RL, RC and LC AC Circuits Questions in Gujarati

(A) આપેલ સર્કિટ $LCR$ શ્રેણી સર્કિટ છે જેમાં $R = 100\,\Omega$,$X_L = 200\,\Omega$,અને $X_C = 100\,\Omega$ છે.
સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
$Z = \sqrt{100^2 + (200 - 100)^2}$
$Z = \sqrt{100^2 + 100^2} = \sqrt{2 \times 100^2} = 100 \sqrt{2}\,\Omega$
$rms$ પ્રવાહ $I_{rms}$ નું સૂત્ર:
$I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$
અહીં $V_{rms} = 200 \sqrt{2}\,V$ આપેલ છે,તેથી:
$I_{rms} = \frac{200 \sqrt{2}}{100 \sqrt{2}} = 2\,A$

(C) આપેલ પરિમાણો $R = 80\,\Omega$,$X_{L} = 100\,\Omega$ અને $X_{C} = 40\,\Omega$ છે.
પીક વોલ્ટેજ (કંપવિસ્તાર) $V_{0} = 2500\,V$ છે.
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_{L} - X_{C})^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $Z = \sqrt{80^2 + (100 - 40)^2} = \sqrt{80^2 + 60^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100\,\Omega$.
પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_{0}$ એ $I_{0} = \frac{V_{0}}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I_{0} = \frac{2500}{100} = 25\,A$.

(C) શ્રેણી $L, R$ સર્કિટ માટે,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_L = \omega L$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય આવૃત્તિ $\omega_1 = 1000 \ rad/s$ અને પાવર ફેક્ટર $\cos \phi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ આપેલ છે.
કારણ કે $\cos \phi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી ફેઝ એંગલ $\phi_1 = 45^{\circ}$ થાય.
આમ,$\tan \phi_1 = \frac{X_{L1}}{R} = \frac{\omega_1 L}{R} = \tan 45^{\circ} = 1$.
આ સૂચવે છે કે $R = \omega_1 L = 1000 L$.
જ્યારે સ્ત્રોતને બદલીને $E = (20 \sin 2000 t) \ V$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવી કોણીય આવૃત્તિ $\omega_2 = 2000 \ rad/s$ થાય છે.
નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L2} = \omega_2 L = 2000 L = 2(\omega_1 L) = 2R$ થાય છે.
નવો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi_2 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_{L2}^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (2R)^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + 4R^2}} = \frac{R}{\sqrt{5R^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ થાય.

(D) $DC$ વોલ્ટેજ માટે, ઇન્ડક્ટર શુદ્ધ અવરોધ તરીકે વર્તે છે કારણ કે $DC$ માટે $X_L = 0$ હોય છે.
$R = \frac{V}{I} = \frac{100 \, V}{5 \, A} = 20 \, \Omega$.
$AC$ વોલ્ટેજ માટે, સર્કિટ $LR$ શ્રેણી સર્કિટ છે.
આપેલ છે કે $X_L = 20\sqrt{3} \, \Omega$ અને $R = 20 \, \Omega$.
ઇમ્પિડન્સ $Z$ નીચે મુજબ મળે: $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{20^2 + (20\sqrt{3})^2} = \sqrt{400 + 1200} = \sqrt{1600} = 40 \, \Omega$.
$RMS$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{V_{peak}}{\sqrt{2}} = \frac{200}{\sqrt{2}} \, V$ છે.
$RMS$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{200 / \sqrt{2}}{40} = \frac{5}{\sqrt{2}} \, A$ છે.
સર્કિટમાં વ્યય થતો પાવર $P = I_{rms}^2 R$ છે.
$P = \left( \frac{5}{\sqrt{2}} \right)^2 \times 20 = \frac{25}{2} \times 20 = 250 \, W$.

(A) આપેલ છે: અવરોધ $R = 90 \Omega$, સપ્લાય વોલ્ટેજ $V = 120 \text{ V}$, આવૃત્તિ $f = 60 \text{ Hz}$, અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_R = 36 \text{ V}$.
શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V_R}{R} = \frac{36}{90} = 0.4 \text{ A}$ છે.
પરિપથનો ઈમ્પિડન્સ $Z = \frac{V}{I} = \frac{120}{0.4} = 300 \Omega$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$, તેથી $300 = \sqrt{90^2 + X_L^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $90000 = 8100 + X_L^2$.
$X_L^2 = 90000 - 8100 = 81900$.
$X_L = \sqrt{81900} \approx 286.18 \Omega$.
$X_L = 2 \pi f L$ હોવાથી, $L = \frac{X_L}{2 \pi f} = \frac{286.18}{2 \times 3.14 \times 60} = \frac{286.18}{376.8} \approx 0.76 \text{ H}$ મળે છે.

(A) $RC$ સર્કિટનું ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ છે.
જ્યારે કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે ડાયઇલેક્ટ્રિક મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેની કેપેસિટન્સ $C$ વધે છે $(C' = KC)$.
$X_C = \frac{1}{\omega C}$ હોવાથી,$C$ માં વધારો થવાથી કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સમાં ઘટાડો થાય છે $(X_C \downarrow)$.
જેમ $X_C$ ઘટે છે,તેમ સર્કિટનું કુલ ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ ઘટે છે $(Z \downarrow)$.
$AC$ સર્કિટ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ છે. $Z$ ઘટતું હોવાથી,સર્કિટમાં પ્રવાહ $I$ વધે છે.
પરિણામે,બલ્બમાં વપરાતો પાવર $(P = I^2 R)$ વધે છે,અને બલ્બનો પ્રકાશ વધે છે.

