System of co-ordinates, Direction cosines and direction ratios, Projection Questions in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણો $2l + m + 2n = 0$ $(1)$ અને $3l^2 + 5m^2 - 11n^2 = 0$ $(2)$ છે.
$(1)$ પરથી,$m = -2l - 2n$.
$m$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $3l^2 + 5(-2l - 2n)^2 - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 5(4l^2 + 8ln + 4n^2) - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 20l^2 + 40ln + 20n^2 - 11n^2 = 0$.
$23l^2 + 40ln + 9n^2 = 0$.
$n^2$ વડે ભાગતા: $23(\frac{l}{n})^2 + 40(\frac{l}{n}) + 9 = 0$.
ધારો કે $x = \frac{l}{n}$. તો $23x^2 + 40x + 9 = 0$.
ધારો કે બીજ $x_1 = \frac{l_1}{n_1}$ અને $x_2 = \frac{l_2}{n_2}$ છે.
તો $x_1 x_2 = \frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = \frac{9}{23}$.
તે જ રીતે,$l = -\frac{m+2n}{2}$ ને $(2)$ માં મૂકતા $23m^2 + 12mn - 32n^2 = 0$ મળે છે.
$n^2$ વડે ભાગતા,$23(\frac{m}{n})^2 + 12(\frac{m}{n}) - 32 = 0$.
ધારો કે $y_1 = \frac{m_1}{n_1}$ અને $y_2 = \frac{m_2}{n_2}$. તો $y_1 y_2 = \frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} = -\frac{32}{23}$.
બે રેખાઓ માટે જેમની દિકગુણોત્તર $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ હોય,$\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$.
$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = n_1 n_2 (x_1 x_2 + y_1 y_2 + 1) = n_1 n_2 (\frac{9}{23} - \frac{32}{23} + 1) = n_1 n_2 (\frac{-23}{23} + 1) = 0$.
આમ,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(B) ધારો કે રેખાના દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ છે,જ્યાં $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ છે.
ઘનના ચાર વિકર્ણો $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ સદિશોની દિશામાં છે.
ચાર વિકર્ણોની દિશામાં એકમ સદિશો $\vec{d_1} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$,$\vec{d_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1, 1, 1)$,$\vec{d_3} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, -1, 1)$,અને $\vec{d_4} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, -1)$ છે.
રેખા અને વિકર્ણ સદિશ $\vec{d}$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $|l \cdot d_x + m \cdot d_y + n \cdot d_z|$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}|l+m+n|$,$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{3}}|-l+m+n|$,$\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{3}}|l-m+n|$,અને $\cos \delta = \frac{1}{\sqrt{3}}|l+m-n|$.
આનો વર્ગ કરતા,$\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}(l+m+n)^2$,$\cos^2 \beta = \frac{1}{3}(-l+m+n)^2$,$\cos^2 \gamma = \frac{1}{3}(l-m+n)^2$,અને $\cos^2 \delta = \frac{1}{3}(l+m-n)^2$ મળે છે.
આનો સરવાળો કરતા: $\sum \cos^2 \alpha = \frac{1}{3} [ (l+m+n)^2 + (-l+m+n)^2 + (l-m+n)^2 + (l+m-n)^2 ]$.
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum \cos^2 \alpha = \frac{1}{3} [ 4(l^2+m^2+n^2) ] = \frac{4}{3}(1) = \frac{4}{3}$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sum \sin^2 \alpha = 4 - \sum \cos^2 \alpha = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે અવકાશમાં એક રેખા જે યામ અક્ષો સાથે $\alpha, \beta, \gamma$ ખૂણા બનાવે છે,તેના દિશા કોસાઇન માટે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ થાય છે.
આપેલ પદાવલિ: $E = \cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma + \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$.
નિત્યસમ $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta - \sin^2 \beta) + (\cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma) + \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$E = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + \cos^2 \beta - \sin^2 \beta + \cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma + \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$.
$\sin^2$ વાળા પદો ઉડી જશે:
$E = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma$.
કારણ કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$,તેથી પદાવલિની કિંમત $1$ થાય છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(u, v, w)$ છે.
$P$ એ $O(0, 0, 0), A(3, 0, 0), B(0, 6, 0),$ અને $C(0, 0, 9)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PO^2 = PA^2 = PB^2 = PC^2$ થાય.
$PO^2 = u^2 + v^2 + w^2$.
$PA^2 = (u-3)^2 + v^2 + w^2 = u^2 - 6u + 9 + v^2 + w^2$.
$PO^2 = PA^2$ સરખાવતા,$u^2 = u^2 - 6u + 9$ $\Rightarrow 6u = 9$ $\Rightarrow u = \frac{3}{2}$.
