Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Hindi

(A) माना $\vec{a} = \frac{1}{3} (2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$.
सबसे पहले,हम इसका परिमाण ज्ञात करके जाँचते हैं कि क्या यह एक इकाई सदिश है:
$|\vec{a}| = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (-\frac{2}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{9}{9}} = 1$.
चूँकि इसका परिमाण $1$ है,इसलिए यह एक इकाई सदिश है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$2\vec{a} + \vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \quad \dots(1)$
$\vec{a} + 2\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करने पर,$4\vec{a} + 2\vec{b} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ प्राप्त होता है।
इसमें से समीकरण $(2)$ को घटाने पर,$3\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k} \implies \vec{a} = \frac{1}{3}(\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k})$ प्राप्त होता है।
$\vec{a}$ का मान $(1)$ में रखने पर,$\vec{b} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 2\vec{a} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - \frac{2}{3}(\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) = \frac{1}{3}(\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k})$ प्राप्त होता है।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ होता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{9}(1 + 1 - 9) = -\frac{7}{9}$.
$|\vec{a}| = \frac{1}{3}\sqrt{1^2 + 1^2 + 3^2} = \frac{\sqrt{11}}{3}$ और $|\vec{b}| = \frac{1}{3}\sqrt{1^2 + 1^2 + (-3)^2} = \frac{\sqrt{11}}{3}$.
$\cos \theta = \frac{-7/9}{(\sqrt{11}/3)(\sqrt{11}/3)} = \frac{-7/9}{11/9} = -\frac{7}{11}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{7}{11}\right)$।

(B) माना कि दिए गए सदिश $\vec{a} = 3i + \lambda j + 2k$ और $\vec{b} = -2i + 3j + k$ हैं।
उनका योग $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} = (3-2)i + (\lambda + 3)j + (2+1)k = i + (\lambda + 3)j + 3k$ है।
यह दिया गया है कि सदिश $\vec{v} = i + 2j + 3k$,$\vec{s}$ के समांतर है।
दो सदिश $x_1i + y_1j + z_1k$ और $x_2i + y_2j + z_2k$ समांतर होते हैं यदि उनके घटक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}$।
इस शर्त को $\vec{v}$ और $\vec{s}$ पर लागू करने पर:
$\frac{1}{1} = \frac{2}{\lambda + 3} = \frac{3}{3}$।
$\frac{2}{\lambda + 3} = 1$ से,हमें $\lambda + 3 = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\lambda = -1$।

(B) दिया गया है कि $u + v + w = 0$ है।
योग का स्वयं के साथ अदिश गुणन (dot product) लेने पर: $(u + v + w) \cdot (u + v + w) = 0 \cdot 0 = 0$।
अदिश गुणन का विस्तार करने पर: $u \cdot u + v \cdot v + w \cdot w + 2(u \cdot v + v \cdot w + w \cdot u) = 0$।
गुणधर्म $|a|^2 = a \cdot a$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $|u|^2 + |v|^2 + |w|^2 + 2(u \cdot v + v \cdot w + w \cdot u) = 0$।
दिए गए परिमाणों को प्रतिस्थापित करने पर: $3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(u \cdot v + v \cdot w + w \cdot u) = 0$।
$9 + 16 + 25 + 2(u \cdot v + v \cdot w + w \cdot u) = 0$।
$50 + 2(u \cdot v + v \cdot w + w \cdot u) = 0$।
$2(u \cdot v + v \cdot w + w \cdot u) = -50$।
अतः,$u \cdot v + v \cdot w + w \cdot u = -25$।

(C) माना बिंदुओं $A$ और $B$ के स्थिति सदिश $\vec{OA} = \vec{a} - 3\vec{b}$ और $\vec{OB} = 6\vec{b} - 2\vec{a}$ हैं।
विभाजन सूत्र के अनुसार,$AB$ को $m : n$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $P$ का स्थिति सदिश $\vec{OP} = \frac{m\vec{OB} + n\vec{OA}}{m + n}$ होता है।
यहाँ,$m = 1$ और $n = 2$ है।
मान रखने पर:
$\vec{OP} = \frac{1(6\vec{b} - 2\vec{a}) + 2(\vec{a} - 3\vec{b})}{1 + 2}$
$\vec{OP} = \frac{6\vec{b} - 2\vec{a} + 2\vec{a} - 6\vec{b}}{3}$
$\vec{OP} = \frac{\vec{0}}{3} = \vec{0}$.
अतः,बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{0}$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $\vec{a} + 5\vec{b} = \vec{c}$
$(2)$ $\vec{a} - 7\vec{b} = 2\vec{c}$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$(\vec{a} + 5\vec{b}) - (\vec{a} - 7\vec{b}) = \vec{c} - 2\vec{c}$
$12\vec{b} = -\vec{c}$
$\vec{b} = -\frac{1}{12}\vec{c}$
यह दर्शाता है कि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ विपरीत दिशा में हैं।
अब,$\vec{b} = -\frac{1}{12}\vec{c}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\vec{a} + 5(-\frac{1}{12}\vec{c}) = \vec{c}$
$\vec{a} - \frac{5}{12}\vec{c} = \vec{c}$
$\vec{a} = \vec{c} + \frac{5}{12}\vec{c} = \frac{17}{12}\vec{c}$
चूंकि $\frac{17}{12} > 0$,इसलिए $\vec{a}$ और $\vec{c}$ समान दिशा में हैं।
अतः,$\vec{a}$ और $\vec{c}$ समान दिशा में हैं,लेकिन $\vec{b}$ और $\vec{c}$ विपरीत दिशा में हैं।

(A) दिए गए सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ हैं।
$\vec{a} + \vec{b}$ ज्ञात करने के लिए,हम सदिशों के संगत घटकों को जोड़ते हैं:
$\vec{a} + \vec{b} = (2 + 1)\hat{i} + (-3 + 2)\hat{j} + (4 - 1)\hat{k}$
$\vec{a} + \vec{b} = 3\hat{i} - 1\hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{a} + \vec{b} = 3\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$.

