Half Power Frequency , Quality Factor ,Resonance in AC Circuit Questions in Hindi

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में अनुनाद की तीक्ष्णता क्वालिटी फैक्टर $(Q)$ द्वारा निर्धारित की जाती है।
$Q$ को अनुनादी आवृत्ति और परिपथ की बैंडविड्थ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
गणितीय रूप से,$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$।
$Q$ का उच्च मान अधिक तीक्ष्ण अनुनाद वक्र को दर्शाता है,जिसका अर्थ है कि परिपथ अधिक चयनात्मक है।
इसलिए,अनुनाद की तीक्ष्णता सीधे क्वालिटी फैक्टर $(Q)$ पर निर्भर करती है।

(N/A) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ की बैंडविड्थ को दो हाफ-पावर आवृत्तियों,$\omega_{1}$ और $\omega_{2}$ के बीच की आवृत्ति सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ धारा का आयाम अपने अधिकतम मान का $\frac{1}{\sqrt{2}}$ गुना हो जाता है।
दिया गया है $I_{max} = 1.0 \ A$,तो हाफ-पावर आवृत्तियों पर धारा $I = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}} = \frac{1.0}{1.414} \approx 0.707 \ A$ है।
दिए गए ग्राफ से,$I = 0.707 \ A$ पर,संबंधित कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_{1} = 0.8 \ rad/s$ और $\omega_{2} = 1.2 \ rad/s$ हैं।
बैंडविड्थ $\Delta \omega$ इस प्रकार है:
$\Delta \omega = \omega_{2} - \omega_{1}$
$\Delta \omega = 1.2 \ rad/s - 0.8 \ rad/s = 0.4 \ rad/s$.

(B) श्रेणी $LCR$ परिपथ का गुणवत्ता कारक $Q$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$
दिए गए मान $R = 100 \, \Omega$,$L = 80 \, mH = 80 \times 10^{-3} \, H$,और $C = 2 \, \mu F = 2 \times 10^{-6} \, F$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Q = \frac{1}{100} \sqrt{\frac{80 \times 10^{-3}}{2 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{100} \sqrt{40 \times 10^{3}}$
$Q = \frac{1}{100} \sqrt{40000}$
$Q = \frac{200}{100} = 2$
अतः,परिपथ का गुणवत्ता कारक $2$ है।

(D) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,कलान्तर $\phi$ का मान $\tan \phi = \frac{|X_L - X_C|}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
जब $L$ को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $RC$ परिपथ बन जाता है। कलान्तर $\tan \phi = \frac{X_C}{R} = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ है।
जब $C$ को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $RL$ परिपथ बन जाता है। कलान्तर $\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $\frac{X_C}{R} = \frac{X_L}{R}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $X_L = X_C$।
चूंकि $X_L = X_C$,परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
अनुनाद पर,प्रतिबाधा $Z = R$ होती है।
अतः,शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{R} = 1.0$ है।

(A) दिया गया है: वोल्टेज $V = 10 \, V$,प्रतिरोध $R = 10 \, \Omega$ और प्रेरकत्व $L = 1 \, H$ है।
अनुनाद पर,प्रतिबाधा $Z$ प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है,इसलिए $Z = R = 10 \, \Omega$ है।
अनुनाद पर धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{10 \, V}{10 \, \Omega} = 1 \, A$ द्वारा दी जाती है।
प्रेरक में संचित ऊर्जा का सूत्र $E_L = \frac{1}{2} L I^2$ है।
मान रखने पर,$E_L = \frac{1}{2} \times 1 \, H \times (1 \, A)^2 = 0.5 \, J$ प्राप्त होता है।

(B) अनुनाद पर,$LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) पूरी तरह से प्रतिरोधी होती है,अर्थात $Z = R = 8\, \Omega$।
शिखर वोल्टेज $V_0 = 250\, V$ है। रूट मीन स्क्वायर $(RMS)$ वोल्टेज $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{250}{\sqrt{2}}\, V$ द्वारा दिया जाता है।
अनुनाद पर व्ययित शक्ति का सूत्र $P = \frac{(V_{rms})^2}{R}$ है।
मान रखने पर: $P = \frac{(250 / \sqrt{2})^2}{8} = \frac{62500 / 2}{8} = \frac{31250}{8} = 3906.25\, W$।
$kW$ में बदलने पर: $P = 3.90625\, kW$।
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,हमें $x = 4$ प्राप्त होता है।

(A) $LCR$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति $\omega_0 = 1 / \sqrt{LC}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि यह केवल $L$ और $C$ पर निर्भर करती है,इसलिए प्रतिरोध $R$ बदलने पर यह स्थिर रहती है।
$LCR$ परिपथ की बैंडविड्थ को $\Delta \omega = R / L$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि बैंडविड्थ $\Delta \omega$ प्रतिरोध $R$ के सीधे आनुपातिक है $(\Delta \omega \propto R)$,इसलिए प्रतिरोध $R$ को बढ़ाने से बैंडविड्थ बढ़ जाएगी।
क्वालिटी फैक्टर $Q$ को $Q = \omega_0 L / R = 1 / R \sqrt{L/C}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $Q \propto 1/R$,इसलिए प्रतिरोध $R$ को बढ़ाने से क्वालिटी फैक्टर कम हो जाएगा।
अतः,सही कथन यह है कि अनुनाद परिपथ की बैंडविड्थ बढ़ जाएगी।

