Line and Plane Questions in Hindi

(A) माना प्रतिच्छेदन बिंदु $(k, k, k)$ है।
चूंकि यह बिंदु समतलों $x \sin A + y \sin B + z \sin C = 18$ और $x \sin 2A + y \sin 2B + z \sin 2C = 9$ पर स्थित है,इसलिए:
$k(\sin A + \sin B + \sin C) = 18 \implies \sin A + \sin B + \sin C = \frac{18}{k}$
$k(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C) = 9 \implies \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = \frac{9}{k}$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C} = \frac{18}{9} = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin A + \sin B + \sin C = 2(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)$.
सर्वसमिकाओं $\sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ और $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 32 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ का उपयोग करने पर।
समीकरण में मान रखने पर: $4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} = 2(32 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2})$.
$4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ को हटाने पर,हमें $1 = 16 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} = \frac{1}{16}$.
अंत में,$80 \left( \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \right) = 80 \times \frac{1}{16} = 5$.

(C) मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ हैं। $PQ$ का मध्य बिंदु $M$ $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}) = (2, 1, 2)$ द्वारा दिया गया है।
$\triangle PQR$ का केंद्रक $G$ $(\frac{x_1+x_2-1}{3}, \frac{y_1+y_2+4}{3}, \frac{z_1+z_2+2}{3})$ है।
$M$ से मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $G = (\frac{4-1}{3}, \frac{2+4}{3}, \frac{4+2}{3}) = (1, 2, 2)$ प्राप्त होता है।
रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $\frac{x-2}{0} = \frac{y}{2} = \frac{z+3}{-1} = k_1$. तब $x = 2, y = 2k_1, z = -k_1-3$.
मान लीजिए $\frac{x-1}{1} = \frac{y+3}{-3} = \frac{z+1}{1} = k_2$. तब $x = k_2+1, y = -3k_2-3, z = k_2-1$.
$x$ की तुलना करने पर: $2 = k_2+1 \implies k_2 = 1$.
तब $y = -3(1)-3 = -6$ और $z = 1-1 = 0$.
पहली रेखा में जाँच करने पर: $y = 2k_1 = -6 \implies k_1 = -3$. तब $z = -(-3)-3 = 0$. बिंदु $A$ $(2, -6, 0)$ है।
दूरी $AG = \sqrt{(2-1)^2 + (-6-2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-8)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 64 + 4} = \sqrt{69}$.

(D) रेखा $L_1$ को $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{0} = r$ द्वारा दिया गया है। अतः,$Q = (r, r, 1)$.
चूंकि $PQ \perp L_1$,सदिश $\vec{PQ} = (r-a, r-a, 1-a)$ दिशा सदिश $(1, 1, 0)$ के लंबवत है।
$(r-a)(1) + (r-a)(1) + (1-a)(0) = 0 \implies 2(r-a) = 0 \implies r = a$. अतः,$Q = (a, a, 1)$.
रेखा $L_2$ को $\frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z+1}{0} = k$ द्वारा दिया गया है। अतः,$R = (k, -k, -1)$.
चूंकि $PR \perp L_2$,सदिश $\vec{PR} = (k-a, -k-a, -1-a)$ दिशा सदिश $(1, -1, 0)$ के लंबवत है।
$(k-a)(1) + (-k-a)(-1) + (-1-a)(0) = 0 \implies k-a + k+a = 0 \implies 2k = 0 \implies k = 0$. अतः,$R = (0, 0, -1)$.
दिया गया है कि $\angle QPR = 90^{\circ}$,इसलिए $\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = 0$.
$\vec{PQ} = (a-a, a-a, 1-a) = (0, 0, 1-a)$.
$\vec{PR} = (0-a, 0-a, -1-a) = (-a, -a, -1-a)$.
$(0)(-a) + (0)(-a) + (1-a)(-1-a) = 0$.
$-(1-a)(1+a) = 0 \implies -(1-a^2) = 0 \implies a^2 = 1$.
अतः,$12a^2 = 12(1) = 12$.

(D) समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = 3\hat{i} - 6\hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।
प्रतिच्छेदन रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -6 & -2 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 14\hat{i} + 2\hat{j} + 15\hat{k}$।
अतः,$\text{कथन}-2$ सत्य है।
रेखा पर एक बिंदु ज्ञात करने के लिए,समतल समीकरणों में $z = 0$ रखें:
$3x - 6y = 15 \Rightarrow x - 2y = 5$
$2x + y = 5$
इन्हें हल करने पर,हमें $x = 3, y = -1$ प्राप्त होता है। अतः,$(3, -1, 0)$ रेखा पर एक बिंदु है।
रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{14} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-0}{15} = t$ है।
इससे $x = 14t + 3, y = 2t - 1, z = 15t$ प्राप्त होता है।
$\text{कथन}-1$ में दिए गए समीकरणों से तुलना करने पर,वे गलत हैं क्योंकि $y$-निर्देशांक $2t - 1$ है,न कि $2t + 1$।
इसलिए,$\text{कथन}-1$ असत्य है और $\text{कथन}-2$ सत्य है।

(B, D, C) $1.$ $L_1$ और $L_2$ के दिशा सदिश $\vec{v_1} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{v_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
दोनों के लंबवत सदिश $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = -\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ है।
इकाई सदिश $\frac{-\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{3}}$ है। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।
$2.$ न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{AB}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$ है,जहाँ $\vec{AB} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$।
$d = \frac{|(3\hat{i} + 4\hat{k}) \cdot (-\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k})|}{5\sqrt{3}} = \frac{|-3 + 20|}{5\sqrt{3}} = \frac{17}{5\sqrt{3}}$। अतः,विकल्प $(D)$ सही है।
$3.$ समतल का समीकरण: $-1(x+1) - 7(y+2) + 5(z+1) = 0 \Rightarrow x + 7y - 5z + 10 = 0$ है।
बिंदु $(1, 1, 1)$ से दूरी $d = \frac{|1 + 7(1) - 5(1) + 10|}{\sqrt{1^2 + 7^2 + (-5)^2}} = \frac{13}{\sqrt{75}}$ है। अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(B) आधार $OPQR$,$xy$-समतल में एक वर्ग है जिसके शीर्ष $O(0,0,0)$,$P(3,0,0)$,$Q(3,3,0)$,और $R(0,3,0)$ हैं।
$OQ$ का मध्य-बिंदु $T$ $(\frac{3+0}{2}, \frac{3+0}{2}, 0) = (1.5, 1.5, 0)$ है।
चूँकि $S$,$T$ के ठीक ऊपर $TS=3$ दूरी पर है,$S$ के निर्देशांक $(1.5, 1.5, 3)$ हैं।
$(A)$ सदिश $\vec{OQ} = 3\hat{i} + 3\hat{j}$ और $\vec{OS} = 1.5\hat{i} + 1.5\hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
$|\vec{OQ}| = 3\sqrt{2}$ और $|\vec{OS}| = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ है।
$\vec{OQ} \cdot \vec{OS} = 9$ है। $\cos \theta = \frac{9}{(3\sqrt{2})(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}})} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है। अतः $\theta \neq \frac{\pi}{3}$।
$(B)$ $\triangle OQS$ युक्त समतल का समीकरण: अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{OQ} \times \vec{OS} = 9(\hat{i} - \hat{j})$ है। समीकरण $x-y=0$ है।
$(C)$ $P(3,0,0)$ से $x-y=0$ समतल की लंबवत दूरी $d = \frac{|3-0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है।
$(D)$ रेखा $RS$ से $O$ की लंबवत दूरी $\sqrt{\frac{15}{2}}$ प्राप्त होती है।