(D) કિસ્સો-$I$: $DC$ સપ્લાય
$DC$ સર્કિટ માટે,ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે (માત્ર અવરોધ).
$R = \frac{V}{I} = \frac{20 \ V}{5 \ A} = 4 \ \Omega$
કિસ્સો-$II$: $AC$ સપ્લાય
$AC$ સર્કિટ માટે,ઈમ્પીડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Z = \frac{V}{I} = \frac{20 \ V}{4 \ A} = 5 \ \Omega$
કારણ કે $Z^2 = R^2 + X_L^2$,તેથી $5^2 = 4^2 + X_L^2$.
$25 = 16 + X_L^2 \Rightarrow X_L^2 = 9 \Rightarrow X_L = 3 \ \Omega$
આપણે જાણીએ છીએ કે $X_L = 2 \pi f L$,જ્યાં $f = 50 \ Hz$ અને $\pi = 3$.
$3 = 2 \times 3 \times 50 \times L$
$3 = 300 \times L$
$L = \frac{3}{300} \ H = 0.01 \ H$
મિલીહેનરી $(mH)$ માં રૂપાંતરિત કરતા:
$L = 0.01 \times 1000 \ mH = 10 \ mH$

(C) આપેલ છે:
કેપેસિટરનો રિએક્ટન્સ $X_C = 4 \sqrt{3} \Omega$
અવરોધ $R = 4 \Omega$
પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 8 \sqrt{2} \text{ V}$
પગલું $1$: $RC$ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ શોધો.
$Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$
$Z = \sqrt{4^2 + (4 \sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 16 \times 3} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8 \Omega$
પગલું $2$: $RMS$ વોલ્ટેજ $V_{\text{rms}}$ શોધો.
$V_{\text{rms}} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8 \text{ V}$
પગલું $3$: $RMS$ પ્રવાહ $I_{\text{rms}}$ શોધો.
$I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{Z} = \frac{8}{8} = 1 \text{ A}$
પગલું $4$: પાવરનો વ્યય $P$ શોધો.
પાવરનો વ્યય માત્ર રઝિસ્ટરમાં થાય છે.
$P = I_{\text{rms}}^2 \times R = (1)^2 \times 4 = 4 \text{ W}$

(B) $RC$ શ્રેણી પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ છે.
$X_C$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $Z = \sqrt{R^2 + \left(\frac{1}{\omega C}\right)^2}$ મળે છે.
જેમ જેમ કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ વધે છે,તેમ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ ઘટે છે.
કારણ કે $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$,તેથી $X_C$ માં ઘટાડો થવાથી પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z$ ઘટે છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V_0}{Z}$ દ્વારા મળે છે. $V_0$ અચળ હોવાથી અને $Z$ ઘટતું હોવાથી,પ્રવાહ $I$ વધે છે.
બલ્બની તેજસ્વિતા વ્યય થતા પાવર $P = I^2 R$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. જેમ પ્રવાહ $I$ વધે છે,તેમ વ્યય થતો પાવર વધે છે અને બલ્બ વધુ પ્રકાશિત થાય છે.

(A) શ્રેણી $R-C$ સર્કિટમાં,ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$ છે.
જ્યારે $K = 4$ અચળાંક ધરાવતું ડાયલેક્ટ્રિક દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC = 4C$ થાય છે.
પરિણામે,નવો કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C' = \frac{1}{\omega (4C)} = \frac{X_C}{4}$ થાય છે.
$X_C' < X_C$ હોવાથી,કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z' = \sqrt{R^2 + (X_C')^2}$ એ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ કરતા ઓછો છે.
સર્કિટમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ છે. $Z' < Z$ હોવાથી,કિસ્સા $(B)$ માં પ્રવાહ કિસ્સા $(A)$ કરતા વધારે છે,તેથી $I_R^B > I_R^A$ (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C = I X_C = \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} X_C = \frac{V}{\sqrt{(R/X_C)^2 + 1}}$ છે.
જેમ $X_C$ ઘટે છે,તેમ $(R/X_C)^2$ પદ વધે છે,જે છેદ $\sqrt{(R/X_C)^2 + 1}$ ને મોટો બનાવે છે.
તેથી,જ્યારે $X_C$ ઘટે છે ત્યારે $V_C$ ઘટે છે. આમ,$V_C^A > V_C^B$ (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
તેથી,સાચા વિધાનો $(B)$ અને $(C)$ છે.

(C) આપેલ છે: $\omega = 500 \ rad/s$.
શ્રેણી $R-C$ સર્કિટનું ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$ છે.
$Z = R\sqrt{1.25}$ આપેલ હોવાથી,$Z^2 = 1.25R^2$ થાય.
ઈમ્પીડન્સના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $R^2 + X_C^2 = 1.25R^2$.
$X_C^2 = 0.25R^2$.
$X_C = 0.5R$.
$X_C = \frac{1}{\omega C}$ હોવાથી,$\frac{1}{\omega C} = 0.5R$ મળે.
ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = RC$ માટે ગોઠવતા: $RC = \frac{1}{0.5\omega}$.
$\omega = 500 \ rad/s$ મૂકતા: $\tau = \frac{1}{0.5 \times 500} = \frac{1}{250} = 0.004 \ s$.
મિલીસેકન્ડમાં ફેરવતા: $\tau = 0.004 \times 1000 \ ms = 4 \ ms$.

