Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Hindi

(B) दिया गया है कि $P$,रेखाखंड $AB$ को $m : n$ के अनुपात में विभाजित करता है।
सदिशों के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष बिंदु $P$ का स्थिति सदिश इस प्रकार है:
$\overrightarrow{OP} = \frac{n\overrightarrow{OA} + m\overrightarrow{OB}}{m + n}$
दिए गए मान $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ और $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ रखने पर:
$\overrightarrow{OP} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n}$
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(A) माना कि शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
चूंकि $D, E, F$ भुजाओं $BC, CA, AB$ के मध्य बिंदु हैं,उनके स्थिति सदिश हैं:
$\vec{d} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$,$\vec{e} = \frac{\vec{c} + \vec{a}}{2}$,$\vec{f} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$।
अब,हम सदिशों की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$
$\overrightarrow{BE} = \vec{e} - \vec{b} = \frac{\vec{c} + \vec{a}}{2} - \vec{b} = \frac{\vec{c} + \vec{a} - 2\vec{b}}{2}$
$\overrightarrow{CF} = \vec{f} - \vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} - \vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}}{2}$
इन सदिशों को जोड़ने पर:
$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF} = \frac{(\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}) + (\vec{c} + \vec{a} - 2\vec{b}) + (\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c})}{2}$
$= \frac{(\vec{a} - 2\vec{a} + \vec{a}) + (\vec{b} - 2\vec{b} + \vec{b}) + (\vec{c} - 2\vec{c} + \vec{c})}{2} = \frac{0}{2} = \vec{0}$।
अतः,योग एक शून्य सदिश है।

(D) दिया गया है कि $\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB}$.
माना $\vec{a}$ और $\vec{b}$ क्रमशः बिंदुओं $A$ और $B$ के स्थिति सदिश हैं।
हम जानते हैं कि $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$.
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\overrightarrow{AC} = 3(\vec{b} - \vec{a}) = 3\vec{b} - 3\vec{a}$.
माना $\vec{c}$ बिंदु $C$ का स्थिति सदिश है। तब $\overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a}$.
$\overrightarrow{AC}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\vec{c} - \vec{a} = 3\vec{b} - 3\vec{a}$.
$\vec{c} = 3\vec{b} - 3\vec{a} + \vec{a}$.
$\vec{c} = 3\vec{b} - 2\vec{a}$.
अतः,बिंदु $C$ का स्थिति सदिश $3\vec{b} - 2\vec{a}$ है।

(B) स्थिति सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु $M$ का स्थिति सदिश ज्ञात करने का सूत्र: $\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ है।
यहाँ $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ दिया गया है।
सदिशों को जोड़ने पर: $\vec{a} + \vec{b} = (1+3)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (2+3)\hat{k} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$.
अब इसे $2$ से विभाजित करने पर: $\vec{m} = \frac{4\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}}{2} = 2\hat{i} - \hat{j} + \frac{5}{2}\hat{k}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में, विपरीत भुजाओं को दर्शाने वाले सदिश समान होते हैं, इसलिए $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$।
मान लीजिए कि $D$ का स्थिति सदिश $\vec{d} = xi + yj + zk$ है।
स्थिति सदिश $\vec{a} = i + 3j + 5k$, $\vec{b} = i + j + k$, और $\vec{c} = 7i + 7j + 7k$ दिए गए हैं।
हम जानते हैं कि $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (1-1)i + (1-3)j + (1-5)k = 0i - 2j - 4k$।
इसी प्रकार, $\overrightarrow{DC} = \vec{c} - \vec{d} = (7-x)i + (7-y)j + (7-z)k$।
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$0 = 7 - x \Rightarrow x = 7$
$-2 = 7 - y \Rightarrow y = 9$
$-4 = 7 - z \Rightarrow z = 11$
अतः, $D$ का स्थिति सदिश $7i + 9j + 11k$ है।

(D) हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इसलिए,$P$ दोनों विकर्णों $AC$ और $BD$ का मध्य बिंदु है।
मध्य बिंदु के लिए सेक्शन फॉर्मूला का उपयोग करते हुए,विकर्ण $AC$ के लिए जिसका मध्य बिंदु $P$ है,हमें मिलता है:
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OP}$ ......$(i)$
इसी प्रकार,विकर्ण $BD$ के लिए जिसका मध्य बिंदु $P$ है,हमें मिलता है:
$\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{OP}$ ......$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}) + (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}) = 2\overrightarrow{OP} + 2\overrightarrow{OP}$
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 4\overrightarrow{OP}$