$PB^2 = u^2 + (v-6)^2 + w^2 = u^2 + v^2 - 12v + 36 + w^2$.
$PO^2 = PB^2$ સરખાવતા,$v^2 = v^2 - 12v + 36$ $\Rightarrow 12v = 36$ $\Rightarrow v = 3$.
$PC^2 = u^2 + v^2 + (w-9)^2 = u^2 + v^2 + w^2 - 18w + 81$.
$PO^2 = PC^2$ સરખાવતા,$w^2 = w^2 - 18w + 81$ $\Rightarrow 18w = 81$ $\Rightarrow w = \frac{81}{18} = \frac{9}{2}$.
આમ,$P = \left(\frac{3}{2}, 3, \frac{9}{2}\right)$.
$Q = (2, 5, 8)$ આપેલ છે,બિંદુ $R$ એ $PQ$ નું $3:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્ર $\left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}, \frac{mz_2 + nz_1}{m+n}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$R = \left(\frac{3(2) + 2(\frac{3}{2})}{3+2}, \frac{3(5) + 2(3)}{3+2}, \frac{3(8) + 2(\frac{9}{2})}{3+2}\right)$
$R = \left(\frac{6+3}{5}, \frac{15+6}{5}, \frac{24+9}{5}\right) = \left(\frac{9}{5}, \frac{21}{5}, \frac{33}{5}\right)$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(3, 4, 5)$,$B(4, 6, 3)$,$C(-1, 2, 4)$ અને $D(1, 0, 5)$ છે.
પ્રથમ,આપણે $A$ અને $B$ ને જોડતા રેખાખંડનો સદિશ $\overrightarrow{AB}$ મેળવીએ:
$\overrightarrow{AB} = (4-3)\hat{i} + (6-4)\hat{j} + (3-5)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
ત્યારબાદ,$C$ અને $D$ ને જોડતી રેખાનો સદિશ $\overrightarrow{CD}$ મેળવીએ:
$\overrightarrow{CD} = (1 - (-1))\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (5-4)\hat{k} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
સદિશ $\overrightarrow{AB}$ નો સદિશ $\overrightarrow{CD}$ પરના પ્રક્ષેપની લંબાઈનું સૂત્ર $\left| \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|} \right|$ છે.
અદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (1)(2) + (2)(-2) + (-2)(1) = 2 - 4 - 2 = -4$.
$\overrightarrow{CD}$ નું માન $|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
તેથી,પ્રક્ષેપની લંબાઈ $\left| \frac{-4}{3} \right| = \frac{4}{3}$ થાય.

(D) કારણ કે $OA$ એ $OX, OY$ અને $OZ$ અક્ષો સાથે સમાન રીતે નમેલું છે,તેથી તેના દિકકોસાઇન સમાન છે. ધારો કે $A$ ના યામ $(a, a, a)$ છે.
આપેલ છે કે $A$ નું ઉગમબિંદુ $O(0,0,0)$ થી અંતર $\sqrt{3}$ એકમ છે.
તેથી,$\sqrt{(a-0)^2 + (a-0)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{3}$.
$\sqrt{3a^2} = \sqrt{3}$.
$|a|\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
$|a| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $a = 1$ અથવા $a = -1$.
આમ,$A$ ના યામ $(1, 1, 1)$ અથવા $(-1, -1, -1)$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $(1, 1, 1)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $2l+m-n=0$ $(1)$ અને $l^2-2m^2+n^2=0$ $(2)$ છે.
$(1)$ પરથી,$n = 2l+m$.
$n$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $l^2 - 2m^2 + (2l+m)^2 = 0$.
$l^2 - 2m^2 + 4l^2 + 4lm + m^2 = 0$.
$5l^2 + 4lm - m^2 = 0$.
$m^2$ વડે ભાગતા: $5(l/m)^2 + 4(l/m) - 1 = 0$.
ધારો કે $x = l/m$,તો $5x^2 + 4x - 1 = 0$.
$(5x-1)(x+1) = 0$,તેથી $x = 1/5$ અથવા $x = -1$.
કિસ્સો $1$: $l/m = 1/5 \implies m = 5l$. તો $n = 2l + 5l = 7l$. દિકગુણોત્તર $(1, 5, 7)$ છે.
કિસ્સો $2$: $l/m = -1 \implies m = -l$. તો $n = 2l - l = l$. દિકગુણોત્તર $(1, -1, 1)$ છે.
બે રેખાઓના દિકગુણોત્તર $\vec{a} = (1, 5, 7)$ અને $\vec{b} = (1, -1, 1)$ છે.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(1) + (5)(-1) + (7)(1)|}{\sqrt{1^2+5^2+7^2} \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}} = \frac{|1-5+7|}{\sqrt{75} \sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{225}} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.

