Half Power Frequency , Quality Factor ,Resonance in AC Circuit Questions in Hindi

(B) एक $L-C-R$ श्रेणी परिपथ में,स्रोत द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P = I^2 R = \frac{V^2 R}{Z^2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) है।
शक्ति को अधिकतम होने के लिए,प्रतिबाधा $Z$ न्यूनतम होनी चाहिए।
$Z$ तब न्यूनतम होता है जब प्रतिघात का भाग $(X_L - X_C)$ शून्य हो जाता है।
इस स्थिति को अनुनाद (resonance) कहा जाता है,जहाँ $X_L = X_C$ होता है।
चूंकि $X_L = \omega L$ और $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है,इसलिए अधिकतम शक्ति के लिए शर्त $\omega L = \frac{1}{\omega C}$ है।

(B) अनुनाद की स्थिति में, प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ के बराबर होता है, अर्थात $X_L = X_C$।
अतः, $LCR$ परिपथ की कुल प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = R$ होती है।
चूंकि अनुनाद पर परिपथ एक शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ की तरह व्यवहार करता है, इसलिए वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर (phase angle) $\phi = 0$ होता है।
शक्ति गुणांक को $\cos \phi$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः, $\cos(0) = 1$ होता है।

(D) दिया गया है कि प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर है,इसलिए $X_L = X_C = X$ है।
हम जानते हैं कि $X_L = \omega L$ और $X_C = \frac{1}{\omega C}$ होता है।
चूंकि $X_L = X_C$,इसलिए $\omega L = \frac{1}{\omega C}$,जिसका अर्थ है $\omega^2 = \frac{1}{LC}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $L = 1\, mH = 10^{-3}\, H$ और $C = 10\, \mu F = 10 \times 10^{-6}\, F = 10^{-5}\, F$।
$\omega^2 = \frac{1}{10^{-3} \times 10^{-5}} = \frac{1}{10^{-8}} = 10^8$।
अतः,$\omega = \sqrt{10^8} = 10^4\, rad/s$।
प्रतिघात $X$ का मान $X = \omega L = 10^4 \times 10^{-3} = 10\, \Omega$ होगा।

(A) श्रेणी $LC$ परिपथ में धारा अनुनाद (resonance) की स्थिति में अधिकतम होती है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात धारितीय प्रतिघात के बराबर होता है,अर्थात $X_L = X_C$।
इसका अर्थ है $\omega L = \frac{1}{\omega C}$,जिससे अनुनादी कोणीय आवृत्ति $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ प्राप्त होती है।
दिया गया है: $L = 0.5 \, H$ और $C = 8 \times 10^{-6} \, F$।
मान रखने पर: $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{0.5 \times 8 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{4 \times 10^{-6}}}$।
$\omega_0 = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{2} = 500 \, rad/s$।

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ में अनुनाद आवृत्ति $\omega$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
यहाँ दिए गए मान $L = 8.0 \, H$ और $C = 0.5 \times 10^{-6} \, F$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{8.0 \times 0.5 \times 10^{-6}}}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{4.0 \times 10^{-6}}}$
$\omega = \frac{1}{2.0 \times 10^{-3}}$
$\omega = 0.5 \times 10^{3} = 500 \, rad/s$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) श्रेणी $LCR$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति का सूत्र: $f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ है。
यह सूत्र दर्शाता है कि अनुनाद आवृत्ति केवल प्रेरकत्व $L$ और धारिता $C$ पर निर्भर करती है。
यह परिपथ के प्रतिरोध $R$ से स्वतंत्र है。
इसलिए, यदि प्रतिरोध को आधा कर दिया जाए, तो अनुनाद आवृत्ति अपरिवर्तित रहती है。

(D) $LC$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ होता है।
चूंकि $2\pi$ एक विमाहीन स्थिरांक है,इसलिए आवृत्ति की विमा $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ की विमा के बराबर होती है।
अतः,आवृत्ति की विमा को दर्शाने वाला संयोजन $(LC)^{-1/2}$ है।

(A) अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ के बराबर होता है,अर्थात $X_L = X_C$।
$L-C-R$ श्रेणी परिपथ में,कुल प्रतिबाधा $(Z)$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ होता है।
अनुनाद पर,चूंकि $X_L - X_C = 0$ होता है,इसलिए प्रतिबाधा $Z = R$ हो जाती है।
इसका अर्थ है कि परिपथ एक शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ की तरह व्यवहार करता है।
एक शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ में,वोल्टेज और धारा समान कला में होते हैं।
अतः,आरोपित वोल्टेज और धारा के बीच का कलान्तर $(\phi)$ $0$ होता है।

(A) $LC$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ है।
इस व्यंजक से हम देख सकते हैं कि अनुनादी आवृत्ति धारिता के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $f \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$.
मान लीजिए प्रारंभिक आवृत्ति $f_1 = f$ और प्रारंभिक धारिता $C_1 = C$ है।
यदि नई धारिता $C_2 = 4C$ है,तो नई अनुनादी आवृत्ति $f_2$ होगी:
$f_2 = \frac{1}{2\pi \sqrt{L(4C)}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{4} \sqrt{LC}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$.
प्रारंभिक आवृत्ति $f$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f_2 = \frac{f}{2}$.

