Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Hindi

(A) त्रिभुज का परिमाप उसकी भुजाओं के परिमाणों का योग होता है।
माना भुजाएँ $\vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$,$\vec{b} = 4\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}$ और $\vec{c} = 7\hat{i} + \hat{j}$ हैं।
भुजा $\vec{a}$ का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
भुजा $\vec{b}$ का परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
भुजा $\vec{c}$ का परिमाण $|\vec{c}| = \sqrt{7^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
परिमाप = $|\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}| = 5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$.
चूँकि $15\sqrt{2} = \sqrt{225 \times 2} = \sqrt{450}$,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(D) वर्ग की भुजा सदिश $\vec{a} = 3i + 4j + 5k$ द्वारा दी गई है।
भुजा का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है,जो $|\vec{a}|^2$ है।
क्षेत्रफल $= (\sqrt{50})^2 = 50.$

(A) दिया गया सदिश $a = 2i + 2j - k$ है।
सबसे पहले,सदिश $a$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|a| = \sqrt{(2)^2 + (2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$।
हमें समीकरण $|xa| = 1$ दिया गया है।
मापांक के गुणधर्म $|xa| = |x||a|$ का उपयोग करते हुए:
$|x| \cdot |a| = 1$
$|x| \cdot 3 = 1$
$|x| = \frac{1}{3}$
अतः,$x = \pm \frac{1}{3}$।

(C) एक सदिश $\vec{v} = x\,i + y\,j$ इकाई सदिश होता है यदि उसका परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} = 1$ हो,जिसका अर्थ है $x^2 + y^2 = 1$.
विकल्प $A$ के लिए: $(\cos \theta)^2 + (-\sin \theta)^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.
विकल्प $B$ के लिए: $(\sin \theta)^2 + (\cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.
विकल्प $C$ के लिए: $(\sin 2\theta)^2 + (-\cos \theta)^2 = \sin^2 2\theta + \cos^2 \theta$. यह $\theta$ के सभी मानों के लिए $1$ के बराबर नहीं है (उदाहरण के लिए,$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,$\sin^2(\frac{\pi}{2}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) = 1^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1 + 0.5 = 1.5 \neq 1$).
विकल्प $D$ के लिए: $(\cos 2\theta)^2 + (-\sin 2\theta)^2 = \cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta = 1$.
अतः,विकल्प $C$ में दिया गया सदिश $\theta$ के सभी मानों के लिए इकाई सदिश नहीं है।

(C) मान लीजिए सदिशों $a$ और $b$ के बीच का कोण $\theta$ है। $a$ और $b$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{a}{|a|}$ और $\hat{b} = \frac{b}{|b|}$ हैं।
$a$ और $b$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करने वाला सदिश उनके इकाई सदिशों के योग द्वारा दिया जाता है,जो $\hat{a} + \hat{b} = \frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|}$ है।
यह दिया गया है कि $a + b$ समद्विभाजक है,इसलिए इसे $\hat{a} + \hat{b}$ के समानांतर होना चाहिए।
अतः,किसी अदिश $k$ के लिए $a + b = k \left( \frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} \right)$ होगा।
$a$ और $b$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $1 = \frac{k}{|a|}$ और $1 = \frac{k}{|b|}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $|a| = k$ और $|b| = k$,इसलिए $|a| = |b|$ है।
अतः,$a$ और $b$ परिमाण में समान हैं।

(B) दिए गए सदिश $a = i + 2j + 2k$ और $b = 3i + 6j + 2k$ हैं।
सबसे पहले,सदिश $b$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|b| = \sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7.$
इसके बाद,$a$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a}$ ज्ञात करें:
$|a| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3.$
$\hat{a} = \frac{a}{|a|} = \frac{i + 2j + 2k}{3}.$
अभीष्ट सदिश का परिमाण $|b|$ है और दिशा $\hat{a}$ है,इसलिए यह $|b|\hat{a}$ होगा:
$7 \times \left( \frac{i + 2j + 2k}{3} \right) = \frac{7}{3}(i + 2j + 2k).$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिए गए सदिश $p = 7i - 2j + 3k$ और $q = 3i + j + 5k$ हैं।
सबसे पहले,$2q = 2(3i + j + 5k) = 6i + 2j + 10k$ की गणना करें।
अब,$p - 2q = (7i - 2j + 3k) - (6i + 2j + 10k)$ ज्ञात करें।
$p - 2q = (7 - 6)i + (-2 - 2)j + (3 - 10)k = i - 4j - 7k$.
इसका परिमाण $|p - 2q| = \sqrt{(1)^2 + (-4)^2 + (-7)^2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$|p - 2q| = \sqrt{1 + 16 + 49} = \sqrt{66}$.

