Line and Plane Questions in Hindi

(B) दो रेखाएँ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ समतलीय होती हैं यदि $\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$ हो।
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$,$(a_1, b_1, c_1) = (1, 1, -k)$,$(x_2, y_2, z_2) = (1, 4, 5)$,और $(a_2, b_2, c_2) = (k, 2, 1)$ है।
इन मानों को सारणिक की शर्त में रखने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} 1-2 & 4-3 & 5-4 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
$\left|\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$-1(1 - (-2k)) - 1(1 - (-k^2)) + 1(2 - k) = 0$
$-1(1 + 2k) - 1(1 + k^2) + 2 - k = 0$
$-1 - 2k - 1 - k^2 + 2 - k = 0$
$-k^2 - 3k = 0$
$k^2 + 3k = 0$
$k(k + 3) = 0$
अतः,$k = 0$ या $k = -3$ प्राप्त होता है।

(B) $1$. दिक-कोसाइन: चूँकि रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसके दिक-अनुपात $(1, 1, 1)$ के समानुपाती हैं।
$2$. रेखा का समीकरण: बिंदु $P(2, 1, 2)$ से गुजरने वाली और $(1, 1, 1)$ दिक-अनुपात वाली रेखा का प्राचलिक रूप:
$\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{1} = t$
अतः,$x = 2+t, y = 1+t, z = 2+t$.
$3$. समतल के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु: इन मानों को समतल के समीकरण $2x+y+z=9$ में रखने पर:
$2(2+t) + (1+t) + (2+t) = 9$
$4 + 2t + 1 + t + 2 + t = 9$
$4t + 7 = 9 \Rightarrow 4t = 2 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$.
$4$. $Q$ के निर्देशांक: $t = \frac{1}{2}$ रखने पर,$Q = (2+\frac{1}{2}, 1+\frac{1}{2}, 2+\frac{1}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2})$.
$5$. $PQ$ की लंबाई: दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:
$PQ = \sqrt{(\frac{5}{2}-2)^2 + (\frac{3}{2}-1)^2 + (\frac{5}{2}-2)^2}$
$PQ = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ इकाई।

(B) किसी रेखा के समतल में स्थित होने के लिए,रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु को समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। रेखा $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+m}{2}$ बिंदु $(4, 2, -m)$ से होकर गुजरती है।
इस बिंदु को समतल के समीकरण $2x - 4y + z = 7$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(4) - 4(2) + (-m) = 7$
$8 - 8 - m = 7$
$-m = 7$
$m = -7$
इसके अतिरिक्त,समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, -4, 1)$ रेखा के दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 1, 2)$ के लंबवत होना चाहिए।
अदिश गुणनफल की जाँच करने पर: $(2)(1) + (-4)(1) + (1)(2) = 2 - 4 + 2 = 0$।
चूँकि अदिश गुणनफल $0$ है,रेखा समतल के समांतर है। $m = -7$ के लिए बिंदु $(4, 2, -m)$ समतल पर स्थित है,इसलिए पूरी रेखा समतल में स्थित है।

(B) रेखा का दिया गया समीकरण $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{2}$ है।
यह रेखा बिंदु $P(2, 1, -2)$ से होकर गुजरती है।
चूंकि रेखा समतल $x+3y-\alpha z+\beta=0$ में स्थित है,इसलिए बिंदु $P$ समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$2 + 3(1) - \alpha(-2) + \beta = 0$
$2 + 3 + 2\alpha + \beta = 0$
$2\alpha + \beta = -5$ $(i)$
साथ ही,रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (3, -5, 2)$ समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 3, -\alpha)$ के लंबवत है।
इसलिए,उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$3(1) + (-5)(3) + 2(-\alpha) = 0$
$3 - 15 - 2\alpha = 0$
$-12 - 2\alpha = 0$
$2\alpha = -12 \implies \alpha = -6$
समीकरण $(i)$ में $\alpha = -6$ रखने पर:
$2(-6) + \beta = -5$
$-12 + \beta = -5$
$\beta = 7$
अतः,$(\alpha, \beta) = (-6, 7)$.

(D) चूंकि रेखा समतल में स्थित है,इसलिए रेखा का दिशा सदिश समतल के अभिलंब सदिश के लंबवत होता है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ है और समतल का अभिलंब $\vec{n} = \ell\hat{i} + m\hat{j} - \hat{k}$ है।
अतः,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow 2\ell + m - 3 = 0$,जिससे $2\ell + m = 3$ प्राप्त होता है (समीकरण $i$)।
साथ ही,रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समतल पर होना चाहिए। बिंदु $(3, -2, -4)$ रेखा पर स्थित है,इसलिए यह समतल के समीकरण $\ell x + my - z = 9$ को संतुष्ट करेगा।
बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर: $3\ell - 2m - (-4) = 9 \Rightarrow 3\ell - 2m = 5$ (समीकरण $ii$)।
समीकरणों को हल करने पर:
समीकरण $(i)$ से,$m = 3 - 2\ell$। इसे $(ii)$ में रखने पर:
$3\ell - 2(3 - 2\ell) = 5 \Rightarrow 3\ell - 6 + 4\ell = 5 \Rightarrow 7\ell = 11 \Rightarrow \ell = \frac{11}{7}$।
तब $m = 3 - 2(\frac{11}{7}) = \frac{21 - 22}{7} = -\frac{1}{7}$।
अंत में,$\ell^2 + m^2 = (\frac{11}{7})^2 + (-\frac{1}{7})^2 = \frac{121}{49} + \frac{1}{49} = \frac{122}{49}$।

