Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Hindi

(A) दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ संरेख होते हैं यदि किसी अदिश $m$ के लिए $\vec{a} = m\vec{b}$ हो।
दिया गया है $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j}$ और $\vec{b} = -2\hat{i} + k\hat{j}$।
सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\hat{i} - \hat{j} = m(-2\hat{i} + k\hat{j})$।
दोनों पक्षों में $\hat{i}$ और $\hat{j}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\hat{i}$ के लिए: $1 = -2m \implies m = -1/2$।
$\hat{j}$ के लिए: $-1 = mk$।
$m = -1/2$ को दूसरे समीकरण में रखने पर: $-1 = (-1/2)k$।
$k$ के लिए हल करने पर,हमें $k = 2$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि सदिश $a$ को उसके घटकों के रूप में $a = x i + y j + z k$ द्वारा दर्शाया गया है।
तब,$a$ का इकाई सदिशों $i, j, k$ के साथ अदिश गुणनफल इस प्रकार है:
$a \cdot i = (x i + y j + z k) \cdot i = x$
$a \cdot j = (x i + y j + z k) \cdot j = y$
$a \cdot k = (x i + y j + z k) \cdot k = z$
इन मानों को दी गई अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर:
$(a \cdot i)i + (a \cdot j)j + (a \cdot k)k = x i + y j + z k$
चूंकि $x i + y j + z k = a$,इसलिए यह अभिव्यक्ति $a$ में सरल हो जाती है।

(D) माना $r = xi + yj + zk$ है।
दिया गया है कि $r \cdot i = r \cdot j = r \cdot k$, जिससे $x = y = z$ प्राप्त होता है।
माना $x = y = z = a$ है। तब $r = a(i + j + k)$ होगा।
दिया गया है कि $|r| = 3$, इसलिए $\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = 3$ है।
$\sqrt{3a^2} = 3 \Rightarrow |a|\sqrt{3} = 3$ है।
$|a| = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ है।
अतः, $a = \pm \sqrt{3}$ है।
इसलिए, $r = \pm \sqrt{3}(i + j + k)$ है।

(D) माना $\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है। इसका परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
$\vec{v}$ और $\hat{i}$ के बीच का कोण $\alpha$,$\cos \alpha = \frac{\vec{v} \cdot \hat{i}}{|\vec{v}| |\hat{i}|} = \frac{(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot \hat{i}}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ द्वारा प्राप्त होता है। अतः,$\alpha = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$ है।
$\vec{v}$ और $\hat{j}$ के बीच का कोण $\beta$,$\cos \beta = \frac{\vec{v} \cdot \hat{j}}{|\vec{v}| |\hat{j}|} = \frac{(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot \hat{j}}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ द्वारा प्राप्त होता है। अतः,$\beta = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$ है।
$\vec{v}$ और $\hat{k}$ के बीच का कोण $\gamma$,$\cos \gamma = \frac{\vec{v} \cdot \hat{k}}{|\vec{v}| |\hat{k}|} = \frac{(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot \hat{k}}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ द्वारा प्राप्त होता है। अतः,$\gamma = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$ है।
अतः,$\alpha = \beta = \gamma$ है।

(B) माना कि सदिश $r = xi + yj + zk$ है।
अतः, अदिश गुणनफल (dot product) इस प्रकार होंगे:
$r \cdot i = x$
$r \cdot j = y$
$r \cdot k = z$
इन मानों को दिए गए व्यंजक में रखने पर:
$(r \cdot i)^2 + (r \cdot j)^2 + (r \cdot k)^2 = x^2 + y^2 + z^2$
चूंकि सदिश $r$ का परिमाण $|r| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ है, इसलिए $|r|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = r^2$ होता है।
अतः, $(r \cdot i)^2 + (r \cdot j)^2 + (r \cdot k)^2 = r^2$ प्राप्त होता है।

(B) माना इकाई सदिश $\vec{r} = y\hat{j} + z\hat{k}$ है। चूंकि यह एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\vec{r}| = \sqrt{y^2 + z^2} = 1$ होगा।
सदिश $\vec{r}$ और $y$-अक्ष $(\hat{j})$ के बीच का कोण $\alpha$ है,तो $\cos(30^\circ) = \frac{\vec{r} \cdot \hat{j}}{|\vec{r}| |\hat{j}|} = \frac{y}{1 \times 1} = y$ होगा।
अतः,$y = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
सदिश $\vec{r}$ और $z$-अक्ष $(\hat{k})$ के बीच का कोण $\beta$ है,तो $\cos(60^\circ) = \frac{\vec{r} \cdot \hat{k}}{|\vec{r}| |\hat{k}|} = \frac{z}{1 \times 1} = z$ होगा।
अतः,$z = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$।
चूंकि सदिश $yz$-समतल में स्थित है,इसलिए $x$-घटक $0$ होगा।
अतः,घटक $(0, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ हैं।

(A) माना कि $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$ है।
तब,अदिश गुणनफल इस प्रकार हैं:
$\vec{a} \cdot \hat{i} = a_1$
$\vec{a} \cdot \hat{j} = a_2$
$\vec{a} \cdot \hat{k} = a_3$
इन मानों को $\vec{a}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{a} = (\vec{a} \cdot \hat{i})\hat{i} + (\vec{a} \cdot \hat{j})\hat{j} + (\vec{a} \cdot \hat{k})\hat{k}$.