(A) ધારો કે રેખાના દિશા ખૂણાઓ $\alpha = 60^{\circ}$,$\beta = 45^{\circ}$ અને $\gamma = \theta$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખાના દિશા કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $1$ થાય છે,જે સૂત્ર $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\cos^2 60^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 \theta = 1$ મળે છે.
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ અને $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$\theta$ લઘુકોણ હોવાથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
આમ,$\theta = 60^{\circ}$.
તેથી,$\tan \theta = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$.

(B) આપેલ છે: $l-m+n=0$ $\Rightarrow m=l+n$ $(i)$
$m=l+n$ ને $2lm-3mn+nl=0$ માં મૂકતા:
$2l(l+n)-3(l+n)n+nl=0$
$2l^2+2ln-3ln-3n^2+nl=0$
$2l^2-3n^2=0$
$l^2 = \frac{3}{2}n^2$
ધારો કે $n=1$,તો $l^2 = \frac{3}{2} \Rightarrow l = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$.
$l_1 = \sqrt{\frac{3}{2}}$ માટે,$m_1 = \sqrt{\frac{3}{2}}+1$.
$l_2 = -\sqrt{\frac{3}{2}}$ માટે,$m_2 = -\sqrt{\frac{3}{2}}+1$.
બે રેખાઓના દિક્ગુણોત્તરો $\vec{a} = (\sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{\frac{3}{2}}+1, 1)$ અને $\vec{b} = (-\sqrt{\frac{3}{2}}, 1-\sqrt{\frac{3}{2}}, 1)$ છે.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{|-\frac{3}{2} + (1-\frac{3}{2}) + 1|}{\sqrt{\frac{3}{2} + (\frac{3}{2}+1+2\sqrt{\frac{3}{2}}) + 1} \cdot \sqrt{\frac{3}{2} + (1+\frac{3}{2}-2\sqrt{\frac{3}{2}}) + 1}}$
$\cos \theta = \frac{|-1|}{\sqrt{16-6}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

(A) બે રેખાઓની દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ માટે આપેલા સંબંધો:
$l+m+n=0$ અને $lm=0$
$lm=0$ પરથી,આપણી પાસે બે કિસ્સાઓ છે: $l=0$ અથવા $m=0$.
કિસ્સો $1$: જો $l=0$,તો $0+m+n=0 \Rightarrow n=-m$. દિકગુણોત્તર $(0, m, -m)$ મળે,જે $(0, 1, -1)$ તરીકે લખી શકાય.
કિસ્સો $2$: જો $m=0$,તો $l+0+n=0 \Rightarrow n=-l$. દિકગુણોત્તર $(l, 0, -l)$ મળે,જે $(1, 0, -1)$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે દિક સદિશો $\vec{a} = (0, 1, -1)$ અને $\vec{b} = (1, 0, -1)$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટે $\cos \theta$ નું સૂત્ર:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1)|}{\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}}$
$\cos \theta = \frac{|0 + 0 + 1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણો $3l+2m+n=0$ ...$(1)$ અને $2mn-3nl+5lm=0$ ...$(2)$ છે.
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$n = -(3l+2m)$.
આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2m(-(3l+2m)) - 3l(-(3l+2m)) + 5lm = 0$
$-6ml - 4m^2 + 9l^2 + 6lm + 5lm = 0$
$9l^2 + 5lm - 4m^2 = 0$.
$m^2$ વડે ભાગતા ($m \neq 0$ ધારીને),આપણને $9(\frac{l}{m})^2 + 5(\frac{l}{m}) - 4 = 0$ મળે છે.
ધારો કે $t = \frac{l}{m}$,તો $9t^2 + 5t - 4 = 0$.
$(9t-4)(t+1) = 0$,તેથી $t = \frac{4}{9}$ અથવા $t = -1$.
કિસ્સો $1$: $t = -1 \Rightarrow l = -m$. તો $n = -(3(-m)+2m) = m$. દિકગુણોત્તર $(-1, 1, 1)$ છે.
કિસ્સો $2$: $t = \frac{4}{9} \Rightarrow l = \frac{4}{9}m$. તો $n = -(3(\frac{4}{9}m)+2m) = -(\frac{4}{3}m+2m) = -\frac{10}{3}m$. દિકગુણોત્તર $(\frac{4}{9}, 1, -\frac{10}{3})$ છે,જે $(4, 9, -30)$ ને સમાન છે.
ધારો કે દિક સદિશો $\vec{a} = (-1, 1, 1)$ અને $\vec{b} = (4, 9, -30)$ છે.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(-1)(4) + (1)(9) + (1)(-30)|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2} \sqrt{4^2+9^2+(-30)^2}}$
$= \frac{|-4 + 9 - 30|}{\sqrt{3} \sqrt{16+81+900}} = \frac{|-25|}{\sqrt{3} \sqrt{997}} = \frac{25}{\sqrt{2991}}$.

