Half Power Frequency , Quality Factor ,Resonance in AC Circuit Questions in Hindi

(A) एक $L-C$ परिपथ में,अनुनाद (resonance) तब होता है जब प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ के बराबर होता है।
$X_L = X_C$
$\omega L = \frac{1}{\omega C}$
$\omega^2 = \frac{1}{LC}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
चूंकि $\omega = 2 \pi f$ होता है,इसलिए अनुनादी आवृत्ति $f$ का मान है:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$

(C) $L-C-R$ श्रेणी परिपथ में,अनुनाद तब होता है जब प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ के बराबर होता है,अर्थात $X_L = X_C$।
परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
अनुनाद पर,$Z = \sqrt{R^2 + 0} = R$ होता है।
शक्ति गुणांक $(\cos \phi)$ को प्रतिरोध और प्रतिबाधा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\cos \phi = \frac{R}{Z}$।
$Z = R$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुनाद पर शक्ति गुणांक इकाई (unity) होता है।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में धारा $i = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ $rms$ वोल्टेज है,$R$ प्रतिरोध है,$X_L = \omega L$ प्रेरणिक प्रतिघात है और $X_C = \frac{1}{\omega C}$ धारितीय प्रतिघात है।
धारा को अधिकतम होने के लिए,प्रतिबाधा न्यूनतम होनी चाहिए,जो तब होती है जब $X_L = X_C$ हो।
इस स्थिति को अनुनाद (resonance) कहा जाता है,जहाँ $\omega L = \frac{1}{\omega C}$ होता है।
$L$ के लिए हल करने पर,$L = \frac{1}{\omega^2 C}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\omega = 1000 \ s^{-1}$ और $C = 10 \ \mu F = 10 \times 10^{-6} \ F$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $L = \frac{1}{(1000)^2 \times 10 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^6 \times 10^{-5}} = \frac{1}{10} = 0.1 \ H$।
मिलीहेनरी में बदलने पर: $0.1 \ H = 100 \ mH$।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
अनुनाद (resonance) की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ और धारितीय प्रतिघात $X_C$ बराबर होते हैं,अर्थात $X_L = X_C$।
इसलिए,कुल प्रतिघात $X = X_L - X_C = 0$ होता है।
कलांतर $\phi$ का मान $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{0}{R} = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$\phi = 0$,जिसका अर्थ है कि अनुनाद की स्थिति में धारा और वोल्टेज समान कला में होते हैं।

(D) जब धारा वोल्टेज के साथ समान कला में होती है,तो परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में होता है। इस स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर होता है,और परिपथ का प्रतिबाधा $Z$ प्रतिरोध $R$ के बराबर होता है।
दिया गया है $R = 20 \ \Omega$.
अतः,$Z = R = 20 \ \Omega$.
दिया गया वोल्टेज $V_{rms} = 220 \ V$ है। शिखर वोल्टेज $e_0 = V_{rms} \sqrt{2} = 220 \sqrt{2} \ V$ होता है।
अधिकतम धारा $i_0 = \frac{e_0}{Z} = \frac{220 \sqrt{2}}{20} = 11 \sqrt{2} \ A$ प्राप्त होती है।
हम $11 \sqrt{2} = \sqrt{11^2 \times 2} = \sqrt{121 \times 2} = \sqrt{242} \ A$ लिख सकते हैं।
इसकी तुलना $\sqrt{x} \ A$ से करने पर,हमें $x = 242$ प्राप्त होता है।

(A) समानांतर अनुनादी परिपथ में,धारिता प्रतिघात $(X_{C})$ और प्रेरणिक प्रतिघात $(X_{L})$ समान होते हैं $(X_{L} = X_{C})$।
चूंकि प्रेरक और संधारित्र समानांतर में हैं,इसलिए उनके सिरों पर वोल्टेज समान होता है।
अतः,धाराओं के परिमाण समान होते हैं: $i_{L} = i_{C} = \frac{e}{X_{L}} = \frac{e}{X_{C}}$।
हालाँकि,प्रेरक से बहने वाली धारा वोल्टेज से $90^{\circ}$ पीछे होती है,और संधारित्र से बहने वाली धारा वोल्टेज से $90^{\circ}$ आगे होती है।
इस प्रकार,धाराएँ $i_{L}$ और $i_{C}$ एक-दूसरे से $180^{\circ}$ के कलांतर (phase difference) पर होती हैं।
परिपथ में कुल धारा $i$,$i_{L}$ और $i_{C}$ का फेजर योग है,जो $i = |i_{L} - i_{C}| = 0$ होता है।
अतः,सही स्थिति $i = 0$ और $i_{L} = i_{C} \neq 0$ है।

