एक फलन f: R to R पर विचार करें जहाँ f(x + a) | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x + a) = \frac{1}{2} + \sqrt{f(x) - f^2(x)}$.वर्गमूल को परिभाषित होने के लिए,$f(x) - f^2(x) \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $f(x)(

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आवर्ती फलन

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(D) दिया गया है $f(x + a) = \frac{1}{2} + \sqrt{f(x) - f^2(x)}$.वर्गमूल को परिभाषित होने के लिए,$f(x) - f^2(x) \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $f(x)(1 - f(x)) \geq 0$,इसलिए $0 \leq f(x) \leq 1$.साथ ही,$f(x + a) \geq \frac{1}{2}$.माना $g(x) = f(x) - \frac{1}{2}$. तब $g(x + a) = \sqrt{\frac{1}{4} - g^2(x)}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$g^2(x + a) = \frac{1}{4} - g^2(x)$,जिसका अर्थ है $g^2(x + a) + g^2(x) = \frac{1}{4}$.$x$ को $x + a$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $g^2(x + 2a) + g^2(x + a) = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,$g^2(x + 2a) = g^2(x)$.चूंकि $g(x) \geq 0$ (क्योंकि $f(x) \geq \frac{1}{2}$),इसलिए $g(x + 2a) = g(x)$.मान वापस रखने पर,$f(x + 2a) - \frac{1}{2} = f(x) - \frac{1}{2}$,इसलिए $f(x + 2a) = f(x)$.अतः,$f(x)$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $2a$ है।

एक फलन $f: R \to R$ पर विचार करें जहाँ $f(x + a) = \frac{1}{2} + \sqrt{f(x) - f^2(x)}$,और $a$ एक वास्तविक स्थिरांक है। तो $f(x)$ कैसा फलन होना चाहिए?

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यदि समुच्चय $A$ और $B$ को $A = \{(x, y) : y = e^x, x \in R\}$ और $B = \{(x, y) : y = x, x \in R\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,तो:

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