Line and Plane Questions in Hindi

(A) रेखा बिंदु $(1, 2, 3)$ से गुजरती है और समतलों $x - y + 2z = 5$ तथा $3x + y + z = 6$ के समांतर है।
समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{v}$,अभिलंब सदिशों के क्रॉस गुणनफल के समांतर होगा: $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 2) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(1 + 3) = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$.
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और दिशा सदिश $(a, b, c)$ वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-3}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) माना कि अभीष्ट रेखा के दिक अनुपात $a, b, c$ हैं। चूँकि रेखा दोनों समतलों में स्थित है,यह दोनों समतलों के अभिलंबों के लंबवत है। अतः,$3a + 2b + c = 0$ और $a + b - 2c = 0$।
क्रॉस प्रोडक्ट विधि का उपयोग करते हुए:
$\frac{a}{(2)(-2) - (1)(1)} = \frac{b}{(1)(1) - (3)(-2)} = \frac{c}{(3)(1) - (2)(1)}$
$\frac{a}{-5} = \frac{b}{7} = \frac{c}{1}$।
रेखा पर एक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए समतल समीकरणों में $z = 0$ रखते हैं:
$3x + 2y = 5$ और $x + y = 3$।
इन्हें हल करने पर,दूसरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर: $2x + 2y = 6$।
पहले समीकरण से घटाने पर: $(3x - 2x) = 5 - 6 \Rightarrow x = -1$।
$x = -1$ को $x + y = 3$ में रखने पर,हमें $-1 + y = 3 \Rightarrow y = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $(-1, 4, 0)$ है।
सममित समीकरण $\frac{x - (-1)}{-5} = \frac{y - 4}{7} = \frac{z - 0}{1}$ है,जो कि $\frac{x+1}{-5} = \frac{y-4}{7} = \frac{z-0}{1}$ है।

(A) समतलों $P_1: x+y+z-1=0$ और $P_2: 3x+4y+5z-2=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+y+z-1) + \lambda(3x+4y+5z-2) = 0$
$(1+3\lambda)x + (1+4\lambda)y + (1+5\lambda)z - (1+2\lambda) = 0$.
यह समतल $XY$-समतल के लंबवत है। $XY$-समतल का समीकरण $z=0$ है और इसका अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (0, 0, 1)$ है।
हमारे आवश्यक समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = (1+3\lambda, 1+4\lambda, 1+5\lambda)$ है।
चूंकि समतल लंबवत हैं,इसलिए उनके अभिलंब सदिशों का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \implies (0)(1+3\lambda) + (0)(1+4\lambda) + (1)(1+5\lambda) = 0$.
$1+5\lambda = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{5}$.
$\lambda = -\frac{1}{5}$ को समीकरण में रखने पर:
$(x+y+z-1) - \frac{1}{5}(3x+4y+5z-2) = 0$.
$5(x+y+z-1) - (3x+4y+5z-2) = 0$.
$5x+5y+5z-5 - 3x-4y-5z+2 = 0$.
$2x+y-3=0$.

(B) समतलों $P_1: 2x-y+z-3=0$ और $P_2: 4x-3y+5z+9=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(2x-y+z-3) + \lambda(4x-3y+5z+9) = 0$
$(2+4\lambda)x + (-1-3\lambda)y + (1+5\lambda)z + (-3+9\lambda) = 0$.
चूंकि समतल $(2, 4, 5)$ अनुपात वाली रेखा के समानांतर है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश रेखा के दिशा सदिश के लंबवत है।
अतः,$2(2+4\lambda) + 4(-1-3\lambda) + 5(1+5\lambda) = 0$.
$4 + 8\lambda - 4 - 12\lambda + 5 + 25\lambda = 0$.
$21\lambda + 5 = 0 \implies \lambda = -\frac{5}{21}$.
$\lambda$ का मान समीकरण में रखने पर:
$(2 - \frac{20}{21})x + (-1 + \frac{15}{21})y + (1 - \frac{25}{21})z + (-3 - \frac{45}{21}) = 0$.
$(\frac{42-20}{21})x + (\frac{-21+15}{21})y + (\frac{21-25}{21})z + (\frac{-63-45}{21}) = 0$.
$22x - 6y - 4z - 108 = 0$.
$2$ से विभाजित करने पर: $11x - 3y - 2z - 54 = 0$.
यहाँ $\alpha=11, \beta=-3, \gamma=-2, d=-54$.
$\alpha+\beta+\gamma+d = 11 - 3 - 2 - 54 = -48$.

(D) बिंदु $P(x_1, y_1, z_1) = (1, -2, 1)$ की समतल $Ax + By + Cz - D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 - D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए समतल $x + 2y - 2z - \alpha = 0$ के लिए,$A=1, B=2, C=-2, D=\alpha$ है।
मान रखने पर: $5 = \frac{|1(1) + 2(-2) - 2(1) - \alpha|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|1 - 4 - 2 - \alpha|}{\sqrt{9}} = \frac{|-5 - \alpha|}{3}$.
चूंकि $\alpha > 0$,इसलिए $|-5 - \alpha| = 5 + \alpha$ होगा। अतः,$5 = \frac{5 + \alpha}{3} \implies 15 = 5 + \alpha \implies \alpha = 10$.
समतल का समीकरण $x + 2y - 2z = 10$ है।
$P(1, -2, 1)$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा के दिक अनुपात $(1, 2, -2)$ हैं। रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-1}{-2} = k$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(k+1, 2k-2, -2k+1)$ के रूप में होगा।
चूंकि यह बिंदु समतल पर स्थित है: $(k+1) + 2(2k-2) - 2(-2k+1) = 10$.
$k + 1 + 4k - 4 + 4k - 2 = 10 \implies 9k - 5 = 10 \implies 9k = 15 \implies k = \frac{5}{3}$.
$k = \frac{5}{3}$ को बिंदु के निर्देशांकों में रखने पर: $x = \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3}$,$y = 2(\frac{5}{3}) - 2 = \frac{4}{3}$,$z = -2(\frac{5}{3}) + 1 = -\frac{7}{3}$.
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $\left(\frac{8}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{7}{3}\right)$ हैं।

(A) माना रेखा $L: \frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-2}{3} = k$ है। रेखा पर कोई बिंदु $Q(2k+1, 4k+3, 3k+2)$ है।
सदिश $\vec{PQ} = (2k+1-3, 4k+3-8, 3k+2-2) = (2k-2, 4k-5, 3k)$ है।
रेखाखंड $PQ$ समतल $3x + 2y - 2z + 15 = 0$ के समांतर है, इसलिए यह समतल के अभिलंब $\vec{n} = (3, 2, -2)$ के लंबवत होगा।
अतः, $\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$।
$(2k-2)(3) + (4k-5)(2) + (3k)(-2) = 0$।
$6k - 6 + 8k - 10 - 6k = 0$।
$8k - 16 = 0 \implies k = 2$।
$k=2$ रखने पर, $\vec{PQ} = (2(2)-2, 4(2)-5, 3(2)) = (2, 3, 6)$।
दूरी $\vec{PQ}$ का परिमाण है: $\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \text{ इकाई}$।