(C) एक समचतुर्भुज में,सभी भुजाओं की लंबाई समान होती है। इसलिए,आसन्न भुजा सदिशों $a$ और $b$ के परिमाण समान हैं,अर्थात $|a| = |b|$।
किसी भी सदिश $v$ के लिए,अदिश गुणनफल $v \cdot v = |v||v| \cos(0^\circ) = |v|^2$ होता है।
सदिशों $a$ और $b$ पर इसे लागू करने पर:
$a \cdot a = |a|^2$
$b \cdot b = |b|^2$
चूंकि $|a| = |b|$,इसलिए $|a|^2 = |b|^2$ होता है।
अतः,$a \cdot a = b \cdot b$ प्राप्त होता है।

(B) परिभाषा के अनुसार,एक इकाई सदिश का स्वयं के साथ अदिश गुणनफल $\hat{a} \cdot \hat{a} = |\hat{a}| |\hat{a}| \cos(0^\circ) = (1)(1)(1) = 1$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\hat{i}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$।
विकल्प $(a)$ गलत है क्योंकि $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$ होता है क्योंकि वे लंबवत हैं।
विकल्प $(c)$ गलत है क्योंकि दो सदिशों का सदिश गुणनफल एक सदिश होता है,अदिश नहीं।
विकल्प $(d)$ गलत है क्योंकि $\hat{i} \times (\hat{j} \times \hat{k}) = \hat{i} \times \hat{i} = \vec{0}$ होता है।

(D) दिए गए स्थिति सदिश: $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 5\hat{j}$,$\vec{c} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$,$\vec{d} = \hat{i} - 6\hat{j} - \hat{k}$.
$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (2-1)\hat{i} + (5-1)\hat{j} + (0-1)\hat{k} = \hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$.
$\overrightarrow{CD} = \vec{d} - \vec{c} = (1-3)\hat{i} + (-6-2)\hat{j} + (-1 - (-3))\hat{k} = -2\hat{i} - 8\hat{j} + 2\hat{k}$.
यहाँ $\overrightarrow{CD} = -2(\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}) = -2\overrightarrow{AB}$ है।
चूंकि $\overrightarrow{CD}$,$\overrightarrow{AB}$ का एक ऋणात्मक अदिश गुणज है,इसलिए सदिश प्रति-समानांतर (anti-parallel) हैं।
प्रति-समानांतर सदिशों के बीच का कोण $\pi$ रेडियन होता है।
अदिश गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर: $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CD}|} = \frac{-2 - 32 - 2}{\sqrt{18} \sqrt{72}} = \frac{-36}{36} = -1$.
अतः,$\theta = \pi$।

(A) माना सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है,इसलिए $\theta = 30^o$ है।
हमें $3\vec{a}$ और $-4\vec{b}$ के बीच का कोण ज्ञात करना है।
चूंकि $3 > 0$ है,सदिश $3\vec{a}$ उसी दिशा में है जिस दिशा में $\vec{a}$ है।
चूंकि $-4 < 0$ है,सदिश $-4\vec{b}$ सदिश $\vec{b}$ की विपरीत दिशा में है।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $30^o$ है।
इसलिए,$\vec{a}$ और $-\vec{b}$ के बीच का कोण $180^o - 30^o = 150^o$ होगा।
चूंकि $3\vec{a}$,$\vec{a}$ की दिशा में है और $-4\vec{b}$,$-\vec{b}$ की दिशा में है,इसलिए $3\vec{a}$ और $-4\vec{b}$ के बीच का कोण $150^o$ होगा।

(B) मान लीजिए कि दो इकाई सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हैं,जहाँ $|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ है।
दिया गया है कि उनका योग एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\vec{a} + \vec{b}| = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1^2$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ का उपयोग करने पर,$1 + 1 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$ मिलता है,जिसका अर्थ है कि $2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -1$,अतः $\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}$ है।
अब,हमें उनके अंतर का परिमाण $|\vec{a} - \vec{b}|$ ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ होता है।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 1 + 1 - 2(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ है।

(D) दो सदिश $a = a_1 i + a_2 j$ और $b = b_1 i + b_2 j$ समांतर होते हैं यदि उनके घटक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}$।
यहाँ $a = 1i - 2j$ और $b = 2i + \lambda j$ दिया गया है।
घटकों की तुलना करने पर,$a_1 = 1, a_2 = -2$ और $b_1 = 2, b_2 = \lambda$ प्राप्त होता है।
चूँकि सदिश समांतर हैं,इसलिए $\frac{1}{2} = \frac{-2}{\lambda}$।
तिर्यक गुणा करने पर,$\lambda = 2 \times (-2) = -4$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए सदिश $\vec{A}$ है जिसका परिमाण $|\vec{A}| = 14$ है।
दिया गया है कि सदिश $x-$ अक्ष के साथ $\theta = 60^\circ$ का कोण बनाता है।
$x-$ अक्ष की दिशा में सदिश का घटक $A_x = |\vec{A}| \cos \theta = 14 \cos 60^\circ$ द्वारा प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos 60^\circ = 1/2$,इसलिए $A_x = 14 \times (1/2) = 7$ है।
$y-$ अक्ष की दिशा में सदिश का घटक $A_y = |\vec{A}| \sin \theta = 14 \sin 60^\circ$ द्वारा प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2$,इसलिए $A_y = 14 \times (\sqrt{3}/2) = 7\sqrt{3}$ है।
अतः,घटक $7$ और $7\sqrt{3}$ हैं।

