RL, RC and LC AC Circuits Questions in Gujarati

(A) આપેલ $\text{emf } E = E_{0} \cos(\omega t)$ છે,જ્યાં $E_{0} = 4 \text{ V}$ અને $\omega = 1000 \text{ rad/s}$ છે.
$LR$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^{2} + X_{L}^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_{L} = \omega L$ છે.
અહીં $R = 4 \text{ } \Omega$,$L = 3 \text{ mH} = 3 \times 10^{-3} \text{ H}$,અને $\omega = 1000 \text{ rad/s}$ છે.
પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L} = \omega L = 1000 \times 3 \times 10^{-3} = 3 \text{ } \Omega$ શોધો.
હવે,ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ } \Omega$ મળે છે.
પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $i_{0} = \frac{E_{0}}{Z} = \frac{4}{5} = 0.8 \text{ A}$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \sqrt{3} R$ છે.
$L-R$ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$X_L = \sqrt{3} R$ મૂકતા,આપણને $Z = \sqrt{R^2 + (\sqrt{3} R)^2} = \sqrt{R^2 + 3R^2} = \sqrt{4R^2} = 2R$ મળે છે.
સર્કિટમાં મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{E_0}{Z} = \frac{E_0}{2R}$ છે.
$AC$ સર્કિટમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = I_{rms}^2 R = \left(\frac{I_0}{\sqrt{2}}\right)^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I_0 = \frac{E_0}{2R}$ મૂકતા,આપણને $P = \frac{1}{2} \left(\frac{E_0}{2R}\right)^2 R = \frac{1}{2} \cdot \frac{E_0^2}{4R^2} \cdot R = \frac{E_0^2}{8R}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: અવરોધ $R = 450 \Omega$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 1.5 \text{ H}$,આવૃત્તિ $f = \frac{150}{\pi} \text{ Hz}$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ નું સૂત્ર $X_L = \omega L = 2\pi f L$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $X_L = 2 \pi \times \left(\frac{150}{\pi}\right) \times 1.5 = 2 \times 150 \times 1.5 = 300 \times 1.5 = 450 \Omega$.
$RL$ સર્કિટમાં વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \phi = \frac{450}{450} = 1$.
તેથી,$\phi = \tan^{-1}(1)$.

(D) આપેલ છે: અવરોધ $R = 200 \ \Omega$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{1}{2 \pi} \ H$,આવૃત્તિ $f = 100 \ Hz$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2 \pi f L$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $X_L = 2 \pi \times 100 \times \frac{1}{2 \pi} = 100 \ \Omega$.
$RL$ શ્રેણી પરિપથમાં કળા તફાવત $\phi$ માટેનું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \phi = \frac{100}{200} = \frac{1}{2} = 0.5$.
તેથી,કળા તફાવત $\phi = \tan^{-1}(0.5)$ થશે.

(B) આપેલ કિંમતો છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{1}{\pi} \ H$,અવરોધ $R = 300 \ \Omega$,આવૃત્તિ $f = 200 \ Hz$.
સૌ પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi f L$ ની ગણતરી કરો.
$X_L = 2 \times \pi \times 200 \times \frac{1}{\pi} = 400 \ \Omega$.
$LR$ શ્રેણી પરિપથમાં કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \phi = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$.
તેથી,$\phi = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$.

(A) $L-R$ શ્રેણી સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ એંગલ $\phi$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$.
અહીં આપેલ છે કે ફેઝ એંગલ $\phi = 45^{\circ}$ અને $\tan 45^{\circ} = 1$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $1 = \frac{X_L}{R}$.
તેથી,$X_L = R$.
આમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સનું મૂલ્ય અવરોધ $R$ જેટલું થાય છે.

(D) $LR$ શ્રેણી સર્કિટમાં, પ્રવાહ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત વચ્ચેનો ફેઝ એંગલ $\phi$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$.
આપેલ છે: અવરોધ $R = 12 \ \Omega$ અને ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 5 \ \Omega$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \phi = \frac{5}{12}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\phi = \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)$.
આને $\sin$ અથવા $\cos$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે, આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જેમાં સામેની બાજુ $5$ અને પાસેની બાજુ $12$ છે. કર્ણ $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ છે.
તેથી, $\sin \phi = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{5}{13}$, જેનો અર્થ છે કે $\phi = \sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)$.
વધુમાં, $\cos \phi = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{12}{13}$, જેનો અર્થ છે કે $\phi = \cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, સાચો વિકલ્પ $\cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$ છે.