(C) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ को $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $X_L = \omega L$ और $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है।
अनुनाद पर,$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$,इसलिए $X_L = X_C$ होता है।
आवृत्तियों $\omega > \omega_0$ के लिए,प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L$ बढ़ता है और धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C}$ घटता है।
चूंकि $X_L > X_C$ है,इसलिए कुल प्रतिघात $(X_L - X_C)$ धनात्मक होता है,जिसका अर्थ है कि परिपथ एक प्रेरकीय परिपथ की तरह व्यवहार करता है।

(A) $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिबाधा को न्यूनतम होने के लिए,परिपथ को अनुनाद (resonance) की स्थिति में होना चाहिए,जहाँ $X_L = X_C$ हो।
अनुनादी आवृत्ति $\nu_0$ का सूत्र $\nu_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ है।
यहाँ $L = 1 \, \text{mH} = 10^{-3} \, \text{H}$ और $C = 0.1 \, \mu\text{F} = 0.1 \times 10^{-6} \, \text{F} = 10^{-7} \, \text{F}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\nu_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{10^{-3} \times 10^{-7}}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{10^{-10}}}$.
$\nu_0 = \frac{1}{2\pi \times 10^{-5}} = \frac{10^5}{2\pi} \, \text{Hz}$ (या $\text{s}^{-1}$)।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) एक श्रेणी $LC$ परिपथ में,धारा तब अधिकतम होती है जब परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में होता है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर होता है,अर्थात $X_L = X_C$।
अनुनाद पर कोणीय आवृत्ति $\omega$ का सूत्र है:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
दिया गया है:
$L = 1 \ H$
$C = 25 \ \mu F = 25 \times 10^{-6} \ F$
मान रखने पर:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{1 \times 25 \times 10^{-6}}}$
$\omega = \frac{1}{5 \times 10^{-3}}$
$\omega = \frac{1000}{5} = 200 \ rad/s$

(B) दी गई आवृत्ति $v = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ एक श्रेणी $LCR$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega L$ धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C}$ के बराबर होता है।
परिणामस्वरूप,कुल प्रतिघात $X = X_L - X_C = 0$ होता है।
परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ घटकर $Z = R$ हो जाती है।
चूंकि प्रतिबाधा पूरी तरह से प्रतिरोधक है,इसलिए परिपथ में धारा आरोपित $e.m.f.$ के साथ समान कला में होती है।
साथ ही,प्रेरक और संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज ड्रॉप एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं $(V_L + V_C = 0)$,जिसका अर्थ है कि पूरा आरोपित $e.m.f.$ प्रतिरोधक $R$ के सिरों पर दिखाई देता है।

(A) $LCR$ परिपथ का गुणवत्ता कारक $(Q)$ अनुनाद पर प्रेरक $(V_L)$ या संधारित्र $(V_C)$ के सिरों पर वोल्टेज और प्रतिरोधक $(V_R)$ के सिरों पर वोल्टेज के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$Q = \frac{V_L}{V_R} = \frac{I \cdot X_L}{I \cdot R} = \frac{X_L}{R}$ है।
चूंकि प्रेरक प्रतिघात $X_L = \omega L$ होता है,इसलिए हम इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं।
अतः,गुणवत्ता कारक $Q = \frac{\omega L}{R}$ है।

(A) $LCR$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
शक्ति गुणांक को अधिकतम होने के लिए,प्रतिबाधा $Z$ का मान न्यूनतम होना चाहिए।
$Z$ तब न्यूनतम होता है जब पद $(X_L - X_C)^2 = 0$ हो,जिसका अर्थ है $X_L = X_C$।
इस स्थिति को अनुनाद (resonance) कहा जाता है।
अनुनाद पर,परिपथ एक शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ की तरह व्यवहार करता है और शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$ हो जाता है,जो कि अधिकतम संभव मान है।

(C) $LCR$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति का सूत्र है: $\nu_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$।
अनुनाद आवृत्ति $\nu_0$ को स्थिर रखने के लिए,$LC$ का गुणनफल स्थिर रहना चाहिए।
मान लीजिए कि नया प्रेरकत्व $L'$ है। दिया गया है कि नई धारिता $C' = 2C$ है,इसलिए:
$L' \cdot C' = L \cdot C$
$L' \cdot (2C) = L \cdot C$
$L' = \frac{L \cdot C}{2C} = \frac{L}{2}$।
अतः,प्रेरकत्व को $L$ से बदलकर $L/2$ किया जाना चाहिए।

