RL, RC and LC AC Circuits Questions in Gujarati

(B) $LR$ શ્રેણી સર્કિટમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P_{avg} = I_{rms}^2 R = \frac{V_{rms}^2 R}{Z^2}$
અહીં,$Z$ એ સર્કિટનું ઇમ્પિડન્સ છે,જે $Z = \sqrt{X_L^2 + R^2}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો $X_L = 1 \ \Omega$,$R = 3 \ \Omega$,અને $V_{rms} = 10 \ V$ છે.
સૌ પ્રથમ,ઇમ્પિડન્સ $Z$ ની ગણતરી કરો:
$Z = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \ \Omega$.
હવે,સરેરાશ પાવર $P_{avg}$ ની ગણતરી કરો:
$P_{avg} = \frac{(10)^2 \times 3}{(\sqrt{10})^2} = \frac{100 \times 3}{10} = 30 \ W$.
આમ,સર્કિટમાં વ્યય થતો પાવર $30 \ W$ છે.

(A) અવરોધ અને ઇન્ડક્ટર $AC$ પાવર સપ્લાય સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,ઇન્ડક્ટરનો વોલ્ટેજ $(V_L)$ એ અવરોધના વોલ્ટેજ $(V_R)$ કરતા $90^{\circ}$ જેટલો આગળ (lead) હોય છે.
$RL$ શ્રેણી પરિપથ માટે ફેઝર ડાયાગ્રામ મુજબ,કુલ વોલ્ટેજ $V$ એ સદિશ સરવાળો છે:
$V = \sqrt{V_R^2 + V_L^2}$
અહીં કુલ વોલ્ટેજ $V = 20 V$ અને અવરોધનો વોલ્ટેજ $V_R = 12 V$ આપેલ છે,તેથી:
$20 = \sqrt{12^2 + V_L^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$400 = 144 + V_L^2$
$V_L^2 = 400 - 144 = 256$
$V_L = \sqrt{256} = 16 V$
આમ,કોઈલના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $16 V$ છે.

(C) કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ પર,$RC$ શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (\frac{1}{\omega C})^2}}$ ... $(i)$
જ્યારે આવૃત્તિ બદલીને $\omega' = \frac{\omega}{3}$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવો રિએક્ટન્સ $X_C' = \frac{1}{(\omega/3)C} = 3X_C$ થાય છે. નવો પ્રવાહ $I' = \frac{I}{2}$ છે.
તેથી,$\frac{I}{2} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (3X_C)^2}}$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા:
$2 = \frac{\sqrt{R^2 + 9X_C^2}}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4 = \frac{R^2 + 9X_C^2}{R^2 + X_C^2}$
$4R^2 + 4X_C^2 = R^2 + 9X_C^2$
$3R^2 = 5X_C^2$
$\frac{X_C^2}{R^2} = \frac{3}{5}$
$\frac{X_C}{R} = \sqrt{\frac{3}{5}}$

(A) આપેલ સર્કિટમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આગળ છે,જે દર્શાવે છે કે તે $RC$ સર્કિટ છે. તેથી,$P$ એ અવરોધક છે અને $Q$ એ કેપેસિટર છે.
$RC$ સર્કિટ માટે,ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\tan \phi = \frac{X_C}{R} = 1$,એટલે કે $X_C = R$.
આપેલ છે કે $Z = 1414 \Omega \approx 1000\sqrt{2} \Omega$.
ઈમ્પિડન્સના સૂત્રમાં $X_C = R$ મૂકતા: $Z = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$.
તેથી,$R\sqrt{2} = 1000\sqrt{2} \implies R = 1000 \Omega = 1 \text{ k}\Omega$.
હવે,$X_C = R = 1000 \Omega$ અને $X_C = \frac{1}{\omega C}$ હોવાથી,$\omega = 100 \text{ rad/s}$ લેતા:
$C = \frac{1}{\omega X_C} = \frac{1}{100 \times 1000} = 10^{-5} \text{ F} = 10 \mu\text{F}$.
આમ,$P = 1 \text{ k}\Omega$ અને $Q = 10 \mu\text{F}$ છે.