(C) मान लीजिए कि दिया गया बिंदु $Q(3, 1, 7)$ है। समतल $x-y+z=3$ के लंबवत और $Q$ से गुजरने वाली रेखा के दिक्-अनुपात $(1, -1, 1)$ हैं।
इसका समीकरण $\frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-7}{1} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(3+\lambda, 1-\lambda, 7+\lambda)$ है।
यह बिंदु समतल $x-y+z=3$ पर स्थित है,इसलिए $(3+\lambda) - (1-\lambda) + (7+\lambda) = 3$ है।
$3+\lambda-1+\lambda+7+\lambda=3 \Rightarrow 3\lambda+9=3 \Rightarrow 3\lambda=-6 \Rightarrow \lambda=-2$.
लंबपाद $R$ का मान $(3-2, 1-(-2), 7-2) = (1, 3, 5)$ है।
मान लीजिए $P(x_1, y_1, z_1)$ बिंदु $Q$ का प्रतिबिंब है। चूंकि $R$,$PQ$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $\frac{x_1+3}{2}=1, \frac{y_1+1}{2}=3, \frac{z_1+7}{2}=5$ है।
$x_1 = -1, y_1 = 5, z_1 = 3$. अतः $P$ का मान $(-1, 5, 3)$ है।
समतल $P(-1, 5, 3)$ से गुजरता है और रेखा $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$ को समाहित करता है।
समतल का समीकरण $a(x+1) + b(y-5) + c(z-3) = 0$ है।
चूंकि यह रेखा को समाहित करता है,यह $(0, 0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $a(1) + b(-5) + c(-3) = 0 \Rightarrow a-5b-3c=0$ है।
साथ ही,अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ रेखा की दिशा $(1, 2, 1)$ के लंबवत है,इसलिए $a+2b+c=0$ है।
$a-5b-3c=0$ और $a+2b+c=0$ को हल करने पर: $-7b-4c=0 \Rightarrow b = -4c/7$ प्राप्त होता है।
तब $a = 5(-4c/7) + 3c = -20c/7 + 21c/7 = c/7$ है।
$c=7$ लेने पर,हमें $a=1, b=-4$ प्राप्त होता है। समीकरण $1(x+1) - 4(y-5) + 7(z-3) = 0$ है।
$x+1-4y+20+7z-21 = 0 \Rightarrow x-4y+7z=0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $|\vec{u}-\vec{v}|=|\vec{v}-\vec{w}|=|\vec{w}-\overrightarrow{u}|$,अतः $\triangle UVW$ एक समबाहु त्रिभुज है।
मान लीजिए $O$ मूलबिंदु है। सदिश $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए वे $O$ पर केंद्रित $1$ त्रिज्या वाले गोले पर स्थित हैं।
समतल $P: \sqrt{3}x + 2y + 3z = 16$ की मूलबिंदु $O(0,0,0)$ से दूरी $OQ = \frac{|0+0+0-16|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{16}{\sqrt{3+4+9}} = \frac{16}{4} = 4$ है।
$S$ में किसी भी बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ की समतल $P$ से दूरी $\frac{7}{2}$ दी गई है। मान लीजिए $Q$,$O$ का $P$ पर प्रक्षेप है। चूँकि $U, V, W$ समतल $P$ से समान दूरी पर हैं,वे एक वृत्त पर स्थित हैं जो गोले और $P$ के समानांतर एक समतल के प्रतिच्छेदन से बनता है। मान लीजिए यह समतल $P'$ है। $O$ से $P'$ की दूरी $OP = OQ - PQ = 4 - \frac{7}{2} = \frac{1}{2}$ है।
गोले और समतल $P'$ के प्रतिच्छेदन से बने वृत्त की त्रिज्या $R = \sqrt{1^2 - (1/2)^2} = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
चूँकि $\triangle UVW$ समबाहु है और $R$ त्रिज्या वाले इस वृत्त में अंतर्निहित है,इसकी भुजा की लंबाई $a = 2R \cos(30^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$ है।
$\triangle UVW$ का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{9}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{16}$ है।
शीर्षों $O, U, V, W$ वाले चतुष्फलक का आयतन $= \frac{1}{3} \times \text{Area}(\triangle UVW) \times OP = \frac{1}{3} \times \frac{9\sqrt{3}}{16} \times \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{32}$ है।
$\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन $V = 6 \times \text{चतुष्फलक का आयतन} = 6 \times \frac{3\sqrt{3}}{32} = \frac{9\sqrt{3}}{16}$ है।
अतः,$\frac{80}{\sqrt{3}} V = \frac{80}{\sqrt{3}} \times \frac{9\sqrt{3}}{16} = 5 \times 9 = 45$।

(B) दी गई रेखाएँ $L_1: \vec{r}_1 = \lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ और $L_2: \vec{r}_2 = (\hat{j}-\hat{k}) + \mu(\hat{i}+\hat{k})$ हैं।
$L_1$ को समाहित करने वाला कोई भी समतल $H$ मूल बिंदु $(0,0,0)$ से होकर गुजरता है और इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$L_1$ के दिशा सदिश $(1,1,1)$ के लंबवत होता है। मान लीजिए समतल $ax+by+cz=0$ है,जहाँ $a+b+c=0$ है।
$L_2$ से $H$ की दूरी $d(H)$ केवल तभी गैर-शून्य होती है यदि $L_2$,$H$ के समानांतर हो। यदि $L_2$,$H$ के समानांतर नहीं है,तो दूरी $0$ है। $d(H)$ को अधिकतम करने के लिए,$L_2$ को $H$ के समानांतर होना चाहिए। अतः,अभिलंब $\vec{n} = (a,b,c)$ को $L_2$ के दिशा सदिश $(1,0,1)$ के लंबवत होना चाहिए।
इसलिए,$a+c=0$ है। चूँकि $a+b+c=0$ और $a+c=0$ है,हमें $b=0$ प्राप्त होता है। मान लीजिए $a=1$,तो $c=-1$ है। समतल $H_0$,$x-z=0$ है।
$(P)$ $d(H_0)$,$L_2$ पर किसी भी बिंदु (उदाहरण के लिए,$(0,1,-1)$) से $H_0$ की दूरी है: $d = \frac{|0 - (-1)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$। अतः,$P \rightarrow 5$।
$(Q)$ $(0,1,2)$ की $x-z=0$ से दूरी $\frac{|0-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है। अतः,$Q \rightarrow 4$।
$(R)$ चूँकि $H_0$,$x-z=0$ है,यह मूल बिंदु $(0,0,0)$ से होकर गुजरता है। इसलिए,दूरी $0$ है। $R \rightarrow 3$।
$(S)$ $y=z, x=1, x-z=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x=1$ और $x-z=0$ से,$z=1$ है। $y=z$ से,$y=1$ है। बिंदु $(1,1,1)$ है। मूल बिंदु से दूरी $\sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$ है। अतः,$S \rightarrow 1$।
इसलिए,सही मिलान $(P) \rightarrow (5), (Q) \rightarrow (4), (R) \rightarrow (3), (S) \rightarrow (1)$ है।

(C) दोनों रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{v_2} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ हैं।
इन रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ है।
यह समतल बिंदु $(1, 2, 3)$ से गुजरता है,इसलिए इसका समीकरण $-1(x-1) + 2(y-2) - 1(z-3) = 0$ अर्थात $x - 2y + z = 0$ है।
दिया गया समतल $Ax - 2y + z = d$ है,अतः $A = 1$ प्राप्त होता है।
समांतर समतलों $x - 2y + z = 0$ और $x - 2y + z = d$ के बीच की दूरी $\frac{|d - 0|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \sqrt{6}$ होती है।
अतः,$\frac{|d|}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \implies |d| = 6$।

(A) बिंदु $P(1, -2, 1)$ की समतल $x + 2y - 2z - \alpha = 0$ से दूरी $d = \frac{|1(1) + 2(-2) - 2(1) - \alpha|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = 5$ है।
अतः, $\frac{|-5 - \alpha|}{3} = 5 \Rightarrow |5 + \alpha| = 15$. चूँकि $\alpha > 0$, इसलिए $\alpha = 10$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण $x + 2y - 2z = 10$ है।
$P(1, -2, 1)$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा का समीकरण $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{-2} = k$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $(k + 1, 2k - 2, -2k + 1)$ के रूप में है।
चूँकि यह बिंदु समतल पर स्थित है, $(k + 1) + 2(2k - 2) - 2(-2k + 1) = 10$ होगा।
$9k - 5 = 10 \Rightarrow k = \frac{5}{3}$।
अतः, लंब के पाद के निर्देशांक $\left(\frac{5}{3} + 1, 2(\frac{5}{3}) - 2, -2(\frac{5}{3}) + 1\right) = \left(\frac{8}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{7}{3}\right)$ हैं।