(A) આપેલ છે: સપ્લાય વોલ્ટેજ $V = 200 V$,આવૃત્તિ $f = 50 Hz$,પાવર $P = 500 W$,લેમ્પ પરનો વોલ્ટેજ $V_R = 100 V$.
$1$. સર્કિટ $RC$ શ્રેણી સર્કિટ હોવાથી,સપ્લાય વોલ્ટેજ $V = \sqrt{V_R^2 + V_C^2}$ છે.
$200^2 = 100^2 + V_C^2 \Rightarrow V_C^2 = 40000 - 10000 = 30000$.
$V_C = 100\sqrt{3} V$.
$2$. ફેઝ એંગલ $\varphi$ એ $\tan \varphi = \frac{V_C}{V_R} = \frac{100\sqrt{3}}{100} = \sqrt{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\varphi = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$.
$3$. પાવર $P = V_R \cdot I \Rightarrow 500 = 100 \cdot I \Rightarrow I = 5 A$.
વળી,$V_C = I \cdot X_C \Rightarrow 100\sqrt{3} = 5 \cdot X_C \Rightarrow X_C = 20\sqrt{3} \Omega$.
$4$. $X_C = \frac{1}{2\pi f C} \Rightarrow 20\sqrt{3} = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot 50 \cdot C \cdot 10^{-6}}$.
$C = \frac{1}{20\sqrt{3} \cdot 100 \cdot \pi} \cdot 10^6 = \frac{10^6}{2000 \cdot \pi \sqrt{3}} = \frac{1000}{2 \cdot 5} = 100 \mu F$.
આમ,$C = 100 \mu F$ અને $\varphi = 60^{\circ}$.

(A) આપેલ છે: આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = 1 \ H$,અવરોધ $R = 100 \pi \ \Omega$,વોલ્ટેજ $V_{rms} = 100 \pi \ V$,આવૃત્તિ $f = 50 \ Hz$.
પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2 \pi f L = 2 \pi \times 50 \times 1 = 100 \pi \ \Omega$ ની ગણતરી કરો.
$LR$ શ્રેણી સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{(100 \pi)^2 + (100 \pi)^2} = \sqrt{2 \times (100 \pi)^2} = 100 \pi \sqrt{2} \ \Omega$ છે.
$RMS$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{100 \pi}{100 \pi \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \ A$ છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_{max} = I_{rms} \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2} = 1 \ A$ મળે છે.

(B) ધારો કે ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_{\text{in}}$ છે. આ સર્કિટ સમાંતરમાં બે પોટેન્શિયલ ડિવાઈડર ધરાવે છે.
ડાબી શાખા માટે,નીચેના નોડની સાપેક્ષમાં બિંદુ $A$ પરનો વોલ્ટેજ $V_A = V_{\text{in}} \cdot \frac{-jX_C}{R - jX_C}$ છે.
જમણી શાખા માટે,નીચેના નોડની સાપેક્ષમાં બિંદુ $B$ પરનો વોલ્ટેજ $V_B = V_{\text{in}} \cdot \frac{R}{R - jX_C}$ છે.
આમ,પોટેન્શિયલ તફાવત $(V_B - V_A)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V_B - V_A = V_{\text{in}} \cdot \frac{R + jX_C}{R - jX_C}$.
ધારો કે $Z = R - jX_C$. તો $V_B - V_A = V_{\text{in}} \cdot \frac{R + jX_C}{R - jX_C}$.
$V_{\text{in}}$ ની સાપેક્ષમાં $(V_B - V_A)$ નો કળા તફાવત એ $\frac{R + jX_C}{R - jX_C}$ નો કળા તફાવત છે.
ધારો કે $\tan \theta = \frac{X_C}{R}$. તો $(R + jX_C)$ નો કળા તફાવત $\theta$ છે અને $(R - jX_C)$ નો કળા તફાવત $-\theta$ છે.
ગુણોત્તરનો કળા તફાવત $\theta - (-\theta) = 2\theta$ છે.
આપેલ છે કે કળા તફાવત $90^{\circ}$ છે,તેથી $2\theta = 90^{\circ}$,એટલે કે $\theta = 45^{\circ}$.
તેથી,$\tan 45^{\circ} = \frac{X_C}{R} \implies 1 = \frac{1}{\omega RC} \implies \omega = \frac{1}{RC}$.
કિંમતો મૂકતા: $R = 10^5 \ \Omega$,$C = 100 \times 10^{-12} \ F = 10^{-10} \ F$.
$\omega = \frac{1}{10^5 \times 10^{-10}} = \frac{1}{10^{-5}} = 10^5 \ rad/sec$.
$10^x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 5$ મળે છે.