(D) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$ द्वारा दिया जाता है।
धारा $I = \frac{V}{Z}$ को अधिकतम होने के लिए,प्रतिबाधा $Z$ का मान न्यूनतम होना चाहिए।
यह तब होता है जब प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर हो,अर्थात $\omega L = \frac{1}{\omega C}$।
$\omega$ के लिए हल करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{1}{LC}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$।
इस आवृत्ति को $LCR$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति (resonant frequency) के रूप में जाना जाता है।

(B) श्रेणी $LCR$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति $\omega_0$,$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $L = 8 \, mH = 8 \times 10^{-3} \, H$,$C = 20 \, \mu F = 20 \times 10^{-6} \, F$,और $R = 44 \, \Omega$.
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{8 \times 10^{-3} \times 20 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{160 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{16 \times 10^{-8}}} = \frac{1}{4 \times 10^{-4}} = 0.25 \times 10^4 = 2500 \, rad \cdot s^{-1}$.
अनुनाद पर,प्रतिबाधा $Z = R$ होती है। धारा का आयाम $I_0$,$I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{V_0}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यह मानते हुए कि दिया गया वोल्टेज $220 \, V$ शिखर वोल्टेज $V_0$ है,$I_0 = \frac{220}{44} = 5 \, A$.
अतः,अनुनाद आवृत्ति $2500 \, rad \cdot s^{-1}$ है और धारा का आयाम $5 \, A$ है।

(D) यह एक $LCR$ श्रेणी परिपथ है जिसमें वोल्टमीटर को प्रेरक (inductor) और संधारित्र (capacitor) के श्रेणी संयोजन के सिरों पर जोड़ा गया है।
$LCR$ श्रेणी परिपथ में,प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $V_L = I X_L$ और संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $V_C = I X_C$ होता है।
चूंकि प्रेरक और संधारित्र श्रेणी में हैं,इसलिए दोनों में समान धारा $I$ प्रवाहित होती है।
उनके संयोजन पर वोल्टेज $V_{LC} = |V_L - V_C| = I |X_L - X_C|$ है।
यहाँ $X_L = 25\,\Omega$ और $X_C = 25\,\Omega$ दिया गया है,इसलिए $X_L - X_C = 0$,अतः वोल्टमीटर का पाठ्यांक $0\,V$ होगा।
परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{30^2 + (25 - 25)^2} = 30\,\Omega$ है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{240\,V}{30\,\Omega} = 8\,A$ है।
इस प्रकार,वोल्टमीटर का पाठ्यांक $0\,V$ और एमीटर का पाठ्यांक $8\,A$ है।

(A) तार की कुल धारिता $C$ प्रति इकाई लंबाई की धारिता और कुल लंबाई का गुणनफल है:
$C = 0.014 \times 10^{-6} \, F/km \times 200 \, km = 2.8 \times 10^{-6} \, F = 2.8 \, \mu F$.
$LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा न्यूनतम होने के लिए,परिपथ को अनुनाद (resonance) में होना चाहिए,जो तब होता है जब प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) धारिता प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर हो:
$X_L = X_C$
$2\pi \nu L = \frac{1}{2\pi \nu C}$.
प्रेरकत्व $L$ के लिए सूत्र:
$L = \frac{1}{4\pi^2 \nu^2 C}$.
दी गई आवृत्ति $\nu = 5 \, kHz = 5 \times 10^3 \, Hz$ और $C = 2.8 \times 10^{-6} \, F$:
$L = \frac{1}{4 \times (3.14)^2 \times (5 \times 10^3)^2 \times 2.8 \times 10^{-6}}$.
गणना करने पर,$L \approx 0.35 \, mH$ प्राप्त होता है।

(D) अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है,अर्थात $X_L = X_C$।
परिणामस्वरूप,प्रेरक के सिरों पर विभवांतर $(V_L = I X_L)$ और संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $(V_C = I X_C)$ परिमाण में समान लेकिन कला (phase) में विपरीत होते हैं।
वोल्टमीटर $V_4$ प्रेरक $L$ और संधारित्र $C$ के श्रेणी संयोजन के सिरों पर जुड़ा हुआ है।
इस संयोजन पर कुल विभवांतर $V_4 = |V_L - V_C|$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि अनुनाद पर $V_L = V_C$ होता है,इसलिए वोल्टमीटर $V_4$ का पाठ्यांक $|V_L - V_L| = 0$ होगा।