(A) रेखा पर बिंदु $Q$ का स्थिति सदिश $\vec{q} = (1 - 3\mu)\hat{i} + (-1 + \mu)\hat{j} + (2 + 5\mu)\hat{k}$ है।
दिया गया बिंदु $P(3, 2, 6)$ है,इसलिए इसका स्थिति सदिश $\vec{p} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
सदिश $\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (-3\mu - 2)\hat{i} + (\mu - 3)\hat{j} + (5\mu - 4)\hat{k}$ है।
समतल $x - 4y + 3z = 1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{PQ}$ समतल के समानांतर है,इसलिए यह अभिलंब सदिश $\vec{n}$ के लंबवत होना चाहिए,अतः $\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$.
$(-3\mu - 2)(1) + (\mu - 3)(-4) + (5\mu - 4)(3) = 0$.
$-3\mu - 2 - 4\mu + 12 + 15\mu - 12 = 0$.
$8\mu - 2 = 0$.
$8\mu = 2 \Rightarrow \mu = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(NONE) दिया गया बिंदु $P = (2, 1, 5)$ है।
रेखा $\vec{r} = (1, -1, 2) + \mu(-3, 1, 5)$ पर कोई भी बिंदु $Q = (1-3\mu, -1+\mu, 2+5\mu)$ के रूप में होगा।
सदिश $\vec{PQ} = Q - P = (1-3\mu-2, -1+\mu-1, 2+5\mu-5) = (-1-3\mu, -2+\mu, -3+5\mu)$ है।
समतल $3x-y+4z=1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (3, -1, 4)$ है।
यदि $\vec{PQ}$ समतल के समांतर है,तो $\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$ होगा।
$3(-1-3\mu) - 1(-2+\mu) + 4(-3+5\mu) = 0$.
$-3 - 9\mu + 2 - \mu - 12 + 20\mu = 0$.
$10\mu - 13 = 0$.
$\mu = \frac{13}{10}$.

(A) दो रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का समीकरण सारणिक रूप में इस प्रकार है:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
दूसरी रेखा पर स्थित बिंदु $(1, 4, -4)$ और दिशा सदिशों $(3, 5, 7)$ तथा $(1, 4, 7)$ का उपयोग करने पर:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-4 & z+4 \\ 3 & 5 & 7 \\ 1 & 4 & 7 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x-1)(35-28) - (y-4)(21-7) + (z+4)(12-5) = 0$
$7(x-1) - 14(y-4) + 7(z+4) = 0$
$7$ से भाग देने पर:
$(x-1) - 2(y-4) + (z+4) = 0$
$x - 2y + z - 1 + 8 + 4 = 0$
$x - 2y + z + 11 = 0$
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|11|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{11}{\sqrt{1+4+1}} = \frac{11}{\sqrt{6}}$ इकाई।

(D) समतलों $x+y+z-1=0$ और $2x+3y+4z-5=0$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y+4z-5) = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1+4\lambda)z - (1+5\lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
यह समतल,समतल $x-y+z=0$ के लंबवत है।
इन दो समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1+4\lambda)\hat{k}$ और $\vec{n_2} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
चूंकि समतल लंबवत हैं,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.
$(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(-1) + (1+4\lambda)(1) = 0$.
$1+2\lambda - 1 - 3\lambda + 1 + 4\lambda = 0$.
$1 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$.
$\lambda = -\frac{1}{3}$ को समतल के समीकरण में रखने पर:
$(1 - \frac{2}{3})x + (1 - 1)y + (1 - \frac{4}{3})z - (1 - \frac{5}{3}) = 0$.
$\frac{1}{3}x + 0y - \frac{1}{3}z + \frac{2}{3} = 0$.
$3$ से गुणा करने पर,$x - z + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
इसका सदिश समीकरण $\overline{r} \cdot (\hat{i} - \hat{k}) + 2 = 0$ है।

(A) माना दी गई रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+5}{4} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $(x, y, z) = (2\lambda+1, -3\lambda+2, 4\lambda-5)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह बिंदु समतल $2x+4y-z=3$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2\lambda+1) + 4(-3\lambda+2) - (4\lambda-5) = 3$.
पदों का विस्तार करने पर:
$4\lambda + 2 - 12\lambda + 8 - 4\lambda + 5 = 3$.
$\lambda$ वाले पदों और स्थिरांकों को संयोजित करने पर:
$-12\lambda + 15 = 3$.
$-12\lambda = 3 - 15$.
$-12\lambda = -12$.
$\lambda = 1$.
$\lambda = 1$ को निर्देशांकों में वापस रखने पर:
$x = 2(1) + 1 = 3$.
$y = -3(1) + 2 = -1$.
$z = 4(1) - 5 = -1$.
अतः,अभीष्ट निर्देशांक $(3, -1, -1)$ हैं।

(A) रेखा $L$ दो समतलों $2x + 3y + z = 1$ और $x + 3y + 2z = 2$ का प्रतिच्छेदन है।
रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v}$,समतलों के अभिलंबों $\vec{n_1} = (2, 3, 1)$ और $\vec{n_2} = (1, 3, 2)$ के सदिश गुणन (cross product) द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-3) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(6-3) = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
हम दिशा सदिश को $\vec{v} = (1, -1, 1)$ के रूप में सरल कर सकते हैं।
रेखा $L$,धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $\alpha$ कोण बनाती है,जिसका दिशा सदिश $\vec{u} = (1, 0, 0)$ है।
कोण $\alpha$ का कोज्या (cosine) $\cos \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{u}|}{|\vec{v}| |\vec{u}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \alpha = \frac{|(1)(1) + (-1)(0) + (1)(0)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} = \sqrt{3}$.

