Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Hindi

(A) दिया गया सदिश समीकरण $\alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c} = -3(\hat{i} - \hat{k})$ है।
दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर,$\alpha(1, 2, 3) + \beta(2, 3, 1) + \gamma(3, 1, 2) = -3(1, 0, -1)$ प्राप्त होता है।
इससे रैखिक समीकरणों का निकाय प्राप्त होता है:
$1) \alpha + 2\beta + 3\gamma = -3$
$2) 2\alpha + 3\beta + \gamma = 0$
$3) 3\alpha + \beta + 2\gamma = 3$
तीनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(\alpha + 2\alpha + 3\alpha) + (2\beta + 3\beta + \beta) + (3\gamma + \gamma + 2\gamma) = -3 + 0 + 3 \Rightarrow 6\alpha + 6\beta + 6\gamma = 0 \Rightarrow \alpha + \beta + \gamma = 0$.
समीकरण $(2)$ से,$\gamma = -2\alpha - 3\beta$। इसे $\alpha + \beta + \gamma = 0$ में रखने पर $\alpha + \beta - 2\alpha - 3\beta = 0 \Rightarrow -\alpha - 2\beta = 0 \Rightarrow \alpha = -2\beta$ प्राप्त होता है।
$\alpha = -2\beta$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर: $(-2\beta) + 2\beta + 3\gamma = -3 \Rightarrow 3\gamma = -3 \Rightarrow \gamma = -1$.
चूंकि $\alpha + \beta + \gamma = 0$,इसलिए $-2\beta + \beta - 1 = 0 \Rightarrow -\beta = 1 \Rightarrow \beta = -1$.
अतः $\alpha = -2(-1) = 2$.
इस प्रकार,त्रिक $(\alpha, \beta, \gamma)$ का मान $(2, -1, -1)$ है।

(B) दिया गया है कि $\vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = \vec{0}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $|\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}|^2 = |\vec{0}|^2$.
सर्वसमिका $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$ का उपयोग करने पर:
$|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + |\vec{w}|^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{w} + \vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$.
दिए गए परिमाण $|\vec{u}| = 3$,$|\vec{v}| = 4$ और $|\vec{w}| = 5$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{w} + \vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$.
$9 + 16 + 25 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{w} + \vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$.
$50 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{w} + \vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$.
$2(\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{w} + \vec{w} \cdot \vec{u}) = -50$.
अतः,$\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{w} + \vec{w} \cdot \vec{u} = -25$.

(A) चूंकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ रैखिक रूप से आश्रित हैं,हम किसी अदिश $\lambda \neq 0$ के लिए $\vec{b} = \lambda \vec{a}$ लिख सकते हैं।
इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{|\vec{a} + \lambda \vec{a}|}{|\vec{a} - \lambda \vec{a}|} = 2$
$\frac{|1 + \lambda| |\vec{a}|}{|1 - \lambda| |\vec{a}|} = 2$
चूंकि $\vec{a} \neq 0$,हमारे पास $\frac{|1 + \lambda|}{|1 - \lambda|} = 2$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{(1 + \lambda)^2}{(1 - \lambda)^2} = 4$
$(1 + \lambda)^2 = 4(1 - \lambda)^2$
$1 + 2\lambda + \lambda^2 = 4(1 - 2\lambda + \lambda^2)$
$1 + 2\lambda + \lambda^2 = 4 - 8\lambda + 4\lambda^2$
$3\lambda^2 - 10\lambda + 3 = 0$
$(3\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$
अतः,$\lambda = 3$ या $\lambda = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
दी गई शर्त $|\vec{b}| > |\vec{a}|$ के अनुसार,$|\lambda \vec{a}| > |\vec{a}|$ है,जिसका अर्थ है कि $|\lambda| > 1$ है।
इसलिए,$\lambda = 3$ ही एकमात्र मान्य हल है।
अतः,$\vec{b} = 3\vec{a}$।

(A) दिया गया समीकरण $\vec{r} \times \vec{b} = \vec{r} \times \vec{c}$ है।
इसे $\vec{r} \times \vec{b} - \vec{r} \times \vec{c} = \vec{0}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका अर्थ है $\vec{r} \times (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{0}$।
$\vec{b} - \vec{c} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) - (3\hat{i} + 2\hat{k}) = -2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ की गणना करें।
चूंकि $\vec{r} \times (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{0}$,इसलिए सदिश $\vec{r}$ को $(\vec{b} - \vec{c})$ के समानांतर होना चाहिए।
अतः,$\vec{r} = \lambda (-2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$।
$\vec{r}$ के इकाई सदिश होने के लिए,$|\vec{r}| = 1$ होना चाहिए,इसलिए $|\lambda| \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} = 1$।
$|\lambda| \sqrt{4 + 4 + 1} = 1 \Rightarrow |\lambda| \sqrt{9} = 1 \Rightarrow 3|\lambda| = 1 \Rightarrow \lambda = \pm \frac{1}{3}$।
इसलिए,$\hat{r} = \pm \frac{1}{3} (-2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = \pm \left( \frac{2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}}{3} \right)$।