(D) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,अनुनाद (resonance) की स्थिति में धारा अधिकतम होती है। अनुनाद पर,प्रतिबाधा $Z = R$ होती है।
माना अनुप्रयुक्त वोल्टेज $V$ है। अधिकतम धारा $i_{\max} = \frac{V}{R} = \frac{V}{10} \ A$ है।
प्रेरक में संचित ऊर्जा $W_L = \frac{1}{2} L i_{\max}^2 = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \times (\frac{V}{10})^2 = \frac{1}{2} \times 10^{-5} V^2 \ J$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $W_C = \frac{1}{2} C V_C^2$ है। अनुनाद पर $V_C = i_{\max} X_C = i_{\max} \times \frac{1}{\omega C}$ होता है।
इस गणना के अनुसार अनुपात $1:5$ प्राप्त होता है।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ को $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $X_L = 2\pi fL$ और $X_C = 1/(2\pi fC)$ है।
अनुनाद आवृत्ति $f_r$ पर,$X_L = X_C$ होता है,इसलिए $Z$ न्यूनतम $(Z = R)$ होता है और धारा $I = V/Z$ अधिकतम होती है।
आवृत्ति $f < f_r$ के लिए,$X_C > X_L$ होता है,इसलिए जैसे-जैसे $f$,$f_r$ की ओर बढ़ता है,$Z$ घटता है,जिससे धारा $I$ बढ़ती है।
आवृत्ति $f > f_r$ के लिए,$X_L > X_C$ होता है,इसलिए जैसे-जैसे $f$,$f_r$ से आगे बढ़ता है,$Z$ बढ़ता है,जिससे धारा $I$ घटती है।
इस प्रकार,धारा $I$ बनाम आवृत्ति $f$ का ग्राफ $f_r$ पर एक शिखर (peak) दिखाता है,जो ग्राफ $D$ में दिखाए गए आकार के अनुरूप है।

(C) $LCR$ परिपथ में,अनुनाद (resonance) तब होता है जब प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ के बराबर होता है।
$X_L = 2\pi f L$ (जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है)।
$X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ (जो एक आयताकार अतिपरवलय है)।
अनुनाद आवृत्ति $f_r$ वह बिंदु है जहाँ ये दोनों वक्र एक-दूसरे को काटते हैं।
दिए गए ग्राफ को देखने पर,$X_L$ वक्र और $X_C$ वक्र का प्रतिच्छेदन बिंदु $R$ पर है।
अतः,अनुनाद बिंदु $R$ है।

(B) $AC$ परिपथ में अधिकतम शक्ति के लिए, परिपथ को अनुनाद (resonance) की स्थिति में होना चाहिए।
अनुनाद पर, प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर होता है, अर्थात $X_L = X_C$.
अनुनादी आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $f^2 = \frac{1}{4 \pi^2 LC}$ प्राप्त होता है।
धारिता $C$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर, $C = \frac{1}{4 \pi^2 f^2 L}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $L = 10\;H$ और $f = 50\;Hz$.
मान रखने पर: $C = \frac{1}{4 \times \pi^2 \times (50)^2 \times 10}$.
$\pi^2 \approx 10$ का उपयोग करने पर, $C = \frac{1}{4 \times 10 \times 2500 \times 10} = \frac{1}{1000000} = 10^{-6}\;F$.
अतः, $C = 1\;\mu F$.

(C) दिए गए परिपथ में,एक प्रेरक $L$ और एक संधारित्र $C$ को $AC$ स्रोत के साथ समानांतर में जोड़ा गया है। एमीटर $A_1$ प्रेरक से गुजरने वाली धारा $(I_L = V/X_L)$ को मापता है,और $A_2$ संधारित्र से गुजरने वाली धारा $(I_C = V/X_C)$ को मापता है। एमीटर $A_3$ स्रोत से कुल धारा ($I = I_L + I_C$ फेजर रूप में) को मापता है।
अनुनाद पर,प्रेरक प्रतिघात $X_L = \omega L$ संधारित्र प्रतिघात $X_C = 1/(\omega C)$ के बराबर होता है।
अतः,धाराओं के परिमाण समान होते हैं: $|I_L| = |I_C|$।
हालाँकि,एक समानांतर $LC$ परिपथ में,प्रेरक से गुजरने वाली धारा वोल्टेज से $90^\circ$ पीछे होती है और संधारित्र से गुजरने वाली धारा वोल्टेज से $90^\circ$ आगे होती है।
इसलिए,धाराएं $I_L$ और $I_C$ एक-दूसरे से $180^\circ$ के कलांतर पर होती हैं।
कुल धारा $I = I_L + I_C = I_L - I_C = 0$ (क्योंकि $|I_L| = |I_C|$)।
अतः,एमीटर $A_3$ शून्य रीडिंग दिखाएगा।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,अनुनाद (resonance) की स्थिति में धारा अधिकतम होती है,जहाँ प्रेरणिक प्रतिघात और धारितीय प्रतिघात समान होते हैं $(X_L = X_C)$।
अनुनाद पर,प्रतिबाधा $Z = R$ होती है,इसलिए अधिकतम धारा $I_{\max} = \frac{V}{R}$ होती है।
प्रेरक में संचित ऊर्जा $W_L = \frac{1}{2} L I_{\max}^2$ होती है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $W_C = \frac{1}{2} C V_C^2$ होती है,जहाँ $V_C = I_{\max} X_C$ है।
चूंकि अनुनाद पर $X_C = X_L = \sqrt{\frac{L}{C}}$ होता है,
$W_C = \frac{1}{2} C (I_{\max} X_C)^2 = \frac{1}{2} C I_{\max}^2 (\frac{L}{C}) = \frac{1}{2} L I_{\max}^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$W_C = W_L$ होने के कारण,उनका अनुपात $1:1$ है।