(C) दिया गया है कि $a = i$ और $|b| = 1$ है। $a$ और $b$ के बीच का कोण $120^\circ$ है।
चूंकि $a$,$x$-अक्ष के अनुदिश है,हम $b$ को $b = \cos(120^\circ)i + \sin(120^\circ)j$ के रूप में लिख सकते हैं।
घटकों की गणना करने पर: $b = -\frac{1}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}j$ प्राप्त होता है।
अब,सदिश $a + b$ ज्ञात करें: $a + b = i + (-\frac{1}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}j) = \frac{1}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}j$।
चूंकि $|a+b| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$,इसलिए सदिश $\frac{1}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}j$ पहले से ही एक इकाई सदिश है।

(C) माना शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{A} = 6i + 4j + 5k$,$\vec{B} = 4i + 5j + 6k$ और $\vec{C} = 5i + 6j + 4k$ हैं।
भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने के लिए,हम सदिशों $\vec{AB}$,$\vec{BC}$ और $\vec{CA}$ के परिमाण की गणना करते हैं।
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (4-6)i + (5-4)j + (6-5)k = -2i + j + k$.
लंबाई $AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
$\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (5-4)i + (6-5)j + (4-6)k = i + j - 2k$.
लंबाई $BC = |\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
$\vec{CA} = \vec{A} - \vec{C} = (6-5)i + (4-6)j + (5-4)k = i - 2j + k$.
लंबाई $CA = |\vec{CA}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.
चूंकि $AB = BC = CA = \sqrt{6}$,इसलिए यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है।

(A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 1, 1)$,$B(5, 3, -3)$ और $C(2, 5, 9)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई भुजाओं को दर्शाने वाले सदिशों के परिमाण हैं:
$AB = \sqrt{(5-1)^2 + (3-1)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$BC = \sqrt{(2-5)^2 + (5-3)^2 + (9-(-3))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 4 + 144} = \sqrt{157}$.
$CA = \sqrt{(1-2)^2 + (1-5)^2 + (1-9)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{1 + 16 + 64} = \sqrt{81} = 9$.
त्रिभुज का परिमाप भुजाओं की लंबाइयों का योग है:
परिमाप $= AB + BC + CA = 6 + \sqrt{157} + 9 = 15 + \sqrt{157}$.

(B) दिए गए स्थिति सदिश $\vec{OA} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{OB} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
हम जानते हैं कि $\overrightarrow{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$.
$\overrightarrow{AB} = (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$
$\overrightarrow{AB} = (2-1)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (1-(-1))\hat{k}$
$\overrightarrow{AB} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$
अब,परिमाण $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (2)^2}$
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
अतः,सही विकल्प $B$ है.

(B) चूंकि बल $a, b$ और $c$ परस्पर लंबवत हैं,उन्हें क्रमशः $x, y$ और $z$ अक्षों के अनुदिश निरूपित किया जा सकता है।
मान लीजिए सदिश $\vec{a} = 2\hat{i}$,$\vec{b} = 10\hat{j}$,और $\vec{c} = 11\hat{k}$ हैं।
परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ है।
परिणामी का परिमाण $|\vec{R}| = \sqrt{(2)^2 + (10)^2 + (11)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec{R}| = \sqrt{4 + 100 + 121} = \sqrt{225} = 15$.