(D) एक इकाई सदिश (unit vector) वह सदिश है जिसका परिमाण $1$ होता है।
परिभाषा के अनुसार,किसी भी इकाई सदिश $\vec{a}$ का परिमाण $|\vec{a}| = 1$ होता है।
चूंकि सभी इकाई सदिशों का परिमाण $1$ होता है,इसलिए किन्हीं भी दो इकाई सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ होता है।
अतः,दो इकाई सदिश अपनी दिशा की परवाह किए बिना,परिमाण में हमेशा समान होते हैं।
इसलिए,विकल्प $D$ सही कथन है।

(A) बिंदु $A$ का स्थिति सदिश $\vec{OA} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
बिंदु $B$ का स्थिति सदिश $\vec{OB} = 3\hat{i} - 4\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
सदिश $\overline{AB}$ का सूत्र $\overline{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$ है।
मान रखने पर:
$\overline{AB} = (3\hat{i} - 4\hat{j} - 5\hat{k}) - (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})$
संगत घटकों को घटाने पर:
$\overline{AB} = (3 - 2)\hat{i} + (-4 - 3)\hat{j} + (-5 - 4)\hat{k}$
$\overline{AB} = \hat{i} - 7\hat{j} - 9\hat{k}$.

(B) माना बिंदुओं $A$,$B$ और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ हैं। चूंकि $C$,$\overline{AB}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\vec{a} + \vec{b} = 2\vec{c}$।
माना बिंदु $P$ का स्थिति सदिश $\vec{p}$ है।
तब,$\vec{PA} = \vec{a} - \vec{p}$ और $\vec{PB} = \vec{b} - \vec{p}$ होगा।
इनका योग करने पर,$\vec{PA} + \vec{PB} = (\vec{a} + \vec{b}) - 2\vec{p}$ प्राप्त होता है।
$\vec{a} + \vec{b} = 2\vec{c}$ का मान रखने पर,$\vec{PA} + \vec{PB} = 2\vec{c} - 2\vec{p} = 2(\vec{c} - \vec{p})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{PC} = \vec{c} - \vec{p}$ है,इसलिए $\vec{PA} + \vec{PB} = 2\vec{PC}$ सिद्ध होता है।

(B) मान लीजिए बिंदु $P$,$Q$,और $R$ के स्थिति सदिश $\vec{p} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$,$\vec{q} = \beta \hat{i} + \gamma \hat{j} + \alpha \hat{k}$,और $\vec{r} = \gamma \hat{i} + \alpha \hat{j} + \beta \hat{k}$ हैं।
दूरी $PQ = |\vec{q} - \vec{p}| = \sqrt{(\beta - \alpha)^2 + (\gamma - \beta)^2 + (\alpha - \gamma)^2}$.
दूरी $QR = |\vec{r} - \vec{q}| = \sqrt{(\gamma - \beta)^2 + (\alpha - \gamma)^2 + (\beta - \alpha)^2}$.
दूरी $RP = |\vec{p} - \vec{r}| = \sqrt{(\alpha - \gamma)^2 + (\beta - \alpha)^2 + (\gamma - \beta)^2}$.
चूंकि $PQ = QR = RP$ है,इसलिए ये बिंदु एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

(C) माना बिंदु $A(10, 3)$,$B(12, -5)$ और $C(a, 11)$ हैं।
बिंदुओं के संरेख होने के लिए,सदिश $\overrightarrow{AB}$ को सदिश $\overrightarrow{BC}$ के समानांतर होना चाहिए।
$\overrightarrow{AB} = (12 - 10)\hat{i} + (-5 - 3)\hat{j} = 2\hat{i} - 8\hat{j}$.
$\overrightarrow{BC} = (a - 12)\hat{i} + (11 - (-5))\hat{j} = (a - 12)\hat{i} + 16\hat{j}$.
चूंकि $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{BC}$ संरेख हैं,इसलिए उनके घटक आनुपातिक होने चाहिए:
$\frac{a - 12}{2} = \frac{16}{-8}$.
$\frac{a - 12}{2} = -2$.
$a - 12 = -4$.
$a = 12 - 4 = 8$.
अतः,$a$ का मान $8$ है।

(B) जिन त्रिभुजों के शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ हैं,उनका केंद्रक ज्ञात करने का सूत्र: $\text{केंद्रक} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ है।
यहाँ दिए गए शीर्ष $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{केंद्रक} = \frac{(\hat{i} + 2\hat{j}) + (2\hat{i} + \hat{j}) + (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{3}$
$= \frac{(1+2+1)\hat{i} + (2+1+1)\hat{j} + (0+0+1)\hat{k}}{3}$
$= \frac{4\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}}{3}$.

