Line Questions in Hindi

(A) बिंदुओं $P(1, 2, 1)$ और $Q(2, 1, -1)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ के दिक अनुपात $(2-1, 1-2, -1-1) = (1, -1, -2)$ हैं।
रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-1}{-2} = k$ है।
रेखा $L$ पर कोई भी बिंदु $C = (k+1, -k+2, -2k+1)$ है।
चूंकि $AC$ रेखा $L$ के लंबवत है,$AC$ के दिक अनुपात $(k+1-2, -k+2-2, -2k+1-2) = (k-1, -k, -2k-1)$ हैं।
$AC \perp L$ होने के कारण,उनके दिक अनुपातों का डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$1(k-1) + (-1)(-k) + (-2)(-2k-1) = 0$
$k - 1 + k + 4k + 2 = 0$
$6k + 1 = 0 \Rightarrow k = -\frac{1}{6}$.
$C$ के निर्देशांकों में $k$ का मान रखने पर,$C = (1 - \frac{1}{6}, 2 + \frac{1}{6}, 1 + \frac{2}{6}) = (\frac{5}{6}, \frac{13}{6}, \frac{8}{6})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $C$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,जहाँ $B = (\alpha, \beta, \gamma)$ और $A = (2, 2, 2)$ है:
$\frac{\alpha+2}{2} = \frac{5}{6} \Rightarrow \alpha+2 = \frac{5}{3} \Rightarrow \alpha = -\frac{1}{3}$.
$\frac{\beta+2}{2} = \frac{13}{6} \Rightarrow \beta+2 = \frac{13}{3} \Rightarrow \beta = \frac{7}{3}$.
$\frac{\gamma+2}{2} = \frac{8}{6} \Rightarrow \gamma+2 = \frac{8}{3} \Rightarrow \gamma = \frac{2}{3}$.
अब,$\alpha + \beta + 6\gamma = -\frac{1}{3} + \frac{7}{3} + 6(\frac{2}{3}) = \frac{6}{3} + 4 = 2 + 4 = 6$.

(C) मान लीजिए पहली रेखा $\frac{x+6}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}=\lambda$ है। इस रेखा पर सामान्य बिंदु $(3\lambda-6, 2\lambda, \lambda-1)$ है।
मान लीजिए दूसरी रेखा $\frac{x-7}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-4}{2}=\mu$ है। इस रेखा पर सामान्य बिंदु $(4\mu+7, 3\mu+9, 2\mu+4)$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$3\lambda-6 = 4\mu+7 \Rightarrow 3\lambda-4\mu = 13$ (समीकरण $1$)
$2\lambda = 3\mu+9 \Rightarrow 2\lambda-3\mu = 9$ (समीकरण $2$)
इन समीकरणों को हल करने पर:
समीकरण $1$ को $2$ से और समीकरण $2$ को $3$ से गुणा करने पर:
$6\lambda-8\mu = 26$
$6\lambda-9\mu = 27$
दोनों समीकरणों को घटाने पर $\mu = -1$ प्राप्त होता है।
$\mu = -1$ को समीकरण $2$ में रखने पर: $2\lambda - 3(-1) = 9 \Rightarrow 2\lambda = 6 \Rightarrow \lambda = 3$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(3(3)-6, 2(3), 3-1) = (3, 6, 2)$ है।
बिंदु $(3, 6, 2)$ से $(7, 8, 9)$ तक की दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d^2 = (7-3)^2 + (8-6)^2 + (9-2)^2 = 4^2 + 2^2 + 7^2 = 16 + 4 + 49 = 69$.
अतः,$d^2+6 = 69+6 = 75$.

(D) दी गई रेखाएँ $\frac{2-x}{3}=\frac{3y-2}{4\lambda+1}=4-z$ और $\frac{x+3}{3\mu}=\frac{1-2y}{6}=\frac{5-z}{7}$ हैं।
सबसे पहले,रेखाओं को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
पहली रेखा के लिए: $\frac{x-2}{-3}=\frac{y-2/3}{(4\lambda+1)/3}=\frac{z-4}{-1}$। दिशा सदिश $\vec{v_1} = (-3, \frac{4\lambda+1}{3}, -1)$ है।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{x+3}{3\mu}=\frac{y-1/2}{-3}=\frac{z-5}{-7}$। दिशा सदिश $\vec{v_2} = (3\mu, -3, -7)$ है।
चूँकि रेखाएँ लंबवत हैं,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(-3)(3\mu) + (\frac{4\lambda+1}{3})(-3) + (-1)(-7) = 0$.
$-9\mu - (4\lambda+1) + 7 = 0$.
$-9\mu - 4\lambda - 1 + 7 = 0$.
$-4\lambda - 9\mu + 6 = 0$.
$4\lambda + 9\mu = 6$.

(C) मान लीजिए रेखा $L: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-2}{5} = \lambda$ है। रेखा पर कोई भी बिंदु $M(2\lambda+1, 3\lambda-1, 5\lambda+2)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $M$,बिंदु $A(8, 5, 7)$ से रेखा पर लंब का पाद है,सदिश $\overrightarrow{AM}$ रेखा के दिशा सदिश $\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ के लंबवत है।
$\overrightarrow{AM} = (2\lambda-7)\hat{i} + (3\lambda-6)\hat{j} + (5\lambda-5)\hat{k}$.
$\overrightarrow{AM} \cdot \vec{v} = 0$ होने के कारण:
$2(2\lambda-7) + 3(3\lambda-6) + 5(5\lambda-5) = 0$
$38\lambda - 57 = 0 \implies \lambda = \frac{3}{2}$.
$M$ में $\lambda = \frac{3}{2}$ रखने पर,$M(4, \frac{7}{2}, \frac{19}{2})$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $A'(\alpha, \beta, \gamma)$ बिंदु $A$ का प्रतिबिंब है। चूंकि $M$,$AA'$ का मध्य बिंदु है,इसलिए:
$\frac{\alpha+8}{2} = 4 \implies \alpha = 0$
$\frac{\beta+5}{2} = \frac{7}{2} \implies \beta = 2$
$\frac{\gamma+7}{2} = \frac{19}{2} \implies \gamma = 12$
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = 0 + 2 + 12 = 14$.

(D) मान लीजिए कि दो रेखाएं $L_1: \frac{x+2}{-3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-5}{2} = \lambda$ और $L_2: \frac{x+2}{-1}=\frac{y+6}{2}=\frac{z-1}{0} = \mu$ हैं।
$L_1$ पर कोई बिंदु $P(-3\lambda-2, 4\lambda+2, 2\lambda+5)$ है और $L_2$ पर कोई बिंदु $Q(-\mu-2, 2\mu-6, 1)$ है।
न्यूनतम दूरी की रेखा $PQ$ के दिक-अनुपात $L_1$ और $L_2$ के दिक-सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट के समानुपाती होते हैं,जो $\vec{v_1} = -3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{v_2} = -1\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ हैं।
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 4 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-4) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(-6 - (-4)) = -4\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
यह सदिश $2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के समानांतर है।
सदिश $\vec{PQ} = ((\mu-3\lambda)\hat{i} + (4\lambda-2\mu+8)\hat{j} + (2\lambda+4)\hat{k})$ है।
चूंकि $\vec{PQ}$ सदिश $2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के समानांतर है,इसलिए $\frac{\mu-3\lambda}{2} = \frac{4\lambda-2\mu+8}{1} = \frac{2\lambda+4}{1}$ है।
$\frac{4\lambda-2\mu+8}{1} = \frac{2\lambda+4}{1}$ से,हमें $2\lambda - 2\mu + 4 = 0 \Rightarrow \mu = \lambda + 2$ प्राप्त होता है।
$\mu = \lambda + 2$ को $\frac{\mu-3\lambda}{2} = 2\lambda+4$ में रखने पर,हमें $\frac{\lambda+2-3\lambda}{2} = 2\lambda+4 \Rightarrow -\lambda+1 = 2\lambda+4 \Rightarrow 3\lambda = -3 \Rightarrow \lambda = -1$ प्राप्त होता है।
अतः $\mu = -1+2 = 1$.
न्यूनतम दूरी की रेखा $P(1, -2, 3)$ और $Q(-3, -4, 1)$ से होकर गुजरती है।
रेखा $PQ$ का समीकरण $\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-3}{1}$ है।
चूंकि बिंदु $(-1, \alpha, \beta)$ इस रेखा पर स्थित है,इसलिए $\frac{-1-1}{2} = \frac{\alpha+2}{1} = \frac{\beta-3}{1} \Rightarrow -1 = \alpha+2 = \beta-3$ है।
इस प्रकार,$\alpha = -3$ और $\beta = 2$ है।
अतः,$(\alpha-\beta)^2 = (-3-2)^2 = (-5)^2 = 25$।

(B) दी गई रेखाएँ $\frac{x-3}{2}=\frac{y+15}{-7}=\frac{z-9}{5}$ और $\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-9}{-3}$ हैं।
दो रेखाओं $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda \vec{b}_1$ और $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu \vec{b}_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी $(S.D.)$ का सूत्र $S.D. = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ है।
समीकरणों से,हमारे पास है:
$\vec{a}_1 = (3, -15, 9)$,$\vec{b}_1 = (2, -7, 5)$
$\vec{a}_2 = (-1, 1, 9)$,$\vec{b}_2 = (2, 1, -3)$
$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (-1-3, 1-(-15), 9-9) = (-4, 16, 0)$ की गणना करें।
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ का क्रॉस प्रोडक्ट निकालें:
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -7 & 5 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(21-5) - \hat{j}(-6-10) + \hat{k}(2+14) = 16\hat{i} + 16\hat{j} + 16\hat{k} = 16(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
इसका परिमाण $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = 16 \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = 16 \sqrt{3}$ है।
अब,डॉट प्रोडक्ट $(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = (-4, 16, 0) \cdot (16, 16, 16) = -64 + 256 + 0 = 192$ की गणना करें।
अतः,$S.D. = \frac{|192|}{16 \sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4 \sqrt{3}$।

