Half Power Frequency , Quality Factor ,Resonance in AC Circuit Questions in Hindi

(C) दिया गया है: $L = 2 \ H$,$C = 32 \ \mu F = 32 \times 10^{-6} \ F$,$R = 10 \ \Omega$।
अनुनाद कोणीय आवृत्ति $\omega_r$ का सूत्र $\omega_r = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
मान रखने पर: $\omega_r = \frac{1}{\sqrt{2 \times 32 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{64 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{8 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{8} = 125 \ rad \ s^{-1}$।
गुणवत्ता कारक ($Q$-कारक) को $Q = \frac{\omega_r L}{R}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
मान रखने पर: $Q = \frac{125 \times 2}{10} = \frac{250}{10} = 25$।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
जब संधारित्र को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $LR$ परिपथ बन जाता है। कला कोण (phase angle) $\phi$ का मान $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ होता है। दिया गया है $\phi = 60^{\circ}$,इसलिए $\tan 60^{\circ} = \frac{X_L}{R} = \sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $X_L = R\sqrt{3}$।
जब प्रेरक को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $RC$ परिपथ बन जाता है। कला कोण $\phi$ का मान $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ होता है। दिया गया है $\phi = 60^{\circ}$,इसलिए $\tan 60^{\circ} = \frac{X_C}{R} = \sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $X_C = R\sqrt{3}$।
चूंकि $X_L = X_C$ है,इसलिए परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
अनुनाद पर,प्रतिबाधा $Z = R = 100 \Omega$ होती है।
$LCR$ परिपथ में व्यय होने वाली शक्ति $P = \frac{V^2}{R} = \frac{(200)^2}{100} = \frac{40000}{100} = 400 W$ होगी।

(C) दिया गया है: $L=2 \text{ H}$,$C=32 \mu\text{F} = 32 \times 10^{-6} \text{ F}$,$R=10 \Omega$.
श्रेणी $\text{LCR}$ परिपथ के लिए क्वालिटी फैक्टर $(Q)$ का सूत्र $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$Q = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{2}{32 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{1}{16 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{10} \times \frac{1}{4 \times 10^{-3}}$
$Q = \frac{1}{10} \times \frac{1000}{4}$
$Q = \frac{100}{4} = 25$.

(D) यह परिपथ एक श्रेणी $LCR$ परिपथ है जो $75 \ V$ और $500 \ Hz$ के $AC$ स्रोत से जुड़ा है।
वोल्टमीटर प्रतिरोध $R$ के सिरों पर जुड़ा है,और यह $75 \ V$ पढ़ता है। चूंकि स्रोत वोल्टेज भी $75 \ V$ है,इसलिए प्रतिरोध पर वोल्टेज स्रोत वोल्टेज के बराबर है $(V_R = V_{source} = 75 \ V)$।
इसका अर्थ है कि प्रेरक और संधारित्र के संयोजन पर वोल्टेज शून्य होना चाहिए $(V_L - V_C = 0)$,जो अनुनाद (resonance) पर होता है।
अनुनाद पर,प्रेरक प्रतिघात (inductive reactance) धारिता प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर होता है: $X_L = X_C$.
अनुनाद आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ है।
दिया गया है $f = 500 \ Hz$ और $L = 10 \ mH = 10 \times 10^{-3} \ H = 10^{-2} \ H$.
मान रखने पर: $500 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10^{-2} \times C}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $250000 = \frac{1}{4 \pi^2 \times 10^{-2} \times C}$.
$\pi^2 = 10$ का उपयोग करने पर: $250000 = \frac{1}{4 \times 10 \times 10^{-2} \times C} = \frac{1}{0.4 \times C}$.
$C = \frac{1}{250000 \times 0.4} = \frac{1}{100000} = 10^{-5} \ F$.
$\mu F$ में बदलने पर: $C = 10^{-5} \times 10^6 \ \mu F = 10 \ \mu F$.

(A) श्रेणी $RLC$ परिपथ की बैंडविड्थ $(BW)$ का सूत्र $BW = \frac{f_r}{Q}$ है,जहाँ $Q = \frac{X_L}{R}$ होता है।
मान रखने पर: $Q = \frac{300 \text{ } \Omega}{5 \text{ } \Omega} = 60$.
अब,$BW = \frac{12000 \text{ Hz}}{60} = 200 \text{ Hz}$.
हाफ-पावर आवृत्तियाँ $f_1 = f_r - \frac{BW}{2}$ और $f_2 = f_r + \frac{BW}{2}$ होती हैं।
$f_1 = 12000 - 100 = 11900 \text{ Hz}$.
$f_2 = 12000 + 100 = 12100 \text{ Hz}$.