(A) रेखा का समीकरण $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{b}$ है,जहाँ $\bar{a} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\bar{b} = \hat{i} - 2\hat{j}$ है।
समतल का समीकरण $\bar{r} \cdot \bar{n} = d$ है,जहाँ $\bar{n} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $d = 4$ है।
सबसे पहले,$\bar{b} \cdot \bar{n} = (1)(2) + (-2)(1) + (0)(1) = 2 - 2 + 0 = 0$ की गणना करके जाँचें कि क्या रेखा समतल के समानांतर है।
चूँकि $\bar{b} \cdot \bar{n} = 0$ है,इसलिए रेखा समतल के समानांतर है।
समानांतर रेखा और समतल के बीच की दूरी $D = \frac{|\bar{a} \cdot \bar{n} - d|}{|\bar{n}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$\bar{a} \cdot \bar{n} = (3)(2) + (-2)(1) + (1)(1) = 6 - 2 + 1 = 5$ की गणना करें।
$|\bar{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ की गणना करें।
अतः,$D = \frac{|5 - 4|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ इकाई।

(C) दो समतलों $P_1: x+2y-z+1=0$ और $P_2: 3x-y-4z+3=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+2y-z+1) + \lambda(3x-y-4z+3) = 0$.
चूंकि यह समतल बिंदु $(1,1,1)$ से गुजरता है,हम $x=1, y=1, z=1$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(1+2(1)-1+1) + \lambda(3(1)-1-4(1)+3) = 0$.
$(1+2-1+1) + \lambda(3-1-4+3) = 0$.
$3 + \lambda(1) = 0 \implies \lambda = -3$.
अब $\lambda = -3$ को मुख्य समीकरण में रखने पर:
$(x+2y-z+1) - 3(3x-y-4z+3) = 0$.
$x+2y-z+1 - 9x+3y+12z-9 = 0$.
$-8x + 5y + 11z - 8 = 0$.
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $8x - 5y - 11z + 8 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दो समतलों $P_1: \overline{r} \cdot \overline{n}_1 = d_1$ और $P_2: \overline{r} \cdot \overline{n}_2 = d_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(\overline{r} \cdot \overline{n}_1 - d_1) + \lambda(\overline{r} \cdot \overline{n}_2 - d_2) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समतल $P_1: \overline{r} \cdot(2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}) - 1 = 0$ और $P_2: \overline{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}) + 4 = 0$ हैं।
अपेक्षित समतल का समीकरण $\overline{r} \cdot((2+\lambda) \hat{i} + (-3-\lambda) \hat{j} + 4 \hat{k}) - 1 + 4\lambda = 0$ होगा।
यह समतल $\overline{r} \cdot(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + 8 = 0$ के लंबवत है।
इसलिए,उनके अभिलंब सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होगा: $(2+\lambda)(2) + (-3-\lambda)(-1) + (4)(1) = 0$.
$4 + 2\lambda + 3 + \lambda + 4 = 0 \implies 3\lambda + 11 = 0 \implies \lambda = -\frac{11}{3}$.
$\lambda$ का मान समतल के समीकरण में रखने पर: $\overline{r} \cdot((2-\frac{11}{3}) \hat{i} + (-3+\frac{11}{3}) \hat{j} + 4 \hat{k}) - 1 + 4(-\frac{11}{3}) = 0$.
$\overline{r} \cdot(-\frac{5}{3} \hat{i} + \frac{2}{3} \hat{j} + 4 \hat{k}) - 1 - \frac{44}{3} = 0$.
$3$ से गुणा करने पर: $\overline{r} \cdot(-5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 12 \hat{k}) - 3 - 44 = 0$.
$\overline{r} \cdot(-5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 12 \hat{k}) = 47$.
$\overline{r} \cdot(-5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 12 \hat{k}) = \mu$ से तुलना करने पर,हमें $\mu = 47$ प्राप्त होता है।

(C) समतल $x-y+z=3$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, -1, 1)$ है।
मान लीजिए $Q = (3, 1, 7)$ है। $Q$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा $\frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-7}{1} = \lambda$ द्वारा दी जाती है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(\lambda+3, -\lambda+1, \lambda+7)$ है।
समतल के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $M$ के लिए,$(\lambda+3) - (-\lambda+1) + (\lambda+7) = 3$,जो सरल होकर $3\lambda + 9 = 3$ हो जाता है,इसलिए $3\lambda = -6$,जिससे $\lambda = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$M = (-2+3, -(-2)+1, -2+7) = (1, 3, 5)$ है।
चूंकि $M$,$PQ$ का मध्यबिंदु है,यदि $P = (a, b, c)$ है,तो $\frac{3+a}{2} = 1, \frac{1+b}{2} = 3, \frac{7+c}{2} = 5$ होगा।
इससे $a = -1, b = 5, c = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $P = (-1, 5, 3)$ है।
समतल $P(-1, 5, 3)$ से गुजरता है और रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}$ को समाहित करता है,जो मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से गुजरती है और जिसका दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 2, 1)$ है।
वांछित समतल का अभिलंब $\vec{n'} = \vec{OP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 5 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(5-6) - \hat{j}(-1-3) + \hat{k}(-2-5) = -\hat{i} + 4\hat{j} - 7\hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $-1(x-0) + 4(y-0) - 7(z-0) = 0$ है,जो $-x + 4y - 7z = 0$ या $x - 4y + 7z = 0$ है।

(C) माना अभीष्ट समतल $P_1$ है। यह रेखा $L_1: \frac{x}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z}{4}$ को समाहित करता है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}_1$,$\vec{v}_1 = (3, 2, 4)$ के लंबवत है।
माना $P_2$ वह समतल है जो रेखाओं $L_2: \frac{x}{4}=\frac{y}{3}=\frac{z}{2}$ और $L_3: \frac{x}{2}=\frac{y}{-4}=\frac{z}{3}$ को समाहित करता है।
$P_2$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_2 = \vec{v}_2 \times \vec{v}_3 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 3 & 2 \\ 2 & -4 & 3 \end{vmatrix} = 17\hat{i} - 8\hat{j} - 22\hat{k}$ है।
चूंकि $P_1 \perp P_2$,इसलिए $\vec{n}_1$,$\vec{n}_2 = (17, -8, -22)$ के लंबवत है।
अतः,$\vec{n}_1 = \vec{v}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 4 \\ 17 & -8 & -22 \end{vmatrix} = -12\hat{i} + 134\hat{j} - 58\hat{k}$ है।
$-2$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब सदिश $(6, -67, 29)$ प्राप्त होता है।
अतः समतल का समीकरण $6x - 67y + 29z = 0$ है।

