Line Questions in Hindi

(C) दो रेखाएं $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ समतलीय होती हैं यदि उनके बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और दिशा सदिशों का सारणिक शून्य हो:
$\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (k, 2, 3)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (-1, -2, -3)$ है।
दिशा सदिश $(a_1, b_1, c_1) = (1, 2, 3)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (3, 2, 1)$ हैं।
इन मानों को सारणिक में रखने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} -1-k & -2-2 & -3-3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
$\left|\begin{array}{ccc} -(k+1) & -4 & -6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-(k+1)(2-6) - (-4)(1-9) + (-6)(2-6) = 0$
$-(k+1)(-4) + 4(-8) - 6(-4) = 0$
$4(k+1) - 32 + 24 = 0$
$4k + 4 - 8 = 0$
$4k - 4 = 0$
$4k = 4$
$k = 1$

(A) दो रेखाओं $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{a}_1 = (1, 2, 3)$,$\vec{a}_2 = (2, 4, 5)$,$\vec{b}_1 = (2, 3, \lambda)$,और $\vec{b}_2 = (1, 4, 5)$ है।
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & \lambda \\ 1 & 4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(15-4\lambda) - \hat{j}(10-\lambda) + \hat{k}(8-3) = (15-4\lambda)\hat{i} + (\lambda-10)\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (2-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
$(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = (1)(15-4\lambda) + 2(\lambda-10) + 2(5) = 15 - 4\lambda + 2\lambda - 20 + 10 = 5 - 2\lambda$ है।
$|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{(15-4\lambda)^2 + (\lambda-10)^2 + 25} = \sqrt{225 + 16\lambda^2 - 120\lambda + \lambda^2 - 20\lambda + 100 + 25} = \sqrt{17\lambda^2 - 140\lambda + 350}$ है।
दिया गया है कि $d = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{|5-2\lambda|}{\sqrt{17\lambda^2 - 140\lambda + 350}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $3(5-2\lambda)^2 = 17\lambda^2 - 140\lambda + 350$ प्राप्त होता है।
$3(25 - 20\lambda + 4\lambda^2) = 17\lambda^2 - 140\lambda + 350 \implies 75 - 60\lambda + 12\lambda^2 = 17\lambda^2 - 140\lambda + 350$ है।
$5\lambda^2 - 80\lambda + 275 = 0 \implies \lambda^2 - 16\lambda + 55 = 0$ है।
$(\lambda-5)(\lambda-11) = 0$,इसलिए $\lambda = 5$ या $\lambda = 11$ है।
$\lambda$ के सभी संभावित मानों का योग $5 + 11 = 16$ है।

(D) मान लीजिए पहली रेखा पर बिंदु $A$ $(3\lambda+7, -\lambda+1, \lambda-2)$ है और दूसरी रेखा पर बिंदु $B$ $(2\mu, 3\mu+7, \mu)$ है।
रेखा $AB$ के दिक-अनुपात $(2\mu - (3\lambda+7), 3\mu+7 - (-\lambda+1), \mu - (\lambda-2))$ हैं,जो सरल होकर $(2\mu - 3\lambda - 7, 3\mu + \lambda + 6, \mu - \lambda + 2)$ हो जाते हैं।
चूंकि रेखा $AB$ के दिक-अनुपात $1, -4, 2$ दिए गए हैं,इसलिए:
$\frac{2\mu - 3\lambda - 7}{1} = \frac{3\mu + \lambda + 6}{-4} = \frac{\mu - \lambda + 2}{2} = k$
पहले और दूसरे अनुपात से:
$-8\mu + 12\lambda + 28 = 3\mu + \lambda + 6 \implies 11\lambda - 11\mu = -22 \implies \lambda - \mu = -2 \implies \mu = \lambda + 2$.
दूसरे और तीसरे अनुपात से:
$6\mu + 2\lambda + 12 = -4\mu + 4\lambda - 8 \implies 10\mu - 2\lambda = -20 \implies 5\mu - \lambda = -10$.
$\mu = \lambda + 2$ को $5\mu - \lambda = -10$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5(\lambda + 2) - \lambda = -10 \implies 4\lambda + 10 = -10 \implies 4\lambda = -20 \implies \lambda = -5$.
अतः $\mu = -5 + 2 = -3$.
$A$ के निर्देशांक: $(3(-5)+7, -(-5)+1, -5-2) = (-8, 6, -7)$.
$B$ के निर्देशांक: $(2(-3), 3(-3)+7, -3) = (-6, -2, -3)$.
$(AB)^2 = (-6 - (-8))^2 + (-2 - 6)^2 + (-3 - (-7))^2 = (2)^2 + (-8)^2 + (4)^2 = 4 + 64 + 16 = 84$.

(B) दो रेखाओं $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda \vec{b}_1$ और $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu \vec{b}_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\vec{a}_1 = -\hat{i} + 3\hat{k}$,$\vec{b}_1 = \hat{i} - a\hat{j}$,$\vec{a}_2 = -\hat{j} + 2\hat{k}$,और $\vec{b}_2 = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = -a\hat{i} - \hat{j} + (a-1)\hat{k}$.
$|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{2a^2 - 2a + 2}$.
$(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = 2 - 2a$.
चूँकि $d = \sqrt{\frac{2}{3}}$,इसलिए $\frac{|2 - 2a|}{\sqrt{2a^2 - 2a + 2}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{4(1-a)^2}{2(a^2 - a + 1)} = \frac{2}{3} \implies 2a^2 - 5a + 2 = 0$.
$(2a - 1)(a - 2) = 0$,अतः $a = 2$ या $a = 0.5$.
$a$ का पूर्णांक मान $2$ है।

(B) $xy$-समतल $(z=0)$ में रेखा $l_{1}$ का समीकरण,जिसके $x$ और $y$ अंतःखंड $\frac{1}{8}$ और $\frac{1}{4 \sqrt{2}}$ हैं,$\frac{x}{1/8} + \frac{y}{1/(4 \sqrt{2})} = 1$ अर्थात $8x + 4 \sqrt{2}y = 1$ है।
रेखा $l_{1}$ का दिशा सदिश $\vec{v}_{1} = (1, -\sqrt{2}, 0)$ है और यह बिंदु $A = (\frac{1}{8}, 0, 0)$ से गुजरती है।
$zx$-समतल $(y=0)$ में रेखा $l_{2}$ का समीकरण,जिसके $x$ और $z$ अंतःखंड $-\frac{1}{8}$ और $-\frac{1}{6 \sqrt{3}}$ हैं,$-8x - 6 \sqrt{3}z = 1$ है।
रेखा $l_{2}$ का दिशा सदिश $\vec{v}_{2} = (3 \sqrt{3}, 0, -4)$ है और यह बिंदु $B = (-\frac{1}{8}, 0, 0)$ से गुजरती है।
दो विषम तलीय रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{B}-\vec{A}) \cdot (\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2})|}{|\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2}|}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
$\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2} = 4 \sqrt{2} \hat{i} + 4 \hat{j} + 3 \sqrt{6} \hat{k}$ और इसका परिमाण $\sqrt{102}$ है।
$\vec{B}-\vec{A} = (-\frac{1}{4}, 0, 0)$ होने के कारण,दूरी $d = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{102}} = \frac{1}{\sqrt{51}}$ प्राप्त होती है।
अतः,$d^{-2} = 51$.

(B) रेखा $l_{1}$ को $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-2}{0}$ के रूप में लिखा जा सकता है। दिशा सदिश $\vec{v_{1}} = (3, -2, 0)$ है।
रेखा $l_{2}$ को $\frac{x-1}{1}=\frac{y+3/2}{\alpha/2}=\frac{z+5}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है। दिशा सदिश $\vec{v_{2}} = (1, \alpha/2, 2)$ है।
चूंकि $l_{1} \perp l_{2}$,उनका डॉट गुणनफल शून्य है: $(3)(1) + (-2)(\alpha/2) + (0)(2) = 0$.
$3 - \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 3$.
रेखा $l_{3}$ को $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-1/2}{-2}=\frac{z-0}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है। दिशा सदिश $\vec{v_{3}} = (-3, -2, 4)$ है।
$\alpha = 3$ के लिए,$l_{2}$ का दिशा सदिश $\vec{v_{2}} = (1, 3/2, 2)$ है।
$l_{2}$ और $l_{3}$ के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{|\vec{v_{2}} \cdot \vec{v_{3}}|}{||\vec{v_{2}}|| ||\vec{v_{3}}||}$ सूत्र का उपयोग करते हुए.
$\vec{v_{2}} \cdot \vec{v_{3}} = (1)(-3) + (3/2)(-2) + (2)(4) = -3 - 3 + 8 = 2$.
$||\vec{v_{2}}|| = \sqrt{1^{2} + (3/2)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 9/4 + 4} = \sqrt{29/4} = \frac{\sqrt{29}}{2}$.
$||\vec{v_{3}}|| = \sqrt{(-3)^{2} + (-2)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}$.
$\cos \theta = \frac{2}{(\sqrt{29}/2) \times \sqrt{29}} = \frac{2}{29/2} = \frac{4}{29}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{4}{29}\right) = \sec^{-1}\left(\frac{29}{4}\right)$.