(A) दिया गया है:
$L = 2 \times 10^{-4} \ H$
$R = 6.28 \ \Omega$
$f = 10 \ MHz = 10^7 \ Hz$
श्रेणी अनुनाद परिपथ के लिए गुणवत्ता कारक $Q$ का सूत्र है:
$Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{2 \pi f L}{R}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$Q = \frac{2 \times 3.14 \times 10^7 \times 2 \times 10^{-4}}{6.28}$
$Q = \frac{6.28 \times 10^7 \times 2 \times 10^{-4}}{6.28}$
$Q = 2 \times 10^3 = 2000$
अतः,गुणवत्ता कारक का मान $2000$ है।

(D) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 960\, m$,धारिता $C = 2.56\, \mu F = 2.56 \times 10^{-6}\, F$,प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^{8}\, m/s$.
अनुनाद पर,कोणीय आवृत्ति $\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ होती है।
चूंकि $\omega_{0} = 2\pi f_{0}$ और $f_{0} = \frac{c}{\lambda}$,इसलिए $2\pi \frac{c}{\lambda} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4\pi^{2} \frac{c^{2}}{\lambda^{2}} = \frac{1}{LC}$.
$L$ के लिए हल करने पर: $L = \frac{\lambda^{2}}{4\pi^{2}c^{2}C}$.
$\pi^{2} \approx 10$ का उपयोग करने पर: $L = \frac{(960)^{2}}{4 \times 10 \times (3 \times 10^{8})^{2} \times 2.56 \times 10^{-6}}$.
गणना करने पर $L = 10 \times 10^{-8}\, H$ प्राप्त होता है।

(NONE) श्रेणी $LCR$ परिपथ का गुणवत्ता कारक $Q$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$.
प्रारंभ में,$Q = 100$ है।
जब प्रेरकत्व $L$ को दो गुना बढ़ा दिया जाता है $(L' = 2L)$ और प्रतिरोध $R$ को दो गुना कम कर दिया जाता है $(R' = R/2)$,तो नया गुणवत्ता कारक $Q'$ होगा:
$Q' = \frac{1}{R'} \sqrt{\frac{L'}{C}} = \frac{1}{(R/2)} \sqrt{\frac{2L}{C}} = 2 \times \sqrt{2} \times \left( \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} \right)$.
$Q$ का प्रारंभिक मान रखने पर:
$Q' = 2 \sqrt{2} \times Q = 2 \times 1.414 \times 100 = 282.8$.

(D) अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_{L}$ और धारितीय प्रतिघात $X_{C}$ एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं,जिसका अर्थ है कि परिपथ की कुल प्रतिबाधा प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है,अर्थात $Z = R$ होता है।
अनुनाद पर $LCR$ परिपथ में खपत होने वाली शक्ति का सूत्र है:
$P = \frac{V^{2}}{R}$
दिए गए मान हैं:
$P = 16 \, W$
$V = 120 \, V$
$R$ का मान ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$R = \frac{V^{2}}{P}$
मान रखने पर:
$R = \frac{(120)^{2}}{16}$
$R = \frac{14400}{16}$
$R = 900 \, \Omega$
अतः,प्रतिरोध $R$ का मान $900 \, \Omega$ है।

(A) $LCR$ परिपथ में औसत शक्ति को अधिकतम करने के लिए, परिपथ को अनुनाद (resonance) की स्थिति में होना चाहिए.
अनुनाद पर, प्रेरणिक प्रतिघात धारिता प्रतिघात के बराबर होता है, अर्थात $X_{L} = X_{C}$.
दिया गया है $X_{L} = 250 \pi \, \Omega$ और आवृत्ति $f = 50 \, Hz$ है.
धारिता प्रतिघात का सूत्र $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ है.
दोनों को बराबर करने पर: $250 \pi = \frac{1}{2 \pi (50) C}$.
$250 \pi = \frac{1}{100 \pi C}$.
$C = \frac{1}{250 \pi \times 100 \pi} = \frac{1}{25000 \pi^{2}}$.
दिया गया है $\pi^{2} = 10$, इसलिए $C = \frac{1}{25000 \times 10} = \frac{1}{250000} \, F$.
$C = 4 \times 10^{-6} \, F = 4 \, \mu F$.

(C) दिया गया है: $L = 5.0 \, H$,$C = 80 \, \mu F = 80 \times 10^{-6} \, F$,$R = 40 \, \Omega$.
सबसे पहले,अनुनादी कोणीय आवृत्ति $\omega_0$ की गणना करें:
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{5.0 \times 80 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{400 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{0.02} = 50 \, rad/s$.
इसके बाद,बैंडविड्थ $\Delta \omega$ की गणना करें:
$\Delta \omega = \frac{R}{L} = \frac{40}{5.0} = 8 \, rad/s$.
वे आवृत्तियाँ जिन पर शक्ति अधिकतम शक्ति की आधी होती है (हाफ-पावर फ्रीक्वेंसी),$\omega = \omega_0 \pm \frac{\Delta \omega}{2}$ द्वारा दी जाती हैं।
$\omega_1 = \omega_0 - \frac{\Delta \omega}{2} = 50 - \frac{8}{2} = 50 - 4 = 46 \, rad/s$.
$\omega_2 = \omega_0 + \frac{\Delta \omega}{2} = 50 + \frac{8}{2} = 50 + 4 = 54 \, rad/s$.
अतः,कोणीय आवृत्तियाँ $46 \, rad/s$ और $54 \, rad/s$ हैं।