(C) माना अभीष्ट समतल $P_1$ है। यह रेखा $L_1: \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ को समाहित करता है,अतः इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}_1$,$\vec{v}_1 = (2, 3, 4)$ के लंबवत है।
माना $P_2$ वह समतल है जो रेखाओं $L_2: \frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}$ और $L_3: \frac{x}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ को समाहित करता है।
$P_2$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_2$,$L_2$ और $L_3$ के दिशा सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n}_2 = (3, 4, 2) \times (4, 2, 3) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(12-4) - \hat{j}(9-8) + \hat{k}(6-16) = (8, -1, -10)$.
अतः,समतल $P_2$ का समीकरण $8x - y - 10z = 0$ है।
चूंकि $P_1$,$P_2$ के लंबवत है,इसका अभिलंब $\vec{n}_1$,$\vec{n}_2 = (8, -1, -10)$ के लंबवत है।
साथ ही,$\vec{n}_1$,$\vec{v}_1 = (2, 3, 4)$ के भी लंबवत है।
इसलिए,$\vec{n}_1 = \vec{v}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 8 & -1 & -10 \end{vmatrix} = \hat{i}(-30+4) - \hat{j}(-20-32) + \hat{k}(-2-24) = (-26, 52, -26)$.
$-26$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब सदिश $(1, -2, 1)$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण $1(x-0) - 2(y-0) + 1(z-0) = 0$ अर्थात $x - 2y + z = 0$ है।

(C) दिए गए समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
चूंकि रेखा $L$ इन दोनों समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा है,इसलिए यह दोनों अभिलंब सदिशों के लंबवत है।
अतः,रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v}$,$\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-3) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(6-3) = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
हम दिशा सदिश को सरल करके $\vec{u} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ लिख सकते हैं।
रेखा द्वारा धनात्मक $X$-अक्ष (जो इकाई सदिश $\hat{i}$ द्वारा दर्शाया जाता है) के साथ बनाया गया कोण $\alpha$,$\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \hat{i}}{|\vec{u}| |\hat{i}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना: $\vec{u} \cdot \hat{i} = (1)(1) + (-1)(0) + (1)(0) = 1$.
परिमाण की गणना: $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
अतः,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3} \times 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) एक बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले और दो रेखाओं,जिनके दिशा सदिश $\vec{b}$ और $\vec{c}$ हैं,के समांतर समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ या $\vec{r} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,बिंदु $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ है और रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$ और $\vec{c} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ की गणना करें:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 12) - \hat{j}(6 - (-8)) + \hat{k}(-9 - 4) = -8\hat{i} - 14\hat{j} - 13\hat{k}$.
अब,$\vec{a} \cdot \vec{n}$ की गणना करें:
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (2)(-8) + (-1)(-14) + (-3)(-13) = -16 + 14 + 39 = 37$.
समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (-8\hat{i} - 14\hat{j} - 13\hat{k}) = 37$ है,जिसे $-8x - 14y - 13z = 37$ या $8x + 14y + 13z + 37 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) बिंदु $(1, -5, 9)$ से गुजरने वाली और रेखा $x = y = z$ (दिक् अनुपात $1, 1, 1$) के समांतर रेखा का समीकरण $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 5}{1} = \frac{z - 9}{1} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(\lambda + 1, \lambda - 5, \lambda + 9)$ के रूप का है।
चूंकि यह बिंदु समतल $x - y + z = 5$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\lambda + 1) - (\lambda - 5) + (\lambda + 9) = 5$.
$\lambda + 1 - \lambda + 5 + \lambda + 9 = 5$.
$\lambda + 15 = 5$,जिससे $\lambda = -10$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-10 + 1, -10 - 5, -10 + 9) = (-9, -15, -1)$ है।
अभीष्ट दूरी $(1, -5, 9)$ और $(-9, -15, -1)$ के बीच की दूरी है:
$d = \sqrt{(-9 - 1)^2 + (-15 - (-5))^2 + (-1 - 9)^2}$.
$d = \sqrt{(-10)^2 + (-10)^2 + (-10)^2} = \sqrt{100 + 100 + 100} = \sqrt{300} = 10 \sqrt{3}$ इकाई।

(A) माना $A = (5, -1, 4)$ और $B = (4, -1, 3)$ है।
सदिश $\vec{AB} = (4-5)\hat{i} + (-1-(-1))\hat{j} + (3-4)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{k}$ है।
सदिश का परिमाण $|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ है।
समतल $x+y+z=7$ के लिए अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
माना $\theta$ रेखाखंड $AB$ और समतल के बीच का कोण है। रेखाखंड और समतल के अभिलंब के बीच का कोण $\phi$,$\cos \phi = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{AB}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \phi = \frac{|(-1)(1) + (0)(1) + (-1)(1)|}{\sqrt{2} \sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2} \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ है।
चूंकि $\phi$ अभिलंब के साथ कोण है,इसलिए समतल के साथ कोण $\theta = 90^\circ - \phi$ है,अतः $\sin \theta = \cos \phi = \sqrt{\frac{2}{3}}$ है।
तब $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}}$ है।
समतल पर रेखाखंड के प्रक्षेप की लंबाई $|\vec{AB}| \cos \theta = \sqrt{2} \times \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ इकाई है।

(D) दी गई दो रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का समीकरण सारणिक रूप में इस प्रकार है:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-1)(15-16) - (y-2)(10-12) + (z-3)(8-9) = 0$
$-(x-1) + 2(y-2) - (z-3) = 0$
$-x + 1 + 2y - 4 - z + 3 = 0$
$-x + 2y - z = 0 \implies x - 2y + z = 0$ ... $(i)$
दिया गया समतल समीकरण $Ax - 2y + z = d$ ... $(ii)$
चूंकि समतल समानांतर हैं,इसलिए $x, y, z$ के गुणांक समानुपाती होने चाहिए। अतः,$A = 1$.
दो समानांतर समतलों $ax + by + cz = d_1$ और $ax + by + cz = d_2$ के बीच की दूरी $D = \frac{|d_1 - d_2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ होती है।
यहाँ,$D = \sqrt{6}$,$a=1, b=-2, c=1$,$d_1 = 0$,और $d_2 = d$ है।
$\sqrt{6} = \frac{|0 - d|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|d|}{\sqrt{6}}$
$|d| = \sqrt{6} \times \sqrt{6} = 6$.

