निम्नलिखित में से कौन सा फलन दिए गए अंतरालों पर परिबद्ध (bounded) नहीं है?

मान लीजिए $f(x) = |x|$ और $g(x) = |x| + a$,जहाँ $a > 0$ है। $0 \leq x \leq b$ के लिए,समुच्चय $\{(x, y) \mid g(x) \leq y \leq f(x)\}$ निम्नलिखित में से किसके आंतरिक भाग के सभी बिंदुओं को दर्शाता है:

फलन $f(x) = x + \frac{1}{8} \sin(2 \pi x)$,$0 \leq x \leq 1$ का ग्राफ नीचे दिखाया गया है। $f_1(x) = f(x)$,$f_{n+1}(x) = f(f_n(x))$,$n \geq 1$ के लिए परिभाषित करें।
निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$I.$ ऐसे अनंत $x \in [0, 1]$ हैं जिनके लिए $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = 0$
$II.$ ऐसे अनंत $x \in [0, 1]$ हैं जिनके लिए $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = \frac{1}{2}$
$III.$ ऐसे अनंत $x \in [0, 1]$ हैं जिनके लिए $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = 1$
$IV.$ ऐसे अनंत $x \in [0, 1]$ हैं जिनके लिए $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x)$ का अस्तित्व नहीं है।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x-1, & x \text{ सम है} \\ 2x, & x \text{ विषम है} \end{cases}$। यदि किसी $a \in N$ के लिए,$f(f(f(a))) = 21$ है,तो $\lim_{x \rightarrow a^{-}} \left\{ \frac{|x|^3}{a} - \left[ \frac{x}{a} \right] \right\}$,जहाँ $[t]$ का अर्थ $t$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक है,का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ एक एकैकी (injective) सतत फलन है जो शर्त $-1 < f(0) < f(1) < 1$ को संतुष्ट करता है। तो,ऐसे फलनों $g:[-1,1] \rightarrow [0,1]$ की संख्या क्या होगी ताकि सभी $x \in [0,1]$ के लिए $(g \circ f)(x) = x$ हो?

मान लीजिए $f(x)$ वास्तविक गुणांकों वाला एक गैर-स्थिर बहुपद है,जैसे कि $f\left(\frac{1}{2}\right)=100$ और सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x) \leq 100$ है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन आवश्यक रूप से सत्य नहीं है?