(B) अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है,इसलिए परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है।
$Z = R = 5 \, \Omega$.
वर्ग माध्य मूल धारा $I_{\text{rms}}$ को $I_{\text{rms}} = \frac{V}{Z} = \frac{V}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
अनुनाद पर व्ययित शक्ति $P = I_{\text{rms}}^2 R = \left(\frac{V}{R}\right)^2 R = \frac{V^2}{R}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P = \frac{250 \times 250}{5} = \frac{62500}{5} = 12500 \, \text{W}$।
इसे $..... \times 10^2 \, \text{W}$ के रूप में व्यक्त करने पर,हमें $125 \times 10^2 \, \text{W}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) $LCR$ श्रेणी परिपथ में, कलांतर $\phi$ को $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
$(a)$ जब $\omega L > \frac{1}{\omega C}$, अर्थात $X_L > X_C$, तो परिपथ प्रेरक (inductive) होता है। वोल्टेज धारा से आगे होता है, जिसका अर्थ है कि धारा आरोपित $emf$ से पीछे रहती है। अतः, $(a) - (ii)$.
$(b)$ जब $\omega L = \frac{1}{\omega C}$, अर्थात $X_L = X_C$, तो परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में होता है। प्रतिबाधा न्यूनतम $(Z = R)$ होती है, और धारा आरोपित $emf$ के साथ समान कला में होती है। अतः, $(b) - (i)$.
$(c)$ जब $\omega L < \frac{1}{\omega C}$, अर्थात $X_L < X_C$, तो परिपथ धारिता (capacitive) वाला होता है। धारा वोल्टेज $(emf)$ से आगे होती है। अतः, $(c) - (iv)$.
$(d)$ अनुनाद आवृत्ति पर, $X_L = X_C$ होता है, प्रतिबाधा न्यूनतम होती है, जिसके परिणामस्वरूप अधिकतम धारा प्राप्त होती है। अतः, $(d) - (iii)$.
अतः, सही मिलान $(a) - (ii), (b) - (i), (c) - (iv), (d) - (iii)$ है।

(C) शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ (चित्र $a$) में व्यय होने वाली औसत शक्ति $P_a = \frac{V_{\text{rms}}^2}{R}$ द्वारा दी जाती है।
$LCR$ श्रेणी परिपथ (चित्र $b$) में व्यय होने वाली औसत शक्ति $P_b = I_{\text{rms}}^2 R = \left(\frac{V_{\text{rms}}}{Z}\right)^2 R = \frac{V_{\text{rms}}^2 R}{Z^2}$ है,जहाँ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
यह दिया गया है कि दोनों परिपथों में औसत शक्ति समान है,इसलिए $P_a = P_b$:
$\frac{V_{\text{rms}}^2}{R} = \frac{V_{\text{rms}}^2 R}{Z^2}$
इसका अर्थ है $R^2 = Z^2$,जिसका अर्थ है $Z = R$।
$Z$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$R^2 = R^2 + (X_L - X_C)^2$
$(X_L - X_C)^2 = 0$
$X_L = X_C$
यह अनुनाद (resonance) की स्थिति है,जहाँ $\omega L = \frac{1}{\omega C}$ होता है।
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega^2 = \frac{1}{LC} = \frac{1}{0.1 \times 40 \times 10^{-6}}$
$\omega^2 = \frac{1}{4 \times 10^{-6}} = 0.25 \times 10^6 = 250000$
$\omega = \sqrt{250000} = 500\,rad/s$.

(D) दिया गया है:
प्रतिरोध $R = 100 \, \Omega$
धारिता $C = 0.1 \, \mu \text{F} = 10^{-7} \, \text{F}$
अनुनाद आवृत्ति $f_0 = 60 \, \text{Hz}$
अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर होता है:
$X_L = X_C$
$2 \pi f_0 L = \frac{1}{2 \pi f_0 C}$
प्रेरकत्व $L$ के लिए सूत्र:
$L = \frac{1}{4 \pi^2 f_0^2 C}$
मान रखने पर:
$L = \frac{1}{4 \times (3.14)^2 \times (60)^2 \times 10^{-7}}$
$L \approx 70.43 \, \text{H}$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $70.3 \, \text{H}$ है।

(A) दिया गया है: $L = 10\,H$,$C = 10 \times 10^{-6}\,F$,$R = 50\,\Omega$,और $V = 200 \sin(100t)$.
$V = V_{m} \sin(\omega t)$ से तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = 100\,rad/s$ प्राप्त होती है।
$AC$ स्रोत की आवृत्ति $\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{100}{2\pi} = \frac{50}{\pi}\,Hz$ है।
$LCR$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति $\nu_{0}$ का सूत्र $\nu_{0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ है।
मान रखने पर: $\nu_{0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10 \times 10 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-4}}} = \frac{1}{2\pi \times 10^{-2}} = \frac{100}{2\pi} = \frac{50}{\pi}\,Hz$.
अतः,$\nu_{0} = \nu = \frac{50}{\pi}\,Hz$।

