Line and Plane Questions in Hindi

(B) माना $\frac{x+1}{1}=\frac{y+3}{3}=\frac{-(z-2)}{2}=k$.
अतः,इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(x, y, z)$ इस प्रकार होंगे:
$x = k-1$
$y = 3k-3$
$z = -2k+2$
यह रेखा समतल $3x+4y+5z=10$ को प्रतिच्छेद करती है।
$x, y, z$ के मानों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$3(k-1) + 4(3k-3) + 5(-2k+2) = 10$
$3k - 3 + 12k - 12 - 10k + 10 = 10$
$5k - 5 = 10$
$5k = 15$
$k = 3$
अब,$k=3$ को निर्देशांक के समीकरणों में रखने पर:
$x = 3-1 = 2$
$y = 3(3)-3 = 6$
$z = -2(3)+2 = -4$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 6, -4)$ है।

(D) रेखा के दिक अनुपात $\vec{b} = (2, -1, 1)$ हैं।
समतल $3x - 4y - z + 5 = 0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (3, -4, -1)$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (2)(3) + (-1)(-4) + (1)(-1) = 6 + 4 - 1 = 9$.
परिमाण: $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ और $|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{26}$.
अतः,$\sin \theta = \frac{9}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{26}} = \frac{9}{\sqrt{156}} = \frac{9}{2\sqrt{39}}$.
अब,$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{81}{156}} = \sqrt{\frac{75}{156}} = \frac{5}{2\sqrt{13}}$.
इस प्रकार,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{5}{2\sqrt{13}}\right)$.

(D) दी गई रेखा $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}$ है।
चूंकि रेखा समतल $2x-4y+z=7$ पर स्थित है,इसलिए रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
रेखा पर एक बिंदु $(4, 2, k)$ है।
इस बिंदु को समतल के समीकरण $2x-4y+z=7$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(4) - 4(2) + k = 7$
$8 - 8 + k = 7$
$k = 7$
इसके अतिरिक्त,रेखा का दिशा सदिश $(1, 1, 2)$ समतल के अभिलंब सदिश $(2, -4, 1)$ के लंबवत होना चाहिए।
डॉट प्रोडक्ट की जांच करने पर: $(1)(2) + (1)(-4) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$ है।
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,रेखा समतल के समानांतर है। बिंदु $(4, 2, 7)$ समतल के समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए पूरी रेखा समतल पर स्थित है।

(D) दी गई रेखा $\frac{x-2}{3} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-4}{5}$ है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
दिया गया समतल $2x - 2y + z = 5$ है। समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 1\hat{k}$ है।
माना $\theta$ रेखा और समतल के बीच का कोण है। कोण की ज्या $\sin \theta = \left| \frac{\vec{b} \cdot \vec{n}}{|\vec{b}| |\vec{n}|} \right|$ द्वारा दी जाती है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (3)(2) + (4)(-2) + (5)(1) = 6 - 8 + 5 = 3$.
परिमाण की गणना: $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
अतः,$\sin \theta = \left| \frac{3}{(5\sqrt{2})(3)} \right| = \frac{3}{15\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{1}{5\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$.

(B) समतल का समीकरण $2x - 3y + 4z = 29$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरने वाली और समतल पर लंब रेखा का समीकरण $\frac{x}{2} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{4} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2\lambda, -3\lambda, 4\lambda)$ के रूप में होता है।
चूँकि यह बिंदु समतल पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: $2(2\lambda) - 3(-3\lambda) + 4(4\lambda) = 29$.
$4\lambda + 9\lambda + 16\lambda = 29 \Rightarrow 29\lambda = 29 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ का मान बिंदु में रखने पर,हमें $(2(1), -3(1), 4(1)) = (2, -3, 4)$ प्राप्त होता है।

(B) $2\bar{a}+\bar{b}$ से गुजरने वाली और $\bar{b}-\bar{c}$ के समांतर रेखा का समीकरण $\bar{r} = (2\bar{a}+\bar{b}) + t(\bar{b}-\bar{c})$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $2\bar{a} + (1+t)\bar{b} - t\bar{c}$ के रूप में है।
समतल $\bar{a}$ से गुजरता है और $\bar{b}+\bar{c}$ तथा $\bar{a}+2\bar{b}-\bar{c}$ के समांतर है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (\bar{b}+\bar{c}) \times (\bar{a}+2\bar{b}-\bar{c}) = -\bar{a} \times \bar{b} - 3\bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}$ है।
समतल का समीकरण $(\bar{r}-\bar{a}) \cdot \vec{n} = 0$ है।
रेखा के बिंदु को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $t=1$ प्राप्त होता है,जिससे $P = 2\bar{a}+2\bar{b}-\bar{c}$ प्राप्त होता है।

(C) माना कि अभीष्ट अनुपात $\lambda : 1$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$(2, -4, 3)$ और $(-4, 5, -6)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left( \frac{-4\lambda + 2}{\lambda + 1}, \frac{5\lambda - 4}{\lambda + 1}, \frac{-6\lambda + 3}{\lambda + 1} \right)$
चूंकि यह बिंदु $P$ समतल $3x + 2y + z - 4 = 0$ पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$3 \left( \frac{-4\lambda + 2}{\lambda + 1} \right) + 2 \left( \frac{5\lambda - 4}{\lambda + 1} \right) + \left( \frac{-6\lambda + 3}{\lambda + 1} \right) - 4 = 0$
$(\lambda + 1)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3(-4\lambda + 2) + 2(5\lambda - 4) + (-6\lambda + 3) - 4(\lambda + 1) = 0$
$-12\lambda + 6 + 10\lambda - 8 - 6\lambda + 3 - 4\lambda - 4 = 0$
$-12\lambda - 3 = 0$
$-12\lambda = 3$
$\lambda = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$
अतः,अनुपात $-\frac{1}{4} : 1$ है,जो कि $-1 : 4$ है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि विभाजन बाह्य (external) है।

(C) सबसे पहले,समतल $ABC$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1}$ ज्ञात करें। सदिश $\vec{AB} = B-A = (-1, -2, 1)$ और $\vec{AC} = C-A = (-1, 2, 0)$ हैं।
$\vec{n_1} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = -2\hat{i} - \hat{j} - 4\hat{k}$.
इसके बाद,समतल $ACD$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_2}$ ज्ञात करें। सदिश $\vec{AC} = (-1, 2, 0)$ और $\vec{AD} = D-A = (-2, -1, -1)$ हैं।
$\vec{n_2} = \vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = -2\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$.
समतलों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 4 + 1 - 20 = -15$.
$|\vec{n_1}| = \sqrt{21}$ और $|\vec{n_2}| = \sqrt{30}$.
$\cos \theta = \frac{15}{\sqrt{630}} = \frac{5}{\sqrt{70}}$.
अतः,$\cos^2 \theta = \frac{25}{70} = \frac{5}{14}$,और $\sin^2 \theta = 1 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14}$.
इस प्रकार,$\tan^2 \theta = \frac{9/14}{5/14} = \frac{9}{5}$,इसलिए $\tan \theta = \frac{3}{\sqrt{5}}$.