(B) दिया गया समीकरण $2\vec{u} - \vec{v} = \vec{w}$ है।
$\vec{u}$,$\vec{v}$,और $\vec{w}$ के मान रखने पर:
$2(x\vec{a} + 2y\vec{b}) - (-2y\vec{a} + 3x\vec{b}) = 4\vec{a} - 2\vec{b}$
$(2x\vec{a} + 4y\vec{b}) + (2y\vec{a} - 3x\vec{b}) = 4\vec{a} - 2\vec{b}$
$(2x + 2y)\vec{a} + (4y - 3x)\vec{b} = 4\vec{a} - 2\vec{b}$
चूँकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ असंरेख हैं,हम गुणांकों की तुलना कर सकते हैं:
$2x + 2y = 4 \Rightarrow x + y = 2$ (समीकरण $1$)
$-3x + 4y = -2$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ से,$x = 2 - y$। इसे समीकरण $2$ में रखने पर:
$-3(2 - y) + 4y = -2$
$-6 + 3y + 4y = -2$
$7y = 4 \Rightarrow y = 4/7$
$y = 4/7$ को $x = 2 - y$ में रखने पर:
$x = 2 - 4/7 = 10/7$
अतः,$x = 10/7$ और $y = 4/7$ प्राप्त होता है।

(A) माना स्थिति सदिश $\vec{OA} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$,$\vec{OB} = \vec{b}$,और $\vec{OC} = \vec{a} - \vec{b}$ हैं।
बिंदु $A$,$B$,और $C$ संरेख होते हैं यदि अदिश $x, y, z$ (जो सभी शून्य न हों) इस प्रकार मौजूद हों कि $x\vec{OA} + y\vec{OB} + z\vec{OC} = 0$ और $x + y + z = 0$ हो।
यहाँ $1(2\vec{a} - 3\vec{b}) + 1(\vec{b}) - 2(\vec{a} - \vec{b}) = 2\vec{a} - 3\vec{b} + \vec{b} - 2\vec{a} + 2\vec{b} = (2-2)\vec{a} + (-3+1+2)\vec{b} = 0\vec{a} + 0\vec{b} = 0$ है।
साथ ही,गुणांकों का योग $1 + 1 + (-2) = 0$ है।
अतः,बिंदु $A$,$B$,और $C$ संरेख हैं।

(C) माना $\vec{c} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.
$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| \Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 2$ ... $(i)$.
जब $\vec{c}$,$x$-अक्ष के साथ अधिक कोण बनाता है,तो $\vec{c} \cdot \hat{i} < 0 \Rightarrow x < 0$ ... $(ii)$.
दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समान कोण बनाते हैं,इसलिए $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{2} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{2} = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{2}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$,$\vec{a} \cdot \vec{c} = x - y$,$\vec{b} \cdot \vec{c} = y + z$.
समीकरणों को हल करने पर $x = z = -1/3$ और $y = 4/3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{c} = \frac{1}{3}(-\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k})$.

(B) स्थिति सदिश $\vec{A} = 2i + j$,$\vec{B} = i - 3j$,$\vec{C} = 3i + 2j$,और $\vec{D} = i + \lambda j$ हैं।
सदिश $\overline{AB}$ और $\overline{CD}$ की गणना करें:
$\overline{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (i - 3j) - (2i + j) = -i - 4j$.
$\overline{CD} = \vec{D} - \vec{C} = (i + \lambda j) - (3i + 2j) = -2i + (\lambda - 2)j$.
चूंकि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$,इसलिए उनके घटक समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{-1}{-2} = \frac{-4}{\lambda - 2}$.
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{-4}{\lambda - 2}$.
$\lambda - 2 = 2 \times (-4)$.
$\lambda - 2 = -8$.
$\lambda = -6$.

(C) माना बिंदुओं $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
चूंकि $D, BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए इसका स्थिति सदिश $\vec{d}$ इस प्रकार है:
$\vec{d} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$
अब,सदिश $\vec{AD}, D$ और $A$ के स्थिति सदिशों का अंतर है:
$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a}$
$\vec{AD} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a}$
$\vec{AD} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$

(D) माना कि बिंदुओं $A$ और $B$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{p} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$ और $\vec{q} = 3\vec{a} - 2\vec{b}$ हैं।
दो बिंदुओं,जिनके स्थिति सदिश $\vec{p}$ और $\vec{q}$ हैं,को $m:n$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिंदु का स्थिति सदिश ज्ञात करने का सूत्र $\vec{r} = \frac{m\vec{q} - n\vec{p}}{m - n}$ है।
यहाँ,$m = 2$ और $n = 3$ है।
मान रखने पर:
$\vec{r} = \frac{2(3\vec{a} - 2\vec{b}) - 3(2\vec{a} - 3\vec{b})}{2 - 3}$
$\vec{r} = \frac{6\vec{a} - 4\vec{b} - 6\vec{a} + 9\vec{b}}{-1}$
$\vec{r} = \frac{5\vec{b}}{-1} = -5\vec{b}$
अतः,उस बिंदु का स्थिति सदिश $-5\vec{b}$ है।