(A) रेखा बिंदुओं $A(2, -5, 11)$ और $B(-6, 7, -5)$ से गुजरती है।
रेखा के दिक अनुपात $(-6-2, 7-(-5), -5-11) = (-8, 12, -16)$ हैं।
$-4$ से विभाजित करने पर,सरल दिक अनुपात $(2, -3, 4)$ प्राप्त होते हैं।
रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{2} = \frac{y+5}{-3} = \frac{z-11}{4} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $Q$,$(2\lambda+2, -3\lambda-5, 4\lambda+11)$ है।
सदिश $\vec{RQ} = (2\lambda+2-1, -3\lambda-5-7, 4\lambda+11-6) = (2\lambda+1, -3\lambda-12, 4\lambda+5)$ है।
चूंकि $RQ$ रेखा के लंबवत है,इसलिए $\vec{RQ}$ और दिशा सदिश $(2, -3, 4)$ का अदिश गुणनफल $0$ है:
$2(2\lambda+1) - 3(-3\lambda-12) + 4(4\lambda+5) = 0$
$4\lambda + 2 + 9\lambda + 36 + 16\lambda + 20 = 0$
$29\lambda + 58 = 0 \Rightarrow \lambda = -2$.
$Q$ के निर्देशांकों में $\lambda = -2$ रखने पर:
$Q = (2(-2)+2, -3(-2)-5, 4(-2)+11) = (-2, 1, 3)$.
$P(10, -2, -1)$ और $Q(-2, 1, 3)$ के बीच की दूरी $PQ$ है:
$PQ = \sqrt{(-2-10)^2 + (1-(-2))^2 + (3-(-1))^2}$
$PQ = \sqrt{(-12)^2 + (3)^2 + (4)^2} = \sqrt{144 + 9 + 16} = \sqrt{169} = 13$.

(D) मान लीजिए रेखा $L: \frac{x}{1} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-1}{-1} = t$ है। रेखा पर कोई भी बिंदु $S(t, t+3, 1-t)$ है।
सदिश $\vec{QS} = (t-3, t+6, -t)$ है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 1, -1)$ है।
चूंकि $\vec{QS} \perp \vec{v}$,इसलिए $(t-3)(1) + (t+6)(1) + (-t)(-1) = 0$,जिससे $3t+3=0 \implies t=-1$ प्राप्त होता है।
अतः,लंबपाद $S(-1, 2, 2)$ है।
चूंकि $S$,$PQ$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $\frac{\alpha+3}{2} = -1, \frac{\beta-3}{2} = 2, \frac{\gamma+1}{2} = 2$,जिससे $P(-5, 7, 3)$ प्राप्त होता है।
सदिश $\vec{RQ} = (1, -8, 2)$ और $\vec{RP} = (-7, 2, 4)$ है।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{RQ} \times \vec{RP}|$.
$\vec{RQ} \times \vec{RP} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -8 & 2 \\ -7 & 2 & 4 \end{vmatrix} = -36\hat{i} - 18\hat{j} - 54\hat{k}$.
क्षेत्रफल $\lambda = \frac{1}{2} \sqrt{(-36)^2 + (-18)^2 + (-54)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4536} = 9\sqrt{14}$.
चूंकि $\lambda^2 = 14K$,इसलिए $81 \times 14 = 14K$,अतः $K = 81$.

(C) रेखाएँ $\vec{r} = \vec{a}_1 + t\vec{p}$ और $\vec{r} = \vec{a}_2 + s\vec{q}$ के रूप में हैं,जहाँ $\vec{a}_1 = \lambda \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{p} = 3 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{a}_2 = -2 \hat{i} - 5 \hat{j} + 4 \hat{k}$,और $\vec{q} = -3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})|}{||\vec{p} \times \vec{q}||}$ द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,$\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = -6 \hat{i} - 15 \hat{j} + 3 \hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $||\vec{p} \times \vec{q}|| = \sqrt{(-6)^2 + (-15)^2 + 3^2} = 3\sqrt{30}$ है।
अब,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (-2-\lambda) \hat{i} - 7 \hat{j} + 3 \hat{k}$ है।
$(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{p} \times \vec{q}) = 6\lambda + 126$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $d = \frac{44}{\sqrt{30}}$,इसलिए $\frac{|6\lambda + 126|}{3\sqrt{30}} = \frac{44}{\sqrt{30}}$ होगा।
$|6\lambda + 126| = 132$ प्राप्त होता है।
अतः $6\lambda + 126 = 132$ या $6\lambda + 126 = -132$ होगा।
स्थिति $1$: $\lambda = 1$.
स्थिति $2$: $\lambda = -43$.
अतः,$|\lambda|$ का अधिकतम मान $43$ है।

(B) रेखाएं इस प्रकार हैं:
$L_1: \overrightarrow{r} = (2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k})$
$L_2: \overrightarrow{r} = (2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k})$
माना $\overrightarrow{a_1} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ और $\overrightarrow{a_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
माना $\overrightarrow{p} = \hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\overrightarrow{q} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$.
तब $\overrightarrow{a_2} - \overrightarrow{a_1} = (2-2)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
क्रॉस गुणनफल $\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}$ है:
$\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3-12) - \hat{j}(1-8) + \hat{k}(3+6) = -15\hat{i} + 7\hat{j} + 9\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}| = \sqrt{(-15)^2 + 7^2 + 9^2} = \sqrt{225 + 49 + 81} = \sqrt{355}$.
न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{(\overrightarrow{a_2} - \overrightarrow{a_1}) \cdot (\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q})}{|\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}|} \right|$ द्वारा दी जाती है।
$d = \left| \frac{(0\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (-15\hat{i} + 7\hat{j} + 9\hat{k})}{\sqrt{355}} \right| = \left| \frac{0 + 14 + 18}{\sqrt{355}} \right| = \frac{32}{\sqrt{355}}$.
$\frac{m}{\sqrt{n}}$ से तुलना करने पर,हमें $m = 32$ और $n = 355$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\operatorname{gcd}(32, 355) = 1$,इसलिए $m+n = 32 + 355 = 387$.

(C) दी गई रेखाएं समांतर हैं क्योंकि उनके दिशा सदिश $\vec{b}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{b}_2 = 4\hat{i} + 6\hat{j} + 8\hat{k} = 2\vec{b}_1$ हैं।
दो समांतर रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\vec{a}_1 = \lambda\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{a}_2 = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (2-\lambda)\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$।
सदिश गुणन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $|12\hat{i} - 4\lambda\hat{j} + (3\lambda-6)\hat{k}| = 13$।
वर्ग करने पर: $144 + 16\lambda^2 + (3\lambda-6)^2 = 169$।
$144 + 16\lambda^2 + 9\lambda^2 - 36\lambda + 36 = 169 \implies 25\lambda^2 - 36\lambda + 11 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(25\lambda - 11)(\lambda - 1) = 0$।
अतः $\lambda = 1$ या $\lambda = \frac{11}{25}$।

(D) माना रेखा $L: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{3} = t$ है। रेखा पर कोई भी बिंदु $A(t, 2t+1, 3t+2)$ है।
चूंकि $A$,बिंदु $Q(1, 6, 4)$ से रेखा पर डाले गए लंब का पाद है,इसलिए सदिश $\overrightarrow{QA} = (t-1)\hat{i} + (2t-5)\hat{j} + (3t-2)\hat{k}$ रेखा की दिशा सदिश $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\overrightarrow{QA} \cdot \vec{b} = 0 \implies 1(t-1) + 2(2t-5) + 3(3t-2) = 0$.
$t - 1 + 4t - 10 + 9t - 6 = 0 \implies 14t - 17 = 0 \implies t = \frac{17}{14}$.
लंब का पाद $A$ के निर्देशांक $(\frac{17}{14}, 2(\frac{17}{14})+1, 3(\frac{17}{14})+2) = (\frac{17}{14}, \frac{48}{14}, \frac{79}{14})$ हैं।
चूंकि $A$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,जहाँ $P(\alpha, \beta, \gamma)$ बिंदु $Q(1, 6, 4)$ का प्रतिबिंब है,इसलिए $\frac{\alpha+1}{2} = \frac{17}{14}$,$\frac{\beta+6}{2} = \frac{48}{14}$,और $\frac{\gamma+4}{2} = \frac{79}{14}$.
$\alpha = \frac{17}{7} - 1 = \frac{10}{7}$,$\beta = \frac{48}{7} - 6 = \frac{6}{7}$,$\gamma = \frac{79}{7} - 4 = \frac{51}{7}$.
अतः $2\alpha + \beta + \gamma = 2(\frac{10}{7}) + \frac{6}{7} + \frac{51}{7} = \frac{20+6+51}{7} = \frac{77}{7} = 11$.