(D) $LC$ समानांतर अनुनादी परिपथ में,अनुनादी आवृत्ति $f_r$ पर प्रतिबाधा (impedance) अधिकतम होती है और अनुनादी आवृत्ति $f_r$ पर धारा न्यूनतम होती है।
ग्राफ $(4)$ दर्शाता है कि अनुनादी आवृत्ति $f_r$ पर धारा न्यूनतम है,जो $LC$ समानांतर अनुनादी परिपथ के लिए सही विशेषता है।

(A) $LC$ समानांतर अनुनादी परिपथ में,अनुनाद (resonance) की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ के बराबर होता है।
यह एक ऐसी स्थिति उत्पन्न करता है जहाँ परिपथ की कुल प्रतिबाधा बहुत अधिक हो जाती है (आदर्श परिपथ में सैद्धांतिक रूप से अनंत)।
चूंकि प्रतिबाधा बहुत अधिक होती है,इसलिए स्रोत से ली गई धारा न्यूनतम होती है।
अतः,$LC$ समानांतर अनुनादी परिपथ अनुनाद की स्थिति में उच्च प्रतिबाधा वाले परिपथ के रूप में कार्य करता है।

(D) $R-L-C$ श्रेणी परिपथ में,कलान्तर $\phi$ को $\tan \phi = \frac{|X_L - X_C|}{R}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
जब $L$ को हटाया जाता है,तो परिपथ एक $R-C$ परिपथ बन जाता है। कलान्तर $\tan \phi = \frac{X_C}{R} = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ है। अतः,$X_C = \sqrt{3}R$ है।
जब $C$ को हटाया जाता है,तो परिपथ एक $R-L$ परिपथ बन जाता है। कलान्तर $\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ है। अतः,$X_L = \sqrt{3}R$ है।
चूँकि $X_L = X_C$ है,परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
अनुनाद पर,प्रतिबाधा $Z = R$ होती है और कलान्तर $\phi = 0$ होता है।
अतः,शक्ति गुणांक $\cos \phi = \cos 0 = 1$ है।

(A) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 10 \ \Omega$,प्रेरकत्व $L = 3 \text{ H}$,धारिता $C = 27 \ \mu\text{F} = 27 \times 10^{-6} \text{ F}$.
बैंडविड्थ $(\Delta \omega) = \frac{R}{L} = \frac{10}{3} \text{ rad/s}$.
क्वालिटी फैक्टर $(Q) = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{3}{27 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{1}{9 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{10} \times \frac{1}{3 \times 10^{-3}} = \frac{100}{3}$.
क्वालिटी फैक्टर और बैंडविड्थ का अनुपात = $\frac{Q}{\Delta \omega} = \frac{100/3}{10/3} = 10 \text{ s}$.

(B) एक अनुनादी परिपथ का गुणवत्ता गुणक ($Q$-गुणक) अनुनादी आवृत्ति और परिपथ की बैंडविड्थ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$Q = \frac{\omega_{0} L}{R}$ होता है।
अनुनाद पर,कोणीय आवृत्ति $\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
$\omega_{0}$ का मान $Q$-गुणक के सूत्र में रखने पर:
$Q = \frac{1}{\sqrt{LC}} \cdot \frac{L}{R} = \frac{1}{R} \cdot \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{C}} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$।

(B) दिया गया है: $L = \frac{3}{\pi^2} \ H$ और $f = 50 \ Hz$.
चूंकि वोल्टेज और धारा समान कला में हैं,इसलिए परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर होता है,इसलिए $X_C = X_L$.
$\frac{1}{\omega C} = \omega L \implies C = \frac{1}{\omega^2 L} = \frac{1}{(2\pi f)^2 L} = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L}$.
मान रखने पर:
$C = \frac{1}{4 \pi^2 \times (50)^2 \times \frac{3}{\pi^2}} = \frac{1}{4 \times 2500 \times 3} = \frac{1}{30000} \ F$.
$C = \frac{1}{3} \times 10^{-4} \ F \approx 0.33 \times 10^{-4} \ F$.

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है,अर्थात $X_L = X_C$।
इस मान को प्रतिबाधा के सूत्र में रखने पर,हमें $Z = \sqrt{R^2 + 0} = R$ प्राप्त होता है।
शक्ति गुणांक को $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$Z = R$ रखने पर,हमें $\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुनाद पर शक्ति गुणांक का मान $1$ होता है।