(B) दिए गए समतलों $P_1: x+y+z-1=0$ और $P_2: 2x+3y-z+4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$
चूंकि समतल $Y$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसका अभिलंब $Y$-अक्ष (जिसकी दिशा $\vec{j} = (0, 1, 0)$ है) के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$y$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$1+3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$
समीकरण में $\lambda = -\frac{1}{3}$ रखने पर:
$(1 + 2(-\frac{1}{3}))x + (1 + 3(-\frac{1}{3}))y + (1 - (-\frac{1}{3}))z + (4(-\frac{1}{3}) - 1) = 0$
$(1 - \frac{2}{3})x + 0y + (1 + \frac{1}{3})z + (-\frac{4}{3} - 1) = 0$
$\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}z - \frac{7}{3} = 0$
$3$ से गुणा करने पर,हमें $x+4z-7=0$ प्राप्त होता है।

(D) समतल के अंतःखंड रूप का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ होता है।
यहाँ $a = 1$ और $b = 1$ दिया गया है,अतः समीकरण $x + y + \frac{z}{c} = 1$ होगा।
चूँकि समतल बिंदु $(-1, 1, 2)$ से गुजरता है,मान रखने पर $-1 + 1 + \frac{2}{c} = 1$ प्राप्त होता है,जिससे $\frac{2}{c} = 1$ अर्थात $c = 2$ मिलता है।
समतल का समीकरण $x + y + \frac{z}{2} = 1$ या $2x + 2y + z - 2 = 0$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}$ है।
$X$-अक्ष की दिशा का सदिश $\vec{v} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए $\sin \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{v}|}{|\vec{n}| |\vec{v}|}$ का उपयोग करते हैं।
$\sin \theta = \frac{|(2)(1) + (2)(0) + (1)(0)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$.
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(C) दिए गए समतलों $P_1: x+y+z-1=0$ और $P_2: 2x+3y-z+4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$
चूंकि यह समतल $Y$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1+2\lambda, 1+3\lambda, 1-\lambda)$,$Y$-अक्ष के इकाई सदिश $\hat{j} = (0, 1, 0)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$y$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$1+3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$।
समीकरण में $\lambda = -\frac{1}{3}$ रखने पर:
$(x+y+z-1) - \frac{1}{3}(2x+3y-z+4) = 0$
$3(x+y+z-1) - (2x+3y-z+4) = 0$
$3x+3y+3z-3 - 2x-3y+z-4 = 0$
$x+4z-7 = 0$।
विकल्पों की जाँच करने पर,बिंदु $(3, 2, 1)$ इस समीकरण को संतुष्ट करता है: $3 + 4(1) - 7 = 3+4-7 = 0$।

(C) सबसे पहले,$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}$ और $\frac{x}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात करें। इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_1}$,दिशा सदिशों $\vec{v_1} = (3, 4, 2)$ और $\vec{v_2} = (4, 2, 3)$ के क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n_1} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 8\hat{i} - \hat{j} - 10\hat{k}$.
इस समतल का समीकरण $8x - y - 10z = 0$ है।
माना अभीष्ट समतल का समीकरण $ax + by + cz = 0$ है। यह रेखा $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ को समाहित करता है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = (a, b, c)$,रेखा के दिशा सदिश $\vec{v_3} = (2, 3, 4)$ के लंबवत होना चाहिए। अतः,$2a + 3b + 4c = 0$.
चूंकि अभीष्ट समतल,$8x - y - 10z = 0$ के लंबवत है,इसलिए उनके अभिलंब सदिश परस्पर लंबवत हैं: $(a, b, c) \cdot (8, -1, -10) = 0$,अर्थात $8a - b - 10c = 0$.
इन दो समीकरणों को हल करने पर: $\vec{n_2} = (2, 3, 4) \times (8, -1, -10) = -26\hat{i} + 52\hat{j} - 26\hat{k}$.
$-26$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब सदिश $(1, -2, 1)$ प्राप्त होता है।
अतः समतल का समीकरण $x - 2y + z = 0$ है।

(D) समतल $x - y + 2z - 2 = 0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, -1, 2)$ है।
माना रेखा $PQ$,बिंदु $P(2, 4, -1)$ से गुजरती है और समतल के लंबवत है। रेखा $PQ$ का समीकरण:
$\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z + 1}{2} = \lambda$
अतः,रेखा पर कोई भी बिंदु $M(\lambda + 2, 4 - \lambda, 2\lambda - 1)$ है।
चूंकि $M$ समतल पर स्थित है,यह समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(\lambda + 2) - (4 - \lambda) + 2(2\lambda - 1) - 2 = 0$
$\lambda + 2 - 4 + \lambda + 4\lambda - 2 - 2 = 0$
$6\lambda - 6 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ रखने पर,हमें $M$ के निर्देशांक $(3, 3, 1)$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि $M$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है और $Q = (a, b, c)$ है:
$\frac{2 + a}{2} = 3 \Rightarrow a = 4$
$\frac{4 + b}{2} = 3 \Rightarrow b = 2$
$\frac{-1 + c}{2} = 1 \Rightarrow c = 3$
अतः,$a + b + c = 4 + 2 + 3 = 9$.

(C) समतलों $P_1: x+y+z-1=0$ और $P_2: 2x+3y-z+4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$
चूंकि समतल $X$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $X$-अक्ष (दिशा सदिश $\vec{i} = (1, 0, 0)$) के लंबवत होना चाहिए।
इसलिए,$x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए: $1+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
समीकरण में $\lambda = -\frac{1}{2}$ रखने पर:
$(1+2(-\frac{1}{2}))x + (1+3(-\frac{1}{2}))y + (1-(-\frac{1}{2}))z + (4(-\frac{1}{2})-1) = 0$
$0x + (1-\frac{3}{2})y + (1+\frac{1}{2})z + (-2-1) = 0$
$-\frac{1}{2}y + \frac{3}{2}z - 3 = 0$
$-2$ से गुणा करने पर,हमें $y-3z+6=0$ प्राप्त होता है।