(B) मान लीजिए कि रेखा $L$,रेखा $L_1: \frac{x-2}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z-1}{1} = \lambda$ को बिंदु $M(2+\lambda, -\lambda, 1+\lambda)$ पर और रेखा $L_2: \frac{x+1}{1/2} = \frac{y-1}{1/2} = \frac{z+1}{1} = \mu$ को बिंदु $N(-1+\mu/2, 1+\mu/2, -1+\mu)$ पर प्रतिच्छेद करती है।
चूंकि $L$,$\langle 3, 1, 2 \rangle$ दिक-अनुपात वाली रेखा के समांतर है,इसलिए सदिश $\vec{MN}$,$\langle 3, 1, 2 \rangle$ के समांतर होना चाहिए।
$\vec{MN} = \langle \mu/2 - \lambda - 3, \mu/2 + \lambda + 1, \mu - \lambda - 2 \rangle$.
$\vec{MN} \parallel \langle 3, 1, 2 \rangle$ होने के कारण,$\frac{\mu/2 - \lambda - 3}{3} = \frac{\mu/2 + \lambda + 1}{1} = \frac{\mu - \lambda - 2}{2}$.
$\frac{\mu/2 + \lambda + 1}{1} = \frac{\mu - \lambda - 2}{2}$ से,$\mu + 2\lambda + 2 = \mu - \lambda - 2 \Rightarrow 3\lambda = -4 \Rightarrow \lambda = -4/3$.
$\frac{\mu/2 - \lambda - 3}{3} = \frac{\mu/2 + \lambda + 1}{1}$ से,$\mu/2 - \lambda - 3 = 3\mu/2 + 3\lambda + 3 \Rightarrow -\mu = 4\lambda + 6$. $\lambda = -4/3$ रखने पर,$-\mu = 4(-4/3) + 6 = 2/3 \Rightarrow \mu = -2/3$.
बिंदु $M = (2/3, 4/3, -1/3)$.
रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x-2/3}{3} = \frac{y-4/3}{1} = \frac{z+1/3}{2} = k$ है।
$L$ पर कोई भी बिंदु $(2/3 + 3k, 4/3 + k, -1/3 + 2k)$ है।
$2/3 + 3k = -1/3 \Rightarrow 3k = -1 \Rightarrow k = -1/3$ रखने पर।
$k = -1/3$ के लिए,बिंदु $(-1/3, 1, -1)$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई रेखाएं $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ के रूप में हैं।
समीकरणों से,रेखाओं पर स्थित बिंदु $A(3, -7, 1)$ और $B(5, 9, -2)$ हैं।
दिशा सदिश $\vec{p} = 4\hat{i} - 11\hat{j} + 5\hat{k}$ और $\vec{q} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 1\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,सदिश $\vec{AB} = (5-3)\hat{i} + (9-(-7))\hat{j} + (-2-1)\hat{k} = 2\hat{i} + 16\hat{j} - 3\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \vec{p} \times \vec{q}$ ज्ञात करें:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -11 & 5 \\ 3 & -6 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-11 + 30) - \hat{j}(4 - 15) + \hat{k}(-24 + 33) = 19\hat{i} + 11\hat{j} + 9\hat{k}$.
न्यूनतम दूरी ($S$.d.) $\vec{n}$ पर $\vec{AB}$ का प्रक्षेप है:
$S.d. = \left| \frac{\vec{AB} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|} \right| = \left| \frac{(2\hat{i} + 16\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (19\hat{i} + 11\hat{j} + 9\hat{k})}{\sqrt{19^2 + 11^2 + 9^2}} \right|$
$S.d. = \left| \frac{38 + 176 - 27}{\sqrt{361 + 121 + 81}} \right| = \frac{187}{\sqrt{563}}$.

(A) बिंदुओं $(1, 2, 3)$ और $(2, 3, 5)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ का समीकरण:
$\frac{x-1}{2-1} = \frac{y-2}{3-2} = \frac{z-3}{5-3} \Rightarrow \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{2} = \lambda$
रेखा $L$ पर कोई भी बिंदु $B = (1+\lambda, 2+\lambda, 3+2\lambda)$ है।
जिस रेखा की दिशा में दूरी मापी जानी है,वह $\frac{x-11/3}{2/3} = \frac{y-11/3}{1/3} = \frac{z-19/3}{2/3}$ है।
यह रेखा बिंदु $A\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}, \frac{19}{3}\right)$ से गुजरती है और इसके दिक अनुपात $\langle 2, 1, 2 \rangle$ हैं।
चूंकि $B$ इस रेखा पर स्थित है,सदिश $\vec{AB}$ को $\langle 2, 1, 2 \rangle$ के समानांतर होना चाहिए।
$\vec{AB} = \left(\lambda-\frac{8}{3}, \lambda-\frac{5}{3}, 2\lambda-\frac{10}{3}\right) = \frac{1}{3} \langle 3\lambda-8, 3\lambda-5, 6\lambda-10 \rangle$.
चूंकि $\vec{AB}$ समानांतर है,$\frac{3\lambda-8}{2} = \frac{3\lambda-5}{1} = \frac{6\lambda-10}{2}$.
$\frac{3\lambda-8}{2} = 3\lambda-5$ से,$3\lambda-8 = 6\lambda-10 \Rightarrow 3\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{3}$.
$\lambda = \frac{2}{3}$ रखने पर,$\vec{AB} = \frac{1}{3} \langle -6, -3, -6 \rangle = \langle -2, -1, -2 \rangle$.
दूरी $AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$.

(C) माना दी गई रेखा $L: \frac{x-1}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z-2}{4} = \lambda$ है। रेखा पर कोई बिंदु $M(3\lambda+1, 2\lambda, 4\lambda+2)$ है।
चूंकि $AM$ रेखा $L$ पर लंब है,दिशा सदिश $\vec{AM} = (3\lambda-5, 2\lambda-1, 4\lambda-3)$ रेखा के दिशा सदिश $\vec{b} = (3, 2, 4)$ पर लंब होना चाहिए।
अतः,$\vec{AM} \cdot \vec{b} = 0 \implies 3(3\lambda-5) + 2(2\lambda-1) + 4(4\lambda-3) = 0$.
$9\lambda - 15 + 4\lambda - 2 + 16\lambda - 12 = 0 \implies 29\lambda - 29 = 0 \implies \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ रखने पर,हमें $M(4, 2, 6)$ प्राप्त होता है।
माना $I(x, y, z)$ बिंदु $A(6, 1, 5)$ का रेखा में प्रतिबिंब है। चूंकि $M$,$AI$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\frac{x+6}{2} = 4, \frac{y+1}{2} = 2, \frac{z+5}{2} = 6$.
$x+6 = 8 \implies x = 2$; $y+1 = 4 \implies y = 3$; $z+5 = 12 \implies z = 7$.
अतः,प्रतिबिंब बिंदु $I(2, 3, 7)$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $I(2, 3, 7)$ की दूरी का वर्ग $2^2 + 3^2 + 7^2 = 4 + 9 + 49 = 62$ है।

(A) मान लीजिए घन $Q$ के शीर्ष $(x_1, x_2, x_3)$ हैं जहाँ $x_i \in \{0, 1\}$ है।
मुख्य विकर्ण $OG$ पर विचार करें जो $(0,0,0)$ और $(1,1,1)$ को जोड़ता है। इसका दिशा सदिश $\vec{v}_1 = (1, 1, 1)$ है। रेखा $OG$ का समीकरण $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$ है।
एक फलक विकर्ण पर विचार करें,उदाहरण के लिए,$z=0$ फलक पर विकर्ण $AB$ जो $(1,0,0)$ और $(0,1,0)$ को जोड़ता है। इसका दिशा सदिश $\vec{v}_2 = (-1, 1, 0)$ है।
दो रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी $d$ जिनके दिशा सदिश $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ और बिंदु $P_1, P_2$ हैं,$d = \frac{|(\vec{P}_2 - \vec{P}_1) \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}{|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-1) - \hat{j}(0 - (-1)) + \hat{k}(1 - (-1)) = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ है।
$P_1 = (0,0,0)$ और $P_2 = (1,0,0)$ लेने पर,$\vec{P}_2 - \vec{P}_1 = (1,0,0)$ है।
दूरी $d = \frac{|(1,0,0) \cdot (-1, -1, 2)|}{\sqrt{6}} = \frac{|-1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ है।
फलक विकर्णों और मुख्य विकर्णों के अन्य संयोजनों के लिए,दूरी या तो $0$ (यदि वे प्रतिच्छेद करते हैं) या $\frac{1}{\sqrt{6}}$ है। अतः,अधिकतम दूरी $\frac{1}{\sqrt{6}}$ है।

(A) रेखाएँ $L_1: \overrightarrow{r} = (1, 0, 0) + \lambda(-1, 2, 2)$ और $L_2: \overrightarrow{r} = \mu(2, -1, 2)$ हैं।
मान लीजिए $A$,$L_1$ पर एक बिंदु है और $B$,$L_2$ पर एक बिंदु है। $A = (1-\lambda, 2\lambda, 2\lambda)$ और $B = (2\mu, -\mu, 2\mu)$।
सदिश $\overrightarrow{AB} = (2\mu + \lambda - 1, -\mu - 2\lambda, 2\mu - 2\lambda)$ है।
उभयनिष्ठ लंब की दिशा $\vec{v} = (-1, 2, 2) \times (2, -1, 2) = (6, 6, -6)$ है,जो $(2, 2, -1)$ के समानांतर है।
चूंकि $AB$ न्यूनतम दूरी की रेखा है,इसलिए $\overrightarrow{AB}$ को $(2, 2, -1)$ के समानांतर होना चाहिए।
अतः,$\frac{2\mu + \lambda - 1}{2} = \frac{-\mu - 2\lambda}{2} = \frac{2\mu - 2\lambda}{-1} = k$।
इन समीकरणों को हल करने पर $\lambda = 1/9$ और $\mu = 2/9$ प्राप्त होता है।
तब $A = (8/9, 2/9, 2/9)$ और $B = (4/9, -2/9, 4/9)$ है।
रेखा $L_3$,$A$ और $B$ से होकर गुजरती है और इसकी दिशा $(2, 2, -1)$ है।
$L_3$ का समीकरण: $\overrightarrow{r} = A + t(2, 2, -1) = (8/9, 2/9, 2/9) + t(2, 2, -1)$।
विकल्प $(1)$,$AB$ के मध्य बिंदु $(2/3, 0, 1/3)$ से होकर गुजरता है। दिशा $(2, 2, -1)$ होने के कारण,यह $L_3$ को दर्शाता है।
विकल्प $(2)$,$B$ से होकर गुजरता है,इसलिए यह $L_3$ को दर्शाता है।
विकल्प $(4)$,बिंदु $A$ यानी $(8/9, 2/9, 2/9)$ से होकर गुजरता है,इसलिए यह $L_3$ को दर्शाता है।
अतः,विकल्प $1, 2, 4$ सही हैं।