(D) श्रेणी $LCR$ परिपथ के लिए $Q$ कारक का सूत्र इस प्रकार है:
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$
दिए गए मान $L = 2 \ H$,$C = 18 \ \mu F = 18 \times 10^{-6} \ F$ और $R = 10 \ \Omega$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Q = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{2}{18 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{1}{9 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{10} \times \frac{1}{3 \times 10^{-3}}$
$Q = \frac{1}{10} \times \frac{1000}{3}$
$Q = \frac{100}{3} \approx 33.33$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) $LCR$ श्रेणी परिपथ के लिए अनुनाद आवृत्ति $v_{0}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v_{0} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
दिए गए मान $L = 25 \times 10^{-3} \, H$, $C = 62.5 \times 10^{-6} \, F$ हैं।
सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$v_{0} = \frac{1}{2 \times 3.14159 \times \sqrt{25 \times 10^{-3} \times 62.5 \times 10^{-6}}}$
$v_{0} = \frac{1}{2 \times 3.14159 \times \sqrt{1562.5 \times 10^{-9}}}$
$v_{0} = \frac{1}{2 \times 3.14159 \times \sqrt{1.5625 \times 10^{-6}}}$
$v_{0} = \frac{1}{2 \times 3.14159 \times 1.25 \times 10^{-3}}$
$v_{0} = \frac{1}{7.85398 \times 10^{-3}}$
$v_{0} \approx 127.39 \, Hz$
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(C) अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ के बराबर होता है।
इसलिए,कुल प्रतिघात $X = X_L - X_C = 0$ होता है।
$LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
अनुनाद की स्थिति $X_L = X_C$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Z = \sqrt{R^2 + 0^2} = R$ प्राप्त होता है।
चूंकि $R = 3 \ \Omega$ दिया गया है,इसलिए अनुनाद पर प्रतिबाधा $Z = 3 \ \Omega$ होगी।

(D) $L-C-R$ श्रेणी परिपथ के लिए $Q$-फैक्टर (क्वालिटी फैक्टर) का सूत्र इस प्रकार है:
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$
दिए गए मान:
$L = 9 \ H$
$R = 10 \ \Omega$
$C = 100 \ \mu F = 100 \times 10^{-6} \ F = 10^{-4} \ F$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Q = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{9}{10^{-4}}}$
$Q = \frac{1}{10} \times \frac{3}{10^{-2}}$
$Q = \frac{1}{10} \times 300$
$Q = 30$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) $L-C-R$ परिपथ का $Q$-कारक (क्वालिटी फैक्टर) अनुनाद आवृत्ति और बैंडविड्थ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$Q = \frac{f_0}{f_2 - f_1}$
दिया गया है:
अनुनाद आवृत्ति $f_0 = 5000 \ Hz$
हाफ-पावर आवृत्तियाँ $f_1 = 4950 \ Hz$ और $f_2 = 5050 \ Hz$
बैंडविड्थ $\Delta f = f_2 - f_1 = 5050 \ Hz - 4950 \ Hz = 100 \ Hz$
मान रखने पर:
$Q = \frac{5000}{100} = 50$
अतः,$Q$-कारक $50$ है।

(D) श्रेणी $LCR$ परिपथ के लिए $Q$ कारक (गुणवत्ता कारक) का सूत्र निम्नलिखित है:
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$
दिए गए मान $R = 6 \Omega$,$L = 1 \text{ H}$,और $C = 17.36 \times 10^{-6} \text{ F}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$Q = \frac{1}{6} \sqrt{\frac{1}{17.36 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{6} \sqrt{\frac{10^6}{17.36}}$
$Q = \frac{1}{6} \times \sqrt{57603.68}$
$Q \approx \frac{1}{6} \times 240$
$Q \approx 40$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में, कुल प्रयुक्त वोल्टेज $V$ घटकों के सिरों पर व्यक्तिगत वोल्टेज के फेजर योग द्वारा दिया जाता है:
$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
दिए गए मान $V_R = 5 \,V$, $V_L = 10 \,V$ और $V_C = 10 \,V$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \sqrt{5^2 + (10 - 10)^2}$
$V = \sqrt{25 + 0^2}$
$V = \sqrt{25}$
$V = 5 \,V$
अतः, प्रयुक्त $AC$ वोल्टेज $5 \,V$ है।

(D) $L-C-R$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति का सूत्र है:
$\nu_{0} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
इस सूत्र से,हम देख सकते हैं कि अनुनाद आवृत्ति धारिता $C$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$\nu_{0} \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$
माना प्रारंभिक आवृत्ति $\nu_{0}$ है और धारिता $C$ है,तथा नई आवृत्ति $\nu_{0}'$ है जहाँ धारिता $C' = 4C$ है।
दोनों आवृत्तियों का अनुपात लेने पर:
$\frac{\nu_{0}}{\nu_{0}'} = \sqrt{\frac{C'}{C}}$
समीकरण में $C' = 4C$ रखने पर:
$\frac{\nu_{0}}{\nu_{0}'} = \sqrt{\frac{4C}{C}} = \sqrt{4} = 2$
अतः,नई अनुनाद आवृत्ति होगी:
$\nu_{0}' = \frac{\nu_{0}}{2}$

