RL, RC and LC AC Circuits Questions in Gujarati

(B) $A.C.$ સર્કિટમાં,પ્રવાહ $(I)$ અને વોલ્ટેજ $(V)$ વચ્ચેનો સંબંધ $I-V$ પ્લોટમાં લિસાજસ આકૃતિ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
શુદ્ધ કેપેસિટીવ સર્કિટ માટે,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $90^o$ આગળ હોય છે.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટ માટે,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $90^o$ પાછળ હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,$x$-અક્ષ પ્રવાહ દર્શાવે છે અને $y$-અક્ષ વોલ્ટેજ દર્શાવે છે.
જેમ જેમ સમય આગળ વધે છે (તીર દ્વારા સૂચવ્યા મુજબ),વક્ર એક લંબગોળ બનાવે છે.
જે બિંદુએ પ્રવાહ મહત્તમ હોય છે ($x$-અક્ષ પર),ત્યાં વોલ્ટેજ શૂન્ય હોય છે અને વધતો જાય છે.
આ સૂચવે છે કે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા પહેલા તેની ટોચ પર પહોંચે છે.
તેથી,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા લગભગ $90^o$ આગળ છે.

(B) આપેલ છે: ઇમ્પિડન્સ $Z = 10\,\Omega$,આવૃત્તિ $f = 1000\,Hz$,ફેઝ એંગલ $\phi = 45^\circ$.
$RL$ સર્કિટમાં ફેઝ એંગલ $\tan \phi = \frac{\omega L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\phi = 45^\circ$ હોવાથી,$\tan 45^\circ = 1$,તેથી $\omega L = R$.
ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} = 10\,\Omega$ છે.
$R = \omega L$ મૂકતા,$Z = \sqrt{(\omega L)^2 + (\omega L)^2} = \sqrt{2}(\omega L) = 10$.
આમ,$\omega L = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\,\Omega$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 1000 = 2000\pi\,rad/s$.
તેથી,$L = \frac{5\sqrt{2}}{2000\pi} = \frac{1}{\sqrt{2} \times 200\pi}\,H$.

(D) શરૂઆતના પરિપથમાં,$R$ અને $6\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. $6\,\Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{6\Omega} = 3\,V$ છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V_{6\Omega}}{6\,\Omega} = \frac{3}{6} = 0.5\,A$ છે.
કુલ વોલ્ટેજ $V = 5\,V$ છે. $R$ અને $6\,\Omega$ વાળા શ્રેણી પરિપથમાં,$V = I(R+6)$ થાય. તેથી,$5 = 0.5(R+6)$,જે આપણને $R+6 = 10$ આપે છે,એટલે કે $R = 4\,\Omega$.
જ્યારે $R$ ને $X_L$ રિએક્ટન્સ ધરાવતા ઇન્ડક્ટર $L$ દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $L-R$ શ્રેણી પરિપથ બને છે. પ્રવાહ $I = 0.5\,A$ સમાન રહે છે.
નવા પરિપથનો ઇમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{X_L^2 + 6^2}$ છે.
$V = IZ$ નો ઉપયોગ કરતા,$5 = 0.5 \sqrt{X_L^2 + 36}$ મળે.
$10 = \sqrt{X_L^2 + 36} \implies 100 = X_L^2 + 36 \implies X_L^2 = 64 \implies X_L = 8\,\Omega$.
ઇન્ડક્ટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_L = I \cdot X_L = 0.5 \times 8 = 4\,V$ થાય.

(A) $AC$ સર્કિટમાં વપરાતો પાવર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = V_{rms} I_{rms} \cos\phi$
કારણ કે $\cos\phi = \frac{R}{Z}$,તેથી:
$P = V_{rms} I_{rms} \left( \frac{R}{Z} \right)$ ..........$(1)$
સૌ પ્રથમ,સર્કિટનો કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z$ શોધો:
$Z = \frac{V_{rms}}{I_{rms}} = \frac{120}{3} = 40\,\Omega$
હવે,સમીકરણ $(1)$ માં કિંમતો મૂકો:
$108 = (120)(3) \times \frac{R}{40}$
$108 = 360 \times \frac{R}{40}$
$108 = 9R$
$R = \frac{108}{9} = 12\,\Omega$
તેથી,સર્કિટમાં અવરોધ $12\,\Omega$ છે.

(A) કુલ વોલ્ટેજ $V$ એ $V^2 = V_R^2 + V_L^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_R = 54 \, V$ અને $V = 120 \, V$ છે.
$V_L = \sqrt{V^2 - V_R^2} = \sqrt{120^2 - 54^2} = \sqrt{14400 - 2916} = \sqrt{11484} \approx 107.16 \, V$.
રેઝિસ્ટર દ્વારા વપરાતો પાવર $P = V_R \cdot I$ છે,તેથી $I = P / V_R = 16 / 54 \, A$.
ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L = I \cdot X_L = I \cdot (2 \pi f L)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $107.16 = (16 / 54) \cdot 2 \cdot \pi \cdot 60 \cdot L$.
$107.16 = (16 / 54) \cdot 377 \cdot L$.
$L = (107.16 \cdot 54) / (16 \cdot 377) \approx 5786.64 / 6032 \approx 0.96 \, H$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$L \approx 1 \, H$.

(A) $1$. બલ્બની તેજસ્વિતા સર્કિટમાં વપરાતા પાવર પર આધાર રાખે છે,જે $P = I_{rms}^2 R_{bulb}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. $RC$ સર્કિટમાં પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z = \sqrt{R_{total}^2 + X_C^2}$ એ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ છે.
$3$. અહીં,$X_C = \frac{1}{\omega C}$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ છે.
$4$. જ્યારે કેપેસિટરમાં ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટન્સ $C$ વધે છે ($C' = KC$,જ્યાં $K > 1$).
$5$. જેમ $C$ વધે છે,તેમ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ ઘટે છે.
$6$. $Z = \sqrt{R_{total}^2 + X_C^2}$ હોવાથી,$X_C$ માં ઘટાડો થવાથી કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z$ માં ઘટાડો થાય છે.
$7$. ઇમ્પિડન્સ $Z$ માં ઘટાડો થવાથી સર્કિટમાંથી વહેતા પ્રવાહ $I_{rms}$ માં વધારો થાય છે.
$8$. $P = I_{rms}^2 R_{bulb}$ હોવાથી,$I_{rms}$ માં વધારો થવાથી બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર વધે છે,તેથી બલ્બની તેજસ્વિતા વધશે.

