Line and Plane Questions in Hindi

(D) दो दिए गए समतल परस्पर लंबवत हैं,इसलिए उनके अभिलंबों का अदिश गुणनफल शून्य है:
$2(3k) + k(-k) + (-5)(1) = 0$
$6k - k^2 - 5 = 0 \Rightarrow k^2 - 6k + 5 = 0$
$(k - 1)(k - 5) = 0 \Rightarrow k = 1$ या $k = 5$.
दिया गया है कि $k < 3$,इसलिए हम $k = 1$ लेते हैं।
दो समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण:
$(2x + y - 5z - 1) + \lambda(3x - y + z - 5) = 0$
$(2 + 3\lambda)x + (1 - \lambda)y + (-5 + \lambda)z = 1 + 5\lambda$.
$x$-अक्ष पर अंतःखंड $1$ है,इसलिए $y = 0$ और $z = 0$ रखने पर:
$\frac{1 + 5\lambda}{2 + 3\lambda} = 1 \Rightarrow 1 + 5\lambda = 2 + 3\lambda \Rightarrow 2\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
$y$-अक्ष पर अंतःखंड प्राप्त करने के लिए $x = 0$ और $z = 0$ रखने पर:
$(1 - \lambda)y = 1 + 5\lambda \Rightarrow y = \frac{1 + 5(1/2)}{1 - 1/2} = \frac{1 + 2.5}{0.5} = \frac{3.5}{0.5} = 7$.

(C) समतल रेखा $\frac{x-4}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{1}$ को समाहित करता है,जो $(4, -1, 0)$ से गुजरती है और जिसका दिशा सदिश $\vec{v_1} = \langle 1, -2, 1 \rangle$ है।
समतल $4ax-y+5z-7a=0$ और $2x-5y-z-3=0$ द्वारा परिभाषित रेखा को भी समाहित करता है।
इन दो समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों का परिवार $(4ax-y+5z-7a) + \lambda(2x-5y-z-3) = 0$ है।
चूंकि बिंदु $(4, -1, 0)$ समतल पर स्थित है,इसलिए $(16a+1-7a) + \lambda(8+5-3) = 0$,जो $9a + 10\lambda + 1 = 0$ (समीकरण $1$) में सरल होता है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \langle 4a+2\lambda, -1-5\lambda, 5-\lambda \rangle$ है। चूंकि रेखा $\vec{v_1}$ समतल में स्थित है,$\vec{n} \cdot \vec{v_1} = 0$,इसलिए $(4a+2\lambda) - 2(-1-5\lambda) + (5-\lambda) = 0$,जो $4a + 11\lambda + 7 = 0$ (समीकरण $2$) में सरल होता है।
समीकरण $1$ और $2$ को हल करने पर $a=1$ और $\lambda=-1$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण: $(4x-y+5z-7) - (2x-5y-z-3) = 0$,अर्थात $2x+4y+6z-4=0$ या $x+2y+3z-2=0$ है।
रेखा $\frac{x-3}{7}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{-4}=t$ पर कोई भी बिंदु $(7t+3, -t+2, -4t+3)$ है।
समतल के समीकरण में मान रखने पर: $(7t+3) + 2(-t+2) + 3(-4t+3) - 2 = 0$,जो $7t+3-2t+4-12t+9-2=0$ देता है,इसलिए $-7t+14=0$,जिसका अर्थ है $t=2$।
बिंदु $P$ $(17, 0, -5)$ है।
अतः,$\alpha+\beta+\gamma = 17+0-5 = 12$।

(D) दो रेखाओं के समतलीय होने के लिए,रेखाओं पर स्थित बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और दिशा सदिशों का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$L_1$ पर बिंदु $A(1, 2, 3)$ और $L_2$ पर बिंदु $B(-26, -18, -28)$ दिए गए हैं।
सदिश $\vec{AB} = (-27, -20, -31)$ है।
समतलीयता की शर्त $\begin{vmatrix} -27 & -20 & -31 \\ \lambda & 1 & 2 \\ -2 & 3 & \lambda \end{vmatrix} = 0$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर: $-27(\lambda - 6) + 20(\lambda^2 + 4) - 31(3\lambda + 2) = 0$.
$-27\lambda + 162 + 20\lambda^2 + 80 - 93\lambda - 62 = 0 \Rightarrow 20\lambda^2 - 120\lambda + 180 = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 6\lambda + 9 = 0 \Rightarrow (\lambda - 3)^2 = 0$.
अतः,$\lambda = 3$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दिशा सदिशों $\vec{v_1} = (3, 1, 2)$ और $\vec{v_2} = (-2, 3, 3)$ का क्रॉस गुणनफल है।
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ -2 & 3 & 3 \end{vmatrix} = -3\hat{i} - 13\hat{j} + 11\hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $-3(x-1) - 13(y-2) + 11(z-3) = 0 \Rightarrow 3x + 13y - 11z + 4 = 0$ है।
बिंदुओं की जाँच करने पर:
$(0, 4, 5)$ के लिए: $3(0) + 13(4) - 11(5) + 4 = 52 - 55 + 4 = 1 \neq 0$ है।
अतः,बिंदु $(0, 4, 5)$ समतल $P$ पर स्थित नहीं है।

(B) माना वृत्त पर एक बिंदु $P(\cos \theta, \sin \theta, 0)$ है।
माना $P$ से समतल $2x + 3y + z = 6$ पर लंब का पाद $Q(h, k, w)$ है।
रेखा $PQ$ समतल के लंबवत है,इसलिए इसके दिक अनुपात समतल के अभिलंब $(2, 3, 1)$ के समानुपाती हैं।
अतः,$\frac{h - \cos \theta}{2} = \frac{k - \sin \theta}{3} = \frac{w - 0}{1} = \lambda$ है।
चूँकि $Q(h, k, w)$ समतल $2x + 3y + z = 6$ पर स्थित है,इसलिए $2h + 3k + w = 6$ है।
$h = \cos \theta + 2\lambda$,$k = \sin \theta + 3\lambda$,और $w = \lambda$ को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(\cos \theta + 2\lambda) + 3(\sin \theta + 3\lambda) + \lambda = 6$
$2\cos \theta + 3\sin \theta + 14\lambda = 6 \implies \lambda = \frac{6 - 2\cos \theta - 3\sin \theta}{14}$ प्राप्त होता है।
तब $h = \cos \theta + 2\left(\frac{6 - 2\cos \theta - 3\sin \theta}{14}\right) = \frac{10\cos \theta - 6\sin \theta + 12}{14}$ है।
$k = \sin \theta + 3\left(\frac{6 - 2\cos \theta - 3\sin \theta}{14}\right) = \frac{5\sin \theta - 6\cos \theta + 18}{14}$ है।
इसे सरल करने पर $5h + 6k = \cos \theta + 12 \implies \cos \theta = 5h + 6k - 12$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$3h + 5k = \frac{\sin \theta}{2} + 9 \implies \sin \theta = 2(3h + 5k - 9)$ प्राप्त होता है।
$\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $(5h + 6k - 12)^{2} + 4(3h + 5k - 9)^{2} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) समचतुर्भुज $PRQS$ में,विकर्ण $PQ$ और $RS$ एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
विकर्ण $PQ$ के दिक्-अनुपात $(x_Q - x_P, y_Q - y_P, z_Q - z_P) = \left(\frac{56}{17} + 2, \frac{43}{17} + 1, \frac{111}{17} - 1\right) = \left(\frac{90}{17}, \frac{60}{17}, \frac{94}{17}\right)$ हैं।
चूँकि $PQ \perp RS$,उनके दिक्-अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए $RS$ के दिक्-अनुपात $(\alpha, -1, \beta)$ हैं। अतः,$\frac{90}{17}(\alpha) + \frac{60}{17}(-1) + \frac{94}{17}(\beta) = 0$ है।
$17$ से गुणा करने पर,हमें $90\alpha - 60 + 94\beta = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $90\alpha + 94\beta = 60$ या $45\alpha + 47\beta = 30$ हो जाता है।
हमें $45\alpha + 47\beta = 30$ को संतुष्ट करने वाले न्यूनतम निरपेक्ष मान वाले पूर्णांक $\alpha$ और $\beta$ ज्ञात करने हैं।
मान रखने पर: यदि $\alpha = -15$ है,तो $47\beta = 30 - 45(-15) = 30 + 675 = 705$। अतः,$\beta = \frac{705}{47} = 15$ है।
इस प्रकार,$\alpha^2 + \beta^2 = (-15)^2 + 15^2 = 225 + 225 = 450$।

(B) समतल का समीकरण $x + 2y + z = 14$ है।
बिंदु $P(1, 2, 3)$ से समतल पर लंब $PQ$ की लंबाई इस प्रकार है:
$PQ = \left| \frac{1(1) + 2(2) + 1(3) - 14}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2}} \right| = \left| \frac{1 + 4 + 3 - 14}{\sqrt{6}} \right| = \left| \frac{-6}{\sqrt{6}} \right| = \sqrt{6}$.
समकोण त्रिभुज $\triangle PQR$ में,जहाँ $\angle PQR = 90^{\circ}$ और $\angle PRQ = 60^{\circ}$ है,हमारे पास है:
$QR = PQ \cot(60^{\circ}) = \sqrt{6} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$.
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times PQ \times QR = \frac{1}{2} \times \sqrt{6} \times \sqrt{2} = \frac{1}{2} \times \sqrt{12} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