(A) एक $L-C-R$ श्रेणी $AC$ परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र $Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$ है,जहाँ $X_{L} = \omega L$ और $X_{C} = \frac{1}{\omega C}$ है।
अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) और धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) बराबर होते हैं,अर्थात $X_{L} = X_{C}$ या $\omega L = \frac{1}{\omega C}$।
इस मान को प्रतिबाधा के सूत्र में रखने पर: $Z = \sqrt{R^{2} + (0)^{2}} = \sqrt{R^{2}} = R$।
अतः,अनुनाद पर परिपथ की प्रतिबाधा प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है।

(C) $L-C-R$ श्रेणी परिपथ में अनुनाद आवृत्ति $f_0$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि अनुनाद आवृत्ति धारिता के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$f_0 \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$
जैसे-जैसे धारिता $C$ का मान बढ़ता है,अनुनाद आवृत्ति $f_0$ घटती जाती है। यह संबंध एक हाइपरबोलिक वक्र को दर्शाता है,जो विकल्प $C$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(B) दिए गए ग्राफ से,हम अनुनादी कोणीय आवृत्ति $\omega_r$ और हाफ-पावर आवृत्तियों $\omega_1$ और $\omega_2$ की पहचान कर सकते हैं जहाँ प्रतिबाधा $Z = \sqrt{2} Z_{\text{min}}$ है।
$1$. अनुनादी आवृत्ति $\omega_r = 500 \text{ rad/s}$ है।
$2$. निचली हाफ-पावर आवृत्ति $\omega_1 = 400 \text{ rad/s}$ है।
$3$. ऊपरी हाफ-पावर आवृत्ति $\omega_2 = 600 \text{ rad/s}$ है।
गुणवत्ता कारक $Q$ को अनुनादी आवृत्ति और बैंडविड्थ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$Q = \frac{\omega_r}{\omega_2 - \omega_1}$
मान रखने पर:
$Q = \frac{500}{600 - 400}$
$Q = \frac{500}{200}$
$Q = 2.5$

(A) $L-C-R$ श्रेणी अनुनाद परिपथ में,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है।
अतः,$X_L = X_C$.
कलान्तर $\phi$ को सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$X_L = X_C$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\tan \phi = \frac{0}{R} = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\phi = 0^{\circ}$।

(A) दिए गए परिपथ में,$V_{1}$ प्रतिरोध $R$ के सिरों पर वोल्टेज मापता है,$V_{2}$ प्रेरक $L$ के सिरों पर वोल्टेज मापता है,और $V_{3}$ संधारित्र $C$ के सिरों पर वोल्टेज मापता है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_{L}$ धारितीय प्रतिघात $X_{C}$ $(X_{L} = X_{C})$ के बराबर होता है।
चूंकि $R, L$ और $C$ के श्रेणी संयोजन से समान धारा $I$ प्रवाहित होती है,इसलिए प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $V_{L} = I X_{L}$ और संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $V_{C} = I X_{C}$ होता है।
अतः,अनुनाद पर,$V_{L} = V_{C}$ होता है।
चूंकि $V_{2}, V_{L}$ को मापता है और $V_{3}, V_{C}$ को मापता है,इसलिए $V_{2}$ और $V_{3}$ के पाठ्यांक समान होते हैं।

(C) श्रेणी $R-L-C$ परिपथ में धारा $i = \frac{V_R}{R}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को रखने पर: $i = \frac{100 \, V}{1000 \, \Omega} = 0.1 \, A$.
अनुनाद पर, प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है, और प्रेरक के सिरों पर विभवांतर $V_L$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_C$ के बराबर होता है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_C = i X_C = i \left( \frac{1}{\omega C} \right)$ है।
मान रखने पर: $V_C = 0.1 \times \left( \frac{1}{200 \times 2 \times 10^{-6}} \right)$.
$V_C = 0.1 \times \left( \frac{1}{400 \times 10^{-6}} \right) = 0.1 \times \left( \frac{10^6}{400} \right) = 0.1 \times 2500 = 250 \, V$.
चूंकि अनुनाद पर $V_L = V_C$ होता है, इसलिए प्रेरकत्व कुंडली के सिरों पर विभवांतर $250 \, V$ है।