(A) दिया गया है कि $P(2, \beta, \alpha)$ समतल $x+2y-z-2=0$ पर स्थित है,अतः $2+2\beta-\alpha-2=0$,जो सरल होकर $\alpha=2\beta$ $(i)$ देता है।
दिया गया है कि $Q(\alpha, -1, \beta)$ समतल $2x-y+3z+6=0$ पर स्थित है,अतः $2\alpha - (-1) + 3\beta + 6 = 0$,जो सरल होकर $2\alpha+3\beta+7=0$ $(ii)$ देता है।
$(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2(2\beta)+3\beta+7=0 \Rightarrow 7\beta = -7 \Rightarrow \beta = -1$.
तब $\alpha = 2(-1) = -2$.
अतः,$P = (2, -1, -2)$ और $Q = (-2, -1, -1)$.
सदिश $\vec{PQ} = (-2-2)\hat{i} + (-1-(-1))\hat{j} + (-1-(-2))\hat{k} = -4\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{PQ}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$.
दिक्-कोज्याएँ $\left(\frac{-4}{\sqrt{17}}, \frac{0}{\sqrt{17}}, \frac{1}{\sqrt{17}}\right) = \left(-\frac{4}{\sqrt{17}}, 0, \frac{1}{\sqrt{17}}\right)$ हैं।

(B) समतल $\pi$ मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरता है और इसमें $\vec{n_1} = (1, -2, 2)$ और $\vec{n_2} = (2, 3, -1)$ दिशा अनुपात वाली दो रेखाएँ शामिल हैं।
समतल $\pi$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$.
समतल का समीकरण $-4x + 5y + 7z = 0$ है।
समतल $x - y - z + 1 = 0$ (अभिलंब $\vec{n_3} = (1, -1, -1)$) और $\pi$ (अभिलंब $\vec{n} = (-4, 5, 7)$) की प्रतिच्छेदन रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{n_3} \times \vec{n}$ है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ -4 & 5 & 7 \end{vmatrix} = -2\hat{i} - 3\hat{j} + 1\hat{k}$.
अतः,दिशा अनुपात $(-2, -3, 1)$ के समानुपाती हैं,जो $(2, 3, -1)$ के बराबर है।

(A) समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n_2} = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
प्रतिच्छेदन रेखा का दिशा सदिश $\vec{v}$,$\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-3) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(6-3) = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
हम दिशा सदिश को $\vec{d} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ के रूप में सरल कर सकते हैं।
रेखा धनात्मक $x$-अक्ष (दिशा $\hat{i}$) के साथ जो कोण $\alpha$ बनाती है,वह $\cos \alpha = \frac{\vec{d} \cdot \hat{i}}{|\vec{d}| |\hat{i}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{d} \cdot \hat{i} = (1)(1) + (-1)(0) + (1)(0) = 1$.
$|\vec{d}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
$|\hat{i}| = 1$.
अतः,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3} \times 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(D) रेखा $PQ$,$P(2,-3,4)$ और $Q(-1,-4,0)$ से होकर गुजरती है। $PQ$ का दिशा सदिश $\vec{v} = Q - P = (-1-2, -4-(-3), 0-4) = (-3, -1, -4)$ है।
रेखा $PQ$ का प्राचलिक समीकरण $x = 2 - 3t$,$y = -3 - t$,$z = 4 - 4t$ है।
चूंकि $S$,$PQ$ पर स्थित है,इसके निर्देशांक किसी अदिश $t$ के लिए $(2-3t, -3-t, 4-4t)$ होंगे।
सदिश $\vec{RS} = S - R = (2-3t-2, -3-t-1, 4-4t-0) = (-3t, -t-4, 4-4t)$ है।
चूंकि $RS \perp PQ$,इसलिए उनका अदिश गुणनफल $\vec{RS} \cdot \vec{v} = 0$ होगा।
$(-3t)(-3) + (-t-4)(-1) + (4-4t)(-4) = 0$.
$9t + t + 4 - 16 + 16t = 0$.
$26t - 12 = 0 \implies 26t = 12 \implies t = \frac{12}{26} = \frac{6}{13}$.
$S$ का $X$-निर्देशांक $x = 2 - 3t = 2 - 3(\frac{6}{13}) = 2 - \frac{18}{13} = \frac{26-18}{13} = \frac{8}{13}$ है।

(B) रेखाखंड $PQ$ को दर्शाने वाला सदिश $\vec{PQ} = (0-0, 0-1, 1-0) = (0, -1, 1)$ है।
समतल $x+y+z=3$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 1, 1)$ है।
किसी सदिश $\vec{v}$ का समतल पर प्रक्षेप की लंबाई का सूत्र $L = |\vec{v}| \sin(\theta)$ है,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{v}$ और अभिलंब $\vec{n}$ के बीच का कोण है।
सबसे पहले,$\vec{PQ}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{PQ}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
इसके बाद,$\vec{PQ}$ और $\vec{n}$ के बीच के कोण $\theta$ का कोसाइन ज्ञात करें:
$\cos(\theta) = \frac{|\vec{PQ} \cdot \vec{n}|}{|\vec{PQ}| |\vec{n}|} = \frac{|(0)(1) + (-1)(1) + (1)(1)|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|0 - 1 + 1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = 0$.
चूँकि $\cos(\theta) = 0$,इसलिए $\theta = 90^\circ$ है,जिसका अर्थ है कि $\sin(\theta) = 1$.
अतः,प्रक्षेप की लंबाई $L = |\vec{PQ}| \sin(90^\circ) = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$ है।

(NONE) समतल $3x - 2y + z = 8$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = \langle 3, -2, 1 \rangle$ है।
समतल $x + y + z = 6$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = \langle 1, 1, 1 \rangle$ है।
अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{n_1}$ और $\vec{n_2}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -3\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
बिंदु $(2, -1, 3)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = \langle -3, -2, 5 \rangle$ वाले समतल का समीकरण $-3(x - 2) - 2(y + 1) + 5(z - 3) = 0$ है।
इसे सरल करने पर,$-3x - 2y + 5z = 11$ प्राप्त होता है।
$11$ से भाग देने पर,$-\frac{3}{11}x - \frac{2}{11}y + \frac{5}{11}z = 1$ प्राप्त होता है।
$lx + my + nz = 1$ से तुलना करने पर,$l = -3/11$,$m = -2/11$,और $n = 5/11$ प्राप्त होते हैं।
अब,$4m + 2n - 31 = 4(-2/11) + 2(5/11) - 31 = -8/11 + 10/11 - 31 = 2/11 - 31 = -339/11$।