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-1}{-1}$ और $L_2: \frac{x+3}{2}=\frac{y-6}{1}=\frac{z-5}{3}$ हैं।
रेखाओं पर स्थित बिंदु $A(3, 2, 1)$ और $B(-3, 6, 5)$ हैं।
दिशा सदिश $\vec{b_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b_2} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
सदिश $\vec{AB} = (-3-3)\hat{i} + (6-2)\hat{j} + (5-1)\hat{k} = -6\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(9 - (-1)) - \hat{j}(6 - (-2)) + \hat{k}(2 - 6) = 10\hat{i} - 8\hat{j} - 4\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{10^2 + (-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{100 + 64 + 16} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$ है।
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट $|\vec{AB} \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})| = |(-6)(10) + (4)(-8) + (4)(-4)| = |-60 - 32 - 16| = |-108| = 108$ है।
अतः,न्यूनतम दूरी $d = \frac{108}{6\sqrt{5}} = \frac{18}{\sqrt{5}}$ है।

(D) मान लीजिए $M$,बिंदु $P(1, 2, 3)$ से रेखा $L$ पर डाले गए लंब का पाद है। रेखा $L$ पर कोई भी बिंदु $M(3\lambda+6, 2\lambda+1, 3\lambda+2)$ के रूप में है।
रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
सदिश $\vec{PM} = (3\lambda+5)\hat{i} + (2\lambda-1)\hat{j} + (3\lambda-1)\hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{PM} \perp \vec{v}$,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य है:
$3(3\lambda+5) + 2(2\lambda-1) + 3(3\lambda-1) = 0$
$9\lambda + 15 + 4\lambda - 2 + 9\lambda - 3 = 0$
$22\lambda + 10 = 0 \implies \lambda = -\frac{5}{11}$.
$\lambda$ का मान $M$ में रखने पर,$M = (\frac{51}{11}, \frac{1}{11}, \frac{7}{11})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $Q$,रेखा में $P$ का प्रतिबिंब है,इसलिए $M$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$M = \frac{P+Q}{2} \implies Q = 2M - P = (\frac{91}{11}, -\frac{20}{11}, -\frac{19}{11})$.
$R$,$PQ$ को $1:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $R = \frac{1(Q) + 3(P)}{1+3} = \frac{Q + 3P}{4}$.
$R = \frac{1}{4} ((\frac{91}{11} + 3), (-\frac{20}{11} + 6), (-\frac{19}{11} + 9)) = (\frac{31}{11}, \frac{23}{22}, \frac{20}{11})$.
$\alpha+\beta+\gamma = \frac{62+23+40}{22} = \frac{125}{22}$.
$22(\alpha+\beta+\gamma) = 125$.

(A) पहली रेखा $L_{1}: \frac{x+7}{-6}=\frac{y-6}{7}=\frac{z-0}{1}$ है।
$L_{1}$ पर एक बिंदु $\vec{a}_{1} = (-7, 6, 0)$ है और इसका दिशा सदिश $\vec{b}_{1} = (-6, 7, 1)$ है।
दूसरी रेखा $L_{2}: \frac{x-7}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-6}{1}$ है।
$L_{2}$ पर एक बिंदु $\vec{a}_{2} = (7, 2, 6)$ है और इसका दिशा सदिश $\vec{b}_{2} = (-2, 1, 1)$ है।
सदिश $\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1} = (7 - (-7), 2 - 6, 6 - 0) = (14, -4, 6)$ है।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -6 & 7 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 6\hat{i} + 4\hat{j} + 8\hat{k} = (6, 4, 8)$ है।
इसका परिमाण $|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}| = \sqrt{6^2 + 4^2 + 8^2} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{(\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}) \cdot (\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2})}{|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}|} \right| = \left| \frac{(14, -4, 6) \cdot (6, 4, 8)}{2\sqrt{29}} \right| = \frac{116}{2\sqrt{29}} = 2\sqrt{29}$।

(A) रेखा के दिक्-अनुपात समतलों $x + y - z = 0$ और $x - 2y + 3z - 5 = 0$ के अभिलंबों के सदिश गुणनफल द्वारा प्राप्त होते हैं।
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - 2) - \hat{j}(3 + 1) + \hat{k}(-2 - 1) = \hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}$.
$(1, 2, 4)$ से गुजरने वाली और दिक्-सदिश $\vec{v} = (1, -4, -3)$ वाली रेखा का समीकरण $\vec{r} = (1, 2, 4) + \lambda(1, -4, -3)$ है।
मान लीजिए $P$ रेखा पर एक बिंदु है: $P = (1 + \lambda, 2 - 4\lambda, 4 - 3\lambda)$.
मान लीजिए $A = (1, -2, 5)$. सदिश $\vec{AP} = P - A = (\lambda, 4 - 4\lambda, -1 - 3\lambda)$.
चूंकि $\vec{AP}$ रेखा की दिशा $\vec{v} = (1, -4, -3)$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$\vec{AP} \cdot \vec{v} = 1(\lambda) - 4(4 - 4\lambda) - 3(-1 - 3\lambda) = 0$.
$\lambda - 16 + 16\lambda + 3 + 9\lambda = 0 \implies 26\lambda - 13 = 0 \implies \lambda = \frac{1}{2}$.
$P$ में $\lambda = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें $P = (\frac{3}{2}, 0, \frac{5}{2})$ प्राप्त होता है।
लंब की लंबाई दूरी $AP = \sqrt{(\frac{3}{2} - 1)^2 + (0 - (-2))^2 + (\frac{5}{2} - 5)^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (2)^2 + (-\frac{5}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 4 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{26}{4} + \frac{16}{4}} = \sqrt{\frac{42}{4}} = \sqrt{\frac{21}{2}}$.

(A) रेखा पर कोई भी बिंदु $A(\lambda) = (2\lambda - 1, 3\lambda - 2, 2\lambda + 1)$ मान लीजिए।
बिंदु $P(4, 2, 7)$ से दूरी $\sqrt{26}$ दी गई है,इसलिए:
$(2\lambda - 1 - 4)^2 + (3\lambda - 2 - 2)^2 + (2\lambda + 1 - 7)^2 = (\sqrt{26})^2$
$(2\lambda - 5)^2 + (3\lambda - 4)^2 + (2\lambda - 6)^2 = 26$
$(4\lambda^2 - 20\lambda + 25) + (9\lambda^2 - 24\lambda + 16) + (4\lambda^2 - 24\lambda + 36) = 26$
$17\lambda^2 - 68\lambda + 77 = 26$
$17\lambda^2 - 68\lambda + 51 = 0$
$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \implies (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$
अतः,$\lambda = 1$ और $\lambda = 3$ है।
$\lambda = 1$ के लिए,$Q = (1, 1, 3)$। $\lambda = 3$ के लिए,$R = (5, 7, 7)$।
$\overrightarrow{PQ} = Q - P = (-3, -1, -4)$।
$\overrightarrow{PR} = R - P = (1, 5, 0)$।
$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & -1 & -4 \\ 1 & 5 & 0 \end{vmatrix} = 20\hat{i} - 4\hat{j} - 14\hat{k}$।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}| = \frac{1}{2} \sqrt{20^2 + (-4)^2 + (-14)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{612} = \sqrt{153}$।
क्षेत्रफल का वर्ग $= 153$।

(B) माना रेखा $L: \frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{3} = \frac{z-1}{-1} = \lambda$ है। रेखा पर कोई बिंदु $M(2\lambda-1, 3\lambda+3, -\lambda+1)$ है।
सदिश $\vec{PM} = (2\lambda-1-a, 3\lambda-1, -\lambda-1)$ है।
चूँकि $\vec{PM}$ रेखा की दिशा $\vec{v} = (2, 3, -1)$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{PM} \cdot \vec{v} = 0$ होगा।
$2(2\lambda-1-a) + 3(3\lambda-1) - 1(-\lambda-1) = 0 \Rightarrow 14\lambda - 4 - 2a = 0 \Rightarrow a = 7\lambda - 2$ प्राप्त होता है।
लंब की लंबाई $PM = 2\sqrt{6}$ है,इसलिए $PM^2 = 24$ होगा।
$(2\lambda-1-a)^2 + (3\lambda-1)^2 + (\lambda+1)^2 = 24$ में $a = 7\lambda-2$ रखने पर:
$(-5\lambda+1)^2 + (3\lambda-1)^2 + (\lambda+1)^2 = 24$।
$35\lambda^2 - 14\lambda - 21 = 0 \Rightarrow 5\lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0$।
$(5\lambda+3)(\lambda-1) = 0$। चूँकि $a > 0$,इसलिए $\lambda = 1$ होगा।
अतः $a = 5$ और $M = (1, 6, 0)$ होगा।
$M$,$PQ$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $\frac{a+\alpha_1}{2} = 1, \frac{4+\alpha_2}{2} = 6, \frac{2+\alpha_3}{2} = 0$ होगा।
$\alpha_1 = -3, \alpha_2 = 8, \alpha_3 = -2$।
$a + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 5 - 3 + 8 - 2 = 8$।

(C) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-6}{2}$ और $L_2: \frac{x-6}{3}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+8}{0}$ हैं।
यहाँ,बिंदु $A(2, -1, 6)$,$L_1$ पर स्थित है और बिंदु $B(6, 1, -8)$,$L_2$ पर स्थित है।
दिशा सदिश $\vec{b_1} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b_2} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}$ हैं।
सदिश $\vec{AB} = (6-2)\hat{i} + (1-(-1))\hat{j} + (-8-6)\hat{k} = 4\hat{i} + 2\hat{j} - 14\hat{k}$ है।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 2 \\ 3 & -2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-4)) - \hat{j}(0 - 6) + \hat{k}(-6 - 6) = 4\hat{i} + 6\hat{j} - 12\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{4^2 + 6^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} = \frac{|(4)(4) + (2)(6) + (-14)(-12)|}{14} = \frac{|16 + 12 + 168|}{14} = \frac{196}{14} = 14$ है।