(B) $LR$ શ્રેણી પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $X_L = 2R$,તેથી $Z^2 = R^2 + (2R)^2 = R^2 + 4R^2 = 5R^2$.
$AC$ પરિપથમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ છે,જ્યાં $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ એ પાવર ફેક્ટર છે.
$V_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ અને $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{E_0}{\sqrt{2}Z}$ હોવાથી,પાવર $P = \frac{E_0}{\sqrt{2}} \times \frac{E_0}{\sqrt{2}Z} \times \frac{R}{Z} = \frac{E_0^2 R}{2 Z^2}$ થાય.
$Z^2 = 5R^2$ કિંમત મૂકતા,આપણને $P = \frac{E_0^2 R}{2(5R^2)} = \frac{E_0^2 R}{10 R^2} = \frac{E_0^2}{10 R}$ મળે છે.

(C) $AC$ સર્કિટમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = E_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ છે.
$rms$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{E_{rms}}{Z} = \frac{E_0}{\sqrt{2} Z}$ છે.
આ કિંમતોને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = \left( \frac{E_0}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{E_0}{\sqrt{2} Z} \right) \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{E_0^2 R}{2 Z^2} \dots (i)$.
આપેલ છે કે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = R$,તેથી $L-R$ સર્કિટનો ઈમ્પિડન્સ $Z$ નીચે મુજબ થાય:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2} R$.
સમીકરણ $(i)$ માં $Z^2 = 2 R^2$ મૂકતા:
$P = \frac{E_0^2 R}{2 (2 R^2)} = \frac{E_0^2 R}{4 R^2} = \frac{E_0^2}{4 R}$.

(A) કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો કેપેસિટન્સ $(C)$ વધારવામાં આવે,તો કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_{C})$ ઘટશે.
પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $(Z)$ એ $Z = \sqrt{R^2 + X_{C}^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ $X_{C}$ ઘટે છે,તેમ પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $(Z)$ પણ ઘટશે.
$A.C.$ પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $(I = V/Z)$ વધશે.
લેમ્પની તેજસ્વીતા વપરાતા પાવર $(P = I^2 R)$ પર આધાર રાખતી હોવાથી,પ્રવાહમાં વધારો થવાથી લેમ્પની તેજસ્વીતામાં વધારો થશે.

(A) આપેલ પરિપથ $LCR$ શ્રેણી પરિપથ છે જેમાં $X_L = 200 \, \Omega$, $X_C = 100 \, \Omega$, $R = 100 \, \Omega$ અને $V_{rms} = 200 \sqrt{2} \, V$ છે.
પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ (impedance) $Z$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
$Z = \sqrt{100^2 + (200 - 100)^2}$
$Z = \sqrt{100^2 + 100^2} = \sqrt{2 \times 100^2} = 100 \sqrt{2} \, \Omega$
પ્રવાહનું r.m.s. મૂલ્ય $i_{rms}$ નીચે મુજબ છે:
$i_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$
$i_{rms} = \frac{200 \sqrt{2}}{100 \sqrt{2}} = 2 \, A$
આમ, પ્રવાહનું r.m.s. મૂલ્ય $2 \, A$ છે.

(C) આપેલ માહિતી: $E = 15 \, V$, $f = 50 \, Hz$, $I = 0.5 \, A$, $\phi = \frac{\pi}{3} \, rad$.
પરિપથનું ઈમ્પિડન્સ (અવરોધકતા) $Z = \frac{E}{I} = \frac{15}{0.5} = 30 \, \Omega$ છે।
$LR$ પરિપથમાં કળા તફાવત $\phi$ માટેનું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $\tan \frac{\pi}{3} = \frac{X_L}{R} \implies \sqrt{3} = \frac{X_L}{R} \implies X_L = \sqrt{3}R$.
ઈમ્પિડન્સનું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે।
$X_L = \sqrt{3}R$ મૂકતા: $Z = \sqrt{R^2 + (\sqrt{3}R)^2} = \sqrt{R^2 + 3R^2} = \sqrt{4R^2} = 2R$.
અહીં $Z = 30 \, \Omega$ હોવાથી, $2R = 30 \, \Omega$ થાય.
તેથી, $R = \frac{30}{2} = 15 \, \Omega$.

(D) આપેલ છે: $E_v = 15 \, V$, $I = 0.3 \, A$, $\phi = \frac{\pi}{3} \, rad$.
$LR$ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \frac{E_v}{I} = \frac{15}{0.3} = 50 \, \Omega$ છે।
$LR$ સર્કિટમાં કળા તફાવત $\phi$ માટેનું સૂત્ર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{R}{50}$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, તેથી $\frac{1}{2} = \frac{R}{50}$.
આમ, $R = \frac{50}{2} = 25 \, \Omega$ મળે છે।