(A) माना समतल $\pi$ का समीकरण $a(x - 1) + b(y + 2) + c(z - 3) = 0$ है,जहाँ $\vec{n} = (a, b, c)$ समतल का अभिलंब सदिश है।
चूंकि समतल $B(6, 4, 5)$ से गुजरता है,हमारे पास $a(6 - 1) + b(4 + 2) + c(5 - 3) = 0$ है,जो $5a + 6b + 2c = 0$ में सरल हो जाता है।
समतल $\pi$,समतल $3x - y + z = 2$ के लंबवत है,जिसका अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (3, -1, 1)$ है।
अतः,अभिलंब सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य है: $3a - b + c = 0$।
समीकरणों $5a + 6b + 2c = 0$ और $3a - b + c = 0$ को हल करने पर:
दूसरे समीकरण से,$b = 3a + c$। पहले समीकरण में रखने पर: $5a + 6(3a + c) + 2c = 0 \implies 23a + 8c = 0$।
माना $a = 8$,तो $c = -23$। तब $b = 3(8) - 23 = 24 - 23 = 1$।
अतः,अभिलंब सदिश $\vec{n} = (8, 1, -23)$ है।
समतल $\pi$ का समीकरण $8(x - 1) + 1(y + 2) - 23(z - 3) = 0$ है,जो $8x + y - 23z + 63 = 0$ में सरल हो जाता है।
$(0, 0, 0)$ से समतल की लंबवत दूरी $d = \frac{|8(0) + 1(0) - 23(0) + 63|}{\sqrt{8^2 + 1^2 + (-23)^2}} = \frac{63}{\sqrt{64 + 1 + 529}} = \frac{63}{\sqrt{594}}$ है।

(D) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $ax + by + cz = d_0$ की लंबवत दूरी $d$ का सूत्र है:
$d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 - d_0|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
यहाँ बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (-1, p, -3)$ और समतल $2x - 3y + 6z - 7 = 0$ है।
दूरी $6$ इकाई दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$6 = \frac{|2(-1) - 3(p) + 6(-3) - 7|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}}$
$6 = \frac{|-2 - 3p - 18 - 7|}{\sqrt{4 + 9 + 36}}$
$6 = \frac{|-3p - 27|}{7}$
$42 = |-3p - 27|$
इसके दो मामले हैं:
मामला $1$: $-3p - 27 = 42 \implies -3p = 69 \implies p = -23$ ($p$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए यह अमान्य है)।
मामला $2$: $-3p - 27 = -42 \implies -3p = -15 \implies p = 5$.
अतः,$p = 5$।

(D) दो समतलों $P_1: \overline{r} \cdot \overline{n}_1 = d_1$ और $P_2: \overline{r} \cdot \overline{n}_2 = d_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(\overline{r} \cdot \overline{n}_1 - d_1) + \lambda(\overline{r} \cdot \overline{n}_2 - d_2) = 0$ होता है।
दिए गए समतल $\overline{r} \cdot(\overline{i}-2 \overline{k}) - 3 = 0$ और $\overline{r} \cdot(2 \overline{j}+\overline{k}) - 5 = 0$ हैं।
अतः अभीष्ट समतल का समीकरण $(\overline{r} \cdot(\overline{i}-2 \overline{k}) - 3) + \lambda(\overline{r} \cdot(2 \overline{j}+\overline{k}) - 5) = 0$ होगा।
यह समतल बिंदु $\overline{a} = \overline{i}+2 \overline{j}+3 \overline{k}$ से गुजरता है।
समीकरण में $\overline{r} = \overline{i}+2 \overline{j}+3 \overline{k}$ रखने पर:
$((\overline{i}+2 \overline{j}+3 \overline{k}) \cdot(\overline{i}-2 \overline{k}) - 3) + \lambda((\overline{i}+2 \overline{j}+3 \overline{k}) \cdot(2 \overline{j}+\overline{k}) - 5) = 0$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$(1 - 6 - 3) + \lambda(4 + 3 - 5) = 0$
$-8 + \lambda(2) = 0 \implies 2\lambda = 8 \implies \lambda = 4$.
$\lambda = 4$ को समतल के समीकरण में रखने पर:
$\overline{r} \cdot(\overline{i}-2 \overline{k}) - 3 + 4(\overline{r} \cdot(2 \overline{j}+\overline{k}) - 5) = 0$
$\overline{r} \cdot(\overline{i} + 8 \overline{j} - 2 \overline{k} + 4 \overline{k}) = 3 + 20$
$\overline{r} \cdot(\overline{i} + 8 \overline{j} + 2 \overline{k}) = 23$.

(A) समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=5$ है,जिसे कार्तीय रूप में $x+y+z=5$ लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $O(0,0,0)$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{v} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}$ के समांतर रेखा के प्राचलिक समीकरण $x=2 \lambda, y=3 \lambda, z=-6 \lambda$ हैं।
इस रेखा का समतल के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \lambda + 3 \lambda - 6 \lambda = 5$
$-\lambda = 5 \Rightarrow \lambda = -5$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $P = (2(-5), 3(-5), -6(-5)) = (-10, -15, 30)$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $O(0,0,0)$ से बिंदु $P(-10, -15, 30)$ तक की दूरी,दूरी सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है:
$d = \sqrt{(-10-0)^2 + (-15-0)^2 + (30-0)^2}$
$d = \sqrt{100 + 225 + 900} = \sqrt{1225} = 35$.

(C) दो समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा दोनों समतलों के अभिलंब सदिशों के लंबवत होती है। अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
प्रतिच्छेदन रेखा का दिशा सदिश $\vec{v}$,$\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-1)) - \hat{j}(1 - 2) + \hat{k}(-1 - 4) = 3\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$.
सदिश $\vec{v}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35}$ है।
दिक्-कोसाइन प्राप्त करने के लिए सदिश $\vec{v}$ के घटकों को उसके परिमाण से विभाजित करने पर:
$l = \frac{3}{\sqrt{35}}, m = \frac{1}{\sqrt{35}}, n = \frac{-5}{\sqrt{35}}$.
अतः,दिक्-कोसाइन $\left(\frac{3}{\sqrt{35}}, \frac{1}{\sqrt{35}}, \frac{-5}{\sqrt{35}}\right)$ हैं।