(B) दिया गया समतल $P: 2x + my + nz = 4$ है और बिंदु $A(-1, 4, 3)$ से लंब का पाद $B\left(-2, \frac{7}{2}, \frac{3}{2}\right)$ है।
चूँकि $B$ समतल पर स्थित है,इसलिए $2(-2) + m(\frac{7}{2}) + n(\frac{3}{2}) = 4$,जो सरल होकर $7m + 3n = 16$ देता है। $(1)$
साथ ही,सदिश $\vec{AB} = B - A = (-2 - (-1), \frac{7}{2} - 4, \frac{3}{2} - 3) = (-1, -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, m, n)$ है। चूँकि $\vec{AB}$,$\vec{n}$ के समांतर है,इसलिए $\frac{2}{-1} = \frac{m}{-1/2} = \frac{n}{-3/2} = k$ है।
अतः,$k = -2$,जिससे $m = (-1/2)(-2) = 1$ और $n = (-3/2)(-2) = 3$ प्राप्त होता है।
हमें बिंदु $A$ की समतल $P$ से $3, -1, -4$ दिक-अनुपात वाली रेखा के समांतर दूरी ज्ञात करनी है। मान लीजिए यह रेखा $L$ है। बिंदु $A(-1, 4, 3)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x+1}{3} = \frac{y-4}{-1} = \frac{z-3}{-4} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $C$,$(3\lambda - 1, -\lambda + 4, -4\lambda + 3)$ है।
चूँकि $C$ समतल $2x + y + 3z = 4$ पर स्थित है,हम $C$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(3\lambda - 1) + 1(-\lambda + 4) + 3(-4\lambda + 3) = 4$
$6\lambda - 2 - \lambda + 4 - 12\lambda + 9 = 4$
$-7\lambda + 11 = 4 \Rightarrow -7\lambda = -7 \Rightarrow \lambda = 1$।
अतः,बिंदु $C$,$(3(1) - 1, -1 + 4, -4(1) + 3) = (2, 3, -1)$ है।
दूरी $AC = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - 4)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26}$।

(B) दिया गया है कि $(a, -4a, -7)$ दिक-अनुपात वाली रेखा $(3, -1, 2b)$ के लंबवत है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य है: $3a + 4a - 14b = 0 \implies 7a = 14b \implies a = 2b$ $(i)$.
यह $(b, a, -2)$ के भी लंबवत है,इसलिए $ab - 4a^2 + 14 = 0$ $(ii)$.
$a = 2b$ को $(ii)$ में रखने पर: $b(2b) - 4(2b)^2 + 14 = 0 \implies 2b^2 - 16b^2 + 14 = 0 \implies -14b^2 = -14 \implies b^2 = 1$.
अतः,$a^2 = (2b)^2 = 4b^2 = 4$.
रेखा का समीकरण $\frac{x+1}{4+1} = \frac{y-2}{4-1} = \frac{z}{1} = k$ हो जाता है,अर्थात $\frac{x+1}{5} = \frac{y-2}{3} = \frac{z}{1} = k$.
इससे $\alpha = 5k - 1, \beta = 3k + 2, \gamma = k$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(\alpha, \beta, \gamma)$ समतल $x - y + z = 0$ पर स्थित है,इसलिए $(5k - 1) - (3k + 2) + k = 0 \implies 3k - 3 = 0 \implies k = 1$.
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = (5k - 1) + (3k + 2) + k = 9k + 1 = 9(1) + 1 = 10$.

(C) बिंदु $P(-1, 9, -16)$ से गुजरने वाली और दी गई रेखा $\frac{x+4}{3} = \frac{y-2}{-4} = \frac{z-3}{12}$ के समांतर रेखा का समीकरण $\frac{x+1}{3} = \frac{y-9}{-4} = \frac{z+16}{12} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(3\lambda - 1, -4\lambda + 9, 12\lambda - 16)$ है।
चूंकि यह बिंदु समतल $2x + 3y - z = 5$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(3\lambda - 1) + 3(-4\lambda + 9) - (12\lambda - 16) = 5$.
$6\lambda - 2 - 12\lambda + 27 - 12\lambda + 16 = 5$.
$-18\lambda + 41 = 5$.
$-18\lambda = -36$,इसलिए $\lambda = 2$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(3(2) - 1, -4(2) + 9, 12(2) - 16) = (5, 1, 8)$ है।
$(-1, 9, -16)$ और $(5, 1, 8)$ के बीच की दूरी $\sqrt{(5 - (-1))^2 + (1 - 9)^2 + (8 - (-16))^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2 + 24^2} = \sqrt{36 + 64 + 576} = \sqrt{676} = 26$ है।

(D) $P_1$ और $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण $P_1 + kP_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x + (\lambda+4)y + z - 1) + k(2x + y + z - 2) = 0$ $(1)$
चूंकि समतल $(0, 1, 0)$ से गुजरता है:
$(0 + (\lambda+4)(1) + 0 - 1) + k(0 + 1 + 0 - 2) = 0$
$\lambda + 3 - k = 0 \implies k = \lambda + 3$
चूंकि समतल $(1, 0, 1)$ से गुजरता है:
$(1 + 0 + 1 - 1) + k(2 + 0 + 1 - 2) = 0$
$1 + k = 0 \implies k = -1$
$k$ के मानों की तुलना करने पर:
$\lambda + 3 = -1 \implies \lambda = -4$
अब,बिंदु $(2\lambda, \lambda, -\lambda) = (-8, -4, 4)$ है।
बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ होती है।
समतल $P_2: 2x + y + z - 2 = 0$ और बिंदु $(-8, -4, 4)$ के लिए:
$d = \frac{|2(-8) + 1(-4) + 1(4) - 2|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-16 - 4 + 4 - 2|}{\sqrt{6}} = \frac{|-18|}{\sqrt{6}} = \frac{18}{\sqrt{6}} = 3\sqrt{6}$.

(B) रेखा $x-2y-z-5=0$ और $x+y+3z-5=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(x-2y-z-5) + \lambda(x+y+3z-5) = 0$ है,जिसे $(1+\lambda)x + (-2+\lambda)y + (-1+3\lambda)z - (5+5\lambda) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $x+y+2z-7=0=2x+3y+z-2$ के दिक्-अनुपात दोनों समतलों के अभिलंबों के सदिश गुणनफल द्वारा प्राप्त होते हैं:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = -5\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$.
चूंकि समतल इस रेखा के समानांतर है,इसलिए समतल का अभिलंब रेखा की दिशा के लंबवत होना चाहिए:
$(1+\lambda)(-5) + (-2+\lambda)(3) + (-1+3\lambda)(1) = 0$
$-5 - 5\lambda - 6 + 3\lambda - 1 + 3\lambda = 0$
$\lambda - 12 = 0 \Rightarrow \lambda = 12$.
$\lambda = 12$ को समतल के समीकरण में रखने पर:
$13x + 10y + 35z = 65$.
अतः,$a=13, b=10, c=35$ है। बिंदु $(13, 10, 35)$ है।
बिंदु $(13, 10, 35)$ की समतल $2x+2y-z+16=0$ से दूरी:
$d = \frac{|2(13) + 2(10) - 1(35) + 16|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|26 + 20 - 35 + 16|}{3} = \frac{27}{3} = 9$.

(C) $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = 21$ द्वारा दिया जाता है।
आधार $BC = 2\sqrt{21}$ दिया गया है,इसलिए ऊंचाई $h$ ($A$ से रेखा की लंबवत दूरी) $\frac{2 \times 21}{2\sqrt{21}} = \sqrt{21}$ है।
रेखा $\frac{x+\alpha}{5} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+4}{3} = k$ है। दिशा सदिश $\vec{v} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
रेखा पर एक बिंदु $P(-\alpha, 1, -4)$ है। सदिश $\vec{AP} = -\alpha\hat{i} - \hat{j} - (\alpha + 4)\hat{k}$ है।
लंबवत दूरी $h = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ है।
$\vec{AP} \times \vec{v} = (2\alpha + 5)\hat{i} - (2\alpha + 20)\hat{j} + (5 - 2\alpha)\hat{k}$ प्राप्त होता है।
$|\vec{AP} \times \vec{v}|^2 = 12\alpha^2 + 80\alpha + 450$ है।
चूंकि $h^2 = 21$ और $|\vec{v}|^2 = 38$ है,इसलिए $\frac{12\alpha^2 + 80\alpha + 450}{38} = 21$ है।
$12\alpha^2 + 80\alpha - 348 = 0 \Rightarrow 3\alpha^2 + 20\alpha - 87 = 0$ प्राप्त होता है।
$\alpha$ के लिए हल करने पर,$\alpha = 3$ मिलता है,इसलिए $\alpha^2 = 9$।

(C) रेखा का समीकरण $\frac{x+10}{1} = \frac{y-8}{-2} = \frac{z}{1}$ है। रेखा पर स्थित बिंदु $(-10, 8, 0)$ है और दिशा अनुपात $(1, -2, 1)$ हैं।
चूंकि समतल $ax + by + 3z = 2(a+b)$ बिंदु $(-10, 8, 0)$ को समाहित करता है,इसलिए $a(-10) + b(8) + 3(0) = 2a + 2b$,जो सरल होकर $-10a + 8b = 2a + 2b$ अर्थात $6b = 12a$ या $b = 2a$ देता है।
समतल का अभिलंब $(a, b, 3)$ रेखा की दिशा $(1, -2, 1)$ के लंबवत है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य है: $a(1) + b(-2) + 3(1) = 0$,अतः $a - 2b + 3 = 0$ है।
$b = 2a$ को $a - 2b + 3 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर,$a - 2(2a) + 3 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $a = 1$ और $b = 2$ मिलता है।
समतल का समीकरण $x + 2y + 3z = 6$ या $x + 2y + 3z - 6 = 0$ है।
बिंदु $(1, 27, 7)$ से समतल की दूरी $c = \frac{|1(1) + 2(27) + 3(7) - 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{|1 + 54 + 21 - 6|}{\sqrt{14}} = \frac{70}{\sqrt{14}} = 5\sqrt{14}$ है।
अतः,$c^2 = 25 \times 14 = 350$ है।
अंत में,$a^2 + b^2 + c^2 = 1^2 + 2^2 + 350 = 1 + 4 + 350 = 355$ है।

