समतल x+2y+3z-4=0 और 2x+y-z+5=0 के प्रतिच्छेदन | vedclass

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Question

(B) समतलों $x+2y+3z-4=0$ और $2x+y-z+5=0$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(x+2y+3z-4) + \lambda(2x+y-z+5) = 0$ है। पदों को

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$33x+45y+50z-41=0$

Vedclass · Answer

(B) समतलों $x+2y+3z-4=0$ और $2x+y-z+5=0$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(x+2y+3z-4) + \lambda(2x+y-z+5) = 0$ है। पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $(1+2\lambda)x + (2+\lambda)y + (3-\lambda)z + (-4+5\lambda) = 0$ प्राप्त होता है ... $(1)$। चूंकि यह समतल,समतल $5x+3y-6z+8=0$ पर लंब है,इसलिए उनके अभिलंब सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होगा। अतः,$(1+2\lambda)(5) + (2+\lambda)(3) + (3-\lambda)(-6) = 0$। विस्तार करने पर,$5 + 10\lambda + 6 + 3\lambda - 18 + 6\lambda = 0$। सरल करने पर,$19\lambda - 7 = 0$,जिससे $\lambda = \frac{7}{19}$ प्राप्त होता है। $\lambda = \frac{7}{19}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर: $(1 + 2(\frac{7}{19}))x + (2 + \frac{7}{19})y + (3 - \frac{7}{19})z + (-4 + 5(\frac{7}{19})) = 0$। $(\frac{19+14}{19})x + (\frac{38+7}{19})y + (\frac{57-7}{19})z + (\frac{-76+35}{19}) = 0$। $\frac{33}{19}x + \frac{45}{19}y + \frac{50}{19}z - \frac{41}{19} = 0$। $19$ से गुणा करने पर,हमें $33x + 45y + 50z - 41 = 0$ प्राप्त होता है।

समतल $x+2y+3z-4=0$ और $2x+y-z+5=0$ के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले और समतल $5x+3y-6z+8=0$ पर लंब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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रेखा $\frac{x + 3}{3} = \frac{y - 2}{-2} = \frac{z + 1}{1}$ और समतल $4x + 5y + 3z - 5 = 0$ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं

यदि रेखाएँ $x = 1 + s, y = -3 - \lambda s, z = 1 + \lambda s$ और $x = t/2, y = 1 + t, z = 2 - t$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

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