(B) $L-R$ શ્રેણી સર્કિટમાં,ઇમ્પિડન્સ $Z$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$
જ્યાં $R$ એ અવરોધ છે અને $X_L$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$X_L = \omega L = 2 \pi f L$
ઇમ્પિડન્સના સૂત્રમાં $X_L$ ની કિંમત મૂકતા:
$Z = \sqrt{R^2 + (2 \pi f L)^2}$
$Z = \sqrt{R^2 + 4 \pi^2 f^2 L^2}$

(D) શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં,ઈમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_L = 2\pi fL$ અને $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ છે.
$f = 0$ ($DC$ સ્થિતિ) પર,કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{2\pi fC} = \infty$ થાય છે. $X_C$ શ્રેણીમાં હોવાથી,કુલ ઈમ્પિડન્સ $Z = \infty$ થાય છે. તેથી,પ્રવાહ $I = \frac{E}{Z} = \frac{200}{\infty} = 0\,A$ મળે છે.
$f = \infty$ પર,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi fL = \infty$ થાય છે. $X_L$ શ્રેણીમાં હોવાથી,કુલ ઈમ્પિડન્સ $Z = \infty$ થાય છે. તેથી,પ્રવાહ $I = \frac{E}{Z} = \frac{200}{\infty} = 0\,A$ મળે છે.
આમ,$f = 0$ અને $f = \infty$ બંને સ્થિતિમાં પ્રવાહ $0\,A$ હશે.

(B) $RC$ શ્રેણી સર્કિટમાં કુલ વોલ્ટેજ $V$ નું સૂત્ર $V^2 = V_R^2 + V_C^2$ છે.
પ્રથમ,અવરોધની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શોધો: $V_R = I \times R = 1.5 \, A \times 30 \, \Omega = 45 \, V$.
હવે,કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો: $V_C = \sqrt{V^2 - V_R^2}$.
$V_C = \sqrt{(120)^2 - (45)^2}$.
$V_C = \sqrt{14400 - 2025} = \sqrt{12375}$.
$V_C \approx 111.24 \, V$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,કેપેસિટરની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $111 \, V$ છે.

(C) આપેલ છે:
$I = 10 \sin \omega t$
$V = 10 \sin \left( \omega t + \pi / 4 \right)$
આ સમીકરણોને સામાન્ય સ્વરૂપ $I = I_0 \sin \omega t$ અને $V = V_0 \sin (\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે કળા તફાવત $\phi = \pi / 4$ છે.
અહીં વોલ્ટેજ એ પ્રવાહ કરતા $\pi / 4$ જેટલો આગળ (lead) છે,જે સૂચવે છે કે પરિપથ ઇન્ડક્ટિવ સ્વભાવ ધરાવે છે.
$RL$ પરિપથ (અવરોધ અને ઇન્ડક્ટર) માં વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા આગળ હોય છે.
$LCR$ પરિપથમાં પણ વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા આગળ હોઈ શકે છે જો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ કરતા વધારે હોય (એટલે કે $X_L > X_C$).
તેથી,પરિપથમાં $L$ અને $R$ બંને હોઈ શકે છે,અથવા $L, C$ અને $R$ ત્રણેય ઘટકો હોઈ શકે છે જો પરિણામી રિએક્ટન્સ ઇન્ડક્ટિવ હોય.
આમ,વિકલ્પો $(b)$ અને $(d)$ સાચા છે.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં ફેઝ એંગલ (કળા તફાવત) $\phi$ નું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\tan \phi = \frac{8 - 5}{4} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$\phi = \tan^{-1}(3/4)$.
અહીં $X_C > X_L$ હોવાથી,પરિપથ કેપેસિટિવ પ્રકારનો છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\tan^{-1}(3/4)$ જેટલો આગળ (lead) છે.

(B) $LR$ શ્રેણી સર્કિટ માટે,ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે બેટરીને $AC$ સ્ત્રોત દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે $LR$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2}$ થાય છે.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi$ ને $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$Z$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $\cos \phi = \frac{R}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$ મળે છે.
અંશ અને છેદને $R$ વડે ભાગતા,આપણને $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1 + \omega^2 (\frac{L}{R})^2}}$ મળે છે.
કારણ કે $\tau = \frac{L}{R}$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1 + \omega^2 \tau^2}}$ મળે છે.

(A) $RL$ પરિપથમાં કળા તફાવત $\phi$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ છે.
અહીં,$X_L = \omega L = 2\pi f L$ છે.
આપેલ છે: $R = 4\,\Omega$,$L = 0.01\,H$,$f = 50\,Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \phi = \frac{2\pi \times 50 \times 0.01}{4}$.
$\tan \phi = \frac{100\pi \times 0.01}{4} = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,કળા તફાવત $\phi = \tan^{-1}\left(\frac{\pi}{4}\right)$ થશે.

(B) $AC$ શ્રેણી $LR$ સર્કિટમાં,અવરોધ $(V_R)$ અને ઇન્ડક્ટર $(V_L)$ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $90^{\circ}$ ના ફેઝ તફાવત પર હોય છે.
સ્ત્રોતનો કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V)$ ફેઝર સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \sqrt{V_R^2 + V_L^2}$
આપેલ છે:
$V_L = 16 \, V$
$V_R = 20 \, V$
કિંમતો મૂકતા:
$V = \sqrt{(20)^2 + (16)^2}$
$V = \sqrt{400 + 256}$
$V = \sqrt{656}$
$V \approx 25.61 \, V$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $25.6 \, V$ છે.