(A) दिए गए परिपथ में,प्रेरक $L$ और संधारित्र $C$ समानांतर में जुड़े हुए हैं,और यह समानांतर संयोजन $R = 55 \; \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में है।
समानांतर $LC$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ को $\frac{1}{Z_{LC}} = \sqrt{(\frac{1}{X_L} - \frac{1}{X_C})^2}$ द्वारा दिया जाता है।
अनुनाद पर,प्रेरक प्रतिघात $X_L$,धारिता प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है,अर्थात $X_L = X_C$।
इस मान को प्रतिबाधा के सूत्र में रखने पर,हमें $\frac{1}{Z_{LC}} = \sqrt{(\frac{1}{X_L} - \frac{1}{X_L})^2} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $Z_{LC} \rightarrow \infty$।
चूंकि समानांतर $LC$ संयोजन अनुनाद पर एक ओपन सर्किट (अनंत प्रतिबाधा) के रूप में कार्य करता है,इसलिए परिपथ में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः,$55 \; \Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित होने वाली धारा $I = 0 \; A$ है।

(D) लाइन की कुल लंबाई $l = 100 \, km$ है। प्रति इकाई लंबाई धारिता $C' = 0.01 \, \mu F/km$ है।
लाइन की कुल धारिता $C = C' \times l = 0.01 \times 100 = 1 \, \mu F = 10^{-6} \, F$ है।
आवृत्ति $f = 0.5 \, kHz = 500 \, Hz$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \times \sqrt{10} \times 500 = 1000 \sqrt{10} \, rad/s$ है।
$LCR$ परिपथ में न्यूनतम प्रतिबाधा के लिए, परिपथ को अनुनाद (resonance) में होना चाहिए, जो तब होता है जब प्रेरक प्रतिघात (inductive reactance) धारिता प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर हो:
$X_L = X_C$
$\omega L = \frac{1}{\omega C}$
$L = \frac{1}{\omega^2 C}$
मान रखने पर:
$L = \frac{1}{(1000 \sqrt{10})^2 \times 10^{-6}}$
$L = \frac{1}{10^6 \times 10 \times 10^{-6}}$
$L = \frac{1}{10} \, H = 0.1 \, H = 100 \, mH$.

(B) जब $LCR$ श्रेणी परिपथ में धारा emf के साथ समान कला में होती है,तो परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में होता है। अनुनादी आवृत्ति $f$ का सूत्र है: $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$.
दिया गया है: $L = 0.5 \,mH = 0.5 \times 10^{-3} \,H$,$C = 200 \,\mu F = 200 \times 10^{-6} \,F = 2 \times 10^{-4} \,F$.
मान रखने पर:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{0.5 \times 10^{-3} \times 2 \times 10^{-4}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{1.0 \times 10^{-7}}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10 \times 10^{-8}}}$
$f = \frac{10^4}{2 \pi \sqrt{10}} \approx 503.29 \,Hz$.
विकल्पों के अनुसार निकटतम पूर्णांक मान लेने पर,$f \approx 500 \,Hz = 5 \times 10^{2} \,Hz$।

(C) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,अनुनाद आवृत्ति (resonance frequency) $\omega_{r}$ को $X_{C} = X_{L}$ की स्थिति द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $X_{C} = \frac{1}{\omega C}$ और $X_{L} = \omega L$ है।
$1$. $\omega < \omega_{r}$ के लिए,हमारे पास $\frac{1}{\omega C} > \omega L$ है,जिसका अर्थ है कि $X_{C} > X_{L}$ है। अतः,परिपथ मुख्य रूप से कैपेसिटिव है। कथन $(A)$ सही है।
$2$. $\omega > \omega_{r}$ के लिए,$X_{L} > X_{C}$ होता है,इसलिए परिपथ मुख्य रूप से इंडक्टिव है।
$3$. अनुनाद पर $\omega = \omega_{r}$,प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$ है। चूँकि $X_{L} = X_{C}$,इसलिए $Z = \sqrt{R^{2} + 0} = R$ है। अतः,प्रतिबाधा प्रतिरोध के बराबर है। कथन $(C)$ सही है।
$4$. कथन $(D)$ गलत है क्योंकि अनुनाद पर,प्रतिबाधा न्यूनतम होती है और $R$ के बराबर होती है,$0$ नहीं।
इसलिए,कथन $(A)$ और $(C)$ सही हैं।

(B) मेटल डिटेक्टर में एक $LC$ सर्किट होता है जिसे एक विशिष्ट अनुनाद आवृत्ति (resonant frequency) पर ट्यून किया जाता है। जब कोई धातु की वस्तु कॉइल द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करती है,तो यह सर्किट के प्रेरकत्व (inductance) को बदल देती है,जिससे अनुनाद आवृत्ति बदल जाती है। इस परिवर्तन का पता सर्किट द्वारा लगाया जाता है,जो अलार्म बजाता है। इस प्रकार,यह उपकरण $AC$ सर्किट में अनुनाद के सिद्धांत पर कार्य करता है।

(C) श्रेणी $LCR$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति $f_r$ का सूत्र है:
$f_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
अनुनादी आवृत्ति $f_r$ को बढ़ाने के लिए,$LC$ का गुणनफल कम होना चाहिए।
जब एक संधारित्र को मौजूदा संधारित्र के साथ श्रेणी में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_{eq}$ का मान $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ के अनुसार होता है। इसके परिणामस्वरूप कुल धारिता में कमी आती है $(C_{eq} < C_1)$।
चूंकि $f_r \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$,इसलिए कुल धारिता में कमी आने से अनुनादी आवृत्ति बढ़ जाती है।