(B) दिया गया है कि $b = 3j + 4k$ और $b_1 = \frac{3}{2}i + \frac{3}{2}j$,$b$ का $a$ के समांतर घटक है।
चूंकि $b = b_1 + b_2$,जहाँ $b_2$,$b$ का $a$ के लंबवत घटक है,हम लिख सकते हैं $b_2 = b - b_1$।
दिए गए सदिशों का मान रखने पर:
$b_2 = (0i + 3j + 4k) - (\frac{3}{2}i + \frac{3}{2}j + 0k)$
$b_2 = (0 - \frac{3}{2})i + (3 - \frac{3}{2})j + (4 - 0)k$
$b_2 = -\frac{3}{2}i + \frac{3}{2}j + 4k$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) एक सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ की दिशा में प्रक्षेप का सूत्र $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ है।
माना $\vec{a} = i + j + k$ और $\vec{b} = j$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (i + j + k) \cdot j = (1)(0) + (1)(1) + (1)(0) = 1$ की गणना करें।
इसके बाद,सदिश $\vec{b}$ का परिमाण $|\vec{b}| = |j| = 1$ ज्ञात करें।
अतः,प्रक्षेप $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{1}{1} = 1$ है।

(D) सदिशों का अदिश गुणनफल (dot product) सदिश घटाव पर वितरण नियम का पालन करता है।
किसी भी सदिश $a, b,$ और $c$ के लिए,यह गुणधर्म $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$ द्वारा दिया जाता है।
विकल्प $A$ गलत है क्योंकि सदिश त्रिक गुणनफल साहचर्य नियम का पालन नहीं करता है।
विकल्प $B$ गलत है क्योंकि सदिश गुणनफल (cross product) क्रमविनिमेय नहीं होता है,अर्थात $a \times b = -(b \times a)$।
विकल्प $C$ गणितीय रूप से अपरिभाषित है क्योंकि अदिश गुणनफल का परिणाम एक अदिश होता है,और दो अदिशों का सदिश गुणनफल परिभाषित नहीं है।
अतः,सही कथन $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$ है।

(C) दिया गया है कि $a \cdot b = 0$। इसका अर्थ है कि या तो $a = 0$,$b = 0$,या $a \perp b$ है।
साथ ही,दिया गया है कि $a \times b = 0$। इसका अर्थ है कि या तो $a = 0$,$b = 0$,या $a \parallel b$ है।
दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करने के लिए,$a$ और $b$ एक ही समय में लंबवत और समांतर नहीं हो सकते,जब तक कि उनमें से कम से कम एक शून्य सदिश न हो।
अतः,या तो $a = 0$ है या $b = 0$ है।

(A) दो सदिशों $u$ और $v$ का सदिश गुणनफल (क्रॉस प्रोडक्ट) एंटी-कम्यूटेटिव होता है,जिसका अर्थ है कि $u \times v = -(v \times u)$।
इसलिए,$u \times v = v \times u$ गुणधर्म गलत है।
विकल्प $A$ सदिशों का गुणधर्म नहीं है।

(D) मान लीजिए $l, m, n$ सदिश $r$ की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) हैं। चूँकि सदिश निर्देशांक अक्षों के साथ समान रूप से झुका हुआ है,इसलिए $l = m = n$ है।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है। $l = m = n$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3l^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $l^2 = \frac{1}{3}$।
चूँकि $r$ का शीर्ष धनात्मक अष्टांश में है,इसलिए $l, m, n$ धनात्मक होने चाहिए। अतः,$l = m = n = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
सदिश $r$ को $r = |r|(li + mj + nk)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$|r| = 6$ दिया गया है,इसलिए $r = 6 \left( \frac{1}{\sqrt{3}}i + \frac{1}{\sqrt{3}}j + \frac{1}{\sqrt{3}}k \right)$।
इसे सरल करने पर,$r = \frac{6}{\sqrt{3}}(i + j + k) = 2\sqrt{3}(i + j + k)$ प्राप्त होता है।

(B) बिंदुओं $A(1, -1, 2)$ और $B(3, 1, 1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $r = a + \lambda v$ है,जहाँ $a = i - j + 2k$ और दिशा सदिश $v = (3-1)i + (1-(-1))j + (1-2)k = 2i + 2j - k$ है।
रेखा पर किसी भी बिंदु $P$ का स्थिति सदिश $r = (i - j + 2k) + \lambda (2i + 2j - k)$ है।
बिंदु $A$ से दूरी $|\lambda v| = |\lambda| |v| = 3|\lambda|$ है।
दी गई दूरी $3\sqrt{11}$ है,इसलिए $3|\lambda| = 3\sqrt{11}$,जिसका अर्थ है $|\lambda| = \sqrt{11}$।
विकल्प $B$ के लिए,यदि हम $P = -8i - 4j - k$ लेते हैं,तो $AP = -9i - 3j - 3k$ होता है,जिसका परिमाण $\sqrt{81+9+9} = \sqrt{99} = 3\sqrt{11}$ है। अतः,$-8i - 4j - k$ सही स्थिति सदिश है।