(B) આપેલ છે: $L = 0.7 \, H$,$R = 220 \, \Omega$,$V_{rms} = 220 \, V$,$f = 50 \, Hz$.
પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ની ગણતરી કરો:
$X_L = 2 \pi f L = 2 \times \frac{22}{7} \times 50 \times 0.7 = 220 \, \Omega$.
ફેઝ એંગલ $\phi$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \frac{220}{220} = 1 \implies \phi = 45^o$.
કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z$:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{220^2 + 220^2} = 220\sqrt{2} \, \Omega$.
$rms$ પ્રવાહ $I_{rms}$:
$I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{220}{220\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \, A$.
પ્રવાહનો વોટલેસ ઘટક $I_{rms} \sin \phi$ છે:
$I_{wattless} = I_{rms} \sin 45^o = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 0.5 \, A$.
આમ,ફેઝ એંગલ $45^o$ છે અને વોટલેસ ઘટક $0.5 \, A$ છે.

(D) શુદ્ધ ઇન્ડક્ટરમાં,પ્રવાહ એ ઇન્ડક્ટરની આસપાસના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત કરતા $\pi/2$ રેડિયન (અથવા $90^{\circ}$) ના કળા તફાવતથી પાછળ રહે છે.
આ કળા સંબંધ $A.C.$ સ્ત્રોતની આવૃત્તિથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,ઇન્ડક્ટર $L$ ની આસપાસના પ્રવાહ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત વચ્ચેનો કળા તફાવત આવૃત્તિના ફેરફારને ધ્યાનમાં લીધા વિના $90^{\circ}$ પર અચળ રહે છે.
જો કે,જો પ્રશ્ન સમગ્ર $LR$ શ્રેણી પરિપથના કળા તફાવત $\phi$ વિશે હોય,તો તે $\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \frac{\omega L}{R} = \frac{2\pi f L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે,તેમ $\tan \phi$ વધે છે,અને તેથી સ્ત્રોત વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ વધે છે.
આપેલ વિકલ્પોને જોતા,પ્રશ્ન પરિપથના કળા તફાવત વિશે પૂછવા માંગે છે,જે આવૃત્તિ વધવાની સાથે વધે છે.

(A) આપેલ છે કે,અવરોધ $R = 30\,\Omega$ અને $f = 50\,Hz$ આવૃત્તિ પર ઈન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 20\,\Omega$ છે.
$X_L = 2\pi f L$ હોવાથી,$20 = 2\pi(50)L$,જેનો અર્થ છે કે $L = \frac{20}{100\pi} = \frac{1}{5\pi}\,H$.
જ્યારે આવૃત્તિ બદલીને $f' = 100\,Hz$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો ઈન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L' = 2\pi f' L = 2\pi(100)(\frac{1}{5\pi}) = 40\,\Omega$ થાય છે.
$100\,Hz$ પર કોઈલનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L')^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\,\Omega$ છે.
કોઈલમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{200}{50} = 4\,A$ મળે છે.

(A) $A.C.$ સ્ત્રોત માટે,ઈમ્પીડન્સ $Z = \frac{V}{I_{AC}} = \frac{12 \; V}{0.2 \; A} = 60 \; \Omega$ છે.
$D.C.$ સ્ત્રોત માટે,અવરોધ $R = \frac{V}{I_{DC}} = \frac{12 \; V}{0.4 \; A} = 30 \; \Omega$ છે.
અહીં $Z > R$ હોવાથી,સર્કિટમાં અવરોધ $(R)$ ની સાથે ઇન્ડક્ટર $(L)$ હોવું જરૂરી છે.
$D.C.$ સર્કિટમાં,આદર્શ કેપેસિટર અનંત અવરોધ આપે છે,પરંતુ અહીં $D.C.$ કિસ્સામાં પ્રવાહ વહે છે,તેથી સર્કિટમાં કેપેસિટર હોઈ શકે નહીં. તેથી,આ સર્કિટ શ્રેણી $LR$ સર્કિટ છે.

(A) આપેલ છે: $L = 40 \times 10^{-3} \; H$,$C = 100 \times 10^{-6} \; F$,$V(t) = 10 \sin (314 t)$.
અહીં,$\omega = 314 \; rad/s$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L} = \omega L = 314 \times 40 \times 10^{-3} = 12.56 \; \Omega$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C} = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{314 \times 100 \times 10^{-6}} = \frac{10^{4}}{314} \approx 31.85 \; \Omega$.
અહીં $X_{C} > X_{L}$ હોવાથી,સર્કિટ કેપેસિટિવ છે.
કુલ રિએક્ટન્સ $X = X_{C} - X_{L} = 31.85 - 12.56 = 19.29 \; \Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_{m} = \frac{V_{m}}{X} = \frac{10}{19.29} \approx 0.52 \; A$.
કેપેસિટિવ સર્કિટમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો આગળ હોય છે.
તેથી,$I(t) = I_{m} \sin (\omega t + \frac{\pi}{2}) = 0.52 \sin (314 t + \frac{\pi}{2}) = 0.52 \cos (314 t)$.

(B) જ્યારે લોખંડનો સળિયો ઇન્ડક્ટરમાં દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કોરની ચુંબકીય પરમીએબિલિટી વધે છે,જેના પરિણામે કોઇલનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $(L)$ વધે છે.
કોઇલનો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $L$ વધે છે,તેમ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ પણ વધે છે.
શ્રેણી પરિપથનો કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે,જ્યાં $R$ એ બલ્બનો અવરોધ છે. જેમ $X_L$ વધે છે,તેમ પરિપથનો કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z$ વધે છે.
સ્ત્રોત વોલ્ટેજ $V$ અચળ હોવાથી,પરિપથમાં પ્રવાહ $I = V/Z$ ઘટે છે.
લાઇટ બલ્બનો પ્રકાશ વપરાતી પાવર $P = I^2 R$ પર આધાર રાખે છે. પ્રવાહ $I$ ઘટતો હોવાથી,બલ્બમાં વપરાતો પાવર ઘટે છે,અને તેથી,લાઇટ બલ્બનો પ્રકાશ ઘટે છે.