(A) दिए गए बिंदु $A(a, -2, 4)$ और $B(2, b, -3)$ हैं।
बिंदु $C$,$AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$C$ के निर्देशांक:
$C = \left( \frac{2(2) + 1(a)}{2+1}, \frac{2(b) + 1(-2)}{2+1}, \frac{2(-3) + 1(4)}{2+1} \right) = \left( \frac{a+4}{3}, \frac{2b-2}{3}, \frac{-2}{3} \right)$.
चूंकि $C$ समतल $2x - y + z = 4$ पर स्थित है:
$2\left( \frac{a+4}{3} \right) - \left( \frac{2b-2}{3} \right) + \left( \frac{-2}{3} \right) = 4$
$2a + 8 - 2b + 2 - 2 = 12 \Rightarrow 2a - 2b = 4 \Rightarrow a - b = 2 \Rightarrow a = b + 2$.
मूल बिंदु से दूरी $OC = \sqrt{5}$ है,इसलिए $OC^2 = 5$:
$\left( \frac{a+4}{3} \right)^2 + \left( \frac{2b-2}{3} \right)^2 + \left( \frac{-2}{3} \right)^2 = 5$
$(b+2+4)^2 + (2b-2)^2 + 4 = 45$
$(b+6)^2 + (2b-2)^2 = 41$
$5b^2 + 4b - 1 = 0 \Rightarrow (5b - 1)(b + 1) = 0$.
अतः,$b = -1$ या $b = 1/5$। यदि $ab < 0$ है,तो $b = -1$ लेने पर $a = 1$ प्राप्त होता है,जो शर्त को संतुष्ट करता है। $b = 1/5$ लेने पर $ab > 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 1, b = -1$.
$C = \left( \frac{5}{3}, -\frac{4}{3}, -\frac{2}{3} \right)$.
$P = (1 - (-1), -1, 2(-1) - 1) = (2, -1, -3)$.
$CP^2 = \left( 2 - \frac{5}{3} \right)^2 + \left( -1 - (-\frac{4}{3}) \right)^2 + \left( -3 - (-\frac{2}{3}) \right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{49}{9} = \frac{51}{9} = \frac{17}{3}$.

(B) माना पहली रेखा $L_1$ पर बिंदु $(\lambda+1, 2\lambda+2, \lambda-3)$ है।
माना दूसरी रेखा $L_2$ पर बिंदु $(2\mu+a, 3\mu-2, \mu+3)$ है।
चूंकि रेखाएँ बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए निर्देशांक समान होने चाहिए:
$1) \lambda+1 = 2\mu+a$
$2) 2\lambda+2 = 3\mu-2 \Rightarrow 2\lambda = 3\mu-4$
$3) \lambda-3 = \mu+3 \Rightarrow \lambda = \mu+6$
दूसरे समीकरण में $\lambda = \mu+6$ रखने पर:
$2(\mu+6) = 3\mu-4 \Rightarrow 2\mu+12 = 3\mu-4 \Rightarrow \mu = 16$.
अतः $\lambda = 16+6 = 22$.
अब पहले समीकरण का उपयोग करके $a$ ज्ञात करें:
$22+1 = 2(16)+a \Rightarrow 23 = 32+a \Rightarrow a = -9$.
बिंदु $P$ का मान $(23, 46, 19)$ है।
बिंदु $P(23, 46, 19)$ की समतल $z = -9$ से दूरी $|z_P - (-9)| = |19 + 9| = 28$ है।

(A) बिंदुओं $A(1, 2, 3)$,$B(2, 3, 4)$ और $C(1, 5, 7)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-2 & z-3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 4 \end{array}\right| = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $(x-1)(4-3) - (y-2)(4-0) + (z-3)(3-0) = 0$
$\Rightarrow (x-1) - 4(y-2) + 3(z-3) = 0$
$\Rightarrow x - 4y + 3z = 2$
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \langle 1, -4, 3 \rangle$ है। इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \pm \frac{\langle 1, -4, 3 \rangle}{\sqrt{26}}$ है।
चूंकि $\hat{OP}$ समतल के लंबवत एक इकाई सदिश है,$\hat{OP} = \pm \langle \frac{1}{\sqrt{26}}, \frac{-4}{\sqrt{26}}, \frac{3}{\sqrt{26}} \rangle$.
दिक् कोज्याएँ $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ हैं। $\beta \in (0, \frac{\pi}{2})$ दिया गया है,इसलिए $\cos \beta > 0$ होना चाहिए।
अतः,$\cos \beta = \frac{4}{\sqrt{26}}$। इसका अर्थ है कि $\hat{OP} = \langle -\frac{1}{\sqrt{26}}, \frac{4}{\sqrt{26}}, -\frac{3}{\sqrt{26}} \rangle$.
इस प्रकार,$\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{26}} < 0 \Rightarrow \alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ और $\cos \gamma = -\frac{3}{\sqrt{26}} < 0 \Rightarrow \gamma \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$।

(D) समतलों $P_1$ और $P_2$ के अभिलंब सदिश क्रमशः $\vec{n}_1 = 3 \hat{i} - 5 \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = \lambda \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}$ हैं।
दिया गया कोण $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{6}}{5}\right)$,इसलिए $\sin \theta = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$.
अतः,$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{24}{25}} = \frac{1}{5}$.
दो समतलों के बीच का कोण $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec{n}_1| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + 1^2} = \sqrt{35}$.
$|\vec{n}_2| = \sqrt{\lambda^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{\lambda^2 + 10}$.
$\frac{1}{5} = \frac{|3\lambda - 8|}{\sqrt{35} \sqrt{\lambda^2 + 10}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{25} = \frac{(3\lambda - 8)^2}{35(\lambda^2 + 10)} \Rightarrow 38\lambda^2 - 240\lambda + 250 = 0 \Rightarrow 19\lambda^2 - 120\lambda + 125 = 0$.
$(19\lambda - 25)(\lambda - 5) = 0$,इसलिए $\lambda_1 = \frac{25}{19}$ और $\lambda_2 = 5$.
बिंदु $(38 \times \frac{25}{19}, 10 \times 5, 2) = (50, 50, 2)$ है।
समतल $P_1$ से लंबवत दूरी $d = \frac{|3(50) - 5(50) + 1(2) - 7|}{\sqrt{35}} = \frac{105}{\sqrt{35}}$.
दूरी का वर्ग $\left(\frac{105}{\sqrt{35}}\right)^2 = \frac{11025}{35} = 315$.

(D) समतल,समतलों $x - 3y + 2z - 1 = 0$ और $4x - y + z = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा के लंबवत है। इस रेखा का दिशा सदिश दोनों समतलों के अभिलंबों के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है: $\vec{n}_1 = (1, -3, 2)$ और $\vec{n}_2 = (4, -1, 1)$।
$\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ 4 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3 + 2) - \hat{j}(1 - 8) + \hat{k}(-1 + 12) = -\hat{i} + 7\hat{j} + 11\hat{k}$।
अतः,अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (-1, 7, 11)$ है।
बिंदु $(1, 1, 2)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $(-1, 7, 11)$ वाले समतल का समीकरण:
$-1(x - 1) + 7(y - 1) + 11(z - 2) = 0$
$-x + 1 + 7y - 7 + 11z - 22 = 0$
$-x + 7y + 11z = 28$।
$Ax + By + Cz = 1$ के रूप में प्राप्त करने के लिए $28$ से भाग देने पर:
$-\frac{1}{28}x + \frac{7}{28}y + \frac{11}{28}z = 1$।
$Ax + By + Cz = 1$ से तुलना करने पर,$A = -\frac{1}{28}$,$B = \frac{7}{28}$,और $C = \frac{11}{28}$ प्राप्त होता है।
अब,$140(C - B + A)$ की गणना करने पर:
$140 \left( \frac{11}{28} - \frac{7}{28} - \frac{1}{28} \right) = 140 \left( \frac{3}{28} \right) = 5 \times 3 = 15$।

(D) दी गई रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{1} = \frac{2y+1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ है।
रेखा के समीकरण को फिर से लिखने पर: $\frac{x-1}{1} = \frac{y+1/2}{1} = \frac{z+1}{-1}$।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ है।
माना बिंदु $A(-1, k, 0), B(2, k, -1), C(1, 1, 2)$ हैं।
समतल में सदिश $\vec{CA} = -2\hat{i} + (k-1)\hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{CB} = \hat{i} + (k-1)\hat{j} - 3\hat{k}$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{CA} \times \vec{CB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & k-1 & -2 \\ 1 & k-1 & -3 \end{vmatrix}$ है।
$\vec{n} = -(k-1)\hat{i} - 8\hat{j} - 3(k-1)\hat{k}$।
चूंकि समतल रेखा के समानांतर है,इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{n}$ रेखा के दिशा सदिश $\vec{v}$ के लंबवत है।
अतः,$\vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow 1(-(k-1)) + 1(-8) - 1(-3(k-1)) = 0$।
$-k + 1 - 8 + 3k - 3 = 0 \Rightarrow 2k - 10 = 0 \Rightarrow k = 5$।
व्यंजक में $k=5$ रखने पर: $\frac{k^2+1}{(k-1)(k-2)} = \frac{5^2+1}{(5-1)(5-2)} = \frac{26}{4 \times 3} = \frac{26}{12} = \frac{13}{6}$।

(A) समतलों $P_1$ और $P_2$ के अभिलंब सदिश क्रमशः $\vec{n}_1 = \hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ और $\vec{n}_2 = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{||\vec{n}_1|| ||\vec{n}_2||}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \theta = \frac{|(1)(2) + (1)(-1) + (2)(1)|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2} \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}} = \frac{|2-1+2|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$.
मान लीजिए $L$ एक रेखा है जो $P_2$ के अभिलंब के साथ $\theta$ कोण बनाती है। रेखा $L$ और समतल $P_2$ के बीच का कोण $\alpha$,रेखा और अभिलंब के बीच के कोण $\theta$ से $\alpha = \frac{\pi}{2} - \theta$ के रूप में संबंधित है।
चूंकि $\theta = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$.
हमें $(\tan^2 \theta)(\cot^2 \alpha)$ की गणना करनी है।
$(\tan^2 \frac{\pi}{3})(\cot^2 \frac{\pi}{6}) = ((\sqrt{3})^2)((\sqrt{3})^2) = (3)(3) = 9$.

