f: Z rightarrow Z द्वारा परिभाषित फलन f(x) = | vedclass

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Question

(A) फलन $f: Z \rightarrow Z$ को $f(x) = x^{3}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।एकैकी (injectivity) के लिए: मान लीजिए $x, y \in Z$ इस प्रकार हैं कि $f(x) =

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एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है

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(A) फलन $f: Z ightarrow Z$ को $f(x) = x^{3}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।एकैकी (injectivity) के लिए: मान लीजिए $x, y \in Z$ इस प्रकार हैं कि $f(x) = f(y)$।तब $x^{3} = y^{3}$। चूँकि घनमूल फलन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है,इसलिए $x^{3} = y^{3} \implies x = y$।अतः,$f$ एकैकी (injective) है।आच्छादक (surjectivity) के लिए: एक फलन आच्छादक होता है यदि प्रत्येक $y \in Z$ के लिए,एक ऐसा $x \in Z$ विद्यमान हो कि $f(x) = y$।मान लीजिए $y = 2 \in Z$। हमें $x^{3} = 2$ चाहिए,जिसका अर्थ है $x = \sqrt[3]{2}$।चूँकि $\sqrt[3]{2} 
otin Z$,इसलिए ऐसा कोई $x \in Z$ विद्यमान नहीं है कि $f(x) = 2$।अतः,$f$ आच्छादक (surjective) नहीं है।निष्कर्ष: फलन $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

$f: Z \rightarrow Z$ द्वारा परिभाषित फलन $f(x) = x^{3}$ की एकैकी (injectivity) और आच्छादक (surjectivity) की जाँच कीजिए।

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