(D) જ્યારે d.c. વોલ્ટેજ લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે કોઈલ શુદ્ધ અવરોધ તરીકે વર્તે છે કારણ કે $f = 0$ માટે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2 \pi f L = 0$ થાય છે.
$R = \frac{V}{I_{dc}} = \frac{200}{1} = 200 \, \Omega$
જ્યારે a.c. વોલ્ટેજ લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે $LR$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Z = \frac{V}{I_{ac}} = \frac{200}{0.5} = 400 \, \Omega$
ઈમ્પીડન્સ, અવરોધ અને ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ સાથે $Z^2 = R^2 + X_L^2$ દ્વારા સંબંધિત છે.
$(400)^2 = (200)^2 + X_L^2$
$160000 = 40000 + X_L^2$
$X_L^2 = 120000$
$X_L = \sqrt{120000} = 200 \sqrt{3} \, \Omega$
કારણ કે $X_L = 2 \pi f L$, તેથી:
$2 \pi f \left( \frac{2 \sqrt{3}}{\pi} \right) = 200 \sqrt{3}$
$4 \sqrt{3} f = 200 \sqrt{3}$
$f = \frac{200}{4} = 50 \, Hz$

(C) આપેલ છે: અવરોધ $R = 12 \ \Omega$ અને ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 5 \ \Omega$.
$L-R$ શ્રેણી સર્કિટમાં,ઇમ્પિડન્સ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $Z = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \ \Omega$.
પ્રવાહ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ માટેનું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ છે.
તેથી,$\tan \phi = \frac{5}{12}$,જેનો અર્થ છે કે $\phi = \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)$.
વૈકલ્પિક રીતે,$\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{12}{13}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\phi = \cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,વિકલ્પ $C$ સૌથી સચોટ છે.

(C) $L-R$ શ્રેણી પરિપથનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\cos \phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\phi = \frac{\pi}{6}$.
ફેઝ એંગલ $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\frac{X_L}{R} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$R = 50 \ \Omega$ મૂકતા,આપણને $X_L = \frac{50}{\sqrt{3}} \ \Omega$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $X_L = 2 \pi f L$. $f = 50 \ Hz$ આપેલ હોવાથી,$\frac{50}{\sqrt{3}} = 2 \pi (50) L$.
$L$ માટે ઉકેલતા: $L = \frac{50}{\sqrt{3} \times 100 \pi} = \frac{1}{2 \sqrt{3} \pi} \ H$.

(B) $CR$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$ છે.
આપેલ છે કે $\cos \phi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{R}{Z} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $R = X_{C1} = \frac{1}{2\pi f_1 C}$ થાય.
જ્યારે આવૃત્તિ અડધી કરવામાં આવે છે,ત્યારે $f_2 = \frac{f_1}{2}$ થાય છે.
નવો કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_{C2} = \frac{1}{2\pi f_2 C} = \frac{1}{2\pi (f_1/2) C} = 2 X_{C1} = 2R$ થાય છે.
નવો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi_2 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_{C2}^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (2R)^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + 4R^2}} = \frac{R}{\sqrt{5R^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ થાય છે.

(B) $LR$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $X_L = R$,તેથી $P_1 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{R}{\sqrt{2R^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
જ્યારે કેપેસિટર $C$ ને એવી રીતે જોડવામાં આવે કે જેથી $X_C = X_L$ થાય,ત્યારે સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં શ્રેણી $LCR$ સર્કિટ બની જાય છે.
$LCR$ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
કારણ કે $X_L = X_C$,તેથી ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + 0} = R$.
નવો પાવર ફેક્ટર $P_2 = \frac{R}{Z} = \frac{R}{R} = 1$ થાય છે.
તેથી,ગુણોત્તર $P_1 : P_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} : 1 = 1 : \sqrt{2}$ થાય.

(B) $R-L$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{R^2}{R^2 + X_L^2} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $2R^2 = R^2 + X_L^2$,તેથી $R^2 = X_L^2$ અથવા $X_L = R$.
કારણ કે $X_L = \omega L = 2\pi f L$,જો આવૃત્તિ $f$ બમણી કરવામાં આવે,તો નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L'$ એ $2X_L = 2R$ થશે.
નવો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi' = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (X_L')^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (2R)^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + 4R^2}} = \frac{R}{\sqrt{5R^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ થાય.

(D) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ નું સૂત્ર $X_L = L\omega = L(2\pi f)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $X_L = \frac{1}{\pi} \times 2\pi \times 200 = 400 \text{ } \Omega$.
$LR$ શ્રેણી પરિપથમાં ફેઝ એંગલ $\phi$ માટેનું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \phi = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$.
તેથી,$\phi = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$.

(A) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 25.48 \ mH = 25.48 \times 10^{-3} \ H$,અવરોધ $R = 8 \ \Omega$,આવૃત્તિ $\nu = 50 \ Hz$.
સૌ પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ની ગણતરી કરો:
$X_L = \omega L = 2 \pi \nu L$
$X_L = 2 \times 3.14 \times 50 \times 25.48 \times 10^{-3}$
$X_L = 314 \times 25.48 \times 10^{-3} \approx 8 \ \Omega$.
$LR$ શ્રેણી પરિપથમાં કળા તફાવત $\phi$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \phi = \frac{X_L}{R}$
$\tan \phi = \frac{8}{8} = 1$
$\phi = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$.