(A) इकाई सदिश $i, j, k$ त्रिविमीय कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में क्रमशः $x, y,$ और $z$ अक्षों के अनुदिश मानक आधार सदिशों को दर्शाते हैं।
परिभाषा के अनुसार,ये सदिश एक-दूसरे के परस्पर लंबवत होते हैं,जिसका अर्थ है कि इस समुच्चय के किन्हीं भी दो अलग-अलग सदिशों का अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होता है (उदाहरण के लिए,$i \cdot j = 0, j \cdot k = 0, k \cdot i = 0$)।
जो सदिश परस्पर लंबवत होते हैं,उन्हें लंबकोणीय (orthogonal) सदिश कहा जाता है।
अतः,सदिशों $i, j, k$ का निकाय लंबकोणीय है।

(D) माना दिए गए सदिश $\vec{a} = i + j + k$,$\vec{b} = -i + j + k$,$\vec{c} = i - j + k$,और $\vec{d} = i + j - k$ हैं।
परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = (1-1+1+1)i + (1+1-1+1)j + (1+1+1-1)k = 2i + 2j + 2k$ है।
परिणामी सदिश का परिमाण $|\vec{R}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ है।
दिक कोज्याएँ $(l, m, n)$ को $\frac{x}{|\vec{R}|}, \frac{y}{|\vec{R}|}, \frac{z}{|\vec{R}|}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
अतः,$l = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$m = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,और $n = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
इसलिए,दिक कोज्याएँ $\left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ हैं।

(A) स्थिति सदिश $\vec{OP} = 5i + 4j + ak$ और $\vec{OQ} = -i + 2j - 2k$ हैं।
सदिश $\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (-1 - 5)i + (2 - 4)j + (-2 - a)k = -6i - 2j - (a + 2)k$ है।
$P$ और $Q$ के बीच की दूरी $\vec{PQ}$ के परिमाण के बराबर है,जो $7$ दी गई है।
$|\vec{PQ}| = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2 + (-(a + 2))^2} = 7$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$36 + 4 + (a + 2)^2 = 49$.
$40 + (a + 2)^2 = 49$.
$(a + 2)^2 = 9$.
$a + 2 = \pm 3$.
स्थिति $1$: $a + 2 = 3 \Rightarrow a = 1$.
स्थिति $2$: $a + 2 = -3 \Rightarrow a = -5$.
अतः,$a$ के मान $-5$ और $1$ हैं।

(A) शून्य सदिश को एक ऐसे सदिश के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसका परिमाण $0$ होता है।
परिभाषा के अनुसार,शून्य सदिश की दिशा अनिर्धारित या स्वेच्छ होती है।
इसलिए,यह अक्सर कहा जाता है कि इसकी कोई भी दिशा हो सकती है,क्योंकि यह अंतरिक्ष में किसी विशिष्ट दिशा की ओर संकेत नहीं करता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना $\vec{a} = l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k}$,जहाँ $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है।
चूँकि $\vec{a}$,$z$-अक्ष के साथ $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाता है,इसलिए $n = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$l^2 + m^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1 \implies l^2 + m^2 = \frac{1}{2} \dots (i)$।
दिया गया है कि $\vec{a} + \hat{i} + \hat{j}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|(l+1)\hat{i} + (m+1)\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k}| = 1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(l+1)^2 + (m+1)^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1^2$।
$l^2 + 2l + 1 + m^2 + 2m + 1 + \frac{1}{2} = 1$।
$(l^2 + m^2) + 2(l+m) + 2.5 = 1$।
समीकरण $(i)$ का मान रखने पर,$\frac{1}{2} + 2(l+m) + 2.5 = 1 \implies 2(l+m) = -2 \implies l+m = -1$।
चूँकि $l^2 + m^2 = \frac{1}{2}$ और $l+m = -1$,इसलिए $(l+m)^2 = l^2 + m^2 + 2lm = 1 \implies \frac{1}{2} + 2lm = 1 \implies 2lm = \frac{1}{2} \implies lm = \frac{1}{4}$।
$l+m = -1$ और $lm = \frac{1}{4}$ को हल करने पर हमें $l = m = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{a} = -\frac{1}{2}\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k}$।

(B) बल को एक ऐसे सदिश के रूप में परिभाषित किया जाता है जो किसी पिंड के एक विशिष्ट बिंदु पर कार्य करता है।
चूंकि बल का प्रभाव उसके अनुप्रयोग बिंदु पर निर्भर करता है,इसलिए इसे स्थानीय सदिश (या बद्ध सदिश) के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

(B) स्थिति सदिश $\vec{OA} = i + 3j - 7k$ और $\vec{OB} = 5i - 2j + 4k$ हैं।
सदिश $\overrightarrow{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (5-1)i + (-2-3)j + (4 - (-7))k = 4i - 5j + 11k$ है।
$\overrightarrow{AB}$ का परिमाण $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + 11^2} = \sqrt{16 + 25 + 121} = \sqrt{162}$ है।
$y$-अक्ष के अनुदिश दिक कोज्या,सदिश के $j$ घटक को उसके परिमाण से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
$y$-अक्ष के अनुदिश दिक कोज्या $= \frac{-5}{\sqrt{162}}$।