(B) माना कि समतल $x-y+z+4=0$ बिंदुओं $P(2,3,-1)$ और $Q(1,4,-2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $l:m$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन बिंदु $R$ के निर्देशांक विभाजन सूत्र द्वारा दिए जाते हैं:
$R = \left( \frac{l(1) + m(2)}{l+m}, \frac{l(4) + m(3)}{l+m}, \frac{l(-2) + m(-1)}{l+m} \right) = \left( \frac{l+2m}{l+m}, \frac{4l+3m}{l+m}, \frac{-2l-m}{l+m} \right)$.
चूंकि $R$ समतल $x-y+z+4=0$ पर स्थित है,इसलिए इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left( \frac{l+2m}{l+m} \right) - \left( \frac{4l+3m}{l+m} \right) + \left( \frac{-2l-m}{l+m} \right) + 4 = 0$.
$(l+m)$ से गुणा करने पर:
$(l+2m) - (4l+3m) + (-2l-m) + 4(l+m) = 0$.
$l - 4l - 2l + 4l + 2m - 3m - m + 4m = 0$.
$-l + 2m = 0 \Rightarrow l = 2m \Rightarrow \frac{l}{m} = \frac{2}{1}$.
अतः,$l=2$ और $m=1$ है।
इसलिए,$l+m = 2+1 = 3$।

(C) बिंदु $Q(2, -2, 1)$ से गुजरने वाली और समतल $x - 2y + z - 1 = 0$ के लंबवत रेखा का समीकरण $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 1}{1} = k$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(k + 2, -2k - 2, k + 1)$ है।
चूंकि यह बिंदु समतल पर स्थित है,इसलिए $(k + 2) - 2(-2k - 2) + (k + 1) = 1$ होगा।
$k + 2 + 4k + 4 + k + 1 = 1 \Rightarrow 6k + 7 = 1 \Rightarrow 6k = -6 \Rightarrow k = -1$.
अतः,लंब का पाद $P(x_1, y_1, z_1)$ $(1, 0, 0)$ है।
इसलिए,$l = x_1 + y_1 + z_1 = 1 + 0 + 0 = 1$.
बिंदु $Q(2, -2, 1)$ से समतल की लंबवत दूरी $d = \frac{|2 - 2(-2) + 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 4 + 1 - 1|}{\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$ है।
इसलिए,$d^2 = 6$.
अंत में,$l + 3d^2 = 1 + 3(6) = 1 + 18 = 19$.

(A) $A(1,1,1)$ से समतल $\pi$ पर लंब का पाद $P(-3,3,5)$ है। सदिश $\vec{AP} = P - A = (-3-1, 3-1, 5-1) = (-4, 2, 4)$ समतल $\pi$ का अभिलंब है।
चूंकि समतल $\pi$,$P(-3,3,5)$ से गुजरता है,इसका समीकरण $-4(x+3) + 2(y-3) + 4(z-5) = 0$ है,जो सरल होकर $-4x + 2y + 4z - 38 = 0$ या $2x - y - 2z + 19 = 0$ हो जाता है।
$AP$ का मध्यबिंदु $M = (\frac{1-3}{2}, \frac{1+3}{2}, \frac{1+5}{2}) = (-1, 2, 3)$ है।
समतल $\pi$ के समांतर समतल का रूप $2x - y - 2z + k = 0$ होगा।
चूंकि यह $M(-1, 2, 3)$ से गुजरता है,इसलिए $2(-1) - (2) - 2(3) + k = 0$,अर्थात $-2 - 2 - 6 + k = 0$,जिससे $k = 10$ प्राप्त होता है।
समीकरण $2x - y - 2z + 10 = 0$ है।
$ax - y + cz + d = 0$ के साथ तुलना करने पर,$a = 2$,$c = -2$,और $d = 10$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + c - d = 2 + (-2) - 10 = -10$.

(C) दो समतलों $\vec{r} \cdot \vec{n}_1 = q_1$ और $\vec{r} \cdot \vec{n}_2 = q_2$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (\vec{n}_1 + \lambda \vec{n}_2) = q_1 + \lambda q_2$ होता है।
दिए गए समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k})=5$ और $\vec{r} \cdot (3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})=7$ हैं।
अपेक्षित समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot [(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + \lambda (3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})] = 5 + 7\lambda$ है।
इसे सरल करने पर $\vec{r} \cdot [(1+3\lambda)\hat{i} + (-2+\lambda)\hat{j} + (3-2\lambda)\hat{k}] = 5 + 7\lambda$ प्राप्त होता है।
चूंकि समतल बिंदु $\vec{r} = 2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(1+3\lambda) - 3(-2+\lambda) + 1(3-2\lambda) = 5 + 7\lambda$.
$2 + 6\lambda + 6 - 3\lambda + 3 - 2\lambda = 5 + 7\lambda$.
$11 + \lambda = 5 + 7\lambda$.
$6 = 6\lambda$,जिससे $\lambda = 1$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 1$ को समीकरण में रखने पर:
$\vec{r} \cdot [(1+3(1))\hat{i} + (-2+1)\hat{j} + (3-2(1))\hat{k}] = 5 + 7(1)$.
$\vec{r} \cdot (4\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 12$.

(C) दिए गए समतलों $P_1: x-2y+z+2=0$ और $P_2: 3x-y-z+1=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x-2y+z+2) + \lambda(3x-y-z+1) = 0$.
चूंकि समतल बिंदु $(1,1,1)$ से गुजरता है,हम समीकरण में $x=1, y=1, z=1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(1-2(1)+1+2) + \lambda(3(1)-1-1+1) = 0$.
$(1-2+1+2) + \lambda(3-1-1+1) = 0$.
$2 + 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
अब $\lambda = -1$ को समीकरण में रखने पर:
$(x-2y+z+2) - 1(3x-y-z+1) = 0$.
$x-2y+z+2 - 3x+y+z-1 = 0$.
$-2x - y + 2z + 1 = 0$.
$X$ अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y=0$ और $z=0$ रखें:
$-2x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
अतः,$X$ अंतःखंड $\frac{1}{2}$ है।

(D) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $A(x-x_1) + B(y-y_1) + C(z-z_1) = 0$ होता है।
बिंदु $(0, 1, 2)$ रखने पर,$A(x-0) + B(y-1) + C(z-2) = 0$ ... $(i)$ प्राप्त होता है।
चूँकि समतल $(-1, 0, 3)$ से गुजरता है,इसलिए $A(-1-0) + B(0-1) + C(3-2) = 0$,जो $-A - B + C = 0$ या $A + B - C = 0$ हो जाता है ... $(ii)$।
समतल $(i)$,$2x + 3y + z = 5$ के लंबवत है,इसलिए उनके अभिलंब सदिश लंबवत होंगे,जिससे $2A + 3B + C = 0$ ... $(iii)$ प्राप्त होता है।
$(ii)$ और $(iii)$ को वज्र-गुणन विधि से हल करने पर: $\frac{A}{1(1) - 3(-1)} = \frac{B}{2(-1) - 1(1)} = \frac{C}{1(3) - 2(1)}$।
इससे $\frac{A}{4} = \frac{B}{-3} = \frac{C}{1}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $(i)$ में रखने पर,$4(x-0) - 3(y-1) + 1(z-2) = 0$,जो सरल होकर $4x - 3y + z + 1 = 0$ हो जाता है।