(B) $LR$ परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ का मान $Z = \sqrt{X_{L}^{2} + R^{2}}$ होता है।
दिया गया है कि $X_{L} = R$,अतः $Z = \sqrt{R^{2} + R^{2}} = \sqrt{2}R$ होगा।
शक्ति गुणांक $P_{1} = \cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{2}R} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
जब एक संधारित्र इस प्रकार जोड़ा जाता है कि $X_{L} = X_{C}$ हो,तो परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में $LCR$ श्रेणी परिपथ बन जाता है।
अनुनाद की स्थिति में,प्रतिबाधा $Z = R$ होती है।
शक्ति गुणांक $P_{2} = \cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{R} = 1$ है।
अतः,अनुपात $\frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{1/\sqrt{2}}{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होगा।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,जिन आवृत्तियों पर धारा का आयाम अपने अधिकतम मान का $\frac{1}{\sqrt{2}}$ गुना हो जाता है,उन्हें हाफ-पावर आवृत्तियाँ कहा जाता है,जिन्हें $\omega_1$ और $\omega_2$ द्वारा दर्शाया जाता है।
परिपथ की बैंडविड्थ $\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $\omega_1 = 212\,rad\,s^{-1}$ और $\omega_2 = 232\,rad\,s^{-1}$,अतः बैंडविड्थ $\Delta\omega = 232 - 212 = 20\,rad\,s^{-1}$ है।
$LCR$ श्रेणी परिपथ के लिए बैंडविड्थ का सूत्र $\Delta\omega = \frac{R}{L}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $20 = \frac{5}{L}$।
$L$ के लिए हल करने पर: $L = \frac{5}{20} = 0.25\,H$।
मिलीहेनरी $(mH)$ में बदलने पर: $L = 0.25 \times 1000 = 250\,mH$।

(B) अनुनाद परिपथ की बैंडविड्थ को उन दो आवृत्तियों के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ शक्ति या आउटपुट वोल्टेज अपने चरम मान के एक विशिष्ट अंश तक गिर जाता है।
एक $L-C-R$ श्रेणी परिपथ में,प्रतिरोधक के सिरों पर आउटपुट वोल्टेज $V_{out} = I_{rms} R = \frac{V_0 R}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ होता है।
अनुनाद पर,$V_{out}$ अधिकतम $(V_0)$ होता है।
वे आवृत्तियाँ जिन पर आउटपुट वोल्टेज अपने चरम मान के आधे तक गिर जाता है,वे $f_1 = 200 \,Hz$ और $f_2 = 800 \,Hz$ हैं।
बैंडविड्थ को इन दो हाफ-पावर आवृत्तियों के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है:
$\text{Bandwidth} = f_2 - f_1$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{Bandwidth} = 800 \,Hz - 200 \,Hz = 600 \,Hz$।

(C) $LCR$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ है।
इससे हम देख सकते हैं कि $f \propto \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
मान लीजिए प्रारंभिक आवृत्ति $f_1 = 500 \,kHz$ है,जिसमें प्रेरकत्व $L$ और धारिता $C$ है।
दिए गए नए मान: $L' = 2L$ और $C' = \frac{1}{8}C$.
नई आवृत्ति $f_2 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L'C'}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(2L)(\frac{1}{8}C)}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{\frac{1}{4}LC}}$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $f_2 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC} \cdot \frac{1}{2}} = 2 \times \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} = 2f_1$ प्राप्त होता है।
$f_1$ का मान रखने पर,हमें $f_2 = 2 \times 500 \,kHz = 1000 \,kHz$ प्राप्त होता है।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ के लिए अनुनाद कोणीय आवृत्ति $\omega_0$ का सूत्र है: $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$।
दिए गए मान $L = 8.0 \, H$,$C = 0.5 \, \mu F = 0.5 \times 10^{-6} \, F$ और $R = 100 \, \Omega$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{8.0 \times 0.5 \times 10^{-6}}}$
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{4.0 \times 10^{-6}}}$
$\omega_0 = \frac{1}{2.0 \times 10^{-3}}$
$\omega_0 = \frac{1000}{2} = 500 \, rad/s$।
अतः,अनुनाद कोणीय आवृत्ति $500 \, rad/s$ है।

(C) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है और कला कोण (phase angle) $\phi$ का मान $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ होता है।
वोल्टेज धारा से आगे तब होता है जब कला कोण $\phi$ धनात्मक हो,जिसका अर्थ है $X_L > X_C$।
प्रेरकीय प्रतिघात $(X_L = \omega L)$ और धारितीय प्रतिघात $(X_C = \frac{1}{\omega C})$ के व्यंजक रखने पर,हमें $\omega L > \frac{1}{\omega C}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\omega^2 > \frac{1}{LC}$ प्राप्त होता है।
चूंकि अनुनादी कोणीय आवृत्ति $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है,इसलिए $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ होता है।
अतः,वोल्टेज के धारा से आगे होने की शर्त $\omega^2 > \omega_0^2$ है,जिसका अर्थ है $\omega > \omega_0$।

(B) अनुनाद पर,प्रेरक (inductor) के सिरों पर वोल्टेज $(V_L)$ संधारित्र (capacitor) के सिरों पर वोल्टेज $(V_C)$ के बराबर होता है,और स्रोत का कुल वोल्टेज प्रतिरोधक (resistor) के सिरों पर वोल्टेज $(V_R)$ के बराबर होता है।
दिया गया है: $V_C = 200 \, V$ (संधारित्र के सिरों पर वोल्टमीटर का पाठ्यांक) और $V_R = 50 \, V$ (अनुनाद पर स्रोत वोल्टेज)।
श्रेणी $LCR$ परिपथ का गुणवत्ता कारक $(Q)$ अनुनाद पर प्रेरक या संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज और प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$Q = \frac{V_L}{V_R} = \frac{V_C}{V_R}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$Q = \frac{200 \, V}{50 \, V} = 4$
अतः,परिपथ का गुणवत्ता कारक $4$ है।