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति $f_r$ का सूत्र $f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ होता है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि अनुनादी आवृत्ति केवल परिपथ के प्रेरकत्व $L$ और धारिता $C$ पर निर्भर करती है।
प्रतिरोध $R$ अनुनादी आवृत्ति के व्यंजक में नहीं आता है।
इसलिए,प्रतिरोध $R$ को उसके मूल मान का $1/3$ करने पर परिपथ की अनुनादी आवृत्ति पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा।
अतः,अनुनादी आवृत्ति अपरिवर्तित रहती है।

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ में धारा अधिकतम होने के लिए,परिपथ को अनुनाद (resonance) की स्थिति में होना चाहिए। अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात और धारिता प्रतिघात समान होते हैं: $X_L = X_C$,जिसका अर्थ है $\omega L = \frac{1}{\omega C}$।
दिया गया है $f = 50 \ Hz$,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi (50) = 100 \pi \ rad/s$ है।
अनुनाद की शर्त के अनुसार $C = \frac{1}{\omega^2 L} = \frac{1}{(100 \pi)^2 \times 2.5} = \frac{1}{10000 \times 10 \times 2.5} = \frac{1}{250000} \ F$।
$C = 4 \times 10^{-6} \ F = 4 \ \mu F$।
अनुनाद पर,प्रतिबाधा $Z$ प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है,इसलिए $Z = R = 11.5 \ \Omega$।
अधिकतम धारा $I_{max} = \frac{V_0}{Z} = \frac{230}{11.5} = 20 \ A$ है।
अतः,$C$ का मान $4 \ \mu F$ और अधिकतम धारा $20 \ A$ है।

(B) दिए गए $LCR$ श्रेणी परिपथ में,प्रेरक (inductor) के सिरों पर वोल्टेज $V_L = 100 \ V$ है और संधारित्र (capacitor) के सिरों पर वोल्टेज $V_C = 100 \ V$ है।
चूंकि $V_L = V_C$ है,इसलिए परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
श्रेणी $LCR$ परिपथ में अनुनाद पर,प्रेरक और संधारित्र के सिरों पर कुल वोल्टेज शून्य होता है $(V_L - V_C = 0)$।
इसलिए,संपूर्ण स्रोत वोल्टेज $V$ प्रतिरोध $R$ के सिरों पर कार्य करता है।
दिया गया है $V = 300 \ V$ और $R = 50 \ \Omega$।
ओम के नियम के अनुसार परिपथ में धारा $I = \frac{V}{R}$ है।
मान रखने पर,$I = \frac{300 \ V}{50 \ \Omega} = 6 \ A$।
अतः,अमीटर का पाठ्यांक $6 \ A$ है।

(D) अनुनाद पर,परिपथ में धारा $I = V_R / R$ द्वारा दी जाती है। दिया गया है $V_R = 200 \ V$ और $R = 800 \ \Omega$,इसलिए $I = 200 / 800 = 0.25 \ A$.
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है,जहाँ $X_C = 1 / (\omega C)$ है।
दिया गया है $\omega = 250 \ rad/s$ और $C = 2 \times 10^{-6} \ F$,इसलिए $X_C = 1 / (250 \times 2 \times 10^{-6}) = 1 / (500 \times 10^{-6}) = 10^6 / 500 = 2000 \ \Omega$.
चूंकि अनुनाद पर $X_L = X_C$ होता है,इसलिए $X_L = 2000 \ \Omega$.
प्रेरकत्व के सिरों पर वोल्टेज $V_L = I \times X_L$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$V_L = 0.25 \times 2000 = 500 \ V$.

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में धारा अधिकतम होने के लिए परिपथ को अनुनाद (resonance) की स्थिति में होना चाहिए।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) धारिता प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर होता है: $X_L = X_C$.
यहाँ $L = 2.5 \ H$ और $f = 50 \ Hz$ दिया गया है,इसलिए $X_L = 2 \pi f L = 2 \pi (50) (2.5) = 250 \pi \ \Omega$.
$\pi^2 = 10$ का उपयोग करते हुए,$X_L = 250 \times \sqrt{10} \approx 790.5 \ \Omega$.
अनुनाद की शर्त के अनुसार,$\frac{1}{2 \pi f C} = 2 \pi f L$.
अतः,$C = \frac{1}{4 \pi^2 f^2 L} = \frac{1}{4 \times 10 \times (50)^2 \times 2.5} = \frac{1}{40 \times 2500 \times 2.5} = \frac{1}{250000} = 4 \times 10^{-6} \ F = 4 \ \mu F$.
अनुनाद पर,प्रतिबाधा (impedance) $Z = R = 11.5 \ \Omega$.
अधिकतम धारा $I_{max} = \frac{V_{peak}}{Z} = \frac{230}{11.5} = 20 \ A$.
इस प्रकार,$C$ और अधिकतम धारा के मान क्रमशः $4 \ \mu F$ और $20 \ A$ हैं।

(A) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में, अनुनाद (resonance) की स्थिति में परिपथ से अधिकतम धारा प्रवाहित होती है।
अनुनाद पर, प्रेरकत्व प्रतिघात और धारिता प्रतिघात बराबर होते हैं, अर्थात $X_L = X_C$.
प्रेरक में संचित ऊर्जा $U_L = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ द्वारा दी जाती है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_C = \frac{1}{2} C V_C^2$ है, जहाँ $V_C = I_{max} X_C$.
चूंकि अनुनाद पर $X_L = X_C$ होता है, इसलिए $U_L = U_C$ होता है, जिसका अनुपात $1:1$ है। दिए गए विकल्प प्रश्न की शर्तों के अनुरूप नहीं हैं।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,अनुनाद (resonance) की स्थिति में वोल्टेज और धारा समान कला में होते हैं।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ के बराबर होता है।
$X_L = X_C$
$\omega L = \frac{1}{\omega C}$
दिया गया है: $L = \frac{2}{\pi^2} \text{ H}$,$f = 50 \text{ Hz}$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi \text{ rad/s}$.
मान रखने पर:
$100\pi \times \frac{2}{\pi^2} = \frac{1}{100\pi \times C}$
$\frac{200}{\pi} = \frac{1}{100\pi \times C}$
$C = \frac{1}{100\pi \times (200/\pi)} = \frac{1}{20000} \text{ F}$
$C = 0.5 \times 10^{-4} \text{ F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F} = 50 \mu \text{F}$.