(B) माना रेखा $l$ का समीकरण $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = k$ है। चूँकि $l$,$l_1$ और $l_2$ पर लंब है,इसलिए इसके दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ का $l_1$ और $l_2$ के दिक्-सदिशों के साथ डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$l_1$ की दिशा $\vec{v_1} = (1, 2, 2)$ है और $l_2$ की दिशा $\vec{v_2} = (2, 2, 1)$ है।
अतः,$a + 2b + 2c = 0$ और $2a + 2b + c = 0$ है।
इन्हें हल करने पर,हमें $\frac{a}{2-4} = \frac{b}{4-1} = \frac{c}{2-4} \Rightarrow \frac{a}{-2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{-2}$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा $l$ का समीकरण $\frac{x}{-2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-2} = k_1$ है। $l$ और $l_1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $P$,$(-2k_1, 3k_1, -2k_1) = (3+t, -1+2t, 4+2t)$ को हल करके प्राप्त होता है।
$3+t = -2k_1$,$-1+2t = 3k_1$ और $4+2t = -2k_1$ को हल करने पर,हमें $k_1 = -1$ प्राप्त होता है,इसलिए $P = (2, -3, 2)$ है।
माना $l_2$ पर एक बिंदु $Q = (3+2s, 3+2s, 2+s)$ है। दूरी $PQ = \sqrt{17}$ होने के कारण:
$(3+2s-2)^2 + (3+2s+3)^2 + (2+s-2)^2 = 17$
$(1+2s)^2 + (6+2s)^2 + s^2 = 17$
$1 + 4s + 4s^2 + 36 + 24s + 4s^2 + s^2 = 17$
$9s^2 + 28s + 37 = 17 \Rightarrow 9s^2 + 28s + 20 = 0$
$(9s + 10)(s + 2) = 0 \Rightarrow s = -2, s = -\frac{10}{9}$ है।
$s = -2$ के लिए,$Q = (-1, -1, 0)$ है।
$s = -\frac{10}{9}$ के लिए,$Q = (3 - \frac{20}{9}, 3 - \frac{20}{9}, 2 - \frac{10}{9}) = (\frac{7}{9}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9})$ है।
अतः,बिंदु $(-1, -1, 0)$ और $(\frac{7}{9}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9})$ हैं,जो विकल्प $(B, D)$ के अनुरूप है।

(D) रेखाएँ $L_1: x=5, \frac{y}{3-\alpha}=\frac{z}{-2}$ और $L_2: x=\alpha, \frac{y}{-1}=\frac{z}{2-\alpha}$ दी गई हैं।
$L_1$ को मानक रूप में लिखने पर: $\frac{x-5}{0} = \frac{y}{3-\alpha} = \frac{z}{-2}$.
$L_2$ को मानक रूप में लिखने पर: $\frac{x-\alpha}{0} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2-\alpha}$.
दो रेखाएँ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ समतलीय होती हैं यदि $\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$ हो।
मान रखने पर: $\left|\begin{array}{ccc} \alpha-5 & 0 & 0 \\ 0 & 3-\alpha & -2 \\ 0 & -1 & 2-\alpha \end{array}\right| = 0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $(\alpha-5) [(3-\alpha)(2-\alpha) - (-2)(-1)] = 0$.
$(\alpha-5) [6 - 3\alpha - 2\alpha + \alpha^2 - 2] = 0$.
$(\alpha-5) (\alpha^2 - 5\alpha + 4) = 0$.
$(\alpha-5)(\alpha-1)(\alpha-4) = 0$.
अतः,$\alpha = 1, 4, 5$। विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $(A, D)$ है।

(D) मान लीजिए $P(2\lambda+1, 3\lambda+2, 4\lambda+3)$ रेखा $L_1$ पर एक बिंदु है और $Q(3\mu+2, 4\mu+4, 5\mu+5)$ रेखा $L_2$ पर एक बिंदु है।
$PQ$ के दिक अनुपात $(3\mu-2\lambda+1, 4\mu-3\lambda+2, 5\mu-4\lambda+2)$ हैं।
चूंकि $PQ$ न्यूनतम दूरी की रेखा है,इसलिए $PQ \perp L_1$ और $PQ \perp L_2$ है।
$PQ \perp L_1$ के लिए: $2(3\mu-2\lambda+1) + 3(4\mu-3\lambda+2) + 4(5\mu-4\lambda+2) = 0 \Rightarrow 38\mu - 29\lambda + 16 = 0$.
$PQ \perp L_2$ के लिए: $3(3\mu-2\lambda+1) + 4(4\mu-3\lambda+2) + 5(5\mu-4\lambda+2) = 0 \Rightarrow 50\mu - 38\lambda + 21 = 0$.
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $\lambda = \frac{1}{3}$ और $\mu = -\frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$P = \left(\frac{5}{3}, 3, \frac{13}{3}\right)$ और $Q = \left(\frac{3}{2}, \frac{10}{3}, \frac{25}{6}\right)$ प्राप्त होते हैं।
$P$ से गुजरने वाली और $\vec{PQ} = Q-P = \left(-\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{6}\right)$ (या $(1, -2, 1)$) के समानुपाती दिक अनुपात वाली रेखा $PQ$ का समीकरण $\frac{x-5/3}{1} = \frac{y-3}{-2} = \frac{z-13/3}{1}$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर,बिंदु $\left(\frac{14}{3}, -3, \frac{22}{3}\right)$ इस समीकरण को संतुष्ट करता है: $\frac{14/3 - 5/3}{1} = 3$,$\frac{-3-3}{-2} = 3$,$\frac{22/3 - 13/3}{1} = 3$.

(D) रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के बिंदु $B$ पर प्रतिच्छेद करने के लिए,निर्देशांक समान होने चाहिए:
$(3\lambda+1, -\lambda+1, -1) = (2\mu+2, 0, \alpha\mu-4)$.
$y$-निर्देशांक से,$-\lambda+1 = 0 \implies \lambda = 1$.
$x$-निर्देशांक में $\lambda=1$ रखने पर: $3(1)+1 = 2\mu+2 \implies 4 = 2\mu+2 \implies \mu = 1$.
$z$-निर्देशांक में $\mu=1$ रखने पर: $-1 = \alpha(1)-4 \implies \alpha = 3$.
अतः,बिंदु $B = (4, 0, -1)$.
रेखा $L_2$ है $\frac{x-2}{2} = \frac{y}{0} = \frac{z+4}{3} = \delta$.
अतः,$L_2$ पर कोई भी बिंदु $P = (2\delta+2, 0, 3\delta-4)$ है।
$AP$ का दिशा सदिश $\vec{AP} = (2\delta+1, -1, 3\delta-3)$ है।
चूंकि $AP \perp L_2$,$\vec{AP}$ और $L_2$ के दिशा सदिश $(2, 0, 3)$ का डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$2(2\delta+1) + 0(-1) + 3(3\delta-3) = 0
\implies 4\delta+2 + 9\delta-9 = 0
\implies 13\delta = 7 \implies \delta = \frac{7}{13}$.
बिंदु $P = (2(\frac{7}{13})+2, 0, 3(\frac{7}{13})-4) = (\frac{40}{13}, 0, -\frac{31}{13})$.
$PB^2 = (4-\frac{40}{13})^2 + (0-0)^2 + (-1+\frac{31}{13})^2 = (\frac{12}{13})^2 + (\frac{18}{13})^2 = \frac{144+324}{169} = \frac{468}{169}$.
अंत में,$26\alpha(PB)^2 = 26 \times 3 \times \frac{468}{169} = 78 \times \frac{36}{13} = 6 \times 36 = 216$.

(A) रेखा $P(-2, -1, 3)$ से होकर गुजरती है और $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ के समानांतर है। अतः,$Q$ के निर्देशांक $Q(3\lambda - 2, 2\lambda - 1, 2\lambda + 3)$ के रूप में लिखे जा सकते हैं,जहाँ $\lambda \neq 0$.
दूरी $QR = 5$ दी गई है,इसलिए $\sqrt{(3\lambda - 2 - 1)^2 + (2\lambda - 1 - 3)^2 + (2\lambda + 3 - 3)^2} = 5$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3\lambda - 3)^2 + (2\lambda - 4)^2 + (2\lambda)^2 = 25$.
$9(\lambda - 1)^2 + 4(\lambda - 2)^2 + 4\lambda^2 = 25$.
$9(\lambda^2 - 2\lambda + 1) + 4(\lambda^2 - 4\lambda + 4) + 4\lambda^2 = 25$.
$17\lambda^2 - 34\lambda + 25 = 25 \Rightarrow 17\lambda(\lambda - 2) = 0$.
चूँकि $Q, P$ से भिन्न है,$\lambda \neq 0$,इसलिए $\lambda = 2$.
अतः,$Q = (3(2) - 2, 2(2) - 1, 2(2) + 3) = (4, 3, 7)$.
अब,$\vec{PQ} = Q - P = (4 - (-2), 3 - (-1), 7 - 3) = (6, 4, 4)$.
$\vec{PR} = R - P = (1 - (-2), 3 - (-1), 3 - 3) = (3, 4, 0)$.
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$ है।
$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & 4 & 4 \\ 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 16) - \hat{j}(0 - 12) + \hat{k}(24 - 12) = -16\hat{i} + 12\hat{j} + 12\hat{k}$.
$|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \sqrt{(-16)^2 + 12^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144 + 144} = \sqrt{544}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \sqrt{544} = \sqrt{\frac{544}{4}} = \sqrt{136}$.
अतः,क्षेत्रफल का वर्ग $136$ है।

