेज $V_{rms} = 180 \ V$,आवृत्ति $f = 50 \ Hz$.
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2 \pi f L$ की गणना करें।
$X_L = 2 \times \pi \times 50 \times 0.2 = 20 \pi \ \Omega$.
$\pi^2 = 10$ का उपयोग करते हुए,हम $\pi \approx \sqrt{10} \approx 3.162$ लेते हैं।
अतः,$X_L = 20 \times 3.162 = 63.24 \ \Omega$.
$RL$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है।
$Z = \sqrt{100^2 + (63.24)^2} = \sqrt{10000 + 3999.3} = \sqrt{13999.3} \approx 118.32 \ \Omega$.
$RMS$ धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$.
$I_{rms} = \frac{180}{118.32} \approx 1.5213 \ A$.
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $1.522 \ A$ प्राप्त होता है।

(A) बल्ब $A$ के लिए जो इंडक्टर $L = 100 \ mH$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है,धारा $I_1 = \frac{V_0}{X_L} = \frac{V_0}{\omega L} = \frac{V_0}{\omega \times 100 \times 10^{-3}} = \frac{10 V_0}{\omega}$ है।
बल्ब $B$ के लिए जो कैपेसिटर $C = 10 \ pF$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है,धारा $I_2 = \frac{V_0}{X_C} = V_0 \omega C = V_0 \omega \times 10 \times 10^{-12}$ है।
चूंकि सामान्य आवृत्तियों पर इंडक्टिव रिएक्टेंस $X_L$,कैपेसिटिव रिएक्टेंस $X_C$ की तुलना में बहुत कम होता है,इसलिए बल्ब $A$ से प्रवाहित धारा $I_1$,बल्ब $B$ से प्रवाहित धारा $I_2$ से काफी अधिक है।
अतः,$I_1 > I_2$,जिसका अर्थ है कि बल्ब $A$ अधिक चमकीला जलेगा।

(D) प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 2 \pi f L$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $X_L = 2 \times \pi \times 350 \times 0.1 = 70 \pi \approx 70 \times 3.14159 = 219.9 \Omega$।
$RL$ श्रेणी परिपथ में,वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $\phi$,$\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\tan \phi = \frac{219.9}{110} \approx 1.999 \approx 2$।
अतः,कलांतर $\phi = \tan ^{-1}(2)$ है।

(C) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = \frac{1}{6 \pi} \text{ H}$,प्रतिरोध $R = 15 \text{ } \Omega$,वोल्टेज $V = 100 \text{ V}$,आवृत्ति $f = 60 \text{ Hz}$।
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ की गणना करें:
$X_L = L \omega = L(2 \pi f) = \left(\frac{1}{6 \pi}\right) \times 2 \pi \times 60 = 20 \text{ } \Omega$।
इसके बाद,$LR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ की गणना करें:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \text{ } \Omega$।
परिपथ में धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{Z} = \frac{100}{25} = 4 \text{ A}$।
वोल्टेज और धारा के बीच कलान्तर $\phi$ इस प्रकार है:
$\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$।
अतः,$\phi = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$।