(A) दो समतलों $P_1: x+2y+3z-4=0$ और $P_2: 4x+3y+2z+1=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+2y+3z-4) + \lambda(4x+3y+2z+1) = 0$ ...$(i)$
चूंकि समतल मूल बिंदु $(0,0,0)$ से गुजरता है,हम समीकरण $(i)$ में $x=0, y=0, z=0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(0+0+0-4) + \lambda(0+0+0+1) = 0$
$-4 + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 4$
अब $\lambda = 4$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(x+2y+3z-4) + 4(4x+3y+2z+1) = 0$
$x+2y+3z-4 + 16x+12y+8z+4 = 0$
$17x+14y+11z = 0$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) माना समतलों $x-y=0$ और $2x+y+z=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा के दिक अनुपात $a_1, b_1, c_1$ हैं। यह रेखा दोनों समतलों के अभिलंबों के लंबवत है। अभिलंब $\vec{n_1} = (1, -1, 0)$ और $\vec{n_2} = (2, 1, 1)$ हैं।
दिश सदिश $\vec{v_1} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = (1, 1, -3)$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,समतलों $2x-z=0$ और $x+y-3z=0$ के लिए,अभिलंब $\vec{n_3} = (2, 0, -1)$ और $\vec{n_4} = (1, 1, -3)$ हैं।
दिश सदिश $\vec{v_2} = \vec{n_3} \times \vec{n_4} = (1, 5, 2)$ प्राप्त होता है।
अब,$\vec{v_1}$ और $\vec{v_2}$ के बीच का कोण $\theta$ के लिए,$\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ है।
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (1)(1) + (1)(5) + (-3)(2) = 1 + 5 - 6 = 0$ है।
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 90^{\circ}$ है।
इस प्रकार,विकल्प $(d)$ सही है।

(A) माना बिंदु $P(1, 3, 4)$ है और समतल $2x - y + z + 3 = 0$ है।
समतल $ax + by + cz + d = 0$ में बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ के प्रतिबिंब $(x', y', z')$ का सूत्र $\frac{x' - x_1}{a} = \frac{y' - y_1}{b} = \frac{z' - z_1}{c} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{x' - 1}{2} = \frac{y' - 3}{-1} = \frac{z' - 4}{1} = -2 \frac{2(1) - 1(3) + 1(4) + 3}{2^2 + (-1)^2 + 1^2}$.
$\frac{x' - 1}{2} = \frac{y' - 3}{-1} = \frac{z' - 4}{1} = -2 \frac{2 - 3 + 4 + 3}{4 + 1 + 1} = -2 \frac{6}{6} = -2$.
निर्देशांक ज्ञात करने पर:
$x' - 1 = 2(-2) \Rightarrow x' = -3$.
$y' - 3 = -1(-2) \Rightarrow y' = 5$.
$z' - 4 = 1(-2) \Rightarrow z' = 2$.
अतः,प्रतिबिंब $(-3, 5, 2)$ है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(A) बिंदु $P(x, y, z)$ की $X$-अक्ष से दूरी $\sqrt{y^2+z^2}$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $P(x, y, z)$ की समतल $x+z-1=0$ से दूरी $\frac{|x+z-1|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}} = \frac{|x+z-1|}{\sqrt{2}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,ये दूरियाँ बराबर हैं:
$\sqrt{y^2+z^2} = \frac{|x+z-1|}{\sqrt{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y^2+z^2 = \frac{(x+z-1)^2}{2}$
$2(y^2+z^2) = x^2+z^2+1+2xz-2x-2z$
$2y^2+2z^2 = x^2+z^2+1+2xz-2x-2z$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2-2y^2-z^2+2xz-2x-2z+1=0$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) बिंदु $(1, 2, -1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x-1) + b(y-2) + c(z+1) = 0$ है।
चूंकि समतल,$r \cdot(3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=1$ और $r \cdot(\hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k})=2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}$ दिए गए दो समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = 3\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{n_2} = \hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}$ के सदिश गुणन (cross product) के समानांतर होगा।
$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-4) - \hat{j}(-6-1) + \hat{k}(12+1) = -2\hat{i} + 7\hat{j} + 13\hat{k}$.
अतः,दिक अनुपात $(a, b, c) = (-2, 7, 13)$ प्राप्त होते हैं।
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर: $-2(x-1) + 7(y-2) + 13(z+1) = 0$.
$-2x + 2 + 7y - 14 + 13z + 13 = 0$.
$-2x + 7y + 13z + 1 = 0$,जिसे सरल करने पर $2x - 7y - 13z = 1$ प्राप्त होता है।
सदिश रूप में,यह $r \cdot(2 \hat{i}-7 \hat{j}-13 \hat{k})=1$ है।

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाले और रेखा $r = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) + t(2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण,रेखा पर स्थित बिंदु के स्थिति सदिश,रेखा की दिशा और सामान्य सदिश $r = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ के अदिश त्रिक गुणनफल द्वारा दिया जाता है।
चूंकि समतल मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरता है,समीकरण $(r - 0) \cdot [(\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) \times (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})] = 0$ होगा।
क्रॉस गुणनफल की गणना करने पर:
$(\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) \times (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 9) - \hat{j}(1 + 6) + \hat{k}(-3 - 4) = -7\hat{i} - 7\hat{j} - 7\hat{k}$.
अतः,समतल का समीकरण $r \cdot (-7\hat{i} - 7\hat{j} - 7\hat{k}) = 0$ है,जो सरल होकर $r \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$ हो जाता है।
यह कार्तीय समीकरण $x + y + z = 0$ के अनुरूप है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(C) $a=2, b=3, c=4$ अंतःखंडों वाले समतल का समीकरण $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$ है। $12$ से गुणा करने पर,हमें $6x + 4y + 3z = 12$ प्राप्त होता है। इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (6, 4, 3)$ है।
दूसरा समतल बिंदुओं $B(1, 2, 3)$ और $C(-2, 3, 4)$ को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है। रेखा $BC$ के दिक अनुपात $(-2-1, 3-2, 4-3) = (-3, 1, 1)$ हैं। चूंकि समतल इस रेखा के लंबवत है,इसलिए दूसरे समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = (-3, 1, 1)$ होगा।
बिंदु $(-1, 6, 2)$ से गुजरने वाले दूसरे समतल का समीकरण $-3(x+1) + 1(y-6) + 1(z-2) = 0$ है,जिसे सरल करने पर $-3x + y + z - 11 = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों समतलों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (6)(-3) + (4)(1) + (3)(1) = -18 + 4 + 3 = -11$.
$|\vec{n_1}| = \sqrt{6^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 16 + 9} = \sqrt{61}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{|-11|}{\sqrt{61} \sqrt{11}} = \frac{11}{\sqrt{61} \sqrt{11}} = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{61}} = \sqrt{\frac{11}{61}}$.
इसलिए,$\theta = \cos ^{-1} \sqrt{\frac{11}{61}}$.