(C) दिया गया है:
धारिता, $C = 250\,\mu F = 250 \times 10^{-6}\,F$
प्रेरकत्व, $L = 0.16\,mH = 0.16 \times 10^{-3}\,H$
प्रतिरोध, $R = 20\,\Omega$
$LC$ परिपथ के लिए अनुनाद आवृत्ति $f$ का सूत्र है:
$f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$
मान रखने पर:
$f = \frac{1}{2 \times 3.14 \times \sqrt{250 \times 10^{-6} \times 0.16 \times 10^{-3}}}$
$f = \frac{1}{6.28 \times \sqrt{40 \times 10^{-9}}}$
$f = \frac{1}{6.28 \times 20 \times 10^{-5}}$
$f \approx 796\,Hz$
नोट: दिए गए विकल्पों के अनुसार, गणना करने पर $f \approx 796\,Hz$ प्राप्त होता है। प्रश्न में इकाइयों में विसंगति हो सकती है।

(A) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 10 \, \Omega$, प्रेरकत्व $L = 3.0 \, \text{H}$, धारिता $C = 27 \, \mu\text{F} = 27 \times 10^{-6} \, \text{F}$।
अनुनादी कोणीय आवृत्ति $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{3 \times 27 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{81 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{9 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{9} \, \text{rad/s}$ है।
बैंडविड्थ $\Delta \omega = \frac{R}{L} = \frac{10}{3} \, \text{rad/s}$ है।
गुणवत्ता कारक $Q = \frac{\omega_0}{\Delta \omega} = \frac{1000/9}{10/3} = \frac{1000}{9} \times \frac{3}{10} = \frac{100}{3}$ है।
हमें गुणवत्ता कारक और बैंडविड्थ का अनुपात ज्ञात करना है: $\frac{Q}{\Delta \omega} = \frac{100/3}{10/3} = \frac{100}{10} = 10 \, \text{s}$।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ में धारा का आयाम अधिकतम होने के लिए,परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में होना चाहिए।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात धारिता प्रतिघात के बराबर होता है,अर्थात $X_L = X_C$.
अनुनादी आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ है।
दिया गया है: $f = 2.0 \, kHz = 2000 \, Hz$,$C = 62.5 \, nF = 62.5 \times 10^{-9} \, F$,और $\pi^2 = 10$.
$L$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $L = \frac{1}{4 \pi^2 f^2 C}$.
मान रखने पर: $L = \frac{1}{4 \times 10 \times (2000)^2 \times 62.5 \times 10^{-9}}$.
$L = \frac{1}{40 \times 4 \times 10^6 \times 62.5 \times 10^{-9}}$.
$L = \frac{1}{160 \times 62.5 \times 10^{-3}} = \frac{1}{10000 \times 10^{-3}} = \frac{1}{10} = 0.1 \, H$.
$mH$ में बदलने पर: $0.1 \, H = 100 \, mH$.

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ में अधिकतम धारा के लिए,परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में होना चाहिए।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर होता है: $X_L = X_C$.
$2\pi fL = \frac{1}{2\pi fC}$.
धारिता $C$ के लिए सूत्र: $C = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L}$.
दिया गया है: $L = 2\,\mu\text{H} = 2 \times 10^{-6}\text{ H}$,$f = 7\,\text{kHz} = 7 \times 10^3\text{ Hz}$,और $\pi = \frac{22}{7}$.
मान रखने पर: $C = \frac{1}{4 \times (\frac{22}{7})^2 \times (7 \times 10^3)^2 \times 2 \times 10^{-6}}$.
$C = \frac{1}{4 \times \frac{484}{49} \times 49 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-6}}$.
$C = \frac{1}{4 \times 484 \times 2} = \frac{1}{3872}\text{ F}$.
इसे $\frac{1}{x}\text{ F}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 3872$ प्राप्त होता है।

(A) $AC$ परिपथ में शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक $LR$ परिपथ के लिए, $Z_1 = \sqrt{R^2 + X_L^2}$। दिया गया है कि $X_L = R$, इसलिए $Z_1 = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$।
अतः, $P_1 = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
जब $X_C = X_L$ वाला संधारित्र श्रेणी में जोड़ा जाता है, तो परिपथ अनुनाद की स्थिति में $LCR$ परिपथ बन जाता है।
अनुनाद पर, $X_L - X_C = 0$, इसलिए प्रतिबाधा $Z_2 = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = R$।
नया शक्ति गुणांक $P_2 = \frac{R}{Z_2} = \frac{R}{R} = 1$।
अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{1/\sqrt{2}}{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(A) जब धारा $EMF$ के साथ समान कला में होती है,तो परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में होता है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात धारितीय प्रतिघात के बराबर होता है,अर्थात $X_L = X_C$।
इसलिए,परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है,यानी $Z = R = 20\,\Omega$।
परिपथ में $RMS$ धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{220\,V}{20\,\Omega} = 11\,A$ द्वारा दी जाती है।
आयाम (शिखर धारा) $I_0$ का $RMS$ धारा के साथ संबंध $I_0 = I_{rms} \sqrt{2}$ होता है।
मान रखने पर,$I_0 = 11 \sqrt{2} = \sqrt{121 \times 2} = \sqrt{242}\,A$।
इसकी तुलना $\sqrt{x}\,A$ से करने पर,हमें $x = 242$ प्राप्त होता है।