(D) समतलों $P_1: x+2y-3z+1=0$ और $P_2: 3x-2y+4z+3=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+2y-3z+1) + \lambda(3x-2y+4z+3) = 0 \quad \dots(1)$
चूंकि समतल बिंदु $(2,2,1)$ से गुजरता है,हम समीकरण $(1)$ में $x=2, y=2, z=1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2 + 2(2) - 3(1) + 1) + \lambda(3(2) - 2(2) + 4(1) + 3) = 0$
$(2 + 4 - 3 + 1) + \lambda(6 - 4 + 4 + 3) = 0$
$4 + 9\lambda = 0$
$\lambda = -\frac{4}{9}$
अब $\lambda = -\frac{4}{9}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(x+2y-3z+1) - \frac{4}{9}(3x-2y+4z+3) = 0$
$9(x+2y-3z+1) - 4(3x-2y+4z+3) = 0$
$9x + 18y - 27z + 9 - 12x + 8y - 16z - 12 = 0$
$-3x + 26y - 43z - 3 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $3x - 26y + 43z + 3 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना रेखा के दिक अनुपात $(a, b, c)$ हैं। चूंकि रेखा समतलों $x - y + 2z = 5$ और $3x + y + z = 6$ के समानांतर है,इसलिए इसका दिक सदिश दोनों समतलों के अभिलंबों के लंबवत होगा।
अभिलंब $\vec{n_1} = (1, -1, 2)$ और $\vec{n_2} = (3, 1, 1)$ हैं।
दिक सदिश $\vec{v}$ का मान $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 2) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(1 - (-3)) = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$.
अतः,दिक अनुपात $(-3, 5, 4)$ हैं।
रेखा $(1, 2, 3)$ से गुजरती है,इसलिए कार्तीय समीकरण $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-3}{4}$ है।

(C) समतलों $P_1: x+y+z-1=0$ और $P_2: 2x+3y-z+4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$.
चूंकि समतल $x$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1+2\lambda, 1+3\lambda, 1-\lambda)$,$x$-अक्ष के दिशा सदिश $\vec{i} = (1, 0, 0)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(0) + (1-\lambda)(0) = 0$.
$1+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ का मान समीकरण में रखने पर:
$(1+2(-\frac{1}{2}))x + (1+3(-\frac{1}{2}))y + (1-(-\frac{1}{2}))z + (4(-\frac{1}{2})-1) = 0$.
$0x + (1-\frac{3}{2})y + (1+\frac{1}{2})z + (-2-1) = 0$.
$-\frac{1}{2}y + \frac{3}{2}z - 3 = 0$.
$-2$ से गुणा करने पर,हमें $y - 3z + 6 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) यह रेखा $A(4, -1, 2)$ और $B(-3, 2, 3)$ बिंदुओं से गुजरती है। चूंकि रेखा समतल के लंबवत है,इसलिए रेखा के दिक अनुपात ही समतल के अभिलंब के दिक अनुपात होंगे।
रेखा के दिक अनुपात $\langle 4 - (-3), -1 - 2, 2 - 3 \rangle = \langle 7, -3, -1 \rangle$ हैं।
समतल $(-10, 5, 4)$ बिंदु से गुजरता है।
$(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और $\langle a, b, c \rangle$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ होता है।
मान रखने पर:
$7(x - (-10)) - 3(y - 5) - 1(z - 4) = 0$
$7(x + 10) - 3(y - 5) - 1(z - 4) = 0$
$7x + 70 - 3y + 15 - z + 4 = 0$
$7x - 3y - z + 89 = 0$.

(B) समतलों $x+2y+3z-4=0$ और $2x+y-z+5=0$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(x+2y+3z-4) + \lambda(2x+y-z+5) = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $(1+2\lambda)x + (2+\lambda)y + (3-\lambda)z + (-4+5\lambda) = 0$ प्राप्त होता है ... $(1)$।
चूंकि यह समतल,समतल $5x+3y-6z+8=0$ पर लंब है,इसलिए उनके अभिलंब सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होगा।
अतः,$(1+2\lambda)(5) + (2+\lambda)(3) + (3-\lambda)(-6) = 0$।
विस्तार करने पर,$5 + 10\lambda + 6 + 3\lambda - 18 + 6\lambda = 0$।
सरल करने पर,$19\lambda - 7 = 0$,जिससे $\lambda = \frac{7}{19}$ प्राप्त होता है।
$\lambda = \frac{7}{19}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(1 + 2(\frac{7}{19}))x + (2 + \frac{7}{19})y + (3 - \frac{7}{19})z + (-4 + 5(\frac{7}{19})) = 0$।
$(\frac{19+14}{19})x + (\frac{38+7}{19})y + (\frac{57-7}{19})z + (\frac{-76+35}{19}) = 0$।
$\frac{33}{19}x + \frac{45}{19}y + \frac{50}{19}z - \frac{41}{19} = 0$।
$19$ से गुणा करने पर,हमें $33x + 45y + 50z - 41 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ है। चूंकि समतल बिंदु $(-1, 3, -2)$ से गुजरता है (रेखा के समीकरण से),हमारे पास $a(x+1) + b(y-3) + c(z+2) = 0$ है।
चूंकि समतल बिंदु $(0, 7, -7)$ से भी गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं: $a(0+1) + b(7-3) + c(-7+2) = 0$,जो $a + 4b - 5c = 0$ में सरल होता है।
साथ ही,रेखा समतल में स्थित है,इसलिए अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ रेखा के दिशा सदिश $(-3, 2, 1)$ के लंबवत है। अतः,$-3a + 2b + c = 0$।
समीकरणों $a + 4b - 5c = 0$ और $-3a + 2b + c = 0$ को वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:
$\frac{a}{(4)(1) - (-5)(2)} = \frac{-b}{(1)(1) - (-5)(-3)} = \frac{c}{(1)(2) - (4)(-3)}$
$\frac{a}{14} = \frac{b}{14} = \frac{c}{14}$।
$a=1, b=1, c=1$ लेने पर,समीकरण $1(x+1) + 1(y-3) + 1(z+2) = 0$ प्राप्त होता है,जो $x+y+z=0$ में सरल हो जाता है।

(C) दिए गए दो समतलों $P_1: x+2y-3z+2=0$ और $P_2: 6x+y+z+1=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+2y-3z+2) + \lambda(6x+y+z+1) = 0$
$(1+6\lambda)x + (2+\lambda)y + (-3+\lambda)z + (2+\lambda) = 0$
यह समतल रेखा $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-7}{-1}$ के समांतर है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1+6\lambda, 2+\lambda, -3+\lambda)$ है और रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 1, -1)$ है।
चूंकि समतल रेखा के समांतर है,इसलिए अभिलंब सदिश दिशा सदिश के लंबवत होगा,अतः $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$।
$(1+6\lambda)(1) + (2+\lambda)(1) + (-3+\lambda)(-1) = 0$
$1 + 6\lambda + 2 + \lambda + 3 - \lambda = 0$
$6\lambda + 6 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$।
समीकरण में $\lambda = -1$ रखने पर:
$(1-6)x + (2-1)y + (-3-1)z + (2-1) = 0$
$-5x + y - 4z + 1 = 0$
$5x - y + 4z = 1$।