(B) $LC$ શ્રેણી પરિપથમાં,કુલ રિએક્ટન્સ $X = X_{L} - X_{C}$ છે.
આપેલ છે કે $X_{C} > X_{L}$,તેથી કુલ રિએક્ટન્સ $X$ ઋણ છે,જેનો અર્થ છે કે પરિપથ કેપેસિટિવ પ્રકારનો છે.
શુદ્ધ કેપેસિટિવ પરિપથમાં,વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $\frac{\pi}{2}$ ના કળા તફાવતથી પાછળ રહે છે.
તેથી,પોટેન્શિયલ પ્રવાહ કરતા $\frac{\pi}{2}$ કળામાં પાછળ છે.

(B) આપેલ $AC$ વોલ્ટેજ $V = V_m \cos(\omega t)$ છે, જ્યાં $V_m = 5 \text{ V}$ અને $\omega = 1000 \text{ rad/s}$ છે。
$L-R$ સર્કિટ માટે, ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $X_L = \omega L$ છે。
અહીં $L = 3 \text{ mH} = 3 \times 10^{-3} \text{ H}$ અને $R = 4 \text{ } \Omega$ આપેલ છે。
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સની ગણતરી: $X_L = 1000 \times 3 \times 10^{-3} = 3 \text{ } \Omega$.
ઇમ્પીડન્સની ગણતરી: $Z = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ } \Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_m = \frac{V_m}{Z}$ દ્વારા મળે છે。
કિંમતો મૂકતા: $I_m = \frac{5}{5} = 1 \text{ A}$.

(D) $RL$ શ્રેણી પરિપથ માટે,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \frac{\omega L}{R}$.
આપેલ છે: આવૃત્તિ $\nu = \frac{25}{\pi} \text{ Hz}$,અવરોધ $R = 100 \ \Omega$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 2 \text{ H}$.
$\omega = 2 \pi \nu$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\tan \phi = \frac{2 \pi \nu L}{R}$
$\tan \phi = \frac{2 \pi \times (\frac{25}{\pi}) \times 2}{100}$
$\tan \phi = \frac{2 \times 25 \times 2}{100} = \frac{100}{100} = 1$.
તેથી,$\phi = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$.

(B) $AC$ સર્કિટમાં વપરાતો પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $V_{m} = 100 \ V$,$I_{m} = 1.1 \ A$,$X_{C} = 60 \ \Omega$,$R = 80 \ \Omega$.
ઈમ્પીડન્સ $Z$ ની ગણતરી આ રીતે થાય છે: $Z = \sqrt{R^{2} + X_{C}^{2}} = \sqrt{80^{2} + 60^{2}} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100 \ \Omega$.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{80}{100} = 0.8$ છે.
$rms$ મૂલ્યો $V_{rms} = \frac{V_{m}}{\sqrt{2}}$ અને $I_{rms} = \frac{I_{m}}{\sqrt{2}}$ છે.
આ કિંમતોને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = \left(\frac{100}{\sqrt{2}}\right) \times \left(\frac{1.1}{\sqrt{2}}\right) \times 0.8$
$P = \frac{100 \times 1.1}{2} \times 0.8$
$P = 50 \times 1.1 \times 0.8 = 55 \times 0.8 = 44.0 \ W$.

(C) $RL$ શ્રેણી સર્કિટમાં કળા તફાવત $\phi$ માટેનું સૂત્ર: $\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \frac{\omega L}{R}$ છે.
આપેલ છે:
અવરોધ $R = 1 \Omega$
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 2.5 \text{ mH} = 2.5 \times 10^{-3} \text{ H}$
આવૃત્તિ $\nu = 50 \text{ Hz}$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi \nu = 2 \pi \times 50 = 100 \pi \text{ rad/s}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\tan \phi = \frac{100 \pi \times 2.5 \times 10^{-3}}{1}$
$\tan \phi = 100 \times 2.5 \times 10^{-3} \times \pi$
$\tan \phi = 0.25 \pi = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$\phi = \tan^{-1} \left( \frac{\pi}{4} \right)$.

(A) આપેલ છે: આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = 0.04 \ H$,અવરોધ $R = 12 \ \Omega$,વોલ્ટેજ $V = 220 \ V$,આવૃત્તિ $f = 50 \ Hz$.
પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ની ગણતરી કરો:
$X_L = \omega L = 2 \pi f L$
$X_L = 2 \times 3.14 \times 50 \times 0.04 = 12.56 \ \Omega$.
ત્યારબાદ,$RL$ સર્કિટના ઈમ્પીડન્સ $Z$ ની ગણતરી કરો:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$
$Z = \sqrt{12^2 + 12.56^2} = \sqrt{144 + 157.75} = \sqrt{301.75} \approx 17.37 \ \Omega$.
છેલ્લે,$AC$ સર્કિટ માટે ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રવાહ $I$ શોધો:
$I = \frac{V}{Z} = \frac{220}{17.37} \approx 12.66 \ A \approx 12.7 \ A$.