(C) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ ના દિકકોસાઇન અનુક્રમે $(\ell, m, n)$ અને $(a, b, c)$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિકકોસાઇન $(\ell_1, m_1, n_1)$ અને $(\ell_2, m_2, n_2)$ હોય,તેના ખૂણાના દ્વિભાજકોના દિકગુણોત્તર $(\ell_1 \pm \ell_2, m_1 \pm m_2, n_1 \pm n_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,આપેલી રેખાઓ માટે,દ્વિભાજકોના દિકગુણોત્તર $(\ell \pm a, m \pm b, n \pm c)$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) બે રેખાઓના દિક્-ગુણોત્તરો $(a, b, c)$ વચ્ચેના સંબંધો આપેલ છે:
$a - b + c = 0$ $(i)$
$a^2 - b^2 + 2c^2 = 0$ $(ii)$
$(i)$ પરથી,$c = b - a$ મળે.
આ કિંમતને $(ii)$ માં મૂકતા:
$a^2 - b^2 + 2(b - a)^2 = 0$
$a^2 - b^2 + 2(b^2 - 2ab + a^2) = 0$
$a^2 - b^2 + 2b^2 - 4ab + 2a^2 = 0$
$3a^2 - 4ab + b^2 = 0$
$(3a - b)(a - b) = 0$
આનાથી બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $b = 3a \implies a:b = 1:3$. તેથી $c = b - a = 3a - a = 2a$. આમ,દિક્-ગુણોત્તરો $(1, 3, 2)$ છે.
કિસ્સો $2$: $b = a \implies a:b = 1:1$. તેથી $c = b - a = a - a = 0$. આમ,દિક્-ગુણોત્તરો $(1, 1, 0)$ છે.
દિક્-ગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1) = (1, 3, 2)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (1, 1, 0)$ ધરાવતી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
$\cos \theta = \frac{|(1)(1) + (3)(1) + (2)(0)|}{\sqrt{1^2 + 3^2 + 2^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}}$
$\cos \theta = \frac{|1 + 3 + 0|}{\sqrt{1 + 9 + 4} \sqrt{1 + 1 + 0}} = \frac{4}{\sqrt{14} \sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{28}} = \frac{4}{2\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(2, 3, -1)$ અને $O(0, 0, 0)$ છે.
રેખા $OA$ ના દિક્ગુણોત્તર $(2-0, 3-0, -1-0) = (2, 3, -1)$ છે.
અંતર $OA = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$ છે.
દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ એ $\frac{a}{r}, \frac{b}{r}, \frac{c}{r}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $(a, b, c)$ દિક્ગુણોત્તર છે અને $r$ અંતર છે.
તેથી,$l = \frac{2}{\sqrt{14}}, m = \frac{3}{\sqrt{14}}, n = \frac{-1}{\sqrt{14}}$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,રેખા $AO$ માટે,દિક્ગુણોત્તર $(0-2, 0-3, 0-(-1)) = (-2, -3, 1)$ છે.
તેથી દિક્કોસાઇન $\frac{-2}{\sqrt{14}}, \frac{-3}{\sqrt{14}}, \frac{1}{\sqrt{14}}$ મળે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે કે બે રેખાઓના દિકગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1) = (2, -1, 2)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (K, -3, -5)$ છે,અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
બે રેખાઓના દિકગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ વચ્ચેના ખૂણા માટેનું સૂત્ર:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\cos 60^{\circ} = \frac{|2K + (-1)(-3) + 2(-5)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} \sqrt{K^2 + (-3)^2 + (-5)^2}}$
$\frac{1}{2} = \frac{|2K + 3 - 10|}{\sqrt{4 + 1 + 4} \sqrt{K^2 + 9 + 25}}$
$\frac{1}{2} = \frac{|2K - 7|}{3 \sqrt{K^2 + 34}}$
$3 \sqrt{K^2 + 34} = 2 |2K - 7|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$9(K^2 + 34) = 4(2K - 7)^2$
$9K^2 + 306 = 4(4K^2 - 28K + 49)$
$9K^2 + 306 = 16K^2 - 112K + 196$
$7K^2 - 112K - 110 = 0$

(C) રેખા $OP$ એ ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના દિકગુણોત્તરો $3, -2, 6$ છે.
તેથી,આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ના યામ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે $(3\lambda, -2\lambda, 6\lambda)$ તરીકે લખી શકાય છે.