(C) सदिश $\vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ दिया गया है।
दिक्-कोज्या ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले सदिश $\vec{a}$ का परिमाण (magnitude) ज्ञात करते हैं:
$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50}$.
धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में दिक्-कोज्या,$x$-घटक और सदिश के परिमाण का अनुपात होती है:
$\cos \alpha = \frac{a_x}{|\vec{a}|} = \frac{3}{\sqrt{50}}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) मान लीजिए कि बिंदुओं के स्थिति सदिश $\overrightarrow{OA} = 2i + 3j + 4k,$ $\overrightarrow{OB} = 3i + 4j + 2k,$ और $\overrightarrow{OC} = 4i + 2j + 3k$ हैं।
सबसे पहले,हम त्रिभुज की भुजाओं को दर्शाने वाले सदिश ज्ञात करते हैं:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (3-2)i + (4-3)j + (2-4)k = i + j - 2k.$
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = (4-3)i + (2-4)j + (3-2)k = i - 2j + k.$
$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = (2-4)i + (3-2)j + (4-3)k = -2i + j + k.$
अब,हम भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}.$
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}.$
$|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}.$
चूंकि $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{CA}| = \sqrt{6},$ तीनों भुजाओं की लंबाई समान है।
अतः,ये बिंदु एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

(B) मान लीजिए $P, Q,$ और $R$ वे बिंदु हैं जिनके स्थिति सदिश $\vec{p} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$,$\vec{q} = \beta \hat{i} + \gamma \hat{j} + \alpha \hat{k}$,और $\vec{r} = \gamma \hat{i} + \alpha \hat{j} + \beta \hat{k}$ हैं।
$P$ और $Q$ के बीच की दूरी $|\vec{q} - \vec{p}| = \sqrt{(\beta - \alpha)^2 + (\gamma - \beta)^2 + (\alpha - \gamma)^2}$ है।
$Q$ और $R$ के बीच की दूरी $|\vec{r} - \vec{q}| = \sqrt{(\gamma - \beta)^2 + (\alpha - \gamma)^2 + (\beta - \alpha)^2}$ है।
$R$ और $P$ के बीच की दूरी $|\vec{p} - \vec{r}| = \sqrt{(\alpha - \gamma)^2 + (\beta - \alpha)^2 + (\gamma - \beta)^2}$ है।
चूंकि $|\vec{PQ}| = |\vec{QR}| = |\vec{RP}|$ है,इसलिए ये बिंदु एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

(B) दिया गया है कि $|a| = 3$,$|b| = 4$,और $|a + b| = 5$ है।
सदिशों के समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग करते हुए,हमारे पास सर्वसमिका है:
$|a + b|^2 + |a - b|^2 = 2(|a|^2 + |b|^2)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$5^2 + |a - b|^2 = 2(3^2 + 4^2)$
$25 + |a - b|^2 = 2(9 + 16)$
$25 + |a - b|^2 = 2(25)$
$25 + |a - b|^2 = 50$
$|a - b|^2 = 50 - 25 = 25$
$|a - b| = \sqrt{25} = 5$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) मान लीजिए कि कुछ अदिशों $x$ और $y$ के लिए $x(a + b) + y(a - b) = 0$ है।
इसे $(x + y)a + (x - y)b = 0$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
चूंकि $a$ और $b$ असंरेख हैं,इसलिए वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
अतः,गुणांक शून्य होने चाहिए:
$x + y = 0$ और $x - y = 0$।
इन समीकरणों को जोड़ने पर $2x = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 0$।
$x = 0$ को $x + y = 0$ में रखने पर $y = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि एकमात्र समाधान $x = 0$ और $y = 0$ है,इसलिए सदिश $a + b$ और $a - b$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