(B) चूंकि रेखा $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{2}$ समतल $x+3y-\alpha z+\beta=0$ में स्थित है,इसलिए रेखा के दिक अनुपात $(3, -5, 2)$ समतल के अभिलंब $(1, 3, -\alpha)$ के लंबवत होने चाहिए।
अतः,$3(1) + (-5)(3) + 2(-\alpha) = 0$.
$3 - 15 - 2\alpha = 0 \Rightarrow -12 - 2\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -6$.
साथ ही,रेखा पर स्थित बिंदु $(2, 1, -2)$ समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
$2 + 3(1) - (-6)(-2) + \beta = 0$.
$2 + 3 - 12 + \beta = 0 \Rightarrow -7 + \beta = 0 \Rightarrow \beta = 7$.
अंत में,$\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2 = (-6)^2 + (-6)(7) + (7)^2 = 36 - 42 + 49 = 43$.

(C) एक रेखा जिसके दिशा सदिश $\vec{b}$ है और एक समतल जिसके अभिलंब सदिश $\vec{n}$ है,के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है: $\sin \theta = \left| \frac{\vec{b} \cdot \vec{n}}{|\vec{b}| |\vec{n}|} \right|$.
यहाँ,रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ है और समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} - 2\hat{j} - \lambda\hat{k}$ है।
दिया गया है $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$। चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{8}{9}} = \frac{1}{3}$।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{1}{3} = \left| \frac{(2)(1) + (1)(-2) + (-2)(-\lambda)}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-\lambda)^2}} \right|$
$\frac{1}{3} = \left| \frac{2 - 2 + 2\lambda}{\sqrt{9} \sqrt{5 + \lambda^2}} \right|$
$\frac{1}{3} = \left| \frac{2\lambda}{3 \sqrt{5 + \lambda^2}} \right|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{9} = \frac{4\lambda^2}{9(5 + \lambda^2)}$
$5 + \lambda^2 = 4\lambda^2$
$3\lambda^2 = 5$
$\lambda^2 = \frac{5}{3} \Rightarrow \lambda = \sqrt{\frac{5}{3}}$.

(B) माना रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{4}=k$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $P$ $(2k+1, 3k-1, 4k+2)$ के रूप में है।
चूंकि बिंदु $P$ समतल $x+2y+3z=15$ पर स्थित है,हम $P$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2k+1) + 2(3k-1) + 3(4k+2) = 15$.
पदों का विस्तार करने पर: $2k + 1 + 6k - 2 + 12k + 6 = 15$.
समान पदों को जोड़ने पर: $20k + 5 = 15$,जिससे $20k = 10$ प्राप्त होता है,अतः $k = \frac{1}{2}$.
$k = \frac{1}{2}$ का मान $P$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$P = (2(\frac{1}{2})+1, 3(\frac{1}{2})-1, 4(\frac{1}{2})+2) = (2, \frac{1}{2}, 4)$.
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $P(2, \frac{1}{2}, 4)$ की दूरी $\sqrt{2^2 + (\frac{1}{2})^2 + 4^2} = \sqrt{4 + \frac{1}{4} + 16} = \sqrt{20 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2}$ इकाई है।

(D) समतल $P_1$ का अभिलंब सदिश $\bar{n_1} = (2 \hat{j}+3 \hat{k}) \times (4 \hat{j}-3 \hat{k}) = -18 \hat{i}$ है।
समतल $P_2$ का अभिलंब सदिश $\bar{n_2} = (\hat{j}-\hat{k}) \times (3 \hat{i}+3 \hat{j}) = 3 \hat{i}-3 \hat{j}-3 \hat{k}$ है।
सदिश $\bar{A}$ प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर है,इसलिए $\bar{A} = \bar{n_1} \times \bar{n_2} = (-18 \hat{i}) \times (3 \hat{i}-3 \hat{j}-3 \hat{k}) = 54 \hat{j}-54 \hat{k}$ है।
हम $\bar{A}$ को $-\hat{j}+\hat{k}$ के रूप में ले सकते हैं।
मान लीजिए $\bar{v} = 2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ है। $\bar{A}$ और $\bar{v}$ के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{\bar{A} \cdot \bar{v}}{|\bar{A}| |\bar{v}|}$ है।
$\bar{A} \cdot \bar{v} = (0)(2) + (-1)(1) + (1)(-2) = -3$ है।
$|\bar{A}| = \sqrt{2}$ और $|\bar{v}| = 3$ है।
$\cos \theta = \frac{-3}{3\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,$\theta = \frac{3\pi}{4}$।

(A) माना रेखा $\frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{4} = \frac{z-2}{12} = \lambda$ है।
रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $P$ $(3\lambda + 2, 4\lambda - 1, 12\lambda + 2)$ के रूप में है।
चूंकि यह बिंदु समतल $x - y + z = 5$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(3\lambda + 2) - (4\lambda - 1) + (12\lambda + 2) = 5$.
$3\lambda + 2 - 4\lambda + 1 + 12\lambda + 2 = 5$.
$11\lambda + 5 = 5$.
$11\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ $(2, -1, 2)$ है।
अब हमें $P(2, -1, 2)$ और $Q(-1, -5, -10)$ के बीच की दूरी ज्ञात करनी है।
$PQ = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-5 - (-1))^2 + (-10 - 2)^2}$.
$PQ = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + (-12)^2}$.
$PQ = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$ इकाई।