(B) मान लीजिए $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ दो इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = 1$. मान लीजिए उनके बीच का कोण $\theta$ है।
उनके योग का परिमाण $|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2(1)(1)\cos \theta} = \sqrt{2 + 2\cos \theta} = 2\cos(\theta/2)$ है।
उनके अंतर का परिमाण $|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 - 2(1)(1)\cos \theta} = \sqrt{2 - 2\cos \theta} = 2\sin(\theta/2)$ है।
दी गई शर्त: $|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| < |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| < \sqrt{3}|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|$.
पहला भाग: $|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| < |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| \Rightarrow 2\sin(\theta/2) < 2\cos(\theta/2) \Rightarrow \tan(\theta/2) < 1 \Rightarrow \theta/2 < \pi/4 \Rightarrow \theta < \pi/2$.
दूसरा भाग: $|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| < \sqrt{3}|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| \Rightarrow 2\cos(\theta/2) < \sqrt{3} \cdot 2\sin(\theta/2) \Rightarrow \cot(\theta/2) < \sqrt{3} \Rightarrow \tan(\theta/2) > 1/\sqrt{3} \Rightarrow \theta/2 > \pi/6 \Rightarrow \theta > \pi/3$.
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $\theta \in \left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$ प्राप्त होता है।

(C) सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,हमारे पास है:
$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} = \vec{AE}$ ........$(1)$
इसी प्रकार,दूसरे पथ के लिए:
$\vec{AH} + \vec{HG} + \vec{GF} + \vec{FE} = \vec{AE}$ ........$(2)$
समीकरण $(1)$ और समीकरण $(2)$ को जोड़ने पर:
$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{AH} + \vec{HG} + \vec{GF} + \vec{FE} = \vec{AE} + \vec{AE} = 2\vec{AE}$

(D) सदिश $\overrightarrow{a}$ का $\overrightarrow{b}$ पर प्रक्षेप $\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश $\overrightarrow{b}$ का $\overrightarrow{a}$ पर प्रक्षेप $\frac{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\overrightarrow{a}$ का $\overrightarrow{b}$ पर प्रक्षेप और $\overrightarrow{b}$ का $\overrightarrow{a}$ पर प्रक्षेप का अनुपात:
$\frac{\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}}{\frac{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}} = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} \times \frac{|\overrightarrow{a}|}{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}}$
चूंकि अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय होता है,इसलिए $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}$ होता है।
अतः,अनुपात $\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) बिंदुओं $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j}$,और $\vec{c} = p\hat{i} - q\hat{j} + r\hat{k}$ हैं।
बिंदुओं $A, B, C$ के संरेख होने के लिए,सदिश $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AC}$ समानांतर होने चाहिए,अर्थात किसी अदिश $\lambda$ के लिए $\overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{AB}$ होना चाहिए।
$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (\hat{i} - \hat{j}) - (\hat{i} + \hat{j}) = -2\hat{j}$ की गणना करें।
$\overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a} = (p-1)\hat{i} - (q+1)\hat{j} + r\hat{k}$ की गणना करें।
चूंकि $\overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{AB}$,इसलिए $(p-1)\hat{i} - (q+1)\hat{j} + r\hat{k} = -2\lambda\hat{j}$ प्राप्त होता है।
$\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1$) $p-1 = 0 \implies p = 1$.
$2$) $-(q+1) = -2\lambda \implies q+1 = 2\lambda$.
$3$) $r = 0$.
विकल्प $D$ के अनुसार,यदि $p=1, q=2, r=0$ है,तो $2+1 = 2\lambda \implies 3 = 2\lambda \implies \lambda = 1.5$। यह एक मान्य अदिश है,इसलिए बिंदु संरेख हैं। अतः,$p=1, q=2, r=0$ एक सही संभावना है।

