मान लीजिए f(x) और g(x) दो फलन हैं जो f(x) = f | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{2\sin(\pi x)}{x}$.तब $g(x) = f(1 - x) + f(x) = \frac{2\sin(\pi(1 - x))}{1 - x} + \frac{2\sin(\pi x)}{x}$.चूंकि $\sin(\pi

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$1/4$

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(B) दिया गया है $f(x) = \frac{2\sin(\pi x)}{x}$.तब $g(x) = f(1 - x) + f(x) = \frac{2\sin(\pi(1 - x))}{1 - x} + \frac{2\sin(\pi x)}{x}$.चूंकि $\sin(\pi - \pi x) = \sin(\pi x)$,इसलिए $g(x) = 2\sin(\pi x) \left( \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{x} \right) = 2\sin(\pi x) \left( \frac{x + 1 - x}{x(1 - x)} \right) = \frac{2\sin(\pi x)}{x(1 - x)}$.सर्वसमिका $\sin(\pi x) = 2\sin(\frac{\pi x}{2})\cos(\frac{\pi x}{2}) = 2\sin(\frac{\pi x}{2})\sin(\frac{\pi(1 - x)}{2})$ का उपयोग करने पर:$g(x) = \frac{2 \cdot 2\sin(\frac{\pi x}{2})\sin(\frac{\pi(1 - x)}{2})}{x(1 - x)} = 4 \cdot \frac{\sin(\frac{\pi x}{2})}{x} \cdot \frac{\sin(\frac{\pi(1 - x)}{2})}{1 - x}$.चूंकि $f(\frac{x}{2}) = \frac{2\sin(\pi x / 2)}{x/2} = \frac{4\sin(\pi x / 2)}{x}$,इसलिए $\frac{\sin(\pi x / 2)}{x} = \frac{1}{4} f(\frac{x}{2})$ प्राप्त होता है।इसी प्रकार,$\frac{\sin(\pi(1 - x) / 2)}{1 - x} = \frac{1}{4} f(\frac{1 - x}{2})$.इन मानों को $g(x)$ में रखने पर:$g(x) = 4 \cdot \left( \frac{1}{4} f(\frac{x}{2}) \right) \cdot \left( \frac{1}{4} f(\frac{1 - x}{2}) \right) = \frac{1}{4} f(\frac{x}{2}) f(\frac{1 - x}{2})$.अतः,$k = 1/4$.

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