(C) मान लीजिए कि घन को निर्देशांक प्रणाली में इस प्रकार रखा गया है कि उसके किनारे $x, y,$ और $z$ अक्षों के अनुदिश हों। मूल बिंदु पर मिलने वाले तीन आसन्न फलकों के विकर्णों को सदिशों $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{k} + \hat{i}$ द्वारा दर्शाया गया है।
इन दिशाओं में इकाई सदिश $\hat{u}_1 = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$,$\hat{u}_2 = \frac{\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{2}}$,और $\hat{u}_3 = \frac{\hat{k} + \hat{i}}{\sqrt{2}}$ हैं।
बल $\vec{F}_1 = 1 \cdot \hat{u}_1$,$\vec{F}_2 = 2 \cdot \hat{u}_2$,और $\vec{F}_3 = 3 \cdot \hat{u}_3$ के रूप में दिए गए हैं।
परिणामी बल $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \frac{1(\hat{i} + \hat{j}) + 2(\hat{j} + \hat{k}) + 3(\hat{k} + \hat{i})}{\sqrt{2}} = \frac{(1+3)\hat{i} + (1+2)\hat{j} + (2+3)\hat{k}}{\sqrt{2}} = \frac{4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}}{\sqrt{2}}$ है।
परिणामी बल का परिमाण $|\vec{R}| = \frac{\sqrt{4^2 + 3^2 + 5^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{16 + 9 + 25}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{25} = 5 \text{ dynes}$ है।

(B) दिया गया है कि सदिश $b$ उत्तर-पूर्व दिशा में है और सदिश $c$ उत्तर-पश्चिम दिशा में है।
चूंकि उत्तर-पूर्व और उत्तर-पश्चिम के बीच का कोण $90^\circ$ है,इसलिए सदिश $b$ और $c$ परस्पर लंबवत हैं,अतः $b \cdot c = 0$।
दिया है $|b| = |c| = 4$।
हमें $d = c - b$ का परिमाण और दिशा ज्ञात करनी है।
परिमाण $|d|^2 = |c - b|^2 = |c|^2 + |b|^2 - 2(b \cdot c)$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $|d|^2 = 4^2 + 4^2 - 0 = 16 + 16 = 32$।
अतः,$|d| = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$।
दिशा के संबंध में,चूंकि $c$ $135^\circ$ पर है और $b$ धनात्मक $x$-अक्ष (पूर्व) से $45^\circ$ पर है,सदिश $d = c - b$ सदिश अंतर की दिशा में यानी पश्चिम की ओर इंगित करता है।

(D) माना कि दो दिए गए शीर्ष $\vec{A} = \hat{i} - \hat{j}$ और $\vec{B} = \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
किसी बिंदु $\vec{C}$ के त्रिभुज का तीसरा शीर्ष होने के लिए,बिंदुओं $\vec{A}$,$\vec{B}$ और $\vec{C}$ को संरेख (collinear) नहीं होना चाहिए।
तीन बिंदु संरेख होते हैं यदि सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ समानांतर हों।
यहाँ,$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} - \hat{j}) = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
विकल्प $(a)$ की जाँच: $\vec{C} = \hat{i} + \hat{k}$,तो $\vec{AC} = (\hat{i} + \hat{k}) - (\hat{i} - \hat{j}) = \hat{j} + \hat{k}$। चूंकि $\vec{AC}$,$\vec{AB}$ का अदिश गुणज नहीं है,इसलिए वे संरेख नहीं हैं।
विकल्प $(b)$ की जाँच: $\vec{C} = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$,तो $\vec{AC} = (\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} - \hat{j}) = -\hat{j} - \hat{k}$। चूंकि $\vec{AC}$,$\vec{AB}$ का अदिश गुणज नहीं है,इसलिए वे संरेख नहीं हैं।
विकल्प $(c)$ की जाँच: $\vec{C} = \hat{i} - \hat{k}$,तो $\vec{AC} = (\hat{i} - \hat{k}) - (\hat{i} - \hat{j}) = \hat{j} - \hat{k}$। चूंकि $\vec{AC}$,$\vec{AB}$ का अदिश गुणज नहीं है,इसलिए वे संरेख नहीं हैं।
अतः,दिए गए सभी विकल्प तीसरा शीर्ष हो सकते हैं।

(B) माना $a = xi + yj + zk$. दिया है $|a| = 50$ और $b = 6i - 8j - \frac{15}{2}k$.
चूंकि $a$ और $b$ संरेख हैं, इसलिए किसी अदिश $\lambda$ के लिए $a = \lambda b$ होगा।
अतः, $a = \lambda(6i - 8j - \frac{15}{2}k) = 6\lambda i - 8\lambda j - \frac{15}{2}\lambda k$.
$|a| = 50$ दिया है, इसलिए $|a|^2 = 2500$.
$|a|^2 = (6\lambda)^2 + (-8\lambda)^2 + (-\frac{15}{2}\lambda)^2 = 36\lambda^2 + 64\lambda^2 + \frac{225}{4}\lambda^2 = 100\lambda^2 + \frac{225}{4}\lambda^2 = \frac{625}{4}\lambda^2$.
$\frac{625}{4}\lambda^2 = 2500$ रखने पर, $\lambda^2 = \frac{2500 \times 4}{625} = 16$, इसलिए $\lambda = \pm 4$.
चूंकि $a$, $z$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ न्यून कोण बनाता है, इसलिए $a$ का $z$-घटक धनात्मक होना चाहिए।
$z$-घटक $-\frac{15}{2}\lambda$ है। इसे धनात्मक होने के लिए $\lambda$ को ऋणात्मक होना चाहिए, इसलिए $\lambda = -4$.
$\lambda = -4$ को $a = \lambda b$ में रखने पर, $a = -4(6i - 8j - \frac{15}{2}k) = -24i + 32j + 30k$.

