Half Power Frequency , Quality Factor ,Resonance in AC Circuit Questions in Hindi

(C) दिए गए परिपथ आरेख से,प्रेरक (inductor) के सिरों पर विभवांतर $V_L = 400 \, V$ और संधारित्र (capacitor) के सिरों पर विभवांतर $V_C = 400 \, V$ है।
चूंकि $V_L = V_C$,परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
श्रेणी $LCR$ परिपथ में अनुनाद पर,कुल प्रतिबाधा $Z$ प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है।
इसलिए,$Z = R = 50 \, \Omega$.
परिपथ में धारा $i = \frac{V}{Z} = \frac{100 \, V}{50 \, \Omega} = 2 \, A$.
प्रतिरोध के सिरों पर विभवांतर $V_R = i \times R = 2 \, A \times 50 \, \Omega = 100 \, V$.
अतः,प्रतिरोध पर विभवांतर $100 \, V$ और धारा $2 \, A$ है।

(B) दिए गए परिपथ में,प्रेरक $(X_L = 5 \ \Omega)$ और संधारित्र $(X_C = 5 \ \Omega)$ एक-दूसरे के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,और यह संयोजन वोल्टमीटर के साथ समांतर क्रम में जुड़ा है।
चूंकि $X_L = X_C$ है,इसलिए प्रेरक और संधारित्र का श्रेणी संयोजन एक शॉर्ट सर्किट की तरह कार्य करता है क्योंकि कुल प्रतिबाधा $Z_{LC} = |X_L - X_C| = 0 \ \Omega$ है।
अतः,वोल्टमीटर के सिरों पर विभवांतर $0 \ V$ होगा।
इस प्रकार,$110 \ V$ का पूरा स्रोत वोल्टेज प्रतिरोध $R = 55 \ \Omega$ पर लागू होता है।
अमीटर से प्रवाहित धारा $I$ ओम के नियम के अनुसार है:
$I = \frac{V}{R} = \frac{110 \ V}{55 \ \Omega} = 2 \ A$.

(A) अनुनाद कोणीय आवृत्ति $\omega$ का सूत्र है: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$।
यहाँ $L = 8 \, mH = 8 \times 10^{-3} \, H$ और $C = 20 \, \mu F = 20 \times 10^{-6} \, F$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $\omega = \frac{1}{\sqrt{8 \times 10^{-3} \times 20 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{160 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{16 \times 10^{-8}}} = \frac{1}{4 \times 10^{-4}} = 2500 \, rad/s$।
अनुनाद पर,प्रतिबाधा $Z = R = 44 \, \Omega$ होती है।
$RMS$ धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{R} = \frac{220}{44} = 5 \, A$।
धारा का आयाम (शिखर धारा) $I_0 = I_{rms} \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \, A$ है।

(D) क्वालिटी फैक्टर $Q$ को अनुनादी आवृत्ति $f_r$ और बैंडविड्थ $\Delta f$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
दी गई हाफ-पावर आवृत्तियाँ $f_1 = 100 \, MHz$ और $f_2 = 120 \, MHz$ हैं।
अनुनादी आवृत्ति $f_r$ हाफ-पावर आवृत्तियों का ज्यामितीय माध्य है: $f_r = \sqrt{f_1 f_2} = \sqrt{100 \times 120} = \sqrt{12000} \approx 109.54 \, MHz$.
बैंडविड्थ $\Delta f = f_2 - f_1 = 120 - 100 = 20 \, MHz$ है।
क्वालिटी फैक्टर $Q = \frac{f_r}{\Delta f} = \frac{109.54}{20} = 5.477$ है।
निकटतम विकल्प के अनुसार,$Q = 5.5$ प्राप्त होता है।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ के लिए,शक्ति का उपभोग अनुनादी कोणीय आवृत्ति $\omega_0$ पर अधिकतम होता है।
अनुनादी कोणीय आवृत्ति का सूत्र $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
दिए गए मान $L = 160 \, H$ और $C = 40 \, \mu F = 40 \times 10^{-6} \, F$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{160 \times 40 \times 10^{-6}}}$
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{6400 \times 10^{-6}}}$
$\omega_0 = \frac{1}{80 \times 10^{-3}}$
$\omega_0 = \frac{1000}{80} = 12.5 \, rad/s$.
अतः,परिपथ $12.5 \, rad/s$ की कोणीय आवृत्ति पर अधिकतम शक्ति का उपभोग करता है।

(C) अनुनाद पर,परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) शुद्ध रूप से प्रतिरोधक होती है,इसलिए $Z = R = 50 \, \Omega$.
शिखर वोल्टेज $V_0 = 10 \, V$ है।
रूट मीन स्क्वायर वोल्टेज $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} \, V$ है।
अनुनाद पर रूट मीन स्क्वायर धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{10 / \sqrt{2}}{50} \, A$ है।
$AC$ परिपथ में व्ययित शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
अनुनाद पर,कला कोण (phase angle) $\phi = 0^{\circ}$ होता है,इसलिए $\cos \phi = 1$।
मान रखने पर: $P = \left( \frac{10}{\sqrt{2}} \right) \times \left( \frac{10 / \sqrt{2}}{50} \right) \times 1$.
$P = \frac{100}{2 \times 50} = \frac{100}{100} = 1 \, W$.

(C) $L-C-R$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति का सूत्र $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ होता है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक अनुनाद आवृत्ति $\omega_1 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
नई धारिता $C' = 2C$ और नया प्रेरकत्व $L'$ है। नई अनुनाद आवृत्ति $\omega_2 = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{L'(2C)}}$ है।
चूंकि अनुनाद आवृत्ति अपरिवर्तित रहती है,$\omega_1 = \omega_2$,जिसका अर्थ है:
$\frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{2L'C}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{LC} = \frac{1}{2L'C}$
दोनों पक्षों से $C$ को हटाने पर:
$\frac{1}{L} = \frac{1}{2L'}$
$L'$ के लिए हल करने पर:
$L' = \frac{L}{2}$.