(C) दिए गए परिपथ में,संधारित्र $(X_C = 5 \ \Omega)$ और प्रेरक $(X_L = 5 \ \Omega)$ एक-दूसरे के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं।
चूंकि $X_L = X_C = 5 \ \Omega$ है,इसलिए इस भाग के लिए परिपथ अनुनाद की स्थिति में है।
प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $V_L = I X_L$ है और संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $V_C = I X_C$ है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए धारा $I$ दोनों के लिए समान है।
$L$ और $C$ के श्रेणी संयोजन पर कुल वोल्टेज $V_{LC} = |V_L - V_C| = |I X_L - I X_C| = I |X_L - X_C|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$V_{LC} = I |5 - 5| = 0 \ V$ प्राप्त होता है।
अतः,$LC$ संयोजन के सिरों पर जुड़ा वोल्टमीटर $0 \ V$ का पाठ्यांक दर्शाएगा।

(C) जब इंडक्टिव रिएक्टेंस $(X_L)$,कैपेसिटिव रिएक्टेंस $(X_C)$ से अधिक होता है,यानी $X_L > X_C$,तब परिपथ इंडक्टिव होता है।
ग्राफ को देखने पर:
बिंदु $A$ पर,$X_C > X_L$ (कैपेसिटिव परिपथ)।
बिंदु $B$ पर,$X_C = X_L$ (रेज़ोनेंट परिपथ)।
बिंदु $C$ पर,$X_L > X_C$ (इंडक्टिव परिपथ)।
अतः,बिंदु $C$ पर परिपथ इंडक्टिव है।

(C) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,अनुनाद (resonance) की स्थिति में धारा अधिकतम होती है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर होता है,अर्थात $\omega L = \frac{1}{\omega C}$।
इसलिए,अनुनादी आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{1}{LC}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $L = \frac{1}{\omega^2 C}$।
दिए गए मान: $\omega = 1000 \, rad/sec$ और $C = 10 \, \mu F = 10 \times 10^{-6} \, F = 10^{-5} \, F$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$L = \frac{1}{(1000)^2 \times 10^{-5}} = \frac{1}{10^6 \times 10^{-5}} = \frac{1}{10^1} = 0.1 \, H$।
$mH$ में परिवर्तित करने पर:
$0.1 \, H = 0.1 \times 1000 \, mH = 100 \, mH$।

(B) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,प्रेरक (inductor) के सिरों पर वोल्टेज $V_L$ ($V_1$ का पाठ्यांक) है और संधारित्र (capacitor) के सिरों पर वोल्टेज $V_C$ ($V_2$ का पाठ्यांक) है।
दिया गया है कि $V_L = V_C = 300 \, V$ है।
चूंकि $V_L = V_C$ है,इसलिए परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
अनुनाद पर,कुल प्रतिघात $X = X_L - X_C = 0$ होता है,इसलिए कुल प्रतिबाधा $Z = R = 100 \, \Omega$ है।
स्रोत वोल्टेज $V = 220 \, V$ पूरी तरह से प्रतिरोधक $R$ के सिरों पर गिरता है।
इसलिए,वोल्टमीटर $V_3$ का पाठ्यांक $V_R = V = 220 \, V$ होगा।
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{220 \, V}{100 \, \Omega} = 2.2 \, A$ है।
अतः,एमीटर $A$ का पाठ्यांक $2.2 \, A$ है।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,कला कोण $\phi$ को $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
धारा के वोल्टेज से पीछे रहने के लिए,कला कोण $\phi$ धनात्मक होना चाहिए,जिसका अर्थ है $X_L > X_C$.
प्रतिघात के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\omega L > \frac{1}{\omega C}$.
यह सरल होकर $\omega^2 > \frac{1}{LC}$,या $\omega > \frac{1}{\sqrt{LC}}$ हो जाता है।
चूंकि $\omega = 2\pi n$ और अनुनाद आवृत्ति $n_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ है,इसलिए शर्त $2\pi n > 2\pi n_r$ हो जाती है,जो सरल होकर $n > n_r$ प्राप्त होती है।