(A) बिंदुओं $Q(2, 3, 5)$ और $R(1, -1, 4)$ से गुजरने वाली रेखा $QR$ का समीकरण $\frac{x-2}{1-2} = \frac{y-3}{-1-3} = \frac{z-5}{4-5}$ है,जिसे $\frac{x-2}{-1} = \frac{y-3}{-4} = \frac{z-5}{-1} = \lambda$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,रेखा पर कोई भी बिंदु $P(2-\lambda, 3-4\lambda, 5-\lambda)$ है।
चूंकि $P$ समतल $5x - 4y - z = 1$ पर स्थित है,इसलिए $5(2-\lambda) - 4(3-4\lambda) - (5-\lambda) = 1$.
$10 - 5\lambda - 12 + 16\lambda - 5 + \lambda = 1 \Rightarrow 12\lambda - 7 = 1 \Rightarrow 12\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{3}$.
$\lambda = \frac{2}{3}$ रखने पर,$P = (2-\frac{2}{3}, 3-\frac{8}{3}, 5-\frac{2}{3}) = (\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, \frac{13}{3})$ प्राप्त होता है।
अब,$T(2, 1, 4)$ से $QR$ पर लंब के पाद $S$ के लिए,मान लीजिए $S = (2-\mu, 3-4\mu, 5-\mu)$.
सदिश $\vec{TS} = (2-\mu-2, 3-4\mu-1, 5-\mu-4) = (-\mu, 2-4\mu, 1-\mu)$.
चूंकि $\vec{TS}$ रेखा की दिशा के सदिश $\vec{v} = (-1, -4, -1)$ के लंबवत है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा: $(-\mu)(-1) + (2-4\mu)(-4) + (1-\mu)(-1) = 0$.
$\mu - 8 + 16\mu - 1 + \mu = 0 \Rightarrow 18\mu = 9 \Rightarrow \mu = \frac{1}{2}$.
अतः,$S = (2-\frac{1}{2}, 3-2, 5-\frac{1}{2}) = (\frac{3}{2}, 1, \frac{9}{2})$.
दूरी $PS = \sqrt{(\frac{4}{3}-\frac{3}{2})^2 + (\frac{1}{3}-1)^2 + (\frac{13}{3}-\frac{9}{2})^2} = \sqrt{(-\frac{1}{6})^2 + (-\frac{2}{3})^2 + (-\frac{1}{6})^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{4}{9} + \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{2}{36} + \frac{16}{36}} = \sqrt{\frac{18}{36}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) मान लीजिए प्रतिच्छेदन रेखा के दिक अनुपात $a, b, c$ हैं।
चूंकि रेखा दोनों समतलों में स्थित है,यह दोनों समतलों के अभिलंबों $\vec{n_1} = (2, 1, -1)$ और $\vec{n_2} = (1, 2, 1)$ के लंबवत है।
अतः,दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
$3$ से विभाजित करने पर,दिक अनुपात $1, -1, 1$ प्राप्त होते हैं। अतः,$(A)$ गलत है।
$(B)$ के लिए,रेखा $\frac{x - 4/3}{3} = \frac{y - 1/3}{-3} = \frac{z}{3}$ है,जिसके दिक अनुपात $1, -1, 1$ हैं। यह प्रतिच्छेदन रेखा के समांतर है,लंबवत नहीं। अतः,$(B)$ गलत है।
$(C)$ के लिए,$\cos \theta = \frac{|(2)(1) + (1)(2) + (-1)(1)|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$। अतः,$\theta = 60^{\circ}$। $(C)$ सही है।
$(D)$ के लिए,$P_3$ का अभिलंब $(1, -1, 1)$ है। समीकरण $x - y + z = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(2, 1, 1)$ की $x - y + z = 0$ से दूरी $\frac{|2 - 1 + 1|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है। $(D)$ सही है।

(A) माना $P \equiv (x_0, y_0, z_0)$ है।
समतल $x+y=3$ के लंबवत और $P$ से गुजरने वाली रेखा $\frac{x-x_0}{1} = \frac{y-y_0}{1} = \frac{z-z_0}{0} = k$ है।
प्रतिबिंब $Q$,$\frac{x-x_0}{1} = \frac{y-y_0}{1} = \frac{z-z_0}{0} = -2 \frac{x_0+y_0-3}{1^2+1^2} = -(x_0+y_0-3)$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$x_Q = 3-y_0$ और $y_Q = 3-x_0$ है।
चूंकि $Q$,$z$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए $x_Q = 0$ और $y_Q = 0$,जिसका अर्थ है $x_0 = 3$ और $y_0 = 3$ है।
$x$-अक्ष से $P(3, 3, z_0)$ की दूरी $\sqrt{y_0^2 + z_0^2} = 5$ है।
$y_0 = 3$ रखने पर,$\sqrt{3^2 + z_0^2} = 5$,जिससे $9 + z_0^2 = 25$,जो $z_0^2 = 16$ देता है,अतः $z_0 = 4$ ($P$ प्रथम अष्टांश में है)।
$P$ बिंदु $(3, 3, 4)$ है। $xy$-समतल में $P$ का प्रतिबिंब $R$,$(3, 3, -4)$ है।
$PR$ की लंबाई $(3, 3, 4)$ और $(3, 3, -4)$ के बीच की दूरी है,जो $|4 - (-4)| = 8$ है।

(A) रेखाएँ $\overrightarrow{r} = \lambda \hat{i}$,$\overrightarrow{r} = \mu(\hat{i} + \hat{j})$,और $\overrightarrow{r} = v(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ द्वारा दी गई हैं।
इन्हें समतल समीकरण $x + y + z = 1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
रेखा $A$ के लिए: $\lambda + 0 + 0 = 1 \Rightarrow \lambda = 1$,अतः $A = (1, 0, 0)$.
रेखा $B$ के लिए: $\mu + \mu + 0 = 1 \Rightarrow 2\mu = 1 \Rightarrow \mu = 1/2$,अतः $B = (1/2, 1/2, 0)$.
रेखा $C$ के लिए: $v + v + v = 1 \Rightarrow 3v = 1 \Rightarrow v = 1/3$,अतः $C = (1/3, 1/3, 1/3)$.
सदिश $\overrightarrow{AB} = B - A = (-1/2, 1/2, 0)$ और $\overrightarrow{AC} = C - A = (-2/3, 1/3, 1/3)$ हैं।
क्रॉस प्रोडक्ट $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1/2 & 1/2 & 0 \\ -2/3 & 1/3 & 1/3 \end{vmatrix} = \hat{i}(1/6) - \hat{j}(-1/6) + \hat{k}(-1/6 + 1/3) = (1/6, 1/6, 1/6)$.
क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{(1/6)^2 + (1/6)^2 + (1/6)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{3/36} = \frac{\sqrt{3}}{12}$.
अतः $(6 \Delta)^2 = (6 \times \frac{\sqrt{3}}{12})^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 3/4 = 0.75$.

(D) मान लीजिए $P = (\lambda, 0, 0)$ रेखा $L_1$ पर एक बिंदु है,$Q = (0, \mu, 1)$ रेखा $L_2$ पर एक बिंदु है,और $R = (1, 1, v)$ रेखा $L_3$ पर एक बिंदु है।
चूंकि $P, Q$ और $R$ संरेख हैं,सदिश $\vec{PQ}$ और $\vec{QR}$ समानुपाती होने चाहिए।
$\vec{PQ} = (0 - \lambda, \mu - 0, 1 - 0) = (-\lambda, \mu, 1)$.
$\vec{QR} = (1 - 0, 1 - \mu, v - 1) = (1, 1 - \mu, v - 1)$.
संरेखता के लिए,$\frac{-\lambda}{1} = \frac{\mu}{1 - \mu} = \frac{1}{v - 1}$.
इसका अर्थ है $\lambda = -\frac{\mu}{1 - \mu} = \frac{\mu}{\mu - 1}$ और $v - 1 = \frac{1 - \mu}{\mu}$,अतः $v = 1 + \frac{1 - \mu}{\mu} = \frac{1}{\mu}$.
$\lambda$ और $v$ के ये मान $\mu = 0$ और $\mu = 1$ को छोड़कर सभी $\mu \in R$ के लिए मौजूद हैं।
यदि $\mu = 0$,तो $Q = (0, 0, 1) = \hat{k}$. यदि $\mu = 1$,तो $Q = (0, 1, 1) = \hat{j} + \hat{k}$.
अतः,$Q$,$\hat{k}$ और $\hat{j} + \hat{k}$ को छोड़कर $L_2$ पर कोई भी बिंदु हो सकता है।
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर:
$(1)$ $\hat{k} + \hat{j}$ ($\mu = 1$ के अनुरूप,वर्जित)
$(2)$ $\hat{k}$ ($\mu = 0$ के अनुरूप,वर्जित)
$(3)$ $\hat{k} + \frac{1}{2}\hat{j}$ ($\mu = 0.5$ के अनुरूप,मान्य)
$(4)$ $\hat{k} - \frac{1}{2}\hat{j}$ ($\mu = -0.5$ के अनुरूप,मान्य)
इसलिए,बिंदु $3$ और $4$ मान्य हैं।

(D) $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 0, 1)$ है।
चूंकि रेखा $L$,$(1, 0, 1)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{1-\alpha}{l} = \frac{0-1}{m} = \frac{1-\gamma}{-2}$ प्राप्त होता है।
$L_1$ और $L_2$ के दिशा सदिश $\vec{v_1} = \hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{v_2} = -3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
कोण समद्विभाजक की दिशा $\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ प्राप्त होती है।
अतः $l=1$ और $m=1$ प्राप्त होता है,जिससे $l+m=2$ होता है।
इन मानों को रखने पर $\alpha=2$ और $\gamma=-1$ प्राप्त होता है,इसलिए $\alpha-\gamma=3$ होता है।