(D) रेखा का दिक अनुपात दोनों समतलों के अभिलंबों के सदिश गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2-3) - \hat{j}(-1-0) + \hat{k}(3-0) = -5\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$.
$(3, 2, 1)$ से गुजरने वाली और दिक सदिश $\vec{v} = \langle -5, 1, 3 \rangle$ वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{-5} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{3} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $M(-5\lambda+3, \lambda+2, 3\lambda+1)$ है।
माना $P = (1, 9, 7)$ है। सदिश $\vec{PM} = \langle -5\lambda+3-1, \lambda+2-9, 3\lambda+1-7 \rangle = \langle -5\lambda+2, \lambda-7, 3\lambda-6 \rangle$ है।
चूंकि $\vec{PM}$ रेखा के लंबवत है,इसलिए $\vec{PM} \cdot \langle -5, 1, 3 \rangle = 0$ है।
$-5(-5\lambda+2) + 1(\lambda-7) + 3(3\lambda-6) = 0$.
$25\lambda - 10 + \lambda - 7 + 9\lambda - 18 = 0$.
$35\lambda - 35 = 0 \implies \lambda = 1$.
$M$ के निर्देशांकों में $\lambda = 1$ रखने पर,$M = (-5(1)+3, 1+2, 3(1)+1) = (-2, 3, 4)$ प्राप्त होता है।
अतः,$(\alpha, \beta, \gamma) = (-2, 3, 4)$ है।
इसलिए,$\alpha+\beta+\gamma = -2+3+4 = 5$।

(D) रेखाएं $L_1: \frac{x+\sqrt{6}}{2}=\frac{y-\sqrt{6}}{3}=\frac{z-\sqrt{6}}{4}$ और $L_2: \frac{x-\lambda}{3}=\frac{y-2\sqrt{6}}{4}=\frac{z+2\sqrt{6}}{5}$ हैं।
रेखाओं पर बिंदु $P_1(-\sqrt{6}, \sqrt{6}, \sqrt{6})$ और $P_2(\lambda, 2\sqrt{6}, -2\sqrt{6})$ हैं।
दिशाह सदिश $\vec{v_1} = (2, 3, 4)$ और $\vec{v_2} = (3, 4, 5)$ हैं।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{6}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = 6$ है।
$\vec{P_2} - \vec{P_1} = (\lambda + \sqrt{6}, \sqrt{6}, -3\sqrt{6})$ है।
$|(\lambda + \sqrt{6})(-1) + (\sqrt{6})(2) + (-3\sqrt{6})(-1)| = 6\sqrt{6}$ प्राप्त होता है।
$|4\sqrt{6} - \lambda| = 6\sqrt{6}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1: 4\sqrt{6} - \lambda = 6\sqrt{6} \Rightarrow \lambda = -2\sqrt{6}$।
स्थिति $2: 4\sqrt{6} - \lambda = -6\sqrt{6} \Rightarrow \lambda = 10\sqrt{6}$।
योग $= 8\sqrt{6}$ और इसका वर्ग $= (8\sqrt{6})^2 = 384$ है।

(A) माना $L_1$ पर बिंदु $P = (2\lambda+1, \lambda+3, 2\lambda+2)$ है और $L_2$ पर बिंदु $Q = (\mu+2, 2\mu+2, 3\mu+3)$ है।
रेखा $PQ$ के दिक्-अनुपात $((\mu+2)-(2\lambda+1), (2\mu+2)-(\lambda+3), (3\mu+3)-(2\lambda+2)) = (\mu-2\lambda+1, 2\mu-\lambda-1, 3\mu-2\lambda+1)$ हैं।
चूंकि $L_3$ के दिक्-अनुपात $1, -1, -2$ हैं,इसलिए:
$\frac{\mu-2\lambda+1}{1} = \frac{2\mu-\lambda-1}{-1} = \frac{3\mu-2\lambda+1}{-2}$.
पहले दो भागों से: $-\mu+2\lambda-1 = 2\mu-\lambda-1 \Rightarrow 3\lambda = 3\mu \Rightarrow \lambda = \mu$.
$\lambda = \mu$ को $\frac{\mu-2\lambda+1}{1} = \frac{3\mu-2\lambda+1}{-2}$ में रखने पर:
$\frac{-\lambda+1}{1} = \frac{\lambda+1}{-2} \Rightarrow 2\lambda - 2 = \lambda + 1 \Rightarrow \lambda = 3$.
अतः,$\lambda = 3$ और $\mu = 3$ है। बिंदु $P(7, 6, 8)$ और $Q(5, 8, 12)$ हैं।
लंबाई $PQ = \sqrt{(5-7)^2 + (8-6)^2 + (12-8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

(D) बिंदु $(-3, 2, 3)$ से गुजरने वाली और $3, 3, -1$ दिक-अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x+3}{3} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{-1} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $M$,$(3\lambda-3, 3\lambda+2, 3-\lambda)$ है।
सदिश $\vec{PM}$ के दिक-अनुपात $(3\lambda-3-4, 3\lambda+2-6, 3-\lambda-(-2)) = (3\lambda-7, 3\lambda-4, 5-\lambda)$ हैं।
चूंकि $\vec{PM}$ रेखा $(3, 3, -1)$ के लंबवत है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$3(3\lambda-7) + 3(3\lambda-4) - 1(5-\lambda) = 0$.
$9\lambda - 21 + 9\lambda - 12 - 5 + \lambda = 0$.
$19\lambda - 38 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
$M$ के निर्देशांकों में $\lambda = 2$ रखने पर,हमें $M(3(2)-3, 3(2)+2, 3-2) = (3, 8, 1)$ प्राप्त होता है।
दूरी $PM = \sqrt{(3-4)^2 + (8-6)^2 + (1-(-2))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$.

(A) सबसे पहले,रेखाओं को सममित रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में व्यक्त करें।
पहली रेखा के लिए: $x+1 = 2y = -12z \Rightarrow \frac{x+1}{1} = \frac{y}{1/2} = \frac{z}{-1/12}$. बिंदु $A = (-1, 0, 0)$,दिशा सदिश $\vec{p} = (1, 1/2, -1/12)$.
दूसरी रेखा के लिए: $x = y+2 = 6z-6 \Rightarrow \frac{x}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{1/6}$. बिंदु $B = (0, -2, 1)$,दिशा सदिश $\vec{q} = (1, 1, 1/6)$.
सदिश $\vec{B}-\vec{A} = (0-(-1), -2-0, 1-0) = (1, -2, 1) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1/2 & -1/12 \\ 1 & 1 & 1/6 \end{vmatrix} = \hat{i}(\frac{1}{12} + \frac{1}{12}) - \hat{j}(\frac{1}{6} + \frac{1}{12}) + \hat{k}(1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{6}\hat{i} - \frac{1}{4}\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$.
सदिश $\vec{p} \times \vec{q}$ को $12$ से गुणा करने पर,हमें $2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$ प्राप्त होता है।
इसका परिमाण $|\vec{p} \times \vec{q}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$.
न्यूनतम दूरी $\left| \frac{(\vec{B}-\vec{A}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})}{|\vec{p} \times \vec{q}|} \right| = \left| \frac{(1, -2, 1) \cdot (2, -3, 6)}{7} \right| = \left| \frac{2 + 6 + 6}{7} \right| = \frac{14}{7} = 2$.

(C) माना रेखा $L: \frac{x+1}{2} = \frac{y-1}{5} = \frac{z+1}{-1} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $P(2\lambda - 1, 5\lambda + 1, -\lambda - 1)$ है।
चूंकि $P$,बिंदु $A(2, 0, 5)$ से रेखा पर लंब का पाद है,इसलिए सदिश $\vec{AP}$,रेखा के दिशा सदिश $\vec{b} = 2\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}$ के लंबवत होना चाहिए।
$\vec{AP} = (2\lambda - 3)\hat{i} + (5\lambda + 1)\hat{j} + (-\lambda - 6)\hat{k}$.
चूंकि $\vec{AP} \cdot \vec{b} = 0$,इसलिए:
$2(2\lambda - 3) + 5(5\lambda + 1) - 1(-\lambda - 6) = 0$
$30\lambda + 5 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{6}$.
$P$ के निर्देशांकों में $\lambda = -\frac{1}{6}$ रखने पर:
$\alpha = -\frac{4}{3}, \beta = \frac{1}{6}, \gamma = -\frac{5}{6}$.
विकल्पों की जांच करने पर:
$A) \frac{\alpha \beta}{\gamma} = \frac{4}{15}$ (सही)
$B) \frac{\alpha}{\beta} = -8$ (सही)
$C) \frac{\beta}{\gamma} = -\frac{1}{5}$ (गलत,क्योंकि $-5$ दिया गया है)
$D) \frac{\gamma}{\alpha} = \frac{5}{8}$ (सही)
अतः,विकल्प $C$ सही नहीं है।

(A) बिंदुओं $(1, 2, 3)$ और $(2, 3, 4)$ को जोड़ने वाली रेखा का दिशा सदिश $\vec{p} = (2-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (4-3)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है। इस रेखा का समीकरण $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।
दूसरी रेखा $\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \mu(2\hat{i} - \hat{j} + 0\hat{k})$ है।
माना $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{p} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{q} = 2\hat{i} - \hat{j}$.
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-1)) - \hat{j}(0 - 2) + \hat{k}(-1 - 2) = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{p} \times \vec{q}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.
सदिश $\vec{b} - \vec{a} = (1-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (2-3)\hat{k} = -3\hat{j} - \hat{k}$.
न्यूनतम दूरी $\alpha = \left| \frac{(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})}{|\vec{p} \times \vec{q}|} \right| = \left| \frac{(0\hat{i} - 3\hat{j} - 1\hat{k}) \cdot (1\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k})}{\sqrt{14}} \right| = \left| \frac{0 - 6 + 3}{\sqrt{14}} \right| = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
अतः,$28\alpha^2 = 28 \times \left( \frac{3}{\sqrt{14}} \right)^2 = 28 \times \frac{9}{14} = 2 \times 9 = 18$.