(A) $R = 200 \; \Omega, C = 15.0 \; \mu F = 15.0 \times 10^{-6} \; F$
$V = 220 \; V, \nu = 50 \; Hz$
$(a)$ પ્રવાહની ગણતરી કરવા માટે,આપણે પરિપથના ઈમ્પીડન્સ $Z$ ની જરૂર છે:
$X_C = \frac{1}{2 \pi \nu C} = \frac{1}{2 \times 3.14 \times 50 \times 15.0 \times 10^{-6}} \approx 212.3 \; \Omega$
$Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{200^2 + 212.3^2} \approx 291.67 \; \Omega$
$I = \frac{V}{Z} = \frac{220}{291.67} \approx 0.754 \; A$
$(b)$ અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_R = I R = 0.754 \times 200 = 150.8 \; V$ છે.
કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C = I X_C = 0.754 \times 212.3 = 160.1 \; V$ છે.
તેમનો બેઝિક સરવાળો $150.8 + 160.1 = 310.9 \; V$ છે,જે $220 \; V$ ના ઉદગમ વોલ્ટેજ કરતા વધારે છે. આ કોઈ વિરોધાભાસ નથી કારણ કે $V_R$ અને $V_C$ સમાન કળામાં નથી. $V_R$ પ્રવાહ સાથે સમાન કળામાં છે,જ્યારે $V_C$ પ્રવાહ કરતા $90^{\circ}$ પાછળ છે. કુલ વોલ્ટેજ એ ફેઝર સરવાળો છે: $V = \sqrt{V_R^2 + V_C^2} = \sqrt{150.8^2 + 160.1^2} \approx 220 \; V$.

(A) $LC$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટન્સ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,$C = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L}$ મળે છે.
અહીં $L = 200 \;\mu H = 200 \times 10^{-6} \;H$ આપેલ છે.
$f_1 = 800 \;kHz = 800 \times 10^3 \;Hz$ માટે:
$C_1 = \frac{1}{4 \times (3.14)^2 \times (800 \times 10^3)^2 \times 200 \times 10^{-6}} \approx 198 \;pF$.
$f_2 = 1200 \;kHz = 1200 \times 10^3 \;Hz$ માટે:
$C_2 = \frac{1}{4 \times (3.14)^2 \times (1200 \times 10^3)^2 \times 200 \times 10^{-6}} \approx 88 \;pF$.
આમ,વેરિયેબલ કેપેસિટરની રેન્જ $88 \;pF$ થી $198 \;pF$ છે.

(A) આપેલ છે:
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 0.50 \; H$
અવરોધ $R = 100 \; \Omega$
$RMS$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = 240 \; V$
આવૃત્તિ $f = 50 \; Hz$
$(a)$ પીક વોલ્ટેજ $V_0 = \sqrt{2} \times V_{rms} = 1.414 \times 240 = 339.41 \; V$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 50 = 100 \pi \; rad/s$.
ઇમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} = \sqrt{100^2 + (100 \pi \times 0.5)^2} = \sqrt{10000 + 24674} = \sqrt{34674} \approx 186.21 \; \Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{339.41}{186.21} \approx 1.82 \; A$.
$(b)$ ફેઝ એંગલ $\phi$ નીચે મુજબ મળે છે: $\tan \phi = \frac{\omega L}{R} = \frac{100 \pi \times 0.5}{100} = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$.
$\phi = \tan^{-1}(1.57) \approx 57.5^{\circ}$.
રેડિયનમાં રૂપાંતર: $\phi = 57.5 \times \frac{\pi}{180} \approx 1.003 \; rad$.
સમયનો તફાવત $\Delta t = \frac{\phi}{\omega} = \frac{1.003}{100 \pi} \approx 3.19 \times 10^{-3} \; s = 3.2 \; ms$.

(A) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 0.50 \; H$,અવરોધ $R = 100 \; \Omega$,$RMS$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = 240 \; V$,આવૃત્તિ $\nu = 10 \; kHz = 10^4 \; Hz$.
$(a)$ પીક વોલ્ટેજ $V_0 = V_{rms} \sqrt{2} = 240 \sqrt{2} \approx 339.4 \; V$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi \nu = 2 \pi \times 10^4 \; rad/s$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2 \pi \times 10^4 \times 0.5 = \pi \times 10^4 \approx 31416 \; \Omega$.
ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{100^2 + (31416)^2} \approx 31416 \; \Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{339.4}{31416} \approx 1.08 \times 10^{-2} \; A$.
$(b)$ ફેઝ એંગલ $\phi = \tan^{-1}(\frac{\omega L}{R}) = \tan^{-1}(\frac{31416}{100}) \approx \tan^{-1}(314.16) \approx 89.82^{\circ}$.
સમયનો તફાવત $\Delta t = \frac{\phi}{\omega} = \frac{89.82 \times \pi / 180}{2 \pi \times 10^4} \approx 2.5 \times 10^{-5} \; s = 25 \; \mu s$.
ખૂબ ઊંચી આવૃત્તિ પર,$X_L = \omega L$ ખૂબ મોટું થઈ જાય છે,જેનાથી $Z$ ખૂબ મોટું થાય છે,તેથી $I_0 \to 0$,જે ઓપન સર્કિટ જેવું વર્તે છે. સ્ટેડી સ્ટેટમાં $DC$ સર્કિટમાં,$\omega = 0$,તેથી $X_L = 0$,અને ઇન્ડક્ટર શુદ્ધ વાહક (શોર્ટ સર્કિટ) તરીકે વર્તે છે.

(A) કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ,$C = 100 \;\mu\,F = 100 \times 10^{-6} \;F$.
અવરોધકનો અવરોધ,$R = 40 \;\Omega$.
સપ્લાય વોલ્ટેજ $(RMS)$,$V_{rms} = 110 \;V$.
આવૃત્તિ,$f = 60 \;Hz$.
$(a)$ કોણીય આવૃત્તિ,$\omega = 2\pi f = 120\pi \;rad/s$.
ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{120\pi \times 100 \times 10^{-6}} \approx 26.53 \;\Omega$.
$Z = \sqrt{40^2 + 26.53^2} = \sqrt{1600 + 703.84} = \sqrt{2303.84} \approx 48 \;\Omega$.
પીક વોલ્ટેજ $V_0 = V_{rms} \sqrt{2} = 110 \times 1.414 = 155.56 \;V$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{155.56}{48} \approx 3.24 \;A$.
$(b)$ $RC$ પરિપથમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\phi$ જેટલા ફેઝ એંગલથી આગળ હોય છે,જ્યાં $\tan \phi = \frac{X_C}{R} = \frac{26.53}{40} = 0.66325$.
$\phi = \tan^{-1}(0.66325) \approx 33.55^{\circ} = 0.5856 \;rad$.
સમયનો તફાવત $\Delta t = \frac{\phi}{\omega} = \frac{0.5856}{120\pi} \approx 1.55 \times 10^{-3} \;s = 1.55 \;ms$.