(B) ऊर्जा आपूर्ति की औसत दर को अधिकतम करने के लिए,परिपथ में शक्ति अधिकतम होनी चाहिए।
एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,अनुनाद (resonance) की स्थिति में शक्ति अधिकतम होती है।
अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात,धारितीय प्रतिघात के बराबर होता है,अर्थात $X_L = X_C$.
दिया गया है $X_L = 79.6\,\Omega$ और आवृत्ति $f = 50\,Hz$.
धारितीय प्रतिघात का सूत्र $X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ है।
$X_L$ और $X_C$ को बराबर रखने पर: $79.6 = \frac{1}{2 \times 3.1416 \times 50 \times C}$.
$C = \frac{1}{314.16 \times 79.6} \approx \frac{1}{25007} \approx 3.998 \times 10^{-5}\,F$.
$C \approx 40 \times 10^{-6}\,F = 40\,\mu F$.

(A) अनुनाद (resonance) पर श्रेणी $LCR$ परिपथ का गुणवत्ता कारक $(Q)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$
दिए गए मान:
प्रतिरोध $R = 100\,\Omega$
प्रेरकत्व $L = 1\,H$
धारिता $C = 6.25 \times 10^{-6}\,F$
सूत्र में मान रखने पर:
$Q = \frac{1}{100} \sqrt{\frac{1}{6.25 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{100} \sqrt{\frac{10^6}{6.25}}$
$Q = \frac{1}{100} \times \frac{1000}{2.5}$
$Q = \frac{10}{2.5} = 4$
अतः,परिपथ का गुणवत्ता कारक $4$ है।

(C) $AC$ परिपथ में क्षयित शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\cos \phi$ पावर फैक्टर है।
श्रेणी $LCR$ परिपथ के लिए, प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ होती है।
अनुनाद पर, $X_L = X_C$ होता है, जो प्रतिबाधा $Z$ को न्यूनतम $(Z = R)$ बनाता है और कलांतर $\phi = 0$ होता है। इस प्रकार, $\cos \phi = 1$ होता है, और शक्ति का क्षय अधिकतम होता है। अतः, कथन $I$ सही है।
शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ में, धारा और वोल्टेज समान कला में होते हैं $(\phi = 0)$, इसलिए $\cos \phi = 1$ होता है। इसके परिणामस्वरूप दिए गए वोल्टेज के लिए अधिकतम शक्ति का क्षय होता है। अतः, कथन $II$ सही है।
इसलिए, दोनों कथन सही हैं।

(D) कथन $I$ सही है: एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ द्वारा दी जाती है। जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है,$X_L = 2\pi fL$ बढ़ता है और $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ घटता है। अनुनाद पर,$X_L = X_C$ होता है,प्रतिबाधा $Z$ न्यूनतम $(Z = R)$ होती है,और धारा $I$ अधिकतम होती है। इस प्रकार,धारा पहले बढ़कर अधिकतम होती है और फिर घटती है।
कथन $II$ सही है: अनुनाद पर,परिपथ पूरी तरह से प्रतिरोधी (resistive) होता है,जिसका अर्थ है कि कला कोण (phase angle) $\phi = 0$ है। शक्ति गुणांक $\cos \phi = \cos(0) = 1$ होता है।

(A) दिया गया है:
$L = 10\,mH = 10 \times 10^{-3}\,H$
$C = 1\,\mu F = 1 \times 10^{-6}\,F$
$R = 100\,\Omega$
अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात धारितीय प्रतिघात के बराबर होता है,$X_L = X_C$.
इसका अर्थ है $\omega L = \frac{1}{\omega C}$,जहाँ $\omega = 2\pi f$.
अनुनादी आवृत्ति $f$ का सूत्र है:
$f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$
मान रखने पर:
$f = \frac{1}{2 \times 3.14 \times \sqrt{10 \times 10^{-3} \times 10^{-6}}}$
$f = \frac{1}{6.28 \times \sqrt{10^{-8}}}$
$f = \frac{1}{6.28 \times 10^{-4}}$
$f = \frac{10^4}{6.28} \approx 1592.36\,Hz$
$f \approx 1.59\,kHz$

(B) दिया गया है: $L = \frac{100}{\pi} \times 10^{-3} \text{ H}$,$C = \frac{10^{-3}}{\pi} \text{ F}$,$R = 10 \ \Omega$,$f = 50 \text{ Hz}$.
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L$ की गणना करें:
$X_L = \omega L = 2\pi f L = 2\pi \times 50 \times \frac{100}{\pi} \times 10^{-3} = 100 \times 100 \times 10^{-3} = 10 \ \Omega$.
इसके बाद,धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C$ की गणना करें:
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times \frac{10^{-3}}{\pi}} = \frac{1}{100 \times 10^{-3}} = \frac{1}{0.1} = 10 \ \Omega$.
चूंकि $X_L = X_C$,परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
अनुनाद पर,प्रतिबाधा (impedance) $Z = R = 10 \ \Omega$ होती है।
अतः,शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{10}{10} = 1$।