(C) વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_i - \phi_e = (\omega t + \phi + \frac{\pi}{4}) - (\omega t + \phi) = +\frac{\pi}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કળા કોણ ધન હોવાથી,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આગળ છે,જે દર્શાવે છે કે સર્કિટ કેપેસિટિવ સ્વભાવની છે.
$AC$ સર્કિટમાં,જો પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આગળ હોય,તો નેટ રિએક્ટન્સ કેપેસિટિવ $(X_C > X_L)$ હોવું જોઈએ.
આ શરત ત્યારે સંતોષાય છે જો સર્કિટમાં કેપેસિટર અને રઝિસ્ટર ($C-R$ સર્કિટ) હોય અથવા ઇન્ડક્ટર,કેપેસિટર અને રઝિસ્ટર ($L-C-R$ સર્કિટ) નું મિશ્રણ હોય,જ્યાં કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ કરતા વધારે હોય.

(B) આપેલ છે,મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_0 = 150 \text{ V}$ અને મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = 5 \text{ A}$ છે.
ફેઝ તફાવત $\phi = (100 \pi t + \pi) - (100 \pi t + \frac{2 \pi}{3}) = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ છે.
સરેરાશ પાવર વ્યય $P_{av} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = \frac{V_0}{\sqrt{2}} \cdot \frac{I_0}{\sqrt{2}} \cos 60^{\circ} = \frac{150 \times 5}{2} \times \frac{1}{2} = 187.5 \text{ W}$ મળે.
ઇમ્પિડન્સ $Z = \frac{V_0}{I_0} = \frac{150}{5} = 30 \Omega$ છે.
કારણ કે $\cos \phi = \frac{R}{Z}$,તેથી $R = Z \cos 60^{\circ} = 30 \times 0.5 = 15 \Omega$ થાય.

(C) આપેલ છે: આવૃત્તિ $f = 50 \, Hz$, પ્રવાહ $I = 4 \, A$, પાવર $P = 240 \, W$, વોલ્ટેજ $V = 100 \, V$.
કોઈલ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $240 = (4)^2 \times R \Rightarrow 240 = 16R \Rightarrow R = 15 \, \Omega$.
કોઈલનો ઈમ્પિડન્સ $Z = \frac{V}{I} = \frac{100}{4} = 25 \, \Omega$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Z^2 = R^2 + X_L^2$, જ્યાં $X_L$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે.
$(25)^2 = (15)^2 + X_L^2 \Rightarrow 625 = 225 + X_L^2 \Rightarrow X_L^2 = 400 \Rightarrow X_L = 20 \, \Omega$.
કારણ કે $X_L = 2 \pi f L$, તેથી $20 = 2 \pi (50) L$.
$20 = 100 \pi L \Rightarrow L = \frac{20}{100 \pi} = \frac{1}{5 \pi} \, H$.

(B) $1$. જ્યારે $12 \, V$ ના d.c. સ્ત્રોત સાથે જોડવામાં આવે, ત્યારે કોઈલ શુદ્ધ અવરોધ $R$ તરીકે વર્તે છે। ઓહ્મના નિયમ મુજબ, $R = V/I = 12 \, V / 4 \, A = 3 \, \Omega$.
$2$. જ્યારે a.c. સ્ત્રોત સાથે જોડવામાં આવે, ત્યારે $LR$ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z = V/I_{ac} = 12 \, V / 2.4 \, A = 5 \, \Omega$ થાય છે।
$3$. $LR$ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $X_L = 2\pi fL$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે।
$4$. કિંમતો મૂકતા: $5 = \sqrt{3^2 + X_L^2} \implies 25 = 9 + X_L^2 \implies X_L^2 = 16 \implies X_L = 4 \, \Omega$.
$5$. $X_L = 2\pi fL$ હોવાથી, $4 = 2\pi \times (25/\pi) \times L$.
$6$. સાદું રૂપ આપતા: $4 = 50L \implies L = 4/50 \, H = 0.08 \, H = 80 \, mH$.