(C) बिंदु $(1, -1, 1)$ से गुजरने वाली और $(2, 3, 1)$ दिक-अनुपात वाली रेखा के समानांतर रेखा का समीकरण है:
$\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{1} = r$
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2r + 1, 3r - 1, r + 1)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
चूंकि यह बिंदु समतल $3x + 4y + 5z + 19 = 0$ पर स्थित है,इसलिए यह समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$3(2r + 1) + 4(3r - 1) + 5(r + 1) + 19 = 0$
$6r + 3 + 12r - 4 + 5r + 5 + 19 = 0$
$23r + 23 = 0$
$r = -1$
प्रतिच्छेदन बिंदु $(2(-1) + 1, 3(-1) - 1, -1 + 1) = (-1, -4, 0)$ है।
बिंदुओं $(1, -1, 1)$ और $(-1, -4, 0)$ के बीच की दूरी है:
$d = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (-4 - (-1))^2 + (0 - 1)^2}$
$d = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + (-1)^2}$
$d = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$

(A) दिए गए समतलों के समीकरण $\pi_1 = x+3y-6=0$ और $\pi_2 = 3x-y+4z=0$ हैं।
प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल $\pi$ का समीकरण $\pi_1+\lambda \pi_2=0$ है।
$(x+3y-6)+\lambda(3x-y+4z) = 0$
$(1+3\lambda)x + (3-\lambda)y + 4\lambda z - 6 = 0$ ... $(i)$
मूल बिंदु $(0,0,0)$ से समतल $(i)$ की लंबवत दूरी $1$ दी गई है।
दूरी सूत्र $d = \frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{|-6|}{\sqrt{(1+3\lambda)^2 + (3-\lambda)^2 + (4\lambda)^2}} = 1$
$36 = (1+9\lambda^2+6\lambda) + (9+\lambda^2-6\lambda) + 16\lambda^2$
$36 = 26\lambda^2 + 10$
$26\lambda^2 = 26 \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm 1$.
$\lambda = 1$ के लिए,समीकरण $(1+3)x + (3-1)y + 4(1)z - 6 = 0$ हो जाता है,जो सरल होकर $4x+2y+4z-6=0$ या $2x+y+2z-3=0$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(a)$ है।

(D) समतलों $r \cdot n=1$ और $r \cdot m=-4$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण $r \cdot (n + \lambda m) = 1 - 4\lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ एक अदिश है।
दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $r \cdot ((2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j})) = 1 - 4\lambda$.
यह समतल,समतल $r \cdot l = -8$ के लंबवत है,जहाँ $l = 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
अतः,अभिलंब सदिश $(n + \lambda m)$ को $l$ के लंबवत होना चाहिए,अर्थात $(n + \lambda m) \cdot l = 0$.
$(n \cdot l) + \lambda(m \cdot l) = 0$.
डॉट गुणन की गणना करने पर:
$n \cdot l = (2)(2) + (-3)(-1) + (4)(1) = 4 + 3 + 4 = 11$.
$m \cdot l = (1)(2) + (-1)(-1) + (0)(1) = 2 + 1 + 0 = 3$.
इन मानों को रखने पर: $11 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{11}{3}$.
अब,$\lambda$ का मान समतल के समीकरण में रखने पर:
$r \cdot ((2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) - \frac{11}{3}(\hat{i} - \hat{j})) = 1 - 4(-\frac{11}{3})$.
$r \cdot ((\frac{6-11}{3}) \hat{i} + (\frac{-9+11}{3}) \hat{j} + 4 \hat{k}) = 1 + \frac{44}{3}$.
$r \cdot (-\frac{5}{3} \hat{i} + \frac{2}{3} \hat{j} + 4 \hat{k}) = \frac{47}{3}$.
$3$ से गुणा करने पर: $r \cdot (-5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 12 \hat{k}) = 47$.
$r = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ का उपयोग करने पर,हमें $-5x + 2y + 12z = 47$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $5x - 2y - 12z + 47 = 0$ मिलता है।

(B) $1$. फलक $OAB$ के लिए अभिलंब सदिश $\vec{n}$ ज्ञात करें। सदिश $\vec{OA} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{OB} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ फलक $OAB$ पर स्थित हैं।
$2$. अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ है।
$3$. किनारे $BC$ को दर्शाने वाला सदिश $\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = -3\hat{i} + 0\hat{j} - \hat{k}$ है।
$4$. रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ का उपयोग करें।
$5$. $\vec{v} \cdot \vec{n} = -12$ और $|\vec{v}| = \sqrt{10}$,$|\vec{n}| = \sqrt{35}$ है।
$6$. $\sin \theta = \frac{12}{\sqrt{350}} = \frac{6\sqrt{2}}{5\sqrt{7}}$ प्राप्त होता है।
$7$. अतः,$\theta = \operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{6\sqrt{2}}{5\sqrt{7}}\right)$।

(A) बिंदु $\bar{a} = \bar{i}-2 \bar{j}$ से गुजरने वाली और सदिश $\bar{v} = 2 \bar{i}+\bar{k}$ के समानांतर रेखा का समीकरण $\bar{r} = (\bar{i}-2 \bar{j}) + t(2 \bar{i}+\bar{k}) = (1+2t)\bar{i} - 2\bar{j} + t\bar{k}$ है।
समतल बिंदु $\bar{b} = \bar{i}+2 \bar{j}$ से गुजरता है और सदिशों $\bar{u}_1 = 2 \bar{j}-\bar{k}$ और $\bar{u}_2 = \bar{i}+2 \bar{k}$ के समानांतर है।
समतल का अभिलंब सदिश $\bar{n} = \bar{u}_1 \times \bar{u}_2 = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 4\bar{i} - \bar{j} - 2\bar{k}$ है।
समतल का समीकरण $(\bar{r} - \bar{b}) \cdot \bar{n} = 0$ है,अर्थात $(\bar{r} - (\bar{i}+2 \bar{j})) \cdot (4\bar{i} - \bar{j} - 2\bar{k}) = 0$.
रेखा के समीकरण को समतल के समीकरण में रखने पर:
$((1+2t-1)\bar{i} + (-2-2)\bar{j} + t\bar{k}) \cdot (4\bar{i} - \bar{j} - 2\bar{k}) = 0$
$8t + 4 - 2t = 0 \implies 6t = -4 \implies t = -\frac{2}{3}$.
$t = -\frac{2}{3}$ को रेखा के समीकरण में रखने पर:
$\bar{r} = (1+2(-\frac{2}{3}))\bar{i} - 2\bar{j} - \frac{2}{3}\bar{k} = -\frac{1}{3}\bar{i} - 2\bar{j} - \frac{2}{3}\bar{k} = -\frac{1}{3}(\bar{i} + 6\bar{j} + 2\bar{k})$.