(C) माना कि दी गई रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+3}{2}=\lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $A$,$(2\lambda+1, -\lambda-2, 2\lambda-3)$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश $\vec{PA} = (2\lambda+1-2, -\lambda-2-(-10), 2\lambda-3-1) = (2\lambda-1, -\lambda+8, 2\lambda-4)$ है।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
चूंकि $PA$ रेखा के लंबवत है,इसलिए $\vec{PA} \cdot \vec{n} = 0$ होगा।
$(2\lambda-1)(2) + (-\lambda+8)(-1) + (2\lambda-4)(2) = 0$.
$4\lambda - 2 + \lambda - 8 + 4\lambda - 8 = 0$.
$9\lambda - 18 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
$A$ के निर्देशांकों में $\lambda = 2$ रखने पर,हमें $A(2(2)+1, -2-2, 2(2)-3) = A(5, -4, 1)$ प्राप्त होता है।
लंबवत दूरी $AP$,बिंदु $P(2, -10, 1)$ और $A(5, -4, 1)$ के बीच की दूरी है।
$AP = \sqrt{(5-2)^2 + (-4 - (-10))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{3^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

(D) मान लीजिए रेखा $L: \frac{x-3}{7}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{-2} = \lambda$ है। रेखा पर कोई भी बिंदु $P(7\lambda+3, -\lambda+2, -2\lambda-1)$ है।
चूंकि $P$,बिंदु $Q(10,-3,-1)$ से रेखा पर लंब का पाद है,सदिश $\vec{QP}$ रेखा के दिशा सदिश $\vec{v} = 7\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ के लंबवत होना चाहिए।
$\vec{QP} = (7\lambda+3-10)\hat{i} + (-\lambda+2+3)\hat{j} + (-2\lambda-1+1)\hat{k} = (7\lambda-7)\hat{i} + (-\lambda+5)\hat{j} - 2\lambda\hat{k}$.
चूंकि $\vec{QP} \cdot \vec{v} = 0$,हमें मिलता है $7(7\lambda-7) - 1(-\lambda+5) - 2(-2\lambda) = 0$.
$49\lambda - 49 + \lambda - 5 + 4\lambda = 0 \Rightarrow 54\lambda - 54 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
अतः,$P = (7(1)+3, -1+2, -2(1)-1) = (10, 1, -3)$.
अब,$\vec{PQ} = (10-10)\hat{i} + (-3-1)\hat{j} + (-1-(-3))\hat{k} = -4\hat{j} + 2\hat{k}$.
और $\vec{PR} = (3-10)\hat{i} + (-2-1)\hat{j} + (1-(-3))\hat{k} = -7\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$.
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$.
$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -4 & 2 \\ -7 & -3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-16 - (-6)) - \hat{j}(0 - (-14)) + \hat{k}(0 - 28) = -10\hat{i} - 14\hat{j} - 28\hat{k}$.
परिमाण $|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \sqrt{(-10)^2 + (-14)^2 + (-28)^2} = \sqrt{100 + 196 + 784} = \sqrt{1080} = \sqrt{36 \times 30} = 6\sqrt{30}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 6\sqrt{30} = 3\sqrt{30}$.

(B) रेखाएँ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{p}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{q}$ के रूप में हैं,जहाँ $\vec{a_1} = (2, 1, -3)$,$\vec{p} = (1, 2, -3)$,$\vec{a_2} = (-1, -3, -5)$,और $\vec{q} = (2, 4, -5)$ है।
दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})|}{|\vec{p} \times \vec{q}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,$\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -5 \end{vmatrix} = 2\hat{i} - \hat{j} + 0\hat{k}$ की गणना करें।
इसका परिमाण $|\vec{p} \times \vec{q}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{5}$ है।
आगे,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-3, -4, -2)$ है।
डॉट गुणनफल $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q}) = (-3, -4, -2) \cdot (2, -1, 0) = -6 + 4 + 0 = -2$ है।
अतः,$d = \frac{|-2|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
न्यूनतम दूरी का वर्ग $d^2 = \frac{4}{5}$ है।
यहाँ $m=4$ और $n=5$ सह-अभाज्य हैं।
इसलिए,$m+n = 4+5 = 9$।

(B) मान लीजिए $M$,$B(1,2,3)$ से रेखा $L: \frac{x-6}{3}=\frac{y-7}{2}=\frac{z-7}{-2} = \lambda$ पर डाले गए लंब का पाद है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $M(3\lambda+6, 2\lambda+7, -2\lambda+7)$ है।
सदिश $\overrightarrow{BM} = (3\lambda+6-1)\hat{i} + (2\lambda+7-2)\hat{j} + (-2\lambda+7-3)\hat{k} = (3\lambda+5)\hat{i} + (2\lambda+5)\hat{j} + (-2\lambda+4)\hat{k}$ है।
चूंकि $\overrightarrow{BM}$ रेखा के दिशा सदिश $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ के लंबवत है,इसलिए $\overrightarrow{BM} \cdot \vec{v} = 0$ होगा।
$3(3\lambda+5) + 2(2\lambda+5) - 2(-2\lambda+4) = 0$.
$9\lambda + 15 + 4\lambda + 10 + 4\lambda - 8 = 0 \implies 17\lambda + 17 = 0 \implies \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ रखने पर,हमें $\overrightarrow{BM} = (3(-1)+5)\hat{i} + (2(-1)+5)\hat{j} + (-2(-1)+4)\hat{k} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ प्राप्त होता है।
शीर्षलंब $BM$ की लंबाई $= |\overrightarrow{BM}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times AC \times BM = \frac{1}{2} \times 6 \times 7 = 21$ वर्ग इकाई।

(D) बिंदु $(-1,2,1)$ से गुजरने वाली और रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{4}$ के समांतर रेखा का समीकरण:
$\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-1}{4}=\lambda$
अतः,इस रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(2\lambda-1, 3\lambda+2, 4\lambda+1)$ हैं।
दूसरी रेखा का समीकरण:
$\frac{x+2}{3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-4}{1}=\mu$
अतः,इस रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(3\mu-2, 2\mu+3, \mu+4)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ के लिए,निर्देशांक समान होने चाहिए:
$2\lambda-1 = 3\mu-2 \implies 2\lambda - 3\mu = -1$ $(i)$
$3\lambda+2 = 2\mu+3 \implies 3\lambda - 2\mu = 1$ (ii)
$(i)$ को $2$ से और (ii) को $3$ से गुणा करने पर:
$4\lambda - 6\mu = -2$
$9\lambda - 6\mu = 3$
घटाने पर $5\lambda = 5$ प्राप्त होता है,इसलिए $\lambda = 1$.
$(i)$ में $\lambda = 1$ रखने पर,$2(1) - 3\mu = -1 \implies 3\mu = 3 \implies \mu = 1$.
$z$-निर्देशांक के लिए जाँच: $4(1)+1 = 5$ और $1+4 = 5$. चूँकि वे समान हैं,प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ $(1, 5, 5)$ है।
बिंदु $Q(4, -5, 1)$ से $P(1, 5, 5)$ की दूरी:
$PQ = \sqrt{(4-1)^2 + (-5-5)^2 + (1-5)^2}$
$PQ = \sqrt{3^2 + (-10)^2 + (-4)^2}$
$PQ = \sqrt{9 + 100 + 16} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.

(B) मान लीजिए रेखा $L$ है $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{4} = \lambda$। $L$ पर कोई भी बिंदु $(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda)$ है।
चूंकि $R(5, p, q)$,$L$ पर स्थित है,इसलिए $2\lambda+1 = 5 \implies \lambda = 2$। अतः,$R = (5, 5, 8)$।
मान लीजिए $T$,$Q(7, -2, 5)$ से रेखा $L$ पर लंब का पाद है। मान लीजिए $T = (2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda)$।
सदिश $\vec{QT} = (2\lambda+1-7, 3\lambda-1+2, 4\lambda-5) = (2\lambda-6, 3\lambda+1, 4\lambda-5)$।
चूंकि $\vec{QT}$,रेखा के दिशा सदिश $\vec{b} = (2, 3, 4)$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{QT} \cdot \vec{b} = 0$।
$2(2\lambda-6) + 3(3\lambda+1) + 4(4\lambda-5) = 0 \implies 4\lambda - 12 + 9\lambda + 3 + 16\lambda - 20 = 0 \implies 29\lambda = 29 \implies \lambda = 1$।
अतः,$T = (3, 2, 4)$।
$P$,$Q$ का $L$ में प्रतिबिंब है,इसलिए $T$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$QT = TP$।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times RT \times (QT + TP) = \frac{1}{2} \times RT \times (2QT) = RT \times QT$।
$QT = \sqrt{(3-7)^2 + (2+2)^2 + (4-5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16+16+1} = \sqrt{33}$।
$RT = \sqrt{(5-3)^2 + (5-2)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4+9+16} = \sqrt{29}$।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{33} \times \sqrt{29} = \sqrt{957}$।
इसलिए,क्षेत्रफल का वर्ग $(\sqrt{957})^2 = 957$ है।

(A) माना दी गई रेखा $L: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{3} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई बिंदु $Q(2\lambda+1, \lambda+2, 3\lambda+1)$ है।
माना $P = (4,4,3)$ है। सदिश $\vec{PQ} = (2\lambda+1-4, \lambda+2-4, 3\lambda+1-3) = (2\lambda-3, \lambda-2, 3\lambda-2)$ है।
चूंकि $\vec{PQ}$ रेखा के दिशा सदिश $\vec{v} = (2, 1, 3)$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0$ होगा।
$2(2\lambda-3) + 1(\lambda-2) + 3(3\lambda-2) = 0$.
$4\lambda - 6 + \lambda - 2 + 9\lambda - 6 = 0$.
$14\lambda - 14 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
अतः,लंबपाद $Q$ का मान $(2(1)+1, 1+2, 3(1)+1) = (3, 3, 4)$ है।
माना $P$ का प्रतिबिंब $R(\alpha, \beta, \gamma)$ है। चूंकि $Q$,$PR$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$\frac{\alpha+4}{2} = 3 \Rightarrow \alpha = 2$.
$\frac{\beta+4}{2} = 3 \Rightarrow \beta = 2$.
$\frac{\gamma+3}{2} = 4 \Rightarrow \gamma = 5$.
अतः,प्रतिबिंब $(2, 2, 5)$ है।
इसलिए,$\alpha+\beta+\gamma = 2+2+5 = 9$.