(C) अनुनाद पर,परिपथ की प्रतिबाधा शुद्ध रूप से प्रतिरोधक होती है,इसलिए $X_L = X_C$। परिपथ में धारा $I = \frac{V_R}{R} = \frac{60}{120} = 0.5\,A$ है।
प्रेरकत्व के सिरों पर वोल्टेज $V_L = I X_L = I \omega_0 L$ है। ज्ञात मान रखने पर:
$40 = 0.5 \times (4 \times 10^5) \times L$
$L = \frac{40}{0.5 \times 4 \times 10^5} = \frac{40}{2 \times 10^5} = 2 \times 10^{-4}\,H = 0.2\,mH$.
अनुनाद पर,$V_C = V_L = 40\,V$। चूँकि $V_C = I X_C = \frac{I}{\omega_0 C}$,इसलिए:
$C = \frac{I}{\omega_0 V_C} = \frac{0.5}{(4 \times 10^5) \times 40} = \frac{0.5}{160 \times 10^5} = 0.03125 \times 10^{-6}\,F = 0.03125\,\mu F$.

(B) $LCR$ परिपथ में $ac$ स्रोत द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\cos \phi$ शक्ति गुणांक है।
शक्ति को अधिकतम होने के लिए,शक्ति गुणांक $\cos \phi$ अधिकतम होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\cos \phi = 1$।
यह तब होता है जब कला कोण (phase angle) $\phi = 0$ हो,जिसका अर्थ है कि परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L$,धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C$ के बराबर होता है।
इसलिए,$\omega L = \frac{1}{\omega C}$।

(A) अनुनाद आवृत्ति $\omega$ का सूत्र $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
यहाँ $L = 8 \, mH = 8 \times 10^{-3} \, H$ और $C = 20 \, \mu F = 20 \times 10^{-6} \, F$ दिया गया है।
$\omega = \frac{1}{\sqrt{8 \times 10^{-3} \times 20 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{160 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{16 \times 10^{-8}}} = \frac{1}{4 \times 10^{-4}} = 2500 \, rad/s$.
अनुनाद पर,प्रतिबाधा $Z = R = 44 \, \Omega$ होती है।
अधिकतम वोल्टेज $E_0 = V_{rms} \sqrt{2} = 220\sqrt{2} \, V$ है।
धारा का आयाम $I_0 = \frac{E_0}{R} = \frac{220\sqrt{2}}{44} = 5\sqrt{2} \, A$ है।

(C) अनुनाद आवृत्ति $f_R$ का मान $f_R = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ होता है।
जब $f > f_R$ होता है,तो प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = 2\pi fL$ बढ़ता है और धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ घटता है।
चूंकि $f > f_R$ के लिए $X_L > X_C$ होता है,इसलिए कुल प्रतिघात $(X_L - X_C)$ धनात्मक होता है।
अतः,परिपथ एक प्रेरकीय परिपथ की तरह व्यवहार करता है।

(B) श्रेणी $L-C-R$ अनुनादी परिपथ का गुणवत्ता कारक ($Q-$फैक्टर) निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$.
वैकल्पिक रूप से,इसे $Q = \frac{\omega_r L}{R}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $\omega_r$ अनुनादी कोणीय आवृत्ति है।
इन संबंधों से यह स्पष्ट है कि $Q-$फैक्टर प्रतिरोध $R$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(Q \propto \frac{1}{R})$।
अतः,यदि प्रतिरोध $R$ बढ़ता है,तो परिपथ का गुणवत्ता कारक घट जाता है।

(C) दिए गए $LCR$ परिपथ में,धारा वोल्टेज से आगे है,जिसका अर्थ है कि परिपथ धारितात्मक (capacitive) है,अर्थात $X_C > X_L$ या $\frac{1}{\omega C} > \omega L$। इसका मतलब है कि $\omega^2 LC < 1$ है।
शक्ति गुणांक को इकाई बनाने के लिए,परिपथ को अनुनाद (resonance) की स्थिति में होना चाहिए,जहाँ $X_L = X_{eq}$ हो,जहाँ $X_{eq}$ तुल्य धारितात्मक प्रतिघात है।
चूंकि धारा वोल्टेज से आगे है,हमें अनुनाद तक पहुँचने के लिए कुल धारितात्मक प्रतिघात को कम करने की आवश्यकता है। यह परिपथ की कुल धारिता को बढ़ाकर प्राप्त किया जाता है।
जब एक संधारित्र $C'$ को $C$ के साथ समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_{eq} = C + C'$ हो जाती है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात धारितात्मक प्रतिघात के बराबर होता है:
$\omega L = \frac{1}{\omega (C + C')}$
$\omega^2 L (C + C') = 1$
$C + C' = \frac{1}{\omega^2 L}$
$C' = \frac{1}{\omega^2 L} - C = \frac{1 - \omega^2 LC}{\omega^2 L}$
चूंकि $\omega^2 LC < 1$ है,इसलिए $C'$ का मान धनात्मक है। अतः,संधारित्र $C'$ को $C$ के साथ समांतर क्रम में जोड़ा जाना चाहिए।

(C) $LCR$ श्रेणी परिपथ में प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज $V_R = I R$ द्वारा दिया जाता है। वोल्टेज $V_R$ तब अधिकतम होता है जब धारा $I$ अधिकतम होती है।
$LCR$ श्रेणी परिपथ में,धारा अनुनाद आवृत्ति $f_r$ पर अधिकतम होती है,जहाँ प्रेरणिक प्रतिघात धारितीय प्रतिघात $(X_L = X_C)$ के बराबर होता है।
अनुनाद आवृत्ति $f_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान: $L = 24 \, H$,$C = 2 \, \mu F = 2 \times 10^{-6} \, F$.
मान रखने पर:
$f_r = \frac{1}{2 \times 3.14 \times \sqrt{24 \times 2 \times 10^{-6}}}$
$f_r = \frac{1}{6.28 \times \sqrt{48 \times 10^{-6}}}$
$f_r = \frac{1}{6.28 \times 6.928 \times 10^{-3}}$
$f_r = \frac{1000}{6.28 \times 6.928} \approx \frac{1000}{43.5} \approx 22.98 \, Hz \approx 23 \, Hz$.