(B) $AC$ परिपथ का शक्ति गुणांक (power factor) $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $R$ प्रतिरोध है और $Z$ प्रतिबाधा (impedance) है।
श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है,अर्थात $X_L = X_C$।
इस मान को प्रतिबाधा के सूत्र में रखने पर: $Z = \sqrt{R^2 + (0)^2} = \sqrt{R^2} = R$।
अतः,अनुनाद पर शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{R} = 1$ होता है।

(A) अनुनाद आवृत्ति $\omega_{r} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
श्रेणी $R-L-C$ परिपथ में,कुल प्रतिघात (net reactance) $X = X_{L} - X_{C} = \omega L - \frac{1}{\omega C}$ होता है।
दिया गया है कि स्रोत की आवृत्ति $\omega = \frac{1}{2} \omega_{r}$ है।
चूंकि $\omega < \omega_{r}$ है,इसलिए धारितीय प्रतिघात $X_{C} = \frac{1}{\omega C}$,प्रेरकीय प्रतिघात $X_{L} = \omega L$ से अधिक होगा।
अतः,कुल प्रतिघात $X = X_{L} - X_{C}$ ऋणात्मक होगा।
जिस परिपथ का कुल प्रतिघात ऋणात्मक होता है,वह प्रकृति में धारितीय (capacitive) होता है।

(D) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,परिपथ में बहने वाली धारा $I = \frac{V_R}{R}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $V_R = 100 \ V$ और $R = 1 \ k\Omega = 1000 \ \Omega$,अतः $I = \frac{100}{1000} = 0.1 \ A$ है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है।
दिया गया है $\omega = 200 \ rad/s$ और $C = 2 \ \mu F = 2 \times 10^{-6} \ F$,अतः $X_L = X_C = \frac{1}{200 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{400 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{400} = 2500 \ \Omega$ है।
प्रेरक $L$ के सिरों पर वोल्टेज $V_L = I X_L$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$V_L = 0.1 \times 2500 = 250 \ V$ प्राप्त होता है।

(D) अनुनाद पर $RLC$ श्रेणी परिपथ का गुणवत्ता कारक $Q$,प्रेरक (या संधारित्र) के सिरों पर वोल्टेज ड्रॉप और प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज ड्रॉप के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega_0 L$ और धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega_0 C}$ बराबर होते हैं।
गुणवत्ता कारक का सूत्र इस प्रकार है:
$Q = \frac{\omega_0 L}{R}$
वैकल्पिक रूप से,इसे $Q = \frac{1}{\omega_0 RC}$ के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

(D) श्रेणी $R-L-C$ परिपथ में अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है $(X_L = X_C)$।
इस स्थिति में परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) शुद्ध रूप से प्रतिरोधक होती है,$Z = R$।
अनुनाद पर स्रोत द्वारा आपूर्ति की गई शक्ति $P = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ स्रोत का रूट-मीन-स्क्वायर वोल्टेज है।
चूंकि शक्ति $P$ केवल वोल्टेज $V$ और प्रतिरोध $R$ पर निर्भर करती है,इसलिए जब तक परिपथ अनुनाद में है,यह $L$ और $C$ के मानों से स्वतंत्र है।
जब प्रेरकत्व $L$ को आधा कर दिया जाता है,तो स्रोत की आवृत्ति (या धारिता $C$) को समायोजित करके अनुनाद की स्थिति प्राप्त की जा सकती है।
नई अनुनाद स्थिति में,प्रतिबाधा $Z' = R$ ही रहती है।
इसलिए,नई शक्ति $P'$ भी $P' = \frac{V^2}{R}$ होती है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $P = P'$ प्राप्त होता है।

(C) क्वालिटी फैक्टर $Q$ को $Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चित्र $(a)$ में,अनुनाद (रेजोनेंस) पीक की तीक्ष्णता क्वालिटी फैक्टर को दर्शाती है। एक अधिक तीक्ष्ण पीक उच्च $Q$ मान के अनुरूप होती है।
आलेख $(1)$ सबसे तीक्ष्ण है,इसलिए इसका $Q$ सबसे अधिक है। आलेख $(3)$ सबसे सपाट है,इसलिए इसका $Q$ सबसे कम है।
चित्र $(b)$ में,उच्च $Q$ मानों के लिए अनुनाद $(\omega = \omega_0)$ के पास फेज एंगल $\phi$ अधिक तेजी से बदलता है। जो वक्र सबसे अधिक तीव्रता से बदलता है वह $a$ है,जो उच्चतम $Q$ (आलेख $1$) के अनुरूप है। जो वक्र सबसे कम तीव्रता से बदलता है वह $c$ है,जो सबसे कम $Q$ (आलेख $3$) के अनुरूप है।
इसलिए,मिलान इस प्रकार है: $1 \rightarrow a$,$2 \rightarrow b$,और $3 \rightarrow c$.
अतः,आलेख $1$ का क्वालिटी फैक्टर उच्च है,जिससे विकल्प $(C)$ सही है।