(C) श्रेणी $LCR$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
अनुनाद आवृत्ति को अपरिवर्तित रखने के लिए,$\omega' = \omega$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $L'C' = LC$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि नई धारिता $C' = 4C$ है,इसलिए समीकरण में मान रखने पर: $L'(4C) = LC$।
$L'$ के लिए हल करने पर,हमें $L' = \frac{L}{4}$ प्राप्त होता है।
प्रेरकत्व में परिवर्तन $\Delta L = L - L' = L - \frac{L}{4} = \frac{3L}{4}$ है।
अतः,प्रेरकत्व को $\frac{3}{4} L$ कम किया जाना चाहिए।

(B) अधिकतम धारा के लिए,परिपथ को अनुनाद (resonance) में होना चाहिए।
अनुनादी आवृत्ति का सूत्र:
$f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L \times C}}$
दिए गए मान:
$L = 100 \ mH = 0.1 \ H$
$C = 2.5 \ nF = 2.5 \times 10^{-9} \ F$
सूत्र में मान रखने पर:
$f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{0.1 \times 2.5 \times 10^{-9}}}$
$f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{25 \times 10^{-11}}}$
गणना करने पर:
$f_0 = 10 \times 10^3 \ Hz$.

(B) अनुनाद पर,$LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है,अर्थात $Z = R$ होता है।
अनुनाद पर धारा का आयाम $I$,$I = \frac{V}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ शिखर वोल्टेज है।
जब प्रतिरोध $R$ को आधा कर दिया जाता है,तो नया प्रतिरोध $R' = \frac{R}{2}$ हो जाता है।
नया धारा आयाम $I'$ होगा: $I' = \frac{V}{R'} = \frac{V}{R/2} = 2 \left( \frac{V}{R} \right) = 2I$।
अतः,धारा का आयाम मूल मान का दुगुना हो जाता है।

(B) दिया गया है: $V_0 = 45 \text{ V}$, $L = 50 \times 10^{-3} \text{ H}$, $\omega_0 = 10^5 \text{ rad/s}$.
अनुनाद पर, $\omega_0 = 1/\sqrt{LC} \Rightarrow C = 1/(L \omega_0^2) = 1/(50 \times 10^{-3} \times 10^{10}) = 2 \times 10^{-9} \text{ F}$.
जब $\omega = 8 \times 10^4 \text{ rad/s}$ है, तब $I = 0.05 I_0 = I_0/20$. चूंकि $I = V_0/Z$ और $I_0 = V_0/R$, इसलिए $Z = 20R$.
$X_L = \omega L = 8 \times 10^4 \times 50 \times 10^{-3} = 4000 \text{ } \Omega$.
$X_C = 1/(\omega C) = 1/(8 \times 10^4 \times 2 \times 10^{-9}) = 6250 \text{ } \Omega$.
$Z^2 = R^2 + (X_C - X_L)^2 \Rightarrow (20R)^2 = R^2 + (6250 - 4000)^2$.
$399 R^2 = (2250)^2 \Rightarrow R = 2250 / \sqrt{399} \approx 2250 / 19.97 \approx 112.6 \text{ } \Omega$.
$R \approx 112.5 \text{ } \Omega$ का उपयोग करने पर, $I_0 = V_0/R = 45 / 112.5 = 0.4 \text{ A} = 400 \text{ mA}$. अतः $P \rightarrow 3$.
क्वालिटी फैक्टर $Q = (1/R) \sqrt{L/C} = (1/112.5) \sqrt{50 \times 10^{-3} / 2 \times 10^{-9}} = (1/112.5) \times 5000 \approx 44.4$. अतः $Q \rightarrow 1$.
बैंडविड्थ $\Delta \omega = \omega_0 / Q = 10^5 / 44.4 \approx 2250 \text{ rad/s}$. अतः $R \rightarrow 4$.
अधिकतम शक्ति $P_{max} = I_0^2 R = (0.4)^2 \times 112.5 = 0.16 \times 112.5 = 18 \text{ W}$. अतः $S \rightarrow 2$.
सही मिलान: $P \rightarrow 3, Q \rightarrow 1, R \rightarrow 4, S \rightarrow 2$.

(B) अनुनाद (resonance) पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है,इसलिए परिपथ की कुल प्रतिबाधा (impedance) प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है।
प्रारंभ में,धारा का आयाम $I_0 = \frac{\varepsilon_m}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\varepsilon_m$ शिखर emf है।
जब प्रतिरोध $R$ को दोगुना करके $2R$ कर दिया जाता है,तो अनुनाद पर नया धारा आयाम $I_0' = \frac{\varepsilon_m}{2R}$ हो जाता है।
प्रारंभिक व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_0' = \frac{I_0}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ में अधिकतम धारा के लिए,परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में होना चाहिए।
अनुनाद पर,कोणीय आवृत्ति $\omega$ का सूत्र $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
दिया गया है: $L = 100 \ \text{mH} = 100 \times 10^{-3} \ \text{H} = 0.1 \ \text{H}$ और $C = 25 \ \text{nF} = 25 \times 10^{-9} \ \text{F}$।
मान रखने पर:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{0.1 \times 25 \times 10^{-9}}}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{25 \times 10^{-10}}}$
$\omega = \frac{1}{5 \times 10^{-5}}$
$\omega = 0.2 \times 10^5 \ \text{rad s}^{-1} = 2 \times 10^4 \ \text{rad s}^{-1}$।
अतः,मान $2$ है।