(C) माना कि दिया गया बिंदु $P\left(\frac{15}{7}, \frac{32}{7}, 7\right)$ है और रेखा $L$ समीकरण $\frac{x+1}{3}=\frac{y+3}{5}=\frac{z+5}{7} = k$ द्वारा दी गई है।
रेखा $L$ पर कोई भी बिंदु $Q(3k-1, 5k-3, 7k-5)$ के रूप में लिया जा सकता है।
सदिश $\vec{PQ} = \left(3k-1-\frac{15}{7}\right)\hat{i} + \left(5k-3-\frac{32}{7}\right)\hat{j} + (7k-5-7)\hat{k} = \left(3k-\frac{22}{7}\right)\hat{i} + \left(5k-\frac{53}{7}\right)\hat{j} + (7k-12)\hat{k}$ है।
चूंकि रेखा $PQ$ सदिश $\vec{v} = \hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}$ के समानांतर है,इसलिए $\vec{PQ}$ के घटक $\vec{v}$ के घटकों के समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{3k-\frac{22}{7}}{1} = \frac{5k-\frac{53}{7}}{4} = \frac{7k-12}{7} = \lambda$.
$\frac{7k-12}{7} = \lambda$ से,$7k-12 = 7\lambda \Rightarrow k = \lambda + \frac{12}{7}$ प्राप्त होता है।
$k$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $3(\lambda + \frac{12}{7}) - \frac{22}{7} = \lambda \Rightarrow 3\lambda + \frac{36-22}{7} = \lambda \Rightarrow 2\lambda = -2 \Rightarrow \lambda = -1$.
अतः,$k = -1 + \frac{12}{7} = \frac{5}{7}$ है।
बिंदु $Q$ का मान $Q(3(\frac{5}{7})-1, 5(\frac{5}{7})-3, 7(\frac{5}{7})-5) = Q(\frac{8}{7}, \frac{4}{7}, 0)$ है।
दूरी $PQ = \sqrt{(\frac{15}{7}-\frac{8}{7})^2 + (\frac{32}{7}-\frac{4}{7})^2 + (7-0)^2} = \sqrt{1^2 + 4^2 + 7^2} = \sqrt{1+16+49} = \sqrt{66}$ है।
इसलिए,दूरी का वर्ग $(PQ)^2 = 66$ है।

(B) रेखा $L$ का दिशा सदिश दी गई दो रेखाओं के दिशा सदिशों $\vec{v_1} = (2, 1, -2)$ और $\vec{v_2} = (1, 3, 4)$ के लंबवत है।
अतः,$L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 10\hat{i} - 10\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
हम दिशा सदिश को $\vec{d} = (2, -2, 1)$ के रूप में ले सकते हैं।
बिंदु $P(2, -1, 3)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z-3}{1} = \lambda$ है।
रेखा $L$ पर कोई भी बिंदु $Q$,$(2\lambda + 2, -2\lambda - 1, \lambda + 3)$ के रूप में होता है।
चूंकि $Q$,$yz$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
$2\lambda + 2 = 0 \implies \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ को $Q$ के निर्देशांकों में रखने पर,हमें $Q(0, -2(-1) - 1, -1 + 3) = Q(0, 1, 2)$ प्राप्त होता है।
दूरी $PQ = \sqrt{(2-0)^2 + (-1-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$।

(B) रेखा $L$ को $\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-2}{2} = \mu$ द्वारा दिया गया है। $L$ पर कोई भी बिंदु $P(\mu+1, -\mu-1, 2\mu+2)$ है।
चूंकि $AP \perp L$,सदिश $\overrightarrow{AP} = (\mu, -\mu-3, 2\mu)$,$L$ के दिशा सदिश $\vec{d} = (1, -1, 2)$ के लंबवत है।
$\overrightarrow{AP} \cdot \vec{d} = 0 \Rightarrow (\mu)(1) + (-\mu-3)(-1) + (2\mu)(2) = 0$.
$\mu + \mu + 3 + 4\mu = 0 \Rightarrow 6\mu = -3 \Rightarrow \mu = -\frac{1}{2}$.
अतः,$P = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$.
रेखा $L_2$ को $\vec{r} = (-1, 1, -2) + \lambda(1, -1, 1)$ द्वारा दिया गया है। $L_2$ पर कोई भी बिंदु $Q(-1+\lambda, 1-\lambda, -2+\lambda)$ है।
चूंकि $Q$,$L$ पर स्थित है,यह $L$ के समीकरण को संतुष्ट करेगा: $\frac{(-1+\lambda)-1}{1} = \frac{(1-\lambda)+1}{-1} = \frac{(-2+\lambda)-2}{2} = \mu$.
$\lambda-2 = \lambda-2$ और $\lambda-2 = \frac{\lambda-4}{2} \Rightarrow 2\lambda-4 = \lambda-4 \Rightarrow \lambda = 0$.
$\lambda = 0$ के लिए,$Q = (-1, 1, -2)$.
अब,$PQ^2 = (\frac{1}{2} - (-1))^2 + (-\frac{1}{2} - 1)^2 + (1 - (-2))^2 = (\frac{3}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + (3)^2 = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} + 9 = 13.5$.
अतः,$2(PQ)^2 = 2(13.5) = 27$.

(B) मान लीजिए $M$,$P(0,2,3)$ से रेखा $L: \frac{x+3}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+4}{3} = \lambda$ पर लंब का पाद है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $M(5\lambda-3, 2\lambda+1, 3\lambda-4)$ है।
$PM$ के दिक्-अनुपात $(5\lambda-3-0, 2\lambda+1-2, 3\lambda-4-3) = (5\lambda-3, 2\lambda-1, 3\lambda-7)$ हैं।
चूंकि $PM \perp L$,$PM$ और $L$ के दिक्-अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$5(5\lambda-3) + 2(2\lambda-1) + 3(3\lambda-7) = 0$
$25\lambda - 15 + 4\lambda - 2 + 9\lambda - 21 = 0$
$38\lambda - 38 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
अतः,$M = (5(1)-3, 2(1)+1, 3(1)-4) = (2, 3, -1)$.
शीर्षलंब $PM$ की लंबाई $\sqrt{(2-0)^2 + (3-2)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{4+1+16} = \sqrt{21}$ है।
त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times QR \times PM = \frac{1}{2} \times 5 \times \sqrt{21} = \frac{5\sqrt{21}}{2}$.
दिया गया क्षेत्रफल $= \frac{m}{n} = \frac{5\sqrt{21}}{2}$.
तुलना करने पर,हमें $2m = 5\sqrt{21}n$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2m - 5\sqrt{21}n = 0$।

(B) बिंदुओं $A(4, 7, 1)$ और $B(3, 5, 3)$ से गुजरने वाली रेखा के दिक अनुपात $(3-4, 5-7, 3-1) = (-1, -2, 2)$ हैं।
रेखा $AB$ का समीकरण $\frac{x-3}{-1} = \frac{y-5}{-2} = \frac{z-3}{2} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $R$ $(\lambda+3, 2\lambda+5, -2\lambda+3)$ के रूप में है।
सदिश $\vec{PR} = (\lambda+2, 2\lambda+5, -2\lambda)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $PR \perp AB$,$\vec{PR}$ और रेखा की दिशा $(-1, -2, 2)$ का अदिश गुणनफल $0$ होगा:
$-1(\lambda+2) - 2(2\lambda+5) + 2(-2\lambda) = 0$.
$-\lambda - 2 - 4\lambda - 10 - 4\lambda = 0 \Rightarrow -9\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = -\frac{4}{3}$.
लंबपाद $R$ $(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{17}{3})$ है।
चूंकि $R$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,$Q = 2R - P = (2 \times \frac{5}{3} - 1, 2 \times \frac{7}{3} - 0, 2 \times \frac{17}{3} - 3) = (\frac{7}{3}, \frac{14}{3}, \frac{25}{3})$ है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = \frac{7+14+25}{3} = \frac{46}{3}$।

(A) रेखाओं के समीकरण $L_1: \vec{r} = (7 \hat{i} + 6 \hat{j} + 2 \hat{k}) + \lambda(-3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k})$ और $L_2: \vec{r} = (5 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) + \mu(2 \hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k})$ हैं।
माना $\vec{a_1} = 7 \hat{i} + 6 \hat{j} + 2 \hat{k}$,$\vec{a_2} = 5 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$,$\vec{v_1} = -3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$,और $\vec{v_2} = 2 \hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}$ है।
न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$ है।
सबसे पहले,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (5-7)\hat{i} + (3-6)\hat{j} + (4-2)\hat{k} = -2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-4) - \hat{j}(-9-8) + \hat{k}(-3-4) = 2 \hat{i} + 17 \hat{j} - 7 \hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{2^2 + 17^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 289 + 49} = \sqrt{342} = 3 \sqrt{38}$ है।
अदिश गुणनफल $|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})| = |(-2)(2) + (-3)(17) + (2)(-7)| = |-4 - 51 - 14| = 69$ है।
अतः,$d = \frac{69}{3 \sqrt{38}} = \frac{23}{\sqrt{38}}$।

(A) मान लीजिए रेखा $L_1 = \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}=p$ है। अतः $A = (2p+1, 3p+2, 4p+3)$ है।
मान लीजिए रेखा $L_2 = \frac{x-6}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-4}{-1}=q$ है। अतः $B = (q+6, q, 4-q)$ है।
बिंदु $P(4,1,0)$,$A$ और $B$ संरेख हैं। $PA$ के दिक अनुपात $(2p+1-4, 3p+2-1, 4p+3-0) = (2p-3, 3p+1, 4p+3)$ हैं।
$AB$ के दिक अनुपात $(q+6-(2p+1), q-(3p+2), 4-q-(4p+3)) = (q-2p+5, q-3p-2, -q-4p+1)$ हैं।
चूंकि $P, A, B$ संरेख हैं,$PA$ और $AB$ के दिक अनुपात समानुपाती होंगे:
$\frac{2p-3}{q-2p+5} = \frac{3p+1}{q-3p-2} = \frac{4p+3}{-q-4p+1} = k$.
इस प्रणाली को हल करने पर,हमें $p=-1$ और $q=3$ प्राप्त होता है।
$p=-1$ को $A$ में रखने पर,$A(-1, -1, -1)$ प्राप्त होता है।
$q=3$ को $B$ में रखने पर,$B(9, 3, 1)$ प्राप्त होता है।
अब,सारणिक का मान:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 9 & 3 & 1\end{array}\right| = 1(-1 - (-3)) - 0 + 1(-3 - (-9)) = 1(2) + 1(6) = 8$.