(B) निर्देशांक अक्षों के घूर्णन के अंतर्गत सदिश का परिमाण अपरिवर्तित रहता है।
दिए गए मूल घटक $(2p, 1)$ हैं और नए घटक $(p+1, 1)$ हैं।
परिमाण का वर्ग $x^2 + y^2$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$(2p)^2 + 1^2 = (p+1)^2 + 1^2$.
$4p^2 + 1 = p^2 + 2p + 1 + 1$.
$3p^2 - 2p - 1 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $3p^2 - 3p + p - 1 = 0$.
$3p(p-1) + 1(p-1) = 0$.
$(3p+1)(p-1) = 0$.
इस प्रकार,$p = 1$ या $p = -\frac{1}{3}$।

(B) माना दिक अनुपात $a = 2, b = -3, c = 6$ हैं।
इन अनुपातों द्वारा निर्मित सदिश का परिमाण $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ है।
दिक कोज्या $(l, m, n)$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$।
मान रखने पर,हमें $l = \frac{2}{7}, m = \frac{-3}{7}, n = \frac{6}{7}$ प्राप्त होता है।
अतः,दिक कोज्या $\frac{2}{7}, \frac{-3}{7}, \frac{6}{7}$ हैं।

(C) दिया गया है कि $a \cdot b = 0$,इसका अर्थ है कि $a = 0$,$b = 0$ या $a \perp b$ है।
दिया गया है कि $a \times b = 0$,इसका अर्थ है कि $a = 0$,$b = 0$ या $a \parallel b$ है।
चूंकि कोई भी अशून्य सदिश एक साथ लंबवत और समांतर नहीं हो सकता है,इसलिए दोनों समीकरणों को संतुष्ट करने वाली एकमात्र स्थिति यह है कि सदिशों में से कम से कम एक शून्य सदिश होना चाहिए,अर्थात $a = 0$ या $b = 0$।

(D) यहाँ $\bar{a} + \bar{b}$ और $\bar{c}$ समांतर हैं,इसलिए किसी अदिश $k \in \mathbb{R}$ के लिए $\bar{a} + \bar{b} = k\bar{c}$ $(1)$
साथ ही $\bar{b} + \bar{c}$ और $\bar{a}$ समांतर हैं,इसलिए किसी अदिश $m \in \mathbb{R}$ के लिए $\bar{b} + \bar{c} = m\bar{a}$ $(2)$
$(2)$ से,$\bar{c} = m\bar{a} - \bar{b}$. इस मान को $(1)$ में रखने पर:
$\bar{a} + \bar{b} = k(m\bar{a} - \bar{b})$
$\bar{a} + \bar{b} = km\bar{a} - k\bar{b}$
$(1 - km)\bar{a} + (1 + k)\bar{b} = \bar{0}$
चूंकि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ अशून्य और असमांतर हैं,इसलिए उनके गुणांक शून्य होने चाहिए:
$1 - km = 0 \implies km = 1$
$1 + k = 0 \implies k = -1$
$k = -1$ को $km = 1$ में रखने पर,$m = -1$ प्राप्त होता है।
अब,$k = -1$ को $(1)$ में रखने पर:
$\bar{a} + \bar{b} = -1\bar{c} \implies \bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = \bar{0}$

(C) माना बिंदु $A$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{OA} = 2i + 3j - k$ है।
माना मध्यबिंदु $P$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{OP} = 3(i + j + k) = 3i + 3j + 3k$ है।
माना दूसरे सिरे $B$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{OB}$ है।
चूंकि $P$,$AB$ का मध्यबिंदु है,इसलिए हमारे पास सूत्र है:
$\overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}$
$2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$
$\overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}$
मान रखने पर:
$\overrightarrow{OB} = 2(3i + 3j + 3k) - (2i + 3j - k)$
$\overrightarrow{OB} = (6i + 6j + 6k) - (2i + 3j - k)$
$\overrightarrow{OB} = (6-2)i + (6-3)j + (6-(-1))k$
$\overrightarrow{OB} = 4i + 3j + 7k$

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A, B, C$ हैं जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
केंद्रक $G$ का स्थिति सदिश $\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
शीर्षों से केंद्रक की दिशा में सदिश $\vec{GA} = \vec{a} - \vec{g}$,$\vec{GB} = \vec{b} - \vec{g}$,और $\vec{GC} = \vec{c} - \vec{g}$ हैं।
इन सदिशों का योग $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = (\vec{a} - \vec{g}) + (\vec{b} - \vec{g}) + (\vec{c} - \vec{g})$ है।
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{g}$।
$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3 \left( \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \right) = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{0}$।

(D) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = i + j$,$\vec{b} = j + k$ और $\vec{c} = k + i$ हैं।
मध्य-बिंदुओं $D, E, F$ के स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{d} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} = \frac{(j + k) + (k + i)}{2} = \frac{i + j + 2k}{2}$
$\vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} = \frac{(i + j) + (k + i)}{2} = \frac{2i + j + k}{2}$
$\vec{f} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{(i + j) + (j + k)}{2} = \frac{i + 2j + k}{2}$
$\Delta DEF$ का केंद्रक $G$ का स्थिति सदिश $\vec{g} = \frac{\vec{d} + \vec{e} + \vec{f}}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{g} = \frac{1}{3} \left( \frac{i + j + 2k + 2i + j + k + i + 2j + k}{2} \right)$
$\vec{g} = \frac{1}{3} \left( \frac{4i + 4j + 4k}{2} \right) = \frac{1}{3} (2i + 2j + 2k) = \frac{2}{3}(i + j + k)$.