(A) रेखा $\frac{x}{2} = \frac{y}{4} = \frac{z}{1}$ के दिक-अनुपात $2, 4, 1$ हैं।
चूँकि अभीष्ट रेखा इसके समांतर है,इसलिए इसके दिक-अनुपात भी $2, 4, 1$ होंगे।
बिंदु $A(1, 3, 2)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 2}{1} = \lambda$ है।
इस रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $B = (2\lambda + 1, 4\lambda + 3, \lambda + 2)$ के रूप में होगा।
बिंदु $B$ समतल $3x + y + 2z = 5$ पर स्थित है,इसलिए इसके निर्देशांक समतल के समीकरण को संतुष्ट करेंगे:
$3(2\lambda + 1) + (4\lambda + 3) + 2(\lambda + 2) = 5$.
$6\lambda + 3 + 4\lambda + 3 + 2\lambda + 4 = 5$.
$12\lambda + 10 = 5$.
$12\lambda = -5 \Rightarrow \lambda = -\frac{5}{12}$.
अब $\lambda = -\frac{5}{12}$ का मान $B$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 2(-\frac{5}{12}) + 1 = \frac{1}{6}$.
$y = 4(-\frac{5}{12}) + 3 = \frac{4}{3}$.
$z = -\frac{5}{12} + 2 = \frac{19}{12}$.
अतः,बिंदु $B$ के निर्देशांक $(\frac{1}{6}, \frac{4}{3}, \frac{19}{12})$ हैं।

(C) माना $\frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{4} = \frac{z-2}{12} = \lambda$ है।
अतः, रेखा पर स्थित किसी बिंदु $P$ के निर्देशांक $P = (3\lambda + 2, 4\lambda - 1, 12\lambda + 2)$ हैं।
चूंकि यह बिंदु $P$ समतल $x - y + z = 16$ पर स्थित है, इसलिए हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(3\lambda + 2) - (4\lambda - 1) + (12\lambda + 2) = 16$.
$3\lambda + 2 - 4\lambda + 1 + 12\lambda + 2 = 16$.
$11\lambda + 5 = 16$.
$11\lambda = 11$, जिससे हमें $\lambda = 1$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 1$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर, हमें $P = (3(1) + 2, 4(1) - 1, 12(1) + 2) = (5, 3, 14)$ प्राप्त होता है।
अब, दूरी सूत्र का उपयोग करके $P(5, 3, 14)$ और $Q(1, 6, 2)$ के बीच की दूरी ज्ञात करते हैं:
$PQ = \sqrt{(1-5)^2 + (6-3)^2 + (2-14)^2}$.
$PQ = \sqrt{(-4)^2 + (3)^2 + (-12)^2}$.
$PQ = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ इकाई}$.

(A) समतलों $\bar{r} \cdot(3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=1$ और $\bar{r} \cdot(\hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k})=2$ की प्रतिच्छेदन रेखा,उनके अभिलंब सदिशों $\bar{n}_1 = 3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\bar{n}_2 = \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}$ के लंबवत होती है।
इसलिए,यह रेखा सदिश $\bar{n}_1 \times \bar{n}_2$ के समांतर है।
क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करने पर:
$\bar{n}_1 \times \bar{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-1)(-2) - (1)(4)) - \hat{j}((3)(-2) - (1)(1)) + \hat{k}((3)(4) - (-1)(1))$
$= \hat{i}(2 - 4) - \hat{j}(-6 - 1) + \hat{k}(12 + 1)$
$= -2 \hat{i} + 7 \hat{j} + 13 \hat{k}$.

(B) माना कि अभीष्ट अनुपात $\lambda:1$ है। बिंदुओं $\vec{a} = -2\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} - 5\hat{j} + 8\hat{k}$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $\lambda:1$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{r} = \frac{\lambda\vec{b} + 1\vec{a}}{\lambda+1}$ है।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर,$\vec{r} = \frac{\lambda(3\hat{i}-5\hat{j}+8\hat{k}) + (-2\hat{i}+4\hat{j}+7\hat{k})}{\lambda+1} = \frac{(3\lambda-2)\hat{i} + (-5\lambda+4)\hat{j} + (8\lambda+7)\hat{k}}{\lambda+1}$.
चूंकि यह बिंदु समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}) = 17$ पर स्थित है,हम घटकों को समीकरण में रखते हैं:
$\frac{(3\lambda-2)(1) + (-5\lambda+4)(-2) + (8\lambda+7)(3)}{\lambda+1} = 17$.
$(3\lambda-2) + (10\lambda-8) + (24\lambda+21) = 17(\lambda+1)$.
$37\lambda + 11 = 17\lambda + 17$.
$20\lambda = 6$.
$\lambda = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
अतः,अभीष्ट अनुपात $3:10$ है।

(D) रेखा के समतल पर स्थित होने के लिए,रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु को समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।
चूंकि रेखा बिंदु $(4, 2, k)$ से होकर गुजरती है,इसलिए यह बिंदु समतल समीकरण $2x - 4y + z = 7$ को संतुष्ट करना चाहिए।
बिंदु के निर्देशांकों को समतल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(4) - 4(2) + k = 7$
$8 - 8 + k = 7$
$k = 7$
अतः,$k$ का मान $7$ है।