(B) $LR$ શ્રેણી પરિપથનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $R = 450 \Omega$,$\cos \phi = 0.6$ અને $f = \frac{75}{\pi} \text{ Hz}$ આપેલ છે.
$\cos \phi = 0.6 = \frac{3}{5}$ હોવાથી,$\frac{R}{Z} = \frac{3}{5}$ થાય.
આથી $\frac{R^2}{R^2 + X_L^2} = \frac{9}{25}$ મળે.
$25R^2 = 9R^2 + 9X_L^2 \implies 16R^2 = 9X_L^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$4R = 3X_L \implies X_L = \frac{4}{3}R$.
$R = 450 \Omega$ મૂકતા,$X_L = \frac{4}{3} \times 450 = 600 \Omega$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $X_L = 2\pi f L$,તેથી $600 = 2\pi \times \frac{75}{\pi} \times L$.
$600 = 150 \times L$.
$L = \frac{600}{150} = 4 \text{ H}$.

(D) $LR$ શ્રેણી સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $f_1 = 50 \ Hz$ પર,$\cos \phi_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\frac{R}{\sqrt{R^2 + (2\pi f_1 L)^2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{R^2}{R^2 + (2\pi f_1 L)^2} = \frac{3}{4}$.
$4R^2 = 3R^2 + 3(2\pi f_1 L)^2$,જે સૂચવે છે કે $R^2 = 3(2\pi f_1 L)^2$,એટલે કે $R = \sqrt{3}(2\pi f_1 L)$.
જ્યારે આવૃત્તિમાં $200 \%$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $f_2 = f_1 + 200\% \text{ of } f_1 = f_1 + 2f_1 = 3f_1 = 150 \ Hz$.
નવો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi_2 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (2\pi f_2 L)^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (2\pi (3f_1) L)^2}}$ છે.
$R = \sqrt{3}(2\pi f_1 L)$ મૂકતા:
$\cos \phi_2 = \frac{\sqrt{3}(2\pi f_1 L)}{\sqrt{(\sqrt{3}(2\pi f_1 L))^2 + (3(2\pi f_1 L))^2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3 + 9}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 0.5$.

(C) જ્યારે ઇન્ડક્ટરમાં લોખંડનો સળિયો દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કોઇલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ વધે છે કારણ કે કોરની પરમિયેબિલિટી વધે છે.
પરિપથનો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ $L$ વધે છે,તેમ $X_L$ વધે છે.
શ્રેણી પરિપથનો કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે,જ્યાં $R$ એ બલ્બનો અવરોધ છે.
$X_L$ વધતું હોવાથી,પરિપથનો કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z$ વધે છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = V/Z$ દ્વારા મળે છે.
જેમ $Z$ વધે છે,તેમ બલ્બમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઘટે છે.
બલ્બમાં વપરાતો પાવર $P = I^2 R$ હોવાથી,પ્રવાહમાં ઘટાડો થવાથી પાવર ઘટે છે અને તેથી બલ્બનો પ્રકાશ ઘટે છે.

(B) આપેલ છે: અવરોધ $R = 100 \sqrt{3} \Omega$,વોલ્ટેજ $V = 100 \sin(200t) \text{ V}$,કળા તફાવત $\phi = 30^{\circ}$.
વોલ્ટેજ સમીકરણને $V = V_m \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 200 \text{ rad/s}$ મળે છે.
$RC$ શ્રેણી પરિપથમાં,કળા તફાવત $\phi$ નું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\omega C R}$.
$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{200 \times C \times 100 \sqrt{3}}$.
બંને બાજુથી $\sqrt{3}$ દૂર કરતા: $1 = \frac{1}{200 \times 100 \times C}$.
$C = \frac{1}{20000} \text{ F} = 0.5 \times 10^{-4} \text{ F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F} = 50 \mu \text{F}$.
આમ,કેપેસિટન્સ $50 \mu \text{F}$ છે.