(B) दी गई रेखाएं $\frac{x-1}{2}=\frac{y+8}{-7}=\frac{z-4}{5}$ और $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-6}{-3}$ हैं।
पहली रेखा के लिए, बिंदु $\vec{a} = \hat{i} - 8\hat{j} + 4\hat{k}$ और दिशा सदिश $\vec{p} = 2\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
दूसरी रेखा के लिए, बिंदु $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ और दिशा सदिश $\vec{q} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ है।
सदिश गुणनफल $\vec{p} \times \vec{q}$ इस प्रकार है:
$\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -7 & 5 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(21-5) - \hat{j}(-6-10) + \hat{k}(2+14) = 16\hat{i} + 16\hat{j} + 16\hat{k} = 16(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
इसका परिमाण $|\vec{p} \times \vec{q}| = 16\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = 16\sqrt{3}$ है।
सदिश $(\vec{a} - \vec{b}) = (1-1)\hat{i} + (-8-2)\hat{j} + (4-6)\hat{k} = -10\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र $d = \left| \frac{(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})}{|\vec{p} \times \vec{q}|} \right|$ है।
$d = \left| \frac{(-10\hat{j} - 2\hat{k}) \cdot 16(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{16\sqrt{3}} \right| = \left| \frac{16(0 - 10 - 2)}{16\sqrt{3}} \right| = \left| \frac{-12}{\sqrt{3}} \right| = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$.

(C) रेखा $l_1$ बिंदु $A(2, 6, 2)$ से गुजरती है और समतल $2x + y - 2z = 10$ के लंबवत है। समतल का दिशा सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ है। अतः,रेखा $l_1$ का समीकरण $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 6}{1} = \frac{z - 2}{-2}$ है।
दूसरी रेखा $l_2: \frac{x + 1}{2} = \frac{y + 4}{-3} = \frac{z}{2}$ है,जो बिंदु $B(-1, -4, 0)$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{v_2} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
दो विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{(\vec{b_2} - \vec{b_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|} \right|$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{b_1} = 2\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b_2} = -\hat{i} - 4\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
$\vec{b_2} - \vec{b_1} = (-1 - 2)\hat{i} + (-4 - 6)\hat{j} + (0 - 2)\hat{k} = -3\hat{i} - 10\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 6) - \hat{j}(4 - (-4)) + \hat{k}(-6 - 2) = -4\hat{i} - 8\hat{j} - 8\hat{k}$ है।
$|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64 + 64} = \sqrt{144} = 12$ है।
$d = \left| \frac{(-3\hat{i} - 10\hat{j} - 2\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} - 8\hat{j} - 8\hat{k})}{12} \right| = \left| \frac{12 + 80 + 16}{12} \right| = \frac{108}{12} = 9$.

(B) रेखा का दिशा सदिश $\vec{v}$,समतलों $x + 3y - 2z - 2 = 0$ और $x - y + 2z = 0$ के अभिलंबों के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 2) - \hat{j}(2 + 2) + \hat{k}(-1 - 3) = 4\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$.
हम दिशा सदिश को $\vec{d} = (1, -1, -1)$ ले सकते हैं।
बिंदु $P(2, 3, 1)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z - 1}{-1} = k$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $R$,$(k + 2, -k + 3, -k + 1)$ है।
मान लीजिए $Q = (5, 3, 8)$ है। सदिश $\vec{QR} = (k + 2 - 5, -k + 3 - 3, -k + 1 - 8) = (k - 3, -k, -k - 7)$ है।
चूंकि $\vec{QR}$ रेखा की दिशा $(1, -1, -1)$ के लंबवत है,इसलिए:
$1(k - 3) - 1(-k) - 1(-k - 7) = 0 \Rightarrow k - 3 + k + k + 7 = 0 \Rightarrow 3k + 4 = 0 \Rightarrow k = -\frac{4}{3}$.
सदिश $\vec{QR} = (-\frac{4}{3} - 3, -(-\frac{4}{3}), -(-\frac{4}{3}) - 7) = (-\frac{13}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{17}{3})$ है।
दूरी $\alpha = |\vec{QR}| = \sqrt{(-\frac{13}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2 + (-\frac{17}{3})^2} = \sqrt{\frac{169 + 16 + 289}{9}} = \sqrt{\frac{474}{9}}$.
अतः,$\alpha^2 = \frac{474}{9}$.
इसलिए,$3\alpha^2 = 3 \times \frac{474}{9} = \frac{474}{3} = 158$.

(A) रेखा $L$ बिंदु $(5, \lambda, -\lambda)$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{b_1} = (-2, 0, 1)$ है।
रेखा $L_1$ को $\frac{x+1}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-4}{-1}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $(-1, 1, 4)$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{b_2} = (1, 1, -1)$ है।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$.
यहाँ $\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-6, 1-\lambda, 4+\lambda)$.
$d = \frac{|6 - 1 + \lambda - 8 - 2\lambda|}{\sqrt{6}} = \frac{|-\lambda - 3|}{\sqrt{6}}$.
चूंकि $d = 2\sqrt{6}$,इसलिए $|\lambda+3| = 12$. $\lambda \geq 0$ होने के कारण,$\lambda = 9$.
$L$ के लिए,$(\alpha, \beta, \gamma) = (5-2k, 9, k-9)$.
अतः $\alpha = 5-2k$ और $\gamma = k-9$,जिसका अर्थ है $k = \gamma+9$.
$\alpha = 5-2(\gamma+9) = -2\gamma-13$,यानी $\alpha+2\gamma = -13$.
अतः,$\alpha+2\gamma=24$ संभव नहीं है।

(C) दो रेखाओं $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{a_2}=\frac{z-z_1}{a_3}$ और $\frac{x-x_2}{b_1}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{b_3}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$d = \frac{|(\vec{r_2} - \vec{r_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$
यहाँ, $\vec{r_1} = (5, 2, 4)$, $\vec{r_2} = (-3, -5, 1)$, $\vec{b_1} = (1, 2, -3)$, और $\vec{b_2} = (1, 4, -5)$ है।
सबसे पहले, $\vec{r_2} - \vec{r_1} = (-3-5, -5-2, 1-4) = (-8, -7, -3)$ की गणना करें।
इसके बाद, सदिश गुणनफल $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 1 & 4 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10+12) - \hat{j}(-5+3) + \hat{k}(4-2) = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ की गणना करें।
इसका परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ है।
अदिश गुणनफल $(\vec{r_2} - \vec{r_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (-8)(2) + (-7)(2) + (-3)(2) = -16 - 14 - 6 = -36$ है।
अतः, $d = \frac{|-36|}{2\sqrt{3}} = \frac{36}{2\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$।

(D) विकर्ण $OP$,$(0, 0, 0)$ और $(3, 4, 5)$ से होकर गुजरता है। इसका दिशा सदिश $\vec{b}_1 = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ है। $OP$ का समीकरण $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ है।
$z$-अक्ष के समानांतर एक किनारा जो $O(0, 0, 0)$ या $P(3, 4, 5)$ से होकर नहीं गुजरता है,उसे शीर्ष $(3, 0, 0)$ या $(0, 4, 0)$ से होकर गुजरना चाहिए। मान लीजिए हम $(3, 0, 0)$ से गुजरने वाले किनारे पर विचार करते हैं। इसका दिशा सदिश $\vec{b}_2 = \hat{k} = (0, 0, 1)$ है।
दो विषम रेखाओं $\vec{r} = \vec{a}_1 + t\vec{b}_1$ और $\vec{r} = \vec{a}_2 + s\vec{b}_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{a}_1 = (0, 0, 0)$,$\vec{a}_2 = (3, 0, 0)$,$\vec{b}_1 = (3, 4, 5)$,और $\vec{b}_2 = (0, 0, 1)$ है।
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 4\hat{i} - 3\hat{j}$.
$|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$.
$(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = (3, 0, 0) \cdot (4, -3, 0) = 12$.
अतः,$d = \frac{|12|}{5} = \frac{12}{5}$.