(A) આપેલ છે: $C = 100 \;\mu F = 100 \times 10^{-6} \;F$,$R = 40 \;\Omega$,$V_{rms} = 110 \;V$,$f = 12 \;kHz = 12 \times 10^3 \;Hz$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 12 \times 10^3 = 24\pi \times 10^3 \;rad/s$.
પીક વોલ્ટેજ $V_0 = V_{rms} \sqrt{2} = 110 \sqrt{2} \;V$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{24\pi \times 10^3 \times 100 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2.4\pi} \approx 0.1326 \;\Omega$.
ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{40^2 + (0.1326)^2} \approx 40 \;\Omega$.
$(a)$ મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{110 \sqrt{2}}{40} \approx 3.89 \;A \approx 3.9 \;A$.
$(b)$ ફેઝ એંગલ $\phi = \tan^{-1}(\frac{X_C}{R}) = \tan^{-1}(\frac{0.1326}{40}) \approx 0.19^\circ$.
સમયગાળો $\Delta t = \frac{\phi}{\omega} = \frac{0.19 \times \pi}{180 \times 24\pi \times 10^3} \approx 4.4 \times 10^{-8} \;s$.
ખૂબ ઊંચી આવૃત્તિઓ પર,$X_C = \frac{1}{\omega C} \to 0$ થાય છે,તેથી કેપેસિટર વાહક તરીકે વર્તે છે. $dc$ પરિપથમાં,$f=0$ હોવાથી $\omega=0$ અને $X_C \to \infty$ થાય છે,જે ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.

(A) આપેલ છે: $L = 80 \, mH = 0.08 \, H$,$C = 60 \, \mu F = 60 \times 10^{-6} \, F$,$V_{rms} = 230 \, V$,$f = 50 \, Hz$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 100 \pi \approx 314.16 \, rad/s$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 100 \pi \times 0.08 = 8 \pi \approx 25.13 \, \Omega$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \pi \times 60 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{6000 \pi} \approx 53.05 \, \Omega$.
ચોખ્ખો રિએક્ટન્સ $X = |X_L - X_C| = |25.13 - 53.05| = 27.92 \, \Omega$.
$(a)$ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X} = \frac{230}{27.92} \approx 8.24 \, A$. પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_0 = I_{rms} \sqrt{2} \approx 8.24 \times 1.414 \approx 11.65 \, A$.
$(b)$ $V_{L,rms} = I_{rms} X_L = 8.24 \times 25.13 \approx 207.07 \, V$. $V_{C,rms} = I_{rms} X_C = 8.24 \times 53.05 \approx 437.13 \, V$.
$(c)$ ઇન્ડક્ટરમાં સરેરાશ પાવર $P_L = V_{L,rms} I_{rms} \cos(90^\circ) = 0 \, W$.
$(d)$ કેપેસિટરમાં સરેરાશ પાવર $P_C = V_{C,rms} I_{rms} \cos(90^\circ) = 0 \, W$.
$(e)$ કુલ સરેરાશ પાવર $P = P_L + P_C = 0 \, W$.

(N/A) $L-C-R$ શ્રેણી $AC$ સર્કિટમાં,તમામ ઘટકોમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ સમાન હોય છે. ધારો કે તત્કાલીન પ્રવાહ $i = I_m \sin(\omega t)$ છે.
$(i)$ અવરોધ $(R)$ પરનો વોલ્ટેજ $(V_R)$ $V_R = iR$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(ii)$ ઇન્ડક્ટર $(L)$ પરનો વોલ્ટેજ $(V_L)$ $V_L = iX_L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_L = \omega L$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે. તેથી,$V_L = i(\omega L)$.
$(iii)$ કેપેસિટર $(C)$ પરનો વોલ્ટેજ $(V_C)$ $V_C = iX_C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ છે. તેથી,$V_C = i(\frac{1}{\omega C})$.

(B) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,ફેઝ એંગલ $\phi$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$.
કિસ્સો $1$: જો ${X_L} > {X_C}$ હોય,તો $\tan \phi > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\phi$ ધન છે. આ કિસ્સામાં,વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા આગળ હોય છે,અથવા પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા પાછળ હોય છે.
કિસ્સો $2$: જો ${X_C} > {X_L}$ હોય,તો $\tan \phi < 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\phi$ ઋણ છે. આ કિસ્સામાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આગળ હોય છે.
તેથી,જ્યારે ${X_C} < {X_L}$ હોય ત્યારે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા પાછળ હોય છે,અને જ્યારે ${X_C} > {X_L}$ હોય ત્યારે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આગળ હોય છે.

(N/A) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L} = 2 \pi \nu L$ દ્વારા અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C} = \frac{1}{2 \pi \nu C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ખૂબ જ ઊંચી આવૃત્તિ માટે,$\nu \rightarrow \infty$.
જેમ $\nu \rightarrow \infty$,તેમ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L} \rightarrow \infty$,જે ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. તેનાથી વિપરીત,કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C} \rightarrow 0$,જે શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.
તેથી,આપેલ પરિપથમાં,કેપેસિટર્સ $C_{1}$ અને $C_{2}$ શોર્ટ સર્કિટ (તાર) તરીકે વર્તે છે,અને ઇન્ડક્ટર્સ $L_{1}$ અને $L_{2}$ ઓપન સર્કિટ (માર્ગમાં ભંગાણ) તરીકે વર્તે છે.
ઘટકોને તેમના ઉચ્ચ-આવૃત્તિ સમકક્ષો સાથે બદલીને,પરિપથ અવરોધો $R_{1}$ અને $R_{3}$ ના શ્રેણી જોડાણમાં સરળ બને છે.
આમ,અસરકારક ઈમ્પિડન્સ $Z_{eq} = R_{1} + R_{3}$ છે.