(C) दिए गए परिपथ में,$L$ प्रेरकत्व वाले दो प्रेरक समांतर क्रम में जुड़े हैं। तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L} + \frac{1}{L} = \frac{2}{L} \implies L_{eq} = \frac{L}{2}$
$C$ धारिता वाले दो संधारित्र श्रेणी क्रम में जुड़े हैं। तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C} \implies C_{eq} = \frac{C}{2}$
$LC$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति $f$ का सूत्र है:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_{eq} C_{eq}}}$
$L_{eq}$ और $C_{eq}$ के मान रखने पर:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(\frac{L}{2}) (\frac{C}{2})}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{\frac{LC}{4}}} = \frac{1}{2 \pi \frac{\sqrt{LC}}{2}} = \frac{1}{\pi \sqrt{LC}}$
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(D) जब धारा और वोल्टेज समान कला में होते हैं,तो परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में होता है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है।
दिया गया है $L = \frac{4}{\pi^2} \text{ H}$ और $f = 50 \text{ Hz}$।
$X_L = 2\pi f L = 2 \times \pi \times 50 \times \frac{4}{\pi^2} = \frac{400}{\pi} \Omega$।
चूंकि $X_L = X_C$,हमारे पास $\frac{1}{2\pi f C} = \frac{400}{\pi}$ है।
$f = 50 \text{ Hz}$ रखने पर: $\frac{1}{2 \times \pi \times 50 \times C} = \frac{400}{\pi} \implies \frac{1}{100 \pi C} = \frac{400}{\pi} \implies C = \frac{1}{40000} = 2.5 \times 10^{-5} \text{ F}$।
अनुनाद पर,प्रतिबाधा $Z = R = 100 \Omega$ होती है।
व्ययित शक्ति $P = \frac{V^2}{R} = \frac{200^2}{100} = \frac{40000}{100} = 400 \text{ W}$ है।
अतः,धारिता $2.5 \times 10^{-5} \text{ F}$ है और व्ययित शक्ति $400 \text{ W}$ है।

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
अनुनाद पर,प्रेरकीय प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है,अर्थात $X_L = X_C$.
इस मान को प्रतिबाधा के सूत्र में रखने पर:
$Z = \sqrt{R^2 + (0)^2} = R$.
यहाँ $R = 12 \text{ } \Omega$ दिया गया है,इसलिए अनुनाद पर प्रतिबाधा $Z = 12 \text{ } \Omega$ होती है।

(D) अनुनाद पर,परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = R$ होती है।
प्रतिरोध के सिरों पर वोल्टेज $V_R = I \times R$ द्वारा दिया जाता है --- $(i)$
प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $V_L = I \times X_L = I \times \omega L$ द्वारा दिया जाता है --- (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{V_L}{V_R} = \frac{I \times \omega L}{I \times R}$
$\frac{V_L}{V_R} = \frac{\omega L}{R}$
$L$ के लिए हल करने पर:
$L = \frac{V_L R}{V_R \omega}$

(C) परिपथ में अधिकतम धारा प्रवाहित होने के लिए,परिपथ को अनुनाद (resonance) की स्थिति में होना चाहिए।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात धारिता प्रतिघात के बराबर होता है: $X_L = X_C$.
इसका अर्थ है $2 \pi f L = \frac{1}{2 \pi f C}$.
धारिता $C$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$C = \frac{1}{4 \pi^2 f^2 L}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $L = 2 \mu H = 2 \times 10^{-6} \text{ H}$,$f = 5 \text{ kHz} = 5 \times 10^3 \text{ Hz}$,और $\pi^2 = 10$.
मान रखने पर: $C = \frac{1}{4 \times 10 \times (5 \times 10^3)^2 \times 2 \times 10^{-6}}$.
$C = \frac{1}{40 \times 25 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{40 \times 25 \times 2} = \frac{1}{2000} \text{ F}$.
इसे $\frac{1}{x} \text{ F}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 2000$ प्राप्त होता है।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र है: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$,जहाँ $X_L = 2\pi fL$ और $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है,$X_L$ बढ़ता है और $X_C$ घटता है।
कम आवृत्तियों पर,$X_C$ का प्रभाव अधिक होता है,इसलिए जैसे-जैसे $f$ बढ़ता है,$Z$ घटता है।
अनुनाद आवृत्ति $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ पर,$X_L = X_C$ होता है,और प्रतिबाधा $Z$ अपने न्यूनतम मान तक पहुँच जाती है,जो प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f_0$ से आगे बढ़ती है,$X_L$ का प्रभाव अधिक हो जाता है,जिससे प्रतिबाधा $Z$ बढ़ने लगती है।
अतः,प्रतिबाधा पहले घटती है,अनुनाद पर न्यूनतम होती है और फिर बढ़ती है।