(D) दिया गया है: $C = 10^{-11} \, F$,$L = 10^{-5} \, H$,$R = 100 \, \Omega$ और $q_{DC} = 10^{-9} \, C$.
$1$. सबसे पहले,स्थिर-अवस्था (steady-state) स्थिति का उपयोग करके $D.C.$ वोल्टेज $E$ ज्ञात करें जहाँ संधारित्र एक ओपन सर्किट के रूप में कार्य करता है: $E = q_{DC} / C = 10^{-9} / 10^{-11} = 100 \, V$. चूंकि $E_0 = E$,इसलिए $A.C.$ स्रोत का शिखर वोल्टेज $E_0 = 100 \, V$ है।
$2$. अनुनाद पर,$L-C-R$ परिपथ का प्रतिबाधा (impedance) $Z = R = 100 \, \Omega$ है। शिखर धारा $I_0 = E_0 / Z = 100 / 100 = 1 \, A$ है।
$3$. अनुनादी कोणीय आवृत्ति $\omega = 1 / \sqrt{LC} = 1 / \sqrt{10^{-5} \times 10^{-11}} = 1 / \sqrt{10^{-16}} = 10^8 \, rad/s$ है।
$4$. $A.C.$ परिपथ में संधारित्र पर शिखर आवेश $Q_0$,शिखर धारा $I_0$ से $Q_0 = I_0 / \omega$ द्वारा संबंधित है।
$5$. मान रखने पर: $Q_0 = 1 / 10^8 = 10^{-8} \, C$।

(B) $LRC$ परिपथ का गुणवत्ता कारक $(Q)$,अनुनादी आवृत्ति $(\omega_{0})$ और बैंडविड्थ $(\Delta\omega = \omega_{2} - \omega_{1})$ का अनुपात होता है।
दिए गए ग्राफ से,अनुनादी आवृत्ति $\omega_{0} = 5 \text{ kHz}$ है।
हाफ-पावर आवृत्तियाँ $\omega_{1} = 3.75 \text{ kHz}$ और $\omega_{2} = 6.25 \text{ kHz}$ हैं।
बैंडविड्थ $\Delta\omega = \omega_{2} - \omega_{1} = 6.25 \text{ kHz} - 3.75 \text{ kHz} = 2.5 \text{ kHz}$ है।
अतः,गुणवत्ता कारक $Q = \frac{\omega_{0}}{\Delta\omega} = \frac{5}{2.5} = 2.0$.
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(D) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $(Z)$ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
अनुनाद पर,प्रेरकीय प्रतिघात $(X_L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ के बराबर होता है,इसलिए $X_L - X_C = 0$ होता है।
अतः,प्रतिबाधा $Z = R$ हो जाती है,जो परिपथ के लिए न्यूनतम संभव मान है।
चूंकि $Z$ न्यूनतम है,इसलिए धारा $I = V/Z$ अधिकतम होती है।
अनुनाद पर,कला कोण $\phi = \tan^{-1}((X_L - X_C)/R) = 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि धारा अनुप्रयुक्त वोल्टेज के साथ समान कला में है।
संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $V_C = I X_C = (V/R) X_C$ है। यदि $R$ को कम किया जाता है,तो $I$ बढ़ता है,इसलिए $V_C$ बढ़ जाता है।
अतः,यह कथन कि प्रतिबाधा अधिकतम होती है,गलत है।

(C) $LC$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
जब पात्र निर्वातित होता है,तो धारिता $C_0$ होती है,अतः $f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC_0}} = 10,000\, Hz$ है।
जब पात्र को $K$ परावैद्युतांक वाली गैस से भरा जाता है,तो नई धारिता $C_g = K C_0$ हो जाती है।
नई अनुनाद आवृत्ति $f_g = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L(K C_0)}} = \frac{f_0}{\sqrt{K}}$ होती है।
यह दिया गया है कि आवृत्ति में $50\, Hz$ का परिवर्तन होता है,अतः नई आवृत्ति $f_g = 10,000 - 50 = 9,950\, Hz$ है।
अतः,$\frac{f_g}{f_0} = \frac{1}{\sqrt{K}} = \frac{9,950}{10,000} = 0.995$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{K} = (0.995)^2 \approx 0.990025$ प्राप्त होता है।
$K = \frac{1}{0.990025} \approx 1.010075 \approx 1.01$।

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ में धारा अनुनाद (resonance) की स्थिति में अधिकतम होती है,जहाँ प्रेरणिक प्रतिघात और धारितीय प्रतिघात समान होते हैं $(X_L = X_C)$।
अनुनाद पर,प्रेरक $(V_L)$ और संधारित्र $(V_C)$ के सिरों पर वोल्टेज परिमाण में समान होते हैं।
प्रेरक में संचित ऊर्जा $U_L = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_C = \frac{1}{2} C V_C^2$ है।
अनुनाद पर,$I_{max} = \frac{V}{R}$ और $V_C = I_{max} X_C = \frac{V}{R} \cdot \frac{1}{\omega C}$।
चूंकि $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$,इसलिए $V_C = \frac{V}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को ऊर्जा के सूत्रों में रखने पर:
$U_L = \frac{1}{2} L (\frac{V}{R})^2$
$U_C = \frac{1}{2} C (\frac{V}{R} \sqrt{\frac{L}{C}})^2 = \frac{1}{2} L \frac{V^2}{R^2}$
अतः,$U_C = U_L$,जिसका अर्थ है कि अनुपात $U_C : U_L = 1 : 1$ है।