(A) दिया गया बिंदु $P = (3, 2, 6)$ है।
रेखा पर बिंदु $Q = (1 - 3\mu, -1 + \mu, 2 + 5\mu)$ है।
सदिश $\vec{PQ} = (1 - 3\mu - 3)\hat{i} + (-1 + \mu - 2)\hat{j} + (2 + 5\mu - 6)\hat{k} = (-2 - 3\mu)\hat{i} + (-3 + \mu)\hat{j} + (-4 + 5\mu)\hat{k}$ है।
समतल $x - 4y + 3z = 1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{PQ}$ समतल के समांतर है,इसलिए $\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$ होगा।
$(-2 - 3\mu)(1) + (-3 + \mu)(-4) + (-4 + 5\mu)(3) = 0$.
$-2 - 3\mu + 12 - 4\mu - 12 + 15\mu = 0$.
$8\mu - 2 = 0$.
$8\mu = 2$.
$\mu = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(C) रेखा का समीकरण $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}$ है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = (1, 1, 2)$ है और समतल $2x-4y+z=7$ का अभिलंब $\vec{n} = (2, -4, 1)$ है।
सबसे पहले,यह जाँचें कि क्या रेखा समतल के समांतर है,इसके लिए अदिश गुणनफल $\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (1)(-4) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$ की गणना करें। चूँकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए रेखा समतल के समांतर है।
रेखा के समतल में स्थित होने के लिए,रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। रेखा पर स्थित बिंदु $(4, 2, k)$ लें।
इस बिंदु को समतल के समीकरण $2x-4y+z=7$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(4) - 4(2) + k = 7$
$8 - 8 + k = 7$
$k = 7$.

(B) समतल बिंदु $A(0, 7, -7)$ से गुजरता है और उस रेखा को समाहित करता है जो बिंदु $B(-1, 3, -2)$ से गुजरती है और जिसका दिशा सदिश $\vec{v} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
सदिश $\vec{AB} = (-1-0)\hat{i} + (3-7)\hat{j} + (-2+7)\hat{k} = -\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{AB}$ और $\vec{v}$ का क्रॉस गुणनफल है:
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -4 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \end{array}\right| = \hat{i}(-4-10) - \hat{j}(-1+15) + \hat{k}(-2-12) = -14\hat{i} - 14\hat{j} - 14\hat{k}$ है।
$-14$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब सदिश $\vec{n}' = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(0, 7, -7)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $1(x-0) + 1(y-7) + 1(z+7) = 0$ है,जो सरल होकर $x + y + z = 0$ हो जाता है।

(C) दिया गया है कि रेखा $\frac{x+1}{2}=\frac{y-m}{3}=\frac{z-4}{6}$ समतल $3x-14y+6z+49=0$ में स्थित है।
चूंकि रेखा समतल में स्थित है,इसलिए रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
बिंदु $(-1, m, 4)$ दी गई रेखा पर स्थित है।
इस बिंदु को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(-1) - 14(m) + 6(4) + 49 = 0$
$-3 - 14m + 24 + 49 = 0$
$-14m + 70 = 0$
$14m = 70$
$m = 5$
अतः,$m$ का मान $5$ है।

(C) रेखा $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{2}$ समतल $x+3y-\alpha z+\beta=0$ में स्थित है।
चूंकि रेखा समतल में स्थित है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश रेखा के दिशा सदिश के लंबवत होता है।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (3, -5, 2)$ है और समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 3, -\alpha)$ है।
अतः,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$:
$(3)(1) + (-5)(3) + (2)(-\alpha) = 0$
$3 - 15 - 2\alpha = 0$
$-12 - 2\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -6$.
अब,समतल का समीकरण $x + 3y + 6z + \beta = 0$ है।
चूंकि रेखा समतल में स्थित है,रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा। बिंदु $(2, 1, -2)$ रेखा पर स्थित है।
समतल के समीकरण में $(2, 1, -2)$ रखने पर:
$2 + 3(1) + 6(-2) + \beta = 0$
$2 + 3 - 12 + \beta = 0$
$-7 + \beta = 0 \Rightarrow \beta = 7$.
अंततः,$\alpha \beta = (-6)(7) = -42$.

(A) एक रेखा जिसके दिक अनुपात $(a, b, c)$ हैं और एक समतल जिसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a_1, b_1, c_1)$ है,के बीच का कोण $\theta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\sin \theta = \frac{|a a_1 + b b_1 + c c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}}$
यहाँ,रेखा के दिक अनुपात $(a, b, c) = (2, 1, 2)$ हैं और समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (6, -2, -3)$ है।
रेखा के दिशा सदिश का परिमाण $\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ है।
समतल के अभिलंब सदिश का परिमाण $\sqrt{6^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\sin \theta = \frac{|(2)(6) + (1)(-2) + (2)(-3)|}{3 \times 7} = \frac{|12 - 2 - 6|}{21} = \frac{4}{21}$.
अतः,$\theta = \sin ^{-1}\left(\frac{4}{21}\right)$।

(A) एक रेखा जिसके दिशा सदिश $\bar{b}$ है और एक समतल जिसके अभिलंब सदिश $\bar{n}$ है,के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\sin \theta = \frac{|\bar{b} \cdot \bar{n}|}{|\bar{b}| |\bar{n}|}$ है।
दी गई रेखा $\bar{r}=(\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ के लिए,दिशा सदिश $\bar{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ है।
दिए गए समतल $\bar{r} \cdot(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5$ के लिए,अभिलंब सदिश $\bar{n} = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ है।
परिमाण ज्ञात कीजिए: $|\bar{b}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$ और $|\bar{n}| = \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$.
अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए: $\bar{b} \cdot \bar{n} = (1)(2) + (1)(-1) + (1)(1) = 2 - 1 + 1 = 2$.
सूत्र में मान रखने पर: $\sin \theta = \frac{|2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$.
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$.