(D) दो सदिश $\vec{a} = a_1i + a_2j + a_3k$ और $\vec{b} = b_1i + b_2j + b_3k$ संरेख होते हैं यदि उनके घटक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = \lambda$।
दिए गए सदिश $\vec{a} = 3i - 2j + 5k$ और $\vec{b} = -2i + pj - qk$ हैं।
घटकों के अनुपात की तुलना करने पर:
$\frac{3}{-2} = \frac{-2}{p} = \frac{5}{-q}$।
$\frac{3}{-2} = \frac{-2}{p}$ से,हमें $3p = 4$ प्राप्त होता है,इसलिए $p = 4/3$।
$\frac{3}{-2} = \frac{5}{-q}$ से,हमें $3(-q) = 5(-2)$ प्राप्त होता है,इसलिए $-3q = -10$,जिसका अर्थ है $q = 10/3$।
अतः,$(p, q) = (4/3, 10/3)$।

(A) सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के आंतरिक कोण समद्विभाजक की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{a}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16 + 16} = \sqrt{81} = 9$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
अब,$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{9}(7\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k})$ और $\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{1}{3}(-2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{1}{9}(-6\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k})$.
इन्हें जोड़ने पर: $\hat{u} = \frac{1}{9}(7-6)\hat{i} + \frac{1}{9}(-4-3)\hat{j} + \frac{1}{9}(-4+6)\hat{k} = \frac{1}{9}(\hat{i} - 7\hat{j} + 2\hat{k})$.
इस सदिश का परिमाण $\sqrt{(\frac{1}{9})^2 + (-\frac{7}{9})^2 + (\frac{2}{9})^2} = \sqrt{\frac{1+49+4}{81}} = \sqrt{\frac{54}{81}} = \frac{3\sqrt{6}}{9} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ है।
चूंकि $\vec{c} = k\hat{u}$ और $|\vec{c}| = 5\sqrt{6}$,इसलिए $|k| \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 5\sqrt{6}$,जिससे $|k| = 15$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{c} = 15 \cdot \frac{1}{9}(\hat{i} - 7\hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{5}{3}(\hat{i} - 7\hat{j} + 2\hat{k})$.

(D) दिया गया है कि $\vec{a} + 3\vec{b}$,$\vec{c}$ के संरेख है,अतः एक अदिश $k$ का अस्तित्व है जिससे $\vec{a} + 3\vec{b} = k\vec{c}$।
साथ ही,$\vec{b} + 2\vec{c}$,$\vec{a}$ के संरेख है,अतः एक अदिश $m$ का अस्तित्व है जिससे $\vec{b} + 2\vec{c} = m\vec{a}$।
प्रथम समीकरण से,$3\vec{b} = k\vec{c} - \vec{a}$,अर्थात $\vec{b} = \frac{k}{3}\vec{c} - \frac{1}{3}\vec{a}$।
इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(\frac{k}{3}\vec{c} - \frac{1}{3}\vec{a}) + 2\vec{c} = m\vec{a}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(\frac{k}{3} + 2)\vec{c} = (m + \frac{1}{3})\vec{a}$।
चूंकि $\vec{a}$ और $\vec{c}$ शून्येतर और असंरेख हैं,इसलिए उनके गुणांक शून्य होने चाहिए: $\frac{k}{3} + 2 = 0 \implies k = -6$ और $m + \frac{1}{3} = 0 \implies m = -\frac{1}{3}$।
$k = -6$ को प्रथम समीकरण में रखने पर: $\vec{a} + 3\vec{b} = -6\vec{c}$।
अतः,$\vec{a} + 3\vec{b} + 6\vec{c} = \vec{0}$।

(A) मान लीजिए कि तीन बिंदु $A$,$B$ और $C$ हैं जिनके स्थिति सदिश $\vec{OA} = \vec{a}$,$\vec{OB} = \vec{b}$ और $\vec{OC} = 3\vec{a} - 2\vec{b}$ हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या बिंदु संरेख हैं,हम सदिशों $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ की जांच करते हैं।
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$.
$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = (3\vec{a} - 2\vec{b}) - \vec{b} = 3\vec{a} - 3\vec{b} = 3(\vec{a} - \vec{b})$.
चूंकि $\vec{BC} = -3(\vec{b} - \vec{a}) = -3\vec{AB}$,इसलिए सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ समांतर हैं।
चूंकि वे एक उभयनिष्ठ बिंदु $B$ साझा करते हैं,इसलिए बिंदु $A$,$B$ और $C$ संरेख हैं।