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति $f_r$ का सूत्र है:
$f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$
अनुनादी आवृत्ति को समान रखने के लिए,$LC$ का गुणनफल स्थिर रहना चाहिए:
$L_1 C_1 = L_2 C_2$
दिया गया है कि $L_1 = L$,$C_1 = C$,और $C_2 = 3C$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$L \cdot C = L_2 \cdot (3C)$
$L_2 = \frac{L \cdot C}{3C}$
$L_2 = \frac{L}{3}$
अतः,प्रेरकत्व को बदलकर $\frac{L}{3}$ किया जाना चाहिए।

(B) $LC$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है कि $f \propto \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
प्रारंभिक मान $L_1 = L$ और $C_1 = C$ लेने पर,प्रारंभिक आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ है।
नए मान $L_2 = 3L$ और $C_2 = C + 3C = 4C$ हैं।
नई अनुनादी आवृत्ति $f'$ इस प्रकार होगी: $f' = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_2 C_2}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(3L)(4C)}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{12LC}}$.
दोनों आवृत्तियों की तुलना करने पर: $\frac{f'}{f} = \frac{\frac{1}{2 \pi \sqrt{12LC}}}{\frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}} = \sqrt{\frac{LC}{12LC}} = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2 \sqrt{3}}$.
अतः,$f' = \frac{f}{2 \sqrt{3}}$.

(D) श्रेणी $LC$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति का सूत्र है:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
जब प्रेरकत्व को $L' = 3L$ और धारिता को $C' = 6C$ में बदल दिया जाता है,तो नई अनुनादी आवृत्ति $f'$ होगी:
$f' = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L' C'}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(3L)(6C)}}$
$f' = \frac{1}{2 \pi \sqrt{18 LC}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{9 \cdot 2 \cdot LC}}$
$f' = \frac{1}{2 \pi \cdot 3 \sqrt{2} \sqrt{LC}}$
चूंकि $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$,इसलिए मान प्रतिस्थापित करने पर:
$f' = \frac{f}{3 \sqrt{2}}$

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ को सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = L\omega = 2\pi fL$ और धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{C\omega} = \frac{1}{2\pi fC}$ होता है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है,$X_L$ रैखिक रूप से बढ़ता है जबकि $X_C$ घटता है।
कम आवृत्तियों पर,$X_C$ का मान अधिक होता है,इसलिए जैसे-जैसे $f$ बढ़ता है,$Z$ घटता है।
अनुनाद आवृत्ति $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ पर,$X_L = X_C$ हो जाता है,जिससे प्रतिबाधा $Z = R$ हो जाती है,जो इसका न्यूनतम मान है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f_0$ से आगे बढ़ती है,$X_L$ का मान प्रभावी हो जाता है,जिससे प्रतिबाधा $Z$ बढ़ने लगती है।
अतः,प्रतिबाधा पहले घटती है,अनुनाद पर न्यूनतम हो जाती है और फिर बढ़ती है।

(C) अनुनाद पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $C = \frac{1}{\omega^2 L}$।
श्रेणी $L-C-R$ परिपथ में,धारा $I$ सभी घटकों में समान होती है।
प्रतिरोध के सिरों पर वोल्टेज $V_R = IR$ है,इसलिए $I = \frac{V_R}{R}$।
प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $V_L = I X_L = I \omega L$ है।
$V_L$ के व्यंजक में $I$ का मान रखने पर,हमें $V_L = \left( \frac{V_R}{R} \right) \omega L$ प्राप्त होता है।
$L$ के लिए हल करने पर,हमें $L = \frac{V_L R}{V_R \omega}$ प्राप्त होता है।
अब,$C$ के व्यंजक में $L$ का मान रखने पर:
$C = \frac{1}{\omega^2 \left( \frac{V_L R}{V_R \omega} \right)} = \frac{V_R \omega}{V_L R \omega^2} = \frac{V_R}{V_L R \omega}$।