(D) श्रेणी $LCR$ परिपथ में अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ $(X_L = X_C)$ के बराबर होता है।
अनुनाद पर,वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर (phase difference) $\phi = 0^{\circ}$ होता है।
$1$. शक्ति गुणांक $\cos \phi = \cos 0^{\circ} = 1$ होता है। अतः,विकल्प $D$ गलत है।
$2$. औसत शक्ति $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = V_{rms} I_{rms} (1) = V_{rms} I_{rms}$,जो आभासी शक्ति के बराबर है। अतः,विकल्प $B$ सत्य है।
$3$. संधारित्र में संग्रहीत अधिकतम ऊर्जा $\frac{1}{2} C V_0^2$ और प्रेरक में $\frac{1}{2} L I_0^2$ होती है। अनुनाद पर ये मान बराबर होते हैं। अतः,विकल्प $A$ सत्य है।
$4$. वाटहीन धारा $I_{rms} \sin \phi$ होती है। चूँकि $\phi = 0^{\circ}$,$\sin 0^{\circ} = 0$ होता है,इसलिए वाटहीन धारा शून्य है। अतः,विकल्प $C$ सत्य है।
अतः,जो कथन सत्य नहीं है वह यह है कि शक्ति गुणांक शून्य है।

(D) संचार में उपयोग किए जाने वाले $L-C-R$ परिपथ की बेहतर ट्यूनिंग के लिए,गुणवत्ता कारक (Quality Factor) $Q$ उच्च होना चाहिए।
गुणवत्ता कारक का सूत्र $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ है।
$Q$ को अधिकतम करने के लिए,हमें कम प्रतिरोध $R$,उच्च प्रेरकत्व $L$ और कम धारिता $C$ की आवश्यकता होती है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर:
$A: R=20, L=1.5, C=35$
$B: R=25, L=2.5, C=45$
$C: R=25, L=1.5, C=45$
$D: R=15, L=3.5, C=30$
विकल्प $D$ में न्यूनतम प्रतिरोध $(15 \Omega)$,अधिकतम प्रेरकत्व $(3.5 \text{ H})$ और न्यूनतम धारिता $(30 \mu\text{F})$ है।
इसलिए,विकल्प $D$ में दिया गया संयोजन उच्चतम गुणवत्ता कारक प्रदान करता है,जिसके परिणामस्वरूप बेहतर ट्यूनिंग होती है।

(D) $LCR$ परिपथ में अनुनाद (resonance) आवृत्ति पर अधिकतम शक्ति व्यय होती है।
दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 5 \ mH = 5 \times 10^{-3} \ H$,धारिता $C = 2 \ \mu F = 2 \times 10^{-6} \ F$.
अनुनाद आवृत्ति $f_R$ का सूत्र है:
$f_R = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
मान रखने पर:
$f_R = \frac{1}{2 \pi \sqrt{5 \times 10^{-3} \times 2 \times 10^{-6}}}$
$f_R = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10^{-8}}}$
$f_R = \frac{1}{2 \pi \times 10^{-4}}$
$f_R = \frac{10^4}{2 \pi} = \frac{10 \times 10^3}{2 \pi} = \frac{5 \times 10^3}{\pi} \ Hz$.

(C) दिए गए $ LCR $ श्रेणी परिपथ में, प्रेरक (inductor) के सिरों पर वोल्टेज $ V_L = 50 \, V $ है और संधारित्र (capacitor) के सिरों पर वोल्टेज $ V_C = 50 \, V $ है।
चूंकि $ V_L = V_C $ है, इसलिए परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
एक अनुनादी $ LCR $ परिपथ में, कुल प्रतिघात शून्य $( X_L - X_C = 0 )$ होता है, जिसका अर्थ है कि परिपथ एक शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ की तरह व्यवहार करता है।
इसलिए, स्रोत का पूरा वोल्टेज प्रतिरोध $ R $ के सिरों पर गिरता है।
अतः, वोल्टमीटर का पाठ्यांक $ V_R = V_{source} = 220 \, V $ होगा।
परिपथ में धारा $ I = \frac{V_R}{R} = \frac{220 \, V}{100 \, \Omega} = 2.2 \, A $ है।
अतः, एमीटर का पाठ्यांक $ 2.2 \, A $ और वोल्टमीटर का पाठ्यांक $ 220 \, V $ है।

(D) एक ट्यून्ड एम्पलीफायर सर्किट ($LC$ सर्किट) की अनुनादी आवृत्ति (resonant frequency) $ f $ का सूत्र है: $ f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} $.
$ \sqrt{LC} $ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $ \sqrt{LC} = \frac{1}{2 \pi f} $.
दी गई कैरियर आवृत्ति $ f = 2 \text{ MHz} = 2 \times 10^{6} \text{ Hz} $ है।
समीकरण में $ f $ का मान रखने पर: $ \sqrt{LC} = \frac{1}{2 \pi \times (2 \times 10^{6})} $.
हर (denominator) की गणना करने पर: $ \sqrt{LC} = \frac{1}{4 \pi \times 10^{6}} $.