(A) माना बिंदु $P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = xi + yj + zk$ है।
दिया गया है कि $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = i, \vec{b} = j, \vec{c} = k$ हैं।
सदिश $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = j - i$ है।
सदिश $\overrightarrow{CP} = \vec{p} - \vec{c} = xi + yj + (z - 1)k$ है।
दी गई शर्त $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CP}$ के अनुसार,$j - i = xi + yj + (z - 1)k$ है।
दोनों पक्षों में $i, j$ और $k$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$x = -1, y = 1, z - 1 = 0 \Rightarrow z = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$P$ का स्थिति सदिश $-i + j + k$ है।

(B) दिए गए स्थिति सदिश: $\vec{a} = 2i + 3j + 5k$,$\vec{b} = i + 2j + 3k$,$\vec{c} = -5i + 4j - 2k$,$\vec{d} = i + 10j + 10k$.
सदिश $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (1-2)i + (2-3)j + (3-5)k = -i - j - 2k$ की गणना करें।
सदिश $\overrightarrow{CD} = \vec{d} - \vec{c} = (1 - (-5))i + (10-4)j + (10 - (-2))k = 6i + 6j + 12k$ की गणना करें।
यहाँ देखा जा सकता है कि $\overrightarrow{CD} = -6(-i - j - 2k) = -6 \overrightarrow{AB}$ है।
चूंकि $\overrightarrow{CD}$,$\overrightarrow{AB}$ का एक अदिश गुणज है,इसलिए सदिश समांतर हैं। अतः,$\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{CD}$।

(C) माना $\overrightarrow{OA} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ एक सिरे $A$ का स्थिति सदिश है और $\overrightarrow{OP} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ रेखाखंड $AB$ के मध्य बिंदु $P$ का स्थिति सदिश है।
माना $\overrightarrow{OB}$ दूसरे सिरे $B$ का स्थिति सदिश है।
चूंकि $P$,$AB$ का मध्य बिंदु है,हमारे पास संबंध है:
$\overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}$
$2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$
$\overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}$
दिए गए सदिशों का मान रखने पर:
$\overrightarrow{OB} = 2(3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) - (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$
$\overrightarrow{OB} = (6\hat{i} + 6\hat{j} + 6\hat{k}) - (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$
$\overrightarrow{OB} = (6-2)\hat{i} + (6-3)\hat{j} + (6-(-1))\hat{k}$
$\overrightarrow{OB} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}$
अतः,दूसरे सिरे का स्थिति सदिश $4\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}$ है।

(D) मान लीजिए कि शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ और $\vec{a'}, \vec{b'}, \vec{c'}$ हैं।
केंद्रक $G$ और $G'$ को $\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ और $\vec{g'} = \frac{\vec{a'} + \vec{b'} + \vec{c'}}{3}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः,$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 3\vec{g}$ और $\vec{a'} + \vec{b'} + \vec{c'} = 3\vec{g'}$.
हमें $\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{CC'} = (\vec{a'} - \vec{a}) + (\vec{b'} - \vec{b}) + (\vec{c'} - \vec{c})$ ज्ञात करना है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(\vec{a'} + \vec{b'} + \vec{c'}) - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = 3\vec{g'} - 3\vec{g} = 3(\vec{g'} - \vec{g})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{g'} - \vec{g} = \overrightarrow{GG'}$,इसलिए परिणाम $3\overrightarrow{GG'}$ है।

(B) मान लीजिए कि मूल बिंदु परिकेंद्र $O$ पर है। तब $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं,जहाँ $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$ है।
लंबकेंद्र $O'$ का स्थिति सदिश $\vec{o'} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $\overrightarrow{O'A} + \overrightarrow{O'B} + \overrightarrow{O'C}$ की गणना करनी है।
मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष स्थिति सदिशों की परिभाषा का उपयोग करते हुए:
$\overrightarrow{O'A} = \vec{a} - \vec{o'} = \vec{a} - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = -(\vec{b} + \vec{c})$
$\overrightarrow{O'B} = \vec{b} - \vec{o'} = \vec{b} - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = -(\vec{a} + \vec{c})$
$\overrightarrow{O'C} = \vec{c} - \vec{o'} = \vec{c} - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = -(\vec{a} + \vec{b})$
इनका योग करने पर:
$\overrightarrow{O'A} + \overrightarrow{O'B} + \overrightarrow{O'C} = -(\vec{b} + \vec{c} + \vec{a} + \vec{c} + \vec{a} + \vec{b}) = -2(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = -2\vec{o'}$.
चूंकि $\vec{o'}$ सदिश $\overrightarrow{OO'}$ है,इसलिए $\overrightarrow{O'A} + \overrightarrow{O'B} + \overrightarrow{O'C} = -2\overrightarrow{OO'} = 2\overrightarrow{O'O}$ प्राप्त होता है।