(B) दिया गया है $p = (x + 4y)\vec{a} + (2x + y + 1)\vec{b}$ और $q = (y - 2x + 2)\vec{a} + (2x - 3y - 1)\vec{b}$.
चूंकि $3p = 2q$,हमारे पास है:
$3[(x + 4y)\vec{a} + (2x + y + 1)\vec{b}] = 2[(y - 2x + 2)\vec{a} + (2x - 3y - 1)\vec{b}]$
$(3x + 12y)\vec{a} + (6x + 3y + 3)\vec{b} = (2y - 4x + 4)\vec{a} + (4x - 6y - 2)\vec{b}$
चूंकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ असरेखीय हैं,हम गुणांकों की तुलना कर सकते हैं:
$1) 3x + 12y = 2y - 4x + 4 \Rightarrow 7x + 10y = 4$
$2) 6x + 3y + 3 = 4x - 6y - 2 \Rightarrow 2x + 9y = -5$
समीकरण $(1)$ को $2$ से और $(2)$ को $7$ से गुणा करने पर:
$14x + 20y = 8$
$14x + 63y = -35$
समीकरणों को घटाने पर: $(63y - 20y) = -35 - 8 \Rightarrow 43y = -43 \Rightarrow y = -1$
$y = -1$ को $2x + 9y = -5$ में रखने पर:
$2x + 9(-1) = -5 \Rightarrow 2x - 9 = -5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$
अतः,$x = 2$ और $y = -1$ है।

(B) दिया गया है कि $|\vec{a}| = 1$,$|\vec{b}| = 1$,और $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$ है।
हम जानते हैं कि $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ होता है।
जहाँ $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ है और $\theta$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
अतः,$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$।
दिए गए मान रखने पर:
$1^2 = 1^2 + 1^2 - 2(1)(1) \cos \theta$
$1 = 1 + 1 - 2 \cos \theta$
$1 = 2 - 2 \cos \theta$
$2 \cos \theta = 1$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(C) मान लीजिए $\triangle ABC$ के केंद्रक का स्थिति सदिश $\vec{G}$ है। हम जानते हैं कि $\vec{G} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ होता है।
मान लीजिए $\vec{H}$ लंबकेंद्र का स्थिति सदिश है और $\vec{P}$ परिकेंद्र का स्थिति सदिश है। हमें दिया गया है कि $\vec{P} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}$ है।
किसी भी त्रिभुज में,केंद्रक $\vec{G}$,लंबकेंद्र $\vec{H}$ और परिकेंद्र $\vec{P}$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। अर्थात,$\vec{G} = \frac{2\vec{P} + 1\vec{H}}{2+1} = \frac{2\vec{P} + \vec{H}}{3}$ होता है।
इसलिए,$3\vec{G} = 2\vec{P} + \vec{H}$,जिसका अर्थ है कि $\vec{H} = 3\vec{G} - 2\vec{P}$ है।
$\vec{G}$ और $\vec{P}$ के मान रखने पर:
$\vec{H} = 3\left(\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\right) - 2\left(\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}\right)$
$\vec{H} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{2}$
$\vec{H} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{2}$.

(C) दिया गया है कि $|2\vec{a} - \vec{b}| = 5$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|2\vec{a} - \vec{b}|^2 = 25$।
गुणधर्म $|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$ का उपयोग करने पर:
$4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25$।
$|\vec{a}| = 2$ और $|\vec{b}| = 3$ रखने पर:
$4(2)^2 + (3)^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25$।
$16 + 9 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25$।
$25 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25 \implies 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
अब,$|2\vec{a} + \vec{b}|$ ज्ञात करने के लिए:
$|2\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b})$।
मान रखने पर:
$|2\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4(4) + 9 + 4(0) = 16 + 9 = 25$।
अतः,$|2\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{25} = 5$।

(D) माना $\vec{c} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ है।
दिया गया है कि $\vec{c} \times (\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}) = \vec{0}$,जिसका अर्थ है कि $\vec{c}$ सदिश $\vec{v} = \hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$ के समांतर है।
अतः,किसी अदिश $k$ के लिए $\vec{c} = k(\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k})$ होगा।
दिया गया है कि $|\vec{c}|^2 = 60$,इसलिए $k^2(1^2 + 2^2 + 5^2) = 60$ होगा।
$k^2(1 + 4 + 25) = 60 \Rightarrow 30k^2 = 60 \Rightarrow k^2 = 2 \Rightarrow k = \pm\sqrt{2}$।
$k = \sqrt{2}$ लेने पर,हमें $\vec{c} = \sqrt{2}\hat{i} + 2\sqrt{2}\hat{j} + 5\sqrt{2}\hat{k}$ प्राप्त होता है।
अब,अदिश गुणनफल $\vec{c} \cdot (-7\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ की गणना करते हैं:
$= (\sqrt{2}\hat{i} + 2\sqrt{2}\hat{j} + 5\sqrt{2}\hat{k}) \cdot (-7\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$
$= \sqrt{2}(-7) + 2\sqrt{2}(2) + 5\sqrt{2}(3)$
$= -7\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 15\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$।