(C) $RL$ શ્રેણી સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ એંગલ $\phi$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$,જ્યાં $X_L = \omega L$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે.
આપેલ છે કે ફેઝ એંગલ $\phi = 45^{\circ}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\tan 45^{\circ} = \frac{X_L}{R}$.
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $1 = \frac{X_L}{R}$.
આમ,$X_L = R$.

(D) $LR$ શ્રેણી પરિપથનો ઈમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_L = \omega L$ છે.
તેથી,$Z = \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}$ થાય.
પરિપથમાં વહેતો $RMS$ પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$ છે.
પરિપથમાં વ્યય થતો પાવર $P = I^2 R$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P = \left( \frac{V}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}} \right)^2 R = \frac{V^2 R}{R^2 + \omega^2 L^2}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે, $L$ ની આસપાસ વોલ્ટેજ ડ્રોપ, $V_L = 40 \,V$; $C$ ની આસપાસ વોલ્ટેજ ડ્રોપ, $V_C = 120 \,V$; $R$ ની આસપાસ વોલ્ટેજ ડ્રોપ, $V_R = 60 \,V$ છે।
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં સ્ત્રોત વોલ્ટેજ $V$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$V = \sqrt{60^2 + (40 - 120)^2}$
$V = \sqrt{3600 + (-80)^2}$
$V = \sqrt{3600 + 6400}$
$V = \sqrt{10000}$
$V = 100 \,V$
તેથી, સ્ત્રોત વોલ્ટેજ $100 \,V$ છે।

(A) અવરોધકનો અવરોધ: $R = \frac{V}{I} = \frac{100}{10} = 10 \, \Omega$.
$50 \, Hz$ પર ચોકનો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ: $X_L = \frac{V}{I} = \frac{100}{8} = 12.5 \, \Omega$.
કારણ કે $X_L = 2 \pi f L$, તેથી $12.5 = 2 \pi \times 50 \times L$, જેનાથી $L = \frac{12.5}{100 \pi} = \frac{1}{8 \pi} \, H$ મળે છે.
હવે, $40 \, Hz$ ના નવા સ્ત્રોત માટે, નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L' = 2 \pi f' L = 2 \pi \times 40 \times \frac{1}{8 \pi} = 10 \, \Omega$ છે.
શ્રેણી $RL$ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L'^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2} \, \Omega$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V'}{Z} = \frac{150}{10\sqrt{2}} = \frac{15}{\sqrt{2}} \, A$ થશે.

(A) $RC$ શ્રેણી પરિપથમાં, અવરોધક પરનો વોલ્ટેજ $(V_R)$ અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $(V_C)$ એકબીજાથી $90^{\circ}$ ના કળા તફાવત (phase difference) પર હોય છે.
આપેલ છે: $V_R = 12 \,V$ અને $V_C = 5 \,V$.
કુલ લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ $V$ એ ફેઝર સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$V = \sqrt{V_R^2 + V_C^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$V = \sqrt{(12)^2 + (5)^2}$
$V = \sqrt{144 + 25}$
$V = \sqrt{169}$
$V = 13 \,V$
આમ, લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ $13 \,V$ છે.

(B) આપેલ વોલ્ટેજ $V = 100 \sqrt{2} \sin(1000 t)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સમીકરણ $V = V_0 \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 1000 \ rad/s$ મળે છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 1000 \times 0.5 = 500 \ \Omega$ છે.
અવરોધ $R = 500 \ \Omega$ છે.
$RL$ શ્રેણી પરિપથનું ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{500^2 + 500^2} = 500 \sqrt{2} \ \Omega$ થાય.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,$\cos \phi = \frac{500}{500 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે, $X_{L} = 4 \, \Omega$ અને $X_{C} = 4 \, \Omega$.
શ્રેણી $LC$ સર્કિટમાં, ઇન્ડક્ટર $(V_{L})$ અને કેપેસિટર $(V_{C})$ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $180^{\circ}$ ફેઝ તફાવત ધરાવે છે.
તેથી, ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટરના શ્રેણી જોડાણ પરનો કુલ વોલ્ટેજ $V_{\text{net}} = |V_{L} - V_{C}|$ છે.
કારણ કે $X_{L} = X_{C}$, વોલ્ટેજના મૂલ્યો સમાન છે, એટલે કે $V_{L} = I X_{L}$ અને $V_{C} = I X_{C}$.
આમ, $V_{\text{net}} = I(X_{L} - X_{C}) = I(4 - 4) = 0 \, V$.
વોલ્ટમીટર આ શ્રેણી $LC$ જોડાણ સાથે જોડાયેલ છે, તેથી તેનું રીડિંગ $0 \, V$ છે.
સર્કિટનો કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $Z = \sqrt{45^{2} + (4 - 4)^{2}} = \sqrt{45^{2}} = 45 \, \Omega$.
સર્કિટમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{90 \, V}{45 \, \Omega} = 2 \, A$ છે.
તેથી, વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ $0 \, V$ અને એમીટરનું રીડિંગ $2 \, A$ છે.