ઉગમબિંદુ $O$ થી બિંદુ $P$ નું અંતર $|OP| = \sqrt{(3\lambda)^2 + (-2\lambda)^2 + (6\lambda)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $|OP| = 63$,તેથી:
$\sqrt{9\lambda^2 + 4\lambda^2 + 36\lambda^2} = 63$
$\sqrt{49\lambda^2} = 63$
$7|\lambda| = 63$
$|\lambda| = 9$
જો $\lambda = 9$ લઈએ,તો $P$ ના યામ $(3(9), -2(9), 6(9)) = (27, -18, 54)$ મળે છે.
જો $\lambda = -9$ લઈએ,તો $P$ ના યામ $(-27, 18, -54)$ મળે છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચા યામ $(27, -18, 54)$ છે.

(A) ધારો કે સદિશ $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
તેના દિક્ગુણોત્તરો $(a, b, c) = (1, 1, -2)$ છે.
સદિશનું માન $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$ છે.
દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ એ $\left(\frac{a}{|\vec{a}|}, \frac{b}{|\vec{a}|}, \frac{c}{|\vec{a}|}\right)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{-2}{\sqrt{6}}\right)$ મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે દિક્કોસાઇન $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,અને $n = \cos \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વળી,દિક્કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ થાય છે.
આપણે $S = lm + mn + nl$ પદાવલિને મહત્તમ કરવા માંગીએ છીએ.
નિત્યસમ $(l + m + n)^2 = l^2 + m^2 + n^2 + 2(lm + mn + nl)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $2(lm + mn + nl) = (l + m + n)^2 - (l^2 + m^2 + n^2) = (l + m + n)^2 - 1$.
$lm + mn + nl$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $(l + m + n)^2$ ને મહત્તમ કરવું પડશે.
કોશી-શ્વાર્ટ્ઝ અસમતા મુજબ,$(l + m + n)^2 \leq (1^2 + 1^2 + 1^2)(l^2 + m^2 + n^2) = 3(1) = 3$.
સમાનતા ત્યારે જ મળે જ્યારે $l = m = n$ હોય.
કારણ કે $l = \cos \alpha, m = \cos \beta, n = \cos \gamma$,આનો અર્થ એ છે કે $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \beta = \gamma$ (ખૂણા $0$ અને $\pi$ ની વચ્ચે છે).
આમ,મહત્તમ કિંમત ત્યારે મળે છે જ્યારે $\alpha = \beta = \gamma$ હોય.

(B) દિશા ગુણોત્તરો $(l, m, n)$ માટે આપેલા સમીકરણો $l+m+n=0$ અને $l^2=m^2+n^2$ છે.
$l+m+n=0$ પરથી,આપણને $l=-(m+n)$ મળે છે.
આ કિંમતને $l^2=m^2+n^2$ માં મૂકતા,$(-(m+n))^2 = m^2+n^2$ મળે છે.
$m^2+n^2+2mn = m^2+n^2$,જેનો અર્થ છે કે $2mn=0$,તેથી $mn=0$.
આનાથી બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $I$: $m=0$. તો $l=-n$. ધારો કે દિશા ગુણોત્તરો $(k, 0, -k)$ છે. એકમ સદિશ $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
કિસ્સો $II$: $n=0$. તો $l=-m$. ધારો કે દિશા ગુણોત્તરો $(k, -k, 0)$ છે. એકમ સદિશ $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ છે.
ધારો કે $\vec{a} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$.
તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (0)(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(0)| = |\frac{1}{2} + 0 + 0| = \frac{1}{2}$.
તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$,એટલે કે $\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણો $3l + m + 5n = 0$ અને $6mn - 2nl + 5lm = 0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$m = -3l - 5n$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$6n(-3l - 5n) - 2nl + 5l(-3l - 5n) = 0$
$-18nl - 30n^2 - 2nl - 15l^2 - 25nl = 0$
$-15l^2 - 45nl - 30n^2 = 0$
$-15$ વડે ભાગતા:
$l^2 + 3nl + 2n^2 = 0$
$(l + n)(l + 2n) = 0$
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $l = -n$. $m = -3l - 5n$ માં મૂકતા,$m = -3(-n) - 5n = 3n - 5n = -2n$ મળે છે.
દિક્ગુણોત્તર $(-n, -2n, n)$ છે,જે $(1, 2, -1)$ તરીકે સરળ બને છે.
કિસ્સો $2$: $l = -2n$. $m = -3l - 5n$ માં મૂકતા,$m = -3(-2n) - 5n = 6n - 5n = n$ મળે છે.
દિક્ગુણોત્તર $(-2n, n, n)$ છે,જે $(-2, 1, 1)$ તરીકે સરળ બને છે.
ધારો કે દિક્ગુણોત્તર $\vec{a} = (1, 2, -1)$ અને $\vec{b} = (-2, 1, 1)$ છે.
ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન નીચે મુજબ મળે છે:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(-2) + (2)(1) + (-1)(1)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2}}$
$\cos \theta = \frac{|-2 + 2 - 1|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{|-1|}{6} = \frac{1}{6}$.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$ab + bc + ca = 0$ --- $(1)$
$6ab + 9bc + 8ca = 0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $6$ વડે ગુણતા:
$6ab + 6bc + 6ca = 0$ --- $(3)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા:
$(6ab + 9bc + 8ca) - (6ab + 6bc + 6ca) = 0$
$3bc + 2ca = 0 \Rightarrow c(3b + 2a) = 0$.
અહીં $c \neq 0$ હોવાથી,$2a = -3b$ મળે,એટલે કે $a/(-3) = b/2$.
$a = -3k$ અને $b = 2k$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(-3k)(2k) + (2k)c + c(-3k) = 0$
$-6k^2 - kc = 0 \Rightarrow c = -6k$.
આમ,દિકગુણોત્તરો $(-3k, 2k, -6k)$ ના પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $(-3, 2, -6)$.
તેનું મૂલ્ય $\sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$ છે.
તેથી,દિકકોસાઇન $\frac{-3}{7}, \frac{2}{7}, \frac{-6}{7}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)$ અને $C(x_3, y_3, z_3)$ છે.
આપેલ છે કે $E, F, G$ એ અનુક્રમે $AB, BC, CA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે:
$\frac{x_1+x_2}{2}=1, \frac{y_1+y_2}{2}=0, \frac{z_1+z_2}{2}=0$ $(1)$
$\frac{x_2+x_3}{2}=0, \frac{y_2+y_3}{2}=2, \frac{z_2+z_3}{2}=0$ $(2)$
$\frac{x_3+x_1}{2}=0, \frac{y_3+y_1}{2}=0, \frac{z_3+z_1}{2}=3$ $(3)$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $A(1, -2, 3), B(1, 2, -3), C(-1, 2, 3)$ મળે છે.
$AF$ ના દિકગુણોત્તરો (જ્યાં $F$ એ $(0, 2, 0)$ છે): $a_1 = 0-1 = -1, b_1 = 2-(-2) = 4, c_1 = 0-3 = -3$. તેથી $a_1^2+b_1^2+c_1^2 = (-1)^2+4^2+(-3)^2 = 1+16+9 = 26$.
$BG$ ના દિકગુણોત્તરો (જ્યાં $G$ એ $(0, 0, 3)$ છે): $a_2 = 0-1 = -1, b_2 = 0-2 = -2, c_2 = 3-(-3) = 6$. તેથી $a_2^2+b_2^2+c_2^2 = (-1)^2+(-2)^2+6^2 = 1+4+36 = 41$.
તેથી,$\frac{a_1^2+b_1^2+c_1^2}{a_2^2+b_2^2+c_2^2} = \frac{26}{41}$.

(C) બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તે સમાંતર ત્યારે જ કહેવાય જો $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ થાય.
અહીં $L_1$ માટે દિકગુણોત્તર $(2, 5, 7)$ અને $L_2$ માટે $(\frac{4}{\sqrt{19}}, \frac{10}{\sqrt{19}}, \frac{14}{\sqrt{19}})$ આપેલ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{2}{4/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$,$\frac{5}{10/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$,અને $\frac{7}{14/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$.
બધા ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ સમાંતર છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
શરત $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ એ બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાની શરત છે,સમાંતર હોવાની નહીં. તેથી,$(R)$ ખોટું છે.
આમ,$(A)$ સાચું છે પણ $(R)$ ખોટું છે.

(B) આપેલ સમીકરણો $a+b+c=0$ અને $2ab+2ac-bc=0$ છે.
બીજા સમીકરણમાં $a=-(b+c)$ મુકતા:
$-2(b+c)b - 2(b+c)c - bc = 0$
$-2b^2 - 2bc - 2bc - 2c^2 - bc = 0$
$-2b^2 - 5bc - 2c^2 = 0$
$2b^2 + 5bc + 2c^2 = 0$
$(2b+c)(b+2c) = 0$.
કિસ્સો $1$: $b = -2c$. તો $a = -(-2c+c) = c$. દિક્-ગુણોત્તરો $(1, -2, 1)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $b = -c/2$. તો $a = -(-c/2+c) = -c/2$. દિક્-ગુણોત્તરો $(-1/2, -1/2, 1)$ મળે છે,જે $(1, 1, -2)$ ને સમાન છે.
ધારો કે દિક્-ગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1) = (1, -2, 1)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (1, 1, -2)$ છે.
સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \theta = \frac{|(1)(1) + (-2)(1) + (1)(-2)|}{\sqrt{1+4+1} \sqrt{1+1+4}} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{|-3|}{6} = \frac{1}{2}$.