(A) समतलों $x+2y+3z-2=0$ और $x-y+z-3=0$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $(x+2y+3z-2) + \lambda(x-y+z-3) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
इसे सरल करने पर $(1+\lambda)x + (2-\lambda)y + (3+\lambda)z - (2+3\lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
इस समतल की बिंदु $(3,1,-1)$ से दूरी $\frac{|(1+\lambda)(3) + (2-\lambda)(1) + (3+\lambda)(-1) - (2+3\lambda)|}{\sqrt{(1+\lambda)^2 + (2-\lambda)^2 + (3+\lambda)^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
अंश का सरलीकरण: $|3+3\lambda + 2-\lambda - 3-\lambda - 2-3\lambda| = |-2\lambda|$.
हर का सरलीकरण: $\sqrt{(1+2\lambda+\lambda^2) + (4-4\lambda+\lambda^2) + (9+6\lambda+\lambda^2)} = \sqrt{3\lambda^2+4\lambda+14}$.
अतः,$\frac{|-2\lambda|}{\sqrt{3\lambda^2+4\lambda+14}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{4\lambda^2}{3\lambda^2+4\lambda+14} = \frac{4}{3}$.
$3\lambda^2 = 3\lambda^2+4\lambda+14$,जिससे $4\lambda = -14$,अतः $\lambda = -\frac{7}{2}$.
$\lambda = -\frac{7}{2}$ को समीकरण में रखने पर: $(1-\frac{7}{2})x + (2+\frac{7}{2})y + (3-\frac{7}{2})z - (2-\frac{21}{2}) = 0$.
$-\frac{5}{2}x + \frac{11}{2}y - \frac{1}{2}z + \frac{17}{2} = 0$.
$-2$ से गुणा करने पर,$5x-11y+z-17=0$,या $5x-11y+z=17$ प्राप्त होता है।

(B) दो रेखाओं के समतलीय होने के लिए,प्रत्येक रेखा पर एक बिंदु को जोड़ने वाले सदिश और रेखाओं के दिशा सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए: $[\vec{a}-\vec{c}, \vec{b}, \vec{d}] = 0$.
दिए गए बिंदु $\vec{a} = (1, -1, 0)$ और $\vec{c} = (-1, -1, 0)$ हैं,इसलिए सदिश $\vec{a}-\vec{c} = (2, 0, 0)$ है।
दिशा सदिश $\vec{b} = 2\hat{i} + k\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{d} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + k\hat{k}$ हैं।
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$\left|\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 2 & k & 2 \\ 5 & 2 & k \end{array}\right| = 0 \Rightarrow 2(k^2 - 4) = 0 \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k = \pm 2$.
स्थिति $1$: यदि $k = 2$ है,तो दिशा सदिश $\vec{b} = (2, 2, 2)$ और $\vec{d} = (5, 2, 2)$ हैं।
अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = \vec{b} \times \vec{d} = \left|\begin{array}{lll} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & 2 \\ 5 & 2 & 2 \end{array}\right| = 0\hat{i} + 6\hat{j} - 6\hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n}_1 = 0 \Rightarrow 0(x-1) + 6(y+1) - 6(z-0) = 0 \Rightarrow y - z = -1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: यदि $k = -2$ है,तो दिशा सदिश $\vec{b} = (2, -2, 2)$ और $\vec{d} = (5, 2, -2)$ हैं।
अभिलंब सदिश $\vec{n}_2 = \vec{b} \times \vec{d} = \left|\begin{array}{lll} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 2 \\ 5 & 2 & -2 \end{array}\right| = 0\hat{i} + 14\hat{j} + 14\hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n}_2 = 0 \Rightarrow 0(x-1) + 14(y+1) + 14(z-0) = 0 \Rightarrow y + z = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,समतल $y-z=-1$ और $y+z=-1$ हैं,जो विकल्पों $(C)$ और $(B)$ के अनुरूप हैं।

(D) रेखा $\frac{x+2}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{3}=\lambda$ पर कोई भी बिंदु $(2\lambda-2, -\lambda-1, 3\lambda)$ के रूप में होता है।
इस रेखा पर दो बिंदु लेते हैं:
$\lambda=0$ के लिए,बिंदु $A = (-2, -1, 0)$.
$\lambda=1$ के लिए,बिंदु $B = (0, -2, 3)$.
बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ से समतल $ax+by+cz+d=0$ पर लंबपाद $(x, y, z)$ का सूत्र $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c} = -\frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}$ है।
बिंदु $A(-2, -1, 0)$ और समतल $x+y+z-3=0$ के लिए:
$\frac{x+2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-0}{1} = -\frac{-2-1+0-3}{1^2+1^2+1^2} = -\frac{-6}{3} = 2$.
अतः,$x = 0, y = 1, z = 2$. बिंदु $M = (0, 1, 2)$.
बिंदु $B(0, -2, 3)$ और समतल $x+y+z-3=0$ के लिए:
$\frac{x-0}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-3}{1} = -\frac{0-2+3-3}{1^2+1^2+1^2} = -\frac{-2}{3} = \frac{2}{3}$.
अतः,$x = \frac{2}{3}, y = \frac{2}{3}-2 = -\frac{4}{3}, z = \frac{2}{3}+3 = \frac{11}{3}$. बिंदु $N = (\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}, \frac{11}{3})$.
बिंदुओं $M(0, 1, 2)$ और $N(\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}, \frac{11}{3})$ से गुजरने वाली रेखा के दिक अनुपात $(\frac{2}{3}-0, -\frac{4}{3}-1, \frac{11}{3}-2) = (\frac{2}{3}, -\frac{7}{3}, \frac{5}{3})$ हैं,जो $(2, -7, 5)$ के समानुपाती हैं।
अतः रेखा का समीकरण $\frac{x-0}{2} = \frac{y-1}{-7} = \frac{z-2}{5}$ है।

(A) अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$P_1$ और $P_2$ के अभिलंबों के लंबवत है। अतः,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & -6 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6-10) - \hat{j}(-42-6) + \hat{k}(35-3) = -16\hat{i} + 48\hat{j} + 32\hat{k}$.
$-16$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}$ प्राप्त होता है।
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$L_1: (2k_1+1, -k_1, k_1-3)$ और $L_2: (k_2+4, k_2-3, 2k_2-3)$ लें।
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $2k_1+1 = k_2+4 \Rightarrow 2k_1 - k_2 = 3$ और $-k_1 = k_2-3 \Rightarrow k_1+k_2 = 3$.
इनका योग करने पर $3k_1 = 6 \Rightarrow k_1 = 2$ प्राप्त होता है। अतः $k_2 = 1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु: $(2(2)+1, -2, 2-3) = (5, -2, -1)$.
समतल का समीकरण $1(x-5) - 3(y+2) - 2(z+1) = 0 \Rightarrow x - 3y - 2z - 5 - 6 - 2 = 0 \Rightarrow x - 3y - 2z = 13$ है।
$ax+by+cz=d$ से तुलना करने पर,हमें $a=1, b=-3, c=-2, d=13$ प्राप्त होता है।
अतः,$P-3, Q-2, R-4, S-1$. सही विकल्प $A$ है।

(C) पहली रेखा $L_1: \frac{x}{1} = \frac{y}{1}, z=1$ है। $L_1$ पर कोई बिंदु $Q$ $(\alpha, \alpha, 1)$ है।
$PQ$ के दिक अनुपात $(\alpha-\lambda, \alpha-\lambda, 1-\lambda)$ हैं।
चूंकि $PQ$,$L_1$ (दिश सदिश $(1, 1, 0)$) के लंबवत है,इसलिए $(\alpha-\lambda)(1) + (\alpha-\lambda)(1) + (1-\lambda)(0) = 0$,जिससे $2(\alpha-\lambda) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha = \lambda$.
इस प्रकार,$Q = (\lambda, \lambda, 1)$ और सदिश $\vec{PQ} = (0, 0, 1-\lambda)$ है।
दूसरी रेखा $L_2: \frac{x}{-1} = \frac{y}{1}, z=-1$ है। $L_2$ पर कोई बिंदु $R$ $(-\beta, \beta, -1)$ है।
$PR$ के दिक अनुपात $(-\beta-\lambda, \beta-\lambda, -1-\lambda)$ हैं।
चूंकि $PR$,$L_2$ (दिश सदिश $(-1, 1, 0)$) के लंबवत है,इसलिए $(-\beta-\lambda)(-1) + (\beta-\lambda)(1) + (-1-\lambda)(0) = 0$,जिससे $\beta+\lambda+\beta-\lambda = 0$ प्राप्त होता है,अतः $2\beta = 0$,यानी $\beta = 0$.
इस प्रकार,$R = (0, 0, -1)$ और सदिश $\vec{PR} = (-\lambda, -\lambda, -1-\lambda)$ है।
दिया गया है कि $\angle QPR = 90^\circ$,इसलिए $\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = 0$.
$(0)(-\lambda) + (0)(-\lambda) + (1-\lambda)(-1-\lambda) = 0$.
$-(1-\lambda)(1+\lambda) = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda = \pm 1$.
यदि $\lambda = 1$ है,तो $P = (1, 1, 1)$,जो $L_1$ पर स्थित है,इसलिए $PQ$ अद्वितीय रूप से परिभाषित नहीं है। अतः,$\lambda = -1$ ही एकमात्र समाधान है।

