सिद्ध कीजिए कि $f(x)=[x]$ द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णाक फलन $f: R \rightarrow R$, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ $[x], x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णाक को निरूपित करता है।
सिद्ध कीजिए कि $f(x)=[x]$ द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णाक फलन $f: R \rightarrow R$, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ $[x], x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णाक को निरूपित करता है।
$f : R \rightarrow R$ is given by, $f ( x )=[ x ]$
It is seen that $f(1.2)=[1.2]=1, f(1.9)=[1.9]=1$
$\therefore f (1.2)= f (1.9),$ but $1.2 \neq 1.9$
$\therefore f$ is not one $-$ one.
Now, consider $0.7 \in R$
It is known that $f(x)=[x]$ is always an integer. Thus, there does not exist any element $x \in R$ such that $f(x)=0.7$
$\therefore f$ is not onto
Hence, the greatest integer function is neither one-one nor onto.
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माना $f : R \rightarrow R$,$f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y), f\left(\frac{1}{2}\right)=-1$ द्वारा परिभाषित है। तो $\sum_{ k =1}^{20} \frac{1}{\sin ( k ) \sin ( k + f ( k ))}$ बराबर है
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- [JEE MAIN 2021]
${\sin ^{ - 1}}({\log _3}x)$ का प्रान्त है
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यादि $f(x) = \sin \log x$, तब $f(xy) + f\left( {\frac{x}{y}} \right) - 2f(x).\cos \log y$ का मान है
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मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ एक सतत फलन इस प्रकार है कि सभी $x \in R$ के लिए $f\left(x^2\right)=f\left(x^3\right)$ है। निम्न कथनों पर विचार करें
$I$. $f$ एक विषम फलन है
$II$. $f$ एक सम फलन है
$III$. $f$ सभी जगह अवकलनीय है तब
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- [KVPY 2019]
यादि $f(x) = \cos (\log x)$, तब $f(x)f(y) - \frac{1}{2}[f(x/y) + f(xy)] = $
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- [IIT 1983]