(B) दिया गया है कि $\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\hat{x}| = |\hat{y}| = |\hat{z}| = 1$.
हम जानते हैं कि किसी भी सदिश के लिए,$|\hat{x} + \hat{y} + \hat{z}|^2 \geq 0$.
इसका विस्तार करने पर,हमें $|\hat{x}|^2 + |\hat{y}|^2 + |\hat{z}|^2 + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq 0$ प्राप्त होता है।
परिमाण रखने पर,$1 + 1 + 1 + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq 0$,जिसका अर्थ है $3 + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq 0$.
अतः,$2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq -3$.
अब,व्यंजक $S = |\hat{x} + \hat{y}|^2 + |\hat{y} + \hat{z}|^2 + |\hat{z} + \hat{x}|^2$ पर विचार करें।
$S = (\hat{x} \cdot \hat{x} + \hat{y} \cdot \hat{y} + 2\hat{x} \cdot \hat{y}) + (\hat{y} \cdot \hat{y} + \hat{z} \cdot \hat{z} + 2\hat{y} \cdot \hat{z}) + (\hat{z} \cdot \hat{z} + \hat{x} \cdot \hat{x} + 2\hat{z} \cdot \hat{x})$.
$S = 2(|\hat{x}|^2 + |\hat{y}|^2 + |\hat{z}|^2) + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x})$.
$S = 2(1 + 1 + 1) + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) = 6 + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x})$.
चूंकि $2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq -3$,इसलिए $S$ का न्यूनतम मान $6 - 3 = 3$ है।

(B) दो सदिश $\vec{u}$ और $\vec{v}$ संरेखीय होते हैं यदि कोई अशून्य अदिश $k$ मौजूद हो ताकि $\vec{u} = k\vec{v}$ हो।
दिया गया है $\vec{u} = (\alpha - 2)\vec{a} + \vec{b}$ और $\vec{v} = (2 + 3\alpha)\vec{a} - 3\vec{b}$।
चूंकि $\vec{u}$ और $\vec{v}$ संरेखीय हैं,इसलिए $(\alpha - 2)\vec{a} + \vec{b} = k((2 + 3\alpha)\vec{a} - 3\vec{b})$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(\alpha - 2 - k(2 + 3\alpha))\vec{a} + (1 + 3k)\vec{b} = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ असरेखीय हैं,इसलिए उनके गुणांक शून्य होने चाहिए।
अतः,$1 + 3k = 0 \Rightarrow k = -\frac{1}{3}$।
$k = -\frac{1}{3}$ का मान $\vec{a}$ के गुणांक में रखने पर:
$\alpha - 2 - (-\frac{1}{3})(2 + 3\alpha) = 0$।
$\alpha - 2 + \frac{2}{3} + \alpha = 0$।
$2\alpha = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$।
$\alpha = \frac{2}{3}$।

(A) दिए गए सदिश $\vec{\alpha} = (\lambda - 2)\vec{a} + \vec{b}$ और $\vec{\beta} = (4\lambda - 2)\vec{a} + 3\vec{b}$ हैं।
चूँकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ असंरेख हैं,$\vec{\alpha}$ और $\vec{\beta}$ संरेख होंगे यदि और केवल यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के गुणांकों का अनुपात समान हो।
इसका अर्थ है $\frac{\lambda - 2}{4\lambda - 2} = \frac{1}{3}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,$3(\lambda - 2) = 1(4\lambda - 2)$.
$3\lambda - 6 = 4\lambda - 2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$3\lambda - 4\lambda = -2 + 6$.
$-\lambda = 4$.
अतः,$\lambda = -4$.