(C) $P_1: y=0$ और $P_2: x+z-1=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $(x+z-1) + \lambda y = 0$ द्वारा दिया जाता है,जो $x + \lambda y + z - 1 = 0$ के रूप में सरल होता है।
इस समतल से बिंदु $(0, 1, 0)$ की दूरी $1$ दी गई है:
$\frac{|0 + \lambda(1) + 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + \lambda^2 + 1^2}} = 1$
$\frac{|\lambda - 1|}{\sqrt{\lambda^2 + 2}} = 1$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\lambda - 1)^2 = \lambda^2 + 2$
$\lambda^2 - 2\lambda + 1 = \lambda^2 + 2$
$-2\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
समतल समीकरण में $\lambda = -\frac{1}{2}$ रखने पर:
$x - \frac{1}{2}y + z - 1 = 0 \Rightarrow 2x - y + 2z - 2 = 0$.
अब,बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ की समतल $2x - y + 2z - 2 = 0$ से दूरी $2$ है:
$\frac{|2\alpha - \beta + 2\gamma - 2|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = 2$
$\frac{|2\alpha - \beta + 2\gamma - 2|}{3} = 2$
$|2\alpha - \beta + 2\gamma - 2| = 6$.
यह दो संभावनाएं देता है:
$2\alpha - \beta + 2\gamma - 2 = 6 \Rightarrow 2\alpha - \beta + 2\gamma - 8 = 0$
$2\alpha - \beta + 2\gamma - 2 = -6 \Rightarrow 2\alpha - \beta + 2\gamma + 4 = 0$.
अतः,विकल्प $(B)$ और $(D)$ सही हैं।

(A) रेखा $L$ मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरती है और समतलों $P_1$ और $P_2$ से समान दूरी पर है। अतः,$L$ को $P_1$ और $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर होना चाहिए।
मान लीजिए $L$ के दिक-अनुपात $(a, b, c)$ हैं। चूँकि $L$,$P_1$ और $P_2$ के प्रतिच्छेदन के समानांतर है,इसका दिक-सदिश $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ के समानांतर है,जहाँ $\vec{n}_1 = (1, 2, -1)$ और $\vec{n}_2 = (2, -1, 1)$ है।
$\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = (1, -3, -5)$ है।
अतः,रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x}{1} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{-5} = k$ है।
$M$,$L$ पर स्थित बिंदुओं से समतल $P_1$ पर लंबों के पाद का बिंदु-पथ है। यह समतल $P_1$ पर रेखा $L$ का प्रक्षेप है।
रेखा का समतल पर प्रक्षेप एक रेखा होती है। $L$ पर $k=0$ के लिए बिंदु $(0, 0, 0)$ है। मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $P_1: x+2y-z+1=0$ पर लंब का पाद $\left(-\frac{1}{6}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right)$ है,जो बिंदु $(B)$ है।
चूँकि $M$,$(B)$ से गुजरने वाली एक रेखा है,दिए गए बिंदुओं की जाँच करने पर यह ज्ञात होता है कि बिंदु $(A) \left(0, -\frac{5}{6}, -\frac{2}{3}\right)$ समतल $P_1$ पर स्थित है और यह $M$ पर भी स्थित है।

(A) दो समतलों $P_1$ और $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा को समीकरणों को हल करके प्राप्त किया जाता है:
$10x + 15y + 12z = 60$
$-2x + 5y + 4z = 20$
दूसरे समीकरण को $5$ से गुणा करने पर,हमें $-10x + 25y + 20z = 100$ प्राप्त होता है। इसे पहले समीकरण में जोड़ने पर $40y + 32z = 160$ मिलता है,अर्थात $5y + 4z = 20$।
यदि $z = 5k$ लें,तो $5y = 20 - 20k$,इसलिए $y = 4 - 4k$। दूसरे समतल के समीकरण में मान रखने पर: $-2x + 5(4 - 4k) + 4(5k) = 20 \implies -2x + 20 - 20k + 20k = 20 \implies x = 0$।
प्रतिच्छेदन रेखा $\frac{x}{0} = \frac{y-4}{-4} = \frac{z}{5}$ है।
एक चतुष्फलक की कोर जिसके दो फलक $P_1$ और $P_2$ पर स्थित हों,उसे या तो प्रतिच्छेदन रेखा के साथ विषमतलीय (skew) होना चाहिए या उसे किसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करना चाहिए।
विकल्पों की जांच करने पर,रेखाएं $A, B$ और $C$ इन शर्तों को पूरा करती हैं।

(D) समतल का समीकरण $\vec{r} = \hat{k} + t(-\hat{i} + \hat{j}) + p(-\hat{i} + \hat{k})$ है।
यह $(0, 0, 1)$ से गुजरने वाला एक समतल है जिसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (-\hat{i} + \hat{j}) \times (-\hat{i} + \hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $1(x-0) + 1(y-0) + 1(z-1) = 0$ अर्थात $x + y + z = 1$ है।
$Q = (10, 15, 20)$ और $S = (\alpha, \beta, \gamma)$ दिए गए हैं,प्रतिबिंब का सूत्र $\frac{\alpha-10}{1} = \frac{\beta-15}{1} = \frac{\gamma-20}{1} = -2 \frac{10+15+20-1}{1^2+1^2+1^2} = -2 \frac{44}{3} = -\frac{88}{3}$ है।
अतः,$\alpha = 10 - \frac{88}{3} = -\frac{58}{3}$,$\beta = 15 - \frac{88}{3} = -\frac{43}{3}$,और $\gamma = 20 - \frac{88}{3} = -\frac{28}{3}$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ $3(\alpha+\beta) = 3(-\frac{58}{3} - \frac{43}{3}) = -101$ (सत्य)।
$(B)$ $3(\beta+\gamma) = 3(-\frac{43}{3} - \frac{28}{3}) = -71$ (सत्य)।
$(C)$ $3(\gamma+\alpha) = 3(-\frac{28}{3} - \frac{58}{3}) = -86$ (सत्य)।
$(D)$ $3(\alpha+\beta+\gamma) = 3(-\frac{58+43+28}{3}) = -129$ (असत्य)।
अतः,विकल्प $A, B, C$ सही हैं।

(C) दी गई रेखाएं $L_1: \frac{x+11}{1}=\frac{y+21}{2}=\frac{z+29}{3} = a$ और $L_2: \frac{x+16}{3}=\frac{y+11}{2}=\frac{z+4}{\gamma} = b$ हैं।
$L_1$ के लिए,$x = a-11, y = 2a-21, z = 3a-29$.
$L_2$ के लिए,$x = 3b-16, y = 2b-11, z = b\gamma-4$.
प्रतिच्छेदन के लिए निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$a-11 = 3b-16 \Rightarrow a-3b = -5$ (समीकरण $1$)
$2a-21 = 2b-11 \Rightarrow 2a-2b = 10 \Rightarrow a-b = 5$ (समीकरण $2$)
$(1)$ और $(2)$ को हल करने पर: $a=10, b=5$.
$z$ निर्देशांकों में प्रतिस्थापित करने पर: $3(10)-29 = 5\gamma-4 \Rightarrow 1 = 5\gamma-4 \Rightarrow 5\gamma = 5 \Rightarrow \gamma = 1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $R_1 = (10-11, 20-21, 30-29) = (-1, -1, 1)$.
अतः,$\vec{OR_1} = -\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$.
अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-6) - \hat{j}(1-9) + \hat{k}(2-6) = -4\hat{i} + 8\hat{j} - 4\hat{k}$.
इकाई अभिलंब $\hat{n} = \pm \frac{-4\hat{i} + 8\hat{j} - 4\hat{k}}{\sqrt{16+64+16}} = \pm \frac{-4\hat{i} + 8\hat{j} - 4\hat{k}}{\sqrt{96}} = \pm \frac{-\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{6}}$.
विकल्पों के साथ मिलान करने पर,हम $\hat{n} = \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{i} - \frac{2}{\sqrt{6}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{k}$ लेते हैं।
$\vec{OR_1} \cdot \hat{n} = (-\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \cdot (\frac{1}{\sqrt{6}}\hat{i} - \frac{2}{\sqrt{6}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{k}) = \frac{-1+2+1}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{4}{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
इसलिए,$(P) \rightarrow (3), (Q) \rightarrow (4), (R) \rightarrow (1), (S) \rightarrow (5)$.