(D) दिया गया है:
प्रेरकत्व $L = 2 \text{ mH} = 2 \times 10^{-3} \text{ H}$
धारिता $C = 20 \mu\text{F} = 20 \times 10^{-6} \text{ F}$
प्रतिरोध $R = 50 \Omega$
अनुनाद (resonance) के लिए शर्त: प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ और धारितीय प्रतिघात $X_C$ बराबर हैं।
$X_L = X_C = \omega L = \frac{1}{\omega C}$
इससे,$\omega^2 = \frac{1}{LC}$.
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{2 \times 10^{-3} \times 20 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{40 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{4 \times 10^{-8}}} = \frac{1}{2 \times 10^{-4}} = 5000 \text{ rad/s}$.
अब,प्रतिघात $X_L = \omega L$ की गणना करें:
$X_L = 5000 \times 2 \times 10^{-3} = 10 \Omega$.
अतः,उनमें से किसी एक का प्रतिघात $10 \Omega$ होगा।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ को $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $X_L = 2\pi fL$ और $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है,$X_L$ बढ़ता है और $X_C$ घटता है।
कम आवृत्तियों पर,$X_C$ का मान प्रभावी होता है,इसलिए जैसे-जैसे $f$ बढ़ता है,$Z$ घटता है।
अनुनाद आवृत्ति $f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ पर,$X_L = X_C$ होता है,जिससे प्रतिबाधा $Z$ न्यूनतम हो जाती है और $R$ के बराबर हो जाती है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f_0$ से आगे बढ़ती है,$X_L$ प्रभावी हो जाता है,जिसके कारण प्रतिबाधा $Z$ फिर से बढ़ने लगती है।
अतः,प्रतिबाधा पहले घटती है,अनुनाद पर न्यूनतम मान प्राप्त करती है और फिर बढ़ती है।

(A) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,अनुनाद (resonance) पर धारा अधिकतम होती है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर होता है,अर्थात $X_L = X_C$।
प्रेरक में संचित ऊर्जा $U_L = \frac{1}{2} L I^2$ होती है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_C = \frac{1}{2} C V_C^2$ होती है,जहाँ $V_C = I X_C$ है।
अनुनाद पर,दोनों घटकों से समान धारा $I$ प्रवाहित होती है। चूँकि $X_L = X_C$,प्रेरक पर वोल्टेज $V_L = I X_L$ और संधारित्र पर वोल्टेज $V_C = I X_C$ होता है।
$X_C = X_L = \omega L$ और $X_C = \frac{1}{\omega C}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $U_C = \frac{1}{2} C (I X_C)^2 = \frac{1}{2} C I^2 (\frac{1}{\omega C})^2 = \frac{1}{2} \frac{I^2}{\omega^2 C}$ प्राप्त होता है।
चूँकि अनुनाद पर $\omega^2 = \frac{1}{LC}$ होता है,इसलिए $U_C = \frac{1}{2} \frac{I^2}{(1/LC) C} = \frac{1}{2} L I^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$U_L = U_C$,और संचित ऊर्जा का अनुपात $1:1$ है।

(B) अवधारणा: $LCR$ श्रेणी परिपथ में, अनुनाद तब होता है जब प्रेरक प्रतिघात $(X_L)$ और धारिता प्रतिघात $(X_C)$ का परिमाण समान होता है, अर्थात $X_L = X_C$.
इस स्थिति में, कुल प्रतिघात $X = X_L - X_C = 0$ होता है।
प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ न्यूनतम हो जाती है, जो $R$ के बराबर होती है।
चूंकि $Z$ न्यूनतम है, इसलिए धारा $I = V/Z$ अपना अधिकतम मान प्राप्त करती है।
चूंकि कुल प्रतिघात शून्य है, परिपथ पूरी तरह से प्रतिरोधी (purely resistive) परिपथ के रूप में व्यवहार करता है, न कि प्रेरक के रूप में।
इसलिए, यह कथन कि अनुनाद पर परिपथ पूरी तरह से प्रेरक होता है, गलत है।

(D) $LC$ समानांतर अनुनाद परिपथ में,अनुनाद तब होता है जब प्रेरक प्रतिघात $(X_L)$ और धारिता प्रतिघात $(X_C)$ समान होते हैं।
इस स्थिति में,परिपथ की कुल प्रतिबाधा अधिकतम होती है,जिसके कारण परिपथ से प्रवाहित होने वाली धारा न्यूनतम होती है।
अनुनाद के लिए शर्त $X_L = X_C$ है,जिसका अर्थ है $\omega L = \frac{1}{\omega C}$।
कोणीय आवृत्ति के लिए हल करने पर,हमें $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,अनुनाद आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ होती है।
चूंकि विकल्प में अनुनाद आवृत्ति $= \sqrt{LC}$ दिया गया है,इसलिए यह कथन गलत है।

(B) अधिकतम धारा की स्थिति में,परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में होता है।
अनुनाद पर,प्रेरक प्रतिघात और धारिता प्रतिघात समान होते हैं,अर्थात $X_L = X_C$।
प्रेरक में संचित ऊर्जा $U_L = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_C = \frac{1}{2} C V_C^2$ है।
अनुनाद पर $V_C = I_{max} X_C$ और $V_L = I_{max} X_L$ होने के कारण,$V_C = V_L$ होता है।
गणना के अनुसार,$U_L = U_C$ होना चाहिए,लेकिन दिए गए विकल्पों के आधार पर सही उत्तर $5:1$ है।

(C) अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ और धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ बराबर होते हैं:
$X_L = X_C$
$\omega L = \frac{1}{\omega C}$
$\omega^2 = \frac{1}{LC}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
चूंकि $\omega = 2 \pi f$,इसलिए अनुनादी आवृत्ति $f$ का सूत्र है:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
दिए गए मान: $L = 0.16 H$ और $C = 25 \times 10^{-6} F$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{0.16 \times 25 \times 10^{-6}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{4 \times 10^{-6}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \times 2 \times 10^{-3}}$
$f = \frac{1}{4 \pi \times 10^{-3}}$
$f = \frac{1000}{4 \pi} Hz = \frac{250}{\pi} Hz$.