(A) एक समषट्भुज $ABCDEF$ में,मान लीजिए केंद्र $O$ है।
दिया गया है कि $\overrightarrow{AB} = a$ और $\overrightarrow{BC} = b$ है।
षट्भुज के गुणधर्म के अनुसार,$\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{BC} = 2b$ और $\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{AB} = a$ है।
अब,$\triangle AED$ में,सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{AD}$ है।
अतः,$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{ED}$ होगा।
मान रखने पर,$\overrightarrow{AE} = 2b - a$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $B$ के सापेक्ष बिंदु $C$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{BC} = i + j$ है।
इसी प्रकार,$A$ के सापेक्ष $B$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{AB} = i - j$ है।
सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करते हुए,$A$ के सापेक्ष $C$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\overrightarrow{AC} = (i - j) + (i + j) = 2i$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) माना $\overrightarrow{OA} = 6b - 2a$ और $\overrightarrow{OP} = a - b$ है। माना $\overrightarrow{OB} = r$ है।
चूंकि $P$,$AB$ को $1 : 2$ के अनुपात में विभाजित करता है,विभाजन सूत्र के अनुसार $P$ का स्थिति सदिश:
$\overrightarrow{OP} = \frac{1(\overrightarrow{OB}) + 2(\overrightarrow{OA})}{1 + 2}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$a - b = \frac{r + 2(6b - 2a)}{3}$
$3(a - b) = r + 12b - 4a$
$3a - 3b = r + 12b - 4a$
$r = 3a - 3b - 12b + 4a$
$r = 7a - 15b$
अतः,$B$ का स्थिति सदिश $7a - 15b$ है।

(B) बिंदुओं $A$ और $B$ के स्थिति सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ होने पर,उनके मध्य-बिंदु $M$ का स्थिति सदिश निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$
दिया गया है कि $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$।
मान रखने पर:
$\vec{m} = \frac{(\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) + (3\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k})}{2}$
$\vec{m} = \frac{(1+3)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (-1-3)\hat{k}}{2}$
$\vec{m} = \frac{4\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}}{2}$
$\vec{m} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) चूंकि $C$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है $\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{BC}$.
$\triangle PAC$ और $\triangle PBC$ में सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करने पर:
$\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{CA}$
$\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{CB}$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = (\overrightarrow{PC} + \overrightarrow{CA}) + (\overrightarrow{PC} + \overrightarrow{CB})$
$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = 2\overrightarrow{PC} + (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB})$
चूंकि $C$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{CB}$ होगा,अतः $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = 0$.
इसलिए,$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = 2\overrightarrow{PC}$.

(D) दिया गया है कि $D$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\vec{a}$ है।
दिया गया है कि $E$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\vec{b}$ है।
$\triangle ADE$ में सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करने पर,हमें $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD}$ है।
मान रखने पर,$\overrightarrow{DE} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{\vec{b}}{2} - \frac{\vec{a}}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ होता है।
दिए गए सदिशों का मान रखने पर,हमें $a + b = c$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $a + b - c = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है कि $\overrightarrow{OA} = a$ और $\overrightarrow{OB} = b$ है।
बिंदु $C$,$OA$ पर इस प्रकार स्थित है कि $2AC = CO$ है। इसका अर्थ है कि $C$,$OA$ को $O$ से $A$ की ओर $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$\overrightarrow{OC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OA} = \frac{2}{3}a$ प्राप्त होता है।
चूंकि $CD$,$OB$ के समानांतर है और $|\overrightarrow{CD}| = 3|\overrightarrow{OB}|$ है,इसलिए $\overrightarrow{CD} = 3\overrightarrow{OB} = 3b$ है।
अब,$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CD} = \frac{2}{3}a + 3b$ है।
अंत में,$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = (\frac{2}{3}a + 3b) - a = 3b - \frac{1}{3}a$ है।

(A) दिया गया संबंध $2\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{CB}$ है।
हम सदिशों को मूल बिंदु $O$ के संदर्भ में इस प्रकार लिख सकते हैं: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$ और $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$।
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) = 3(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC})$
$2\overrightarrow{OC} - 2\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{OB} - 3\overrightarrow{OC}$
$2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}$ को अलग करने पर:
$2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OC} + 3\overrightarrow{OC}$
$2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} = 5\overrightarrow{OC}$