(B) माना सदिश $\vec{A} = 3\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
सदिश का परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
दिक्-कोज्याएँ $(l, m, n)$ को $\frac{x}{|\vec{A}|}, \frac{y}{|\vec{A}|}, \frac{z}{|\vec{A}|}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
अतः,दिक्-कोज्याएँ $\frac{3}{5\sqrt{2}}, \frac{-4}{5\sqrt{2}}, \frac{5}{5\sqrt{2}}$ हैं।
तीसरे पद को सरल करने पर,$\frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,दिक्-कोज्याएँ $\frac{3}{5\sqrt{2}}, \frac{-4}{5\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}$ हैं।

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ के स्थिति सदिश $\overrightarrow{OA} = 2i - 9j - 4k$ और $\overrightarrow{OB} = 6i - 3j + 8k$ हैं।
सदिश $\overrightarrow{AB}$ को $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$\overrightarrow{AB} = (6 - 2)i + (-3 - (-9))j + (8 - (-4))k$
$\overrightarrow{AB} = 4i + 6j + 12k$
$\overrightarrow{AB}$ का परिमाण $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 12^2}$ है।
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14$.

(D) दिया गया है कि बिंदुओं $P$ और $Q$ के स्थिति सदिश $\vec{p} = i + 3j - 7k$ और $\vec{q} = 5i - 2j + 4k$ हैं।
सदिश $\overrightarrow{PQ}$ को $\vec{q} - \vec{p}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$\overrightarrow{PQ} = (5 - 1)i + (-2 - 3)j + (4 - (-7))k$
$\overrightarrow{PQ} = 4i - 5j + 11k$
परिमाण $|\overrightarrow{PQ}|$ की गणना $\sqrt{(4)^2 + (-5)^2 + (11)^2}$ के रूप में की जाती है।
$|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{16 + 25 + 121} = \sqrt{162}$.

(C) एक सदिश $\vec{v}$ इकाई सदिश होता है यदि उसका परिमाण $1$ हो,अर्थात $|\vec{v}| = 1$।
दिया गया है कि $m\vec{a}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|m\vec{a}| = 1$।
सदिश के अदिश गुणन के मापांक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$|m\vec{a}| = |m| |\vec{a}|$।
अतः,$|m| |\vec{a}| = 1$।
चूंकि $m$ एक शून्येतर अदिश है,हम लिख सकते हैं $|m| = \frac{1}{|\vec{a}|}$।
यदि $m$ धनात्मक है,तो $m = \frac{1}{|\vec{a}|}$।
इस प्रकार,विकल्प $(C)$ सही शर्त है।

(C) मान लीजिए कि स्थिति सदिश $\vec{a} = 2i + j - k$,$\vec{b} = 3i - 2j + k$,और $\vec{c} = i + 4j - 3k$ हैं।
सदिशों $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ की गणना करें:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (3-2)i + (-2-1)j + (1-(-1))k = i - 3j + 2k$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (1-3)i + (4-(-2))j + (-3-1)k = -2i + 6j - 4k$.
यहाँ देखा जा सकता है कि $\vec{BC} = -2(i - 3j + 2k) = -2\vec{AB}$ है।
चूँकि $\vec{BC}$,$\vec{AB}$ का एक अदिश गुणज है,इसलिए सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ समांतर हैं।
चूँकि वे एक उभयनिष्ठ बिंदु $B$ साझा करते हैं,इसलिए बिंदु $A, B$,और $C$ संरेख हैं।

(D) दिया है,$A, B$ और $C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 7j + 10k$,$\vec{b} = -i + 6j + 6k$,और $\vec{c} = -4i + 9j + 6k$ हैं।
सबसे पहले,हम भुजाओं को दर्शाने वाले सदिशों की गणना करते हैं:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -i - j - 4k$
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{18}$
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = -3i + 3j$
$|\vec{BC}| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{18}$
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = -4i + 2j - 4k$
$|\vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{36} = 6$
चूंकि $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = \sqrt{18}$,इसलिए त्रिभुज समद्विबाहु है।
साथ ही,$|\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2 = 18 + 18 = 36 = |\vec{AC}|^2$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से,यह त्रिभुज $B$ पर समकोण है।
अतः,त्रिभुज समकोण और समद्विबाहु है।