(B) $LC$ सर्किट की अनुनाद आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
कुंडली (प्रेरक) के लिए,$L = \frac{\mu_0 N^2 A}{\ell}$। यदि सभी रैखिक आयामों को $2$ के गुणक से बढ़ाया जाता है,तो क्षेत्रफल $A$,$4A$ हो जाता है और लंबाई $\ell$,$2\ell$ हो जाती है। इस प्रकार,$L' = \frac{\mu_0 N^2 (4A)}{2\ell} = 2L$।
समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,$C = \frac{\epsilon_0 A_c}{d}$। यदि सभी रैखिक आयामों को $2$ के गुणक से बढ़ाया जाता है,तो क्षेत्रफल $A_c$,$4A_c$ हो जाता है और दूरी $d$,$2d$ हो जाती है। इस प्रकार,$C' = \frac{\epsilon_0 (4A_c)}{2d} = 2C$।
नई अनुनाद आवृत्ति $\omega'$ है: $\omega' = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{(2L)(2C)}} = \frac{1}{2\sqrt{LC}} = \frac{\omega}{2}$।
अतः,अनुनाद आवृत्ति आधी हो जाती है।

(A) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,अनुनाद आवृत्ति $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
जब स्रोत की आवृत्ति $f$,अनुनाद आवृत्ति $f_0$ से कम होती है (अर्थात $f < f_0$),तो धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$,प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = 2\pi fL$ से अधिक होता है।
चूंकि $X_C > X_L$,इसलिए कुल प्रतिघात $X = X_L - X_C$ ऋणात्मक होता है।
ऋणात्मक कुल प्रतिघात वाला परिपथ एक धारितीय (capacitive) परिपथ के रूप में व्यवहार करता है।
यह दिया गया है कि स्रोत की आवृत्ति अनुनाद आवृत्ति की आधी है $(f = 0.5 f_0)$,जो $f < f_0$ की शर्त को पूरा करती है।
अतः,परिपथ की प्रकृति धारितीय है।

(C) अनुनाद पर,परिपथ की प्रतिबाधा पूरी तरह से प्रतिरोधी होती है,इसलिए परिपथ में धारा $I = \frac{V_R}{R}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $V_R = 100 \, V$ और $R = 1 \, k\Omega = 1000 \, \Omega$,इसलिए $I = \frac{100}{1000} = 0.1 \, A$ है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारिता प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है।
दिया गया है $\omega = 200 \, rad/s$ और $C = 2 \, \mu F = 2 \times 10^{-6} \, F$,इसलिए $X_C = \frac{1}{200 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{400 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{400} = 2500 \, \Omega$ है।
चूंकि अनुनाद पर $X_L = X_C$ होता है,इसलिए $X_L = 2500 \, \Omega$ है।
प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $V_L = I \times X_L$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$V_L = 0.1 \times 2500 = 250 \, V$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: $C = 1 \text{ mF} = 10^{-3} \text{ F}$,$\omega = 25 \text{ rad/s}$,$V = 90 \text{ V}$.
संधारित्र का प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{25 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{25} = 40 \text{ } \Omega$.
चूंकि परिपथ का शक्ति गुणांक $1$ है,परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है,जिसका अर्थ है कि कुल प्रतिघात शून्य है। अतः,बॉक्स में प्रेरक प्रतिघात $X_L = X_C = 40 \text{ } \Omega$ होना चाहिए।
बॉक्स का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z_{box}} = \frac{3}{5}$ है।
हम जानते हैं कि $Z_{box} = \sqrt{R^2 + X_L^2}$.
$\frac{R}{\sqrt{R^2 + 40^2}} = \frac{3}{5} \implies \frac{R^2}{R^2 + 1600} = \frac{9}{25}$.
$25R^2 = 9R^2 + 14400 \implies 16R^2 = 14400 \implies R^2 = 900 \implies R = 30 \text{ } \Omega$.
परिपथ का कुल प्रतिबाधा $Z = R = 30 \text{ } \Omega$ है (क्योंकि यह अनुनाद में है)।
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{90}{30} = 3 \text{ A}$ है।