(B) दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ समान तब कहलाते हैं यदि उनका परिमाण और दिशा समान हो।
अतः,यदि $\vec{a} = \vec{b}$ है,तो दोनों सदिशों का परिमाण समान और दिशा समान होनी चाहिए।

(D) स्थिति सदिश $\vec{p} = -2\hat{i} - \hat{j}$,$\vec{q} = 4\hat{i}$,$\vec{r} = 3\hat{i} + 3\hat{j}$,और $\vec{s} = -3\hat{i} + 2\hat{j}$ हैं।
भुजाओं को दर्शाने वाले सदिशों की गणना:
$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = 6\hat{i} + \hat{j}$.
$\vec{QR} = \vec{r} - \vec{q} = -\hat{i} + 3\hat{j}$.
$\vec{RS} = \vec{s} - \vec{r} = -6\hat{i} - \hat{j}$.
$\vec{SP} = \vec{p} - \vec{s} = \hat{i} - 3\hat{j}$.
चूंकि $\vec{PQ} = -\vec{RS}$ और $\vec{QR} = -\vec{SP}$,सम्मुख भुजाएं समांतर और समान लंबाई की हैं,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
लंबवतता की जांच: $\vec{PQ} \cdot \vec{QR} = (6)(-1) + (1)(3) = -3 \neq 0$. अतः यह आयत नहीं है।
भुजाओं की लंबाई: $|\vec{PQ}| = \sqrt{37}$ और $|\vec{QR}| = \sqrt{10}$.
चूंकि आसन्न भुजाएं समान नहीं हैं और कोण $90^{\circ}$ नहीं है,इसलिए यह केवल एक समांतर चतुर्भुज है।

(C) दिए गए सदिश $p = 7i - 2j + 3k$ और $q = 3i + j + 5k$ हैं।
सबसे पहले,$2q$ की गणना करें:
$2q = 2(3i + j + 5k) = 6i + 2j + 10k$.
अब,$p - 2q$ ज्ञात करें:
$p - 2q = (7i - 2j + 3k) - (6i + 2j + 10k) = (7-6)i + (-2-2)j + (3-10)k = i - 4j - 7k$.
अंत में,परिमाण $|p - 2q|$ की गणना करें:
$|p - 2q| = \sqrt{(1)^2 + (-4)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 16 + 49} = \sqrt{66}$.

(B) माना दिए गए बलों का परिणामी $\vec{R}$ है।
$\vec{R} = \overline{AB} + \overline{AE} + \overline{DC} + \overline{ED}$
सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करने पर:
$\overline{AE} + \overline{ED} = \overline{AD}$
अतः,$\vec{R} = \overline{AB} + \overline{AD} + \overline{DC}$
चूंकि $\overline{AD} + \overline{DC} = \overline{AC}$,हमारे पास है:
$\vec{R} = \overline{AB} + \overline{AC}$
हम अंतिम परिणामी $2\overline{AC}$ प्राप्त करना चाहते हैं।
माना जोड़ा जाने वाला बल $\vec{F}$ है।
$\vec{R} + \vec{F} = 2\overline{AC}$
$(\overline{AB} + \overline{AC}) + \vec{F} = 2\overline{AC}$
$\vec{F} = 2\overline{AC} - \overline{AC} - \overline{AB}$
$\vec{F} = \overline{AC} - \overline{AB}$
त्रिभुज नियम का उपयोग करते हुए,$\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}$,जिसका अर्थ है $\overline{BC} = \overline{AC} - \overline{AB}$।
अतः,$\vec{F} = \overline{BC}$।

(A) मान लीजिए कि सम षट्भुज के शीर्ष $O, A, B, C, D, E$ क्रम में हैं। मान लीजिए $\vec{OA} = a$ और $\vec{AB} = b$ है।
एक सम षट्भुज में,भुजाएँ परिमाण में समान और विपरीत भुजाओं के समानांतर होती हैं।
क्रम में भुजाओं को दर्शाने वाले सदिश इस प्रकार हैं:
$1$. $\vec{OA} = a$
$2$. $\vec{AB} = b$
$3$. $\vec{BC} = \vec{OA} - \vec{AB} = a - b$
$4$. $\vec{CD} = -\vec{OA} = -a$
$5$. $\vec{DE} = -\vec{AB} = -b$
$6$. $\vec{EO} = -\vec{BC} = -(a - b) = b - a$
अतः,शेष चार भुजाएँ $a - b, -a, -b, b - a$ हैं।

(A) स्थिति सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ वाले तीन बिंदुओं $A, B, C$ के संरेख होने के लिए,ऐसे अदिश $x, y, z$ (जो सभी एक साथ शून्य न हों) का अस्तित्व होना चाहिए कि $x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c} = \vec{0}$ और $x + y + z = 0$ हो।
इसका कारण यह है कि तीन बिंदुओं के संरेख होने की शर्त यह है कि सदिश $\vec{AB}$,सदिश $\vec{AC}$ का एक अदिश गुणज हो,अर्थात $(\vec{b} - \vec{a}) = k(\vec{c} - \vec{a})$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $\vec{b} - \vec{a} = k\vec{c} - k\vec{a}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(k-1)\vec{a} + \vec{b} - k\vec{c} = \vec{0}$।
इसकी तुलना $x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c} = \vec{0}$ से करने पर,हमें $x = k-1$,$y = 1$,और $z = -k$ प्राप्त होता है।
इन गुणांकों का योग करने पर: $x + y + z = (k-1) + 1 + (-k) = 0$ होता है।