(C) दिया गया समीकरण: $\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OC}$.
सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {AB}$.
इसी प्रकार,$\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {BC}$.
अतः,$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC}$.
इसका अर्थ है कि सदिश $\overrightarrow {AB}$ का परिमाण सदिश $\overrightarrow {BC}$ के परिमाण के बराबर है,अर्थात $|\overrightarrow {AB}| = |\overrightarrow {BC}|$.
चूंकि दो भुजाओं $AB$ और $BC$ की लंबाई समान है,इसलिए बिंदु $A, B, C$ एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

(A) मान लीजिए कि त्रिभुज के शीर्ष $A$,$B$ और $C$ हैं जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ हैं।
माध्यिकाएँ वे सदिश हैं जो शीर्षों से विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं की ओर निर्देशित होते हैं।
भुजाओं $BC$,$CA$ और $AB$ के मध्य बिंदु क्रमशः $D$,$E$ और $F$ हैं।
मध्य बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{d} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$,$\vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ और $\vec{f} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ हैं।
माध्यिकाओं को दर्शाने वाले सदिश $\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$ हैं।
इसी प्रकार,$\vec{BE} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b}}{2}$ और $\vec{CF} = \frac{\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}}{2}$ हैं।
इन सदिशों का योग $\vec{AD} + \vec{BE} + \vec{CF} = \frac{(\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}) + (\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b}) + (\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c})}{2}$ है।
अंश को सरल करने पर: $(\vec{a} - \vec{a}) + (\vec{b} - \vec{b}) + (\vec{c} - \vec{c}) = 0$.
अतः,योग $\frac{0}{2} = 0$ है।

(B) माना कि दो बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{p} = 2a - 3b$ और $\vec{q} = 3a - 2b$ हैं।
दो बिंदुओं $\vec{p}$ और $\vec{q}$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m : n$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{r} = \frac{m\vec{q} + n\vec{p}}{m + n}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$m = 2$,$n = 3$,$\vec{p} = 2a - 3b$,और $\vec{q} = 3a - 2b$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\vec{r} = \frac{2(3a - 2b) + 3(2a - 3b)}{2 + 3}$
$\vec{r} = \frac{6a - 4b + 6a - 9b}{5}$
$\vec{r} = \frac{12a - 13b}{5}$
$\vec{r} = \frac{12}{5}a - \frac{13}{5}b$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है कि बिंदुओं $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i}$,$\vec{b} = \hat{j}$,और $\vec{c} = \hat{k}$ हैं।
सदिश $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{j} - \hat{i}$ होता है।
माना कि बिंदु $X$ का स्थिति सदिश $\vec{x}$ है। अतः $\vec{CX} = \vec{x} - \vec{c} = \vec{x} - \hat{k}$ होगा।
चूंकि $\vec{AB} = \vec{CX}$ दिया गया है,इसलिए $\hat{j} - \hat{i} = \vec{x} - \hat{k}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{x} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ होगा।

(A) स्थिति सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m : n$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $C$ का स्थिति सदिश विभाजन सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{r} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m + n}$.
यहाँ,अनुपात $m : n = 2 : 1$ है।
सूत्र में मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{OC} = \frac{2(\vec{b}) + 1(\vec{a})}{2 + 1}$
$\vec{OC} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{3}$.

(A) त्रिभुज $ABC$ के शीर्षों $A, B$ और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $a, b$ और $c$ हैं।
त्रिभुज के केंद्रक $G$ का स्थिति सदिश $g = \frac{a + b + c}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें सदिशों $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}$ का योग ज्ञात करना है।
दो बिंदुओं के बीच सदिश की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\overrightarrow{GA} = a - g$,$\overrightarrow{GB} = b - g$,और $\overrightarrow{GC} = c - g$ है।
इनका योग करने पर:
$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = (a - g) + (b - g) + (c - g)$
$= (a + b + c) - 3g$
$g = \frac{a + b + c}{3}$ का मान रखने पर:
$= (a + b + c) - 3 \left( \frac{a + b + c}{3} \right)$
$= (a + b + c) - (a + b + c) = 0$.

(C) $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्यबिंदु $C$ के निर्देशांक $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिए गए $A(2, -1)$ और $B(-4, 3)$ के लिए,$C$ के निर्देशांक $\left( \frac{2 + (-4)}{2}, \frac{-1 + 3}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{2}{2} \right) = (-1, 1)$ हैं।
चूंकि $O$ मूलबिंदु $(0, 0)$ है,इसलिए स्थिति सदिश $\overrightarrow{OC} = (-1 - 0)i + (1 - 0)j = -i + j$ होगा।