(A) एक $LCR$ परिपथ में,अनुनाद तब होता है जब प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L = \omega L)$ और धारितीय प्रतिघात $(X_C = 1/(\omega C))$ परिमाण में बराबर होते हैं।
इस स्थिति में,कुल प्रतिघात $X = X_L - X_C = 0$ होता है।
परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
अनुनाद पर,$Z = R$ होता है,जो न्यूनतम संभव प्रतिबाधा है।
चूंकि कुल प्रतिघात शून्य है,इसलिए कला कोण $\phi = \tan^{-1}((X_L - X_C)/R) = 0$ होता है।
अतः,अनुनाद पर धारा और वोल्टेज समान कला में होते हैं।

(B) श्रेणी $LCR$ परिपथ की बेहतर ट्यूनिंग के लिए,गुणवत्ता कारक $(Q)$ यथासंभव उच्च होना चाहिए।
गुणवत्ता कारक का सूत्र है: $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$।
$Q$ को अधिकतम करने के लिए,हमें कम प्रतिरोध $(R)$ और प्रेरकत्व $(L)$ तथा धारिता $(C)$ का बड़ा अनुपात चाहिए।
प्रत्येक विकल्प के लिए $F = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ की गणना करते हैं:
$A: F = \frac{1}{20} \sqrt{\frac{1.5}{35 \times 10^{-6}}} \approx 10.35$
$B: F = \frac{1}{15} \sqrt{\frac{3.5}{30 \times 10^{-6}}} \approx 22.79$
$C: F = \frac{1}{25} \sqrt{\frac{2.5}{45 \times 10^{-6}}} \approx 9.43$
$D: F = \frac{1}{15} \sqrt{\frac{2.5}{45 \times 10^{-6}}} \approx 15.71$
मानों की तुलना करने पर,विकल्प $B$ उच्चतम गुणवत्ता कारक प्रदान करता है,जो बेहतर ट्यूनिंग का संकेत है।

(A) $LCR$ परिपथ में व्ययित शक्ति $P = I_{rms}^2 R = \frac{1}{2} I_0^2 R$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ शिखर धारा है।
अनुनाद पर,व्ययित शक्ति अधिकतम होती है,जो $P_{max} = \frac{1}{2} I_{max}^2 R$ है।
हम चाहते हैं कि शक्ति अधिकतम शक्ति की आधी हो: $P = \frac{1}{2} P_{max}$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $\frac{1}{2} I^2 R = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} I_{max}^2 R)$.
यह सरल होकर $I^2 = \frac{1}{2} I_{max}^2$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $I = \frac{1}{\sqrt{2}} I_{max}$ प्राप्त होता है।
अतः,धारा का आयाम इसके अधिकतम मान का $\frac{1}{\sqrt{2}}$ गुना होना चाहिए।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,दिए गए मान इस प्रकार हैं:
$L = 10 \ H$,$C = 40 \ \mu F$,$R = 60 \ \Omega$,और $V = 240 \ V$.
अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ के बराबर होता है,जिसका अर्थ है कि परिपथ की कुल प्रतिबाधा $(Z)$ प्रतिरोध $(R)$ के बराबर होती है।
$Z = R = 60 \ \Omega$.
अनुनाद पर धारा $(I)$ का मान ओम के नियम द्वारा प्राप्त होता है:
$I = \frac{V}{Z} = \frac{240 \ V}{60 \ \Omega} = 4 \ A$.

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ में, अनुनाद तब होता है जब प्रेरणिक प्रतिघात धारितीय प्रतिघात के बराबर होता है।
दिया गया है, प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2R$ है।
अनुनाद की स्थिति में, $X_C = X_L = 2R$ होगा।
अनुनाद पर परिपथ की प्रतिबाधा $Z$, प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है, क्योंकि $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + 0} = R$ है।
शक्ति गुणांक को $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान रखने पर, $\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः, शक्ति गुणांक $1$ है और $X_C = 2R$ है।

(B) शक्ति गुणांक को इकाई $(\cos \phi = 1)$ बनाने के लिए,परिपथ को अनुनाद (resonance) की स्थिति में होना चाहिए।
$LCR$ श्रेणी परिपथ में अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) और धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) बराबर होते हैं,अर्थात $X_L = X_C$.
इसका अर्थ है $\omega L = \frac{1}{\omega C}$,जहाँ $\omega = 2 \pi f$.
मान रखने पर: $2 \pi f = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
यहाँ $f = 50 \text{ Hz}$,$L = 10 \text{ mH} = 10 \times 10^{-3} \text{ H}$ दिया गया है।
$2 \pi \times 50 = \frac{1}{\sqrt{10 \times 10^{-3} \times C}}$.
$100 \pi = \frac{1}{\sqrt{0.01 \times C}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(100 \pi)^2 = \frac{1}{0.01 \times C}$.
$10000 \times \pi^2 = \frac{1}{0.01 \times C}$.
$C = \frac{1}{10000 \times \pi^2 \times 0.01} = \frac{1}{100 \times \pi^2} \approx \frac{1}{100 \times 9.8696} \approx \frac{1}{986.96} \approx 1.0132 \times 10^{-3} \text{ F}$.
अतः,आवश्यक धारिता का मान लगभग $1.014 \times 10^{-3} \text{ F}$ है।