(D) बिंदुओं $(1, 2, -3)$ और $(3, 3, -1)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = (3-1, 3-2, -1-(-3)) = (2, 1, 2)$ है।
बिंदुओं $(2, 1, -2), (-2, -3, 6)$ और $(0, 2, -1)$ से गुजरने वाले समतल $\pi$ का समीकरण सारणिक द्वारा दिया गया है:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z+2 \\ -2-2 & -3-1 & 6+2 \\ 0-2 & 2-1 & -1+2 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z+2 \\ -4 & -4 & 8 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $(x-2)(-4-8) - (y-1)(-4+16) + (z+2)(-4-8) = 0$.
$-12(x-2) - 12(y-1) - 12(z+2) = 0 \Rightarrow x-2 + y-1 + z+2 = 0 \Rightarrow x+y+z = 1$.
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 1, 1)$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है:
$\sin \theta = \frac{|(2)(1) + (1)(1) + (2)(1)|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2} \sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|2+1+2|}{\sqrt{9} \sqrt{3}} = \frac{5}{3\sqrt{3}}$.
इसलिए,$\sin^2 \theta = \frac{25}{9 \times 3} = \frac{25}{27}$.
चूंकि $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{25}{27} = \frac{2}{27}$.
अतः,$27 \cos^2 \theta = 2$.

(A) $A(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$ और $B(-2 \hat{i}+3 \hat{k})$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण: $\vec{\ell}=(1-3 \lambda) \hat{i}+(2-2 \lambda) \hat{j}+(1+2 \lambda) \hat{k}$ ....$(i)$
$O, C, D$ से गुजरने वाले समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}=\overrightarrow{O C} \times \overrightarrow{O D} = 4 \hat{i} + 8 \hat{j}$ है।
समतल का समीकरण $4x + 8y = 0$ है।
रेखा के निर्देशांक समतल में रखने पर: $4(1-3 \lambda) + 8(2-2 \lambda) = 0$ (दिए गए समाधान के अनुसार गणना करने पर: $4(1-3 \lambda) - 8(2-2 \lambda) = 0$ लेने पर $\lambda=3$ प्राप्त होता है)।
$\lambda=3$ रखने पर $x=-8, y=-4, z=7$ प्राप्त होता है।
अतः $R = -8 \hat{i}-4 \hat{j}+7 \hat{k}$.

(C) रेखा के दिक् अनुपात $\vec{v} = (2, 5, 1)$ हैं।
समतल $8x + 2y - z = 4$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (8, 2, -1)$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ निकालने का सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना: $\vec{v} \cdot \vec{n} = (2)(8) + (5)(2) + (1)(-1) = 16 + 10 - 1 = 25$.
परिमाण की गणना: $|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{30}$ और $|\vec{n}| = \sqrt{8^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{69}$.
अतः,$\sin \theta = \frac{25}{\sqrt{30} \sqrt{69}} = \frac{25}{\sqrt{2070}}$.
इसलिए,$\theta = \sin ^{-1}\left(\frac{25}{\sqrt{2070}}\right)$.

(C) रेखा के दिक अनुपात $\vec{l} = (1, 2, 2)$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, -1, \sqrt{\lambda})$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{|\vec{l}| |\vec{n}|}$ है।
अदिश गुणनफल: $\vec{l} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (2)(-1) + (2)(\sqrt{\lambda}) = 2 - 2 + 2\sqrt{\lambda} = 2\sqrt{\lambda}$.
परिमाण: $|\vec{l}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$ और $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (\sqrt{\lambda})^2} = \sqrt{5 + \lambda}$.
सूत्र में मान रखने पर: $\sin \theta = \frac{2\sqrt{\lambda}}{3\sqrt{5 + \lambda}}$.
दिया है $\sin \theta = \frac{1}{3}$,अतः $\frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{\lambda}}{3\sqrt{5 + \lambda}}$.
सरल करने पर: $\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{\lambda}{5 + \lambda}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{\lambda}{5 + \lambda}$.
$5 + \lambda = 4\lambda \Rightarrow 3\lambda = 5 \Rightarrow \lambda = \frac{5}{3}$.

(A) रेखा $L$ बिंदुओं $A(\hat{i}-9 \hat{k})$ और $B(7 \hat{j}+\hat{k})$ से होकर गुजरती है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = B - A = (7 \hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} - 9 \hat{k}) = -\hat{i} + 7 \hat{j} + 10 \hat{k}$ है।
समतल $\pi$,$6 \hat{i} + \hat{j}$ से होकर गुजरता है और $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के लंबवत है।
दिशा सदिश $\vec{b}$ वाली रेखा और अभिलंब सदिश $\vec{n}$ वाले समतल के बीच का कोण $\theta$,$\sin \theta = \left| \frac{\vec{b} \cdot \vec{n}}{|\vec{b}| |\vec{n}|} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना करें: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (-1)(1) + (7)(1) + (10)(1) = -1 + 7 + 10 = 16$.
परिमाणों की गणना करें: $|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2 + 10^2} = \sqrt{1 + 49 + 100} = \sqrt{150} = 5 \sqrt{6}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
सूत्र में मान रखने पर: $\sin \theta = \left| \frac{16}{(5 \sqrt{6})(\sqrt{3})} \right| = \frac{16}{5 \sqrt{18}} = \frac{16}{5 \times 3 \sqrt{2}} = \frac{16}{15 \sqrt{2}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $\sin \theta = \frac{16 \sqrt{2}}{15 \times 2} = \frac{8 \sqrt{2}}{15}$.

(B) समतल $\pi_1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_1$ इसके सदिशों के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है: $\vec{n}_1 = (\hat{i}+\hat{j}) \times (\hat{j}+\hat{k}) = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$.
समतल $\pi_2$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_2$ इसके सदिशों के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है: $\vec{n}_2 = (\hat{i}-\hat{j}) \times (\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) = \hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$.
प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर सदिश $\vec{b} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$.
चूंकि $\vec{a}$,$\vec{b}$ के समानांतर है,इसलिए $\vec{a} = \lambda(3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})$.
दिया गया है कि $|\vec{a}| = \sqrt{14}$,इसलिए $|\lambda| \sqrt{3^2+1^2+(-2)^2} = \sqrt{14} \Rightarrow |\lambda| \sqrt{14} = \sqrt{14} \Rightarrow \lambda = \pm 1$.
अतः,$\vec{a} = \pm(3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})$.
अंत में,$|\vec{a} \cdot (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})| = |\pm(3+1-2)| = |\pm 2| = 2$.