(C) બલ્બનો અવરોધ $R = \frac{V^2}{P} = \frac{100^2}{50} = 200 \, \Omega$ છે.
બલ્બ તેના રેટ કરેલ પાવર પર કાર્ય કરે તે માટે, પ્રવાહ $I = \frac{P}{V} = \frac{50}{100} = 0.5 \, A$ હોવો જોઈએ.
જ્યારે તેને $200 \, V$ $AC$ સ્ત્રોત સાથે જોડવામાં આવે, ત્યારે પરિપથનો કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z = \frac{V_{source}}{I} = \frac{200}{0.5} = 400 \, \Omega$ થાય છે.
$RL$ પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે, જ્યાં $X_L = 2\pi fL$.
કિંમતો મૂકતા: $400 = \sqrt{200^2 + X_L^2}$.
$160000 = 40000 + X_L^2 \implies X_L^2 = 120000$.
$X_L = \sqrt{120000} = 200\sqrt{3} \, \Omega$.
$X_L = 2\pi fL$ હોવાથી, $200\sqrt{3} = 2 \times \pi \times 50 \times L$.
$L = \frac{200\sqrt{3}}{100\pi} = \frac{2\sqrt{3}}{\pi} \approx 1.1 \, H$.

(B) જ્યારે કોઈલની અંદર લોખંડનો સળિયો દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કોરની પરમીએબિલિટી વધે છે,જેનાથી કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $(L)$ નોંધપાત્ર રીતે વધે છે.
પરિપથનો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ $L$ વધે છે,તેમ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ વધે છે.
પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે,જ્યાં $R$ એ બલ્બનો અવરોધ છે.
$X_L$ વધતું હોવાથી,પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z$ વધે છે.
$A$.$C$. પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $I = V / Z$ છે. જેમ ઈમ્પીડન્સ $Z$ વધે છે,તેમ પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઘટે છે.
બલ્બની તેજસ્વીતા વપરાતા પાવર પર આધાર રાખે છે,જે $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રવાહ $I$ ઘટતો હોવાથી,બલ્બમાં વપરાતો પાવર ઘટે છે.
તેથી,બલ્બ ઓછો પ્રકાશિત થાય છે.

(B) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $ X_L = \omega L = \frac{1}{\sqrt{3}} \ \Omega $,અવરોધ $ R = 1 \ \Omega $,આવૃત્તિ $ f = 50 \ Hz $.
$ RL $ સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $ \phi $ એ $ \tan \phi = \frac{X_L}{R} $ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$ \tan \phi = \frac{1/\sqrt{3}}{1} = \frac{1}{\sqrt{3}} $.
આમ,$ \phi = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ રેડિયન} $.
કળા તફાવત $ \phi $ અને સમયનો તફાવત $ t $ વચ્ચેનો સંબંધ $ \phi = \omega t $ છે.
અહીં $ \omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 = 100\pi \ rad/s $.
તેથી,$ t = \frac{\phi}{\omega} = \frac{\pi/6}{100\pi} = \frac{1}{600} \ s $.
મહત્તમ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો સમયનો તફાવત $ \frac{1}{600} \ s $ છે.

(B) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \frac{1}{\sqrt{3}} \ \Omega$,અવરોધ $R = 1 \ \Omega$,આવૃત્તિ $f = 50 \ Hz$.
$LR$ શ્રેણી પરિપથમાં,ફેઝ એંગલ $\phi$ નીચે મુજબ મળે છે: $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$.
$\tan \phi = \frac{1/\sqrt{3}}{1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\phi = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \ \text{રેડિયન}$.
ફેઝ તફાવત $\phi$ અને સમયનો તફાવત $\Delta t$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \omega \Delta t$ છે,જ્યાં $\omega = 2\pi f$.
$\omega = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi \ \text{rad/s}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\pi}{6} = 100\pi \times \Delta t$.
$\Delta t = \frac{\pi}{6 \times 100\pi} = \frac{1}{600} \ s$.
આમ,સમયનો તફાવત $\frac{1}{600} \ s$ છે.

(D) ધારો કે કેપેસિટર,અવરોધક અને ઇન્ડક્ટર પરના વોલ્ટેજ અનુક્રમે $V_C = 2x$,$V_R = 3x$ અને $V_L = 6x$ છે.
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,કુલ વોલ્ટેજ $V$ એ સંબંધ $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V = 240 \ V$,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$240 = \sqrt{(3x)^2 + (6x - 2x)^2}$
$240 = \sqrt{9x^2 + (4x)^2}$
$240 = \sqrt{9x^2 + 16x^2}$
$240 = \sqrt{25x^2}$
$240 = 5x$
$x = \frac{240}{5} = 48 \ V$.
ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L = 6x = 6 \times 48 = 288 \ V$ છે.