(D) दो सदिश $\vec{u} = a_1 i + b_1 j + c_1 k$ और $\vec{v} = a_2 i + b_2 j + c_2 k$ संरेख होते हैं यदि उनके घटक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$।
दिए गए सदिश $3i + j - 5k$ और $ai + bj - 15k$ हैं।
घटकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{3}{a} = \frac{1}{b} = \frac{-5}{-15}$ प्राप्त होता है।
अनुपात को सरल करने पर,$\frac{-5}{-15} = \frac{1}{3}$।
इसलिए,$\frac{3}{a} = \frac{1}{3} \Rightarrow a = 9$।
और $\frac{1}{b} = \frac{1}{3} \Rightarrow b = 3$।
अतः,सही मान $a = 9$ और $b = 3$ हैं।

(D) दिए गए सदिश $a = 3i - 2j + k$,$b = 2i - 4j - 3k$ और $c = -i + 2j + 2k$ हैं।
$a + b + c$ ज्ञात करने के लिए,हम $i$,$j$ और $k$ के संगत घटकों को जोड़ते हैं:
$a + b + c = (3 + 2 - 1)i + (-2 - 4 + 2)j + (1 - 3 + 2)k$
$a + b + c = (4)i + (-4)j + (0)k$
$a + b + c = 4i - 4j$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 1, |\vec{c}| = 1$ है।
हमें $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2 = 0^2 = 0$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $(\vec{x} + \vec{y} + \vec{z})^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 + |\vec{z}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y} + \vec{y} \cdot \vec{z} + \vec{z} \cdot \vec{x})$ का उपयोग करने पर:
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ प्राप्त होता है।
परिमाणों का मान रखने पर,$1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ मिलता है।
$3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ है।
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -3$ है।
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{3}{2}$ है।
चूंकि कारण $(R)$ में प्रयुक्त सर्वसमिका अदिश गुणन का एक मूलभूत गुण है और इसका उपयोग कथन $(A)$ के परिणाम को प्राप्त करने के लिए किया जाता है,इसलिए $R, A$ का सही स्पष्टीकरण है।

(B) माना बिंदुओं $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
चूंकि $E$,$AC$ का मध्य बिंदु है,इसका स्थिति सदिश $\vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ है,अतः $\vec{a} + \vec{c} = 2\vec{e}$।
चूंकि $F$,$BD$ का मध्य बिंदु है,इसका स्थिति सदिश $\vec{f} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$ है,अतः $\vec{b} + \vec{d} = 2\vec{f}$।
हमें योग $\vec{S} = \overline{AB} + \overline{CB} + \overline{CD} + \overline{AD}$ का मान ज्ञात करना है।
स्थिति सदिशों के रूप में:
$\vec{S} = (\vec{b} - \vec{a}) + (\vec{b} - \vec{c}) + (\vec{d} - \vec{c}) + (\vec{d} - \vec{a})$
$\vec{S} = 2\vec{b} + 2\vec{d} - 2\vec{a} - 2\vec{c}$
$\vec{S} = 2(\vec{b} + \vec{d}) - 2(\vec{a} + \vec{c})$
मध्य बिंदु संबंधों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{S} = 2(2\vec{f}) - 2(2\vec{e})$
$\vec{S} = 4\vec{f} - 4\vec{e} = 4(\vec{f} - \vec{e}) = 4\overline{EF}$।

(D) माना $D$ भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है। शीर्ष $A$ से खींची गई माध्यिका सदिश $\vec{AD}$ है।
चूंकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$ होता है।
दिया गया है कि $\vec{AB} = 3\hat{i} + 4\hat{k}$ और $\vec{AC} = 5\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
$\vec{AD} = \frac{1}{2}((3\hat{i} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}))$.
$\vec{AD} = \frac{1}{2}(8\hat{i} - 2\hat{j} + 8\hat{k}) = 4\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$.
माध्यिका $AD$ की लंबाई सदिश $\vec{AD}$ का परिमाण है।
$|\vec{AD}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 1 + 16} = \sqrt{33}$.

(D) दिया गया है कि $\vec{a} = 8\vec{b}$ और $\vec{c} = -7\vec{b}$ है।
चूंकि $\vec{a}$ और $\vec{c}$ को एक ही सदिश $\vec{b}$ के पदों में व्यक्त किया गया है,हम लिख सकते हैं $\vec{a} = k_1 \vec{b}$ और $\vec{c} = k_2 \vec{b}$,जहाँ $k_1 = 8$ और $k_2 = -7$ है।
दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{c}$ संरेख होते हैं यदि $\vec{a} = m \vec{c}$ किसी अदिश $m$ के लिए हो।
मान रखने पर,हमें मिलता है $8\vec{b} = m(-7\vec{b})$।
चूंकि $\vec{b}$ एक शून्येतर सदिश है,हम $\vec{b}$ से विभाजित कर सकते हैं (या गुणांकों की तुलना कर सकते हैं),जिससे $8 = -7m$ प्राप्त होता है,अतः $m = -8/7$ है।
चूंकि $m < 0$ है,इसलिए सदिश $\vec{a}$ और $\vec{c}$ विपरीत दिशाओं में हैं।
दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{c}$ जो विपरीत दिशाओं में हों,उनके बीच का कोण $\pi$ रेडियन (या $180^\circ$) होता है।