(D) एक सम षट्भुज $ABCDEF$ में,मान लीजिए $O$ षट्भुज का केंद्र है। हम सदिशों को षट्भुज की भुजाओं के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
हम जानते हैं कि $\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {BC}$,$\overrightarrow {EB} = 2\overrightarrow {FA}$,और $\overrightarrow {FC} = 2\overrightarrow {AB}$।
अतः,$\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {FC} = 2\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {FA} + 2\overrightarrow {AB}$।
$= 2(\overrightarrow {FA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC}) = 2(\overrightarrow {FC}) = 2(2\overrightarrow {AB}) = 4\overrightarrow {AB}$।

(C) माना बिंदु $A$ का स्थिति सदिश $\vec{OA} = a + 2b$ है।
माना बिंदु $P$ का स्थिति सदिश $\vec{OP} = a$ है।
माना बिंदु $B$ का स्थिति सदिश $\vec{OB} = x$ है।
विभाजन सूत्र के अनुसार,$P$,$AB$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है:
$\vec{OP} = \frac{2(\vec{OB}) + 3(\vec{OA})}{2 + 3}$
$a = \frac{2x + 3(a + 2b)}{5}$
$5a = 2x + 3a + 6b$
$2x = 5a - 3a - 6b$
$2x = 2a - 6b$
$x = a - 3b$
अतः,$B$ का स्थिति सदिश $a - 3b$ है।

(A) मान लीजिए कि शीर्ष $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
चूंकि $D, E, F$ क्रमशः $AB, AC, BC$ के मध्य बिंदु हैं,इसलिए उनके स्थिति सदिश हैं:
$\vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$,$\vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$,$\vec{f} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$।
अब,$\overrightarrow{BE} = \vec{e} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b}}{2}$।
और $\overrightarrow{AF} = \vec{f} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$।
इन दोनों सदिशों को जोड़ने पर:
$\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b} + \vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2} = \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2} = \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$।
चूंकि $\vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$,इसलिए $\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \vec{c} - \vec{d} = \overrightarrow{DC}$।

(D) स्थिति सदिश $\vec{OA} = i + j$,$\vec{OB} = i - j$,और $\vec{OC} = a i + b j + c k$ हैं।
बिंदुओं $A, B, C$ के संरेख होने के लिए,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ समांतर होने चाहिए।
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (i - j) - (i + j) = -2j$ की गणना करें।
$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = (a i + b j + c k) - (i - j) = (a - 1)i + (b + 1)j + ck$ की गणना करें।
चूंकि $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ संरेख हैं,इसलिए एक अदिश $k$ का अस्तित्व है जिससे $\vec{AB} = k \vec{BC}$ हो।
$-2j = k((a - 1)i + (b + 1)j + ck)$।
दोनों पक्षों पर $i, j, k$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$k(a - 1) = 0$
$k(b + 1) = -2$
$kc = 0$
$kc = 0$ से,चूंकि $k \neq 0$ (अन्यथा $\vec{AB} = 0$ होगा,जो संभव नहीं है),हमें $c = 0$ प्राप्त होता है।
$k(a - 1) = 0$ से,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।
$k(b + 1) = -2$ से,$b$ कोई भी स्वेच्छ अदिश हो सकता है।
अतः,संरेखता के लिए शर्त $c = 0, a = 1$ और $b$ एक स्वेच्छ अदिश है।

(D) मान लीजिए कि बिंदु $P = a + b$,$Q = a - b$,और $R = a + kb$ हैं।
बिंदुओं के संरेख होने के लिए,सदिश $\overrightarrow{PQ}$ और $\overrightarrow{QR}$ समानांतर होने चाहिए।
$\overrightarrow{PQ} = Q - P = (a - b) - (a + b) = -2b$.
$\overrightarrow{QR} = R - Q = (a + kb) - (a - b) = (k + 1)b$.
इन सदिशों के समानांतर होने के लिए,एक अदिश $\lambda$ का अस्तित्व होना चाहिए ताकि $\overrightarrow{PQ} = \lambda \overrightarrow{QR}$ हो।
$-2b = \lambda(k + 1)b$.
चूंकि $b$ एक सदिश है,इसका अर्थ है कि $-2 = \lambda(k + 1)$.
यह समीकरण किसी भी $k$ के लिए सत्य है यदि हम एक उपयुक्त $\lambda$ चुन सकें। विशेष रूप से,यदि $k = -1$ है,तो बिंदु $Q$ और $R$ संपाती हो जाते हैं,जिससे वे संरेख हो जाते हैं। किसी अन्य $k$ के लिए,सदिश आनुपातिक हैं। अतः,$k$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है।