(C) આપેલ વોલ્ટેજ $V = 144 \sin \left(100 \pi t + \frac{\pi}{2}\right) \text{ V}$ અને પ્રવાહ $I = 6 \sin \left(100 \pi t + \frac{\pi}{6}\right) \text{ A}$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપો $V = V_0 \sin(\omega t + \phi_V)$ અને $I = I_0 \sin(\omega t + \phi_I)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $V_0 = 144 \text{ V}$,$I_0 = 6 \text{ A}$,અને કળા તફાવત $\phi = \phi_V - \phi_I = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$ મળે છે.
$LR$ શ્રેણી પરિપથમાં,કળા કોણ $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\tan(60^\circ) = \frac{X_L}{R} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{X_L}{R} \Rightarrow X_L = \sqrt{3} R$.
ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \frac{V_0}{I_0} = \frac{144}{6} = 24 \ \Omega$ છે.
વળી,$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$.
$X_L = \sqrt{3} R$ મૂકતા,આપણને $24 = \sqrt{R^2 + (\sqrt{3} R)^2} = \sqrt{R^2 + 3R^2} = \sqrt{4R^2} = 2R$ મળે છે.
તેથી,$R = \frac{24}{2} = 12 \ \Omega$.

(D) $LR$ સર્કિટનું ઈમ્પિડન્સ $Z$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$,જ્યાં $X_L = \omega L = 2 \pi f L$.
આપેલ છે: $R = 8 \Omega$,$L = \frac{60}{\pi} \text{ mH} = \frac{60}{\pi} \times 10^{-3} \text{ H}$,અને $f = 50 \text{ Hz}$.
પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ની ગણતરી કરો:
$X_L = 2 \pi \times 50 \times \left( \frac{60}{\pi} \times 10^{-3} \right) = 100 \pi \times \frac{60}{\pi} \times 10^{-3} = 6000 \times 10^{-3} = 6 \Omega$.
હવે,ઈમ્પિડન્સ $Z$ ની ગણતરી કરો:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \Omega$.

(B) શ્રેણી $L-C-R$ પરિપથમાં,કુલ વોલ્ટેજ $V$ એ અવરોધક,ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટર પરના વોલ્ટેજના ફેઝર સરવાળા દ્વારા મળે છે.
વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ એ $\phi = \tan^{-1} \left( \frac{X_L - X_C}{R} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો $X_L > X_C$ હોય,તો $\phi$ ધન મળે છે,જેનો અર્થ છે કે વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા આગળ (leads) છે.
જો $X_L < X_C$ હોય,તો $\phi$ ઋણ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આગળ છે.
તેથી,જ્યારે $X_L > X_C$ હોય ત્યારે વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા આગળ હોય છે.

(C) $LR$ શ્રેણી $AC$ સર્કિટ માટે આપેલ છે:
વોલ્ટેજ, $V_{rms} = 12 \, V$
આવૃત્તિ, $f = 50 \, Hz$
પ્રવાહ, $I = 0.5 \, A$
કળા તફાવત, $\phi = \frac{\pi}{3}$
સૌ પ્રથમ, $AC$ સર્કિટ માટે ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને સર્કિટનો કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z$ શોધો:
$Z = \frac{V_{rms}}{I} = \frac{12}{0.5} = 24 \, \Omega$
$LR$ શ્રેણી સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર નીચે મુજબ છે:
$\cos \phi = \frac{R}{Z}$
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{R}{24}$
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = 0.5$:
$0.5 = \frac{R}{24}$
$R = 24 \times 0.5 = 12 \, \Omega$
તેથી, $R$ નું મૂલ્ય $12 \, \Omega$ છે।

(C) આપેલ છે: $L = 10 \mu H = 10 \times 10^{-6} H$,$C = 1 \mu F = 10^{-6} F$,$R = 10 \Omega$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 70 \times 10^3 \text{ rad s}^{-1}$.
પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = (70 \times 10^3) \times (10 \times 10^{-6}) = 0.7 \Omega$ ની ગણતરી કરો.
ત્યારબાદ,કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{(70 \times 10^3) \times (10^{-6})} = \frac{1}{0.07} \approx 14.29 \Omega$ ની ગણતરી કરો.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને જણાય છે કે $X_C > X_L$.
કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ કરતા ઘણો વધારે હોવાથી,સર્કિટ શ્રેણી $RC$ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.