(C) अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर होता है: $\omega L = \frac{1}{\omega C}$।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{V_R}{R} = \frac{100 \, V}{1000 \, \Omega} = 0.1 \, A$ है।
प्रेरक $L$ के सिरों पर वोल्टेज $V_L = I X_L = I \omega L$ है।
चूंकि अनुनाद पर $\omega L = \frac{1}{\omega C}$ होता है,इसलिए हम लिख सकते हैं $V_L = \frac{I}{\omega C}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $V_L = \frac{0.1}{200 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{0.1}{400 \times 10^{-6}} = \frac{0.1}{4 \times 10^{-4}} = \frac{1000}{4} = 250 \, V$।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,प्रेरक (inductor) के सिरों पर वोल्टेज $V_L = I X_L = I(\omega L)$ है और संधारित्र (capacitor) के सिरों पर वोल्टेज $V_C = I X_C = I(\frac{1}{\omega C})$ है।
वोल्टमीटर $V_2$ प्रेरक और संधारित्र के श्रेणी संयोजन के सिरों पर जुड़ा हुआ है।
वोल्टमीटर $V_2$ का पाठ्यांक $V_2 = |V_L - V_C| = |I X_L - I X_C| = I |X_L - X_C|$ द्वारा दिया जाता है।
अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर होता है,अर्थात $X_L = X_C$ या $\omega L = \frac{1}{\omega C}$।
इस मान को $V_2$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $V_2 = I |X_L - X_L| = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुनाद की स्थिति में वोल्टमीटर $V_2$ का पाठ्यांक $0$ होता है।

(D) परिपथ आरेख से, स्रोत वोल्टेज $V_{source} = 75 \, V$ और आवृत्ति $f = 500 \, Hz$ है। वोल्टमीटर प्रतिरोध $R$ के सिरों पर जुड़ा है और इसका पाठ्यांक $V_R = 75 \, V$ है।
चूंकि $V_R = V_{source}$, इसलिए प्रेरक और संधारित्र के श्रेणी संयोजन पर वोल्टेज ड्रॉप शून्य होना चाहिए, अर्थात $V_L - V_C = 0$, जिसका अर्थ है $V_L = V_C$।
यह स्थिति $LCR$ परिपथ में विद्युत अनुनाद (resonance) को दर्शाती है, जहां प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है।
अनुनाद आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ है।
$C$ के लिए हल करने पर, $C = \frac{1}{4 \pi^2 f^2 L}$ प्राप्त होता है।
यहां $L = 10 \, mH = 0.01 \, H$ और $f = 500 \, Hz$ दिया गया है।
मान रखने पर: $C = \frac{1}{4 \times \pi^2 \times (500)^2 \times 0.01} = \frac{1}{4 \times 9.8696 \times 2500} \approx 10.13 \, \mu F$।
अतः, निकटतम विकल्प $10 \, \mu F$ है।

(B) श्रेणी $LCR$ परिपथ के लिए गुणवत्ता कारक $Q$ का सूत्र है: $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $Q^2 = \frac{1}{R^2} \cdot \frac{L}{C}$,जिसका अर्थ है $L = Q^2 R^2 C$।
दिए गए मान हैं: $Q = 0.4$,$R = 2 \, k\Omega = 2 \times 10^3 \, \Omega$,और $C = 0.1 \, \mu F = 0.1 \times 10^{-6} \, F$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$L = (0.4)^2 \times (2 \times 10^3)^2 \times (0.1 \times 10^{-6})$
$L = 0.16 \times 4 \times 10^6 \times 0.1 \times 10^{-6}$
$L = 0.16 \times 4 \times 0.1$
$L = 0.064 \, H$।

(B) अनुनाद आवृत्ति पर,प्रेरणिक प्रतिघात $(X_{L})$ और धारितीय प्रतिघात $(X_{C})$ बराबर होते हैं।
अर्थात,$X_{L} = X_{C}$।
श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र है:
$Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$
समीकरण में $X_{L} = X_{C}$ रखने पर:
$Z = \sqrt{R^{2} + (0)^{2}} = \sqrt{R^{2}} = R$
चूंकि $R$ इस परिपथ में प्रतिबाधा का सबसे छोटा संभव मान है,इसलिए अनुनाद पर प्रतिबाधा न्यूनतम होती है।

(B) यह परिपथ $AC$ स्रोत $E = E_0 \sin(\omega t)$ से जुड़ा एक श्रेणी $LCR$ परिपथ है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है,अर्थात $X_L = X_C$।
परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = R$ है।
परिपथ में धारा $I = \frac{E_{rms}}{Z} = \frac{E_0}{\sqrt{2}R}$ है।
वोल्टमीटर $V_2$ $LC$ संयोजन के सिरों पर वोल्टेज मापता है,जो $V_2 = I(X_L - X_C)$ है। अनुनाद पर $X_L = X_C$ होने के कारण,$V_2 = 0$ होता है।
वोल्टमीटर $V_1$ प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज मापता है,$V_1 = IR = \frac{E_0}{\sqrt{2}R} \cdot R = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$।
वोल्टमीटर $V_3$ पूरे स्रोत के सिरों पर जुड़ा है,इसलिए यह स्रोत वोल्टेज का $RMS$ मान मापता है,$V_3 = E_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$।
अतः,$V_1 = V_3 = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ और $V_2 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) $LCR$ परिपथ का गुणवत्ता कारक $(Q)$, अनुनादी आवृत्ति $(f_0)$ और बैंडविड्थ $(\Delta f = f_2 - f_1)$ का अनुपात होता है।
दिया गया है:
अनुनादी आवृत्ति $(f_0)$ = $600 \ Hz$
हाफ-पावर बिंदु $f_2 = 650 \ Hz$ और $f_1 = 550 \ Hz$ हैं।
बैंडविड्थ $(\Delta f)$ = $f_2 - f_1 = 650 \ Hz - 550 \ Hz = 100 \ Hz$.
गुणवत्ता कारक $(Q)$ = $\frac{f_0}{\Delta f} = \frac{600}{100} = 6$.