(A) रेखा $L$ पर कोई भी बिंदु $(2\lambda+1, -\lambda-1, \lambda+3)$ के रूप में होता है।
इसे समतल के समीकरण $2x+y+3z=16$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(2\lambda+1) + (-\lambda-1) + 3(\lambda+3) = 16$
$4\lambda + 2 - \lambda - 1 + 3\lambda + 9 = 16$
$6\lambda + 10 = 16 \Rightarrow 6\lambda = 6 \Rightarrow \lambda = 1$.
अतः,बिंदु $P = (3, -2, 4)$.
बिंदु $R(1, -1, -3)$ से रेखा $L$ पर लंब के पाद $Q$ के लिए,माना $Q = (2\mu+1, -\mu-1, \mu+3)$.
सदिश $\vec{RQ} = (2\mu, -\mu, \mu+6)$ है। चूंकि $\vec{RQ}$ रेखा $L$ की दिशा $\vec{v} = \langle 2, -1, 1 \rangle$ के लंबवत है:
$2(2\mu) - 1(-\mu) + 1(\mu+6) = 0$
$4\mu + \mu + \mu + 6 = 0 \Rightarrow 6\mu = -6 \Rightarrow \mu = -1$.
अतः,$Q = (-1, 0, 2)$.
अब,$\vec{QR} = R - Q = (1 - (-1), -1 - 0, -3 - 2) = (2, -1, -5)$.
और $\vec{QP} = P - Q = (3 - (-1), -2 - 0, 4 - 2) = (4, -2, 2)$.
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{QR} \times \vec{QP} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & -5 \\ 4 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2-10) - \hat{j}(4+20) + \hat{k}(-4+4) = -12\hat{i} - 24\hat{j}$.
क्षेत्रफल $\alpha = \frac{1}{2} |\vec{QR} \times \vec{QP}| = \frac{1}{2} \sqrt{(-12)^2 + (-24)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{144 + 576} = \frac{1}{2} \sqrt{720}$.
इसलिए,$\alpha^2 = \frac{1}{4} \times 720 = 180$.

(A) दिया गया समतल $P : 8x + \alpha_1 y + \alpha_2 z + 12 = 0$ और रेखा $L : \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 4}{5}$ है।
चूंकि समतल $P$ रेखा $L$ के समांतर है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश रेखा के दिशा सदिश के लंबवत होगा।
अतः,$8(2) + \alpha_1(3) + \alpha_2(5) = 0 \Rightarrow 3\alpha_1 + 5\alpha_2 = -16$.
समतल $P$ का $y$-अंतःखंड $1$ दिया गया है,इसलिए समतल के समीकरण में $x=0$ और $z=0$ रखने पर: $\alpha_1(1) + 12 = 0 \Rightarrow \alpha_1 = -12$.
$\alpha_1 = -12$ को $3\alpha_1 + 5\alpha_2 = -16$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $3(-12) + 5\alpha_2 = -16 \Rightarrow -36 + 5\alpha_2 = -16 \Rightarrow 5\alpha_2 = 20 \Rightarrow \alpha_2 = 4$.
समतल $P$ का समीकरण $8x - 12y + 4z + 12 = 0$ है,जिसे सरल करने पर $2x - 3y + z + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
रेखा $L$ पर स्थित बिंदु $(-2, 3, -4)$ से समतल $P$ की दूरी $d = \frac{|2(-2) - 3(3) + 1(-4) + 3|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|-4 - 9 - 4 + 3|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} = \frac{|-14|}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}$.

(D) बिंदु $P(2, -1, 3)$ से गुजरने वाली और समतल $x + 2y - z = 0$ के लंबवत रेखा $PM$ का समीकरण $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{-1} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(\lambda + 2, 2\lambda - 1, -\lambda + 3)$ के रूप में होगा।
लंबपाद $M$ के लिए,यह बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा: $(\lambda + 2) + 2(2\lambda - 1) - (-\lambda + 3) = 0$.
$\lambda + 2 + 4\lambda - 2 + \lambda - 3 = 0 \implies 6\lambda = 3 \implies \lambda = \frac{1}{2}$.
$M$ के निर्देशांक $(\frac{1}{2} + 2, 2(\frac{1}{2}) - 1, -\frac{1}{2} + 3) = (\frac{5}{2}, 0, \frac{5}{2})$ प्राप्त होते हैं।
मान लीजिए $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ बिंदु $P$ का प्रतिबिंब है। चूंकि $M$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\frac{\alpha + 2}{2} = \frac{5}{2}$,$\frac{\beta - 1}{2} = 0$,और $\frac{\gamma + 3}{2} = \frac{5}{2}$ होगा।
इन्हें हल करने पर,$\alpha = 3, \beta = 1, \gamma = 2$ प्राप्त होता है। अतः,$Q = (3, 1, 2)$.
बिंदु $Q(3, 1, 2)$ से समतल $3x + 2y + z + 29 = 0$ की दूरी $d = \frac{|3(3) + 2(1) + 1(2) + 29|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|9 + 2 + 2 + 29|}{\sqrt{9 + 4 + 1}} = \frac{42}{\sqrt{14}} = 3 \sqrt{14}$.

(A) समतल $P_1: 2x + 3y - z - 2 = 0$ और $P_2: x + 2y + 3z - 6 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल $P$ का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(2x + 3y - z - 2) + \lambda(x + 2y + 3z - 6) = 0$
$(2 + \lambda)x + (3 + 2\lambda)y + (3\lambda - 1)z - (2 + 6\lambda) = 0$.
चूंकि $P$,समतल $2x + y - z + 1 = 0$ के लंबवत है,इसलिए उनके अभिलंबों का डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$2(2 + \lambda) + 1(3 + 2\lambda) - 1(3\lambda - 1) = 0$
$4 + 2\lambda + 3 + 2\lambda - 3\lambda + 1 = 0$
$\lambda + 8 = 0 \implies \lambda = -8$.
$\lambda = -8$ को $P$ के समीकरण में रखने पर:
$(2 - 8)x + (3 - 16)y + (-24 - 1)z - (2 - 48) = 0$
$-6x - 13y - 25z + 46 = 0 \implies 6x + 13y + 25z - 46 = 0$.
बिंदु $(-7, 1, 1)$ से समतल $6x + 13y + 25z - 46 = 0$ की दूरी $d$:
$d = \frac{|6(-7) + 13(1) + 25(1) - 46|}{\sqrt{6^2 + 13^2 + 25^2}} = \frac{|-42 + 13 + 25 - 46|}{\sqrt{36 + 169 + 625}} = \frac{|-50|}{\sqrt{830}} = \frac{50}{\sqrt{830}}$.
अतः,$d^2 = \frac{50^2}{830} = \frac{2500}{830} = \frac{250}{83}$.

(B) बिंदुओं $A(-3,-6,1)$ और $B(2,4,-3)$ से गुजरने वाली रेखा का दिक सदिश $\vec{v} = (2 - (-3), 4 - (-6), -3 - 1) = (5, 10, -4)$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $\frac{x-2}{5} = \frac{y-4}{10} = \frac{z+3}{-4} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P(5\lambda+2, 10\lambda+4, -4\lambda-3)$ है।
चूंकि $C$ समतल $8x+y+2z=0$ पर स्थित है,इसलिए $8(5\lambda+2) + (10\lambda+4) + 2(-4\lambda-3) = 0$ है।
$40\lambda + 16 + 10\lambda + 4 - 8\lambda - 6 = 0 \implies 42\lambda + 14 = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{3}$।
$\lambda = -\frac{1}{3}$ रखने पर,$C = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{5}{3})$ प्राप्त होता है।
रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x-1}{-1} = \frac{y+4}{2} = \frac{z+2}{3} = \mu$ है। $L$ पर कोई भी बिंदु $D(-\mu+1, 2\mu-4, 3\mu-2)$ है।
सदिश $\vec{CD} = (-\mu+\frac{2}{3}, 2\mu-\frac{14}{3}, 3\mu-\frac{1}{3})$ है।
चूंकि $CD \perp L$,इसलिए $\vec{CD}$ और $L$ के दिक सदिश $(-1, 2, 3)$ का डॉट गुणनफल $0$ है।
$-1(-\mu+\frac{2}{3}) + 2(2\mu-\frac{14}{3}) + 3(3\mu-\frac{1}{3}) = 0$।
$\mu - \frac{2}{3} + 4\mu - \frac{28}{3} + 9\mu - 1 = 0 \implies 14\mu = 11 \implies \mu = \frac{11}{14}$।
$\mu = \frac{11}{14}$ रखने पर,$\vec{CD} = (-\frac{5}{42}, -\frac{70}{42}, \frac{85}{42})$ प्राप्त होता है।
दिक अनुपात $(1, 14, -17)$ हैं। $|a+b+c| = |1 + 14 - 17| = 2$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $10$ है।