(A) આ પરિપથમાં એક બલ્બ (અવરોધ $R$) અને એક કેપેસિટર $(C)$ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે,જે $R-C$ પરિપથ બનાવે છે.
$R-C$ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ છે.
જ્યારે $AC$ સોર્સની આવૃત્તિ $f$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ ઘટે છે.
જેમ કે $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$,$X_C$ માં ઘટાડો થવાથી પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z$ ઘટે છે.
$AC$ પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $i = \frac{V}{Z}$ છે. સોર્સ વોલ્ટેજ $V$ અચળ હોવાથી અને $Z$ ઘટતું હોવાથી,પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ વધે છે.
બલ્બની તેજસ્વિતા તેના દ્વારા વપરાતા પાવર $P = i^2R$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. જેમ પ્રવાહ $i$ વધે છે,તેમ બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર વધે છે,અને તેથી બલ્બ વધુ તીવ્ર પ્રકાશ આપશે.

(B) $DC$ સપ્લાય માટે,કોઈલ શુદ્ધ અવરોધ $R$ તરીકે કાર્ય કરે છે. આપેલ છે કે $V = 100 \ V$ અને $I = 25 \ A$,તેથી અવરોધ $R = \frac{V}{I} = \frac{100}{25} = 4 \ \Omega$ છે.
$AC$ સપ્લાય માટે,કોઈલ ઈમ્પિડન્સ $Z$ સાથે $LR$ સર્કિટ તરીકે કાર્ય કરે છે. આપેલ છે કે $V = 100 \ V$ અને $I = 20 \ A$,તેથી ઈમ્પિડન્સ $Z = \frac{V}{I} = \frac{100}{20} = 5 \ \Omega$ છે.
ઈમ્પિડન્સ $Z$,અવરોધ $R$ અને ઈન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ સાથે $Z^2 = R^2 + X_L^2$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
કિંમતો મૂકતા,$5^2 = 4^2 + X_L^2$.
$25 = 16 + X_L^2 \Rightarrow X_L^2 = 25 - 16 = 9$.
તેથી,રિએક્ટન્સ $X_L = \sqrt{9} = 3 \ \Omega$ છે.

(C) શ્રેણી $L-C-R$ પરિપથનો ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $|X_L - X_C| = R$,તેથી ઈમ્પિડન્સના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$Z = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$.
પરિપથમાં મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{V_0}{R\sqrt{2}}$ છે.
કેપેસિટરના બે છેડા વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_C = I_0 X_C$ છે.
કેપેસિટરના બે છેડા વચ્ચેનો આર.એમ.એસ. (r.m.s.) સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{C,rms} = I_{rms} X_C$ છે.
અહીં $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{V_0}{R\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{V_0}{2R}$ હોવાથી:
$V_{C,rms} = \frac{V_0}{2R} \cdot \frac{1}{\omega C} = \frac{V_0}{2R\omega C}$.

(D) $LR$ શ્રેણી પરિપથમાં,ઈમ્પીડન્સ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે.
અહીં,$R$ એ અવરોધ છે અને $X_L$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ને $X_L = \omega L$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = 2 \pi f$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $X_L = 2 \pi f L$ મળે છે.
હવે,ઈમ્પીડન્સના સૂત્રમાં $X_L$ ની કિંમત મૂકતા:
$Z = \sqrt{R^2 + (2 \pi f L)^2}$
$Z = \sqrt{R^2 + 4 \pi^2 f^2 L^2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{0.3}{\pi} \ H$,અવરોધ $R = 40 \ \Omega$,વોલ્ટેજ $V = 230 \ V$,આવૃત્તિ $f = 50 \ Hz$.
પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi f L$ ની ગણતરી કરો.
$X_L = 2 \times \pi \times 50 \times \frac{0.3}{\pi} = 100 \times 0.3 = 30 \ \Omega$.
$LR$ સર્કિટનો ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા મળે છે.
$Z = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50 \ \Omega$.
સર્કિટમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ દ્વારા મળે છે.
$I = \frac{230}{50} = 4.6 \ A$.
આમ,ઈમ્પિડન્સ $50 \ \Omega$ છે અને પ્રવાહ $4.6 \ A$ છે.

(D) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{100}{\pi} \text{ mH} = \frac{0.1}{\pi} \text{ H}$,કેપેસિટન્સ $C = \frac{10^{-3}}{2\pi} \text{ F}$,અવરોધ $R = 10 \Omega$,આવૃત્તિ $f = 50 \text{ Hz}$.
પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi f L = 2\pi \times 50 \times \frac{0.1}{\pi} = 100 \times 0.1 = 10 \Omega$ શોધો.
ત્યારબાદ,કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times \frac{10^{-3}}{2\pi}} = \frac{1}{50 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{50} = 20 \Omega$ શોધો.
ફેઝ એંગલ $\phi$ નો ટેન્જન્ટ $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \phi = \frac{10 - 20}{10} = \frac{-10}{10} = -1$.
ફેઝ એંગલના ટેન્જન્ટનું મૂલ્ય $|\tan \phi| = 1$ થાય છે.

(D) $RL$ સર્કિટમાં વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ એંગલ $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\phi = 45^{\circ}$,$R = 80 \Omega$,અને $f = 480 \text{ Hz}$ આપેલ છે.
$\tan 45^{\circ} = 1$ હોવાથી,$1 = \frac{X_L}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $X_L = R$.
$X_L = 2 \pi f L$ મૂકતા,આપણને $2 \pi f L = R$ મળે છે.
$L$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $L = \frac{R}{2 \pi f}$.
કિંમતો મૂકતા: $L = \frac{80}{2 \pi \times 480} = \frac{80}{960 \pi} = \frac{1}{12 \pi} \text{ H}$.