(B) माना बल $\vec{F_1} = 6$ जो $\overrightarrow{AB}$ के अनुदिश है,$\vec{F_2} = 5$ जो $\overrightarrow{CA}$ के अनुदिश है,और $\vec{F_3} = 2\sqrt{2}$ जो $\overrightarrow{BC}$ के अनुदिश है।
$A$ को मूल बिंदु $(0,0)$ मानने पर,$\overrightarrow{AB}$ $x$-अक्ष के अनुदिश है और $\overrightarrow{AC}$ $y$-अक्ष के अनुदिश है।
चूंकि $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,$\angle B = \angle C = 45^\circ$.
सदिश $\vec{F_1} = 6\hat{i}$.
सदिश $\vec{F_2} = -5\hat{j}$ (क्योंकि यह $\overrightarrow{CA}$ की दिशा में है)।
सदिश $\vec{F_3}$ $\overrightarrow{BC}$ की दिशा में है। $\overrightarrow{BC}$ की दिशा $x$-अक्ष के साथ $135^\circ$ का कोण बनाती है।
अतः,$\vec{F_3} = 2\sqrt{2}(\cos 135^\circ \hat{i} + \sin 135^\circ \hat{j}) = -2\hat{i} + 2\hat{j}$.
परिणामी बल $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = (6-2)\hat{i} + (-5+2)\hat{j} = 4\hat{i} - 3\hat{j}$.
परिणामी बल का परिमाण $|R| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

(B) मान लीजिए कि नियमित षट्भुज का केंद्र $O$ है। एक नियमित षट्भुज में,केंद्र से शीर्षों तक के सदिशों का योग शून्य होता है,अर्थात $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF} = \vec{0}$।
नियमित षट्भुज के गुणों का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AO}$ और अन्य सदिशों के योग को सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AF} = 3\overrightarrow{AD}$।
अतः,$\lambda = 3$।

(D) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,मान लीजिए $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ और $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$ है। तब $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{b}$ और $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} = \vec{a}$ होगा।
चूंकि $P$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\overrightarrow{BP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\vec{b}$ है।
अतः,$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BP} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$ है।
चूंकि $Q$,$CD$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\overrightarrow{DQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} = \frac{1}{2}\vec{a}$ है।
अतः,$\overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DQ} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}$ है।
इन दोनों सदिशों को जोड़ने पर:
$\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} = (\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) + (\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}) = \frac{3}{2}\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{b} = \frac{3}{2}(\vec{a} + \vec{b})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{b}$ है,इसलिए:
$\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$।

(C) दिया गया है कि $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}$.
सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{AB}$.
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PQ}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{PQ} - \overrightarrow{PC}$.
चूंकि $\overrightarrow{PQ} - \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{CQ}$,इसलिए $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CQ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि चतुर्भुज $ABQC$ में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समान और समांतर $(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CQ})$ है,इसलिए यह एक समांतर चतुर्भुज है।

(D) सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार $\triangle ADC$ में,हमारे पास $\vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$ है। दिया गया है कि $\vec{AD} = b$ और $\vec{DC} = v$,इसलिए $\vec{AC} = b + v$ है।
त्रिभुज $\triangle ABD$ में,$\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$ है। दिया गया है कि $\vec{AB} = a$ और $\vec{BD} = w$,इसलिए $a + w = b$,अर्थात $w = b - a$ है।
दिए गए समीकरण $x - w = v$ से,$x = v + w$ प्राप्त होता है।
आकृति से सदिशों का मान रखने पर,सही सदिश योग $x = a + b + c$ प्राप्त होता है।

(A) एक सदिश $\vec{r}$,दो असंरेखीय सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के साथ समतलीय होता है यदि और केवल यदि इसे $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सके।
अर्थात,$\vec{r} = x\vec{a} + y\vec{b}$,जहाँ $x$ और $y$ अदिश हैं।
अतः,$\vec{a} + \vec{b}$ भी एक समतलीय सदिश है क्योंकि यह $x=1$ और $y=1$ के लिए एक रैखिक संयोजन है।

(C) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}$ होता है।
इसलिए,$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$।
दिए गए सदिशों का मान रखने पर: $\overrightarrow{BD} = (i + 2j + 3k) - (2i + 4j - 5k) = -i - 2j + 8k$।
$\overrightarrow{BD}$ का परिमाण $|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 8^2} = \sqrt{1 + 4 + 64} = \sqrt{69}$ है।
$\overrightarrow{BD}$ की दिशा में इकाई सदिश $\frac{\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{BD}|} = \frac{-i - 2j + 8k}{\sqrt{69}} = \frac{1}{\sqrt{69}}(-i - 2j + 8k)$ होगा।