(A) समतलों $P_1: 2x - y + z - 3 = 0$ और $P_2: 4x - 3y + 5z + 9 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(2x - y + z - 3) + \lambda(4x - 3y + 5z + 9) = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $x(2 + 4\lambda) + y(-1 - 3\lambda) + z(1 + 5\lambda) + (-3 + 9\lambda) = 0$.
चूंकि यह समतल रेखा $(-2, 4, 5)$ के समांतर है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश रेखा के लंबवत होना चाहिए। अतः,अभिलंब सदिश $(2 + 4\lambda, -1 - 3\lambda, 1 + 5\lambda)$ और दिशा सदिश $(-2, 4, 5)$ का डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$-2(2 + 4\lambda) + 4(-1 - 3\lambda) + 5(1 + 5\lambda) = 0$.
$-4 - 8\lambda - 4 - 12\lambda + 5 + 25\lambda = 0$.
$5\lambda - 3 = 0 \implies \lambda = \frac{3}{5}$.
$\lambda = \frac{3}{5}$ को समतल के समीकरण में रखने पर:
$(2x - y + z - 3) + \frac{3}{5}(4x - 3y + 5z + 9) = 0$.
$5(2x - y + z - 3) + 3(4x - 3y + 5z + 9) = 0$.
$10x - 5y + 5z - 15 + 12x - 9y + 15z + 27 = 0$.
$22x - 14y + 20z + 12 = 0$.
$2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $11x - 7y + 10z + 6 = 0$.
$ax + by + cz + 6 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 11, b = -7, c = 10$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + b + c = 11 - 7 + 10 = 14$.

(D) मान लीजिए कि $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ समतल $2x - y + z = 9$ के सापेक्ष $P(1, 2, 3)$ का प्रतिबिंब है।
समतल $ax + by + cz + d = 0$ में बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ के प्रतिबिंब के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{\alpha - 1}{2} = \frac{\beta - 2}{-1} = \frac{\gamma - 3}{1} = -2 \frac{2(1) - 1(2) + 1(3) - 9}{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = -2 \frac{2 - 2 + 3 - 9}{4 + 1 + 1} = -2 \frac{-6}{6} = 2$.
अतः,$\alpha - 1 = 4 \Rightarrow \alpha = 5$,$\beta - 2 = -2 \Rightarrow \beta = 0$,और $\gamma - 3 = 2 \Rightarrow \gamma = 5$.
इसलिए,$Q = (5, 0, 5)$.
अब,हम सदिश $\vec{PQ}$ और $\vec{PR}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{PQ} = (5-1, 0-2, 5-3) = (4, -2, 2)$.
$\vec{PR} = (6-1, 10-2, 7-3) = (5, 8, 4)$.
त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$ है।
$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -2 & 2 \\ 5 & 8 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-8 - 16) - \hat{j}(16 - 10) + \hat{k}(32 + 10) = -24\hat{i} - 6\hat{j} + 42\hat{k}$.
$|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \sqrt{(-24)^2 + (-6)^2 + (42)^2} = \sqrt{576 + 36 + 1764} = \sqrt{2376}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \sqrt{2376} = \sqrt{\frac{2376}{4}} = \sqrt{594}$.
क्षेत्रफल का वर्ग $594$ है।

(D) माना रेखा $L$ बिंदु $A(0,1,2)$ से गुजरती है और रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ को बिंदु $B(1+2\lambda, 2+3\lambda, 3+4\lambda)$ पर प्रतिच्छेद करती है।
रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{AB} = (1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1+4\lambda)\hat{k}$ है।
चूंकि $L$ समतल $2x+y-3z=4$ के समांतर है,इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$,$\vec{v}$ के लंबवत है।
अतः,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow 2(1+2\lambda) + 1(1+3\lambda) - 3(1+4\lambda) = 0$.
$2 + 4\lambda + 1 + 3\lambda - 3 - 12\lambda = 0 \Rightarrow -5\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.
अतः,बिंदु $B$ $(1, 2, 3)$ है और दिशा सदिश $\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
रेखा $L$ का समीकरण $\vec{r} = (0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}) + t(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।
माना $Q$,$P(1,-9,2)$ का रेखा $L$ पर प्रक्षेप है। $Q = (t, 1+t, 2+t)$.
$\vec{PQ} = (t-1)\hat{i} + (10+t)\hat{j} + t\hat{k}$.
चूंकि $\vec{PQ} \perp \vec{v}$,$\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow (t-1) + (10+t) + t = 0 \Rightarrow 3t = -9 \Rightarrow t = -3$.
$Q = (-3, -2, -1)$.
दूरी $PQ = \sqrt{(-3-1)^2 + (-2 - (-9))^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 7^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 49 + 9} = \sqrt{74}$.

(B) दो दिए गए समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(x+y+z-6) + \lambda(2x+3y+4z+5) = 0$ है।
चूंकि समतल $P$ बिंदु $(0, 2, -2)$ से होकर गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(0+2-2-6) + \lambda(2(0)+3(2)+4(-2)+5) = 0$
$-6 + \lambda(6-8+5) = 0$
$-6 + 3\lambda = 0 \implies \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ को परिवार के समीकरण में रखने पर:
$(x+y+z-6) + 2(2x+3y+4z+5) = 0$
$x+y+z-6 + 4x+6y+8z+10 = 0$
$5x+7y+9z+4 = 0$.
बिंदु $(12, 12, 18)$ की समतल $5x+7y+9z+4 = 0$ से दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \frac{|5(12) + 7(12) + 9(18) + 4|}{\sqrt{5^2 + 7^2 + 9^2}}$
$d = \frac{|60 + 84 + 162 + 4|}{\sqrt{25 + 49 + 81}}$
$d = \frac{310}{\sqrt{155}}$.
दूरी का वर्ग $d^2 = \frac{310^2}{155} = \frac{96100}{155} = 620$ है।

(C) दी गई रेखाएँ $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{\alpha}$ और $\frac{x-4}{5} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{\beta}$ हैं।
पहली रेखा पर बिंदु $P_1(1, 2, 3)$ है और दूसरी रेखा पर बिंदु $P_2(4, 1, 0)$ है।
इन बिंदुओं को जोड़ने वाला सदिश $\vec{P_1P_2} = (4-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (0-3)\hat{k} = 3\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ है।
रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \alpha\hat{k}$ और $\vec{v_2} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + \beta\hat{k}$ हैं।
रेखाओं के प्रतिच्छेद करने के लिए,सदिश $\vec{P_1P_2}$,$\vec{v_1}$,और $\vec{v_2}$ समतलीय होने चाहिए,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} 3 & -1 & -3 \\ 2 & 3 & \alpha \\ 5 & 2 & \beta \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$3(3\beta - 2\alpha) + 1(2\beta - 5\alpha) - 3(4 - 15) = 0$
$9\beta - 6\alpha + 2\beta - 5\alpha + 33 = 0$
$-11\alpha + 11\beta + 33 = 0$
$\alpha - \beta = 3 \Rightarrow \alpha = \beta + 3$.
हमें $8\alpha\beta = 8(\beta + 3)\beta = 8(\beta^2 + 3\beta)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $8(\beta^2 + 3\beta + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) = 8(\beta + \frac{3}{2})^2 - 18$.
न्यूनतम मान $-18$ है। न्यूनतम मान का परिमाण $|-18| = 18$ है।

(C) रेखा दो समतलों $P_1: x+2y+3z-4=0$ और $P_2: 2x+y-z+5=0$ के प्रतिच्छेदन से बनी है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ है,जहाँ $\vec{n}_1 = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ और $\vec{n}_2 = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ है।
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -5\hat{i}+7\hat{j}-3\hat{k}$.
दूसरा समतल $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{u} + \mu\vec{w}$ रूप में है,जहाँ $\vec{u} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{w} = \hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$ है। इस समतल का अभिलंब $\vec{n}_3 = \vec{u} \times \vec{w} = 5\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}$ है।
अभीष्ट समतल रेखा को समाहित करता है और दूसरे समतल के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब $\vec{N} = \vec{v} \times \vec{n}_3 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & 7 & -3 \\ 5 & -2 & -3 \end{vmatrix} = -27\hat{i}-30\hat{j}-25\hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $27x+30y+25z=4$ प्राप्त होता है। अतः $a=27, b=30, c=25$ है। इसलिए,$a-b+c = 27-30+25 = 22$.