(N/A) दक्षिण से पश्चिम की ओर $30^\circ$ के कोण पर $40 \, km$ के विस्थापन को आलेखीय रूप से निरूपित करने के लिए:
$1$. उत्तर $(N)$,दक्षिण $(S)$,पूर्व $(E)$ और पश्चिम $(W)$ दिशाओं के साथ एक निर्देशांक प्रणाली खींचिए।
$2$. एक उपयुक्त पैमाना चुनिए,उदाहरण के लिए,$1 \, cm = 10 \, km$. अतः,$40 \, km$ की दूरी $4 \, cm$ की लंबाई के बराबर होगी।
$3$. मूल बिंदु $O$ से शुरू करते हुए,दक्षिण से पश्चिम की ओर $30^\circ$ की दिशा में (अर्थात,दक्षिण अक्ष से शुरू करके पश्चिम की ओर $30^\circ$ मुड़कर) $4 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $OP$ खींचिए।
$4$. सदिश $\vec{OP}$ दक्षिण से पश्चिम की ओर $30^\circ$ के कोण पर $40 \, km$ के आवश्यक विस्थापन को दर्शाता है।

(A) अदिश राशि वह भौतिक राशि है जिसमें केवल परिमाण होता है और कोई दिशा नहीं होती है।
समय एक भौतिक राशि है जिसे सेकंड में मापा जाता है। इसके साथ कोई विशिष्ट दिशा जुड़ी नहीं होती है।
अतः,$5 \text{ सेकंड}$ एक अदिश राशि है।

(A) दी गई माप $1000 \, cm^{3}$ है,जो आयतन (volume) को दर्शाती है।
आयतन एक ऐसी भौतिक राशि है जिसमें केवल परिमाण होता है,दिशा नहीं।
इसलिए,आयतन एक अदिश राशि है।

(B) $10 \text{ Newton}$ का माप बल (force) को दर्शाता है।
बल एक भौतिक राशि है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
इसलिए,बल एक सदिश राशि है।

(A) अदिश राशि वह भौतिक राशि है जिसका केवल परिमाण होता है और कोई दिशा नहीं होती है।
सदिश राशि वह भौतिक राशि है जिसका परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
दिया गया माप $30 \, km/hr$ है,जो चाल को दर्शाता है।
चाल वेग का परिमाण है और इसकी कोई निश्चित दिशा नहीं होती है।
अतः,$30 \, km/hr$ एक अदिश राशि है।

(A) घनत्व को प्रति इकाई आयतन द्रव्यमान के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि द्रव्यमान और आयतन दोनों अदिश राशियाँ हैं,इसलिए उनका अनुपात,घनत्व,भी एक अदिश राशि है। इसमें केवल परिमाण होता है लेकिन कोई विशिष्ट दिशा नहीं होती है। अतः,$10 \, g/cm^3$ एक अदिश राशि है।

(B) एक अदिश राशि को केवल उसके परिमाण द्वारा परिभाषित किया जाता है,जबकि एक सदिश राशि को परिमाण और दिशा दोनों द्वारा परिभाषित किया जाता है।
दिया गया माप $20 \text{ m/s}$ उत्तर दिशा की ओर है।
चूंकि इसमें परिमाण $(20 \text{ m/s})$ और दिशा (उत्तर की ओर) दोनों हैं,इसलिए यह एक सदिश राशि है।
अतः,यह माप एक सदिश है।

(N/A) दो या दो से अधिक सदिशों को संरेख कहा जाता है यदि वे एक ही रेखा के समांतर हों,चाहे उनके परिमाण और दिशा कुछ भी हो।
आकृति को देखने पर,सदिश $\vec{c}$ और $\vec{d}$ एक ही रेखा पर स्थित हैं (या एक ही रेखा के समांतर हैं)।
अतः,संरेख सदिश $\vec{c}$ और $\vec{d}$ हैं।

(N/A) दो सदिशों को समान तब कहा जाता है जब उनका परिमाण (magnitude) और दिशा समान हो।
$1$. सदिश $\vec{a}$ का परिमाण $1 \text{ unit}$ है और यह एक विशिष्ट दिशा में है।
$2$. सदिश $\vec{b}$ का परिमाण $2 \text{ units}$ है और यह एक अलग दिशा में है।
$3$. सदिश $\vec{c}$ का परिमाण $1 \text{ unit}$ है और यह $\vec{a}$ के समान दिशा में है।
$4$. सदिश $\vec{d}$ का परिमाण $2 \text{ units}$ है और यह $\vec{b}$ की विपरीत दिशा में है।
इनकी तुलना करने पर,सदिश $\vec{a}$ और $\vec{c}$ का परिमाण $(1 \text{ unit})$ और दिशा समान है।
अतः,समान सदिश $\vec{a}$ और $\vec{c}$ हैं।