(A) दो रेखाओं $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{n}_1$ और $\vec{r} = \vec{b} + \mu \vec{n}_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी $S_d$ का सूत्र है:
$S_d = \left| \frac{(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{n}_1 \times \vec{n}_2)}{|\vec{n}_1 \times \vec{n}_2|} \right|$
दिए गए समीकरणों से:
$\vec{a} = (4, -2, -3)$,$\vec{b} = (1, 3, 4)$
$\vec{n}_1 = (4, 5, 3)$,$\vec{n}_2 = (3, 4, 2)$
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ ज्ञात करें:
$\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 5 & 3 \\ 3 & 4 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(10-12) - \hat{j}(8-9) + \hat{k}(16-15) = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} = (-2, 1, 1)$
इसका परिमाण $|\vec{n}_1 \times \vec{n}_2| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$
अब,$\vec{b} - \vec{a} = (1-4, 3-(-2), 4-(-3)) = (-3, 5, 7)$
अदिश गुणनफल $(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{n}_1 \times \vec{n}_2) = (-3, 5, 7) \cdot (-2, 1, 1) = 6 + 5 + 7 = 18$
अतः,$S_d = \left| \frac{18}{\sqrt{6}} \right| = \frac{18}{\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{18\sqrt{6}}{6} = 3\sqrt{6}$

(B) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x+2}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z-5}{2}$ और $L_2: \frac{x-4}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+3}{0}$ हैं।
$L_1$ से,बिंदु $P_1 = (-2, 0, 5)$ और दिशा सदिश $\vec{b_1} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ प्राप्त होता है।
$L_2$ से,बिंदु $P_2 = (4, 1, -3)$ और दिशा सदिश $\vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ प्राप्त होता है।
सदिश $\vec{P_1P_2} = (4 - (-2))\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} + (-3 - 5)\hat{k} = 6\hat{i} + \hat{j} - 8\hat{k}$ है।
क्रॉस गुणनफल $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = -4\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{16 + 4 + 16} = 6$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} = \frac{|-24 + 2 - 32|}{6} = \frac{54}{6} = 9$ है।

(B) दो रेखाएं $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ समतलीय होती हैं यदि $\left|\begin{array}{ccc}x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2\end{array}\right| = 0$ हो।
दी गई रेखा $L_1: \frac{x+3}{-3} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-5}{5}$,बिंदु $P_1(-3, 1, 5)$ और दिशा सदिश $\vec{v_1} = (-3, 1, 5)$ है।
विकल्प $B$ के लिए: रेखा $L_2: \frac{x+1}{-1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-5}{5}$,बिंदु $P_2(-1, 2, 5)$ और दिशा सदिश $\vec{v_2} = (-1, 2, 5)$ है।
सदिश $\vec{P_1P_2} = (-1 - (-3), 2 - 1, 5 - 5) = (2, 1, 0)$ है।
समतलीयता की शर्त की जाँच करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & 5 \\ -1 & 2 & 5\end{array}\right| = 2(5 - 10) - 1(-15 - (-5)) + 0 = 2(-5) - 1(-10) = -10 + 10 = 0$ है।
चूंकि सारणिक का मान $0$ है,इसलिए रेखाएं समतलीय हैं। अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) रेखाएँ $L_1: \frac{x-\lambda}{0}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+6}{1}$ और $L_2: \frac{x+\lambda}{3}=\frac{y}{-4}=\frac{z-6}{0}$ हैं।
रेखाओं पर स्थित बिंदु $A(\lambda, 3, -6)$ और $B(-\lambda, 0, 6)$ हैं। सदिश $\vec{AB} = (-2\lambda, -3, 12)$ है।
दिशा सदिश $\vec{v_1} = (0, 4, 1)$ और $\vec{v_2} = (3, -4, 0)$ हैं।
क्रॉस गुणनफल $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 4 & 1 \\ 3 & -4 & 0 \end{vmatrix} = 4\hat{i} + 3\hat{j} - 12\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{16 + 9 + 144} = 13$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|} = 13$ है।
$|(-2\lambda, -3, 12) \cdot (4, 3, -12)| = 169$ है।
$|-8\lambda - 153| = 169$ है।
$8\lambda + 153 = 169$ या $8\lambda + 153 = -169$ है।
$8\lambda = 16 \implies \lambda_1 = 2$ और $8\lambda = -322 \implies \lambda_2 = -\frac{322}{8}$ है।
योग $\sum_{\lambda \in S} \lambda = 2 - \frac{322}{8} = -\frac{306}{8}$ है।
अतः $8\left|\sum_{\lambda \in S} \lambda\right| = 306$ है।

(B) माना कि जिस रेखा की दिशा में दूरी मापी जानी है वह $\frac{x-7}{2} = \frac{y+2}{-3} = \frac{z-11}{6} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P(2\lambda + 7, -3\lambda - 2, 6\lambda + 11)$ है।
चूंकि यह बिंदु $P$,रेखा $\frac{x-6}{1} = \frac{y-4}{0} = \frac{z-8}{3}$ पर भी स्थित है,इसलिए:
$\frac{2\lambda + 7 - 6}{1} = \frac{-3\lambda - 2 - 4}{0} = \frac{6\lambda + 11 - 8}{3}$
मध्य पद का हर $0$ है,इसलिए अनुपात को परिभाषित करने के लिए अंश भी $0$ होना चाहिए:
$-3\lambda - 6 = 0 \Rightarrow \lambda = -2$.
$\lambda = -2$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 2(-2) + 7 = 3$
$y = -3(-2) - 2 = 4$
$z = 6(-2) + 11 = -1$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $B(3, 4, -1)$ है।
दूरी $AB$,बिंदु $A(7, -2, 11)$ और $B(3, 4, -1)$ के बीच की दूरी है:
$AB = \sqrt{(7-3)^2 + (-2-4)^2 + (11 - (-1))^2}$
$AB = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + 12^2}$
$AB = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14$.

(B) दी गई रेखाएं $L_1: \frac{x-4}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-3}$ और $L_2: \frac{x-\lambda}{2}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{-5}$ हैं।
रेखाओं पर स्थित बिंदु $A(4, -1, 0)$ और $B(\lambda, -1, 2)$ हैं। दिशा सदिश $\vec{d_1} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{d_2} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ हैं।
न्यूनतम दूरी $d = \left|\frac{(\vec{b}-\vec{a}) \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2})}{|\vec{d_1} \times \vec{d_2}|}\right|$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -5 \end{vmatrix} = 2\hat{i} - \hat{j} + 0\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{5}$ है।
अब,$\vec{b}-\vec{a} = (\lambda-4)\hat{i} + 0\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
डॉट प्रोडक्ट $(\vec{b}-\vec{a}) \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2}) = 2(\lambda-4)$ है।
चूंकि दूरी $\frac{6}{\sqrt{5}}$ दी गई है,इसलिए $\frac{|2(\lambda-4)|}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$ होगा।
इससे $|\lambda-4| = 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\lambda = 7$ या $\lambda = 1$।
$\lambda$ के सभी संभावित मानों का योग $7 + 1 = 8$ है।

(C) मान लीजिए रेखा $L_1: \frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3}=\lambda$ है। रेखा पर कोई बिंदु $M = (\lambda, 1+2\lambda, 2+3\lambda)$ है।
मान लीजिए $P = (1,0,7)$ है। सदिश $\overrightarrow{PM} = (\lambda-1, 1+2\lambda, 3\lambda-5)$ है।
चूंकि $\overrightarrow{PM}$ रेखा $L_1$ (जिसका दिशा सदिश $\vec{b} = (1,2,3)$ है) के लंबवत है,इसलिए $\overrightarrow{PM} \cdot \vec{b} = 0$ होगा।
$(\lambda-1)(1) + (1+2\lambda)(2) + (3\lambda-5)(3) = 0 \Rightarrow \lambda-1+2+4\lambda+9\lambda-15 = 0 \Rightarrow 14\lambda = 14 \Rightarrow \lambda = 1$ है।
अतः,$M = (1, 3, 5)$ है।
चूंकि $M$,$PQ$ का मध्यबिंदु है,जहाँ $Q = (\alpha, \beta, \gamma)$,तो $M = \frac{P+Q}{2} \Rightarrow Q = 2M - P = 2(1,3,5) - (1,0,7) = (1,6,3)$ है।
अतः,$(\alpha, \beta, \gamma) = (1,6,3)$ है।
मान लीजिए अभीष्ट रेखा की दिक कोज्याएँ $(l, m, n)$ हैं। दिया गया है कि $m = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ और $n = \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$l^2+m^2+n^2=1$ होने के कारण,$l^2 + (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1 \Rightarrow l^2 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow l^2 = \frac{1}{4}$ है।
चूंकि रेखा $x$-अक्ष के साथ न्यून कोण बनाती है,इसलिए $l = \frac{1}{2}$ है।
रेखा $(1,6,3)$ से गुजरती है और इसकी दिशा $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ है,जिसे $(1, -1, -\sqrt{2})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{1} = \frac{y-6}{-1} = \frac{z-3}{-\sqrt{2}} = \mu$ है।
$\mu = 2$ के लिए,$x = 3, y = 4, z = 3-2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है। जो विकल्प $C$ के साथ मेल खाता है।

(A) माना पहली रेखा $\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-2}=\frac{z-7}{16} = \lambda$ है। तो इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2\lambda+2, -2\lambda, 16\lambda+7)$ है।
माना दूसरी रेखा $\frac{x+3}{4}=\frac{y+2}{3}=\frac{z+2}{1} = k$ है। तो इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(4k-3, 3k-2, k-2)$ है।
चूंकि वे $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,हम निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$2\lambda+2 = 4k-3 \Rightarrow 2\lambda - 4k = -5$
$-2\lambda = 3k-2 \Rightarrow 2\lambda + 3k = 2$
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $-k = -7 \Rightarrow k=1$। $k=1$ को $2\lambda+3(1)=2$ में रखने पर,हमें $2\lambda = -1 \Rightarrow \lambda = -1/2$ प्राप्त होता है।
$z$-निर्देशांक की जाँच करने पर: $16(-1/2)+7 = -8+7 = -1$ और $k-2 = 1-2 = -1$। चूंकि वे समान हैं,प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ $(4(1)-3, 3(1)-2, 1-2) = (1, 1, -1)$ है।
अब,हम रेखा $\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{1}$ से $P(1, 1, -1)$ की दूरी $l$ ज्ञात करते हैं।
माना $A = (-1, 1, 1)$ रेखा पर एक बिंदु है और $\vec{v} = 2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$ दिशा सदिश है।
सदिश $\vec{AP} = (1 - (-1))\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (-1-1)\hat{k} = 2\hat{i} - 2\hat{k}$ है।
दूरी $l$ का सूत्र $l = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ है।
$\vec{AP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-6)) - \hat{j}(2 - (-4)) + \hat{k}(6 - 0) = 6\hat{i} - 6\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
$|\vec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{6^2 + (-6)^2 + 6^2} = \sqrt{36+36+36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ है।
$|\vec{v}| = \sqrt{2^2+3^2+1^2} = \sqrt{4+9+1} = \sqrt{14}$ है।
$l = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{14}} \Rightarrow l^2 = \frac{36 \times 3}{14} = \frac{108}{14}$ है।
अतः,$14l^2 = 108$।