(A) माना रेखा $\frac{x-3}{1} = \frac{y-4}{2} = \frac{z-5}{2} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $(x, y, z) = (\lambda+3, 2\lambda+4, 2\lambda+5)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह बिंदु समतल $x+y+z=2$ पर स्थित है,इसलिए हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\lambda+3) + (2\lambda+4) + (2\lambda+5) = 2$.
$5\lambda + 12 = 2$.
$5\lambda = -10$,जिससे $\lambda = -2$ प्राप्त होता है।
$\lambda = -2$ को बिंदु के निर्देशांकों में वापस रखने पर,हमें प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त होता है:
$x = -2+3 = 1$,$y = 2(-2)+4 = 0$,$z = 2(-2)+5 = 1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 0, 1)$ है।
बिंदु $(3, 4, 5)$ और $(1, 0, 1)$ के बीच की दूरी दूरी सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जाती है:
$d = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$ इकाई।

(C) एक रेखा $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{b}$ समतल $\bar{r} \cdot \bar{n} = d$ के समांतर होती है यदि और केवल यदि रेखा का दिशा सदिश $\bar{b}$,समतल के अभिलंब सदिश $\bar{n}$ के लंबवत हो।
इसका अर्थ है कि सदिशों $\bar{b}$ और $\bar{n}$ का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $\bar{b} \cdot \bar{n} = 0$.
यहाँ $\bar{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}$ और $\bar{n} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} - m \hat{k}$ है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(2 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} - 2 \hat{j} - m \hat{k}) = 0$.
$(2)(3) + (1)(-2) + (2)(-m) = 0$.
$6 - 2 - 2m = 0$.
$4 - 2m = 0$.
$2m = 4$.
$m = 2$.

(D) माना $P = (7, 5, 2)$ है।
बिंदु $P$ से गुजरने वाली और दी गई रेखा $\frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{6} = \frac{z+1}{2}$ के समांतर रेखा का समीकरण $\frac{x-7}{3} = \frac{y-5}{6} = \frac{z-2}{2} = r$ है।
इस रेखा पर स्थित किसी बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(3r+7, 6r+5, 2r+2)$ होंगे।
चूंकि $Q$ समतल $3x+4y+z-8=0$ पर स्थित है,इसलिए $Q$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$3(3r+7) + 4(6r+5) + (2r+2) - 8 = 0$.
पदों का विस्तार करने पर:
$9r + 21 + 24r + 20 + 2r + 2 - 8 = 0$.
समान पदों को जोड़ने पर:
$35r + 35 = 0 \Rightarrow 35r = -35 \Rightarrow r = -1$.
$r = -1$ को $Q$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$Q = (3(-1)+7, 6(-1)+5, 2(-1)+2) = (4, -1, 0)$.
दूरी सूत्र का उपयोग करके $PQ$ की दूरी:
$PQ = \sqrt{(7-4)^2 + (5-(-1))^2 + (2-0)^2} = \sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$ इकाई।

(C) दिश सदिश $\vec{b}$ वाली रेखा और अभिलंब सदिश $\vec{n}$ वाले समतल के बीच का कोण $\theta$ निकालने का सूत्र $\sin \theta = \left|\frac{\vec{b} \cdot \vec{n}}{|\vec{b}| |\vec{n}|}\right|$ है।
यहाँ,रेखा का दिश सदिश $\vec{b} = 3\hat{i} + \hat{j}$ है और समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
उनका अदिश गुणनफल $\vec{b} \cdot \vec{n} = (3)(1) + (1)(2) + (0)(3) = 3 + 2 + 0 = 5$ है।
उनके परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$ और $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\sin \theta = \frac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{14}} = \frac{5}{\sqrt{140}} = \frac{5}{2\sqrt{35}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{7}}$.
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{7}}\right)$.

(C) रेखा का समीकरण $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{b}$ है,जहाँ $\bar{b} = 2 \hat{\imath} + \hat{\jmath} + 2 \hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $\bar{r} \cdot \bar{n} = d$ है,जहाँ $\bar{n} = 3 \hat{\imath} - 2 \hat{\jmath} + m \hat{k}$ है।
चूँकि रेखा समतल के समांतर है,इसलिए रेखा का दिशा सदिश $\bar{b}$,समतल के अभिलंब सदिश $\bar{n}$ पर लंब होगा।
अतः,$\bar{b} \cdot \bar{n} = 0$.
$(2 \hat{\imath} + \hat{\jmath} + 2 \hat{k}) \cdot (3 \hat{\imath} - 2 \hat{\jmath} + m \hat{k}) = 0$.
$(2)(3) + (1)(-2) + (2)(m) = 0$.
$6 - 2 + 2m = 0$.
$4 + 2m = 0$.
$2m = -4$.
$m = -2$.

(A) माना कि दी गई रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+3}{4}=\lambda$ है।
रेखा पर स्थित कोई बिंदु $P = (2\lambda+1, -3\lambda+2, 4\lambda-3)$ के रूप में होगा।
चूँकि यह बिंदु $P$ समतल $2x+4y-z=1$ पर स्थित है,इसलिए हम $P$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2\lambda+1) + 4(-3\lambda+2) - (4\lambda-3) = 1$.
पदों का विस्तार करने पर:
$4\lambda + 2 - 12\lambda + 8 - 4\lambda + 3 = 1$.
$\lambda$ वाले पदों और अचर पदों को जोड़ने पर:
$-12\lambda + 13 = 1$.
$-12\lambda = -12$,जिससे $\lambda = 1$ प्राप्त होता है।
अब $\lambda = 1$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 2(1)+1 = 3$,
$y = -3(1)+2 = -1$,
$z = 4(1)-3 = 1$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, -1, 1)$ है।