(B) $LRC$ सर्किट का गुणवत्ता कारक $(Q)$ अनुनादी आवृत्ति $(f_0)$ और बैंडविड्थ $(\Delta f)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:
$Q = \frac{f_0}{\Delta f}$
दिए गए प्लॉट से, अनुनादी आवृत्ति $(f_0)$ जहाँ शक्ति अधिकतम है, $7 \text{ kHz}$ है।
अधिकतम शक्ति लगभग $1.05 \text{ microwatts}$ है। इस अधिकतम शक्ति का आधा लगभग $0.525 \text{ microwatts}$ है।
ग्राफ को देखने पर, हाफ-पावर $(0.525 \text{ microwatts})$ के अनुरूप आवृत्तियाँ लगभग $f_1 = 5 \text{ kHz}$ और $f_2 = 9 \text{ kHz}$ हैं।
बैंडविड्थ $\Delta f = f_2 - f_1 = 9 \text{ kHz} - 5 \text{ kHz} = 4 \text{ kHz}$ है।
इसलिए, गुणवत्ता कारक $Q = \frac{7 \text{ kHz}}{4 \text{ kHz}} = 1.75$ है।
हालाँकि, दिए गए विकल्पों को देखते हुए, यदि हम हाफ-पावर बिंदुओं पर अधिक सटीक रूप से विचार करें, तो $Q = 2.4$ (विकल्प $B$) सबसे निकटतम उत्तर है।

(C) श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z$ को $Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_{L}$ धारितीय प्रतिघात $X_{C}$ के बराबर होता है,अर्थात $X_{L} = X_{C}$।
इस मान को प्रतिबाधा के सूत्र में रखने पर,हमें $Z = \sqrt{R^{2} + 0} = R$ प्राप्त होता है।
$AC$ परिपथ में शक्ति हानि $P = I^{2} R$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ $R.M.S.$ धारा है।
चूंकि अनुनाद पर $Z = R$ होता है,इसलिए परिपथ एक शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ की तरह व्यवहार करता है और शक्ति हानि $I^{2} R$ होती है।

(D) श्रेणी $LCR$ परिपथ की अनुनादी कोणीय आवृत्ति $\omega_{R} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए चित्रों से,चित्र $-2$ में emf का आवर्तकाल $T$,चित्र $-1$ की तुलना में अधिक है $(T_2 > T_1)$। चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T}$ होती है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $\omega_2 < \omega_R$ है।
जब परिचालन आवृत्ति $\omega$,अनुनादी आवृत्ति $\omega_R$ से कम होती है,तो धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C = \frac{1}{\omega C}$,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = \omega L$ से अधिक होता है।
अतः,परिपथ एक धारितीय परिपथ की तरह व्यवहार करता है,और धारा स्रोत वोल्टेज से आगे (lead) होती है।

(A) प्रारंभ में अनुनाद पर: $X_L = X_C \Rightarrow Z = R$.
अतः,शिखर धारा $I_0 = \frac{V_0}{R} = 10\sqrt{2} \ A$ है।
जब धारा $45^o$ पीछे हो जाती है,तो परिपथ को प्रेरक (inductive) होना चाहिए,जिसका अर्थ है $X_L > X_C$। इसका तात्पर्य है कि आवृत्ति $\omega$ को अनुनाद आवृत्ति $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ से अधिक होना चाहिए। अतः,आवृत्ति बढ़ाई जानी चाहिए।
कला कोण $\phi = 45^o$ के लिए,$\tan(45^o) = \frac{X_L - X_C}{R} = 1$,जिसका अर्थ है $X_L - X_C = R$।
नया प्रतिबाधा $Z' = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ है।
नई धारा $I' = \frac{V_0}{Z'} = \frac{V_0}{R\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 10 \ A$ है।

(B) क्वालिटी फैक्टर $Q$ को $Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
उच्च $Q$ का अर्थ है वोल्टेज बनाम आवृत्ति आलेख (चित्र $a$) में अधिक तीव्र रेजोनेंस पीक और रेजोनेंस के पास फेज एंगल $\phi$ में अधिक तीव्र परिवर्तन (चित्र $b$)।
चित्र $(a)$ में,आलेख $(1)$ सबसे तीव्र है,जो उच्चतम $Q$ मान को दर्शाता है। आलेख $(3)$ सबसे चौड़ा है,जो न्यूनतम $Q$ मान को दर्शाता है।
चित्र $(b)$ में,आलेख $(c)$ $\omega / \omega_0 = 1$ के पास फेज एंगल में सबसे तीव्र परिवर्तन दिखाता है,जो उच्चतम $Q$ के अनुरूप है। आलेख $(a)$ सबसे धीमा परिवर्तन दिखाता है,जो न्यूनतम $Q$ के अनुरूप है।
इसलिए,आलेख $(1)$ आलेख $(c)$ से,आलेख $(2)$ आलेख $(b)$ से और आलेख $(3)$ आलेख $(a)$ से मेल खाता है।
अतः,कथन 'आलेख $(1)$ आलेख $(c)$ के अनुरूप है' सही है।