सिद्ध कीजिए कि $f(x)=|x|$ द्वारा प्रद्त मापांक फलन $f: R \rightarrow R$, न तो एकेकी है और न आच्छादक है, जहाँ $|x|$ बराबर $x$, यदि $x$ धन या शून्य है तथा $|x|$ बराबर $-x$, यदि $x$ रुण है।
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$f:$ $R \rightarrow R$ is given by $f(x) = |x| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
X&{{\text{ if }}X \geqslant 0} \\
{ - X}&{{\text{ if }}X < 0}
\end{array}} \right.$
It is clear that $f(-1)=|-1|=1$ and $f(1)=|1|=1$
$\therefore f(-1)=f(1),$ but $-1 \neq 1$
$\therefore f$ is not one $-$ one.
Now, consider $-1 \in R$
It is known that $f(x)=|x|$ is always non-negative. Thus, there does not exist any
element $x$ in domain $R$ such that $f(x)=|x|=-1$
$\therefore f$ is not onto.
Hence, the modulus function is neither one-one nor onto.
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माना $\mathrm{S}=\{1,2,3,4,5,6\}$ है तो ऐसे ऐकेकी फलनों $\mathrm{f}: \mathrm{S} \rightarrow \mathrm{P}(\mathrm{S})$, जहाँ $\mathrm{P}(\mathrm{S})$ समुच्चय $\mathrm{S}$ का घात समुच्चय $\mathrm{f}(\mathrm{n}) \subset \mathrm{f}(\mathrm{m})$ है जब भी $\mathrm{n}<\mathrm{m}$ है, की संख्या है_______.
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- [JEE MAIN 2023]
$\mathrm{f}(\mathrm{x})=4 \sqrt{2} \mathrm{x}^3-3 \sqrt{2} \mathrm{x}-1$ द्वारा परिभाषित फलन
$\mathrm{f}:\left[\frac{1}{2}, 1\right] \rightarrow \mathrm{R}$ के लिए कथनों
($I$) वक्र $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x}), \mathrm{x}$-अक्ष को मात्र एक बिंदु पर काटता है
($II$) वक्र $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x}), \mathrm{x}$-अक्ष को $\mathrm{x}=\cos \frac{\pi}{12}$ पर काटता है में से
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$f(x)=\frac{1}{4-x^{2}}+\log _{10}\left(x^{3}-x\right)$ द्वारा परिभाषित फलन का प्रांत है
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यदि $f(x) = (1 + {b^2}){x^2} + 2bx + 1$ तथा $m(b)$ दिये हुए $b$ के लिए, $f(x)$ का न्यूनतम मान है, तब $m(b)$ का परिसर (रेंज) है
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- [IIT 2001]
एकैकी आच्छादक फलनों $f :\{1,3,5,7, \ldots . .99\} \rightarrow\{2,4,6,8, \ldots \ldots ., 100\}$
जिनके लिए $f(3) \geq f(9) \geq f(15) \geq f(21) \geq \ldots . \geq f(99)$ हैं, की संख्या है
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- [JEE MAIN 2022]