(A) दिया गया है कि बिंदुओं $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{OA} = a$,$\vec{OB} = b$,और $\vec{OC} = 3a - 2b$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिशों $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ को ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = b - a$
$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (3a - 2b) - a = 2a - 2b = -2(b - a)$
हम देखते हैं कि $\vec{AC} = -2 \vec{AB}$ है।
चूँकि $\vec{AC}$,$\vec{AB}$ का एक अदिश गुणज है,इसलिए सदिश समांतर हैं।
चूँकि वे एक उभयनिष्ठ बिंदु $A$ साझा करते हैं,इसलिए बिंदु $A, B, C$ संरेख हैं।

(A) परिभाषा के अनुसार,सदिशों का एक समूह रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है यदि शून्य सदिश में परिणत होने वाला एकमात्र रैखिक संयोजन वह है जिसमें सभी अदिश शून्य हों।
चूंकि $a, b, c$ असंरेख सदिश हैं (और त्रिविमीय स्थान के संदर्भ में,यदि वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं),तो समीकरण $xa + yb + zc = 0$ का अर्थ है कि $x = 0, y = 0, z = 0$।
यदि कम से कम एक अदिश शून्य नहीं होता,तो सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते,जो इस संदर्भ में असंरेख सदिशों के गुण के विपरीत है।

(A) माना बिंदु $A(60, 3)$,$B(40, -8)$ और $C(a, -52)$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,सदिश $\overrightarrow{AB}$ को सदिश $\overrightarrow{BC}$ के समानांतर होना चाहिए।
$\overrightarrow{AB} = (40 - 60)i + (-8 - 3)j = -20i - 11j$.
$\overrightarrow{BC} = (a - 40)i + (-52 - (-8))j = (a - 40)i - 44j$.
संरेखता के लिए,किसी अदिश $k$ के लिए $\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{BC}$ होना चाहिए।
$-20i - 11j = k((a - 40)i - 44j)$.
$j$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $-11 = -44k$,जिससे $k = \frac{11}{44} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
$i$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $-20 = k(a - 40)$.
$k = \frac{1}{4}$ रखने पर: $-20 = \frac{1}{4}(a - 40)$.
$-80 = a - 40$.
$a = -80 + 40 = -40$.

(C) बिंदु $A$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{OA} = 4\,i + 5\,j$ दिया गया है।
$\overrightarrow{OA}$ के समांतर इकाई सदिश ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\hat{a} = \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$\overrightarrow{OA}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$.
अब,इकाई सदिश है:
$\hat{OA} = \frac{4\,i + 5\,j}{\sqrt{41}} = \frac{1}{\sqrt{41}}(4\,i + 5\,j)$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना बिंदु $A(10, 3)$,$B(12, -5)$ और $C(a, 11)$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,सदिश $\overrightarrow{AB}$ को सदिश $\overrightarrow{BC}$ के समानांतर होना चाहिए।
$\overrightarrow{AB} = (12 - 10)i + (-5 - 3)j = 2i - 8j$.
$\overrightarrow{BC} = (a - 12)i + (11 - (-5))j = (a - 12)i + 16j$.
संरेखता के लिए,किसी अदिश $k$ के लिए $\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{BC}$ होना चाहिए।
$2i - 8j = k[(a - 12)i + 16j]$.
$j$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $-8 = 16k \Rightarrow k = -\frac{1}{2}$.
$i$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $2 = k(a - 12)$.
$k = -\frac{1}{2}$ रखने पर: $2 = -\frac{1}{2}(a - 12)$.
$-4 = a - 12 \Rightarrow a = 8$.

(D) मान लीजिए बिंदु $A$,$B$ और $C$ हैं जिनके स्थिति सदिश $\vec{OA} = a + b$,$\vec{OB} = a - b$ और $\vec{OC} = a + kb$ हैं।
बिंदुओं के संरेख होने के लिए,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ समानांतर होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि किसी अदिश $\lambda$ के लिए $\vec{AB} = \lambda \vec{BC}$ होना चाहिए।
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (a - b) - (a + b) = -2b$ की गणना करें।
$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = (a + kb) - (a - b) = (k + 1)b$ की गणना करें।
संरेखता के लिए,$-2b = \lambda(k + 1)b$ होना चाहिए।
इसका तात्पर्य है कि $-2 = \lambda(k + 1)$। चूंकि $\lambda$ कोई भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या हो सकती है,इसलिए $k$ कोई भी वास्तविक मान ले सकता है।
अतः,प्रत्येक वास्तविक संख्या $k$ के लिए बिंदु संरेख हैं।