(D) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दी गई दोनों रेखाओं के दिशा सदिशों $\vec{v}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ और $\vec{v}_2 = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ के लंबवत होता है।
अतः,$\vec{n} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 6 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3-6) - \hat{j}(-2-6) + \hat{k}(2-3) = -9\hat{i} + 8\hat{j} - \hat{k}$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = 9\hat{i} - 8\hat{j} + \hat{k}$ के रूप में ले सकते हैं।
समतल दूसरी रेखा के बिंदु $(1, 3, 4)$ से होकर गुजरता है।
समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
$(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} - (\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})) \cdot (9\hat{i} - 8\hat{j} + \hat{k}) = 0$.
$9(x-1) - 8(y-3) + 1(z-4) = 0$.
$9x - 9 - 8y + 24 + z - 4 = 0$.
$9x - 8y + z + 11 = 0$ समतल का समीकरण है।

(B) समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि बिंदु $A(1, 1, \lambda)$ और $B(-3, 0, 1)$ समतल $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ से समान दूरी पर हैं।
$A$ से दूरी: $d_1 = \frac{|3(1) + 4(1) - 12(\lambda) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|20 - 12\lambda|}{13}$.
$B$ से दूरी: $d_2 = \frac{|3(-3) + 4(0) - 12(1) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|-8|}{13} = \frac{8}{13}$.
चूंकि $d_1 = d_2$,इसलिए $\frac{|20 - 12\lambda|}{13} = \frac{8}{13}$,जिसका अर्थ है $|20 - 12\lambda| = 8$.
स्थिति $1$: $20 - 12\lambda = 8 \Rightarrow 12\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 1$.
स्थिति $2$: $20 - 12\lambda = -8 \Rightarrow 12\lambda = 28 \Rightarrow \lambda = \frac{7}{3}$.
चूंकि $\lambda$ एक पूर्णांक है,इसलिए $\lambda = 1$ सही मान है।

(D) दी गई रेखाओं के दिक अनुपात $\vec{b_1} = (1, 4, 7)$ और $\vec{b_2} = (3, 5, 7)$ हैं।
चूंकि समतल पहली रेखा को समाहित करता है और दूसरी रेखा के समांतर है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{b_1}$ और $\vec{b_2}$ दोनों के लंबवत होगा।
$\vec{n} = \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 4 & 7 \\ 3 & 5 & 7 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(28-35) - \hat{j}(7-21) + \hat{k}(5-12) = -7\hat{i} + 14\hat{j} - 7\hat{k} = -7(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$.
अतः,समतल का समीकरण $x - 2y + z = d$ के रूप में है।
समतल बिंदु $(2, 4, 6)$ से होकर गुजरता है।
समीकरण में बिंदु रखने पर: $2 - 2(4) + 6 = 2 - 8 + 6 = 0$.
इसलिए,समतल का समीकरण $x - 2y + z = 0$ है।

(A) समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}) = 13$ है,जिसे कार्तीय रूप में $3x + 2y + 6z - 13 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, \lambda)$ है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की समतल $ax + by + cz + d = 0$ से दूरी $d = \left| \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right|$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$5 = \left| \frac{3(2) + 2(3) + 6(\lambda) - 13}{\sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2}} \right|$.
$5 = \left| \frac{6 + 6 + 6\lambda - 13}{\sqrt{9 + 4 + 36}} \right|$.
$5 = \left| \frac{6\lambda - 1}{\sqrt{49}} \right|$.
$5 = \left| \frac{6\lambda - 1}{7} \right|$.
$35 = |6\lambda - 1|$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं: $6\lambda - 1 = 35$ या $6\lambda - 1 = -35$.
स्थिति $1$: $6\lambda = 36 \implies \lambda = 6$.
स्थिति $2$: $6\lambda = -34 \implies \lambda = -\frac{34}{6} = -\frac{17}{3}$.
अतः,$\lambda = 6, -\frac{17}{3}$.

(C) बिंदु $(-1, 3, -2)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x+1) + b(y-3) + c(z+2) = 0$ है।
चूंकि समतल उस रेखा को समाहित करता है जिसके दिक अनुपात $(-3, 2, 1)$ हैं,इसलिए $-3a + 2b + c = 0$ प्राप्त होता है।
समतल बिंदु $(0, 7, -7)$ से भी गुजरता है,इसलिए इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर $a(0+1) + b(7-3) + c(-7+2) = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $a + 4b - 5c = 0$ हो जाता है।
समीकरणों $-3a + 2b + c = 0$ और $a + 4b - 5c = 0$ को वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:
$\frac{a}{2(-5) - 1(4)} = \frac{b}{1(1) - (-3)(-5)} = \frac{c}{-3(4) - 2(1)}$
$\frac{a}{-14} = \frac{b}{-14} = \frac{c}{-14} \implies a=1, b=1, c=1$.
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर: $1(x+1) + 1(y-3) + 1(z+2) = 0 \implies x+y+z=0$।

(C) रेखा $\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{2}$ है,इसलिए इसका दिशा सदिश $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
समतल $2x - y + \sqrt{\lambda}z + 4 = 0$ है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + \sqrt{\lambda}\hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ है।
दिया गया है कि $\sin \theta = \frac{1}{3}$,इसलिए $\frac{1}{3} = \frac{|(1)(2) + (2)(-1) + (2)(\sqrt{\lambda})|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (\sqrt{\lambda})^2}}$.
$\frac{1}{3} = \frac{|2 - 2 + 2\sqrt{\lambda}|}{\sqrt{9} \sqrt{5 + \lambda}} = \frac{2\sqrt{\lambda}}{3\sqrt{5 + \lambda}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{9} = \frac{4\lambda}{9(5 + \lambda)}$.
$5 + \lambda = 4\lambda$,जिसका अर्थ है कि $3\lambda = 5$,इसलिए $\lambda = \frac{5}{3}$.
अतः,$\lambda + 1 = \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3}$.

(D) दो समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा दोनों समतलों के अभिलंब सदिशों के लंबवत होती है। मान लीजिए अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = 3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{n}_2 = \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}$ हैं।
प्रतिच्छेदन रेखा का दिशा सदिश $\vec{v}$ अभिलंब सदिशों के क्रॉस गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix}$.
$\vec{v} = \hat{i}((-1)(-2) - (1)(4)) - \hat{j}((3)(-2) - (1)(1)) + \hat{k}((3)(4) - (-1)(1))$.
$\vec{v} = \hat{i}(2 - 4) - \hat{j}(-6 - 1) + \hat{k}(12 + 1)$.
$\vec{v} = -2 \hat{i} + 7 \hat{j} + 13 \hat{k}$.
अतः,रेखा $-2 \hat{i} + 7 \hat{j} + 13 \hat{k}$ सदिश के समांतर है।