(B) दिया गया है: धारिता $C = 16 \ \mu F = 16 \times 10^{-6} \ F$.
प्रेरकत्व $L = \frac{10}{\pi^2} \ mH = \frac{10}{\pi^2} \times 10^{-3} \ H$.
प्रतिघात समान होने के लिए,$X_L = X_C$.
प्रेरकीय और धारितीय प्रतिघात के सूत्रों को रखने पर: $L \omega = \frac{1}{C \omega}$.
चूंकि $\omega = 2 \pi f$,इसलिए $L(2 \pi f) = \frac{1}{C(2 \pi f)}$.
आवृत्ति $f$ के लिए सूत्र: $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$.
मान रखने पर: $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{1}{(\frac{10}{\pi^2} \times 10^{-3}) \times (16 \times 10^{-6})}}$.
गणना करने पर: $f = \frac{1}{2 \pi} \times \frac{\pi}{4 \times 10^{-4}} = \frac{10^4}{8} = 1250 \ Hz = 1.25 \ kHz$.

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा अनुनाद आवृत्ति (resonant frequency) पर न्यूनतम होती है, जहाँ प्रेरणिक प्रतिघात और धारितीय प्रतिघात समान होते हैं $(X_L = X_C)$.
अनुनाद कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है。
दिया गया है: $L = \frac{25}{\pi^2} \times 10^{-3} \text{ H}$, $C = 0.1 \times 10^{-6} \text{ F}$。
मान रखने पर:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{\frac{25}{\pi^2} \times 10^{-3} \times 0.1 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{2.5}{\pi^2} \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{25}{\pi^2} \times 10^{-10}}} = \frac{\pi}{5 \times 10^{-5}} = \frac{\pi}{5} \times 10^5 \text{ rad/s}$。
चूंकि $\omega = 2\pi f$, इसलिए $2\pi f = \frac{\pi}{5} \times 10^5$。
$f = \frac{10^5}{10} = 10^4 \text{ Hz} = 10 \text{ kHz}$。

(B) श्रेणी $L-C-R$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति का सूत्र है:
$f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}} \quad \dots (i)$
जब प्रेरकत्व को घटाकर $L^{\prime} = \frac{L}{4}$ और धारिता को बढ़ाकर $C^{\prime} = 16 C$ कर दिया जाता है,तो नई अनुनाद आवृत्ति $f_0^{\prime}$ होगी:
$f_0^{\prime} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L^{\prime} C^{\prime}}}$
नए मान रखने पर:
$f_0^{\prime} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(\frac{L}{4}) \times (16 C)}}$
$f_0^{\prime} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{4 L C}}$
$f_0^{\prime} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$
समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f_0^{\prime} = \frac{f_0}{2}$

(B) $L-C$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $f \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक आवृत्ति $f_1 = f$ और प्रारंभिक धारिता $C_1 = C$ है।
मान लीजिए नई आवृत्ति $f_2$ और नई धारिता $C_2 = 4C$ है।
समानुपातिकता $f \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$ का उपयोग करते हुए,हमें अनुपात प्राप्त होता है: $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{C_1}{C_2}}$.
मान रखने पर: $\frac{f_2}{f} = \sqrt{\frac{C}{4C}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः,नई अनुनाद आवृत्ति $f_2 = \frac{f}{2}$ होगी।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,धारा का आयाम $I_0 = \frac{E_0}{Z}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
धारा का आयाम अधिकतम होने के लिए,प्रतिबाधा $Z$ न्यूनतम होनी चाहिए।
यह अनुनाद (resonance) की स्थिति में होता है,जहाँ $X_L = X_C$ होता है।
दिए गए $emf$ समीकरण $e = 200 \sin(100 \pi t) \ V$ से,कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \pi \ rad/s$ है।
अनुनाद के लिए शर्त $\omega L = \frac{1}{\omega C}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $100 \pi \times L = \frac{1}{100 \pi \times 1 \times 10^{-6}}$.
$L = \frac{1}{(100 \pi)^2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10000 \pi^2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-2} \pi^2} = \frac{100}{\pi^2} \ H$.