(A) જ્યારે $80 \ V$ $d.c.$ આપવામાં આવે છે,ત્યારે સોલેનોઇડ શુદ્ધ અવરોધ તરીકે વર્તે છે કારણ કે $d.c.$ ની આવૃત્તિ શૂન્ય છે,તેથી ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2 \pi fL = 0$ થાય છે.
અવરોધ $R = \frac{V}{I_{dc}} = \frac{80 \ V}{0.8 \ A} = 100 \ \Omega$.
જ્યારે $80 \ V$ $a.c.$ આપવામાં આવે છે,ત્યારે ઇમ્પિડન્સ $Z = \frac{V}{I_{ac}} = \frac{80 \ V}{0.4 \ A} = 200 \ \Omega$.
$RL$ સર્કિટ માટે ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $200 = \sqrt{100^2 + X_L^2}$.
$40000 = 10000 + X_L^2 \Rightarrow X_L^2 = 30000$.
$X_L = \sqrt{30000} \approx 173.2 \ \Omega$.
$X_L = 2 \pi fL$ હોવાથી,$L = \frac{X_L}{2 \pi f} = \frac{173.2}{2 \times 3.14 \times 50} = \frac{173.2}{314} \approx 0.55 \ H$.
આમ,ઇમ્પિડન્સ $200 \ \Omega$ અને ઇન્ડક્ટન્સ $0.55 \ H$ છે.

(B) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $R = \frac{X_L}{2}$,તેથી $X_L = 2R$.
આપેલ છે કે $R = 2X_C$,તેથી $X_C = \frac{R}{2}$.
આ કિંમતોને ઈમ્પીડન્સના સૂત્રમાં મૂકતા:
$Z = \sqrt{R^2 + (2R - \frac{R}{2})^2} = \sqrt{R^2 + (\frac{3R}{2})^2} = \sqrt{R^2 + \frac{9R^2}{4}} = \sqrt{\frac{13R^2}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2} R$.
કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \phi = \frac{2R - R/2}{R} = \frac{3R/2}{R} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$\phi = \tan^{-1}(\frac{3}{2})$.

(B) આપેલ છે: $R = X_C = \frac{1}{\omega C}$.
પ્રારંભિક ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2} R$.
પ્રારંભિક મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{V_0}{\sqrt{2} R}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{V_0}{R} = \sqrt{2} I_0$.
જ્યારે કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = \frac{\omega}{\sqrt{3}}$ થાય,ત્યારે નવો કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C' = \frac{1}{\omega' C} = \frac{1}{(\omega / \sqrt{3}) C} = \sqrt{3} \left(\frac{1}{\omega C}\right) = \sqrt{3} R$.
નવો ઈમ્પીડન્સ $Z' = \sqrt{R^2 + (X_C')^2} = \sqrt{R^2 + (\sqrt{3} R)^2} = \sqrt{R^2 + 3R^2} = \sqrt{4R^2} = 2R$.
નવો મહત્તમ પ્રવાહ $I_0' = \frac{V_0}{Z'} = \frac{V_0}{2R} = \frac{1}{2} \left(\frac{V_0}{R}\right) = \frac{1}{2} (\sqrt{2} I_0) = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$.
અહીં $\phi = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\tan 45^{\circ} = 1$.
આમ,$\frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R} = 1$.
$\omega L - \frac{1}{\omega C} = R$.
$\omega L = R + \frac{1}{\omega C} = \frac{R \omega C + 1}{\omega C}$.
$\omega = 2 \pi f$ હોવાથી,$L = \frac{R \omega C + 1}{\omega^2 C} = \frac{R(2 \pi f)C + 1}{(2 \pi f)^2 C}$.
$L = \frac{1 + 2 \pi fCR}{4 \pi^2 f^2 C}$.

(A) $d.c.$ સપ્લાય માટે,ઇન્ડક્ટર શુદ્ધ અવરોધ તરીકે વર્તે છે:
$R = \frac{V}{I} = \frac{100 \ V}{1 \ A} = 100 \ \Omega$.
$a.c.$ સપ્લાય માટે,ઇમ્પિડન્સ $Z$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Z = \frac{V}{I} = \frac{100 \ V}{0.5 \ A} = 200 \ \Omega$.
$LR$ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે,જ્યાં $X_L = 2 \pi f L$.
કિંમતો મૂકતા: $200 = \sqrt{100^2 + X_L^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $40000 = 10000 + X_L^2 \Rightarrow X_L^2 = 30000$.
$X_L = \sqrt{30000} = 100\sqrt{3} \ \Omega$.
$X_L = 2 \pi f L$ હોવાથી,$100\sqrt{3} = 2 \pi (50) L$.
$100\sqrt{3} = 100 \pi L \Rightarrow L = \frac{\sqrt{3}}{\pi} \ H$.