(A) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 0.01 \, H$,અવરોધ $R = 1 \, \Omega$,વોલ્ટેજ $V = 200 \, V$,આવૃત્તિ $f = 50 \, Hz$.
$1$. ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ની ગણતરી:
$X_L = 2 \pi f L = 2 \times 3.1416 \times 50 \times 0.01 = 3.1416 \, \Omega$.
$2$. સર્કિટનો ઈમ્પિડન્સ $Z$ ની ગણતરી:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{1^2 + (3.1416)^2} = \sqrt{1 + 9.8696} = \sqrt{10.8696} \approx 3.297 \, \Omega$.
$3$. ફેઝ એંગલ $\phi$ ની ગણતરી:
$\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \frac{3.1416}{1} = 3.1416$.
$\phi = \tan^{-1}(3.1416) \approx 72.34^{\circ}$.
$4$. સમયનો તફાવત $\Delta t$ ની ગણતરી:
$\Delta t = \frac{\phi}{\omega} = \frac{\phi}{2 \pi f} = \frac{72.34 \times \pi / 180}{2 \times \pi \times 50} = \frac{72.34}{36000} \approx 0.00201 \, s$ અથવા $2.01 \, ms$.

(N/A) $LCR$ સર્કિટ માટે આપેલ સમીકરણ:
$L \frac{di}{dt} + Ri + \frac{q}{C} = V_m \sin \omega t$
$(a)$ બંને બાજુ $i$ વડે ગુણતા:
$Li \frac{di}{dt} + i^2 R + \frac{q}{C} i = V_m i \sin \omega t$
$i = \frac{dq}{dt}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} L i^2 \right) + i^2 R + \frac{d}{dt} \left( \frac{q^2}{2C} \right) = Vi$
$(b)$ ભૌતિક અર્થઘટન:
$Li \frac{di}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} L i^2)$ એ ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જામાં થતો ફેરફારનો દર છે.
$i^2 R$ એ અવરોધમાં જૂલ ઉષ્મા (પાવર વ્યય) નો દર છે.
$\frac{q}{C} i = \frac{d}{dt} (\frac{q^2}{2C})$ એ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત વિદ્યુત ઉર્જામાં થતો ફેરફારનો દર છે.
$Vi$ એ ઉદગમ દ્વારા અપાતો તાત્ક્ષણિક પાવર છે.
$(c)$ સમીકરણ $\frac{d}{dt} (\frac{1}{2} L i^2 + \frac{q^2}{2C}) + i^2 R = Vi$ એ ઉર્જા સંરક્ષણ દર્શાવે છે,જ્યાં ઉદગમ દ્વારા અપાતો પાવર એ સંગ્રહિત ઉર્જામાં થતો ફેરફાર અને ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય થતા પાવરના સરવાળા જેટલો છે.
$(d)$ એક ચક્ર $T = \frac{2\pi}{\omega}$ પર સંકલન કરતા:
$\int_0^T \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} L i^2 + \frac{q^2}{2C}) dt + \int_0^T i^2 R dt = \int_0^T Vi dt$
$L$ અને $C$ માં સંગ્રહિત ઉર્જા આવર્તિય હોવાથી,એક ચક્ર પર વિકલનનું સંકલન શૂન્ય થાય છે.
$0 + I_{rms}^2 R T = \int_0^T Vi dt$
$I_{rms}^2 R T > 0$ હોવાથી,સરેરાશ પાવર $\int_0^T Vi dt$ ધન હોવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે $\cos \phi > 0$,એટલે કે કળા તફાવત $\phi$ લઘુકોણ હોવો જોઈએ.

(A) $RL$ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = 100\, \Omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $\phi = 45^{\circ}$ આગળ છે,તેથી $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$.
$\tan 45^{\circ} = 1$ હોવાથી,$X_L = R$ મળે છે.
ઇમ્પિડન્સના સમીકરણમાં $X_L = R$ મૂકતા: $\sqrt{X_L^2 + X_L^2} = 100 \Rightarrow \sqrt{2} X_L = 100$.
આમ,$X_L = \frac{100}{\sqrt{2}} = 50\sqrt{2}\, \Omega$.
$X_L = 2\pi f L$ હોવાથી,$L = \frac{X_L}{2\pi f} = \frac{50\sqrt{2}}{2 \times \pi \times 1000}$.
$L = \frac{25\sqrt{2}}{1000\pi} \approx \frac{25 \times 1.414}{3141.59} \approx 0.01125\, H = 1.125 \times 10^{-2}\, H$.

(B) જ્યારે ઇન્ડક્ટરમાં લોખંડનો સળિયો દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ વધે છે કારણ કે કોરની પરમીબિલિટી વધે છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $L$ વધે છે,તેમ $X_L$ પણ વધે છે.
પરિપથનું ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે. જેમ $X_L$ વધે છે,તેમ પરિપથનું કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z$ વધે છે.
પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $Z$ વધે છે,તેમ પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઘટે છે.
બલ્બમાં વપરાતો પાવર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ પ્રવાહ $I$ ઘટે છે,તેમ બલ્બમાં વપરાતો પાવર ઘટે છે,અને તેથી,લાઈટ બલ્બનો પ્રકાશ ઘટે છે.

(A) શ્રેણી $R-C$ સર્કિટ માટે,કુલ લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ $V$ એ અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_R$ અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C$ ના ફેઝર સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$V^2 = V_R^2 + V_C^2$
અહીં $V = 10\, V$ અને $V_C = 8\, V$ આપેલ છે,તેથી:
$10^2 = V_R^2 + 8^2$
$100 = V_R^2 + 64$
$V_R^2 = 100 - 64 = 36$
$V_R = 6\, V$
હવે,પ્રવાહ અને લાગુ પાડેલા વોલ્ટેજ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \phi = \frac{V_C}{V_R}$
$\tan \phi = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
$\phi = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$
આમ,$R$ પરનો વોલ્ટેજ $6\, V$ છે અને કળા તફાવત $\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$ છે.