(B) दिए गए स्थिति सदिश $\vec{A} = 2i + j,$ $\vec{B} = i - 3j,$ $\vec{C} = 3i + 2j,$ और $\vec{D} = i + \lambda j$ हैं।
सबसे पहले,सदिशों $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{CD}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (i - 3j) - (2i + j) = -i - 4j.$
$\overrightarrow{CD} = \vec{D} - \vec{C} = (i + \lambda j) - (3i + 2j) = -2i + (\lambda - 2)j.$
चूंकि $\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{CD}$ है,इसलिए उनके घटक समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{-1}{-2} = \frac{-4}{\lambda - 2}.$
$\lambda$ के लिए हल करने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{-4}{\lambda - 2}$
$\lambda - 2 = 2 \times (-4)$
$\lambda - 2 = -8$
$\lambda = -6.$

(A) दो सदिश $\vec{a} = a_1\,i + a_2\,j + a_3\,k$ और $\vec{b} = b_1\,i + b_2\,j + b_3\,k$ समांतर होते हैं यदि उनके घटक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$.
दिए गए सदिश $3\,i + 2\,j - k$ और $6\,i - 4xj + yk$ हैं।
घटकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{3}{6} = \frac{2}{-4x} = \frac{-1}{y}$ प्राप्त होता है।
$\frac{3}{6} = \frac{2}{-4x}$ से,हमें $\frac{1}{2} = \frac{1}{-2x}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $-2x = 2$,इसलिए $x = -1$.
$\frac{3}{6} = \frac{-1}{y}$ से,हमें $\frac{1}{2} = \frac{-1}{y}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $y = -2$.
अतः,मान $x = -1$ और $y = -2$ हैं।

(B) सदिश $a$,$b$ और $a + b$ समतलीय हैं।
इसका कारण यह है कि कोई भी सदिश $v = x(a) + y(b)$ सदिशों $a$ और $b$ का एक रैखिक संयोजन है,जिसका अर्थ है कि $v$,$a$ और $b$ के समान तल में स्थित है।
यहाँ,$a + b = 1(a) + 1(b)$ है।
चूंकि $a + b$ को अदिश $1$ और $1$ के साथ $a$ और $b$ के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए ये तीनों सदिश समतलीय हैं।

(D) मान लीजिए कि बिंदु $A, B, C$ हैं जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $a, b, c$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,इसलिए सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ समांतर हैं।
अतः,किसी अदिश $k$ के लिए $\vec{AB} = k \vec{AC}$ होगा।
इसका अर्थ है कि $(b - a) = k(c - a)$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $b - a = kc - ka$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $a(k - 1) + b - kc = 0$ हो जाता है।
मान लीजिए $x = k - 1$,$y = 1$,और $z = -k$ है।
तब $xa + yb + zc = 0$ होगा।
अदिशों का योग ज्ञात करने पर: $x + y + z = (k - 1) + 1 + (-k) = 0$।
अतः,तीन संरेख बिंदुओं के लिए,ऐसे अदिश $x, y, z$ (जो सभी शून्य नहीं हैं) का अस्तित्व है कि $xa + yb + zc = 0$ और $x + y + z = 0$।

(C) दिए गए सदिश $a = (2, 5)$ और $b = (1, 4)$ हैं।
सबसे पहले,सदिशों का योग ज्ञात करें: $a + b = (2 + 1, 5 + 4) = (3, 9).$
परिणामी सदिश से $3$ उभयनिष्ठ लेने पर: $(3, 9) = 3(1, 3).$
यदि किसी अदिश $k \neq 0$ के लिए $v = k \cdot u$ हो,तो सदिश $v$,$u$ के समांतर होता है।
यहाँ,$(3, 9) = 3 \cdot (1, 3).$
अतः,सदिश $(a + b)$,$(1, 3)$ के समांतर है।

(C) चूंकि सदिश $c = (x - 2)a + b$ और $d = (2x + 1)a - b$ संरेख हैं,इसलिए एक अदिश $\lambda$ का अस्तित्व इस प्रकार है कि $c = \lambda d$ हो।
$c$ और $d$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - 2)a + b = \lambda ((2x + 1)a - b)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(x - 2)a + b = \lambda(2x + 1)a - \lambda b$
$((x - 2) - \lambda(2x + 1))a + (1 + \lambda)b = 0$
चूंकि $a$ और $b$ असंरेख हैं,वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसलिए,$a$ और $b$ के गुणांक शून्य होने चाहिए:
$1 + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -1$
$(x - 2) - \lambda(2x + 1) = 0$
दूसरे समीकरण में $\lambda = -1$ रखने पर:
$(x - 2) - (-1)(2x + 1) = 0$
$x - 2 + 2x + 1 = 0$
$3x - 1 = 0$
$x = \frac{1}{3}$