(D) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,अनुनाद तब होता है जब प्रेरक प्रतिघात (inductive reactance) धारिता प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर होता है $(X_L = X_C)$।
अनुनाद पर,परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) पूरी तरह से प्रतिरोधक $(Z = R)$ होती है,जिसका अर्थ है कि वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर (phase difference) $\phi = 0^o$ है।
वाटहीन धारा (या निष्क्रिय धारा) धारा का वह घटक है जो बिजली की खपत में योगदान नहीं देता है,जिसे सूत्र $I_w = I_0 \sin \phi$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि अनुनाद पर $\phi = 0^o$ है,इसलिए वाटहीन धारा $I_w = I_0 \sin(0^o) = I_0 \times 0 = 0$ होगी।

(A) दिया गया है कि $X_L = 4\,\Omega$ और $X_C = 4\,\Omega$ है।
चूंकि $X_L = X_C$ है,इसलिए परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
अनुनाद में,परिपथ की कुल प्रतिबाधा (impedance) $Z$,प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है,इसलिए $Z = R = 45\,\Omega$ है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V_{source}}{Z} = \frac{90\,V}{45\,\Omega} = 2\,A$ है।
प्रेरक और संधारित्र के श्रेणी संयोजन पर वोल्टेज ड्रॉप $V_{LC} = I \times |X_L - X_C|$ होता है।
चूंकि $X_L = X_C$ है,इसलिए $V_{LC} = 2\,A \times |4\,\Omega - 4\,\Omega| = 2\,A \times 0\,\Omega = 0\,V$ है।
अतः,एमीटर का पाठ्यांक $2\,A$ और वोल्टमीटर का पाठ्यांक $0\,V$ है।

(A) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 100 \, \Omega$, वोल्टेज $V = 100 \, V$.
स्थिति $1$: जब संधारित्र को हटा दिया जाता है, तो परिपथ एक $L-R$ श्रेणी परिपथ बन जाता है। धारा वोल्टेज से $\phi = 45^{\circ}$ पीछे रहती है।
$\tan \phi = \frac{X_L}{R} \implies \tan 45^{\circ} = \frac{X_L}{100} \implies 1 = \frac{X_L}{100} \implies X_L = 100 \, \Omega$.
स्थिति $2$: जब प्रेरक को हटा दिया जाता है, तो परिपथ एक $C-R$ श्रेणी परिपथ बन जाता है। धारा वोल्टेज से $\phi = 45^{\circ}$ आगे रहती है।
$\tan \phi = \frac{X_C}{R} \implies \tan 45^{\circ} = \frac{X_C}{100} \implies 1 = \frac{X_C}{100} \implies X_C = 100 \, \Omega$.
चूंकि $X_L = X_C$, परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है। अनुनाद में, प्रतिबाधा $Z = R$ होती है।
$Z = 100 \, \Omega$.
परिपथ में बहने वाली धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{100}{100} = 1 \, A$ है।

(A) एक श्रेणी $R-L-C$ परिपथ में,प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$ द्वारा दी जाती है।
अनुनाद (resonance) पर,$X_{L} = X_{C}$,इसलिए $Z = R$ होता है।
$(i)$ अधिकतम धारा $I_{m} = \frac{E}{R}$ है। यदि $R$ घटता है,तो $I_{m}$ बढ़ता है।
$(ii)$ गुणवत्ता कारक (quality factor) $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ है। यदि $R$ घटता है,तो $Q$ बढ़ता है।
$(iii)$ गुणवत्ता कारक को $Q = \frac{f_{r}}{\Delta f}$ के रूप में भी परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\Delta f$ बैंडविड्थ है। चूँकि $R$ घटने पर $Q$ बढ़ता है,इसलिए बैंडविड्थ $\Delta f = \frac{f_{r}}{Q}$ घटनी चाहिए।
$(iv)$ उच्च $Q$ कारक का अर्थ है कि अनुनाद वक्र अधिक तीक्ष्ण (sharper) हो जाता है। अतः,ग्राफ की तीक्ष्णता बढ़ती है।
इसलिए,कथन $(a)$,$(b)$,और $(c)$ सही हैं।

(C) दिए गए समानांतर $LCR$ परिपथ में,अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ $(X_L = X_C)$ के बराबर होता है।
इसका अर्थ है कि $LC$ शाखा की प्रतिबाधा शून्य हो जाती है (आदर्श घटकों को मानते हुए)।
हालाँकि,प्रतिरोध $R$ में धारा आरोपित वोल्टेज $V$ और स्वयं प्रतिरोध $R$ द्वारा निर्धारित होती है,जो $I = V/R$ है।
चूँकि $R$,$LC$ संयोजन के समानांतर है,इसलिए $R$ के सिरों पर वोल्टेज स्रोत वोल्टेज $V$ के बराबर ही रहता है।
अतः,प्रतिरोध $R$ में धारा $I_{max} = V/R$ है,जो इस परिपथ के लिए अधिकतम संभव मान है और यह परिमित है।

(C) $L$ की विमाएँ $[M L^2 T^{-2} A^{-2}]$ हैं।
$C$ की विमाएँ $[M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]$ हैं।
$R$ की विमाएँ $[M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ हैं।
संयोजन $1/\sqrt{LC}$ के लिए:
$\frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{[M L^2 T^{-2} A^{-2}] \times [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]}} = \frac{1}{\sqrt{T^2}} = T^{-1}$.
चूंकि $T^{-1}$ आवृत्ति की विमा है,इसलिए विकल्प $C$ सही है।
नोट: $R/L$ की विमाएँ भी आवृत्ति $(T^{-1})$ के समान होती हैं,लेकिन $1/\sqrt{LC}$ मानक अनुनादी आवृत्ति (resonant frequency) का संयोजन है।

(D) एक प्रेरक का गुणवत्ता कारक $Q$,प्रेरकत्व प्रतिघात (inductive reactance) और कुंडली के प्रतिरोध के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$Q = \frac{X_L}{R}$
चूंकि प्रेरकत्व प्रतिघात $X_L = \omega L$ होता है,इसलिए हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$Q = \frac{\omega L}{R}$
अतः,गुणवत्ता कारक $Q = \frac{\omega L}{R}$ है।

(A) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 10\,mH = 10^{-2}\,H$,आवृत्ति $f = 1\,MHz = 10^6\,Hz$,$\pi^2 = 10$.
$LCR$ सर्किट के लिए अनुनाद की स्थिति का सूत्र है:
$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$f^2 = \frac{1}{4\pi^2LC}$
$C$ के लिए हल करने पर:
$C = \frac{1}{4\pi^2f^2L}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$C = \frac{1}{4 \times 10 \times (10^6)^2 \times 10^{-2}}$
$C = \frac{1}{40 \times 10^{12} \times 10^{-2}}$
$C = \frac{1}{40 \times 10^{10}} = \frac{1}{4} \times 10^{-11} = 0.25 \times 10^{-11}\,F$
$pF$ में बदलने पर $(1\,pF = 10^{-12}\,F)$:
$C = 2.5 \times 10^{-12}\,F = 2.5\,pF$.