(C) मान लीजिए कि समांतर चतुर्भुज के शीर्ष $A(0)$,$B(\vec{b})$,$C(\vec{b} + \vec{d})$ और $D(\vec{d})$ हैं।
तब,$\vec{AB} = \vec{b} - 0 = \vec{b}$.
विकर्ण $\vec{AC} = \vec{b} + \vec{d}$.
विकर्ण $\vec{BD} = \vec{d} - \vec{b}$.
अब,$\vec{AC} - \vec{BD} = (\vec{b} + \vec{d}) - (\vec{d} - \vec{b})$ की गणना करते हैं।
$= \vec{b} + \vec{d} - \vec{d} + \vec{b} = 2\vec{b}$.
चूंकि $\vec{AB} = \vec{b}$,इसलिए $\vec{AC} - \vec{BD} = 2\vec{AB}$ प्राप्त होता है।

(D) सदिशों के लिए त्रिभुज असमिका के अनुसार,किन्हीं दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लिए,उनके योग का परिमाण हमेशा उनके परिमाणों के योग से कम या उसके बराबर होता है:
$|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$.
इसी प्रकार,सदिशों के अंतर के लिए,उनका परिमाण उनके परिमाणों के अंतर से अधिक या उसके बराबर होता है:
$|\vec{a} - \vec{b}| \geq ||\vec{a}| - |\vec{b}||$.
दिए गए विकल्पों $A$,$B$ या $C$ में से कोई भी विकल्प किन्हीं भी दो यादृच्छिक सदिशों के लिए सार्वभौमिक रूप से सत्य कथन का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) माना बिंदुओं $A$ और $B$ के स्थिति सदिश $\vec{p} = \vec{a} + 3\vec{b}$ और $\vec{q} = \vec{a} - 2\vec{b}$ हैं।
$m:n = 2:5$ के अनुपात में आंतरिक विभाजन के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,स्थिति सदिश $\vec{r}$ इस प्रकार है:
$\vec{r} = \frac{m\vec{q} + n\vec{p}}{m + n}$
मान रखने पर:
$\vec{r} = \frac{2(\vec{a} - 2\vec{b}) + 5(\vec{a} + 3\vec{b})}{2 + 5}$
$\vec{r} = \frac{2\vec{a} - 4\vec{b} + 5\vec{a} + 15\vec{b}}{7}$
$\vec{r} = \frac{7\vec{a} + 11\vec{b}}{7}$
$\vec{r} = \vec{a} + \frac{11}{7}\vec{b}$

(B) दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ समांतर होते हैं यदि और केवल यदि एक अशून्य अदिश $k$ का अस्तित्व हो ताकि $\vec{a} = k\vec{b}$ हो।
घटकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k} = k(b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k})$ प्राप्त होता है।
$\hat{i}, \hat{j},$ और $\hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $a_1 = kb_1, a_2 = kb_2,$ और $a_3 = kb_3$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = k$।
अतः,समांतर सदिशों के लिए सही शर्त $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$ है।

(A) सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,किसी भी त्रिभुज $ABC$ के लिए,भुजाओं के अनुदिश सदिशों का क्रम में योग शून्य होता है।
$\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} = (\overline{AB} + \overline{BC}) + \overline{CA}$
त्रिभुज नियम का उपयोग करते हुए,$\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}$.
अतः,$\overline{AC} + \overline{CA} = \overline{AC} - \overline{AC} = 0$.
इस प्रकार,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ बताता है कि यदि $\overline{AB} = \vec{a}$ और $\overline{BC} = \vec{b}$ है,तो $\overline{AC} = \vec{a} + \vec{b}$। यह योग के त्रिभुज नियम का सही कथन है।
चूंकि योग $\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} = 0$ सीधे त्रिभुज नियम $\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}$ से प्राप्त होता है,इसलिए कारण $(R)$,कथन $(A)$ की सही व्याख्या है।

(A) एक नियमित षट्कोण $ABCDEF$ में,केंद्र $O$ इस प्रकार है कि $\vec{OA} = \vec{BC} = \bar{b}$ और $\vec{AB} = \bar{a}$ है।
चूंकि यह एक नियमित षट्कोण है,सदिश $\vec{FA}$ परिमाण में $\vec{CD}$ के समानांतर और बराबर है।
नियमित षट्कोण में सदिशों के गुणों का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\vec{CD} = \vec{BC} - \vec{AB} = \bar{b} - \bar{a}$ है।
इसलिए,$\vec{FA} = \vec{CD} = \bar{b} - \bar{a}$ होगा।

(B) निर्देशांक अक्षों के घूर्णन के तहत सदिश का परिमाण अपरिवर्तित रहता है।
मूल प्रणाली में घटक $(2p, 1)$ दिए गए हैं,इसलिए परिमाण का वर्ग $|\vec{a}|^2 = (2p)^2 + 1^2 = 4p^2 + 1$ है।
नई प्रणाली में घटक $(p + 1, 1)$ हैं,इसलिए परिमाण का वर्ग $|\vec{a}|^2 = (p + 1)^2 + 1^2 = p^2 + 2p + 2$ है।
परिमाण के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$4p^2 + 1 = p^2 + 2p + 2$
$3p^2 - 2p - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(3p + 1)(p - 1) = 0$
अतः,$p = 1$ या $p = -1/3$।

(C) दो सदिश $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j}$ और $\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j}$ समांतर होते हैं यदि उनके घटक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}$.
दिया गया है कि $\vec{a} = 4\hat{i} + 3\hat{j}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + \lambda\hat{j}$.
घटकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $a_1 = 4, a_2 = 3$ और $b_1 = 2, b_2 = \lambda$.
समांतर सदिशों की शर्त में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{4}{2} = \frac{3}{\lambda}$
$2 = \frac{3}{\lambda}$
$\lambda = \frac{3}{2}$.