(N/A) सह-आदि (coinitial) सदिश वे सदिश होते हैं जिनका प्रारंभिक बिंदु समान होता है।
आकृति को देखने पर,हम पाते हैं कि सदिश $\vec{b}$,$\vec{c}$,और $\vec{d}$ सभी एक ही बिंदु से शुरू होते हैं।
इसलिए,सह-आदि सदिश $\vec{b}$,$\vec{c}$,और $\vec{d}$ हैं।

(N/A) $40 \, km$,उत्तर की पूर्व दिशा में $30^{\circ}$ के विस्थापन को आलेखीय रूप से निरूपित करने के लिए:
$1$. उत्तर,दक्षिण,पूर्व और पश्चिम दिशाओं के साथ एक निर्देशांक प्रणाली खींचिए।
$2$. मूल बिंदु $O$ को प्रारंभिक बिंदु मानिए।
$3$. मूल बिंदु $O$ से एक किरण $OP$ इस प्रकार खींचिए कि वह उत्तर दिशा के साथ पूर्व की ओर $30^{\circ}$ का कोण बनाए।
$4$. $1 \, cm = 10 \, km$ के पैमाने का उपयोग करते हुए,$40 \, km$ को दर्शाने के लिए सदिश $OP$ की लंबाई $4 \, cm$ अंकित कीजिए।
$5$. सदिश $\overrightarrow{OP}$ अभीष्ट विस्थापन को निरूपित करता है।

(A) एक अदिश राशि वह भौतिक राशि है जिसमें केवल परिमाण होता है और कोई दिशा नहीं होती है।
$10 \text{ kg}$ द्रव्यमान को दर्शाता है,जो किसी वस्तु में पदार्थ की मात्रा का माप है।
चूंकि द्रव्यमान में केवल परिमाण होता है और इसे निर्दिष्ट करने के लिए किसी दिशा की आवश्यकता नहीं होती है,इसलिए यह एक अदिश राशि है।
अतः,$10 \text{ kg}$ एक अदिश है।

(B) एक अदिश राशि केवल अपने परिमाण द्वारा परिभाषित होती है,जबकि एक सदिश राशि परिमाण और दिशा दोनों द्वारा परिभाषित होती है।
दिए गए माप में,$2 \text{ मीटर}$ परिमाण को दर्शाता है और $\text{उत्तर-पश्चिम}$ दिशा को दर्शाता है।
चूंकि इस माप में परिमाण और दिशा दोनों शामिल हैं,इसलिए यह एक सदिश राशि है।

(A) एक अदिश राशि को ऐसी भौतिक राशि के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें केवल परिमाण होता है और कोई दिशा नहीं होती है।
एक सदिश राशि को ऐसी भौतिक राशि के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
माप $40^{o}$ एक कोण को दर्शाता है,जिसका केवल परिमाण होता है और इसके साथ कोई विशिष्ट दिशा जुड़ी नहीं होती है।
इसलिए,$40^{o}$ एक अदिश राशि है।

(A) $40$ $watt$ एक अदिश राशि है क्योंकि इसमें केवल परिमाण होता है और इसके साथ कोई दिशा नहीं जुड़ी होती है।

(A) एक अदिश राशि वह भौतिक राशि है जिसमें केवल परिमाण होता है और कोई दिशा नहीं होती है।
विद्युत आवेश,जिसे $Coulomb$ में मापा जाता है,एक अदिश राशि है क्योंकि इसके साथ कोई विशिष्ट दिशा जुड़ी नहीं होती है।
इसलिए,$10^{-19} \text{ Coulomb}$ एक अदिश राशि है।

(B) $20 \, m/s^{2}$ त्वरण को दर्शाता है।
त्वरण एक सदिश राशि है क्योंकि इसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।

(A) एक अदिश राशि वह भौतिक राशि है जिसमें केवल परिमाण होता है और कोई दिशा नहीं होती है।
एक सदिश राशि वह भौतिक राशि है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
समय अवधि एक घटना की अवधि का प्रतिनिधित्व करती है,जिसे केवल इसके परिमाण द्वारा वर्णित किया जाता है (उदाहरण के लिए,$5 \text{ सेकंड}$)।
चूंकि इसमें कोई विशिष्ट दिशा नहीं होती है,इसलिए समय अवधि एक अदिश राशि है।

(A) अदिश राशि वह भौतिक राशि है जिसमें केवल परिमाण होता है और कोई दिशा नहीं होती है।
दूरी दो बिंदुओं के बीच किसी वस्तु द्वारा तय की गई कुल पथ की लंबाई को दर्शाती है।
चूंकि दूरी के साथ कोई विशिष्ट दिशा नहीं जुड़ी होती है,इसलिए इसे अदिश राशि के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