(B) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,સ્ત્રોત વોલ્ટેજ $V$ અને ઘટકો પરના વોલ્ટેજ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$V^{2} = V_{R}^{2} + (V_{L} - V_{C})^{2}$
આપેલ છે:
$V = 120 \ V$
$V_{R} = 40 \ V$
$V_{L} = 50 \ V$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$120^{2} = 40^{2} + (50 - V_{C})^{2}$
$14400 = 1600 + (50 - V_{C})^{2}$
$(50 - V_{C})^{2} = 14400 - 1600 = 12800$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$50 - V_{C} = \pm \sqrt{12800} = \pm \sqrt{6400 \times 2} = \pm 80\sqrt{2}$
કિસ્સો $1$: $50 - V_{C} = 80\sqrt{2} \implies V_{C} = 50 - 80\sqrt{2}$ (ઋણ મૂલ્ય,જે શક્ય નથી)
કિસ્સો $2$: $50 - V_{C} = -80\sqrt{2} \implies V_{C} = 50 + 80\sqrt{2}$
$V_{C} = 10(5 + 8\sqrt{2}) \ V$

(D) વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$(a)$ શુદ્ધ અવરોધક સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ સમાન કળામાં હોય છે,તેથી કળા તફાવત $0$ છે.
$(b)$ શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો આગળ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો પાછળ છે.
$(c)$ શુદ્ધ કેપેસિટીવ સર્કિટમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો આગળ હોય છે.
$(d)$ $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં,કળા તફાવત $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,અથવા સમાન રીતે $\tan \phi = \frac{-(X_C - X_L)}{R}$,જે ચિહ્ન સંમેલન મુજબ $\tan^{-1}\left(\frac{X_C - X_L}{R}\right)$ ને અનુરૂપ છે.
આ સરખામણી કરતા,આપણને $(a)-(ii), (b)-(iii), (c)-(i), (d)-(iv)$ મળે છે.

(B) $AC$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક સર્કિટ ($RL$ સર્કિટ) માટે:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{R^2 + (3R)^2} = \sqrt{R^2 + 9R^2} = \sqrt{10R^2} = R\sqrt{10}$.
જૂનો પાવર ફેક્ટર,$\cos \phi = \frac{R}{R\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
નવી સર્કિટ ($RLC$ સર્કિટ) માટે:
$Z' = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + (3R - 2R)^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$.
નવો પાવર ફેક્ટર,$\cos \phi' = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
નવા પાવર ફેક્ટર અને જૂના પાવર ફેક્ટરનો ગુણોત્તર:
$\frac{\cos \phi'}{\cos \phi} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{1}$.
આને $\sqrt{5} : x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 1$ મળે છે.

(A) $LCR$ પરિપથમાં ફેઝ એંગલ $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આગળ હોય,ત્યારે પરિપથ કેપેસિટિવ હોય છે અને ફેઝ એંગલ $\phi = 45^{\circ}$ લેવામાં આવે છે (જ્યારે $X_C > X_L$ હોય).
તેથી,$\tan 45^{\circ} = \frac{X_C - X_L}{R} \implies 1 = \frac{X_C - X_L}{R}$.
આથી $X_C - X_L = R$.
અહીં $L = 30 \, {mH} = 0.03 \, {H}$,$R = 1 \, \Omega$,અને $\omega = 300 \, {rad/s}$ છે.
$X_L = \omega L = 300 \times 0.03 = 9 \, \Omega$.
કિંમતો મૂકતા: $X_C - 9 = 1 \implies X_C = 10 \, \Omega$.
$X_C = \frac{1}{\omega C}$ હોવાથી,$\frac{1}{300 \times C} = 10$.
$C = \frac{1}{3000} = \frac{1}{3} \times 10^{-3} \, {F}$.
તેથી,$x = 3$.

(D) આપેલ છે: $R=100\,\Omega$,$L=0.5\,mH = 0.5 \times 10^{-3}\,H$,$C=0.1\,pF = 0.1 \times 10^{-12}\,F$,$f=50\,Hz$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 = 100\pi\,rad/s$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 100\pi \times 0.5 \times 10^{-3} = 0.05\pi\,\Omega \approx 0.157\,\Omega$.
કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100\pi \times 0.1 \times 10^{-12}} = \frac{10^{11}}{10\pi} = \frac{10^{10}}{\pi}\,\Omega \approx 3.18 \times 10^9\,\Omega$.
અહીં $X_C \gg X_L$ અને $X_C \gg R$ હોવાથી,સર્કિટ મુખ્યત્વે કેપેસિટીવ છે.
ફેઝ એંગલ $\phi$ માટેનું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ છે.
$X_C$ એ $R$ અને $X_L$ ની સરખામણીમાં ખૂબ મોટું હોવાથી,$\tan \phi \approx -\infty$,જેનો અર્થ છે કે $\phi \approx -90^{\circ}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આશરે $90^{\circ}$ આગળ છે,જે સાબિત કરે છે કે સર્કિટ મુખ્યત્વે કેપેસિટીવ છે.

(C) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ,$X_L = \omega L = 2\pi f L$.
કિંમતો મૂકતા,$X_L = 2 \times \frac{22}{7} \times 50 \times 0.07 = 100 \times \frac{22}{7} \times 0.07 = 22\,\Omega$.
પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ,$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{12^2 + 22^2} = \sqrt{144 + 484} = \sqrt{628} \approx 25.06\,\Omega \approx 25\,\Omega$.
પરિપથમાં પ્રવાહ,$I = \frac{V}{Z} = \frac{220}{25} = 8.8\,A$.
ફેઝ એંગલ $\phi$ માટે,$\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \frac{22}{12} = \frac{11}{6}$.
તેથી,$\phi = \tan^{-1}\left(\frac{11}{6}\right)$.

(A) આપેલ છે: $V(t) = 210 \sin(3000t) \text{ V}$,$L = 10 \text{ mH} = 10^{-2} \text{ H}$,$C = 25 \mu\text{F} = 25 \times 10^{-6} \text{ F}$,$R = 100 \Omega$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 3000 \text{ rad/s}$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 3000 \times 10^{-2} = 30 \Omega$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{3000 \times 25 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.075} = \frac{40}{3} \Omega \approx 13.33 \Omega$.
કળા તફાવત $\Phi$ માટેનું સૂત્ર $\tan \Phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ છે.
$\tan \Phi = \frac{30 - 13.33}{100} = \frac{16.67}{100} = 0.1667 \approx 0.17$.
તેથી,$\Phi = \tan^{-1}(0.17)$.