(B) एक बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
बिंदु $\left(\frac{5}{2}, 1, \lambda\right)$ और समतल $2x + 3y - 6z + 7 = 0$ के लिए:
$d_1 = \frac{|2(\frac{5}{2}) + 3(1) - 6(\lambda) + 7|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2}} = \frac{|5 + 3 - 6\lambda + 7|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{|15 - 6\lambda|}{7}$.
बिंदु $(-2, 0, 1)$ और समतल $2x + 3y - 6z + 7 = 0$ के लिए:
$d_2 = \frac{|2(-2) + 3(0) - 6(1) + 7|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{|-4 - 6 + 7|}{7} = \frac{|-3|}{7} = \frac{3}{7}$.
चूंकि $d_1 = d_2$,इसलिए $\frac{|15 - 6\lambda|}{7} = \frac{3}{7}$,जिसका अर्थ है $|15 - 6\lambda| = 3$.
इसके दो मामले हैं:
$15 - 6\lambda = 3 \Rightarrow 6\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 2$.
$15 - 6\lambda = -3 \Rightarrow 6\lambda = 18 \Rightarrow \lambda = 3$.
चूंकि $\lambda_1 > \lambda_2$,इसलिए $\lambda_1 = 3$ और $\lambda_2 = 2$.
बिंदु $(\lambda_1 - \lambda_2, \lambda_2, \lambda_1) = (3 - 2, 2, 3) = (1, 2, 3)$ है।
बिंदु $P(1, 2, 3)$ की रेखा $\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 7}{2}$ से दूरी $d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ है,जहाँ $A(5, 1, -7)$ रेखा पर एक बिंदु है और $\vec{v} = (1, 2, 2)$ दिशा सदिश है।
$\vec{AP} = (1 - 5, 2 - 1, 3 - (-7)) = (-4, 1, 10)$.
$\vec{AP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & 1 & 10 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = -18\hat{i} + 18\hat{j} - 9\hat{k}$.
$|\vec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{(-18)^2 + 18^2 + (-9)^2} = 27$.
$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$.
$d = \frac{27}{3} = 9$.

(D) रेखा बिंदु $A(1, 2, -5)$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{v} = \langle 1, -3, 7 \rangle$ है। समतल बिंदु $B(2, 4, -3)$ से भी गुजरता है।
सदिश $\vec{AB} = \langle 2-1, 4-2, -3-(-5) \rangle = \langle 1, 2, 2 \rangle$.
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{v} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 7 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = -20\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = \langle 4, -1, -1 \rangle$ ले सकते हैं।
समतल का समीकरण $4(x-1) - 1(y-2) - 1(z+5) = 0$ है,जो सरल होकर $4x - y - z = 7$ बनता है।
मान लीजिए बिंदु $Q(-1, 3, 4)$ है। प्रतिबिंब $(\alpha, \beta, \gamma)$ के लिए,$\frac{\alpha+1}{4} = \frac{\beta-3}{-1} = \frac{\gamma-4}{-1} = -2 \frac{4(-1)-3-4-7}{16+1+1} = -2 \frac{-18}{18} = 2$.
अतः,$\alpha+1 = 8 \implies \alpha = 7$,$\beta-3 = -2 \implies \beta = 1$,$\gamma-4 = -2 \implies \gamma = 2$.
$\alpha+\beta+\gamma = 7+1+2 = 10$.

(D) समतल $P: ax + y - z - b = 0$ है। अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ है।
रेखा $l$ की दिशा $\vec{v} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ होता है।
$\cos \theta = \frac{1}{3}$ होने के कारण,$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ होगा।
$\frac{|a - 2|}{\sqrt{3} \sqrt{a^2 + 2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ को हल करने पर $5a^2 + 12a + 4 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $a = -2$ ($a \in \mathbb{Z}$ के कारण)।
बिंदु $(6, -6, 4)$ से समतल की दूरी $3\sqrt{6}$ है,अतः $\frac{|-22 - b|}{\sqrt{6}} = 3\sqrt{6}$ प्राप्त होता है।
$|-22 - b| = 18$ से $b = -4$ या $b = -40$ मिलता है।
$|a - b| \leq 10$ शर्त के अनुसार $b = -4$ सही है।
अतः $a^4 + b^2 = (-2)^4 + (-4)^2 = 16 + 16 = 32$।

(A) बिंदुओं $(2, -1, 0)$,$(2, 0, -1)$,और $(5, 1, 1)$ से गुजरने वाले समतल $P_2$ का समीकरण सारणिक द्वारा प्राप्त होता है:
$\begin{vmatrix} x-5 & y-1 & z-1 \\ -3 & -1 & -2 \\ -3 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 0 \implies x-y-z = 3$.
समतल $P_1: 3x - y - 7z = 11$ और $P_2: x - y - z = 3$ की प्रतिच्छेदन रेखा के दिक-अनुपात उनके अभिलंबों के सदिश गुणनफल द्वारा प्राप्त होते हैं:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & -7 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = -6\hat{i} - 4\hat{j} - 2\hat{k}$,जिसे $(3, 2, 1)$ के रूप में लिया जा सकता है।
रेखा पर स्थित एक बिंदु $(4, 1, 0)$ है। अतः रेखा का समीकरण $\frac{x-4}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{1} = r$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $(3r+4, 2r+1, r)$ है।
बिंदु $(7, 4, -1)$ से इस बिंदु तक का सदिश $(3r-3, 2r-3, r+1)$ है।
चूंकि यह सदिश रेखा की दिशा $(3, 2, 1)$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$3(3r-3) + 2(2r-3) + 1(r+1) = 0 \implies 14r - 14 = 0 \implies r=1$.
लंब का पाद $(7, 3, 1)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha+\beta+\gamma = 7+3+1 = 11$.

(A) रेखा का समीकरण $\frac{x+3}{3} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{-2} = \lambda$ है।
रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $P$ $(3\lambda - 3, \lambda - 2, 1 - 2\lambda)$ के रूप में है।
चूंकि $P$ समतल $x + y + z = 2$ पर स्थित है,निर्देशांक प्रतिस्थापित करने पर:
$(3\lambda - 3) + (\lambda - 2) + (1 - 2\lambda) = 2$.
$2\lambda - 4 = 2 \Rightarrow 2\lambda = 6 \Rightarrow \lambda = 3$.
अतः,$P$ के निर्देशांक $(6, 1, -5)$ हैं।
बिंदु $P(6, 1, -5)$ की समतल $3x - 4y + 12z - 32 = 0$ से दूरी $q$ इस प्रकार है:
$q = \left| \frac{3(6) - 4(1) + 12(-5) - 32}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2}} \right| = \left| \frac{18 - 4 - 60 - 32}{\sqrt{9 + 16 + 144}} \right| = \left| \frac{-78}{13} \right| = 6$.
अतः,$q = 6$ और $2q = 12$.
$6$ और $12$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $(x - 6)(x - 12) = 0$ है,जो $x^2 - 18x + 72 = 0$ में सरल हो जाता है।

(B) मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $A(2,4,6)$,$B(0,-2,-5)$ और $C(x,y,z)$ हैं।
केंद्रक $G(2,1,-1)$ दिया गया है,इसलिए केंद्रक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$.
$\frac{2+0+x}{3} = 2 \Rightarrow 2+x = 6 \Rightarrow x = 4$.
$\frac{4-2+y}{3} = 1 \Rightarrow 2+y = 3 \Rightarrow y = 1$.
$\frac{6-5+z}{3} = -1 \Rightarrow 1+z = -3 \Rightarrow z = -4$.
अतः,तीसरा शीर्ष $C(4,1,-4)$ है।
अब,समतल $x+2y+4z-11=0$ में बिंदु $C(4,1,-4)$ का प्रतिबिंब $(\alpha, \beta, \gamma)$ ज्ञात करें।
समतल $ax+by+cz+d=0$ में बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ के प्रतिबिंब का सूत्र $\frac{\alpha-x_0}{a} = \frac{\beta-y_0}{b} = \frac{\gamma-z_0}{c} = -2 \frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\alpha-4}{1} = \frac{\beta-1}{2} = \frac{\gamma+4}{4} = -2 \frac{4+2(1)+4(-4)-11}{1^2+2^2+4^2} = -2 \frac{4+2-16-11}{1+4+16} = -2 \frac{-21}{21} = 2$.
इस प्रकार,$\alpha-4 = 2 \Rightarrow \alpha = 6$; $\beta-1 = 4 \Rightarrow \beta = 5$; $\gamma+4 = 8 \Rightarrow \gamma = 4$.
प्रतिबिंब $(6,5,4)$ है।
अंत में,$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha = (6)(5) + (5)(4) + (4)(6) = 30 + 20 + 24 = 74$.

(A) दी गई रेखाएँ हैं:
$L_1: \frac{x}{1} = \frac{y-6}{-2} = \frac{z+8}{5} = \lambda$
$L_2: \frac{x-5}{4} = \frac{y-7}{3} = \frac{z+2}{1} = \mu$
$L_3: \frac{x+3}{6} = \frac{y-3}{-3} = \frac{z-6}{1} = \gamma$
$L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ के लिए:
$(\lambda, -2\lambda+6, 5\lambda-8) = (4\mu+5, 3\mu+7, \mu-2)$
इन्हें हल करने पर,हमें $\lambda=1$ और $\mu=-1$ प्राप्त होता है। अतः,$A = (1, 4, -3)$.
$L_1$ और $L_3$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $B$ के लिए:
$(\lambda, -2\lambda+6, 5\lambda-8) = (6\gamma-3, -3\gamma+3, \gamma+6)$
इन्हें हल करने पर,हमें $\lambda=3$ और $\gamma=1$ प्राप्त होता है। अतः,$B = (3, 0, 7)$.
$AB$ का मध्य-बिंदु $M$ है $(\frac{1+3}{2}, \frac{4+0}{2}, \frac{-3+7}{2}) = (2, 2, 2)$.
$M(2, 2, 2)$ की समतल $2x-2y+z-14=0$ से दूरी:
$d = \frac{|2(2) - 2(2) + 1(2) - 14|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|4 - 4 + 2 - 14|}{\sqrt{4+4+1}} = \frac{|-12|}{3} = 4$.