(A) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટ માટે,ઈમ્પીડન્સ $Z$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
આપેલ છે: $X_L = R$,$X_C = 2R$,અને અવરોધ $= R$.
આ કિંમતોને ઈમ્પીડન્સના સૂત્રમાં મૂકતા:
$Z = \sqrt{R^2 + (R - 2R)^2}$
$Z = \sqrt{R^2 + (-R)^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$
$LCR$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$Z$ ની કિંમત મૂકતા:
$\cos \phi = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(D) $LR$ શ્રેણી પરિપથમાં,કુલ વોલ્ટેજ $V$ એ ઇન્ડક્ટરના વોલ્ટેજ $V_L$ અને રઝિસ્ટરના વોલ્ટેજ $V_R$ નો ફેઝર સરવાળો છે.
સંબંધ આ મુજબ છે: $V^2 = V_L^2 + V_R^2$.
આપેલ છે: $V = 10 \ V$ અને $V_L = 6 \ V$.
કિંમતો મૂકતા: $(10)^2 = (6)^2 + V_R^2$.
$100 = 36 + V_R^2$.
$V_R^2 = 100 - 36 = 64$.
$V_R = \sqrt{64} = 8 \ V$.

(C) આપેલ છે: $C = 100 \mu F = 10^{-4} F$,$R = 20 \Omega$,$L = 12.5 mH = 12.5 \times 10^{-3} H$,$V_{rms} = 220 V$,$f = \frac{200}{\pi} Hz$.
પ્રથમ,કોણીય આવૃત્તિની ગણતરી કરો: $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times \frac{200}{\pi} = 400 rad/s$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સની ગણતરી: $X_L = \omega L = 400 \times 12.5 \times 10^{-3} = 5 \Omega$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સની ગણતરી: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{400 \times 100 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.04} = 25 \Omega$.
ઇમ્પીડન્સની ગણતરી: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{20^2 + (5 - 25)^2} = \sqrt{400 + (-20)^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \Omega$.
પીક વોલ્ટેજ $V_0 = V_{rms} \sqrt{2} = 220\sqrt{2} V$ છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{220\sqrt{2}}{20\sqrt{2}} = 11 A$ છે.

(A) આપેલ છે,ઇનપુટ $AC$ વોલ્ટેજ $V_i(t) = 20 \sin(10^5 t) \text{ mV}$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $V = V_{\max} \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega = 10^5 \text{ rad/s}$ અને $V_{\max} = 20 \text{ mV}$ મળે છે.
આ પરિપથ એક $RC$ શ્રેણી પરિપથ છે જ્યાં આઉટપુટ વોલ્ટેજ $V_0$ કેપેસિટરની આજુબાજુ લેવામાં આવે છે.
કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{10^5 \times 10^{-8}} = \frac{1}{10^{-3}} = 1000 \text{ } \Omega$ છે.
અવરોધ $R = 1000 \text{ } \Omega$ છે.
પરિપથનો કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{1000^2 + 1000^2} = 1000\sqrt{2} \text{ } \Omega$ છે.
કેપેસિટરની આજુબાજુ આઉટપુટ વોલ્ટેજનો કંપવિસ્તાર વોલ્ટેજ ડિવાઇડરના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$V_0 = \frac{X_C}{Z} V_{\max} = \frac{1000}{1000\sqrt{2}} \times 20 \text{ mV} = \frac{20}{\sqrt{2}} \text{ mV} = 10\sqrt{2} \text{ mV}$.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ હોવાથી,આપણને $V_0 = 10 \times 1.414 \text{ mV} = 14.14 \text{ mV}$ મળે છે.