(B) माना $P$ रेखा $x = y + 2 = z = t$ पर एक बिंदु है। तब $P = (t, t - 2, t)$ है।
माना $Q$ रेखा $x + 2 = 2y = 2z = 2s$ पर एक बिंदु है। तब $Q = (2s - 2, s, s)$ है।
रेखा $PQ$ के दिक-अनुपात $(2, 1, 2)$ दिए गए हैं।
अतः,सदिश $\vec{PQ}$ के दिक-अनुपात $(2s - 2 - t, s - (t - 2), s - t) = (2s - t - 2, s - t + 2, s - t)$ हैं।
चूंकि रेखा $PQ$ के दिक-अनुपात $(2, 1, 2)$ हैं,हमारे पास है:
$\frac{2s - t - 2}{2} = \frac{s - t + 2}{1} = \frac{s - t}{2} = k$ (माना)।
$\frac{s - t + 2}{1} = \frac{s - t}{2}$ से,हमें $2s - 2t + 4 = s - t$ मिलता है,अर्थात $s - t = -4$।
$s - t = -4$ को अनुपातों में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2s - t - 2}{2} = \frac{-4 + 2}{1} = -2$,इसलिए $2s - t - 2 = -4$,जिसका अर्थ है $2s - t = -2$।
$s - t = -4$ और $2s - t = -2$ को हल करने पर,हमें $s = 2$ और $t = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$P = (6, 4, 6)$ और $Q = (2, 2, 2)$ है।
रेखा $PQ$ का समीकरण $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 2}{2} = \lambda$ है।
$PQ$ पर कोई भी बिंदु $F = (2\lambda + 2, \lambda + 2, 2\lambda + 2)$ है।
माना $A = (1, 2, 12)$ है। सदिश $\vec{AF} = (2\lambda + 1, \lambda, 2\lambda - 10)$ है।
चूंकि $AF \perp PQ$,इसलिए $\vec{AF} \cdot (2, 1, 2) = 0$ है।
$2(2\lambda + 1) + 1(\lambda) + 2(2\lambda - 10) = 0$।
$4\lambda + 2 + \lambda + 4\lambda - 20 = 0 \Rightarrow 9\lambda = 18 \Rightarrow \lambda = 2$।
अतः $F = (6, 4, 6)$ है।
लंबाई $l = AF = \sqrt{(6 - 1)^2 + (4 - 2)^2 + (6 - 12)^2} = \sqrt{5^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{25 + 4 + 36} = \sqrt{65}$ है।
इसलिए,$l^2 = 65$।

(B) मान लीजिए रेखाएं $L_1: \frac{x-5}{4}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{3}=\lambda$ और $L_2: \frac{x+8}{12}=\frac{y+2}{5}=\frac{z+11}{9}=\mu$ हैं।
$L_1$ पर कोई बिंदु $M(4\lambda+5, \lambda+4, 3\lambda+5)$ है और $L_2$ पर कोई बिंदु $N(12\mu-8, 5\mu-2, 9\mu-11)$ है।
सदिश $\overrightarrow{MN} = (12\mu-4\lambda-13, 5\mu-\lambda-6, 9\mu-3\lambda-16)$ है।
दिशा सदिश $\vec{b}_1 = (4, 1, 3)$ और $\vec{b}_2 = (12, 5, 9)$ हैं।
न्यूनतम दूरी सदिश $\overrightarrow{MN}$,$\vec{b}_1$ और $\vec{b}_2$ दोनों के लंबवत होना चाहिए।
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 1 & 3 \\ 12 & 5 & 9 \end{vmatrix} = -6\hat{i} + 0\hat{j} + 8\hat{k}$ है।
चूंकि $\overrightarrow{MN}$,$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ के समानांतर है,इसलिए $\frac{12\mu-4\lambda-13}{-6} = \frac{5\mu-\lambda-6}{0} = \frac{9\mu-3\lambda-16}{8}$ प्राप्त होता है।
मध्य पद से,$5\mu-\lambda-6=0 \implies \lambda = 5\mu-6$ मिलता है।
इस मान को अनुपात में रखने पर: $8(12\mu-4(5\mu-6)-13) = -6(9\mu-3(5\mu-6)-16) \implies 8(-8\mu+11) = -6(-6\mu+2) \implies -64\mu+88 = 36\mu-12 \implies 100\mu = 100 \implies \mu=1$ प्राप्त होता है।
अतः $\lambda = 5(1)-6 = -1$ है।
इस प्रकार,$M = (1, 3, 2)$ और $N = (4, 3, -2)$ है।
अंत में,$\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON} = (1)(4) + (3)(3) + (2)(-2) = 4 + 9 - 4 = 9$ है।

(B) मान लीजिए रेखा $\frac{x+3}{5} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+4}{3} = k$ है।
रेखा पर स्थित कोई बिंदु $P(5k-3, 2k+1, 3k-4)$ है।
बिंदु $A(1, 2, 3)$ और $P$ को जोड़ने वाली रेखा $AP$ के दिक अनुपात $(5k-3-1, 2k+1-2, 3k-4-3) = (5k-4, 2k-1, 3k-7)$ हैं।
दी गई रेखा के दिक अनुपात $(5, 2, 3)$ हैं।
चूंकि $AP$ रेखा पर लंब है,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$5(5k-4) + 2(2k-1) + 3(3k-7) = 0$
$25k - 20 + 4k - 2 + 9k - 21 = 0$
$38k - 43 = 0 \implies k = \frac{43}{38}$.
पाद $P$ के निर्देशांक $(\alpha, \beta, \gamma) = (5k-3, 2k+1, 3k-4)$ हैं।
अतः $\alpha + \beta + \gamma = (5k-3) + (2k+1) + (3k-4) = 10k - 6$.
$k = \frac{43}{38}$ रखने पर:
$\alpha + \beta + \gamma = 10\left(\frac{43}{38}\right) - 6 = \frac{430 - 228}{38} = \frac{202}{38} = \frac{101}{19}$.
इसलिए,$19(\alpha + \beta + \gamma) = 19 \times \frac{101}{19} = 101$.

(B) रेखाओं के पहले युग्म के लिए:
$L_1: \frac{x+1}{1} = \frac{y}{1/2} = \frac{z}{-1/12} \implies \vec{a}_1 = (-1, 0, 0), \vec{b}_1 = (1, 1/2, -1/12)$
$L_2: \frac{x}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{1/6} \implies \vec{a}_2 = (0, -2, 1), \vec{b}_2 = (1, 1, 1/6)$
न्यूनतम दूरी $d_1 = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} = 2$.
रेखाओं के दूसरे युग्म के लिए:
$L_3: \frac{x-1}{2} = \frac{y+8}{-7} = \frac{z-4}{5}, \vec{a}_3 = (1, -8, 4), \vec{b}_3 = (2, -7, 5)$
$L_4: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-6}{-3}, \vec{a}_4 = (1, 2, 6), \vec{b}_4 = (2, 1, -3)$
न्यूनतम दूरी $d_2 = \frac{|(\vec{a}_4 - \vec{a}_3) \cdot (\vec{b}_3 \times \vec{b}_4)|}{|\vec{b}_3 \times \vec{b}_4|} = \frac{12}{\sqrt{3}}$.
अंतिम मान की गणना:
$\frac{32 \sqrt{3} d_1}{d_2} = \frac{32 \sqrt{3} \times 2}{12/\sqrt{3}} = \frac{64 \sqrt{3} \times \sqrt{3}}{12} = \frac{64 \times 3}{12} = \frac{192}{12} = 16$.