(D) दिए गए सदिश $a = 2i + 5j$ और $b = 2i - j$ हैं।
सबसे पहले,योग $a + b = (2i + 5j) + (2i - j) = 4i + 4j$ ज्ञात करें।
इसके बाद,परिणामी सदिश का परिमाण $|a + b| = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ ज्ञात करें।
$a + b$ की दिशा में इकाई सदिश $\frac{a + b}{|a + b|} = \frac{4i + 4j}{4\sqrt{2}} = \frac{4(i + j)}{4\sqrt{2}} = \frac{i + j}{\sqrt{2}}$ द्वारा प्राप्त होता है।

(A) माना कि जोड़ा जाने वाला सदिश $b$ है।
प्रश्न के अनुसार,$a + b = i$ है।
दिए गए सदिश $a = 3i + 4j - 2k$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3i + 4j - 2k + b = i$
$b = i - (3i + 4j - 2k)$
$b = i - 3i - 4j + 2k$
$b = - 2i - 4j + 2k$
अतः,अभीष्ट सदिश $- 2i - 4j + 2k$ है।

(C) परिणामी सदिश $R$,सदिशों $a$,$b$ और $c$ के योग द्वारा प्राप्त होता है:
$R = a + b + c$
$R = (i + 2j + 3k) + (-i + 2j + k) + (3i + j)$
$R = (1 - 1 + 3)i + (2 + 2 + 1)j + (3 + 1 + 0)k$
$R = 3i + 5j + 4k$
अब,परिणामी सदिश का परिमाण $|R|$ ज्ञात करें:
$|R| = \sqrt{3^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
परिणामी सदिश की दिशा में इकाई सदिश $\hat{R} = \frac{R}{|R|}$ द्वारा दिया जाता है:
$\hat{R} = \frac{3i + 5j + 4k}{5\sqrt{2}}$

(B) एक सम षट्भुज $ABCDEF$ में,हम सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करके सदिश $\overrightarrow{AE}$ को व्यक्त कर सकते हैं।
पथ $A \to C \to D \to E$ पर विचार करें। अतः,$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE}$।
एक सम षट्भुज में,सम्मुख भुजाएँ समानांतर और परिमाण में समान होती हैं। इसलिए,$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AF}$ और $\overrightarrow{DE} = -\overrightarrow{AB}$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AB}$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $3\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}$
हम $3\overrightarrow{OD}$ को तीन भागों में विभाजित करके अभिव्यक्ति को फिर से लिख सकते हैं:
$= \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DC}$
सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करते हुए,$\overrightarrow{OX} + \overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OY}$:
$\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{OA}$
$\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{OB}$
$\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{OC}$
इन मानों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना $-2a + 3b - c = xp + yq + zr$.
$p, q,$ और $r$ के व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$-2a + 3b - c = x(2a - 3b) + y(a - 2b + c) + z(-3a + b + 2c)$
$-2a + 3b - c = (2x + y - 3z)a + (-3x - 2y + z)b + (y + 2z)c$.
$a, b,$ और $c$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) 2x + y - 3z = -2$
$2) -3x - 2y + z = 3$
$3) y + 2z = -1$
$(3)$ से,$y = -1 - 2z$.
$(1)$ और $(2)$ में मान रखने पर:
$2x + (-1 - 2z) - 3z = -2 \implies 2x - 5z = -1$
$-3x - 2(-1 - 2z) + z = 3 \implies -3x + 2 + 4z + z = 3 \implies -3x + 5z = 1$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(2x - 5z) + (-3x + 5z) = -1 + 1 \implies -x = 0 \implies x = 0$.
अतः $5z = 1 \implies z = \frac{1}{5}$.
$y = -1 - 2(\frac{1}{5}) = -1 - \frac{2}{5} = -\frac{7}{5}$.
इस प्रकार,$-2a + 3b - c = 0p - \frac{7}{5}q + \frac{1}{5}r = \frac{-7q + r}{5}$.