(C) શ્રેણી $L-C-R$ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $(Z)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
$X_L = 2\pi fL$ અને $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + \left(2\pi fL - \frac{1}{2\pi fC}\right)^2}$
અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0$ પર,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું થાય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
આ આવૃત્તિ પર,પદ $(X_L - X_C)$ શૂન્ય થઈ જાય છે,અને ઈમ્પીડન્સ તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $Z_{\min} = R$ પ્રાપ્ત કરે છે.
$f_0$ કરતા ઓછી આવૃત્તિઓ માટે,$X_C > X_L$ હોય છે,અને $f_0$ કરતા ઊંચી આવૃત્તિઓ માટે,$X_L > X_C$ હોય છે.
આમ,$Z$ વિરુદ્ધ $f$ નો આલેખ ઊંચા મૂલ્યથી શરૂ થાય છે,$f_0$ પર ન્યૂનતમ સુધી ઘટે છે,અને ત્યારબાદ ફરી વધે છે,જે વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(D) આપેલ પરિમાણો:
$E = 10 \, V$, $\omega = 200 \, rad/s$, $R = 50 \, \Omega$, $L = 400 \, mH = 0.4 \, H$, $C = 200 \, \mu F = 200 \times 10^{-6} \, F$.
પ્રથમ, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ ની ગણતરી કરો:
$X_L = \omega L = 200 \times 0.4 = 80 \, \Omega$.
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{200 \times 200 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.04} = 25 \, \Omega$.
હવે, $LCR$ સર્કિટના ઇમ્પીડન્સ $(Z)$ ની ગણતરી કરો:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{50^2 + (80 - 25)^2} = \sqrt{2500 + 55^2} = \sqrt{2500 + 3025} = \sqrt{5525} \approx 74.33 \, \Omega$.
સર્કિટમાં rms પ્રવાહ $(I)$ છે:
$I = \frac{E}{Z} = \frac{10}{74.33} \approx 0.1345 \, A$.
ઇન્ડક્ટર પરનો rms વોલ્ટેજ $(V_L)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V_L = I \times X_L = 0.1345 \times 80 \approx 10.76 \, V$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $10.8 \, V$ મળે છે।

(C) $L-C-R$ પરિપથનો ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{(X_L - X_C)^2 + R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 70 \times 10^3 \text{ rad/s}$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 100 \times 10^{-6} \text{ H}$,અને કેપેસીટન્સ $C = 1 \times 10^{-6} \text{ F}$ છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = (70 \times 10^3) \times (100 \times 10^{-6}) = 7 \text{ } \Omega$.
કેપેસીટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{(70 \times 10^3) \times (1 \times 10^{-6})} = \frac{1}{70 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{70} \approx 14.28 \text{ } \Omega$.
અહીં $X_C > X_L$ હોવાથી,પરિપથનો કુલ રિએક્ટન્સ કેપેસીટિવ છે $(X_C - X_L > 0)$.
તેથી,આ પરિપથ શ્રેણી $R-C$ પરિપથ તરીકે વર્તે છે.

(D) આપેલ emf $E = 200 \sin(50 \pi t)$ છે.
$t = 1 \ s$ પર,તાત્કાલિક વોલ્ટેજ $E = 200 \sin(50 \pi \times 1) = 200 \sin(50 \pi) = 0 \ V$ છે.
જોકે,$LR$ સર્કિટમાં રઝિસ્ટર દ્વારા વ્યય થતો પાવર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સર્કિટનો ઇમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50 \ \Omega$ છે.
સર્કિટમાં પ્રવાહ $I = I_0 \sin(50 \pi t - \phi)$ છે,જ્યાં $I_0 = E_0 / Z = 200 / 50 = 4 \ A$.
ફેઝ એંગલ $\phi$ એ $\tan \phi = X_L / R = 40 / 30 = 4/3$ છે,તેથી $\phi = 53^{\circ}$.
$t = 1 \ s$ પર,તાત્કાલિક પ્રવાહ $I = 4 \sin(50 \pi - 53^{\circ}) = 4 \sin(-53^{\circ}) = -4 \sin(53^{\circ}) = -4 \times 0.8 = -3.2 \ A$ છે.
રઝિસ્ટર દ્વારા વ્યય થતો તાત્કાલિક પાવર $P = I^2 R = (-3.2)^2 \times 30 = 10.24 \times 30 = 307.2 \ W$ છે.
આમ,પાવર આશરે $307 \ W$ છે.