(C) रेखा $\bar{r}=\bar{a}+\lambda\bar{b}$ और समतल $\bar{r} \cdot \bar{n}=p$ के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है: $\sin \theta = \frac{|\bar{b} \cdot \bar{n}|}{|\bar{b}| |\bar{n}|}$.
यहाँ,$\bar{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\bar{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना करने पर: $\bar{b} \cdot \bar{n} = (1)(2) + (-1)(-1) + (1)(1) = 2 + 1 + 1 = 4$.
परिमाण की गणना करने पर: $|\bar{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ और $|\bar{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $\sin \theta = \frac{4}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{18}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$।

(D) रेखा का समीकरण $\bar{r}=(2 \hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$ है।
इस रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(x, y, z) = (2+\lambda, 1-2\lambda, -4+2\lambda)$ के रूप में लिखे जा सकते हैं।
$XOY$-समतल का समीकरण $z=0$ होता है।
चूंकि प्रतिच्छेदन बिंदु $XOY$-समतल पर स्थित है,इसलिए हम $z$-निर्देशांक को शून्य के बराबर रखते हैं:
$-4+2\lambda = 0 \Rightarrow 2\lambda = 4 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ का मान निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 2+2 = 4$
$y = 1-2(2) = 1-4 = -3$
$z = -4+2(2) = 0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, -3, 0)$ है और इसका स्थिति सदिश $4 \hat{i}-3 \hat{j}$ है।

(A) माना रेखा पर स्थित बिंदु $(x, y, z)$ है। रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+3}{4} = k$ है।
इससे हमें $x = 2k+1$,$y = -3k+2$,और $z = 4k-3$ प्राप्त होता है।
चूँकि यह बिंदु समतल $2x+4y-z=1$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2k+1) + 4(-3k+2) - (4k-3) = 1$
$4k + 2 - 12k + 8 - 4k + 3 = 1$
$-12k + 13 = 1$
$-12k = -12$
$k = 1$.
$k=1$ का मान निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 2(1)+1 = 3$
$y = -3(1)+2 = -1$
$z = 4(1)-3 = 1$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(3, -1, 1)$ है।

(C) समतल $2x - 3y + 6z - 11 = 0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
$X$-अक्ष की दिशा का सदिश $\vec{d} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ के लिए सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{d}|}{|\vec{n}| |\vec{d}|}$ का उपयोग करने पर।
अदिश गुणन: $\vec{n} \cdot \vec{d} = (2)(1) + (-3)(0) + (6)(0) = 2$.
परिमाण: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = 7$ और $|\vec{d}| = 1$.
अतः,$\sin \theta = \frac{2}{7}$.
दिया गया है कि $\theta = \sin^{-1}(\alpha)$,इसलिए $\alpha = \frac{2}{7}$.

(B) दिए गए समतल $P_1: x - 2y - z + 5 = 0$ और $P_2: x + y + 3z = 6$ हैं।
इनके अभिलंब सदिश $\vec{N}_1 = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{N}_2 = \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
प्रतिच्छेदन रेखा की दिशा का सदिश $\vec{b}$ अभिलंबों के सदिश गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{b} = \vec{N}_1 \times \vec{N}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - (-1)) - \hat{j}(3 - (-1)) + \hat{k}(1 - (-2)) = -5\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$.
रेखा बिंदु $(2, 3, 1)$ से गुजरती है और $\vec{b} = -5\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ के समांतर है।
अतः,रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{-5} = \frac{y-3}{-4} = \frac{z-1}{3}$ है।

(D) दी गई रेखा के दिक अनुपात $(3, 4, 5)$ हैं।
रेखा के समतल के समांतर होने के लिए,समतल का अभिलंब रेखा की दिशा के लंबवत होना चाहिए।
यदि समतल का समीकरण $ax+by+cz=d$ है,तो अभिलंब $(a, b, c)$ है।
लंबवत होने की शर्त $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ है।
विकल्प $D$ की जाँच करने पर: $2x+y-2z=0$,अभिलंब $(2, 1, -2)$ है।
अदिश गुणनफल की गणना: $3(2) + 4(1) + 5(-2) = 6 + 4 - 10 = 0$ है।
चूँकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए रेखा समतल $2x+y-2z=0$ के समांतर है।

(A) दी गई रेखाएँ $\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{-K}$ और $\frac{x-1}{K}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-5}{1}$ हैं।
दो रेखाओं $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ के समतलीय होने की शर्त $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ है।
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (1, 4, 5)$ है।
साथ ही,$(a_1, b_1, c_1) = (1, 1, -K)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (K, 2, 1)$ है।
इन मानों को सारणिक में रखने पर:
$\begin{vmatrix} 1-2 & 4-3 & 5-4 \\ 1 & 1 & -K \\ K & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -K \\ K & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-1(1 - (-2K)) - 1(1 - (-K^2)) + 1(2 - K) = 0$
$-1(1 + 2K) - 1(1 + K^2) + 2 - K = 0$
$-1 - 2K - 1 - K^2 + 2 - K = 0$
$-K^2 - 3K = 0$
$K(K + 3) = 0$
अतः,$K = 0$ या $K = -3$ है। विकल्पों में $K = 0$ उपलब्ध है,इसलिए सही उत्तर $K = 0$ है।