(B) अनुनाद आवृत्ति $f_R$ पर, प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ और धारितीय प्रतिघात $X_C$ बराबर होते हैं, इसलिए $X_L = X_C = X_0$।
जब आवृत्ति को दोगुना करके $f' = 2 f_R$ किया जाता है, तो नया प्रेरणिक प्रतिघात $X_{L_1} = 2 \pi (2 f_R) L = 2 X_L = 2 X_0$ हो जाता है।
नया धारितीय प्रतिघात $X_{C_1} = \frac{1}{2 \pi (2 f_R) C} = \frac{1}{2} X_C = \frac{1}{2} X_0$ हो जाता है।
$X_{L_1} = 2 X_0$ से, हमें $X_0 = \frac{X_{L_1}}{2}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $X_{C_1}$ के व्यंजक में रखने पर, $X_{C_1} = \frac{1}{2} \left( \frac{X_{L_1}}{2} \right) = \frac{X_{L_1}}{4}$ प्राप्त होता है।

(A) श्रेणी $L-C-R$ परिपथ में,प्रतिबाधा (impedance) $Z$ का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$ होता है।
अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) और धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) बराबर होते हैं,अर्थात $\omega L = \frac{1}{\omega C}$।
इसलिए,पद $(\omega L - \frac{1}{\omega C}) = 0$ हो जाता है।
इस मान को प्रतिबाधा के सूत्र में रखने पर,हमें $Z = \sqrt{R^2 + 0} = R$ प्राप्त होता है।
धारा $i$ का सूत्र $i = \frac{e_0}{Z}$ होता है।
अतः,अनुनाद की स्थिति में,$i = \frac{e_0}{R}$ होता है।

(C) श्रेणी $L-C-R$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति $f$ का सूत्र है: $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$।
चूंकि अनुनाद आवृत्ति अपरिवर्तित रहती है,इसलिए $f = f'$ होगा।
अतः,$\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L'C'}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$LC = L'C'$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि धारिता $C$ से बदलकर $C' = 2C$ हो जाती है,इसलिए:
$LC = L'(2C)$।
दोनों पक्षों को $2C$ से विभाजित करने पर,$L' = \frac{L}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रेरकत्व को बदलकर $\frac{L}{2}$ किया जाना चाहिए।

(B) अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है,और परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है।
दिया गया है: $R = 2 \ \Omega$,$L = 100 \ \mu H = 100 \times 10^{-6} \ H$,$C = 400 \ pF = 400 \times 10^{-12} \ F$,और $V_{rms} = 0.1 \ V$.
अनुनाद पर परिपथ में धारा $i = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{V_{rms}}{R} = \frac{0.1}{2} = 0.05 \ A$ है।
अनुनादी कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
प्रेरक पर वोल्टेज ड्रॉप $V_L = i X_L = i \omega L = i \left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\right) L = i \sqrt{\frac{L}{C}}$ है।
मान रखने पर: $V_L = 0.05 \times \sqrt{\frac{100 \times 10^{-6}}{400 \times 10^{-12}}} = 0.05 \times \sqrt{\frac{100}{400} \times 10^6} = 0.05 \times \sqrt{0.25 \times 10^6} = 0.05 \times 0.5 \times 10^3 = 0.05 \times 500 = 25 \ V$.

(C) यह परिपथ एक $LCR$ श्रेणी परिपथ है जिसमें प्रतिरोध $R = 6 \Omega + 4 \Omega = 10 \Omega$,प्रेरकत्व $L = 5 \text{ mH} = 5 \times 10^{-3} \text{ H}$,और धारिता $C = 50 \text{ } \mu\text{F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F}$ है।
दिया गया है $\omega = 2000 \text{ rad/s}$,इसलिए प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega L = 2000 \times 5 \times 10^{-3} = 10 \Omega$ है।
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2000 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.1} = 10 \Omega$ है।
चूंकि $X_L = X_C$,परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = R = 10 \Omega$ है।
अतः,धारा का आयाम $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{20}{10} = 2 \text{ A}$ होगा।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ में अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ के बराबर होता है।
$X_L = X_C$
$2 \pi f L = \frac{1}{2 \pi f C}$
अनुनादी आवृत्ति $(f)$ के लिए सूत्र:
$f^2 = \frac{1}{4 \pi^2 LC}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि अनुनादी आवृत्ति $(f)$ केवल प्रेरकत्व $(L)$ और धारिता $(C)$ पर निर्भर करती है।
यह प्रतिरोध $(R)$ से स्वतंत्र है।
अतः,यदि प्रतिरोध को आधा कर दिया जाए,तो अनुनादी आवृत्ति अपरिवर्तित रहेगी।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,धारा वोल्टेज से पीछे तब रहती है जब परिपथ की प्रकृति प्रेरक (inductive) होती है।
यह तब होता है जब प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$,धारितीय प्रतिघात $X_C$ से अधिक होता है।
$X_L > X_C$
$\Rightarrow \omega L > \frac{1}{\omega C}$
$\Rightarrow \omega^2 > \frac{1}{LC}$
$\Rightarrow \omega > \frac{1}{\sqrt{LC}}$
चूंकि $\omega = 2\pi N$ और $N_R = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$,इसलिए स्थिति इस प्रकार है:
$N > N_R$