(C) આપેલ છે,અવરોધ $R = 30 \Omega$ અને $f_1 = 50 \text{ Hz}$ પર ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 20 \Omega$.
$X_L = 2 \pi f L$ હોવાથી,$20 = 2 \pi (50) L \implies 2 \pi L = \frac{20}{50} = 0.4 \Omega/\text{Hz}$.
જ્યારે આવૃત્તિ બદલીને $f_2 = 100 \text{ Hz}$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L'$:
$X_L' = 2 \pi f_2 L = (2 \pi L) \times 100 = 0.4 \times 100 = 40 \Omega$.
કોઈલનું ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L')^2}$ દ્વારા મળે છે.
$Z = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \Omega$.
કોઈલમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{200}{50} = 4 \text{ A}$.

(A) $LR$ શ્રેણી પરિપથમાં,ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $(V_L)$ અને રઝિસ્ટર પરનો વોલ્ટેજ $(V_R)$ એકબીજાથી $90^{\circ}$ ના કળા તફાવત પર હોય છે.
$ac$ સપ્લાયનો કુલ વોલ્ટેજ $(V)$ એ વ્યક્તિગત વોલ્ટેજના ફેઝર સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$V = \sqrt{V_L^2 + V_R^2}$
આપેલ છે:
$V_L = 180 \ V$
$V_R = 240 \ V$
કિંમતો મૂકતા:
$V = \sqrt{(180)^2 + (240)^2}$
$V = \sqrt{32400 + 57600}$
$V = \sqrt{90000}$
$V = 300 \ V$
તેથી,$ac$ સપ્લાયનો વોલ્ટેજ $300 \ V$ છે.

(B) $RC$ શ્રેણી પરિપથમાં કળા કોણ $\phi$ એ $\tan(\phi) = \frac{X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\phi = 30^\circ$,$R = 20 \ \Omega$,અને $f = 50 \ Hz$ આપેલ છે.
$\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{X_C}{20}$.
તેથી,$X_C = \frac{20}{\sqrt{3}} \ \Omega$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ હોવાથી,$\frac{1}{2 \pi \times 50 \times C} = \frac{20}{\sqrt{3}}$.
$\frac{1}{100 \pi C} = \frac{20}{\sqrt{3}}$.
$C$ માટે ઉકેલતા: $C = \frac{\sqrt{3}}{2000 \pi} \ F$.
$mF$ (મિલીફેરડ) માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,$10^3$ વડે ગુણતા: $C = \frac{\sqrt{3}}{2000 \pi} \times 10^3 \ mF = \frac{\sqrt{3}}{2 \pi} \ mF$.

(D) લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ $V = 50 \sqrt{2} \sin \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 50 \sqrt{2} \ V$ છે,તેથી $rms$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = 50 \ V$ થાય.
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,$rms$ વોલ્ટેજ વચ્ચેનો સંબંધ $V_{rms}^2 = V_R^2 + (V_L - V_C)^2$ છે.
આપેલ છે: $V_R = 30 \ V$,$V_C = 90 \ V$,અને $V_{rms} = 50 \ V$.
કિંમતો મૂકતા: $50^2 = 30^2 + (V_L - 90)^2$.
$2500 = 900 + (V_L - 90)^2$.
$(V_L - 90)^2 = 1600$.
$V_L - 90 = \pm 40$.
કિસ્સો $1$: $V_L = 90 + 40 = 130 \ V$.
કિસ્સો $2$: $V_L = 90 - 40 = 50 \ V$.
ઇન્ડક્ટર પરનો પીક વોલ્ટેજ $(V_L)_{peak} = V_L \sqrt{2}$ થાય.
જો $V_L = 50 \ V$ લઈએ,તો $(V_L)_{peak} = 50 \sqrt{2} \ V$ મળે.