(B) माना रेखा $L_1$ है $\frac{x-2}{2}=\frac{y-6}{3}=\frac{z-3}{4} = k$। $L_1$ पर कोई भी बिंदु $(2k+2, 3k+6, 4k+3)$ है।
माना बिंदु $(1,4,0)$ से गुजरने वाली रेखा $L_2$ है $\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-0}{3} = t$। $L_2$ पर कोई भी बिंदु $(t+1, 2t+4, 3t)$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,हम निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$2k+2 = t+1 \Rightarrow t = 2k+1$
$3k+6 = 2t+4 \Rightarrow 3k+6 = 2(2k+1)+4 = 4k+6 \Rightarrow k=0$।
$k=0$ को $L_1$ के निर्देशांकों में रखने पर,हमें प्रतिच्छेदन बिंदु $P = (2,6,3)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(1,4,0)$ से $(2,6,3)$ तक की दूरी $\sqrt{(2-1)^2 + (6-4)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$ है।

(A) रेखा $L_1$ इस प्रकार है: $\overrightarrow{r} = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = (\lambda - 1)\hat{i} + (2\lambda + 2)\hat{j} + (\lambda + 1)\hat{k}$.
रेखा $L_2$ इस प्रकार है: $\overrightarrow{r} = (\hat{j} + \hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}) = 2\mu\hat{i} + (7\mu + 1)\hat{j} + (3\mu + 1)\hat{k}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,घटकों की तुलना करने पर:
$1) \lambda - 1 = 2\mu$
$2) 2\lambda + 2 = 7\mu + 1 \Rightarrow 2\lambda - 7\mu = -1$
$3) \lambda + 1 = 3\mu + 1 \Rightarrow \lambda = 3\mu$
$\lambda = 3\mu$ को पहले समीकरण में रखने पर: $3\mu - 1 = 2\mu \Rightarrow \mu = 1$. अतः $\lambda = 3(1) = 3$.
$\lambda = 3$ को $L_1$ में रखने पर: $\overrightarrow{r} = (3-1)\hat{i} + (2(3)+2)\hat{j} + (3+1)\hat{k} = 2\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$.
$L_3$ का दिशा सदिश $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (1+2)\hat{i} + (2+7)\hat{j} + (1+3)\hat{k} = 3\hat{i} + 9\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
$L_3$ का समीकरण $\overrightarrow{r} = (2\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}) + t(3\hat{i} + 9\hat{j} + 4\hat{k})$ है।
$t = 2$ के लिए,$\overrightarrow{r} = (2+6)\hat{i} + (8+18)\hat{j} + (4+8)\hat{k} = 8\hat{i} + 26\hat{j} + 12\hat{k}$.
अतः,रेखा $L_3$ बिंदु $(8, 26, 12)$ से होकर गुजरती है।

(C) $L_1$ के दिक् अनुपात $\vec{v_1} = (1, -1, 2)$ हैं और $L_2$ के दिक् अनुपात $\vec{v_2} = (-1, 2, 1)$ हैं।
$L_3$ के दिक् अनुपात $\vec{v_3} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -5\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि $L_3$ बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ से गुजरती है और $L_1$ को प्रतिच्छेद करती है,इसलिए बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$,$L_1$ पर स्थित है।
अतः,$\frac{\alpha-1}{1} = \frac{\beta-2}{-1} = \frac{\gamma-1}{2} = k$.
इसलिए,$\alpha = k+1$,$\beta = -k+2$,और $\gamma = 2k+1$.
अब $|5\alpha - 11\beta - 8\gamma|$ में मान रखने पर:
$|5(k+1) - 11(-k+2) - 8(2k+1)| = |5k + 5 + 11k - 22 - 16k - 8| = |-25| = 25$.

(B) अभीष्ट रेखा दो रेखाओं पर लंब है जिनके दिशा सदिश $\vec{v_1} = \hat{i} + a\hat{j} + b\hat{k}$ और $\vec{v_2} = -b\hat{i} + a\hat{j} + 5\hat{k}$ हैं।
अतः,अभीष्ट रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & a & b \\ -b & a & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(5a - ab) - \hat{j}(5 + b^2) + \hat{k}(a + ab)$ है।
रेखा $\frac{x-1}{-2} = \frac{y+4}{d} = \frac{z-c}{-4}$ के दिक अनुपात $(-2, d, -4)$ हैं।
चूंकि रेखाएं समांतर हैं,उनके दिक अनुपात समानुपाती होंगे: $\frac{5a - ab}{-2} = \frac{-(b^2 + 5)}{d} = \frac{a + ab}{-4} = k$.
बिंदु $(0, -\frac{1}{2}, 0)$ रेखा $\frac{x-1}{-2} = \frac{y+4}{d} = \frac{z-c}{-4}$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{0-1}{-2} = \frac{-1/2 + 4}{d} = \frac{0-c}{-4} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{7/2}{d} = \frac{-c}{-4}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{2} = \frac{7}{2d}$ से $d = 7$ मिलता है और $\frac{1}{2} = \frac{c}{4}$ से $c = 2$ मिलता है।
अब,$\frac{5a - ab}{-2} = \frac{a + ab}{-4} \Rightarrow 2(5a - ab) = a + ab \Rightarrow 10a - 2ab = a + ab \Rightarrow 9a = 3ab \Rightarrow b = 3$.
साथ ही,$\frac{-(b^2 + 5)}{d} = \frac{a + ab}{-4} \Rightarrow \frac{-(9 + 5)}{7} = \frac{a + 3a}{-4} \Rightarrow -2 = \frac{4a}{-4} \Rightarrow -2 = -a \Rightarrow a = 2$.
अतः,$a+b+c+d = 2 + 3 + 2 + 7 = 14$.

(C) $L_1$ का दिशा सदिश $\vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \langle 1, -1, 1 \rangle$ है।
चूंकि $L_2$,$L_1$ के समानांतर है और $P(2, -1, 3)$ से गुजरती है,इसका समीकरण $\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-3}{1} = \lambda$ है। अतः,$L_2$ पर कोई भी बिंदु $(\lambda+2, -\lambda-1, \lambda+3)$ है।
बिंदु $Q$ के लिए,यह समतल $M: 2x+y-2z=6$ पर स्थित है। मान रखने पर: $2(\lambda+2) + (-\lambda-1) - 2(\lambda+3) = 6 \Rightarrow 2\lambda+4-\lambda-1-2\lambda-6=6 \Rightarrow -\lambda-3=6 \Rightarrow \lambda=-9$.
अतः,$Q = (-7, 8, -6)$.
$PQ = \sqrt{(-7-2)^2 + (8-(-1))^2 + (-6-3)^2} = \sqrt{(-9)^2 + 9^2 + (-9)^2} = 9\sqrt{3}$. अतः,$(A)$ सत्य है।
$R$ के लिए,$P(2,-1,3)$ से $M: 2x+y-2z-6=0$ पर लंब का पाद,रेखा $PR$ की दिशा $\langle 2, 1, -2 \rangle$ है। अतः $R = (2\mu+2, \mu-1, -2\mu+3)$.
$M$ में मान रखने पर: $2(2\mu+2) + (\mu-1) - 2(-2\mu+3) = 6 \Rightarrow 4\mu+4+\mu-1+4\mu-6=6 \Rightarrow 9\mu-3=6 \Rightarrow 9\mu=9 \Rightarrow \mu=1$.
अतः,$R = (4, 0, 1)$.
$QR = \sqrt{(4-(-7))^2 + (0-8)^2 + (1-(-6))^2} = \sqrt{11^2 + (-8)^2 + 7^2} = \sqrt{234}$. अतः,$(B)$ असत्य है।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{QP} \times \vec{QR}|$. $\vec{QP} = \langle 9, -9, 9 \rangle$,$\vec{QR} = \langle 11, -8, 7 \rangle$.
$\vec{QP} \times \vec{QR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 9 & -9 & 9 \\ 11 & -8 & 7 \end{vmatrix} = 9\hat{i} + 36\hat{j} + 27\hat{k} = 9(\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k})$.
परिमाण $= 9\sqrt{26}$. क्षेत्रफल $= \frac{9}{2}\sqrt{26} = \frac{3}{2}\sqrt{234}$. अतः,$(C)$ सत्य है।
$\vec{PQ} = \langle -9, 9, -9 \rangle$,$\vec{PR} = \langle 2, 1, -2 \rangle$. $\cos \theta = \frac{|\vec{PQ} \cdot \vec{PR}|}{|PQ||PR|} = \frac{9}{9\sqrt{3} \cdot 3} = \frac{1}{3\sqrt{3}}$. अतः,$(D)$ असत्य है।

(C) चूंकि रेखा $PQ$ के दिक्-कोसाइन समान और धनात्मक हैं,मान लीजिए वे $l, m, n$ हैं। $l=m=n$ और $l^2+m^2+n^2=1$ होने के कारण,$3l^2=1$,इसलिए $l=m=n=\frac{1}{\sqrt{3}}$।
रेखा $PQ$ के दिक्-अनुपात $1, 1, 1$ लिए जा सकते हैं।
बिंदु $P(2,-1,2)$ से गुजरने वाली रेखा $PQ$ का समीकरण $\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = k$ है।
अतः,रेखा पर कोई भी बिंदु $(k+2, k-1, k+2)$ है।
चूंकि यह बिंदु $Q$ समतल $2x+y+z=9$ पर स्थित है,इसलिए $2(k+2) + (k-1) + (k+2) = 9$।
$4k + 5 = 9$ $\Rightarrow 4k = 4$ $\Rightarrow k = 1$।
$k=1$ रखने पर,$Q$ के निर्देशांक $(3, 0, 3)$ प्राप्त होते हैं।
लंबाई $PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0-(-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ इकाई।