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,प्रतिबाधा (impedance) $Z$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ होता है।
अनुनाद तब होता है जब प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega L$ और धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C}$ समान और विपरीत होते हैं,जिससे $X_L - X_C = 0$ हो जाता है।
इस स्थिति में,प्रतिबाधा $Z$ न्यूनतम $(Z = R)$ हो जाती है,और धारा $I = \frac{V}{Z}$ अधिकतम हो जाती है।
चूंकि अनुनाद के लिए शर्त वास्तव में $X_L = X_C$ है,इसलिए कारण,कथन की सही व्याख्या करता है।

(N/A) वह आवृत्ति जिस पर अनुनाद होता है,उसे सूत्र $\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दिया जाता है।
$L = 25.48 \times 10^{-3} \, H$ और $C = 796 \times 10^{-6} \, F$ का मान रखने पर:
$\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{25.48 \times 10^{-3} \times 796 \times 10^{-6}}} = 222.1 \, rad/s$ प्राप्त होता है।
हर्ट्ज़ में अनुनाद आवृत्ति $v_{r} = \frac{\omega_{0}}{2\pi} = \frac{222.1}{2 \times 3.14} \approx 35.4 \, Hz$ है।
$(b)$ अनुनाद पर,प्रेरक प्रतिघात धारिता प्रतिघात के बराबर होता है $(X_{L} = X_{C})$,इसलिए प्रतिबाधा $Z$ प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है:
$Z = R = 3 \, \Omega$।
अनुनाद पर rms धारा $I = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{V_{peak} / \sqrt{2}}{R} = \frac{283 / 1.414}{3} \approx 66.7 \, A$ है।
अनुनाद पर व्ययित शक्ति $P = I^{2}R = (66.7)^{2} \times 3 \approx 13.35 \, kW$ है।

(B) मेटल डिटेक्टर $AC$ परिपथों में $LC$ अनुनाद के सिद्धांत पर कार्य करता है।
जब कोई व्यक्ति मेटल डिटेक्टर से गुजरता है,तो वह एक बड़ी कुंडली (कॉइल) से होकर गुजरता है जो एक प्रेरक (इंडक्टर) के रूप में कार्य करती है।
यह कुंडली एक $LC$ परिपथ का हिस्सा होती है जिसे एक विशिष्ट अनुनादी आवृत्ति पर ट्यून किया जाता है।
धातु की वस्तु की उपस्थिति कुंडली के प्रभावी प्रेरकत्व को बदल देती है,जो बदले में परिपथ की अनुनादी आवृत्ति को बदल देती है।
यह बदलाव परिपथ को अनुनाद की स्थिति से बाहर कर देता है,जिसके परिणामस्वरूप परिपथ में बहने वाली धारा में महत्वपूर्ण परिवर्तन होता है।
धारा में इस परिवर्तन का पता इलेक्ट्रॉनिक परिपथ द्वारा लगाया जाता है,जो अलार्म की ध्वनि उत्पन्न करता है।

(A) दिए गए मान हैं: $L = 2.0 \; H$,$C = 32 \times 10^{-6} \; F$,और $R = 10 \; \Omega$.
अनुनादी आवृत्ति $\omega_{r}$ का सूत्र $\omega_{r} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
मान रखने पर: $\omega_{r} = \frac{1}{\sqrt{2.0 \times 32 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{64 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{8 \times 10^{-3}} = 125 \; rad/s$.
श्रेणीबद्ध $LCR$ परिपथ के लिए $Q$-मान (Quality factor) का सूत्र $Q = \frac{\omega_{r} L}{R}$ है।
मान रखने पर: $Q = \frac{125 \times 2.0}{10} = \frac{250}{10} = 25$.
वैकल्पिक रूप से,$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{2.0}{32 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{1}{16 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{10} \times \frac{1}{4 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{40} = 25$.
अतः,$Q$-मान $25$ है।

(D) दिया गया है:
$R = 20\; \Omega$
$L = 1.5\; H$
$C = 35\; \mu F = 35 \times 10^{-6}\; F$
$V = 200\; V$
अनुनाद की स्थिति में,स्रोत की आवृत्ति परिपथ की प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर होती है,जिसका अर्थ है कि $X_L = X_C$.
श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
अनुनाद पर $X_L = X_C$ होने के कारण,प्रतिबाधा $Z = R = 20\; \Omega$ हो जाती है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{200}{20} = 10\; A$ है।
परिपथ को स्थानांतरित औसत शक्ति $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$P = (10)^2 \times 20 = 100 \times 20 = 2000\; W$.

(N/A) दिया गया है: $V_{rms} = 230 \; V$,$L = 5.0 \; H$,$C = 80 \; \mu F = 80 \times 10^{-6} \; F$,$R = 40 \; \Omega$.
$(a)$ अनुनादी कोणीय आवृत्ति $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{5.0 \times 80 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{400 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{20 \times 10^{-3}} = 50 \; rad/s$.
$(b)$ अनुनाद पर,प्रतिबाधा $Z = R = 40 \; \Omega$.
$rms$ धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{230}{40} = 5.75 \; A$.
धारा का आयाम $I_0 = \sqrt{2} \times I_{rms} = 1.414 \times 5.75 \approx 8.13 \; A$.
$(c)$ $rms$ विभवांतर इस प्रकार हैं:
$V_R = I_{rms} R = 5.75 \times 40 = 230 \; V$.
$X_L = \omega_0 L = 50 \times 5 = 250 \; \Omega$.
$X_C = \frac{1}{\omega_0 C} = \frac{1}{50 \times 80 \times 10^{-6}} = \frac{1}{4000 \times 10^{-6}} = 250 \; \Omega$.
$V_L = I_{rms} X_L = 5.75 \times 250 = 1437.5 \; V$.
$V_C = I_{rms} X_C = 5.75 \times 250 = 1437.5 \; V$.
$LC$ संयोजन के लिए,$V_{LC} = I_{rms} |X_L - X_C| = 5.75 \times |250 - 250| = 0 \; V$. अतः,अनुनाद पर $LC$ संयोजन पर विभवांतर शून्य है।