(A) दिए गए सदिश $a = 2i + j - 8k$ और $b = i + 3j - 4k$ हैं।
सबसे पहले,सदिशों का योग $a + b$ ज्ञात करें:
$a + b = (2i + i) + (j + 3j) + (-8k - 4k) = 3i + 4j - 12k$.
अब,परिणामी सदिश का परिमाण $|a + b|$ ज्ञात करें:
$|a + b| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2 + (-12)^2}$
$|a + b| = \sqrt{9 + 16 + 144}$
$|a + b| = \sqrt{169}$
$|a + b| = 13$.
अतः,$a + b$ का परिमाण $13$ है।

(B) दिया गया है कि $A, B, C, D, E$ पाँच समतलीय बिंदु हैं।
हमें योगफल ज्ञात करना है: $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CE}$.
सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}$.
दिए गए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$= (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AE}) + (\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BE}) + (\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CE})$
प्रत्येक समूह पर त्रिभुज नियम लागू करने पर:
$= \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{DE}$
$= 3\,\overrightarrow{DE}$.

(C) दिए गए सदिश $a = 3i - 2j + k$,$b = 2i - 4j - 3k$,और $c = -i + 2j + 2k$ हैं।
$a + b + c$ ज्ञात करने के लिए,हम $i$,$j$,और $k$ के संगत घटकों को जोड़ते हैं:
$a + b + c = (3 + 2 - 1)i + (-2 - 4 + 2)j + (1 - 3 + 2)k$
$a + b + c = (4)i + (-4)j + (0)k$
$a + b + c = 4i - 4j$.

(B) परिणामी बल $R$ दिए गए सभी सदिशों का योग है:
$R = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}) + (\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{EB})$
सदिश योग के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$R = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}) + (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}) + (\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EB})$
सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,जहाँ $\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}$:
$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AB}$
इन मानों को $R$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$R = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AB}$.

(A) माना कि दो बल $P$ और $Q$ हैं,जहाँ $Q > P$ है।
दिया गया है कि बलों का योग $P + Q = 18 \ N$ है।
माना कि परिणामी बल $R = 12 \ N$ छोटे बल $P$ के लंबवत है।
परिणामी बल $R$ और बल $P$ के बीच का कोण $90^o$ है।
परिणामी बल की दिशा का सूत्र $\tan \alpha = \frac{Q \sin \theta}{P + Q \cos \theta}$ है,जहाँ $\theta$ बलों के बीच का कोण है।
चूँकि परिणामी बल $P$ के लंबवत है,$\tan 90^o = \infty$,जिसका अर्थ है $P + Q \cos \theta = 0$,या $\cos \theta = -\frac{P}{Q}$।
परिणामी बल के परिमाण के सूत्र का उपयोग करते हुए: $R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$।
$\cos \theta = -\frac{P}{Q}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$12^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ(-\frac{P}{Q}) = P^2 + Q^2 - 2P^2 = Q^2 - P^2$।
$144 = (Q - P)(Q + P)$।
चूँकि $Q + P = 18$,हमारे पास $144 = (Q - P) \times 18$ है,इसलिए $Q - P = 8$।
समीकरणों $Q + P = 18$ और $Q - P = 8$ को हल करने पर:
समीकरणों को जोड़ने पर: $2Q = 26 \Rightarrow Q = 13 \ N$।
समीकरणों को घटाने पर: $2P = 10 \Rightarrow P = 5 \ N$।
अतः,दोनों बलों के परिमाण $13 \ N$ और $5 \ N$ हैं।

(A) मान लीजिए कि दिए गए सदिश $\vec{a} = 2i + 4j - 5k$ और $\vec{b} = i + 2j + 3k$ हैं।
परिणामी सदिश $\vec{R}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ का योग है:
$\vec{R} = \vec{a} + \vec{b} = (2+1)i + (4+2)j + (-5+3)k = 3i + 6j - 2k$.
परिणामी सदिश का परिमाण $|\vec{R}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$ है।
$\vec{R}$ के समांतर इकाई सदिश $\hat{R}$ को $\hat{R} = \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|} = \frac{3i + 6j - 2k}{7} = \frac{1}{7}(3i + 6j - 2k)$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।

(A) त्रिभुज का केंद्रक वह बिंदु है जहाँ तीनों माध्यिकाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
यदि शीर्षों $A, B,$ और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b},$ और $\vec{c}$ हैं,तो केंद्रक $G$ का स्थिति सदिश शीर्षों के स्थिति सदिशों के अंकगणितीय माध्य के रूप में निकाला जाता है।
अतः,केंद्रक $G$ का स्थिति सदिश $\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।