(D) આકૃતિ પરથી,પ્રવાહ $I$ એ emf $E$ કરતા $\phi = \frac{\pi}{4}$ જેટલો કળામાં આગળ છે. આ સૂચવે છે કે પરિપથ કેપેસિટિવ ($RC$ શ્રેણી પરિપથ) છે.
$RC$ શ્રેણી પરિપથમાં,કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\phi = \frac{\pi}{4}$,તેથી $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,એટલે કે $X_C = R$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $X_C = \frac{1}{\omega C}$.
અહીં $\omega = 100 \text{ rad/s}$ અને $R = 1 \text{ k}\Omega = 1000 \text{ }\Omega$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $1000 = \frac{1}{100 \times C}$.
$C = \frac{1}{100 \times 1000} = \frac{1}{10^5} = 10 \times 10^{-6} \text{ F} = 10 \mu\text{F}$.
આમ,$R = 1 \text{ k}\Omega$ અને $C = 10 \mu\text{F}$ મળે છે.

(C, D) શ્રેણી $\text{LCR}$ પરિપથમાં,ઈમ્પીડન્સ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
અનુનાદ (બિંદુ $C$) પર,$X_L = X_C$ થાય છે,તેથી $Z$ ન્યૂનતમ હોય છે.
અનુનાદ આવૃત્તિ કરતા ઓછી આવૃત્તિઓ માટે (ભાગ $AC$),$X_C > X_L$ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પરિપથ કેપેસિટિવ છે.
અનુનાદ આવૃત્તિ કરતા વધારે આવૃત્તિઓ માટે (ભાગ $BC$),$X_L > X_C$ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પરિપથ ઇન્ડક્ટિવ છે.
તેથી,ભાગ $AC$ માં ઈમ્પીડન્સ $Z$ કેપેસિટિવ છે અને ભાગ $BC$ માં ઇન્ડક્ટિવ છે.

(A) આપેલ છે,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 60 \text{ mH} = 60 \times 10^{-3} \text{ H}$.
$L-R$ સર્કિટમાં ફેઝ તફાવત,$\theta_{1} = 60^{\circ}$.
કેપેસિટન્સ $C = 0.5 \text{ } \mu\text{F} = 0.5 \times 10^{-6} \text{ F}$.
$R-C$ સર્કિટમાં ફેઝ તફાવત,$\theta_{2} = 30^{\circ}$.
$L-R$ સર્કિટ માટે,$\tan \theta_{1} = \frac{X_{L}}{R} = \frac{\omega L}{R} \quad \dots(i)$.
$R-C$ સર્કિટ માટે,$\tan \theta_{2} = \frac{X_{C}}{R} = \frac{1}{\omega CR} \quad \dots(ii)$.
$(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા: $\frac{\tan \theta_{1}}{\tan \theta_{2}} = \frac{\omega L / R}{1 / (\omega CR)} = \omega^{2} LC$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\tan 60^{\circ}}{\tan 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 3 = \omega^{2} LC$.
$\omega^{2} = \frac{3}{LC} = \frac{3}{60 \times 10^{-3} \times 0.5 \times 10^{-6}} = \frac{3}{30 \times 10^{-9}} = 10^{8}$.
$\omega = \sqrt{10^{8}} = 10^{4} \text{ rad/s}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2 \pi f$,તેથી $f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{10^{4}}{2 \pi} \text{ Hz}$.