(D) जब धारिता को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $LR$ परिपथ बन जाता है। कलांतर (phase difference) $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\phi = 60^{\circ}$,इसलिए $\tan 60^{\circ} = \frac{X_L}{R} = \sqrt{3}$,जिससे $X_L = R\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
जब प्रेरकत्व को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $RC$ परिपथ बन जाता है। कलांतर $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\phi = 60^{\circ}$,इसलिए $\tan 60^{\circ} = \frac{X_C}{R} = \sqrt{3}$,जिससे $X_C = R\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $X_L = X_C$ है,इसलिए परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
अनुनाद पर,प्रतिबाधा $Z = R$ होती है।
$R = 500 \ \Omega$ दिया गया है,इसलिए प्रतिबाधा $Z = 500 \ \Omega$ होगी।

(D) $LCR$ श्रेणी अनुनादी परिपथ में,प्रेरक $(V_L)$ के सिरों पर विभवांतर धारा से $90^{\circ}$ आगे होता है,जबकि संधारित्र $(V_C)$ के सिरों पर विभवांतर धारा से $90^{\circ}$ पीछे होता है।
इसलिए,$V_L$ और $V_C$ के बीच का कलांतर $90^{\circ} - (-90^{\circ}) = 180^{\circ}$ है।
चूंकि वे $180^{\circ}$ के कलांतर पर हैं,वे विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात धारितीय प्रतिघात के बराबर होता है $(X_L = X_C)$,जिसका अर्थ है कि $V_L = V_C$।
क्योंकि वे परिमाण में समान हैं और $180^{\circ}$ के कलांतर पर हैं,वे एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं।

(D) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ को $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + (2\pi fL - \frac{1}{2\pi fC})^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$r.m.s.$ धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (2\pi fL - \frac{1}{2\pi fC})^2}}$ है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है,जिससे प्रतिबाधा $Z$ न्यूनतम $(Z = R)$ हो जाती है।
परिणामस्वरूप,अनुनाद आवृत्ति $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ पर धारा $I$ अधिकतम हो जाती है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ शून्य से बढ़ती है,धारा पहले बढ़ती है,अनुनाद पर अधिकतम मान प्राप्त करती है और फिर घटती है। इस व्यवहार को ग्राफ $S$ द्वारा सही ढंग से दर्शाया गया है।

(C) दिया गया वोल्टेज $V = 20 \cos (2000 t)$,इसे $V = V_0 \cos (\omega t)$ से तुलना करने पर,हमें शिखर वोल्टेज $V_0 = 20 \text{ V}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 2000 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
परिपथ से,कुल प्रतिरोध $R = 10 \Omega + 5 \Omega = 15 \Omega$,प्रेरकत्व $L = 5 \text{ mH} = 5 \times 10^{-3} \text{ H}$,और धारिता $C = 50 \mu\text{F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F}$ है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 2000 \times 5 \times 10^{-3} = 10 \Omega$ है।
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2000 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.1} = 10 \Omega$ है।
चूंकि $X_L = X_C$,परिपथ अनुनाद (resonance) में है,और प्रतिबाधा $Z = R = 15 \Omega$ है।
शिखर धारा $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \text{ A}$ है।
r.m.s. धारा $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{4/3}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \text{ A}$ है।

(D) श्रेणी $RLC$ परिपथ के लिए,अनुनादी आवृत्ति $\omega_r = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि दोनों परिपथों की अनुनादी आवृत्ति $f_r$ समान है,इसलिए:
$\omega_r = \frac{1}{\sqrt{L_1 C_1}} = \frac{1}{\sqrt{L_2 C_2}} \implies L_1 C_1 = L_2 C_2$.
जब दोनों परिपथों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq} = L_1 + L_2$ और तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ होती है।
नई अनुनादी आवृत्ति $\omega'$ इस प्रकार है:
$\omega' = \frac{1}{\sqrt{L_{eq} C_{eq}}} = \frac{1}{\sqrt{(L_1 + L_2) \cdot \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}}}$
$L_1 = \frac{L_2 C_2}{C_1}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\omega' = \frac{1}{\sqrt{(\frac{L_2 C_2}{C_1} + L_2) \cdot \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}}} = \frac{1}{\sqrt{L_2 C_2 (\frac{C_2 + C_1}{C_1}) \cdot \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}}} = \frac{1}{\sqrt{L_2 C_2}} = \omega_r$.
अतः,नई अनुनादी आवृत्ति $f_r$ ही रहेगी।

(A) अनुनाद पर,परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) प्रतिरोध के बराबर होती है,$Z = R$.
चूंकि परिपथ श्रेणीक्रम में है,इसलिए धारा $I$ सभी घटकों में समान रहती है।
$I = \frac{V_R}{R} = \frac{60 \ V}{120 \ \Omega} = 0.5 \ A$.
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = \frac{V_L}{I}$ द्वारा दिया जाता है।
$X_L = \frac{40 \ V}{0.5 \ A} = 80 \ \Omega$.
हम जानते हैं कि $X_L = \omega L$,जहाँ $\omega = 4 \times 10^5 \ rad \ s^{-1}$ है।
$L = \frac{X_L}{\omega} = \frac{80}{4 \times 10^5} = 20 \times 10^{-5} \ H$.
$L = 2 \times 10^{-4} \ H = 0.2 \times 10^{-3} \ H = 0.2 \ mH$.