(A) मान लीजिए कि शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
चूंकि $D, E, F$ भुजाओं $BC, CA, AB$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए उनके स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{D} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$,$\vec{E} = \frac{\vec{c} + \vec{a}}{2}$,$\vec{F} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$.
अब,सदिशों का योग ज्ञात करते हैं:
$\vec{AD} + \vec{BE} + \vec{CF} = (\vec{D} - \vec{A}) + (\vec{E} - \vec{B}) + (\vec{F} - \vec{C})$
$= (\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a}) + (\frac{\vec{c} + \vec{a}}{2} - \vec{b}) + (\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} - \vec{c})$
$= (\frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{c} + \vec{a} + \vec{a} + \vec{b}}{2}) - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$
$= (\frac{2\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c}}{2}) - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{0}$.

(C) दिया गया है कि सदिशों का परिमाण समान है,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}|$।
$\vec{a}$ का परिमाण ज्ञात करने पर: $|\vec{a}| = \sqrt{\lambda^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{\lambda^2 + 4 + 9} = \sqrt{\lambda^2 + 13}$।
$\vec{b}$ का परिमाण ज्ञात करने पर: $|\vec{b}| = \sqrt{(\sqrt{\lambda})^2 + (\sqrt{13})^2} = \sqrt{\lambda + 13}$।
दोनों परिमाणों की तुलना करने पर: $\sqrt{\lambda^2 + 13} = \sqrt{\lambda + 13}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\lambda^2 + 13 = \lambda + 13$।
दोनों पक्षों से $13$ घटाने पर: $\lambda^2 - \lambda = 0$।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $\lambda(\lambda - 1) = 0$।
अतः,$\lambda = 0$ या $\lambda = 1$।

(C) परिणामी सदिश $\vec{R}$ को $\vec{R} = \vec{r}_1 + \vec{r}_2$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए सदिशों का मान रखने पर: $\vec{R} = (2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}) + (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 3\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}$।
परिणामी सदिश का परिमाण $|\vec{R}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$ है।
$\vec{R}$ के समांतर इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|} = \frac{3\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}}{7}$ होगा।

(D) दिया गया है कि $\vec{a} + 2\vec{b}$,$\vec{c}$ के साथ संरेख है और $\vec{b} + 3\vec{c}$,$\vec{a}$ के साथ संरेख है।
इसका अर्थ है कि $\vec{a} + 2\vec{b} = k_1 \vec{c}$ और $\vec{b} + 3\vec{c} = k_2 \vec{a}$ कुछ शून्येतर अदिशों $k_1$ और $k_2$ के लिए।
प्रथम समीकरण से,$\vec{a} = k_1 \vec{c} - 2\vec{b}$.
इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर: $\vec{b} + 3\vec{c} = k_2(k_1 \vec{c} - 2\vec{b})$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\vec{b} + 3\vec{c} = k_1 k_2 \vec{c} - 2k_2 \vec{b}$.
$(1 + 2k_2) \vec{b} + (3 - k_1 k_2) \vec{c} = \vec{0}$.
चूंकि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ संरेख नहीं हैं,इसलिए उनके गुणांक शून्य होने चाहिए:
$1 + 2k_2 = 0 \Rightarrow k_2 = -\frac{1}{2}$.
$3 - k_1 k_2 = 0 \Rightarrow 3 - k_1(-\frac{1}{2}) = 0 \Rightarrow 3 + \frac{k_1}{2} = 0 \Rightarrow k_1 = -6$.
$k_1 = -6$ को प्रथम समीकरण में रखने पर: $\vec{a} + 2\vec{b} = -6\vec{c}$.
अतः,$\vec{a} + 2\vec{b} + 6\vec{c} = \vec{0}$.

(A) $\overline{PQ}$ का स्थिति सदिश = $Q$ का स्थिति सदिश - $P$ का स्थिति सदिश = $(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) - (2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) = -\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\overline{RS}$ का स्थिति सदिश = $S$ का स्थिति सदिश - $R$ का स्थिति सदिश = $(\hat{i} + 10\hat{j} + 10\hat{k}) - (-5\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}) = 6\hat{i} + 6\hat{j} + 12\hat{k}$.
यदि $\overline{PQ} \parallel \overline{RS}$ है,तो उनके घटकों का अनुपात समान होना चाहिए:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
मान रखने पर: $\frac{-1}{6} = \frac{-1}{6} = \frac{-2}{12}$.
भिन्नों को सरल करने पर: $-\frac{1}{6} = -\frac{1}{6} = -\frac{1}{6}$.
चूंकि अनुपात समान हैं,इसलिए सदिश समानांतर हैं। अतः,$\overline{PQ} \parallel \overline{RS}$.