(A) दिया गया है: $L = 0.12\, H$,$C = 480\, nF = 480 \times 10^{-9}\, F$,$R = 23\, \Omega$,$V_{rms} = 230\, V$.
पीक वोल्टेज $V_0 = \sqrt{2} \times 230 = 325.27\, V$.
$(a)$ अनुनाद पर धारा आयाम अधिकतम होता है। अनुनाद आवृत्ति $\omega_R = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{0.12 \times 480 \times 10^{-9}}} = 4166.67\, rad/s$.
आवृत्ति $f_R = \frac{\omega_R}{2\pi} = \frac{4166.67}{6.28} \approx 663.48\, Hz$.
अधिकतम धारा $I_{max} = \frac{V_0}{R} = \frac{325.27}{23} \approx 14.14\, A$.
$(b)$ अनुनाद पर औसत शक्ति अधिकतम होती है। $f = 663.48\, Hz$.
$P_{max} = I_{rms}^2 R = \frac{1}{2} I_{max}^2 R = \frac{1}{2} \times (14.14)^2 \times 23 \approx 2299.3\, W$.
$(c)$ हाफ-पावर आवृत्तियों $f = f_R \pm \Delta f$ पर शक्ति आधी होती है।
बैंडविड्थ $2\Delta\omega = \frac{R}{L} = \frac{23}{0.12} = 191.67\, rad/s$.
$\Delta f = \frac{\Delta\omega}{2\pi} = \frac{191.67}{2 \times 2 \times 3.14} \approx 15.26\, Hz$.
आवृत्तियाँ $663.48 + 15.26 = 678.74\, Hz$ और $663.48 - 15.26 = 648.22\, Hz$ हैं।
धारा आयाम $I' = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}} = \frac{14.14}{1.414} = 10\, A$.
$(d)$ $Q$-गुणक $= \frac{\omega_R L}{R} = \frac{4166.67 \times 0.12}{23} \approx 21.74$.

(A) प्रेरकत्व,$L = 3.0\; H$
धारिता,$C = 27\; \mu F = 27 \times 10^{-6}\; F$
प्रतिरोध,$R = 7.4\; \Omega$
अनुनाद पर,कोणीय आवृत्ति $\omega_r = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
$\omega_r = \frac{1}{\sqrt{3.0 \times 27 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{81 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{9 \times 10^{-3}} = 111.11\; rad/s$.
$Q$-कारक $Q = \frac{\omega_r L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
$Q = \frac{111.11 \times 3.0}{7.4} \approx 45.04$.
'फुल विड्थ एट हाफ मैक्सिमम' (बैंडविड्थ) $\Delta \omega = \frac{R}{L}$ द्वारा दी जाती है।
$\omega_r$ को स्थिर रखते हुए बैंडविड्थ को $2$ के गुणक से कम करने के लिए,हमें प्रतिरोध $R$ को $2$ के गुणक से कम करना होगा।
नया प्रतिरोध $R' = \frac{R}{2} = \frac{7.4}{2} = 3.7\; \Omega$.

(N/A) $V_{m}$ आयाम और $\omega$ कोणीय आवृत्ति वाले वोल्टेज स्रोत द्वारा संचालित $L-C-R$ श्रेणी परिपथ के लिए,धारा का आयाम $I_{m}$ इस प्रकार है:
$I_{m} = \frac{V_{m}}{Z} = \frac{V_{m}}{\sqrt{R^{2} + (X_{C} - X_{L})^{2}}}$
जहाँ $X_{C} = \frac{1}{\omega C}$ धारितीय प्रतिघात है और $X_{L} = \omega L$ प्रेरणिक प्रतिघात है।
अनुनाद तब होता है जब धारा का आयाम $I_{m}$ अधिकतम होता है। यह तब होता है जब प्रतिबाधा $Z$ न्यूनतम होती है। चूँकि $Z = \sqrt{R^{2} + (X_{C} - X_{L})^{2}}$,$Z$ तब न्यूनतम होता है जब $X_{C} - X_{L} = 0$,अर्थात $X_{C} = X_{L}$।
इस स्थिति में:
$X_{C} = X_{L} \implies \frac{1}{\omega_{0} C} = \omega_{0} L \implies \omega_{0}^{2} = \frac{1}{LC} \implies \omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
जहाँ $\omega_{0}$ अनुनादी कोणीय आवृत्ति है।
अनुनाद पर,प्रतिबाधा $Z = R$ होती है और धारा का आयाम $I_{m} = \frac{V_{m}}{R}$ होता है।
उपयोग: $L-C-R$ परिपथ में अनुनाद का मुख्य उपयोग रेडियो और टेलीविजन रिसीवर में ट्यूनिंग सर्किट के रूप में किया जाता है,ताकि संकेतों की एक श्रृंखला से एक विशिष्ट आवृत्ति का चयन किया जा सके।
यह केवल ऐसे $L-C-R$ श्रेणी परिपथ में संभव है जिसमें प्रेरक $(L)$ और संधारित्र $(C)$ दोनों मौजूद हों।

(N/A) $1$. अनुनाद की तीक्ष्णता: अनुनाद की तीक्ष्णता को अनुनाद आवृत्ति $\omega_0$ और बैंडविड्थ $2\Delta\omega$ के अनुपात द्वारा दर्शाया जाता है। यह $\frac{\omega_0}{2\Delta\omega} = \frac{\omega_0 L}{R}$ समीकरण द्वारा दिया जाता है। उच्च मान अधिक तीक्ष्ण अनुनाद को दर्शाता है।
$2$. गुणवत्ता कारक $(Q)$: गुणवत्ता कारक $Q$ को अनुनाद आवृत्ति और बैंडविड्थ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह अनुनाद वक्र की तीक्ष्णता को मापता है। $Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$.
$3$. बैंडविड्थ: बैंडविड्थ को उस आवृत्ति सीमा $\Delta\omega_1 + \Delta\omega_2 = 2\Delta\omega$ के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें परिपथ में धारा अपने अधिकतम मान का कम से कम $\frac{1}{\sqrt{2}}$ गुना होती है। इन आवृत्तियों को हाफ-पावर फ्रीक्वेंसी के रूप में जाना जाता है।