(C) $d.c.$ સ્ત્રોત માટે,ઇન્ડક્ટર સાદા અવરોધ તરીકે વર્તે છે કારણ કે આવૃત્તિ શૂન્ય છે. તેથી,અવરોધ $R = \frac{V}{I} = \frac{12 \ V}{4 \ A} = 3 \ \Omega$ મળે છે.
$a.c.$ સ્ત્રોત માટે,ઇમ્પીડન્સ $Z = \frac{V}{I} = \frac{12 \ V}{2.4 \ A} = 5 \ \Omega$ મળે છે.
$RL$ સર્કિટનો ઇમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે,જ્યાં $X_L$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$Z^2 = R^2 + X_L^2$,તેથી $X_L^2 = Z^2 - R^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$.
આમ,$X_L = 4 \ \Omega$.
$X_L = 2 \pi f L$ હોવાથી,$L = \frac{X_L}{2 \pi f} = \frac{4}{2 \pi \times 50} = \frac{4}{100 \pi} = \frac{4}{\pi} \times 10^{-2} \ H$ મળે છે.

(B) કેપેસિટરનો કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$f$ એ $A.C.$ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ છે અને $C$ એ કેપેસિટન્સ છે.
જ્યારે કેપેસિટન્સ $C$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C}$ વધે છે.
તે જ રીતે,જ્યારે આવૃત્તિ $f$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C}$ વધે છે.
બલ્બ કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં હોવાથી,પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_{C}^2}$ દ્વારા મળે છે.
બંને કિસ્સામાં $X_{C}$ વધતું હોવાથી,પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z$ વધે છે.
$A.C.$ પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ છે.
ઈમ્પીડન્સ $Z$ વધતું હોવાથી,બલ્બમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઘટે છે.
બલ્બની તેજસ્વીતા વપરાતા પાવર $P = I^2 R$ પર આધાર રાખે છે.
જેમ પ્રવાહ $I$ ઘટે છે,તેમ વપરાતો પાવર અને બલ્બની તેજસ્વીતા બંને કિસ્સામાં ઘટે છે.

(C) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,પ્રવાહ $I$ બધા ઘટકોમાંથી સમાન વહે છે. અવરોધ $R$ પરનો વોલ્ટેજ $V_R$ એ પ્રવાહ સાથે સમાન કળામાં હોય છે. ઇન્ડક્ટર $V_L$ પરનો વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $90^\circ$ આગળ હોય છે,અને કેપેસિટર $V_C$ પરનો વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $90^\circ$ પાછળ હોય છે.
આમ,$V_L$ અને $V_C$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે. ચોખ્ખો રિએક્ટિવ વોલ્ટેજ $(V_L - V_C)$ થાય છે.
ફેઝર ડાયાગ્રામનો ઉપયોગ કરીને,પરિણામી વોલ્ટેજ $V$ એ $V_R$ અને $(V_L - V_C)$ નો સદિશ સરવાળો છે,જે એકબીજાને લંબ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $V^2 = V_R^2 + (V_L - V_C)^2$.

(D) $LR$ સર્કિટ માટે,ઈમ્પીડન્સ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $E = 4 \cos(1000 t)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ $E = E_0 \cos(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $E_0 = 4 \ V$ અને $\omega = 1000 \ rad/s$ મળે છે.
અહીં $L = 3 \ mH = 3 \times 10^{-3} \ H$ અને $R = 4 \ \Omega$ આપેલ છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 1000 \times 3 \times 10^{-3} = 3 \ \Omega$ થાય.
હવે,ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \ \Omega$ મળે.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{E_0}{Z} = \frac{4}{5} = 0.8 \ A$ થાય.

(D) સમાંતર $LC$ સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $(I_L)$ વોલ્ટેજ કરતા $90^{\circ}$ પાછળ હોય છે,અને કેપેસિટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $(I_C)$ વોલ્ટેજ કરતા $90^{\circ}$ આગળ હોય છે.
આમ,પ્રવાહો $I_L$ અને $I_C$ એકબીજાથી $180^{\circ}$ ના કળા તફાવત (phase difference) પર છે.
સોર્સમાંથી ખેંચાતો કુલ પ્રવાહ $I$ એ બંને પ્રવાહોના તફાવતનું મૂલ્ય છે:
$I = |I_C - I_L|$
અહીં $I_L = 0.6 \,A$ અને $I_C = 0.9 \,A$ આપેલ છે.
$I = |0.9 \,A - 0.6 \,A| = 0.3 \,A$.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટર $(V_L)$ ના વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $90^{\circ}$ આગળ હોય છે,અને કેપેસિટર $(V_C)$ ના વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $90^{\circ}$ પાછળ હોય છે.
શ્રેણી સર્કિટમાં તમામ ઘટકો માટે પ્રવાહ સમાન હોવાથી,$V_L$ અને $V_C$ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $180^{\circ}$ હોય છે.
જોકે,વ્યક્તિગત વોલ્ટેજ $V_L$ અને $V_C$ સોર્સ વોલ્ટેજ $(V_S)$ સાથે સમાન ફેઝમાં હોતા નથી,સિવાય કે સર્કિટ રેઝોનન્સમાં હોય.
તેથી,'સોર્સ વોલ્ટેજ સાથે સમાન ફેઝમાં' હોવાનું વિધાન ખોટું છે,જે $D$ ને સાચો વિકલ્પ બનાવે છે.