(C) बिंदु $A(4, 3, 1)$ से समतल $x - y + 2z + 3 = 0$ पर लंब $AN$ की लंबाई $AN = \frac{|4 - 3 + 2(1) + 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$ है।
$N$ के निर्देशांक $\frac{x-4}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z-1}{2} = -\frac{4-3+2+3}{6} = -1$ द्वारा प्राप्त होते हैं। अतः,$x=3, y=4, z=-1$,यानी $N(3, 4, -1)$ है।
चूंकि बिंदु $B(5, \alpha, \beta)$ समतल $x - y + 2z + 3 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $5 - \alpha + 2\beta + 3 = 0$,जिसका अर्थ है $\alpha = 2\beta + 8$.
$\Delta ABN$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AN \times BN = 3\sqrt{2}$. $AN = \sqrt{6}$ रखने पर,$\frac{1}{2} \times \sqrt{6} \times BN = 3\sqrt{2}$,अतः $BN = 2\sqrt{3}$ है।
$BN^2 = (5-3)^2 + (\alpha-4)^2 + (\beta+1)^2 = 4 + (2\beta+4)^2 + (\beta+1)^2 = 12$.
$4 + 4\beta^2 + 16\beta + 16 + \beta^2 + 2\beta + 1 = 12 \implies 5\beta^2 + 18\beta + 9 = 0$.
गुणनखंड करने पर $(5\beta + 3)(\beta + 3) = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $\beta \in \mathbb{Z}$,इसलिए $\beta = -3$. तब $\alpha = 2(-3) + 8 = 2$.
अंत में,$\alpha^2 + \beta^2 + \alpha\beta = (2)^2 + (-3)^2 + (2)(-3) = 4 + 9 - 6 = 7$.

(B) रेखा $l$ का दिशा सदिश $l_1$ और $l_2$ के दिशा सदिशों के लंबवत है। मान लीजिए $\vec{v}_1 = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{v}_2 = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ है। $l$ की दिशा $\vec{v} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -4\hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k}$ है। चूँकि $l$ मूल बिंदु से गुजरती है,इसका समीकरण $\vec{r} = \gamma(-4\hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k})$ है।
बिंदु $P$ ($l$ और $l_1$ का प्रतिच्छेदन) के लिए: $-4\gamma = 1 + \lambda$,$5\gamma = -11 + 2\lambda$,$-2\gamma = -7 + 3\lambda$। इन समीकरणों को हल करने पर $\gamma = -1$ प्राप्त होता है,अतः $P = (4, -5, 2)$ है।
रेखा $l_2$ पर बिंदु $Q$ के लिए,$Q = (-1 + 2\mu, 2\mu, 1 + \mu)$ है। सदिश $\vec{PQ} = (-5 + 2\mu, 5 + 2\mu, -1 + \mu)$ है। चूँकि $\vec{PQ} \perp \vec{v}_2$,इसलिए $\vec{PQ} \cdot (2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = 0$,जो हमें $2(-5 + 2\mu) + 2(5 + 2\mu) + 1(-1 + \mu) = 0 \implies 9\mu = 1 \implies \mu = 1/9$ देता है।
अतः,$Q = (-7/9, 2/9, 10/9)$ है।
तब $9(\alpha + \beta + \gamma) = 9(-7/9 + 2/9 + 10/9) = 9(5/9) = 5$।

(D) बिंदुओं $P(2, -1, 2)$ और $Q(5, 3, 4)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{2} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $R(3\lambda + 2, 4\lambda - 1, 2\lambda + 2)$ है।
चूंकि $R$ समतल $x - y + z = 4$ पर स्थित है,इसलिए $(3\lambda + 2) - (4\lambda - 1) + (2\lambda + 2) = 4$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda + 5 = 4 \implies \lambda = -1$।
अतः,$R = (-1, -5, 0)$।
हमें बिंदु $R(-1, -5, 0)$ की समतल $x + 2y + 3z + 2 = 0$ से रेखा $\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 2}{1}$ के समानांतर दूरी ज्ञात करनी है।
$R$ से गुजरने वाली और दी गई रेखा के समानांतर रेखा $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 5}{2} = \frac{z - 0}{1} = k$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $T(2k - 1, 2k - 5, k)$ है।
चूंकि $T$ समतल $x + 2y + 3z + 2 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $(2k - 1) + 2(2k - 5) + 3(k) + 2 = 0$।
$2k - 1 + 4k - 10 + 3k + 2 = 0 \implies 9k - 9 = 0 \implies k = 1$।
अतः,$T = (1, -3, 1)$।
दूरी $RT = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-3 - (-5))^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$।

(A) रेखा $\ell$ को $x = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{\lambda}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $\ell$ के दिक अनुपात $(1, 2, \lambda)$ हैं।
समतल $P: x + 2y + 3z = 4$ के अभिलंब सदिश के दिक अनुपात $(1, 2, 3)$ हैं।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ सूत्र का उपयोग करने पर,जहाँ $\vec{v} = (1, 2, \lambda)$ है।
दिया गया है $\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{14}}$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - \frac{5}{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$।
$\frac{|1(1) + 2(2) + 3(\lambda)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + \lambda^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$।
$\frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}} \Rightarrow |5 + 3\lambda| = 3\sqrt{5 + \lambda^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(5 + 3\lambda)^2 = 9(5 + \lambda^2) \Rightarrow 25 + 30\lambda + 9\lambda^2 = 45 + 9\lambda^2 \Rightarrow 30\lambda = 20 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{3}$।
रेखा पर कोई भी बिंदु $(t, 2t + 1, \frac{2}{3}t + 3)$ है। चूंकि यह समतल $x + 2y + 3z = 4$ पर स्थित है:
$t + 2(2t + 1) + 3(\frac{2}{3}t + 3) = 4 \Rightarrow t + 4t + 2 + 2t + 9 = 4 \Rightarrow 7t = -7 \Rightarrow t = -1$।
बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma) = (-1, -1, \frac{7}{3})$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + 2\beta + 6\gamma = -1 + 2(-1) + 6(\frac{7}{3}) = -1 - 2 + 14 = 11$।

(C) रेखा $l_2$ दो समतलों के प्रतिच्छेदन से बनी है: $3x+2y+z-2=0$ और $x-3y+2z-13=0$। $l_2$ का दिशा सदिश $\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} = 7\hat{i} - 5\hat{j} - 11\hat{k}$ है।
चूंकि रेखाएँ $l_1$ और $l_2$ समतलीय हैं,इसलिए रेखाओं पर स्थित बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और दिशा सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा। $\alpha$ के लिए हल करने पर,हमें $\alpha = 7$ प्राप्त होता है।
अब,$l_1$ है $\frac{x+5}{3}=\frac{y+4}{1}=\frac{z-7}{-2} = \lambda$। अतः,$l_1$ पर कोई भी बिंदु $P(3\lambda-5, \lambda-4, -2\lambda+7)$ है।
सदिश $\vec{PQ} = (3\lambda-5 - (-4), \lambda-4 - (-3), -2\lambda+7 - 2) = (3\lambda-1, \lambda-1, -2\lambda+5)$ है।
चूंकि $PQ \perp l_1$,इसलिए $\vec{PQ}$ और $l_1$ के दिशा सदिश $(3, 1, -2)$ का डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$3(3\lambda-1) + 1(\lambda-1) - 2(-2\lambda+5) = 0 \Rightarrow 9\lambda - 3 + \lambda - 1 + 4\lambda - 10 = 0 \Rightarrow 14\lambda = 14 \Rightarrow \lambda = 1$।
$\lambda=1$ रखने पर,हमें $P(-2, -3, 5)$ प्राप्त होता है।
अतः,$|a|+|b|+|c| = |-2| + |-3| + |5| = 2+3+5 = 10$।

(D) समतल $P_1: 4x - y + z - 10 = 0$ और $P_2: x + y - z - 4 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(4x - y + z - 10) + \lambda(x + y - z - 4) = 0$ है,जो सरल होकर $(4 + \lambda)x + (-1 + \lambda)y + (1 - \lambda)z - (10 + 4\lambda) = 0$ हो जाता है।
मूल समतल $P$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = (4, -1, 1)$ है और नए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}_2 = (4 + \lambda, -1 + \lambda, 1 - \lambda)$ है।
चूंकि समतलों के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए उनके अभिलंब सदिश परस्पर लंबवत हैं,अतः $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$.
$4(4 + \lambda) - 1(-1 + \lambda) + 1(1 - \lambda) = 0 \Rightarrow 16 + 4\lambda + 1 - \lambda + 1 - \lambda = 0 \Rightarrow 2\lambda + 18 = 0 \Rightarrow \lambda = -9$.
$\lambda = -9$ को परिवार के समीकरण में रखने पर: $(4 - 9)x + (-1 - 9)y + (1 - (-9))z - (10 + 4(-9)) = 0 \Rightarrow -5x - 10y + 10z + 26 = 0$,या $5x + 10y - 10z - 26 = 0$.
बिंदु $(2, 3, -4)$ की इस समतल से दूरी $\alpha = \frac{|5(2) + 10(3) - 10(-4) - 26|}{\sqrt{5^2 + 10^2 + (-10)^2}} = \frac{|10 + 30 + 40 - 26|}{\sqrt{25 + 100 + 100}} = \frac{54}{\sqrt{225}} = \frac{54}{15} = \frac{18}{5}$ है।
अतः,$35\alpha = 35 \times \frac{18}{5} = 7 \times 18 = 126$.