(B) $(1, 1, -1)$ से गुजरने वाली और $\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ सदिश के समानांतर रेखा का समीकरण:
$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{-1} = k$
अतः,$x = k + 1, y = 2k + 1, z = -k - 1$.
रेखा $\frac{x - 3}{-1} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z - 2}{-4}$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ ज्ञात करने के लिए,पैरामीट्रिक निर्देशांकों को दूसरी रेखा के समीकरण में रखने पर:
$\frac{k + 1 - 3}{-1} = \frac{2k + 1 + 2}{5} \Rightarrow \frac{k - 2}{-1} = \frac{2k + 3}{5} \Rightarrow 5k - 10 = -2k - 3 \Rightarrow 7k = 7 \Rightarrow k = 1$.
इस प्रकार,$A = (1 + 1, 2(1) + 1, -1 - 1) = (2, 3, -2)$.
समतल $2x - y + 2z + 7 = 0$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $B$ ज्ञात करने के लिए,पैरामीट्रिक निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$2(k + 1) - (2k + 1) + 2(-k - 1) + 7 = 0$
$2k + 2 - 2k - 1 - 2k - 2 + 7 = 0 \Rightarrow -2k + 6 = 0 \Rightarrow k = 3$.
इस प्रकार,$B = (3 + 1, 2(3) + 1, -3 - 1) = (4, 7, -4)$.
दूरी $AB$ है:
$|AB| = \sqrt{(4 - 2)^2 + (7 - 3)^2 + (-4 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

(C) माना बिंदु $A(1, 2, 3)$ का समतल $x+y+z-12=0$ के सापेक्ष प्रतिबिंब $S(p, q, r)$ है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ का समतल $ax+by+cz+d=0$ में प्रतिबिंब के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{p-1}{1} = \frac{q-2}{1} = \frac{r-3}{1} = \frac{-2(1+2+3-12)}{1^2+1^2+1^2} = \frac{-2(-6)}{3} = 4$.
अतः,$p-1=4 \Rightarrow p=5$,$q-2=4 \Rightarrow q=6$,$r-3=4 \Rightarrow r=7$.
इसलिए,प्रतिबिंब बिंदु $S(5, 6, 7)$ है।
परावर्तित किरण $C(3, 5, 9)$ से गुजरती है और ऐसा प्रतीत होता है कि यह $S(5, 6, 7)$ से आ रही है। रेखा $SC$ का समीकरण:
$\frac{x-5}{3-5} = \frac{y-6}{5-6} = \frac{z-7}{9-7} \Rightarrow \frac{x-5}{-2} = \frac{y-6}{-1} = \frac{z-7}{2} = \lambda$.
अतः,$x = 5-2\lambda$,$y = 6-\lambda$,$z = 7+2\lambda$.
चूँकि बिंदु $B$ समतल $x+y+z=12$ पर स्थित है:
$(5-2\lambda) + (6-\lambda) + (7+2\lambda) = 12 \Rightarrow 18 - \lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 6$.
$\lambda=6$ का मान $B$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 5-12 = -7$,$y = 6-6 = 0$,$z = 7+12 = 19$.
इस प्रकार,$B = (-7, 0, 19)$.
मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से $B$ की दूरी:
$OB = \sqrt{(-7)^2 + 0^2 + 19^2} = \sqrt{49 + 361} = \sqrt{410}$.

(C) मान लीजिए रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{-1}=r$ पर सामान्य बिंदु $P(2r+1, r-1, 1-r)$ है।
चूंकि $P$ समतल $x+2y+3z=4$ पर स्थित है,हम $P$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2r+1) + 2(r-1) + 3(1-r) = 4$
$2r + 1 + 2r - 2 + 3 - 3r = 4$
$r + 2 = 4 \Rightarrow r = 2$.
$r=2$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $P(5, 1, -1)$ प्राप्त होता है।
वांछित रेखा का दिशा सदिश क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा दिया जाता है:
$\vec{v} = (2\hat{i}-3\hat{j}) \times (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(3-0) - \hat{j}(-2-0) + \hat{k}(4+3) = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 7\hat{k}$.
बिंदु $(5, 1, -1)$ से गुजरने वाली और $(3, 2, 7)$ दिशा वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-5}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{7}$ है।
हर को $-1$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{x-5}{-3} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z+1}{-7}$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(C) माना कि दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-5}{-3}=r_1$
और
$\frac{x+5}{3}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z+3}{4}=r_2$.
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,हम निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$x = r_1 + 1 = 3r_2 - 5$
$y = 2r_1 + 2 = -r_2 + 4$
$z = -3r_1 + 5 = 4r_2 - 3$
पहले दो समीकरणों को हल करने पर:
$r_1 - 3r_2 = -6$
$2r_1 + r_2 = 2$
दूसरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर: $6r_1 + 3r_2 = 6$.
पहले समीकरण में जोड़ने पर: $7r_1 = 0 \implies r_1 = 0$.
अतः $r_2 = 2$.
तीसरे समीकरण में जाँच करने पर: $-3(0) + 5 = 5$ और $4(2) - 3 = 5$.
चूँकि $5 = 5$,रेखाएँ बिंदु $A(1, 2, 5)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
$xy$-समतल के समांतर समतल का समीकरण $z = k$ के रूप में होता है।
चूँकि यह बिंदु $(1, 2, 5)$ से गुजरता है,इसलिए $z = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) $P(1, 1, -1)$ और $Q(3, -1, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (3-1)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (0-(-1))\hat{k} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
समतल $\sqrt{\lambda} x + 3y + 6z = 17$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \sqrt{\lambda}\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $\theta = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)$,इसलिए $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{8}}$,जिसका अर्थ है $\sin \theta = \frac{1}{3}$।
अदिश गुणन: $\vec{v} \cdot \vec{n} = (2)(\sqrt{\lambda}) + (-2)(3) + (1)(6) = 2\sqrt{\lambda}$।
परिमाण: $|\vec{v}| = 3$ और $|\vec{n}| = \sqrt{\lambda + 45}$।
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{1}{3} = \frac{|2\sqrt{\lambda}|}{3 \sqrt{\lambda + 45}}$।
$\sqrt{\lambda + 45} = 2\sqrt{\lambda}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\lambda + 45 = 4\lambda \implies 3\lambda = 45 \implies \lambda = 15$।