(B) मान लीजिए $L_1$ पर बिंदु $M$ $(3\lambda+1, 2\lambda+2, -2\lambda-1)$ है।
अतः $\alpha+\beta+\gamma = (3\lambda+1) + (2\lambda+2) + (-2\lambda-1) = 3\lambda+2$.
मान लीजिए $L_2$ पर बिंदु $N$ $(-3\mu-2, -2\mu+2, 4\mu+1)$ है।
अतः $a+b+c = (-3\mu-2) + (-2\mu+2) + (4\mu+1) = -\mu+1$.
यह रेखा बिंदु $P(-1, 2, 3)$,$M$ और $N$ से गुजरती है। अतः,सदिश $\vec{PM}$ और $\vec{PN}$ संरेख हैं।
$\vec{PM} = (3\lambda+2, 2\lambda, -2\lambda-4)$ और $\vec{PN} = (-3\mu-1, -2\mu, 4\mu-2)$.
चूंकि वे संरेख हैं,$\frac{3\lambda+2}{-3\mu-1} = \frac{2\lambda}{-2\mu} = \frac{-2\lambda-4}{4\mu-2}$.
$\frac{2\lambda}{-2\mu} = \frac{3\lambda+2}{-3\mu-1}$ से,हमें मिलता है $\lambda(-3\mu-1) = -\mu(3\lambda+2) \Rightarrow -3\lambda\mu - \lambda = -3\lambda\mu - 2\mu \Rightarrow \lambda = 2\mu$.
$\frac{2\lambda}{-2\mu} = \frac{-2\lambda-4}{4\mu-2}$ से,हमें मिलता है $\frac{\lambda}{-\mu} = \frac{-\lambda-2}{2\mu-1} \Rightarrow 2\lambda\mu - \lambda = \lambda\mu + 2\mu \Rightarrow \lambda\mu = \lambda + 2\mu$.
$\lambda = 2\mu$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $(2\mu)\mu = 2\mu + 2\mu \Rightarrow 2\mu^2 = 4\mu \Rightarrow \mu = 2$ (क्योंकि $\mu \neq 0$).
अतः $\lambda = 4$.
इस प्रकार,$\alpha+\beta+\gamma = 3(4)+2 = 14$ और $a+b+c = -(2)+1 = -1$.
इसलिए,$\frac{(\alpha+\beta+\gamma)^2}{(a+b+c)^2} = \frac{14^2}{(-1)^2} = 196$.

(D) आवश्यक रेखा की दिशा का सदिश दो दी गई रेखाओं के दिशा सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 5 \\ -1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 15) - \hat{j}(4 + 5) + \hat{k}(6 + 3) = -9\hat{i} - 9\hat{j} + 9\hat{k}$.
हम दिशा सदिश को $\vec{d} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ के रूप में ले सकते हैं।
$P(5, -4, 3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\vec{r} = (5\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $M$ $(5+\lambda, -4+\lambda, 3-\lambda)$ है।
मान लीजिए $Q$ $(0, 2, -2)$ है। सदिश $\vec{QM} = (5+\lambda - 0)\hat{i} + (-4+\lambda - 2)\hat{j} + (3-\lambda + 2)\hat{k} = (5+\lambda)\hat{i} + (\lambda-6)\hat{j} + (5-\lambda)\hat{k}$ है।
चूंकि $QM$ रेखा के लंबवत है,$\vec{QM} \cdot (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 0$ होगा।
$(5+\lambda)(1) + (\lambda-6)(1) + (5-\lambda)(-1) = 0 \implies 5+\lambda + \lambda-6 - 5+\lambda = 0 \implies 3\lambda - 6 = 0 \implies \lambda = 2$.
बिंदु $M$ $(5+2, -4+2, 3-2) = (7, -2, 1)$ है।
दूरी $QM = \sqrt{(7-0)^2 + (-2-2)^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{49 + 16 + 9} = \sqrt{74}$।

(B) माना $P = (2, 3, 5)$ और $R = (\alpha, \beta, \gamma)$ रेखा $L: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{4}$ में इसका दर्पण प्रतिबिंब है।
माना $M$,$PR$ का मध्य-बिंदु है। चूंकि $R$,रेखा $L$ में $P$ का प्रतिबिंब है,इसलिए रेखाखंड $PR$,रेखा $L$ के लंबवत है।
रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = (2, 3, 4)$ है।
सदिश $\vec{PR} = (\alpha - 2, \beta - 3, \gamma - 5)$ है।
चूंकि $\vec{PR} \perp \vec{v}$,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$\vec{PR} \cdot \vec{v} = 0$
$(\alpha - 2, \beta - 3, \gamma - 5) \cdot (2, 3, 4) = 0$
$2(\alpha - 2) + 3(\beta - 3) + 4(\gamma - 5) = 0$
$2\alpha - 4 + 3\beta - 9 + 4\gamma - 20 = 0$
$2\alpha + 3\beta + 4\gamma = 4 + 9 + 20$
$2\alpha + 3\beta + 4\gamma = 33$.

(C) सबसे पहले,रेखा $L_2$ का समीकरण ज्ञात करें। रेखा $L_2$ बिंदुओं $A(-4, 4, 3)$ और $B(-1, 6, 3)$ से होकर गुजरती है,इसलिए इसका दिशा सदिश $\vec{AB} = (-1 - (-4), 6 - 4, 3 - 3) = (3, 2, 0)$ है।
रेखा $L_1$ का दिशा सदिश $\vec{n_1} = (2, -3, 2)$ है।
दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{n_1} \times \vec{n_2})|}{ |\vec{n_1} \times \vec{n_2}| }$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\vec{a_1} = (1, -1, -4)$ और $\vec{a_2} = (-4, 4, 3)$ है,इसलिए $\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-5, 5, 7)$ है।
$\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix} = -4\hat{i} + 6\hat{j} + 13\hat{k}$ है।
अतः,$|\vec{n_1} \times \vec{n_2}| = \sqrt{(-4)^2 + 6^2 + 13^2} = \sqrt{221}$ है।
अंश का मान $|(-5)(-4) + (5)(6) + (7)(13)| = |20 + 30 + 91| = 141$ है।
इस प्रकार,न्यूनतम दूरी $d = \frac{141}{\sqrt{221}}$ है।

(D) रेखा $AB$ का दिशा सदिश $\vec{v} = (16-4, -2-(-6), 4-(-2)) = (12, 4, 6)$ है।
$AB$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{(12, 4, 6)}{\sqrt{12^2 + 4^2 + 6^2}} = \frac{(12, 4, 6)}{\sqrt{144 + 16 + 36}} = \frac{(12, 4, 6)}{\sqrt{196}} = \frac{(12, 4, 6)}{14} = (\frac{6}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7})$ है।
बिंदु $P$,$A(4, -6, -2)$ से रेखा $AB$ पर $21$ इकाई की दूरी पर है,इसलिए $P = A + 21 \hat{u}$।
$P = (4, -6, -2) + 21(\frac{6}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}) = (4 + 18, -6 + 6, -2 + 9) = (22, 0, 7)$।
यहाँ $a=22, b=0, c=7$ है,जो अऋणात्मक पूर्णांक हैं।
$P(22, 0, 7)$ और $Q(4, -12, 3)$ के बीच की दूरी $\sqrt{(22-4)^2 + (0-(-12))^2 + (7-3)^2}$ है।
$= \sqrt{18^2 + 12^2 + 4^2} = \sqrt{324 + 144 + 16} = \sqrt{484} = 22$।

(B) रेखाएँ $L_1: \frac{x-\lambda}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{1}$ और $L_2: \frac{x-\sqrt{3}}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-2}{1}$ हैं।
गुजरने वाले बिंदु $A = (\lambda, 2, 1)$ और $B = (\sqrt{3}, 1, 2)$ हैं।
दिशा सदिश $\vec{v_1} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{v_2} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ हैं।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{B}-\vec{A}) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$\vec{B}-\vec{A} = (\sqrt{3}-\lambda)\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
$d = \frac{|3(\sqrt{3}-\lambda) - 3 + 3|}{3\sqrt{3}} = \frac{|\sqrt{3}-\lambda|}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $d = 1$ दिया गया है,इसलिए $|\sqrt{3}-\lambda| = \sqrt{3}$ होगा।
अतः,$\lambda = 0$ या $\lambda = 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ के सभी संभावित मानों का योग $0 + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ है।

(A) मान लीजिए $P$ रेखा $L_1$ पर एक बिंदु $(1+\lambda, 2-\lambda, 3+\lambda)$ है और $Q$ रेखा $L_2$ पर एक बिंदु $(4+\mu, 5+\mu, 6-\mu)$ है।
सदिश $\vec{PQ} = (4+\mu-(1+\lambda))\hat{i} + (5+\mu-(2-\lambda))\hat{j} + (6-\mu-(3+\lambda))\hat{k} = (3+\mu-\lambda)\hat{i} + (3+\mu+\lambda)\hat{j} + (3-\mu-\lambda)\hat{k}$.
$L_1$ और $L_2$ के दिशा सदिश क्रमशः $\vec{v_1} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{v_2} = \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ हैं।
चूंकि $PQ$ न्यूनतम दूरी वाली रेखा है,यह $L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत है। अतः,$\vec{PQ} \cdot \vec{v_1} = 0$ और $\vec{PQ} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$\vec{PQ} \cdot \vec{v_1} = (3+\mu-\lambda) - (3+\mu+\lambda) + (3-\mu-\lambda) = 3 - 3\lambda - \mu = 0 \implies 3\lambda + \mu = 3$.
$\vec{PQ} \cdot \vec{v_2} = (3+\mu-\lambda) + (3+\mu+\lambda) - (3-\mu-\lambda) = 3 + 3\mu + \lambda = 0 \implies \lambda + 3\mu = -3$.
इन समीकरणों को हल करने पर: $3(3\lambda + \mu) - (\lambda + 3\mu) = 3(3) - (-3) \implies 8\lambda = 12 \implies \lambda = \frac{3}{2}$.
$\lambda = \frac{3}{2}$ को $3\lambda + \mu = 3$ में रखने पर,हमें $\frac{9}{2} + \mu = 3 \implies \mu = -\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
$P$ के निर्देशांक = $(1+\frac{3}{2}, 2-\frac{3}{2}, 3+\frac{3}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{1}{2}, \frac{9}{2})$.
$Q$ के निर्देशांक = $(4-\frac{3}{2}, 5-\frac{3}{2}, 6+\frac{3}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{7}{2}, \frac{15}{2})$.
मध्यबिंदु $(\alpha, \beta, \gamma) = (\frac{5/2+5/2}{2}, \frac{1/2+7/2}{2}, \frac{9/2+15/2}{2}) = (\frac{5}{2}, 2, 6)$.
अतः,$2(\alpha+\beta+\gamma) = 2(\frac{5}{2} + 2 + 6) = 5 + 4 + 12 = 21$.