(C) रेखा $L_1$ का समीकरण जो $(1, 2, 3)$ से गुजरती है और $z$-अक्ष के समांतर है,$\frac{x-1}{0} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-3}{1}$ है।
रेखा $L_2$ का समीकरण जो $(\lambda, 5, 6)$ से गुजरती है और $y$-अक्ष के समांतर है,$\frac{x-\lambda}{0} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-6}{0}$ है।
दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $SD = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{a_1} = (1, 2, 3)$,$\vec{b_1} = (0, 0, 1)$,$\vec{a_2} = (\lambda, 5, 6)$,$\vec{b_2} = (0, 1, 0)$.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (\lambda-1, 3, 3)$.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -\hat{i}$.
$SD = \frac{|(\lambda-1, 3, 3) \cdot (-1, 0, 0)|}{|-1|} = |-(\lambda-1)| = |\lambda-1| = 3$.
अतः,$\lambda-1 = 3$ या $\lambda-1 = -3$,जिससे $\lambda = 4$ या $\lambda = -2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\lambda_2 < \lambda_1$,इसलिए $\lambda_1 = 4$ और $\lambda_2 = -2$ है।
बिंदु $P(4, -2, 7)$ है। रेखा $L_1$ का रूप $(1, 2, z)$ है।
$P(4, -2, 7)$ से $L_1$ पर लंबवत दूरी का वर्ग,$L_1$ पर स्थित बिंदु $(1, 2, 7)$ से दूरी है।
$PQ^2 = (4-1)^2 + (-2-2)^2 + (7-7)^2 = 3^2 + (-4)^2 + 0^2 = 9 + 16 = 25$.

(B) माना दी गई रेखा $L_1: \frac{x-4}{1} = \frac{y-4}{0} = \frac{z-2}{3} = \lambda$ है। इस रेखा पर कोई भी बिंदु $Q = (\lambda+4, 4, 3\lambda+2)$ है।
चूंकि दूरी रेखा $\frac{x-9}{2} = \frac{y-13}{3} = \frac{z-17}{6}$ की दिशा में मापी जाती है,इसलिए सदिश $\vec{PQ}$ को सदिश $\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ के समानांतर होना चाहिए।
सदिश $\vec{PQ} = Q - P = (\lambda+4-7, 4-10, 3\lambda+2-11) = (\lambda-3, -6, 3\lambda-9)$.
चूंकि $\vec{PQ}$,$\vec{v}$ के समानांतर है,इसलिए उनके घटक समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{\lambda-3}{2} = \frac{-6}{3} = \frac{3\lambda-9}{6}$.
$\frac{\lambda-3}{2} = -2$ से,हमें $\lambda-3 = -4$ प्राप्त होता है,इसलिए $\lambda = -1$.
$Q$ के निर्देशांकों में $\lambda = -1$ रखने पर,हमें $Q = (-1+4, 4, 3(-1)+2) = (3, 4, -1)$ प्राप्त होता है।
दूरी $PQ = \sqrt{(3-7)^2 + (4-10)^2 + (-1-11)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14$.

(B) रेखाएँ $L_1: \frac{x-3}{3}=\frac{y-\alpha}{-1}=\frac{z-3}{1}$ और $L_2: \frac{x+3}{-3}=\frac{y+7}{2}=\frac{z-\beta}{4}$ हैं।
रेखाओं पर स्थित बिंदु $A(3, \alpha, 3)$ और $B(-3, -7, \beta)$ हैं।
दिशा सदिश $\vec{p} = (3, -1, 1)$ और $\vec{q} = (-3, 2, 4)$ हैं।
सदिश $\vec{BA} = (3 - (-3))\hat{i} + (\alpha - (-7))\hat{j} + (3 - \beta)\hat{k} = 6\hat{i} + (\alpha+7)\hat{j} + (3-\beta)\hat{k}$ है।
क्रॉस गुणनफल $\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{p} \times \vec{q}| = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|\vec{BA} \cdot (\vec{p} \times \vec{q})|}{|\vec{p} \times \vec{q}|} = 3\sqrt{30}$ है।
$|6(-6) + (\alpha+7)(-15) + (3-\beta)(3)| = 270$ है।
$|-36 - 15\alpha - 105 + 9 - 3\beta| = 270$ है।
$|-15\alpha - 3\beta - 132| = 270$ है।
धनात्मक मान के लिए,$15\alpha + 3\beta + 132 = 270$ लेने पर,$15\alpha + 3\beta = 138$ अर्थात $5\alpha + \beta = 46$ प्राप्त होता है।

(B) रेखा $L$ पर कोई बिंदु $Q(3\lambda+6, 2\lambda+7, -2\lambda+7)$ है।
बिंदु $P(1, 2, 3)$ के लिए,सदिश $\overrightarrow{PQ} = (3\lambda+5, 2\lambda+5, -2\lambda+4)$ है।
रेखा $L$ की दिशा $\vec{b} = (3, 2, -2)$ है। लंब होने के कारण,$\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{b} = 0$ है।
$3(3\lambda+5) + 2(2\lambda+5) - 2(-2\lambda+4) = 0$ $\Rightarrow 17\lambda + 17 = 0$ $\Rightarrow \lambda = -1$.
अतः,लंब का पाद $Q(3, 5, 9)$ है।
बिंदु $A$ और $B$,$Q$ से $2\sqrt{17}$ की दूरी पर हैं। रेखा की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{1}{\sqrt{17}}(3, 2, -2)$ है।
$A, B = Q \pm 2\sqrt{17}\hat{u} = (3, 5, 9) \pm 2(3, 2, -2)$.
अतः $A(9, 9, 5)$ और $B(-3, 1, 13)$ प्राप्त होते हैं।
$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = (9)(-3) + (9)(1) + (5)(13) = -27 + 9 + 65 = 47$.

(C) दो रेखाओं $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{a_1} + \lambda \overrightarrow{p}$ और $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{a_2} + \mu \overrightarrow{q}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\overrightarrow{a_2} - \overrightarrow{a_1}) \cdot (\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q})|}{|\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\overrightarrow{a_1} = -\hat{i}$,$\overrightarrow{p} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$,$\overrightarrow{a_2} = p\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$,और $\overrightarrow{q} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
$\overrightarrow{a_2} - \overrightarrow{a_1} = (p+1)\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(16-15) - \hat{j}(12-10) + \hat{k}(9-8) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
$|\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|((p+1)\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})|}{\sqrt{6}} = \frac{|p+1 - 4 + 1|}{\sqrt{6}} = \frac{|p-2|}{\sqrt{6}}$.
दिया है कि $d = \frac{1}{\sqrt{6}}$,इसलिए $|p-2| = 1$,जिसका अर्थ है $p-2 = 1$ या $p-2 = -1$.
अतः,$p = 3$ या $p = 1$. चूँकि $a < b$,इसलिए $a = 1$ और $b = 3$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{1^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$ है। यहाँ $a^2 = 1$ और $b^2 = 9$ है,इसलिए $b > a$.
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए जहाँ $b > a$ हो,नाभिलंब की लंबाई $\frac{2a^2}{b} = \frac{2(1)}{3} = \frac{2}{3}$ होती है।

(A) रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के दिशा सदिश $\vec{v_1} = \langle 1, 0, -1 \rangle$ और $\vec{v_2} = \langle 3, 4, 5 \rangle$ हैं।
मान लीजिए $\theta$ रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के बीच का कोण है।
$\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|} = \frac{|(1)(3) + (0)(4) + (-1)(5)|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}} = \frac{|3 + 0 - 5|}{\sqrt{2} \sqrt{9 + 16 + 25}} = \frac{2}{\sqrt{2} \sqrt{50}} = \frac{2}{\sqrt{100}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ है।
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{5}$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5}$ है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$AB = AC = \sqrt{15}$ दिया गया है,इसलिए $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \sqrt{15} \times \sqrt{15} \times \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{1}{2} \times 15 \times \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{3 \sqrt{24}}{2}$ है।
क्षेत्रफल का वर्ग $(\frac{3 \sqrt{24}}{2})^2 = \frac{9 \times 24}{4} = 9 \times 6 = 54$ है।

(D) माना दो रेखाएं $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $L_2: \frac{x}{1}=\frac{y}{\alpha}=\frac{z-5}{1}$ हैं।
रेखाओं पर बिंदु $A(1, 2, 3)$ और $B(0, 0, 5)$ हैं।
दिशा सदिश $\vec{b_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{b_2} = \hat{i} + \alpha\hat{j} + \hat{k}$ हैं।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & \alpha & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-4\alpha) - \hat{j}(2-4) + \hat{k}(2\alpha-3) = (3-4\alpha)\hat{i} + 2\hat{j} + (2\alpha-3)\hat{k}$.
सदिश $\vec{AB} = (0-1)\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|(-1)(3-4\alpha) + (-2)(2) + (2)(2\alpha-3)|}{\sqrt{(3-4\alpha)^2 + 2^2 + (2\alpha-3)^2}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$.
$|4\alpha - 3 - 4 + 4\alpha - 6| = |8\alpha - 13|$.
$\frac{|8\alpha - 13|}{\sqrt{16\alpha^2 - 24\alpha + 9 + 4 + 4\alpha^2 - 12\alpha + 9}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$.
$\frac{|8\alpha - 13|}{\sqrt{20\alpha^2 - 36\alpha + 22}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $6(64\alpha^2 - 208\alpha + 169) = 25(20\alpha^2 - 36\alpha + 22)$.
$384\alpha^2 - 1248\alpha + 1014 = 500\alpha^2 - 900\alpha + 550$.
$116\alpha^2 + 348\alpha - 464 = 0$.
$116$ से विभाजित करने पर: $\alpha^2 + 3\alpha - 4 = 0$.
मूलों का योग $\alpha_1 + \alpha_2 = -3$.