(D) આપેલ છે: $R = 400 \Omega$,$L = 250 \text{ mH} = 0.25 \text{ H}$,$C = 2.5 \mu \text{F} = 2.5 \times 10^{-6} \text{ F}$,$V_0 = 5 \text{ V}$,$\omega = 2000 \text{ rad/s}$.
પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ શોધો: $X_L = \omega L = 2000 \times 0.25 = 500 \Omega$.
ત્યારબાદ,કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ શોધો: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2000 \times 2.5 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.005} = 200 \Omega$.
પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{400^2 + (500 - 200)^2} = \sqrt{400^2 + 300^2} = 500 \Omega$ છે.
પરિપથમાં મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{5}{500} = 0.01 \text{ A}$ છે.
કેપેસિટર પરનો મહત્તમ વોલ્ટેજ $(V_C)_0 = I_0 X_C = 0.01 \times 200 = 2 \text{ V}$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા $(U_C)_{\max} = \frac{1}{2} C (V_C)_0^2 = \frac{1}{2} \times 2.5 \times 10^{-6} \times (2)^2 = 5 \times 10^{-6} \text{ J} = 5 \mu \text{J}$ થાય.

(C) $RC$ શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ છે.
આવૃત્તિ $\omega$ પર,પ્રવાહ $I = \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$ છે.
જ્યારે આવૃત્તિ બદલીને $\omega' = \omega/4$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C' = \frac{1}{(\omega/4)C} = 4X_C$ થાય છે.
નવો પ્રવાહ $I' = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (4X_C)^2}} = I/3$ છે.
$I$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા,આપણને $\frac{V}{\sqrt{R^2 + 16X_C^2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{\sqrt{R^2 + 16X_C^2}}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} = 3$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $R^2 + 16X_C^2 = 9(R^2 + X_C^2)$ મળે છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $R^2 + 16X_C^2 = 9R^2 + 9X_C^2$.
પદોને ગોઠવતા: $7X_C^2 = 8R^2$.
તેથી,અવરોધ અને રિએક્ટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{R}{X_C} = \sqrt{\frac{7}{8}}$ છે.

(D) આપેલ છે: $\omega = 300 \text{ rad/s}$,$C = 100 \mu\text{F} = 10^{-4} \text{ F}$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{300 \times 10^{-4}} = \frac{100}{3} \Omega$.
જ્યારે $S_1$ બંધ હોય અને $S_2$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે પરિપથમાં $C$,$R$ અને $L_2$ શ્રેણીમાં હોય છે. કળા તફાવત $30^\circ$ છે.
$\tan 30^\circ = \frac{|X_{L2} - X_C|}{R} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{|300L_2 - 100/3|}{R} \quad \dots(1)$
જ્યારે $S_2$ બંધ હોય અને $S_1$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે પરિપથમાં $C$,$R$ અને $L_1$ શ્રેણીમાં હોય છે. કળા તફાવત $60^\circ$ છે.
$\tan 60^\circ = \frac{|X_{L1} - X_C|}{R} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{|300L_1 - 100/3|}{R} \quad \dots(2)$
આપેલ કળા તફાવત માટે $X_{L1} > X_C$ અને $X_C > X_{L2}$ ધારતા:
$(1)$ પરથી,$R = \sqrt{3}(100/3 - 300L_2) = \frac{100}{\sqrt{3}} - 300\sqrt{3}L_2$.
$(2)$ પરથી,$R = \frac{300L_1 - 100/3}{\sqrt{3}} = 100\sqrt{3}L_1 - \frac{100}{3\sqrt{3}}$.
$R$ ને સરખાવતા અને પ્રમાણિત પરિપથ મૂલ્યો (આ પ્રકારના પાઠ્યપુસ્તકના દાખલાઓ માટે $R = 100 \Omega$ ધારતા) માટે $L_1, L_2$ ઉકેલતા,આપણને $3L_1 - L_2 = 3$ $H$ મળે છે.