(B) रेखाएँ $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{k}=\frac{z}{2}$ और $L_2: \frac{x+1}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{k}$ द्वारा दी गई हैं।
चूँकि रेखाएँ समतलीय हैं,शर्त $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ है।
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 0)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (-1, -1, 0)$ है।
अतः,$\begin{vmatrix} -1-1 & -1-(-1) & 0-0 \\ 2 & k & 2 \\ 5 & 2 & k \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 2 & k & 2 \\ 5 & 2 & k \end{vmatrix} = 0$ है।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $-2(k^2 - 4) = 0 \implies k^2 = 4 \implies k = \pm 2$ है।
स्थिति $1$: यदि $k=2$,तो रेखाएँ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{2}$ और $\frac{x+1}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{2}$ हैं। अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & 2 \\ 5 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 0\hat{i} + 6\hat{j} - 6\hat{k}$ है। समतल का समीकरण $0(x-1) + 6(y+1) - 6(z-0) = 0 \implies y - z + 1 = 0$ है।
स्थिति $2$: यदि $k=-2$,तो रेखाएँ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{2}$ और $\frac{x+1}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-2}$ हैं। अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 2 \\ 5 & 2 & -2 \end{vmatrix} = 0\hat{i} + 14\hat{j} + 14\hat{k}$ है। समतल का समीकरण $0(x-1) + 14(y+1) + 14(z-0) = 0 \implies y + z + 1 = 0$ है।
दोनों को मिलाने पर,समीकरण $y \pm z + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) रेखा का समीकरण $\frac{x-0}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{\lambda}$ है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}$ है।
समतल $x + 2y + 3z = 4$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
माना रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ है। तब $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ होता है।
दिया है $\theta = \cos^{-1} \sqrt{\frac{5}{14}}$,इसलिए $\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{14}}$,जिसका अर्थ है $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14}$.
अतः,$\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$\sin \theta$ के लिए सूत्र $\frac{|(1)(1) + (2)(2) + (\lambda)(3)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + \lambda^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}}$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$|5 + 3\lambda| = 3\sqrt{5 + \lambda^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(5 + 3\lambda)^2 = 9(5 + \lambda^2)$.
$25 + 30\lambda + 9\lambda^2 = 45 + 9\lambda^2$.
$30\lambda = 20$.
$\lambda = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.

(A) $Q(3,-4,-5)$ और $R(2,-3,1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{2-3} = \frac{y-(-4)}{-3-(-4)} = \frac{z-(-5)}{1-(-5)}$ है।
इसे सरल करने पर $\frac{x-3}{-1} = \frac{y+4}{1} = \frac{z+5}{6} = k$ प्राप्त होता है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(3-k, -4+k, -5+6k)$ है।
चूंकि यह बिंदु समतल $2x+y+z=7$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(3-k) + (-4+k) + (-5+6k) = 7$.
$6 - 2k - 4 + k - 5 + 6k = 7$.
$5k - 3 = 7 \implies 5k = 10 \implies k = 2$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(3-2, -4+2, -5+12) = (1, -2, 7)$ है।
$P(3,4,4)$ और $(1,-2,7)$ के बीच की दूरी $\sqrt{(3-1)^2 + (4-(-2))^2 + (4-7)^2}$ है।
$= \sqrt{2^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$ इकाई।

(A) रेखाएँ $L_1: \frac{x}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z+3}{\lambda}$ और $L_2: \frac{x-2}{2} = \frac{y-6}{3} = \frac{z-3}{\lambda}$ हैं।
रेखाओं पर बिंदु $A(0, 2, -3)$ और $B(2, 6, 3)$ हैं।
दिशा सदिश $\vec{v_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}$ और $\vec{v_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \lambda\hat{k}$ हैं।
समतल का अभिलंब $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = -\lambda\hat{i} + \lambda\hat{j} - \hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $-\lambda x + \lambda y - 2\lambda - z - 3 = 0$ है।
इसे $-\lambda(x - y + 2) - (z + 3) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\lambda$ के सभी मानों के लिए,$x - y + 2 = 0$ और $z = -3$ होना चाहिए।

(D) रेखा बिंदु $P(3, -5, -2)$ से होकर गुजरती है। चूँकि रेखा समतल $\alpha x + 3y - z + \beta = 0$ में स्थित है,इसलिए बिंदु $P$ को समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए:
$\alpha(3) + 3(-5) - (-2) + \beta = 0$
$3\alpha - 15 + 2 + \beta = 0$
$3\alpha + \beta = 13$ (समीकरण $1$)।
साथ ही,रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n} = \alpha\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$:
$(2)(\alpha) + (-1)(3) + (2)(-1) = 0$
$2\alpha - 3 - 2 = 0$
$2\alpha = 5$
$\alpha = \frac{5}{2}$।
$\alpha = \frac{5}{2}$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$3(\frac{5}{2}) + \beta = 13$
$\frac{15}{2} + \beta = 13$
$\beta = 13 - \frac{15}{2} = \frac{26-15}{2} = \frac{11}{2}$।
अतः,$\alpha = \frac{5}{2}$ और $\beta = \frac{11}{2}$ प्राप्त होते हैं।

(D) सबसे पहले,रेखाओं को सममित रूप में लिखें:
रेखा $1$: $x = a(y - 1/a) = z - 2 \implies \frac{x}{1} = \frac{y - 1/a}{1/a} = \frac{z - 2}{1}$. बिंदु $P_1 = (0, 1/a, 2)$,दिशा सदिश $\vec{v_1} = (1, 1/a, 1)$.
रेखा $2$: $x = 3(y - 2/3) = b(z - 2/b) \implies \frac{x}{1} = \frac{y - 2/3}{1/3} = \frac{z - 2/b}{1/b}$. बिंदु $P_2 = (0, 2/3, 2/b)$,दिशा सदिश $\vec{v_2} = (1, 1/3, 1/b)$.
रेखाओं के समतलीय होने के लिए,अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{P_1P_2}, \vec{v_1}, \vec{v_2}] = 0$ होना चाहिए।
$\vec{P_1P_2} = (0, 2/3 - 1/a, 2/b - 2)$.
सारणिक है:
$|\begin{matrix} 0 & 2/3 - 1/a & 2/b - 2 \\ 1 & 1/a & 1 \\ 1 & 1/3 & 1/b \end{matrix}| = 0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-(2/3 - 1/a)(1/b - 1) + (2/b - 2)(1/3 - 1/a) = 0$.
$-(2/3 - 1/a)(1/b - 1) + 2(1/b - 1)(1/3 - 1/a) = 0$.
$(1/b - 1) [-(2/3 - 1/a) + 2(1/3 - 1/a)] = 0$.
$(1/b - 1) [-2/3 + 1/a + 2/3 - 2/a] = 0$.
$(1/b - 1)(-1/a) = 0$.
चूंकि $a \neq 0$,इसलिए $1/b - 1 = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $b = 1$.
अतः,$b = 1$ और $a$ कोई भी अशून्य वास्तविक संख्या हो सकती है। सही विकल्प $D$ है।