(B) શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં, કુલ વોલ્ટેજ (e.m.f.) '$e$' એ દરેક ઘટક પરના વોલ્ટેજના ફેઝર સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
આપેલ છે:
$V_R = 40 \,V$
$V_L = 80 \,V$
$V_C = 40 \,V$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = \sqrt{(40)^2 + (80 - 40)^2}$
$e = \sqrt{1600 + (40)^2}$
$e = \sqrt{1600 + 1600}$
$e = \sqrt{3200}$
$e = \sqrt{1600 \times 2}$
$e = 40 \sqrt{2} \,V$

(B) $AC$ સર્કિટમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = E_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ છે.
rms પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{E_{rms}}{Z} = \frac{E_0}{\sqrt{2} Z}$ છે.
આ કિંમતોને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા: $P = \left( \frac{E_0}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{E_0}{\sqrt{2} Z} \right) \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{E_0^2 R}{2 Z^2}$.
આપેલ છે કે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = R$,તેથી ઇમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2} R$ થાય.
$Z^2 = 2 R^2$ ને પાવરના સમીકરણમાં મૂકતા: $P = \frac{E_0^2 R}{2 (2 R^2)} = \frac{E_0^2 R}{4 R^2} = \frac{E_0^2}{4 R}$.

(C) શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$.
અહીં પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $45^{\circ}$ આગળ હોવાથી,કળા તફાવત $\phi = -45^{\circ}$ લેવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan(-45^{\circ}) = \frac{X_L - X_C}{R}$.
$-1 = \frac{X_L - X_C}{R}$.
$-R = X_L - X_C$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $X_C = X_L + R$.

(D) $LR$ સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ એંગલ $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\phi = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\tan 45^{\circ} = 1$ થાય.
તેથી,$\frac{X_L}{R} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $X_L = R$.
અહીં $R = 100 \ \Omega$ આપેલ છે,તેથી $X_L = 100 \ \Omega$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સનું સૂત્ર $X_L = 2 \pi f L$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$100 = 2 \pi \times 100 \times L$.
$L$ માટે ગણતરી કરતા,$L = \frac{100}{2 \pi \times 100} = \frac{1}{2 \pi} \ H$ મળે છે.

(B) $LR$ શ્રેણી પરિપથ માટે,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ એંગલ $\phi$ શોધવાનું સૂત્ર: $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ છે.
અહીં,$X_L = \omega L = 2 \pi f L$ થાય.
આપેલ છે: $L = \frac{1}{\pi} \text{ H}$,$R = 300 \text{ } \Omega$,અને $f = 200 \text{ Hz}$.
કિંમતો મૂકતા: $X_L = 2 \pi \times 200 \times \frac{1}{\pi} = 400 \text{ } \Omega$.
હવે,$\tan \phi = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$.
તેથી,$\phi = \tan^{-1}(\frac{4}{3})$.

(B) $RL$ સર્કિટમાં વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\phi = 45^{\circ}$,$R = 100 \ \Omega$,અને $f = 1000 \ Hz$ આપેલ છે.
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $X_L = R$ થાય.
$X_L = 2 \pi f L$ મૂકતા,આપણને $2 \pi f L = R$ મળે છે.
તેથી,$L = \frac{R}{2 \pi f}$.
કિંમતો મૂકતા: $L = \frac{100}{2 \pi \times 1000} = \frac{100}{2000 \pi} = \frac{1}{20 \pi} = \frac{0.05}{\pi} \ H$.

(A) પ્રારંભિક ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_c^2}$ છે,જ્યાં $X_c = \frac{1}{\omega C}$.
પ્રારંભિક પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ છે.
જ્યારે આવૃત્તિ બદલાઈને $\omega' = \frac{\omega}{3}$ થાય છે,ત્યારે નવો કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_c' = \frac{1}{\omega' C} = \frac{1}{(\omega/3) C} = 3X_c$ થાય છે.
નવો ઈમ્પીડન્સ $Z' = \sqrt{R^2 + (X_c')^2} = \sqrt{R^2 + (3X_c)^2}$ છે.
આપેલ છે કે નવો પ્રવાહ $I' = \frac{I}{2}$,તેથી $\frac{V}{Z'} = \frac{1}{2} \frac{V}{Z}$,જેનો અર્થ છે કે $Z' = 2Z$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(Z')^2 = 4Z^2$,તેથી $R^2 + 9X_c^2 = 4(R^2 + X_c^2)$.
$R^2 + 9X_c^2 = 4R^2 + 4X_c^2$.
$5X_c^2 = 3R^2$.
$\frac{X_c^2}{R^2} = \frac{3}{5} = 0.6$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{X_c}{R} = \sqrt{0.6}$ થાય.

(D) પ્રારંભિક ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_c^2}$ છે,જ્યાં $X_c = \frac{1}{\omega C}$ છે. પ્રારંભિક પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ છે.
જ્યારે આવૃત્તિ બદલાઈને $\omega' = \frac{\omega}{3}$ થાય છે,ત્યારે નવો રિએક્ટન્સ $X_c' = \frac{1}{\omega' C} = \frac{1}{(\omega/3)C} = 3X_c$ થાય છે.
નવો ઈમ્પીડન્સ $Z' = \sqrt{R^2 + (3X_c)^2} = \sqrt{R^2 + 9X_c^2}$ છે.
નવો પ્રવાહ $I' = \frac{V}{Z'} = \frac{I}{2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $Z' = 2Z$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$Z'^2 = 4Z^2$,તેથી $R^2 + 9X_c^2 = 4(R^2 + X_c^2)$.
$R^2 + 9X_c^2 = 4R^2 + 4X_c^2$.
$5X_c^2 = 3R^2$.
$\frac{X_c^2}{R^2} = \frac{3}{5}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{X_c}{R} = \sqrt{\frac{3}{5}}$ છે.