(B) $A(3, 4, 1)$ और $B(5, 1, 6)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{5-3} = \frac{y-4}{1-4} = \frac{z-1}{6-1}$ है।
यह $\frac{x-3}{2} = \frac{y-4}{-3} = \frac{z-1}{5} = k$ में सरल हो जाता है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $(2k+3, -3k+4, 5k+1)$ है।
चूंकि रेखा $XZ$-समतल को काटती है,इसलिए $y$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
अतः,$-3k+4 = 0$,जिससे $k = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
$k = \frac{4}{3}$ का मान रखने पर:
$x = 2(\frac{4}{3}) + 3 = \frac{17}{3}$.
$z = 5(\frac{4}{3}) + 1 = \frac{23}{3}$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(\frac{17}{3}, 0, \frac{23}{3}\right)$ है।

(D) माना बिंदु $A = (5, -1, 4)$ और $B = (4, -1, 3)$ हैं।
रेखाखंड को दर्शाने वाला सदिश $\vec{AB} = (4-5)\hat{i} + (-1-(-1))\hat{j} + (3-4)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{k}$ है।
सदिश का परिमाण $|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ है।
समतल $x+y+z=7$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
माना $\theta$ रेखाखंड $AB$ और समतल के बीच का कोण है। रेखाखंड और समतल के अभिलंब के बीच का कोण $\phi$ सूत्र $\cos \phi = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{AB}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \phi = \frac{|(-1)(1) + (0)(1) + (-1)(1)|}{\sqrt{2} \sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2} \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
चूंकि $\theta$ समतल के साथ कोण है,इसलिए $\sin \theta = \cos \phi = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
तब $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{4}{6}} = \sqrt{\frac{2}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}}$.
समतल पर रेखाखंड के प्रक्षेप की लंबाई $|\vec{AB}| \cos \theta = \sqrt{2} \times \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ है।

(A) दो समतलों $a_1x + b_1y + c_1z = d_1$ और $a_2x + b_2y + c_2z = d_2$ के प्रतिच्छेदन से बनी रेखा के दिक्-अनुपात उनके अभिलंबों $\vec{n_1} = (1, -1, 2)$ और $\vec{n_2} = (3, 1, 1)$ के सदिश गुणनफल (cross product) के समानुपाती होते हैं।
माना दिक्-अनुपात $(a, b, c) = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ हैं।
$(a, b, c) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 2) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(1 + 3) = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$.
अतः,दिक्-अनुपात $(-3, 5, 4)$ हैं।
इसका परिमाण $\sqrt{(-3)^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
दिक्-कोसाइन $\left(\frac{-3}{5\sqrt{2}}, \frac{5}{5\sqrt{2}}, \frac{4}{5\sqrt{2}}\right)$ या $\left(\frac{3}{5\sqrt{2}}, \frac{-5}{5\sqrt{2}}, \frac{-4}{5\sqrt{2}}\right)$ होंगे।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $A$ सही है।

(A) दो समतलों $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ के प्रतिच्छेदन रेखा के दिक्-अनुपात उनके अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (a_1, b_1, c_1)$ और $\vec{n_2} = (a_2, b_2, c_2)$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा प्राप्त होते हैं।
दिए गए समतल $x - y + z - 5 = 0$ और $x - 3y + 0z - 6 = 0$ हैं।
अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, -1, 1)$ और $\vec{n_2} = (1, -3, 0)$ हैं।
दिक्-अनुपात $(l, m, n)$ का मान $\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 0 \end{vmatrix}$ द्वारा दिया जाता है।
$= \hat{i}(0 - (-3)) - \hat{j}(0 - 1) + \hat{k}(-3 - (-1))$
$= \hat{i}(3) - \hat{j}(-1) + \hat{k}(-2)$
$= 3\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$.
अतः,दिक्-अनुपात $3, 1, -2$ हैं।

(A) रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = (1, 2, \lambda)$ है और समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 2, 3)$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\theta = \cos^{-1} \sqrt{\frac{5}{14}}$,इसलिए $\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{14}}$,जिसका अर्थ है $\sin^2 \theta = 1 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14}$,यानी $\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{|(1)(1) + (2)(2) + (3)(\lambda)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + \lambda^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$\frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$|5 + 3\lambda| = 3 \sqrt{5 + \lambda^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(5 + 3\lambda)^2 = 9(5 + \lambda^2)$.
$25 + 30\lambda + 9\lambda^2 = 45 + 9\lambda^2$.
$30\lambda = 20$.
$\lambda = \frac{2}{3}$.

(C) चूंकि रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए इसके दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ समान हैं। मान लीजिए $l = m = n = a$ है।
$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होने के कारण,$3a^2 = 1$,इसलिए $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (धनात्मक दिक्-कोसाइन होने के कारण धनात्मक मान लेने पर)।
अतः,रेखा के दिक्-अनुपात $(1, 1, 1)$ के समानुपाती हैं।
बिंदु $P(2, -1, 2)$ से गुजरने वाली और $(1, 1, 1)$ दिक्-अनुपात वाली रेखा का समीकरण है:
$\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = k$
अतः,रेखा पर कोई भी बिंदु $(k+2, k-1, k+2)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह बिंदु $Q$ समतल $2x+y+z=9$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(k+2) + (k-1) + (k+2) = 9$
$2k + 4 + k - 1 + k + 2 = 9$
$4k + 5 = 9$
$4k = 4 \Rightarrow k = 1$
$k=1$ को $Q$ के निर्देशांकों में रखने पर,हमें $Q(1+2, 1-1, 1+2) = Q(3, 0, 3)$ प्राप्त होता है।
रेखाखंड $PQ$ की लंबाई बिंदु $P(2, -1, 2)$ और $Q(3, 0, 3)$ के बीच की दूरी है:
$PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0 - (-1))^2 + (3-2)^2}$
$PQ = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

(A) दिए गए समतलों $x+2y+3z-4=0$ और $4x+3y+2z-1=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण है:
$(x+2y+3z-4) + \lambda(4x+3y+2z-1) = 0$
$(1+4\lambda)x + (2+3\lambda)y + (3+2\lambda)z + (-4-\lambda) = 0 \quad \dots (1)$
चूंकि समतल मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(1+4\lambda)(0) + (2+3\lambda)(0) + (3+2\lambda)(0) + (-4-\lambda) = 0$
$-4-\lambda = 0 \implies \lambda = -4$
अब $\lambda = -4$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(1+4(-4))x + (2+3(-4))y + (3+2(-4))z + (-4-(-4)) = 0$
$(1-16)x + (2-12)y + (3-8)z + 0 = 0$
$-15x - 10y - 5z = 0$
$-5$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3x + 2y + z = 0$
इस समतल के अभिलंब के दिक्-अनुपात $x, y,$ और $z$ के गुणांक हैं,जो $(3, 2, 1)$ हैं।

(C) माना लंब के पाद के निर्देशांक $Q(x, y, z)$ हैं।
बिंदु $P(-1, 1, 2)$ से गुजरने वाली और समतल $2x - 3y + z - 11 = 0$ पर लंब रेखा के दिक अनुपात समतल के अभिलंब $(2, -3, 1)$ के समानुपाती होते हैं।
रेखा का समीकरण $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{-3} = \frac{z - 2}{1} = k$ है।
अतः,$x = 2k - 1$,$y = -3k + 1$,और $z = k + 2$ है।
चूंकि $Q$ समतल $2x - 3y + z - 11 = 0$ पर स्थित है,हम इन मानों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2k - 1) - 3(-3k + 1) + (k + 2) - 11 = 0$
$4k - 2 + 9k - 3 + k + 2 - 11 = 0$
$14k - 14 = 0$
$k = 1$.
$k = 1$ का मान $x, y, z$ के व्यंजकों में रखने पर:
$x = 2(1) - 1 = 1$
$y = -3(1) + 1 = -2$
$z = 1 + 2 = 3$.
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $(1, -2, 3)$ हैं।

(D) रेखा $\frac{x+1}{1}=\frac{y-k}{11}=\frac{z-4}{-5}$ समतल $2x+py+7z-41=0$ में स्थित है।
चूंकि यह रेखा समतल $x+4y-2z+13=0$ के लंबवत है,इसलिए समतल $2x+py+7z-41=0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (2, p, 7)$,समतल $x+4y-2z+13=0$ के अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = (1, 4, -2)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \implies (2)(1) + (p)(4) + (7)(-2) = 0$.
$2 + 4p - 14 = 0 \implies 4p = 12 \implies p = 3$.
समतल का समीकरण $2x + 3y + 7z - 41 = 0$ हो जाता है।
चूंकि रेखा समतल में स्थित है,इसलिए रेखा पर स्थित बिंदु $(-1, k, 4)$ समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
$2(-1) + 3(k) + 7(4) - 41 = 0$.
$-2 + 3k + 28 - 41 = 0$.
$3k - 15 = 0 \implies 3k = 15 \implies k = 5$.