(A) बिंदु $A(3, -4, 5)$ से गुजरने वाली और रेखा $\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-2}$ के समानांतर रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{2} = \frac{y+4}{1} = \frac{z-5}{-2} = r$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P(2r+3, r-4, -2r+5)$ के रूप का है।
चूंकि यह बिंदु $P$ समतल $2x + 5y - 6z = 16$ पर स्थित है,हम $P$ के निर्देशांक को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2r+3) + 5(r-4) - 6(-2r+5) = 16$.
$4r + 6 + 5r - 20 + 12r - 30 = 16$.
$21r - 44 = 16$.
$21r = 60$.
$r = \frac{60}{21} = \frac{20}{7}$.
दूरी $AP$,$(3, -4, 5)$ और $(2r+3, r-4, -2r+5)$ के बीच की दूरी है,जो $\sqrt{(2r)^2 + (r)^2 + (-2r)^2} = \sqrt{4r^2 + r^2 + 4r^2} = \sqrt{9r^2} = 3|r|$ है।
$r = \frac{20}{7}$ रखने पर,हमें $3 \times \frac{20}{7} = \frac{60}{7}$ इकाई प्राप्त होता है।

(D) $(1, 1, 1)$ और $(2, 2, 2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{2-1} = \frac{y-1}{2-1} = \frac{z-1}{2-1} = k$ द्वारा दिया जाता है।
इसे सरल करने पर $x-1 = k$,$y-1 = k$,और $z-1 = k$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $(k+1, k+1, k+1)$ के रूप में होता है।
चूंकि यह बिंदु समतल $x + y + z = 9$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(k+1) + (k+1) + (k+1) = 9$.
$3k + 3 = 9$.
$3k = 6$,जिससे $k = 2$ प्राप्त होता है।
$k = 2$ को बिंदु के निर्देशांक $(k+1, k+1, k+1)$ में रखने पर,हमें $(2+1, 2+1, 2+1) = (3, 3, 3)$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, 3, 3)$ है।

(C) चूंकि रेखा समतल में स्थित है,इसलिए रेखा का दिशा सदिश समतल के अभिलंब सदिश के लंबवत होता है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ है और समतल का अभिलंब $\vec{n} = \ell\hat{i} + m\hat{j} - \hat{k}$ है।
अतः,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow (2)(\ell) + (-1)(m) + (3)(-1) = 0 \Rightarrow 2\ell - m = 3$ (समीकरण $i$)।
साथ ही,रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा। बिंदु $(3, -2, -4)$ रेखा पर स्थित है,इसलिए इसे समतल पर भी स्थित होना चाहिए:
$\ell(3) + m(-2) - (-4) = 9 \Rightarrow 3\ell - 2m + 4 = 9 \Rightarrow 3\ell - 2m = 5$ (समीकरण $ii$)।
समीकरणों को हल करने पर:
$(i)$ से,$m = 2\ell - 3$। इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3\ell - 2(2\ell - 3) = 5 \Rightarrow 3\ell - 4\ell + 6 = 5 \Rightarrow -\ell = -1 \Rightarrow \ell = 1$।
तब $m = 2(1) - 3 = -1$।
अतः,$\ell^2 + m^2 = (1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$।

(D) माना दी गई रेखा $L: \frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{-5} = k$ है। रेखा पर कोई भी बिंदु $(3k+1, k+3, -5k+4)$ है।
रेखा $L$ और समतल $2x-y+z+3=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,$2(3k+1)-(k+3)+(-5k+4)+3=0$ प्राप्त होता है।
$6k+2-k-3-5k+4+3=0 \implies 6=0$,जो संभव नहीं है। अतः,रेखा समतल के समांतर है।
रेखा पर स्थित बिंदु $P(1, 3, 4)$ का समतल $2x-y+z+3=0$ में प्रतिबिंब $P'(x', y', z')$ है।
सूत्र $\frac{x'-1}{2} = \frac{y'-3}{-1} = \frac{z'-4}{1} = -2 \frac{2(1)-3+4+3}{2^2+(-1)^2+1^2} = -2 \frac{6}{6} = -2$ का उपयोग करने पर।
$x'-1 = -4 \implies x' = -3$.
$y'-3 = 2 \implies y' = 5$.
$z'-4 = -2 \implies z' = 2$.
प्रतिबिंब रेखा $(-3, 5, 2)$ से गुजरती है और मूल रेखा के समान ही दिक अनुपात $(3, 1, -5)$ रखती है।
अतः,समीकरण $\frac{x+3}{3} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-2}{-5}$ है।

(C) दी गई रेखा $\frac{x-4}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z - m/2}{3/2}$ है।
यह रेखा बिंदु $P(4, 2, m/2)$ से होकर गुजरती है।
चूंकि रेखा समतल $2x - 5y + 2z = 7$ में स्थित है,इसलिए बिंदु $P$ को समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।
$P$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(4) - 5(2) + 2(m/2) = 7$
$8 - 10 + m = 7$
$-2 + m = 7$
$m = 9$
इसके अतिरिक्त,रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 1, 3/2)$ समतल के अभिलंब $\vec{n} = (2, -5, 2)$ के लंबवत होना चाहिए।
अदिश गुणनफल की जाँच करने पर: $\vec{v} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (1)(-5) + (3/2)(2) = 2 - 5 + 3 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,रेखा समतल के समानांतर है,और चूंकि बिंदु $P$ समतल पर स्थित है,इसलिए $m = 9$ के लिए पूरी रेखा समतल में स्थित है।

(A) माना रेखा $\frac{x-4}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-3}{1}=\lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2\lambda+4, 2\lambda+5, \lambda+3)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह बिंदु समतल $x+y+z=2$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2\lambda+4) + (2\lambda+5) + (\lambda+3) = 2$.
$5\lambda + 12 = 2$.
$5\lambda = -10$,इसलिए $\lambda = -2$.
$\lambda = -2$ को बिंदु के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 2(-2) + 4 = 0$,
$y = 2(-2) + 5 = 1$,
$z = (-2) + 3 = 1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1, 1)$ है।
अब,जांचें कि कौन सा विकल्प बिंदु $(0, 1, 1)$ को संतुष्ट करता है:
विकल्प $(A)$ के लिए: $\frac{0-1}{1} = -1$,$\frac{1-3}{2} = -1$,$\frac{1+4}{-5} = -1$.
चूंकि सभी अनुपात $-1$ के बराबर हैं,इसलिए बिंदु $(0, 1, 1)$ विकल्प $(A)$ में दी गई रेखा पर स्थित है।