(D) $L-R$ સર્કિટ માટે, ઇમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (L\omega)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। પ્રવાહ $I = V/Z$ છે, તેથી $R^2 + L^2\omega^2 = (V/I)^2$.
કિસ્સો $1$: $I_1 = 0.5 \,A$, $f_1 = 175/\pi \,Hz$, $\omega_1 = 2\pi f_1 = 350 \,rad/s$, $V = 8\sqrt{2} \,V$.
$R^2 + L^2(350)^2 = (8\sqrt{2} / 0.5)^2 = 512$.
કિસ્સો $2$: $I_2 = 0.4 \,A$, $f_2 = 225/\pi \,Hz$, $\omega_2 = 2\pi f_2 = 450 \,rad/s$, $V = 8\sqrt{2} \,V$.
$R^2 + L^2(450)^2 = (8\sqrt{2} / 0.4)^2 = 800$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $L^2(450^2 - 350^2) = 800 - 512 = 288$.
$L^2(80000) = 288 \Rightarrow L^2 = 0.0036 \Rightarrow L = 0.06 \,H = 60 \,mH$.
$L$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $R^2 + (0.06 \times 350)^2 = 512$.
$R^2 + 441 = 512 \Rightarrow R^2 = 71 \Rightarrow R = \sqrt{71} \,\Omega$.

(A) આપેલ છે: $E = 6 \cos(6000t) \ V$,$L = 4 \ mH = 4 \times 10^{-3} \ H$,$R = 7 \ \Omega$.
$E = E_0 \cos(\omega t)$ ને આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $E_0 = 6 \ V$ અને $\omega = 6000 \ rad/s$ મળે છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 6000 \times 4 \times 10^{-3} = 24 \ \Omega$ છે.
$L-R$ સર્કિટનો ઇમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \ \Omega$ છે.
પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_0 = \frac{E_0}{Z} = \frac{6}{25} = 0.24 \ A$ થાય છે.

(C) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 0.2 \ H$,અવરોધ $R = 100 \ \Omega$,વોલ્ટેજ $V_{rms} = 180 \ V$,આવૃત્તિ $f = 50 \ Hz$.
સૌ પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2 \pi f L$ ની ગણતરી કરો.
$X_L = 2 \times \pi \times 50 \times 0.2 = 20 \pi \ \Omega$.
$\pi^2 = 10$ લેતા,આપણે $\pi \approx \sqrt{10} \approx 3.162$ લઈએ છીએ.
તેથી,$X_L = 20 \times 3.162 = 63.24 \ \Omega$.
$RL$ શ્રેણી સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે.
$Z = \sqrt{100^2 + (63.24)^2} = \sqrt{10000 + 3999.3} = \sqrt{13999.3} \approx 118.32 \ \Omega$.
$RMS$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$.
$I_{rms} = \frac{180}{118.32} \approx 1.5213 \ A$.
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $1.522 \ A$ મળે છે.

(A) બલ્બ $A$ માટે જે ઇન્ડક્ટર $L = 100 \ mH$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે,પ્રવાહ $I_1 = \frac{V_0}{X_L} = \frac{V_0}{\omega L} = \frac{V_0}{\omega \times 100 \times 10^{-3}} = \frac{10 V_0}{\omega}$ છે.
બલ્બ $B$ માટે જે કેપેસિટર $C = 10 \ pF$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે,પ્રવાહ $I_2 = \frac{V_0}{X_C} = V_0 \omega C = V_0 \omega \times 10 \times 10^{-12}$ છે.
સામાન્ય આવૃત્તિઓ પર ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ કરતા ઘણો ઓછો હોવાથી,બલ્બ $A$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1$ એ બલ્બ $B$ માંથી વહેતા પ્રવાહ $I_2$ કરતા ઘણો વધારે છે.
તેથી,$I_1 > I_2$,જેનો અર્થ છે કે બલ્બ $A$ વધુ તેજસ્વી પ્રકાશશે.

(D) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2 \pi f L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $X_L = 2 \times \pi \times 350 \times 0.1 = 70 \pi \approx 70 \times 3.14159 = 219.9 \Omega$.
$RL$ શ્રેણી સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \phi = \frac{219.9}{110} \approx 1.999 \approx 2$.
તેથી,કળા તફાવત $\phi = \tan ^{-1}(2)$ છે.

(C) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{1}{6 \pi} \text{ H}$,અવરોધ $R = 15 \text{ } \Omega$,વોલ્ટેજ $V = 100 \text{ V}$,આવૃત્તિ $f = 60 \text{ Hz}$.
પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ શોધો:
$X_L = L \omega = L(2 \pi f) = \left(\frac{1}{6 \pi}\right) \times 2 \pi \times 60 = 20 \text{ } \Omega$.
ત્યારબાદ,$LR$ શ્રેણી સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ શોધો:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \text{ } \Omega$.
સર્કિટમાં પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{Z} = \frac{100}{25} = 4 \text{ A}$.
વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$:
$\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$.
તેથી,$\phi = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$.