(A) दिया गया है कि $C$ का $B$ के सापेक्ष स्थिति सदिश $\vec{BC} = \hat{i} + \hat{j}$ है।
$B$ का $A$ के सापेक्ष स्थिति सदिश $\vec{AB} = \hat{i} - \hat{j}$ है।
हमें $C$ का $A$ के सापेक्ष स्थिति सदिश यानी $\vec{AC}$ ज्ञात करना है।
सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{AC} = (\hat{i} - \hat{j}) + (\hat{i} + \hat{j})$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\vec{AC} = \hat{i} + \hat{i} - \hat{j} + \hat{j} = 2\hat{i}$.
अतः,$C$ का $A$ के सापेक्ष स्थिति सदिश $2\hat{i}$ है।

(A) सदिशों के लिए त्रिभुज असमिका के अनुसार,किन्हीं दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लिए,उनके योग का परिमाण हमेशा उनके परिमाणों के योग से कम या उसके बराबर होता है,अर्थात $|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$.
साथ ही,व्युत्क्रम त्रिभुज असमिका के अनुसार $|\vec{a} + \vec{b}| \ge ||\vec{a}| - |\vec{b}||$ होता है।
चूंकि $|\vec{a}| - |\vec{b}| \le ||\vec{a}| - |\vec{b}||$,इसलिए $|\vec{a} + \vec{b}| \ge |\vec{a}| - |\vec{b}|$ सत्य है।
अतः,कथन $|\vec{a} + \vec{b}| \ge |\vec{a}| - |\vec{b}|$ हमेशा सत्य है।

(B) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
हम जानते हैं कि $|\vec{x} - \vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 - 2(\vec{x} \cdot \vec{y})$.
व्यंजक का विस्तार करने पर:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 + |\vec{b} - \vec{c}|^2 + |\vec{c} - \vec{a}|^2 = (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}) + (|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c}) + (|\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{a})$
$= 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$
$= 2(1 + 1 + 1) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 6 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
हम यह भी जानते हैं कि $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq 0$.
अतः,$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 - 3$.
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर:
$6 - (|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 - 3) = 9 - |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2$.
चूंकि $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 \geq 0$,अधिकतम मान $9$ है जब $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ हो।

(C) दिए गए बिंदु $A(2, 3)$, $B(p, 9)$ और $C(1, -1)$ हैं।
बिंदुओं $A, B$ और $C$ के संरेख होने के लिए, सदिश $\vec{AB}$ को सदिश $\vec{AC}$ के समानांतर होना चाहिए।
$\vec{AB} = (p - 2)i + (9 - 3)j = (p - 2)i + 6j$.
$\vec{AC} = (1 - 2)i + (-1 - 3)j = -i - 4j$.
चूंकि $\vec{AB} \parallel \vec{AC}$, उनके घटकों का अनुपात समान होना चाहिए:
$\frac{p - 2}{-1} = \frac{6}{-4}$.
$\frac{p - 2}{-1} = -\frac{3}{2}$.
$p - 2 = \frac{3}{2}$.
$p = 2 + \frac{3}{2} = \frac{4 + 3}{2} = \frac{7}{2}$.

(A) दिए गए सदिश $\vec{a} = -4\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$ और $\vec{b} = 12\hat{i} - 6\hat{j} + 15\hat{k}$ हैं।
दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ समांतर होते हैं यदि किसी अदिश $k$ के लिए $\vec{b} = k\vec{a}$ हो।
घटकों का अनुपात जाँचते हैं:
$\frac{b_x}{a_x} = \frac{12}{-4} = -3$
$\frac{b_y}{a_y} = \frac{-6}{2} = -3$
$\frac{b_z}{a_z} = \frac{15}{-5} = -3$
चूँकि अनुपात समान हैं,इसलिए $\vec{b} = -3\vec{a}$ प्राप्त होता है।
अतः,सदिश समांतर हैं।

(D) दो सदिश $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$ और $\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$ समांतर होते हैं यदि उनके घटक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$।
दिए गए सदिश $3\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$ और $-2\hat{i} + p\hat{j} - q\hat{k}$ हैं।
घटकों के अनुपात की तुलना करने पर:
$\frac{3}{-2} = \frac{-2}{p} = \frac{5}{-q}$।
सबसे पहले,$p$ के लिए हल करें:
$\frac{3}{-2} = \frac{-2}{p} \Rightarrow 3p = 4 \Rightarrow p = 4/3$।
इसके बाद,$q$ के लिए हल करें:
$\frac{3}{-2} = \frac{5}{-q} \Rightarrow -3q = -10 \Rightarrow q = 10/3$।
अतः,$p = 4/3$ और $q = 10/3$ है।

(B) यदि $a$ और $b$ दो असरेख सदिश हैं,तो वे उस समतल के लिए एक आधार (basis) बनाते हैं जिसमें वे स्थित हैं।
कोई भी सदिश $r$ जो $a$ और $b$ के समान समतल में स्थित है (अर्थात $a$ और $b$ के साथ समतलीय है),उसे $a$ और $b$ के रैखिक संयोजन (linear combination) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
अतः,ऐसे अद्वितीय अदिश $m$ और $n$ विद्यमान होते हैं कि $r = ma + nb$।