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ का गुणवत्ता कारक $(Q)$ अनुनाद आवृत्ति और परिपथ की बैंडविड्थ का अनुपात होता है।
गणितीय रूप से,यह सूत्र $Q = \frac{\omega_0 L}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega_0$ अनुनाद कोणीय आवृत्ति है।
श्रेणी $LCR$ परिपथ के लिए,अनुनाद कोणीय आवृत्ति $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ होती है।
इस मान को $Q$ के सूत्र में रखने पर:
$Q = \frac{1}{R} \cdot \frac{1}{\sqrt{LC}} \cdot L$
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L^2}{LC}}$
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$
$Q = \sqrt{\frac{L}{CR^2}}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,कुल प्रतिबाधा $Z$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ होता है।
परिपथ के शुद्ध रूप से प्रतिरोधी होने के लिए,कुल प्रतिघात शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि प्रेरणिक प्रतिघात धारितीय प्रतिघात के बराबर होना चाहिए।
अतः,$X_L - X_C = 0$,जिसका अर्थ है $X_L = X_C$.
इस स्थिति में,परिपथ अनुनाद (resonance) में होता है,और प्रतिबाधा $Z$ का मान $R$ के बराबर हो जाता है।

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ के लिए $Q$-फैक्टर (क्वालिटी फैक्टर) का सूत्र निम्नलिखित है:
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$
दिए गए मान हैं:
$L = 2 \ H$
$C = 32 \ \mu F = 32 \times 10^{-6} \ F$
$R = 20 \ \Omega$
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$Q = \frac{1}{20} \sqrt{\frac{2}{32 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{20} \sqrt{\frac{1}{16 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{20} \times \frac{1}{4 \times 10^{-3}}$
$Q = \frac{1}{20} \times \frac{1000}{4}$
$Q = \frac{250}{20} = 12.5$
अतः,$Q$-मान $12.5$ है।

(D) $L-C-R$ श्रेणी परिपथ में,धारा और वोल्टेज के बीच कलान्तर $\phi$ को $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ संबंध द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $Z$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) है।
अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है,अर्थात $X_L = X_C$।
परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
प्रतिबाधा के सूत्र में $X_L = X_C$ रखने पर,हमें $Z = \sqrt{R^2 + 0} = R$ प्राप्त होता है।
अब,कलान्तर के सूत्र में $Z = R$ रखने पर,हमें $\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos \phi = 1$,इसलिए $\phi = 0^{\circ}$ होता है।
अतः,अनुनाद की स्थिति में,आरोपित वोल्टेज और धारा समान कला (same phase) में होते हैं।

(C) $AC$ परिपथ में, धारा emf के साथ समान कला में है, जिसका अर्थ है कि परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है। अनुनाद पर, परिपथ का प्रतिबाधा (impedance) $Z$, प्रेरक कुंडली के प्रतिरोध $R$ के बराबर होता है $(Z = R)$.
दिया गया है, rms वोल्टेज $V_{\text{rms}} = 8 \, V$ और rms धारा $I_{\text{rms}} = 16 \, A$ है।
प्रेरक कुंडली का प्रतिरोध $R = \frac{V_{\text{rms}}}{I_{\text{rms}}} = \frac{8}{16} = 0.5 \, \Omega$ है।
जब प्रेरक कुंडली को $6 \, V$ की $DC$ बैटरी से जोड़ा जाता है, तो संधारित्र $DC$ के लिए ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है, लेकिन प्रश्न प्रेरक कुंडली से प्रवाहित होने वाली स्थिर धारा के बारे में है। चूंकि प्रेरक कुंडली का प्रतिरोध $R = 0.5 \, \Omega$ है, इसलिए ओम के नियम के अनुसार स्थिर धारा $I$ होगी:
$I = \frac{V_{\text{DC}}}{R} = \frac{6 \, V}{0.5 \, \Omega} = 12 \, A$.

(A) मुख्य विचार: श्रेणी $LCR$ परिपथ में धारा का आयाम अनुनाद (resonance) पर अधिकतम होता है, जहाँ प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर होता है, अर्थात $\omega L = \frac{1}{\omega C}$।
दिया है: $L = 0.5 \text{ H}$, $R = 10 \Omega$, $V_{rms} = 200 \text{ V}$, और $f = \frac{150}{\pi} \text{ Hz}$।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times \frac{150}{\pi} = 300 \text{ rad/s}$।
अनुनाद पर, प्रतिबाधा $Z = R = 10 \Omega$ होती है।
अधिकतम धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{200}{10} = 20 \text{ A}$।
प्रेरक के सिरों पर $rms$ वोल्टेज $V_L = I_{rms} \times X_L$ है, जहाँ $X_L = \omega L$।
$V_L = 20 \times (300 \times 0.5) = 20 \times 150 = 3000 \text{ V}$।