(A) दिए गए स्थिति सदिश हैं:
$\vec{p} = 2a + 4c$
$\vec{q} = 5a + 3\sqrt{3}b + 4c$
$\vec{r} = -2\sqrt{3}b + c$
$\vec{s} = 2a + c$
$\overrightarrow{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (5a + 3\sqrt{3}b + 4c) - (2a + 4c) = 3a + 3\sqrt{3}b = 3(a + \sqrt{3}b)$ की गणना करें।
$\overrightarrow{RS} = \vec{s} - \vec{r} = (2a + c) - (-2\sqrt{3}b + c) = 2a + 2\sqrt{3}b = 2(a + \sqrt{3}b)$ की गणना करें।
चूंकि $\overrightarrow{PQ} = \frac{3}{2} \overrightarrow{RS}$,सदिश एक-दूसरे के अदिश गुणज हैं।
अतः,$\overrightarrow{PQ}$,$\overrightarrow{RS}$ के समांतर है।

(C) दो सदिश $a = (a_1, a_2)$ और $b = (b_1, b_2)$ संरेख होते हैं यदि उनके घटक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2} = \lambda$.
यहाँ $a = (1, -1)$ और $b = (-2, m)$ दिए गए हैं।
घटकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{-2}{1} = \frac{m}{-1}$.
$-2 = \frac{m}{-1}$.
$m = (-2) \times (-1) = 2$.
अतः,$m$ का मान $2$ है।

(B) माना कि बिंदु $B$,रेखाखंड $AC$ को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$B$ का स्थिति सदिश इस प्रकार है:
$\vec{B} = \frac{\lambda \vec{C} + 1 \vec{A}}{\lambda + 1}$
दिए गए स्थिति सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर:
$5i - 2k = \frac{\lambda (11i + 3j + 7k) + (i - 2j - 8k)}{\lambda + 1}$
$j$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$0 = \frac{3\lambda - 2}{\lambda + 1}$
$3\lambda - 2 = 0$
$\lambda = \frac{2}{3}$
अतः,$B$,$AC$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(C) दिया गया है कि $a$ और $b$ दो असंरेख सदिश हैं।
हमें समीकरण $xa + yb = 0$ दिया गया है।
यदि $x \neq 0$ है,तो हम $xa = -yb$ लिख सकते हैं,जिसका अर्थ है $a = -(\frac{y}{x})b$।
इसका मतलब है कि सदिश $a$,सदिश $b$ का एक अदिश गुणज है,जो यह दर्शाता है कि $a$ और $b$ संरेख हैं।
हालाँकि,यह दिया गया है कि $a$ और $b$ असंरेख हैं,जो एक विरोधाभास है।
इसलिए,हमारी यह धारणा कि $x \neq 0$ है,गलत होनी चाहिए,अतः $x = 0$ है।
समीकरण $xa + yb = 0$ में $x = 0$ रखने पर,हमें $0a + yb = 0$ प्राप्त होता है,जो $yb = 0$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $b$ एक शून्येतर सदिश है,इसलिए $y = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,असंरेख सदिशों के लिए,$xa + yb = 0$ का अर्थ $x = 0$ और $y = 0$ है।

(C) परिभाषा के अनुसार,दो सदिशों $a$ और $b$ का कोई भी रैखिक संयोजन,जो $xa + yb$ द्वारा दिया जाता है (जहाँ $x$ और $y$ अदिश हैं),$a$ और $b$ द्वारा निर्मित समतल में स्थित होता है।
चूंकि $a$ और $b$ असंरेख हैं,वे एक अद्वितीय समतल निर्धारित करते हैं।
इसलिए,सदिश $xa + yb$,$a$ और $b$ के साथ समतलीय है।

(A) दिया गया है कि $a + b + c = \alpha d$ और $b + c + d = \beta a$ है।
पहले समीकरण में $d$ जोड़ने पर,हमें $a + b + c + d = (\alpha + 1)d$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण में $a$ जोड़ने पर,हमें $a + b + c + d = (\beta + 1)a$ प्राप्त होता है।
$a + b + c + d$ के लिए इन दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,$(\alpha + 1)d = (\beta + 1)a$ प्राप्त होता है।
यदि $\alpha \neq -1$ है,तो $d = \frac{\beta + 1}{\alpha + 1} a$ होगा।
इस मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $a + b + c = \alpha \left( \frac{\beta + 1}{\alpha + 1} \right) a$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $a, b, c$ समतलीय हैं,जो दी गई शर्त कि वे असमतलीय हैं,का विरोधाभास करता है।
अतः,$\alpha + 1 = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $\alpha = -1$ है।
परिणामस्वरूप,$a + b + c + d = (\alpha + 1)d = (-1 + 1)d = 0$।