(C) मान लीजिए रेखाएँ $L_1: \vec{r} = (\hat{i} - \hat{j}) + \lambda(2\hat{i} + \hat{k})$ और $L_2: \vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j}) + \mu(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ हैं।
न्यूनतम दूरी की रेखा की दिशा का सदिश $L_1$ और $L_2$ के दिशा सदिशों के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n} = (2\hat{i} + \hat{k}) \times (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
बिंदु $P(-1, 2, 3)$ से गुजरने वाली और $\vec{n}$ के समांतर रेखा का समीकरण $\frac{x+1}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{-2} = r$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(r-1, 2-r, 3-2r)$ है।
समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 10$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने के लिए,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखते हैं:
$(r-1) - 2(2-r) + 3(3-2r) = 10$
$r - 1 - 4 + 2r + 9 - 6r = 10$
$-3r + 4 = 10 \Rightarrow -3r = 6 \Rightarrow r = -2$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $Q$ $(-3, 4, 7)$ है।
दूरी $PQ = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (4 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

(C) समतलों $x+2y+az-2=0$ और $x-y+z-3=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(x+2y+az-2) + \lambda(x-y+z-3) = 0$ है।
इसे सरल करने पर $(1+\lambda)x + (2-\lambda)y + (a+\lambda)z - (2+3\lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
दिए गए समतल $5x-11y+bz = 6a-1$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{1+\lambda}{5} = \frac{2-\lambda}{-11} = \frac{a+\lambda}{b} = \frac{2+3\lambda}{6a-1}$.
$\frac{1+\lambda}{5} = \frac{2-\lambda}{-11}$ से,$-11-11\lambda = 10-5\lambda$,अतः $-6\lambda = 21$,जिससे $\lambda = -\frac{7}{2}$ प्राप्त होता है।
$\lambda = -\frac{7}{2}$ रखने पर:
$\frac{1-3.5}{5} = -0.5$,अतः $\frac{2+3(-3.5)}{6a-1} = -0.5 \implies \frac{2-10.5}{6a-1} = -0.5 \implies \frac{-8.5}{6a-1} = -0.5 \implies 6a-1 = 17 \implies 6a = 18 \implies a = 3$.
अब,$\frac{a+\lambda}{b} = -0.5 \implies \frac{3-3.5}{b} = -0.5 \implies \frac{-0.5}{b} = -0.5 \implies b = 1$.
समतल $5x-11y+z = 17$ है।
बिंदु $(a, -c, c) = (3, -c, c)$ से $5x-11y+z-17=0$ की दूरी $\frac{|5(3)-11(-c)+c-17|}{\sqrt{5^2+(-11)^2+1^2}} = \frac{|12c-2|}{\sqrt{147}}$ है।
दी गई दूरी $\frac{2}{\sqrt{a}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{14}{\sqrt{147}}$ है।
अतः,$|12c-2| = 14$. इससे $12c-2 = -14 \implies 12c = -12 \implies c = -1$.
इस प्रकार,$\frac{a+b}{c} = \frac{3+1}{-1} = -4$.

(C) माना बिंदु $A = \left(\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, \frac{8}{3}\right)$ है और समतल $x-2y+z-2=0$ है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ का समतल $ax+by+cz+d=0$ में प्रतिबिंब $P(x, y, z)$ ज्ञात करने का सूत्र $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} = -2 \frac{ax_1+by_1+cz_1+d}{a^2+b^2+c^2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{x-\frac{5}{3}}{1} = \frac{y-\frac{5}{3}}{-2} = \frac{z-\frac{8}{3}}{1} = -2 \frac{\frac{5}{3} - 2(\frac{5}{3}) + \frac{8}{3} - 2}{1^2+(-2)^2+1^2}$.
अंश को सरल करने पर: $\frac{5}{3} - \frac{10}{3} + \frac{8}{3} - 2 = \frac{3}{3} - 2 = 1 - 2 = -1$.
अतः,$\frac{x-\frac{5}{3}}{1} = \frac{y-\frac{5}{3}}{-2} = \frac{z-\frac{8}{3}}{1} = -2 \frac{-1}{6} = \frac{1}{3}$.
इस प्रकार,$x = \frac{5}{3} + \frac{1}{3} = 2$,$y = \frac{5}{3} - \frac{2}{3} = 1$,$z = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = 3$.
अतः,$P = (2, 1, 3)$.
$P(2, 1, 3)$ और $Q(6, -2, \alpha)$ के बीच की दूरी $13$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(6-2)^2 + (-2-1)^2 + (\alpha-3)^2} = 13$.
$4^2 + (-3)^2 + (\alpha-3)^2 = 169$.
$16 + 9 + (\alpha-3)^2 = 169$.
$25 + (\alpha-3)^2 = 169$.
$(\alpha-3)^2 = 144$.
$\alpha-3 = \pm 12$.
चूंकि $\alpha > 0$,$\alpha-3 = 12 \Rightarrow \alpha = 15$ या $\alpha-3 = -12 \Rightarrow \alpha = -9$ (अमान्य)।
अतः,$\alpha = 15$।

(C) बिंदुओं $(4, 5, 8)$ और $(1, -7, 5)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$\frac{x-4}{1-4} = \frac{y-5}{-7-5} = \frac{z-8}{5-8}$
$\frac{x-4}{-3} = \frac{y-5}{-12} = \frac{z-8}{-3}$
$-3$ से विभाजित करने पर,दिक अनुपात $(1, 4, 1)$ प्राप्त होते हैं। अतः,रेखा $\frac{x-4}{1} = \frac{y-5}{4} = \frac{z-8}{1} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $N$ $(\lambda+4, 4\lambda+5, \lambda+8)$ है।
सदिश $\vec{PN} = (\lambda+4-1)\hat{i} + (4\lambda+5+2)\hat{j} + (\lambda+8-3)\hat{k} = (\lambda+3)\hat{i} + (4\lambda+7)\hat{j} + (\lambda+5)\hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{PN}$ दिक सदिश $\vec{v} = \hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ वाली रेखा पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(\lambda+3)(1) + (4\lambda+7)(4) + (\lambda+5)(1) = 0$
$\lambda + 3 + 16\lambda + 28 + \lambda + 5 = 0$
$18\lambda + 36 = 0 \Rightarrow \lambda = -2$.
$\lambda = -2$ को $N$ के निर्देशांकों में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $N = (-2+4, 4(-2)+5, -2+8) = (2, -3, 6)$ प्राप्त होता है।
समतल $2x - 2y + z + 5 = 0$ से बिंदु $N(2, -3, 6)$ की दूरी:
$d = \frac{|2(2) - 2(-3) + 1(6) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|4 + 6 + 6 + 5|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{21}{3} = 7$.

(C) बिंदुओं $A(-1, -2, -3)$,$B(9, 3, 4)$,और $C(9, -2, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x+1 & y+2 & z+3 \\ 10 & 5 & 7 \\ 10 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 0$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$10(7(y+2) - 5(z+3)) + 4(5(x+1) - 10(y+2)) = 0$
$10(7y - 5z - 1) + 4(5x - 10y - 15) = 0$
$20x + 30y - 50z - 70 = 0$
$10$ से विभाजित करने पर,समतल का समीकरण: $2x + 3y - 5z - 7 = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $P(3, -2, -9)$ से समतल पर लंब का पाद $Q(x, y, z)$ है।
रेखा का समीकरण: $\frac{x-3}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z+9}{-5} = k$ है।
अतः,$x = 2k+3, y = 3k-2, z = -5k-9$ है।
चूंकि $Q$ समतल पर स्थित है,$2(2k+3) + 3(3k-2) - 5(-5k-9) - 7 = 0$ होगा।
$38k + 38 = 0 \implies k = -1$ प्राप्त होता है।
$k = -1$ रखने पर,$Q(1, -5, -4)$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $Q(1, -5, -4)$ की दूरी $\sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 25 + 16} = \sqrt{42}$ है।

(A) रेखा $2x+y-z-3=0$ और $5x-3y+4z+9=0$ से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(2x+y-z-3) + \lambda(5x-3y+4z+9) = 0$ है।
इसे सरल करने पर $(2+5\lambda)x + (1-3\lambda)y + (-1+4\lambda)z + (9\lambda-3) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह समतल दिशा सदिश $\vec{b} = (2, 4, 5)$ वाली रेखा के समानांतर है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2+5\lambda, 1-3\lambda, -1+4\lambda)$,$\vec{b}$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{n} \cdot \vec{b} = 0 \implies 2(2+5\lambda) + 4(1-3\lambda) + 5(-1+4\lambda) = 0$.
$4 + 10\lambda + 4 - 12\lambda - 5 + 20\lambda = 0 \implies 18\lambda + 3 = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{6}$.
$\lambda = -\frac{1}{6}$ को समतल के समीकरण में रखने पर: $(2 - \frac{5}{6})x + (1 + \frac{3}{6})y + (-1 - \frac{4}{6})z + (-\frac{9}{6} - 3) = 0$.
$6$ से गुणा करने पर: $(12-5)x + (6+3)y + (-6-4)z + (-9-18) = 0 \implies 7x + 9y - 10z - 27 = 0$.
बिंदु $A(8, -1, -19)$ से गुजरने वाली और $\frac{x}{-3} = \frac{y-5}{4} = \frac{z-2}{12}$ के समानांतर रेखा का समीकरण $\frac{x-8}{-3} = \frac{y+1}{4} = \frac{z+19}{12} = k$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $B(8-3k, -1+4k, -19+12k)$ है।
यदि $B$,समतल $7x + 9y - 10z - 27 = 0$ पर स्थित है,तो $7(8-3k) + 9(-1+4k) - 10(-19+12k) - 27 = 0$.
$56 - 21k - 9 + 36k + 190 - 120k - 27 = 0 \implies -105k + 210 = 0 \implies k = 2$.
दूरी $AB$,$k=2$ पर सदिश $\vec{AB} = (-3k, 4k, 12k)$ का परिमाण है,जो $\sqrt{(-6)^2 + 8^2 + 24^2} = \sqrt{36 + 64 + 576} = \sqrt{676} = 26$ है।