(B) $XY$-समतल का समीकरण $z = 0$ है।
मान लीजिए कि $XY$-समतल बिंदुओं $A(x_1, y_1, z_1)$ और $B(x_2, y_2, z_2)$ को मिलाने वाली रेखा को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन बिंदु का $z$-निर्देशांक विभाजन सूत्र द्वारा दिया जाता है: $z = \frac{kz_2 + z_1}{k + 1}$।
चूंकि यह बिंदु $XY$-समतल पर स्थित है,इसलिए $z = 0$ होगा।
अतः,$0 = \frac{k(-3) + (-5)}{k + 1}$।
इससे $-3k - 5 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3k = -5$,जिससे $k = -\frac{5}{3}$ मिलता है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि विभाजन बाह्य है।
अतः,अनुपात $5:3$ बाह्य है।

(A) समतल का समीकरण $r \cdot(\hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k})=4$ दिया गया है।
इसे मानक रूप $r \cdot n = d$ के साथ तुलना करने पर,हमें अभिलंब सदिश $n = \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$ और $d = 4$ प्राप्त होता है।
बिंदु का स्थिति सदिश $a = 2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ है।
समतल $r \cdot n = d$ से बिंदु $a$ की लंबवत दूरी $D$ का सूत्र $D = \frac{|a \cdot n - d|}{|n|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $a \cdot n$ ज्ञात करें:
$a \cdot n = (2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \cdot (\hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}) = (2)(1) + (1)(-2) + (-1)(4) = 2 - 2 - 4 = -4$.
इसके बाद,अभिलंब सदिश का परिमाण $|n|$ ज्ञात करें:
$|n| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$.
अब,इन मानों को दूरी के सूत्र में रखें:
$D = \frac{|-4 - 4|}{\sqrt{21}} = \frac{|-8|}{\sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{21}}$.
अतः,दूरी $\frac{8}{\sqrt{21}}$ है।

(C) माना बिंदु $P(1, 3, 4)$ है और समतल $2x - y + z + 3 = 0$ है। माना $A(x_1, y_1, z_1)$ बिंदु $P$ से समतल पर डाले गए लंब का पाद है।
रेखा $PA$ के दिक अनुपात $(x_1 - 1, y_1 - 3, z_1 - 4)$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, -1, 1)$ है।
चूंकि $PA$ समतल पर लंब है,इसलिए $PA$ के दिक अनुपात अभिलंब सदिश के समानुपाती होंगे:
$\frac{x_1 - 1}{2} = \frac{y_1 - 3}{-1} = \frac{z_1 - 4}{1} = \lambda$
इससे हमें $x_1 = 2\lambda + 1$,$y_1 = -\lambda + 3$,और $z_1 = \lambda + 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A$ समतल $2x - y + z + 3 = 0$ पर स्थित है,इसलिए इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$2(2\lambda + 1) - (-\lambda + 3) + (\lambda + 4) + 3 = 0$
$4\lambda + 2 + \lambda - 3 + \lambda + 4 + 3 = 0$
$6\lambda + 6 = 0$
$6\lambda = -6 \implies \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ का मान $x_1, y_1, z_1$ में रखने पर:
$x_1 = 2(-1) + 1 = -1$
$y_1 = -(-1) + 3 = 4$
$z_1 = (-1) + 4 = 3$
अतः,लंब का पाद $(-1, 4, 3)$ है।

(D) समतल का दिया गया समीकरण $5y + 8 = 0$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (0, 5, 0)$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरने वाली और समतल पर लंब रेखा के दिक अनुपात अभिलंब सदिश के समान होते हैं।
अतः,रेखा का समीकरण $\frac{x-0}{0} = \frac{y-0}{5} = \frac{z-0}{0} = \lambda$ है।
इससे हमें $x = 0$,$y = 5\lambda$,और $z = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि लंब का पाद समतल पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$5(5\lambda) + 8 = 0$
$25\lambda = -8$
$\lambda = -\frac{8}{25}$.
$\lambda$ का मान निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 0$,$y = 5(-\frac{8}{25}) = -\frac{8}{5}$,$z = 0$.
इसलिए,लंब के पाद के निर्देशांक $(0, -\frac{8}{5}, 0)$ हैं।

(NONE) रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{-2}$ है।
यह रेखा सदिश $\vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ के समांतर है।
समतल का समीकरण $2x - 2y + z = 5$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच के कोण $\theta$ की ज्या $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ द्वारा दी जाती है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (2)(2) + (4)(-2) + (-2)(1) = 4 - 8 - 2 = -6$।
अतः,$|\vec{b} \cdot \vec{n}| = |-6| = 6$।
परिमाण की गणना: $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$।
$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$।
इस प्रकार,$\sin \theta = \frac{6}{(2\sqrt{6})(3)} = \frac{6}{6\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$।

(A) समतल बिंदु $P(3,2,0)$ और रेखा $\frac{x-3}{1}=\frac{y-6}{5}=\frac{z-4}{4}$ को समाहित करता है।
रेखा पर स्थित कोई बिंदु $Q(3,6,4)$ है।
रेखा की दिशा का सदिश $\vec{v} = \hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
बिंदु $P(3,2,0)$ और $Q(3,6,4)$ को जोड़ने वाला सदिश $\vec{PQ} = (3-3)\hat{i} + (6-2)\hat{j} + (4-0)\hat{k} = 4\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{v} \times \vec{PQ}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 5 & 4 \\ 0 & 4 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(20-16) - \hat{j}(4-0) + \hat{k}(4-0) = 4\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$।
$4$ से विभाजित करने पर,हम अभिलंब सदिश $\vec{n}' = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ ले सकते हैं।
बिंदु $(3,2,0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $1(x-3) - 1(y-2) + 1(z-0) = 0$ है।
$x - 3 - y + 2 + z = 0$।
$x - y + z = 1$।