(D) बिंदुओं $A(2, -3, 1)$ और $B(3, -4, -5)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - 2}{3 - 2} = \frac{y - (-3)}{-4 - (-3)} = \frac{z - 1}{-5 - 1} = k$ है।
इसे सरल करने पर $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 3}{-1} = \frac{z - 1}{-6} = k$ प्राप्त होता है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(k + 2, -k - 3, -6k + 1)$ के रूप में होगा।
चूंकि यह बिंदु समतल $2x + y + z = 7$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(k + 2) + (-k - 3) + (-6k + 1) = 7$.
$2k + 4 - k - 3 - 6k + 1 = 7$.
$-5k + 2 = 7$.
$-5k = 5$,जिससे $k = -1$ प्राप्त होता है।
$k = -1$ को बिंदु के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = -1 + 2 = 1$.
$y = -(-1) - 3 = 1 - 3 = -2$.
$z = -6(-1) + 1 = 6 + 1 = 7$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, -2, 7)$ है।

(B) रेखा बिंदु $P(2, -1, 4)$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
दिया गया बिंदु $A(0, 5, 0)$ समतल पर स्थित है।
बिंदु $A$ और $P$ को जोड़ने वाला सदिश $\vec{AP} = (2-0)\hat{i} + (-1-5)\hat{j} + (4-0)\hat{k} = 2\hat{i} - 6\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{b}$ और $\vec{AP}$ का सदिश गुणनफल है:
$\vec{n} = \vec{b} \times \vec{AP} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -2 \\ 2 & -6 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(8 - 12) - \hat{j}(12 - (-4)) + \hat{k}(-18 - 4) = -4\hat{i} - 16\hat{j} - 22\hat{k}$।
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n}' = 2\hat{i} + 8\hat{j} + 11\hat{k}$ के रूप में सरल कर सकते हैं।
बिंदु $A(0, 5, 0)$ का उपयोग करते हुए समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ है:
$2(x-0) + 8(y-5) + 11(z-0) = 0$।
$2x + 8y - 40 + 11z = 0$।
$2x + 8y + 11z - 40 = 0$।

(B) रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{2} = k$ दिया गया है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $(3k+2, -5k+1, 2k-2)$ है।
चूंकि रेखा समतल $x+3y-\alpha z+\beta=0$ में स्थित है,इसलिए रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
बिंदु को समतल के समीकरण में रखने पर: $(3k+2) + 3(-5k+1) - \alpha(2k-2) + \beta = 0$.
$3k + 2 - 15k + 3 - 2\alpha k + 2\alpha + \beta = 0$.
$k(3 - 15 - 2\alpha) + (5 + 2\alpha + \beta) = 0$.
चूंकि यह सभी $k$ के लिए सत्य है,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$3 - 15 - 2\alpha = 0 \implies -12 - 2\alpha = 0 \implies \alpha = -6$.
$5 + 2\alpha + \beta = 0 \implies 5 + 2(-6) + \beta = 0 \implies 5 - 12 + \beta = 0 \implies \beta = 7$.
अतः,$(\beta - \alpha) = 7 - (-6) = 7 + 6 = 13$.

(D) माना रेखाएँ $L_1: \frac{x+2}{-3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-5}{2} = r$ और $L_2: \frac{x+2}{-1}=\frac{y+6}{2} = s, z=1$ हैं।
$L_1$ पर कोई बिंदु $P = (-3r-2, 4r+2, 2r+5)$ है और $L_2$ पर कोई बिंदु $Q = (-s-2, 2s-6, 1)$ है।
सदिश $\vec{PQ} = (3r-s, 2s-4r-8, -2r-4)$ है।
दिशा सदिश $\vec{v_1} = (-3, 4, 2)$ और $\vec{v_2} = (-1, 2, 0)$ हैं।
न्यूनतम दूरी की रेखा $\vec{PQ}$,$\vec{v_1}$ और $\vec{v_2}$ दोनों के लंबवत है।
$\vec{PQ} \cdot \vec{v_1} = 0 \implies -29r + 11s = 40$ और $\vec{PQ} \cdot \vec{v_2} = 0 \implies -11r + 5s = 16$।
इन समीकरणों को हल करने पर,$r = -2$ और $s = -1.2$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम दूरी की रेखा का समीकरण $\frac{x-4}{-4} = \frac{y+6}{-2} = \frac{z-1}{-2}$ है।
$x=1$ के लिए,$\alpha = -7.5$ और $\beta = 0.5$ प्राप्त होता है,जिनका योग $-7$ है।

(A) रेखा बिंदु $P(-1, -2, 2)$ से होकर गुजरती है और इसके दिक अनुपात $\vec{b} = (2, 1, 3)$ हैं।
दिया गया बिंदु $Q(1, -1, 3)$ समतल पर स्थित है।
सदिश $\vec{PQ} = (1 - (-1), -1 - (-2), 3 - 2) = (2, 1, 1)$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{b}$ और $\vec{PQ}$ का क्रॉस गुणनफल है:
$\vec{n} = \vec{b} \times \vec{PQ} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-3) - \hat{j}(2-6) + \hat{k}(2-2) = -2\hat{i} + 4\hat{j} + 0\hat{k}$।
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = (1, -2, 0)$ के रूप में ले सकते हैं।
बिंदु $Q(1, -1, 3)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = (1, -2, 0)$ वाले समतल का समीकरण है:
$1(x - 1) - 2(y + 1) + 0(z - 3) = 0$
$x - 1 - 2y - 2 = 0$
$x - 2y - 3 = 0$।

(C) माना अभीष्ट समतल $P_1$ है। यह रेखा $L_1: \frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ को समाहित करता है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n_1}$,$\vec{v_1} = (1, 2, 3)$ के लंबवत है।
माना $P_2$ वह समतल है जो रेखाओं $L_2: \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{1}$ और $L_3: \frac{x}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$ को समाहित करता है। $P_2$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_2}$,दिशा सदिशों $\vec{v_2} = (2, 3, 1)$ और $\vec{v_3} = (3, 2, 1)$ के क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n_2} = \vec{v_2} \times \vec{v_3} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(2-3) + \hat{k}(4-9) = (1, 1, -5)$.
चूंकि $P_1$,$P_2$ के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब $\vec{n_1}$,$\vec{n_2}$ के लंबवत होना चाहिए। अतः,$\vec{n_1} = \vec{v_1} \times \vec{n_2}$:
$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10-3) - \hat{j}(-5-3) + \hat{k}(1-2) = (-13, 8, -1)$.
मूल बिंदु $(0,0,0)$ से गुजरने वाले और $(-13, 8, -1)$ अभिलंब वाले समतल $P_1$ का समीकरण $-13x + 8y - z = 0$ है,जिसे सरल करने पर $13x - 8y + z = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{1} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $(2\lambda+1, -\lambda-2, \lambda)$ है।
$XY$ समतल के लिए,$z=0$,इसलिए $\lambda=0$। बिंदु $A$ $(1, -2, 0)$ है।
$YZ$ समतल के लिए,$x=0$,इसलिए $2\lambda+1=0 \implies \lambda=-\frac{1}{2}$। बिंदु $B$ $(0, -\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$ है।
बिंदुओं $A(1, -2, 0)$ और $B(0, -\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$ से गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण $\bar{r} = \vec{a} + t(\vec{b}-\vec{a})$ है।
यहाँ $\vec{a} = \hat{i}-2\hat{j}$ और $\vec{b}-\vec{a} = (0-1)\hat{i} + (-\frac{3}{2}-(-2))\hat{j} + (-\frac{1}{2}-0)\hat{k} = -\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} - \frac{1}{2}\hat{k}$ है।
समीकरण $\bar{r} = (\hat{i}-2\hat{j}) + t(-\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} - \frac{1}{2}\hat{k})$ है।
इसे क्रॉस प्रोडक्ट रूप में $[\bar{r}-(\hat{i}-2\hat{j})] \times (-\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} - \frac{1}{2}\hat{k}) = \overline{0}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) माना बिंदु $P$ का स्थिति सदिश $\vec{\alpha} = \hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$ है।
माना रेखा बिंदु $A$ से गुजरती है जिसका स्थिति सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - 4\hat{k}$ है और यह सदिश $\vec{b} = 6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ के समांतर है।
बिंदु $P$ की रेखा से दूरी $d = \frac{|(\vec{\alpha} - \vec{a}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,$\vec{\alpha} - \vec{a} = (1-2)\hat{i} + (-2 - (-3))\hat{j} + (-6 - (-4))\hat{k} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $(\vec{\alpha} - \vec{a}) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 6 & 3 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 - (-6)) - \hat{j}(4 - (-12)) + \hat{k}(-3 - 6) = 2\hat{i} - 16\hat{j} - 9\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|(\vec{\alpha} - \vec{a}) \times \vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-16)^2 + (-9)^2} = \sqrt{4 + 256 + 81} = \sqrt{341}$ है।
सदिश $\vec{b}$ का परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$ है।
अतः,दूरी $d = \frac{\sqrt{341}}{\sqrt{61}} = \sqrt{\frac{341}{61}}$ इकाई है।