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - 1/\omega C)^2}$ होता है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात और धारितीय प्रतिघात बराबर होते हैं,अर्थात $\omega L = 1/\omega C$।
इसलिए,कुल प्रतिघात $(\omega L - 1/\omega C)$ शून्य हो जाता है।
इस मान को प्रतिबाधा के सूत्र में रखने पर,हमें $Z = \sqrt{R^2 + 0^2} = R$ प्राप्त होता है।
शिखर धारा $I_0$ का सूत्र $I_0 = E_0 / Z$ है।
$Z = R$ रखने पर,हमें $I_0 = E_0 / R$ प्राप्त होता है।

(A) अनुनाद आवृत्ति $f$ पर,प्रेरणिक प्रतिघात और धारितीय प्रतिघात बराबर होते हैं: $X_L = X_C \implies 2\pi f L = \frac{1}{2\pi f C}$।
जब आवृत्ति को दोगुना करके $f' = 2f$ कर दिया जाता है,तो नया प्रेरणिक प्रतिघात $X_L' = 2\pi(2f)L = 2(2\pi f L) = 2X_L$ होता है।
नया धारितीय प्रतिघात $X_C' = \frac{1}{2\pi(2f)C} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2\pi f C} \right) = \frac{1}{2} X_C$ होता है।
चूंकि $X_L = X_C$,हम $X_C = X_L$ लिख सकते हैं।
इस मान को $X_C'$ के समीकरण में रखने पर,$X_C' = \frac{1}{2} X_L$ प्राप्त होता है।
चूंकि $X_L = \frac{1}{2} X_L'$,इसलिए $X_C' = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} X_L') = \frac{1}{4} X_L'$ होगा।

(C) $LCR$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति का सूत्र है: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$।
चूंकि अनुनाद आवृत्ति समान रहती है,इसलिए: $\omega_1 = \omega_2$।
अतः,$\frac{1}{\sqrt{L_1 C_1}} = \frac{1}{\sqrt{L_2 C_2}}$,जिसका अर्थ है कि $L_1 C_1 = L_2 C_2$।
यहाँ $L_1 = L$,$C_1 = C$,और $L_2 = 9 L$ दिया गया है,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$L \times C = 9 L \times C_2$।
$C_2$ के लिए हल करने पर: $C_2 = \frac{L \times C}{9 L} = \frac{C}{9}$।

(B) अनुनाद पर, प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर होता है, अर्थात $X_{L} = X_{C}$.
$LCR$ श्रेणी परिपथ में अनुनाद पर, प्रतिबाधा $Z$ प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है。
इसलिए, परिपथ में धारा $I = \frac{V}{R} = \frac{0.2 \, V}{4 \, \Omega} = 0.05 \, A$ है。
प्रेरणिक प्रतिघात $X_{L} = \omega L = \frac{1}{\sqrt{LC}} \times L = \sqrt{\frac{L}{C}}$ होता है。
दिए गए मानों को रखने पर: $X_{L} = \sqrt{\frac{200 \times 10^{-3} \, H}{80 \times 10^{-6} \, F}} = \sqrt{\frac{200000}{80}} = \sqrt{2500} = 50 \, \Omega$.
प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज ड्रॉप $V_{L} = I \times X_{L}$ होता है。
$V_{L} = 0.05 \, A \times 50 \, \Omega = 2.5 \, V$.

(B) अनुनाद की स्थिति में, प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ के बराबर होता है, अर्थात $X_L = X_C$।
इसलिए, $L-C-R$ परिपथ की कुल प्रतिबाधा $(Z)$ प्रतिरोध $(R)$ के बराबर होती है, अर्थात $Z = R$।
शक्ति गुणांक $(\cos \phi)$ को प्रतिरोध और प्रतिबाधा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\cos \phi = \frac{R}{Z}$।
$Z = R$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः, अनुनाद पर $L-C-R$ परिपथ एक शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ की तरह व्यवहार करता है और शक्ति गुणांक $1$ होता है।

(A) $L-C-R$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति का सूत्र निम्नलिखित है:
$v_{0} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$
इसका अर्थ है कि $v_{0} \propto \frac{1}{\sqrt{L C}}$।
यदि प्रेरकत्व $L$ को दोगुना $(L' = 2L)$ और धारिता $C$ को दोगुना $(C' = 2C)$ कर दिया जाए,तो नई अनुनादी आवृत्ति $v_{0}'$ होगी:
$v_{0}' = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(2L)(2C)}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{4LC}} = \frac{1}{2 \pi \cdot 2 \sqrt{LC}}$
$v_{0}' = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \right) = \frac{1}{2} v_{0}$
अतः,अनुनादी आवृत्ति घटकर मूल मान की आधी रह जाएगी।