(D) मान लीजिए कि $BC$ का मध्य-बिंदु $D$ है। शीर्ष $A$ से गुजरने वाली माध्यिका को सदिश $\overline{AD}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
त्रिभुज में माध्यिका के गुणधर्म के अनुसार,$\overline{AD} = \frac{\overline{AB} + \overline{AC}}{2}$ होता है।
दिए गए सदिशों का मान रखने पर: $\overline{AD} = \frac{(3\hat{i} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k})}{2}$।
$\overline{AD} = \frac{8\hat{i} - 2\hat{j} + 8\hat{k}}{2} = 4\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$।
माध्यिका की लंबाई सदिश $\overline{AD}$ का परिमाण है:
$|\overline{AD}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 1 + 16} = \sqrt{33}$ इकाई।

(C) दिए गए बिंदु $A(2, 3, 5)$,$B(1, 2, 3)$,$C(-5, 4, -2)$ और $D(1, 10, 10)$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिशों $\vec{AB}$ और $\vec{CD}$ को ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = (1-2, 2-3, 3-5) = (-1, -1, -2)$
$\vec{CD} = (1-(-5), 10-4, 10-(-2)) = (6, 6, 12)$
अब,$\vec{AB}$ और $\vec{CD}$ के बीच संबंध देखें:
$\vec{CD} = (6, 6, 12) = -6(-1, -1, -2) = -6 \vec{AB}$
चूंकि $\vec{CD} = k \vec{AB}$ जहाँ $k = -6$ है,इसलिए सदिश समांतर हैं।
अतः,$\vec{AB} \parallel \vec{CD}$।

(D) दिए गए बिंदु $P(1, 3, -7)$ और $Q(5, -2, 4)$ हैं।
सदिश $\vec{PQ} = (5-1, -2-3, 4-(-7)) = (4, -5, 11)$ है।
सदिश $\vec{PQ}$ का परिमाण $|\vec{PQ}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + 11^2}$ है।
$|\vec{PQ}| = \sqrt{16 + 25 + 121}$.
$|\vec{PQ}| = \sqrt{162}$.

(D) रेखाखंड $AB$ के दिक्-अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (4-1, 5-2, 7-3) = (3, 3, 4)$ हैं।
मान लीजिए $a_1 = 3, b_1 = 3, c_1 = 4$ है।
रेखाखंड $CD$ के दिक्-अनुपात $(x_4 - x_3, y_4 - y_3, z_4 - z_3) = (2 - (-4), 9 - 3, 2 - (-6)) = (6, 6, 8)$ हैं।
मान लीजिए $a_2 = 6, b_2 = 6, c_2 = 8$ है।
यहाँ ध्यान दें कि $(a_2, b_2, c_2) = 2 \times (a_1, b_1, c_1)$ है।
चूँकि दिक्-अनुपात समानुपाती हैं,इसलिए रेखाएँ $AB$ और $CD$ समांतर हैं।
अतः,उनके बीच का कोण $0$ है।

(D) यहाँ,$p = (7, -2, 3)$ और $q = (3, 1, 5)$ दिया गया है।
सबसे पहले,$p - 2q$ की गणना करें:
$p - 2q = (7, -2, 3) - 2(3, 1, 5)$
$= (7, -2, 3) - (6, 2, 10)$
$= (7 - 6, -2 - 2, 3 - 10)$
$= (1, -4, -7)$
अब,प्राप्त सदिश का परिमाण ज्ञात करें:
$|p - 2q| = \sqrt{(1)^2 + (-4)^2 + (-7)^2}$
$= \sqrt{1 + 16 + 49}$
$= \sqrt{66}$

(A) मान लीजिए कि बिंदु $X$ के निर्देशांक $(a, b, c)$ हैं।
दिया गया है कि $\vec{AB} = \vec{CX}$ है।
सदिश $\vec{AB}$ की गणना $(0 - 1, 1 - 0, 0 - 0) = (-1, 1, 0)$ के रूप में की जाती है।
सदिश $\vec{CX}$ की गणना $(a - 0, b - 0, c - 1) = (a, b, c - 1)$ के रूप में की जाती है।
दोनों सदिशों की तुलना करने पर: $(-1, 1, 0) = (a, b, c - 1)$ प्राप्त होता है।
घटकों की तुलना करने पर,हमें मिलता है:
$a = -1$
$b = 1$
$c - 1 = 0 \implies c = 1$
अतः,बिंदु $X$ का मान $(-1, 1, 1)$ है।

(A) माना कि दिया गया बिंदु $A = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है और रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
$A$ से गुजरने वाली और $\vec{v}$ के समानांतर रेखा का समीकरण $\vec{r} = A + \lambda\vec{v}$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश $\vec{AP} = P - A = \lambda(3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।
$A$ और $P$ के बीच की दूरी $|\vec{AP}| = |\lambda| \sqrt{3^2 + 1^2 + 1^2} = |\lambda| \sqrt{11}$ है।
चूंकि दूरी $3\sqrt{11}$ दी गई है,हमारे पास $|\lambda| \sqrt{11} = 3\sqrt{11}$ है,जिसका अर्थ है $|\lambda| = 3$,इसलिए $\lambda = \pm 3$ है।
$\lambda = 3$ के लिए,$P = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + 3(3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 10\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
$\lambda = -3$ के लिए,$P = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) - 3(3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -8\hat{i} - 4\hat{j} - \hat{k}$ है।
अतः,संभावित स्थिति सदिश $10\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$ और $-8\hat{i} - 4\hat{j} - \hat{k}$ हैं।