(B) લેમ્પનો અવરોધ $R = \frac{V_L^2}{P} = \frac{100^2}{50} = 200\,\Omega$ છે.
$RC$ શ્રેણી પરિપથમાં,કુલ વોલ્ટેજ $V$ એ $V^2 = V_R^2 + V_C^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_R = 100\,V$ એ લેમ્પ પરનો વોલ્ટેજ છે.
$200^2 = 100^2 + V_C^2 \Rightarrow V_C^2 = 40000 - 10000 = 30000 \Rightarrow V_C = 100\sqrt{3}\,V$.
પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V_R}{R} = \frac{100}{200} = 0.5\,A$ છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{V_C}{I} = \frac{100\sqrt{3}}{0.5} = 200\sqrt{3}\,\Omega$ છે.
$X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ હોવાથી,$200\sqrt{3} = \frac{1}{2 \times \pi \times 50 \times C} \Rightarrow C = \frac{1}{200\sqrt{3} \times 100\pi} = \frac{1}{20000\pi\sqrt{3}}\,F$ મળે.
$\mu F$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $C = \frac{10^6}{20000\pi\sqrt{3}} = \frac{50}{\pi\sqrt{3}}\,\mu F$.
આને $C = \frac{50}{\pi\sqrt{x}}\,\mu F$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(D) ઘટક $X$ માટે,કરંટ વોલ્ટેજ સાથે સમાન કળામાં છે,તેથી $X$ એક અવરોધક (resistor) છે.
અવરોધ $R = \frac{V_0}{I_0} = \frac{100}{5} = 20\,\Omega$.
ઘટક $Y$ માટે,કરંટ વોલ્ટેજ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો પાછળ રહે છે,તેથી $Y$ એક ઇન્ડક્ટર (inductor) છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \frac{V_0}{I_0} = \frac{100}{5} = 20\,\Omega$.
જ્યારે $X$ અને $Y$ ને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = 20\sqrt{2}\,\Omega$.
શ્રેણી સર્કિટમાં પીક કરંટ $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{100}{20\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}\,A$.
rms કરંટ $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{5/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5}{2}\,A$ થાય.

(C) શ્રેણી $RLC$ સર્કિટમાં,કુલ વોલ્ટેજ (ઉદગમનું $e.m.f.$) એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતોના ફેઝર સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V_{source} = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
આપેલ છે:
$V_R = 30 \,V$
$V_L = 60 \,V$
$V_C = 100 \,V$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V_{source} = \sqrt{(30)^2 + (60 - 100)^2}$
$V_{source} = \sqrt{(30)^2 + (-40)^2}$
$V_{source} = \sqrt{900 + 1600}$
$V_{source} = \sqrt{2500} = 50 \,V$
આમ,ઉદગમનું $e.m.f.$ $50 \,V$ છે.

(C) આપેલ છે: $L = 10^{-3} \,H$,$C = 3 \times 10^{-7} \,F$,$f = 50 \,Hz$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 50 = 100 \pi \,rad/s$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = (100 \pi) \times 10^{-3} = 0.1 \pi \, \Omega$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \pi \times 3 \times 10^{-7}} = \frac{10^7}{300 \pi} = \frac{10^5}{3 \pi} \, \Omega$.
શ્રેણી $L-C$ પરિપથ હોવાથી,ઈમ્પિડન્સ $Z = |X_L - X_C|$.
$Z = |0.1 \pi - \frac{10^5}{3 \pi}|$.
અહીં $\frac{10^5}{3 \pi} \approx 10610 \, \Omega$ અને $0.1 \pi \approx 0.314 \, \Omega$ હોવાથી,ઈમ્પિડન્સ $Z = \frac{10^5}{3 \pi} - 0.1 \pi = \frac{10^5}{3 \pi} - \frac{\pi}{10} \, \Omega$ થશે.

(C) બલ્બનું રેટિંગ $P = 100 \,W$ અને $V_b = 300 \,V$ છે.
બલ્બમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{P}{V_b} = \frac{100}{300} = \frac{1}{3} \,A$ છે.
બલ્બનો અવરોધ $R = \frac{V_b^2}{P} = \frac{300^2}{100} = 900 \,\Omega$ છે.
જ્યારે તેને $V = 500 \,V$ ના સપ્લાય સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z = \frac{V}{I} = \frac{500}{1/3} = 1500 \,\Omega$ મળે છે.
$LR$ સર્કિટમાં,$Z^2 = R^2 + X_L^2$,તેથી $X_L^2 = Z^2 - R^2$.
$X_L^2 = 1500^2 - 900^2 = (1500 - 900)(1500 + 900) = 600 \times 2400 = 1440000$.
$X_L = \sqrt{1440000} = 1200 \,\Omega$.
$X_L = 2 \pi f L$ હોવાથી,$1200 = 2 \pi \left(\frac{150}{\pi}\right) L$.
$1200 = 300 L$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $L = 4 \,H$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: $R = 3\,\Omega$,$L = 25.48\,mH = 25.48 \times 10^{-3}\,H$,$C = 796\,\mu F = 796 \times 10^{-6}\,F$,અને $f = 50\,Hz$.
પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ની ગણતરી કરો:
$X_L = 2\pi f L = 2 \times 3.14 \times 50 \times 25.48 \times 10^{-3} \approx 8\,\Omega$.
ત્યારબાદ,કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ ની ગણતરી કરો:
$X_C = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{2 \times 3.14 \times 50 \times 796 \times 10^{-6}} \approx 4\,\Omega$.
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$Z = \sqrt{3^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{9 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\,\Omega$.

(B) આપેલ છે: $R = 400\,\Omega$,$L = (3/\pi)\,H$,$e = 400 \sin(100\pi t)$.
$e = E_0 \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,$E_0 = 400\,V$ અને $\omega = 100\pi\,rad/s$ મળે છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 100\pi \times (3/\pi) = 300\,\Omega$.
ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{400^2 + 300^2} = 500\,\Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = E_0 / Z = 400 / 500 = 0.8\,A = (4/5)\,A$. તેથી,વિકલ્પ $(a)$ ખોટો છે.
શ્રેણી $RL$ પરિપથમાં,અવરોધના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત હંમેશા પ્રવાહ સાથે સમાન કળામાં હોય છે. તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.
ઇન્ડક્ટરના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત હંમેશા પ્રવાહ કરતા $90^{\circ}$ આગળ હોય છે. તેથી,વિકલ્પો $(c)$ અને $(d)$ ખોટા છે.