(B) एक अदिश राशि केवल अपने परिमाण द्वारा परिभाषित होती है,जबकि एक सदिश राशि अपने परिमाण और दिशा दोनों द्वारा परिभाषित होती है।
बल एक भौतिक राशि है जिसे पूरी तरह से वर्णित करने के लिए परिमाण (धक्का या खिंचाव की शक्ति) और एक विशिष्ट दिशा दोनों की आवश्यकता होती है।
इसलिए,बल एक सदिश राशि है।

(B) एक अदिश राशि केवल अपने परिमाण (magnitude) द्वारा परिभाषित होती है,जबकि एक सदिश राशि अपने परिमाण और दिशा दोनों द्वारा परिभाषित होती है।
वेग को विस्थापन के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसमें दिशा निहित होती है।
इसलिए,वेग एक सदिश राशि है।

(N/A) सह-आदि सदिश वे सदिश होते हैं जो एक ही प्रारंभिक बिंदु से शुरू होते हैं।
वर्ग को देखने पर,सदिश $\vec{a}$ और $\vec{d}$ वर्ग के ऊपरी बाएं कोने से शुरू होते हैं।
इसलिए,$\vec{a}$ और $\vec{d}$ सह-आदि सदिश हैं।

(N/A) दो सदिशों को समान कहा जाता है यदि उनका परिमाण और दिशा समान हो।
दिए गए वर्ग में,सदिश $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{c}$ का परिमाण समान है (वर्ग की भुजा की लंबाई) लेकिन दिशाएँ विपरीत हैं।
सदिश $\overrightarrow{d}$ और $\overrightarrow{b}$ का परिमाण समान है (वर्ग की भुजा की लंबाई) लेकिन दिशाएँ विपरीत हैं।
सदिशों की दिशाओं को देखने पर:
- $\overrightarrow{a}$ दाईं ओर इंगित करता है।
- $\overrightarrow{c}$ बाईं ओर इंगित करता है।
- $\overrightarrow{d}$ नीचे की ओर इंगित करता है।
- $\overrightarrow{b}$ नीचे की ओर इंगित करता है।
अतः,सदिश $\overrightarrow{d}$ और $\overrightarrow{b}$ समान हैं क्योंकि उनका परिमाण और दिशा समान है।

(N/A) दो सदिशों को संरेख कहा जाता है यदि वे एक ही रेखा के समानांतर हों,चाहे उनके परिमाण और दिशाएं कुछ भी हों।
दिए गए वर्ग में,सदिश $\vec{a}$ और $\vec{c}$ एक-दूसरे के समानांतर हैं लेकिन उनकी दिशाएं विपरीत हैं। इसलिए,वे संरेख हैं।
हालाँकि,वे समान नहीं हैं क्योंकि समान सदिशों के लिए समान परिमाण और समान दिशा का होना आवश्यक है।
अतः,वे सदिश जो संरेख हैं लेकिन समान नहीं हैं,वे $\vec{a}$ और $\vec{c}$ हैं।

(A) सत्य
दो सदिशों को संरेख कहा जाता है यदि वे एक ही रेखा के समानांतर हों,चाहे उनके परिमाण और दिशाएं कुछ भी हों।
चूंकि $-\vec{a}$,$\vec{a}$ का एक अदिश गुणज है (विशेष रूप से,$-\vec{a} = -1 \times \vec{a}$),इसलिए सदिश $\vec{a}$ और $-\vec{a}$ एक-दूसरे के समानांतर हैं।
अतः,$\vec{a}$ और $-\vec{a}$ संरेख हैं।

(B) यह कथन $False$ (असत्य) है।
संरेख सदिश वे सदिश होते हैं जो एक ही रेखा के समांतर होते हैं,चाहे उनका परिमाण कुछ भी हो।
उदाहरण के लिए,यदि $\vec{a} = 2\hat{i}$ और $\vec{b} = 3\hat{i}$ है,तो दोनों संरेख हैं क्योंकि वे $x$-अक्ष के समांतर हैं,लेकिन उनके परिमाण $|\vec{a}| = 2$ और $|\vec{b}| = 3$ हैं,जो समान नहीं हैं।

(B) यह कथन असत्य है।
दो सदिशों के परिमाण समान होने पर भी यह आवश्यक नहीं है कि वे एक ही रेखा के समांतर हों।
समान परिमाण होने का अर्थ यह नहीं है कि सदिश संरेख हैं।
उदाहरण के लिए,सदिश $\vec{a} = \hat{i}$ और सदिश $\vec{b} = \hat{j}$ पर विचार करें।
दोनों सदिशों का परिमाण $1$ है,लेकिन वे संरेख नहीं हैं क्योंकि वे एक ही रेखा के समांतर नहीं हैं।