(C) माना $l, m, n$ सदिश $\vec{r}$ के दिक्कोसाइन (direction cosines) हैं।
चूंकि $\vec{r}$,$OX, OY$ और $OZ$ अक्षों के साथ समान कोण $\alpha$ बनाता है,इसलिए $\alpha = \beta = \gamma$ है।
अतः,$l = \cos \alpha, m = \cos \beta = \cos \alpha, n = \cos \gamma = \cos \alpha$ है।
इसलिए,$l = m = n$ है।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
$l=m=n$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3l^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $l^2 = \frac{1}{3}$,अतः $l = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
चूंकि $l=m=n$ है,इसलिए दिक्कोसाइन $(l, m, n)$ के मान $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}), (-\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}), (\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}),$ और $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}})$ हो सकते हैं।
चिह्नों का प्रत्येक संयोजन एक अलग दिशा को दर्शाता है,जिससे कुल $2^3 = 8$ संभावित सदिश प्राप्त होते हैं।

(D) सबसे पहले,हम त्रिभुज की भुजाओं के लिए सदिशों की गणना करते हैं:
$\vec{AB} = (4-2, 5-4, 1-(-1)) = (2, 1, 2)$। इसकी लंबाई $|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$ है।
$\vec{BC} = (3-4, 6-5, -3-1) = (-1, 1, -4)$। इसकी लंबाई $|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ है।
$\vec{CA} = (2-3, 4-6, -1-(-3)) = (-1, -2, 2)$। इसकी लंबाई $|\vec{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$ है।
चूंकि $|\vec{AB}| = |\vec{CA}| = 3$,इसलिए त्रिभुज समद्विबाहु है।
अब,समकोण की स्थिति की जाँच करते हैं: $|\vec{AB}|^2 + |\vec{CA}|^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$।
साथ ही,$|\vec{BC}|^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$।
चूंकि $|\vec{AB}|^2 + |\vec{CA}|^2 = |\vec{BC}|^2$,इसलिए यह त्रिभुज शीर्ष $A$ पर समकोण है।
अतः,$\Delta ABC$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।

(D) दिया गया है कि $\vec{a} = 8\vec{b}$ और $\vec{c} = -7\vec{b}$ है।
चूंकि $\vec{a}$,$\vec{b}$ का एक धनात्मक अदिश गुणज है,इसलिए $\vec{a}$,$\vec{b}$ की ही दिशा में है।
चूंकि $\vec{c}$,$\vec{b}$ का एक ऋणात्मक अदिश गुणज है,इसलिए $\vec{c}$,$\vec{b}$ की विपरीत दिशा में है।
अतः,$\vec{a}$ और $\vec{c}$ विपरीत दिशाओं में हैं।
विपरीत दिशाओं में इंगित करने वाले दो सदिशों के बीच का कोण $180^\circ$ (या $\pi$ रेडियन) होता है।
इस प्रकार,$\vec{a}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $180^\circ$ है।

(B) माना सदिश $\vec{v} = (a, b, c) = (6, -3, 2)$ है।
सदिश का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec{v}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
सदिश की दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ उसके घटकों को सदिश के परिमाण से विभाजित करके प्राप्त की जाती हैं:
$l = \frac{a}{|\vec{v}|} = \frac{6}{7}$,
$m = \frac{b}{|\vec{v}|} = \frac{-3}{7}$,
$n = \frac{c}{|\vec{v}|} = \frac{2}{7}$.
अतः,दिक्-कोसाइन $\left(\frac{6}{7}, -\frac{3}{7}, \frac{2}{7}\right)$ हैं।

(A) दिया गया है $\vec{r} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b} + \gamma\vec{c}$.
सदिशों का मान रखने पर: $3\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k} = \lambda(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) + \gamma(-2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k})$.
$\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$2\lambda + \mu - 2\gamma = 3$ $(1)$
$-\lambda + 3\mu + \gamma = 2$ $(2)$
$\lambda - 2\mu - 3\gamma = -5$ $(3)$
इन समीकरणों को हल करने पर:
समीकरण $(2)$ से,$\gamma = 2 + \lambda - 3\mu$.
$\gamma$ का मान $(1)$ और $(3)$ में रखने पर:
$2\lambda + \mu - 2(2 + \lambda - 3\mu) = 3 \implies 7\mu = 7 \implies \mu = 1$.
$\mu = 1$ का मान $(2)$ और $(3)$ में रखने पर:
$-\lambda + 3 + \gamma = 2 \implies \gamma - \lambda = -1 \implies \gamma = \lambda - 1$.
$\lambda - 2 - 3(\lambda - 1) = -5 \implies -2\lambda + 1 = -5 \implies -2\lambda = -6 \implies \lambda = 3$.
अतः $\gamma = 3 - 1 = 2$.
इस प्रकार,$\lambda = 3, \mu = 1, \gamma = 2$.
विकल्पों की जाँच करने पर: $\mu, \frac{\lambda}{2}, \gamma$ अर्थात $1, 1.5, 2$ जो $A.P.$ में हैं।