(N/A) $L-C-R$ श्रेणी परिपथ में धारा का आयाम $I_m = \frac{V_m}{\sqrt{R^2 + (\omega L - 1/\omega C)^2}}$ होता है।
अनुनाद पर,$\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$,इसलिए $I_{max} = V_m/R$।
हाफ-पावर आवृत्तियाँ $\omega_1$ और $\omega_2$ तब प्राप्त होती हैं जब $I_m = I_{max}/\sqrt{2}$,जिसका अर्थ है $Z = \sqrt{2}R$।
अतः,$R^2 + (\omega L - 1/\omega C)^2 = 2R^2$,जिससे $\omega L - 1/\omega C = \pm R$ प्राप्त होता है।
$\omega_2 = \omega_0 + \Delta\omega$ के लिए,हमारे पास $\omega_2 L - 1/(\omega_2 C) = R$ है।
$\omega_2 = \omega_0 + \Delta\omega$ प्रतिस्थापित करने और $\omega_0 L = 1/(\omega_0 C)$ का उपयोग करने पर,हमें $L(2\Delta\omega) = R$ प्राप्त होता है,इसलिए बैंडविड्थ $2\Delta\omega = R/L$ है।
$Q$ फैक्टर को $Q = \omega_0 / (2\Delta\omega) = \omega_0 L / R = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।

(N/A) अनुनाद आवृत्ति प्रतिरोध $R$ से स्वतंत्र होती है,लेकिन अनुनाद की तीक्ष्णता $R$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
अनुनाद की तीक्ष्णता $= \frac{\omega_{0}}{2 \Delta \omega}$
$= \frac{\omega_{0} L}{R}$
यहाँ,$\frac{\omega_{0} L}{R}$ को परिपथ का गुणवत्ता कारक (quality factor) $Q$ कहा जाता है।
$\therefore$ गुणवत्ता कारक $Q = \frac{\omega_{0} L}{R}$
$\therefore Q = \frac{\text{अनुनाद आवृत्ति}}{\text{बैंडविड्थ}} = \frac{\omega_{0}}{\omega_{2} - \omega_{1}}$
$\therefore 2 \Delta \omega = \frac{\omega_{0}}{Q}$,जहाँ $\omega_{2}$ और $\omega_{1}$ वे आवृत्तियाँ हैं जिन पर धारा का आयाम $(I_{\text{rms}})_{\max}$ का $\frac{1}{\sqrt{2}}$ गुना होता है।
इस प्रकार,$Q$ का मान जितना अधिक होगा,बैंडविड्थ $(2 \Delta \omega)$ उतनी ही कम होगी और अनुनाद उतना ही तीक्ष्ण होगा।
$\omega_{0}^{2} = \frac{1}{LC}$ का उपयोग करते हुए:
$Q = \frac{\omega_{0} L}{R} = \frac{\omega_{0}}{R} \times \frac{1}{\omega_{0}^{2} C} = \frac{1}{\omega_{0} R C}$
यदि अनुनाद कम तीक्ष्ण है,तो अधिकतम धारा कम होती है और परिपथ आवृत्तियों की एक बड़ी सीमा $\Delta \omega$ के लिए अनुनाद के करीब रहता है,जिससे ट्यूनिंग अच्छी नहीं होती है। इसलिए,कम तीक्ष्ण अनुनाद का अर्थ है कम चयनात्मकता (selectivity),और उच्च $Q$ कारक का अर्थ है उच्च चयनात्मकता।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,अनुनाद तब होता है जब प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L = \omega L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C = 1/(\omega C))$ के बराबर होता है।
यह स्थिति $X_L = X_C$ दर्शाती है,जो $\omega L = 1/(\omega C)$ या $\omega^2 = 1/(LC)$ की ओर ले जाती है।
इस आवृत्ति पर,परिपथ का कुल प्रतिघात शून्य $(X = X_L - X_C = 0)$ हो जाता है।
परिणामस्वरूप,परिपथ की प्रतिबाधा (Impedance) प्रतिरोध $(Z = R)$ के बराबर हो जाती है,जो कि न्यूनतम संभव प्रतिबाधा है।
चूंकि $Z$ न्यूनतम है,परिपथ में धारा $(I = V/Z)$ अपने अधिकतम मान तक पहुँच जाती है।
कुल प्रतिघात शून्य होने के कारण,वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर (Phase angle) शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि परिपथ एक शुद्ध प्रतिरोधी परिपथ की तरह व्यवहार करता है।

(N/A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,अनुनाद तब होता है जब प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ के बराबर होता है।
$X_L = X_C$ दिया गया है,इसलिए हमारे पास $\omega L = \frac{1}{\omega C}$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{1}{LC}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$।
चूंकि $\omega = 2\pi f$,इसलिए अनुनादी आवृत्ति $f_r$ का सूत्र $f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ है।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में, प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ होता है।
अनुनाद की स्थिति में, प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है, अर्थात $X_L = X_C$।
इस मान को प्रतिबाधा के सूत्र में रखने पर, हमें $Z = \sqrt{R^2 + (0)^2} = \sqrt{R^2} = R$ प्राप्त होता है।
अतः, अनुनाद पर परिपथ की प्रतिबाधा परिपथ के प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है, जो प्रतिबाधा का न्यूनतम संभव मान है।

(D) श्रेणी $LCR$ परिपथ के $Q$-फैक्टर (क्वालिटी फैक्टर) को अनुनाद आवृत्ति और परिपथ की बैंडविड्थ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$Q = \frac{\omega_0}{\Delta\omega} = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$.
यह अनुनाद शिखर की तीक्ष्णता को दर्शाता है।
उच्च $Q$-फैक्टर अधिक तीक्ष्ण अनुनाद और परिपथ की बेहतर चयनात्मकता (selectivity) को इंगित करता है।
यह परिपथ के प्रेरकत्व $(L)$,धारिता $(C)$ और प्रतिरोध $(R)$ के मानों पर निर्भर करता है।