(B) यह कथन असत्य है।
दो सदिशों को समान तब कहा जाता है यदि उनका परिमाण और दिशा समान हो।
संरेख सदिश वे सदिश होते हैं जो एक ही रेखा के समांतर होते हैं,चाहे उनके परिमाण और दिशा कुछ भी हों।
भले ही दो संरेख सदिशों का परिमाण समान हो,उनकी दिशा विपरीत हो सकती है (उदाहरण के लिए,$\vec{a}$ और $-\vec{a}$),जो उन्हें असमान बनाती है।

(A) दो सदिश $\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ और $\vec{b} = b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k}$ समान होते हैं यदि और केवल यदि उनके संगत घटक समान हों,अर्थात $a_1 = b_1, a_2 = b_2$ और $a_3 = b_3$।
दिए गए सदिश $\vec{a} = x \hat{i} + 2 \hat{j} + z \hat{k}$ और $\vec{b} = 2 \hat{i} + y \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के घटकों की तुलना करने पर:
$\hat{i}$ घटक के लिए: $x = 2$।
$\hat{j}$ घटक के लिए: $2 = y$,जिसका अर्थ है $y = 2$।
$\hat{k}$ घटक के लिए: $z = 1$।
अतः,मान $x = 2, y = 2, z = 1$ हैं।

(N/A) दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j}$ हैं।
सदिश $\vec{a}$ का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ है।
सदिश $\vec{b}$ का परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ है।
चूंकि $|\vec{a}| = \sqrt{5}$ और $|\vec{b}| = \sqrt{5}$,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ है।
दो सदिश तभी समान होते हैं यदि उनके संगत घटक समान हों। यहाँ,$\vec{a}$ के घटक $(1, 2)$ हैं और $\vec{b}$ के घटक $(2, 1)$ हैं।
चूंकि $(1, 2) \neq (2, 1)$,इसलिए सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ समान नहीं हैं।

(A) सदिश $\vec{a}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश $\vec{a}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$.
अब,सदिश $\vec{a}$ को उसके परिमाण से विभाजित करें:
$\hat{a} = \frac{1}{\sqrt{14}}(2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) = \frac{2}{\sqrt{14}}\hat{i} + \frac{3}{\sqrt{14}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{14}}\hat{k}$.

(A) दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j}$ का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ है।
$\vec{a}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{5}}(\hat{i} - 2\hat{j}) = \frac{1}{\sqrt{5}}\hat{i} - \frac{2}{\sqrt{5}}\hat{j}$ है।
अतः,$\vec{a}$ की दिशा में $7$ इकाई परिमाण वाला सदिश $7\hat{a} = 7 \left( \frac{1}{\sqrt{5}}\hat{i} - \frac{2}{\sqrt{5}}\hat{j} \right) = \frac{7}{\sqrt{5}}\hat{i} - \frac{14}{\sqrt{5}}\hat{j}$ होगा।

(A) माना $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$.
दिया गया है $\vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$.
अतः $\vec{c} = (2+2)\hat{i} + (2+1)\hat{j} + (-5+3)\hat{k} = 4\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{c}$ का परिमाण $|\vec{c}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}$ है।
$\vec{c}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{c} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\hat{c} = \frac{1}{\sqrt{29}}(4\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) = \frac{4}{\sqrt{29}}\hat{i} + \frac{3}{\sqrt{29}}\hat{j} - \frac{2}{\sqrt{29}}\hat{k}$.

(A) चूंकि सदिश $P$ से $Q$ की ओर निर्देशित है,इसलिए $P$ प्रारंभिक बिंदु है और $Q$ अंतिम बिंदु है।
सदिश $\overrightarrow{PQ}$ अंतिम बिंदु और प्रारंभिक बिंदु के स्थिति सदिशों के अंतर द्वारा प्राप्त होता है:
$\overrightarrow{PQ} = (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j} + (z_2 - z_1)\hat{k}$
यहाँ $P(2, 3, 0)$ और $Q(-1, -2, -4)$ दिए गए हैं:
$\overrightarrow{PQ} = (-1 - 2)\hat{i} + (-2 - 3)\hat{j} + (-4 - 0)\hat{k}$
$\overrightarrow{PQ} = -3\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k}$