આપણે ગુરુકોણ શોધવાનો હોવાથી,$\cos \theta = -1/2$ લેતા,$\theta = \frac{2 \pi}{3}$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $a+2b+c=0$ $(i)$ અને $11bc+6ca-14ab=0$ (ii) છે.
$(i)$ પરથી,$b = \frac{-(a+c)}{2}$.
આ કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$11\left(\frac{-(a+c)}{2}\right)c + 6ac - 14a\left(\frac{-(a+c)}{2}\right) = 0$
$\Rightarrow -\frac{11}{2}ac - \frac{11}{2}c^2 + 6ac + 7a^2 + 7ac = 0$
$2$ વડે ગુણતા: $-11ac - 11c^2 + 12ac + 14a^2 + 14ac = 0$
$\Rightarrow 14a^2 + 15ac - 11c^2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(7a+11c)(2a-c) = 0$.
કિસ્સો $1$: $2a = c \Rightarrow a = 1, c = 2$. તો $b = \frac{-(1+2)}{2} = -1.5$. અપૂર્ણાંક ટાળવા માટે,$a=2, c=4, b=-3$ લો. દિકગુણોત્તરો: $(2, -3, 4)$.
કિસ્સો $2$: $7a = -11c \Rightarrow a = -11, c = 7$. તો $b = \frac{-(-11+7)}{2} = 2$. દિકગુણોત્તરો: $(-11, 2, 7)$.
ધારો કે દિકગુણોત્તરો $\vec{n_1} = (2, -3, 4)$ અને $\vec{n_2} = (-11, 2, 7)$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(-11) + (-3)(2) + (4)(7) = -22 - 6 + 28 = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(A) દિક્કોસાઈન માટે આપેલા સમીકરણો $a l + b m + c n = 0$ $(1)$ અને $m n + n l + l m = 0$ $(2)$ છે.
$(1)$ પરથી,$n = -\frac{a l + b m}{c}$.
આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$m \left( -\frac{a l + b m}{c} \right) + l \left( -\frac{a l + b m}{c} \right) + l m = 0$.
$-c$ વડે ગુણતા:
$m(a l + b m) + l(a l + b m) - c l m = 0$.
$a l^2 + b m^2 + a l m + b l m - c l m = 0$.
$a l^2 + (a + b - c) l m + b m^2 = 0$.
$m^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $a \left( \frac{l}{m} \right)^2 + (a + b - c) \left( \frac{l}{m} \right) + b = 0$.
ધારો કે બે રેખાઓના દિક્કોસાઈન $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ છે. દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\frac{l_1}{m_1}$ અને $\frac{l_2}{m_2}$ છે.
તેથી,$\frac{l_1 l_2}{m_1 m_2} = \frac{b}{a}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{l_1 l_2}{b} = \frac{m_1 m_2}{a}$.
સમાનતા દ્વારા,$\frac{l_1 l_2}{1/a} = \frac{m_1 m_2}{1/b} = \frac{n_1 n_2}{1/c} = k$.
રેખાઓ લંબ હોય જો $l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $k \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = 0$.
$k \neq 0$ હોવાથી,શરત $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ છે.

(C) દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ માટે આપેલા સમીકરણો:
$l+m+n=0$ --- $(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ --- $(ii)$
$(i)$ પરથી,$n = -(l+m)$.
આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$l^2 + m^2 - (-(l+m))^2 = 0$
$l^2 + m^2 - (l^2 + m^2 + 2lm) = 0$
$-2lm = 0 \Rightarrow lm = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $l=0$ અથવા $m=0$.
કિસ્સો $1$: જો $l=0$ હોય,તો $(i)$ પરથી,$m+n=0 \Rightarrow m=-n$. ધારો કે $m=1$,તો $n=-1$. દિકગુણોત્તર $(0, 1, -1)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $m=0$ હોય,તો $(i)$ પરથી,$l+n=0 \Rightarrow l=-n$. ધારો કે $l=1$,તો $n=-1$. દિકગુણોત્તર $(1, 0, -1)$ મળે છે.
ધારો કે બે સદિશો $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ અને $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ છે.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 1$.
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(D) દિક્કોસાઈન $(l, m, n)$ માટે આપેલ સમીકરણો:
$l+m+n=0 \Rightarrow m=-(l+n) \quad (i)$
$2lm+2ln-mn=0 \quad (ii)$
$m=-(l+n)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$2l(-(l+n)) + 2ln - (-(l+n))n = 0$
$-2l^2 - 2ln + 2ln + ln + n^2 = 0$
$-2l^2 + ln + n^2 = 0$
$2l^2 - ln - n^2 = 0$
$(2l+n)(l-n) = 0$
આના બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $l=n$. $(i)$ પરથી,$m=-(n+n)=-2n$. તેથી,$(l, m, n) = (n, -2n, n)$,જે દિક્ગુણોત્તર $(1, -2, 1)$ આપે છે.