(C) रेखा $\frac{x+3}{8}=\frac{y-4}{2}=\frac{z+1}{2} = \lambda$ पर स्थित सामान्य बिंदु $P, Q = (8\lambda-3, 2\lambda+4, 2\lambda-1)$ द्वारा दिया जाता है।
इस बिंदु से $R(1,2,3)$ तक की दूरी $6$ इकाई है,इसलिए दूरी का वर्ग $36$ होगा:
$(8\lambda-3-1)^2 + (2\lambda+4-2)^2 + (2\lambda-1-3)^2 = 36$
$(8\lambda-4)^2 + (2\lambda+2)^2 + (2\lambda-4)^2 = 36$
$64(\lambda^2 - \lambda + \frac{1}{4}) + 4(\lambda^2 + 2\lambda + 1) + 4(\lambda^2 - 4\lambda + 4) = 36$
$64\lambda^2 - 64\lambda + 16 + 4\lambda^2 + 8\lambda + 4 + 4\lambda^2 - 16\lambda + 16 = 36$
$72\lambda^2 - 72\lambda + 36 = 36$
$72\lambda(\lambda - 1) = 0$
अतः,$\lambda = 0$ या $\lambda = 1$ है।
$\lambda = 0$ के लिए,बिंदु $P(-3, 4, -1)$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 1$ के लिए,बिंदु $Q(5, 6, 1)$ प्राप्त होता है।
$\Delta PQR$ का केंद्रक $(\frac{-3+5+1}{3}, \frac{4+6+2}{3}, \frac{-1+1+3}{3}) = (1, 4, 1) = (\alpha, \beta, \gamma)$ है।
इसलिए,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 1^2 + 4^2 + 1^2 = 1 + 16 + 1 = 18$।

(C) माना रेखा $L: \frac{x-1}{3} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-2}{1} = \lambda$ है। रेखा पर स्थित कोई बिंदु $N$ के निर्देशांक $(3\lambda+1, 2\lambda-1, \lambda+2)$ हैं।
रेखा की दिशा सदिश $\vec{b} = (3, 2, 1)$ है। चूंकि $PN$ रेखा पर लंब है,सदिश $\vec{PN} = (3\lambda-2, 2\lambda-5, \lambda-7)$ होगा।
$\vec{PN} \cdot \vec{b} = 0$ होने के कारण,$3(3\lambda-2) + 2(2\lambda-5) + 1(\lambda-7) = 0$ होगा।
$9\lambda - 6 + 4\lambda - 10 + \lambda - 7 = 0 \Rightarrow 14\lambda = 23 \Rightarrow \lambda = \frac{23}{14}$.
$N$ के निर्देशांकों में $\lambda$ का मान रखने पर,$N = \left(\frac{83}{14}, \frac{32}{14}, \frac{51}{14}\right)$ प्राप्त होता है।
माना प्रतिबिंब $A(\alpha, \beta, \gamma)$ है। चूंकि $N$,$PA$ का मध्य-बिंदु है,$\frac{\alpha+3}{2} = \frac{83}{14} \Rightarrow \alpha = \frac{62}{7}$।
$\frac{\beta+4}{2} = \frac{32}{14} \Rightarrow \beta = \frac{4}{7}$।
$\frac{\gamma+9}{2} = \frac{51}{14} \Rightarrow \gamma = \frac{-12}{7}$।
अतः,$14(\alpha+\beta+\gamma) = 14(\frac{62+4-12}{7}) = 2(54) = 108$।

(A) बिंदुओं $P(1, -2, 3)$ और $Q(5, -4, 7)$ से गुजरने वाली रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (5-1, -4-(-2), 7-3) = (4, -2, 4)$ है।
रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{4} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-3}{4} = t$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(4t+1, -2t-2, 4t+3)$ के रूप में दिया जा सकता है।
इस बिंदु की $P(1, -2, 3)$ से दूरी $\sqrt{(4t+1-1)^2 + (-2t-2+2)^2 + (4t+3-3)^2} = \sqrt{16t^2 + 4t^2 + 16t^2} = \sqrt{36t^2} = 6|t|$ है।
चूंकि दूरी $9$ इकाई दी गई है,$6|t| = 9$,इसलिए $t = \pm \frac{3}{2}$ है।
$t = \frac{3}{2}$ के लिए,बिंदु $(4(\frac{3}{2})+1, -2(\frac{3}{2})-2, 4(\frac{3}{2})+3) = (7, -5, 9)$ है।
$t = -\frac{3}{2}$ के लिए,बिंदु $(4(-\frac{3}{2})+1, -2(-\frac{3}{2})-2, 4(-\frac{3}{2})+3) = (-5, 1, -3)$ है।
मूल बिंदु से $(7, -5, 9)$ की दूरी $\sqrt{7^2 + (-5)^2 + 9^2} = \sqrt{49 + 25 + 81} = \sqrt{155}$ है।
मूल बिंदु से $(-5, 1, -3)$ की दूरी $\sqrt{(-5)^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 1 + 9} = \sqrt{35}$ है।
चूंकि बिंदु मूल बिंदु से अधिक दूर है,इसलिए हम $(7, -5, 9)$ चुनते हैं।
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 7^2 + (-5)^2 + 9^2 = 49 + 25 + 81 = 155$।

(D) दो रेखाओं $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{r_2}-\vec{r_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{r_1} = (-2, -3, 5)$,$\vec{r_2} = (3, 2, -4)$,$\vec{b_1} = (2, 3, 4)$,और $\vec{b_2} = (1, -3, 2)$.
$\vec{r_2}-\vec{r_1} = (5, 5, -9)$.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6+12) - \hat{j}(4-4) + \hat{k}(-6-3) = 18\hat{i} - 9\hat{k}$.
$|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{18^2 + (-9)^2} = \sqrt{324 + 81} = \sqrt{405} = 9\sqrt{5}$.
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(5, 5, -9) \cdot (18, 0, -9)|}{9\sqrt{5}} = \frac{|90 + 0 + 81|}{9\sqrt{5}} = \frac{171}{9\sqrt{5}} = \frac{19}{\sqrt{5}}$.
दिया गया है कि $d = \frac{38}{3\sqrt{5}}k$,इसलिए $\frac{19}{\sqrt{5}} = \frac{38}{3\sqrt{5}}k \Rightarrow k = \frac{19 \times 3}{38} = \frac{3}{2}$.
अब,$\int_0^{3/2} [x^2] dx = \int_0^1 [x^2] dx + \int_1^{\sqrt{2}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{2}}^{3/2} [x^2] dx = 0 + \int_1^{\sqrt{2}} 1 dx + \int_{\sqrt{2}}^{3/2} 2 dx = (\sqrt{2}-1) + 2(\frac{3}{2}-\sqrt{2}) = \sqrt{2}-1+3-2\sqrt{2} = 2-\sqrt{2}$.
$\alpha-\sqrt{\alpha}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$6\alpha^3 = 6(2^3) = 6 \times 8 = 48$.

(C) माना पहली रेखा $L_1: \frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{5}=\frac{z-2}{1}=\lambda$ है। $L_1$ पर कोई भी बिंदु $P(\lambda+2, 5\lambda+4, \lambda+2)$ है।
माना दूसरी रेखा $L_2: \frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{2}=\mu$ है। $L_2$ पर कोई भी बिंदु $P(2\mu+3, 3\mu+2, 2\mu+3)$ है।
प्रतिच्छेदन के लिए,$\lambda+2 = 2\mu+3$ और $5\lambda+4 = 3\mu+2$.
पहले समीकरण से,$\lambda = 2\mu+1$. दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $5(2\mu+1)+4 = 3\mu+2 \implies 10\mu+9 = 3\mu+2 \implies 7\mu = -7 \implies \mu = -1$.
तब $\lambda = 2(-1)+1 = -1$. प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ $(1, -1, 1)$ है।
रेखा $L_3$ $4x=2y=z$ है,जिसे $\frac{x}{1/4} = \frac{y}{1/2} = \frac{z}{1}$ या $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{4} = k$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$L_3$ पर कोई भी बिंदु $Q$ $(k, 2k, 4k)$ है। सदिश $\vec{PQ} = (k-1, 2k+1, 4k-1)$ है।
चूंकि $\vec{PQ}$ $L_3$ के दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 2, 4)$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0$.
$(k-1)(1) + (2k+1)(2) + (4k-1)(4) = 0 \implies k-1 + 4k+2 + 16k-4 = 0 \implies 21k - 3 = 0 \implies k = \frac{1}{7}$.
बिंदु $Q$ $(\frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{4}{7})$ है।
दूरी $PQ = \sqrt{(1-\frac{1}{7})^2 + (-1-\frac{2}{7})^2 + (1-\frac{4}{7})^2} = \sqrt{(\frac{6}{7})^2 + (-\frac{9}{7})^2 + (\frac{3}{7})^2} = \sqrt{\frac{36+81+9}{49}} = \sqrt{\frac{126}{49}} = \frac{\sqrt{9 \times 14}}{7} = \frac{3\sqrt{14}}{7}$.