(D) मान लीजिए कि रेखा $L$,$C(1,1,1)$ से होकर गुजरती है।
मान लीजिए कि रेखा $L$,रेखा $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4} = \lambda$ को बिंदु $A(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda+1)$ पर प्रतिच्छेद करती है।
मान लीजिए कि रेखा $L$,रेखा $L_2: \frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z}{1} = \mu$ को बिंदु $B(\mu+3, 2\mu+4, \mu)$ पर प्रतिच्छेद करती है।
चूंकि $A, B, C$ संरेख हैं,$AC$ और $BC$ के दिक अनुपात समानुपाती होने चाहिए।
$AC$ के दिक अनुपात $(2\lambda+1-1, 3\lambda-1-1, 4\lambda+1-1) = (2\lambda, 3\lambda-2, 4\lambda)$ हैं।
$BC$ के दिक अनुपात $(\mu+3-1, 2\mu+4-1, \mu-1) = (\mu+2, 2\mu+3, \mu-1)$ हैं।
चूंकि $A, B, C$ संरेख हैं,$\frac{2\lambda}{\mu+2} = \frac{3\lambda-2}{2\mu+3} = \frac{4\lambda}{\mu-1} = k$.
$\frac{2\lambda}{\mu+2} = \frac{4\lambda}{\mu-1}$ से,हमें $\frac{1}{\mu+2} = \frac{2}{\mu-1} \Rightarrow \mu-1 = 2\mu+4 \Rightarrow \mu = -5$ प्राप्त होता है।
$B$ के निर्देशांकों में $\mu = -5$ रखने पर,हमें $B(-5+3, 2(-5)+4, -5) = (-2, -6, -5)$ प्राप्त होता है।
रेखा $L$ के दिक अनुपात ($C(1,1,1)$ और $B(-2, -6, -5)$ से गुजरने वाली) $(1-(-2), 1-(-6), 1-(-5)) = (3, 7, 6)$ हैं।
रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x-1}{3} = \frac{y-1}{7} = \frac{z-1}{6}$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(7, 15, 13)$ के लिए: $\frac{7-1}{3} = 2, \frac{15-1}{7} = 2, \frac{13-1}{6} = 2$. चूंकि सभी अनुपात समान हैं,$(7, 15, 13)$ रेखा $L$ पर स्थित है।

(B) रेखा $L_1$ को $\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-0}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है। मान लीजिए $Q = (\lambda+1, \lambda+2, \lambda)$ है।
चूंकि $PQ \perp L_1$,सदिश $\vec{PQ} = (\lambda-4, \lambda+1, \lambda+3)$ दिशा सदिश $\vec{v_1} = (1, 1, 1)$ के लंबवत है।
अतः,$(\lambda-4)(1) + (\lambda+1)(1) + (\lambda+3)(1) = 0 \Rightarrow 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.
इस प्रकार,$Q = (1, 2, 0)$ और $\vec{PQ} = (-4, 1, 3)$ है।
रेखा $L_2$ को $\frac{x-2}{1} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-1}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है। मान लीजिए $R = (\mu+2, \mu, \mu+1)$ है।
चूंकि $PR \perp L_2$,सदिश $\vec{PR} = (\mu-3, \mu-1, \mu+4)$ दिशा सदिश $\vec{v_2} = (1, 1, 1)$ के लंबवत है।
अतः,$(\mu-3)(1) + (\mu-1)(1) + (\mu+4)(1) = 0 \Rightarrow 3\mu = 0 \Rightarrow \mu = 0$.
इस प्रकार,$R = (2, 0, 1)$ और $\vec{PR} = (-3, -1, 4)$ है।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$ है।
$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & 1 & 3 \\ -3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - (-3)) - \hat{j}(-16 - (-9)) + \hat{k}(4 - (-3)) = 7\hat{i} + 7\hat{j} - 7\hat{k}$.
$|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \sqrt{7^2 + 7^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 \times 3} = 7\sqrt{3}$.
$A = \frac{1}{2} \times 7\sqrt{3} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$.
$4A^2 = 4 \times \frac{49 \times 3}{4} = 147$.

(A) रेखाएं $\vec{r_1} = (1, 2, 3) + t(2, 3, 4)$ और $\vec{r_2} = (\lambda, 4, 5) + s(3, 4, 5)$ द्वारा दी गई हैं।
दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ है।
यहाँ,$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{6}$ है।
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (\lambda-1, 2, 2)$.
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\lambda-1)(-1) + 2(2) + 2(-1)|}{\sqrt{6}} = \frac{|3-\lambda|}{\sqrt{6}}$.
दिया गया है कि $d = \frac{1}{\sqrt{6}}$,इसलिए $|3-\lambda| = 1$,जिससे $\lambda = 4$ या $\lambda = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda_1 = 4$ और $\lambda_2 = 2$.
हमें $(0,0), (4,2)$ और $(2,4)$ से गुजरने वाले वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करनी है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = 6$ है।
भुजाओं की लंबाई $OA = \sqrt{20}, OB = \sqrt{20}, AB = \sqrt{8}$ है।
त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{8}}{4 \cdot 6} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$.

(C) मान लीजिए रेखाएं इस प्रकार हैं:
$L_1: x+2=y-1=z=\ell$
$L_2: \frac{x-3}{5}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{1}=m$
$L_3: \frac{x}{-3}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-2}{1}=n$
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$x = \ell-2, y = \ell+1, z = \ell$
$x = 5m+3, y = -m, z = m+1$
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\ell-2=5m+3, \ell+1=-m, \ell=m+1$. हल करने पर $\ell=0, m=-1$ प्राप्त होता है। बिंदु $A = (-2, 1, 0)$ है।
$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$x = 5m+3, y = -m, z = m+1$
$x = -3n, y = 3n+3, z = n+2$
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $5m+3=-3n, -m=3n+3, m+1=n+2$. हल करने पर $m=0, n=-1$ प्राप्त होता है। बिंदु $B = (3, 0, 1)$ है।
$L_3$ और $L_1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$x = -3n, y = 3n+3, z = n+2$
$x = \ell-2, y = \ell+1, z = \ell$
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $-3n=\ell-2, 3n+3=\ell+1, n+2=\ell$. हल करने पर $\ell=2, n=0$ प्राप्त होता है। बिंदु $C = (0, 3, 2)$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$
$\vec{AB} = (3 - (-2))\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (1-0)\hat{k} = 5\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AC} = (0 - (-2))\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2-2) - \hat{j}(10-2) + \hat{k}(10+2) = -4\hat{i} - 8\hat{j} + 12\hat{k}$
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2 + 12^2} = \frac{1}{2} \sqrt{16 + 64 + 144} = \frac{1}{2} \sqrt{224} = \sqrt{56}$
$A^2 = 56$.

(A) सबसे पहले,रेखाओं $AB$ और $CD$ के दिशा सदिश ज्ञात करें।
सदिश $\vec{AB} = (2-1, 3-2, 2-1) = (1, 1, 1)$ है।
सदिश $\vec{CD} = (3-2, 2-1, 4-3) = (1, 1, 1)$ है।
चूंकि दिशा सदिश समान हैं,इसलिए रेखाएं समानांतर हैं।
अब,यह जांचें कि क्या रेखाएं समान हैं,यह सत्यापित करके कि क्या बिंदु $C(2, 1, 3)$ रेखा $AB$ पर स्थित है।
रेखा $AB$ का समीकरण $\vec{r} = (1, 2, 1) + t(1, 1, 1) = (1+t, 2+t, 1+t)$ है।
यदि $C$,$AB$ पर है,तो $(1+t, 2+t, 1+t) = (2, 1, 3)$ होगा।
इससे $1+t=2 \implies t=1$,$2+t=1 \implies t=-1$,और $1+t=3 \implies t=2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $t$ का मान सुसंगत नहीं है,इसलिए $C$,$AB$ पर स्थित नहीं है।
अतः,रेखाएं समानांतर हैं लेकिन अलग हैं।
इसलिए,$\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}$।

(A) मान लीजिए $AD$ शीर्ष $A$ से भुजा $BC$ पर माध्यिका है।
चूंकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसके निर्देशांक $D = \left(\frac{\lambda - 1}{2}, 4, \frac{\mu + 2}{2}\right)$ हैं।
सदिश $\vec{AD} = D - A = \left(\frac{\lambda - 5}{2}, 1, \frac{\mu - 8}{2}\right)$ है।
चूंकि माध्यिका $AD$ निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए इसके दिक-अनुपात समान होंगे।
अतः,$\frac{\lambda - 5}{2} = 1 = \frac{\mu - 8}{2}$.
$\lambda$ के लिए: $\frac{\lambda - 5}{2} = 1 \implies \lambda = 7$.
$\mu$ के लिए: $\frac{\mu - 8}{2} = 1 \implies \mu = 10$.
इस प्रकार,$\lambda + \mu = 7 + 10 = 17$.