(B) શ્રેણી $RL$ સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ એંગલ $\phi$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$.
અહીં ફેઝ એંગલ $\phi = 45^{\circ}$ અને અવરોધ $R = 40 \ \Omega$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan 45^{\circ} = \frac{X_L}{40}$.
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી:
$1 = \frac{X_L}{40}$.
આમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 40 \ \Omega$ થાય.

(C) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L$ અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C$ એકબીજા સાથે $180^{\circ}$ ના કળા તફાવત (phase difference) ધરાવે છે.
આપેલ છે કે $V_L = 60 \,V$ અને $V_C = 60 \,V$.
$LC$ સંયોજન પરનો પરિણામી વોલ્ટેજ $V_{LC} = |V_L - V_C|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $V_{LC} = |60 \,V - 60 \,V| = 0 \,V$ મળે છે.
તેથી,$LC$ સંયોજન પરનો વોલ્ટેજ $0 \,V$ છે.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,પ્રવાહ $I$ બધા ઘટકો માટે સમાન હોય છે.
$1$. અવરોધ $(V_R)$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પ્રવાહ $I$ સાથે સમાન કળામાં હોય છે.
$2$. કેપેસિટર $(V_C)$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પ્રવાહ $I$ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો પાછળ હોય છે.
$3$. ઇન્ડક્ટર $(V_L)$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પ્રવાહ $I$ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો આગળ હોય છે.
વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન:
$(A)$ $R$ $(V_R)$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $I$ સાથે સમાન કળામાં છે,અને કેપેસિટર $(V_C)$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $I$ કરતા $\frac{\pi}{2}$ પાછળ છે. તેથી,$V_R$ અને $V_C$ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\frac{\pi}{2}$ છે. આ સાચું છે.
$(B)$ લાગુ પાડેલ e.m.f. $(V)$ પ્રવાહ $I$ કરતા $\phi$ જેટલો આગળ અથવા પાછળ હોય છે,જ્યારે $V_R$ એ $I$ સાથે સમાન કળામાં હોય છે. તેથી,$V$ અને $V_R$ સમાન કળામાં નથી. આ ખોટું છે.
$(C)$ લાગુ પાડેલ e.m.f. $(V)$ અને $V_L$ વચ્ચેનો કળા તફાવત $(\frac{\pi}{2} - \phi)$ છે. આ ખોટું છે.
$(D)$ $V_L$ એ $I$ કરતા $\frac{\pi}{2}$ આગળ છે અને $V_C$ એ $I$ કરતા $\frac{\pi}{2}$ પાછળ છે. તેથી,$V_L$ અને $V_C$ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\pi$ છે. આ ખોટું છે.

(A) તત્કાલીન e.m.f. $E = E_{0} \sin \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$AC$ પરિપથમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $\cos \phi$ એ પાવર ફેક્ટર છે.
અહીં,$V_{rms} = \frac{E_{0}}{\sqrt{2}}$ અને $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{E_{0}}{\sqrt{2} Z}$ છે.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ છે.
તેથી,$P = \left( \frac{E_{0}}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{E_{0}}{\sqrt{2} Z} \right) \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{E_{0}^{2} R}{2 Z^{2}}$.
$LR$ શ્રેણી પરિપથ માટે,ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^{2} + X_{L}^{2}}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $X_{L} = R$,તેથી $Z = \sqrt{R^{2} + R^{2}} = \sqrt{2 R^{2}} = R \sqrt{2}$.
તેથી,$Z^{2} = 2 R^{2}$.
પાવરના સમીકરણમાં $Z^{2}$ ની કિંમત મૂકતા: $P = \frac{E_{0}^{2} R}{2 (2 R^{2})} = \frac{E_{0}^{2} R}{4 R^{2}} = \frac{E_{0}^{2}}{4 R}$.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનો ઈમ્પિડન્સ $Z$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
જ્યાં $X_L = \omega L$ અને $X_C = \frac{1}{\omega C}$ છે.
પગલું $1$: ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ની ગણતરી કરો.
$X_L = \omega L = 1000 \times 0.9 = 900 \Omega$.
પગલું $2$: કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ ની ગણતરી કરો.
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{1000 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} = 500 \Omega$.
પગલું $3$: ઈમ્પિડન્સ $Z$ ની ગણતરી કરો.
$Z = \sqrt{300^2 + (900 - 500)^2}$
$Z = \sqrt{300^2 + 400^2}$
$Z = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000}$
$Z = 500 \Omega$.

(B) લેમ્પની તેજસ્વીતા પરિપથમાં વહેતા પ્રવાહ પર આધાર રાખે છે.
$RC$ શ્રેણી પરિપથમાં,કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C} = \frac{1}{\omega C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કેપેસિટન્સ $C$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C}$ વધે છે.
પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_{C}^2}$ છે.
જેમ $X_{C}$ વધે છે,તેમ પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z$ વધે છે.
$AC$ પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ છે.
જેથી $Z$ વધતા,લેમ્પમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઘટે છે.
તેથી,લેમ્પ ઓછી તેજસ્વીતા સાથે પ્રકાશશે.