કિસ્સો $2$: $2l=-n \Rightarrow l=-\frac{n}{2}$. $(i)$ પરથી,$m=-(-\frac{n}{2}+n) = -\frac{n}{2}$. તેથી,$(l, m, n) = (-\frac{n}{2}, -\frac{n}{2}, n)$,જે દિક્ગુણોત્તર $(1, 1, -2)$ આપે છે.
ધારો કે દિક્ગુણોત્તર $\vec{a} = (1, -2, 1)$ અને $\vec{b} = (1, 1, -2)$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\cos \theta = \left| \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \right| = \left| \frac{(1)(1) + (-2)(1) + (1)(-2)}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2} \sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{1 - 2 - 2}{\sqrt{6} \sqrt{6}} \right| = \left| \frac{-3}{6} \right| = \frac{1}{2}$
$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^{\circ}$.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$l+3m+5n=0$ --- $(i)$
$5lm-2mn+6ln=0$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$l = -3m - 5n$.
આ કિંમતને $(ii)$ માં મૂકતા:
$5(-3m-5n)m - 2mn + 6(-3m-5n)n = 0$
$-15m^2 - 25mn - 2mn - 18mn - 30n^2 = 0$
$-15m^2 - 45mn - 30n^2 = 0$
$-15$ વડે ભાગતા:
$m^2 + 3mn + 2n^2 = 0$
$(m+n)(m+2n) = 0$
કિસ્સો $1$: $m = -n$. તો $l = -3(-n) - 5n = -2n$. દિકગુણોત્તર $(-2n, -n, n)$ અથવા $(2, 1, -1)$ મળે.
કિસ્સો $2$: $m = -2n$. તો $l = -3(-2n) - 5n = n$. દિકગુણોત્તર $(n, -2n, n)$ અથવા $(1, -2, 1)$ મળે.
ધારો કે દિકગુણોત્તર $\vec{a} = (2, 1, -1)$ અને $\vec{b} = (1, -2, 1)$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(2)(1) + (1)(-2) + (-1)(1)|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} \sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}}$
$\cos \theta = \frac{|2 - 2 - 1|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{|-1|}{6} = \frac{1}{6}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)$.

(B) બે રેખાઓના દિક્કોસાઈન $(l_1, m_1, n_1) = \left(-\frac{2}{\sqrt{21}}, \frac{C}{\sqrt{21}}, \frac{1}{\sqrt{21}}\right)$ અને $(l_2, m_2, n_2) = \left(\frac{3}{\sqrt{54}}, \frac{3}{\sqrt{54}}, -\frac{6}{\sqrt{54}}\right)$ આપેલ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
પરસ્પર લંબ રેખાઓ માટેની શરત $l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\left(-\frac{2}{\sqrt{21}}\right) \left(\frac{3}{\sqrt{54}}\right) + \left(\frac{C}{\sqrt{21}}\right) \left(\frac{3}{\sqrt{54}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{21}}\right) \left(-\frac{6}{\sqrt{54}}\right) = 0$
$\frac{-6}{\sqrt{21}\sqrt{54}} + \frac{3C}{\sqrt{21}\sqrt{54}} - \frac{6}{\sqrt{21}\sqrt{54}} = 0$
બંને બાજુ $\sqrt{21}\sqrt{54}$ વડે ગુણતા:
$-6 + 3C - 6 = 0$
$3C - 12 = 0$
$3C = 12$
$C = 4$.

(D) દિકકોસાઇન $l, m, n$ માટે આપેલ સમીકરણો:
$l+m+n=0 \implies n = -(l+m)$
$n$ ની કિંમત $l^2-5m^2+n^2=0$ માં મૂકતા:
$l^2-5m^2+(-l-m)^2=0$
$l^2-5m^2+l^2+2lm+m^2=0$
$2l^2+2lm-4m^2=0$
$l^2+lm-2m^2=0$
$(l+2m)(l-m)=0$
કિસ્સો $1$: $l=m$. તો $n = -(l+m) = -2l$. દિકગુણોત્તર $(l, l, -2l)$ એટલે કે $(1, 1, -2)$ મળે.
પ્રમાણિત દિકકોસાઇન $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$.
કિસ્સો $2$: $l=-2m$. તો $n = -(-2m+m) = m$. દિકગુણોત્તર $(-2m, m, m)$ એટલે કે $(-2, 1, 1)$ મળે.
પ્રમાણિત દિકકોસાઇન $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$.
ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{6}})(-\frac{2}{\sqrt{6}}) + (\frac{1}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}}) + (-\frac{2}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}})|$
$\cos \theta = |-\frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6}| = |-\frac{3}{6}| = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.