यदि समुच्चय $A$ और $B$ को $A = \{(x, y) : y = e^x, x \in R\}$ और $B = \{(x, y) : y = x, x \in R\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,तो:

मान लीजिए $f(x) = \frac{\sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}}}{\sqrt{x - 1} - 1}$. तो:

यदि $f(x) = \cos(\log x)$ है,तो $f(x^2) \cdot f(y^2) - \frac{1}{2} \left[ f\left(\frac{x^2}{y^2}\right) + f(x^2 y^2) \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

दो समुच्चय $A = \{ x \in \mathbb{Z} : |(| x - 3| - 3)| \leq 1 \}$ और $B = \{ x \in \mathbb{R} - \{1, 2\} : \frac{(x - 2)(x - 4)}{x - 1} \log_{e}(|x - 2|) = 0 \}$ पर विचार करें। तो $f: A \rightarrow B$ पर आच्छादक (onto) फलनों की संख्या किसके बराबर है?

मान लीजिए $S = \mathbb{N} \cup \{0\}$ है। $S$ से $\mathbb{R}$ तक एक संबंध $R$ को इस प्रकार परिभाषित करें: $R = \{(x, y) : \log_e y = x \log_e \left(\frac{2}{5}\right), x \in S, y \in \mathbb{R}\}$। तो,$R$ के परिसर (range) के सभी तत्वों का योग किसके बराबर है?

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ और $g: R \rightarrow R$ फलन हैं जो इस प्रकार परिभाषित हैं:
$f(x)=\begin{cases} x|x| \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$ और $g(x)=\begin{cases} 1-2x, & 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$
मान लीजिए $a, b, c, d \in R$ हैं। फलन $h: R \rightarrow R$ को इस प्रकार परिभाषित करें:
$h(x)=a f(x)+b\left(g(x)+g\left(\frac{1}{2}-x\right)\right)+c(x-g(x))+d g(x), x \in R$
$List-I$ की प्रत्येक प्रविष्टि का $List-II$ की सही प्रविष्टि से मिलान करें।

$List-I$	$List-II$
$(P)$ यदि $a=0, b=1, c=0$ और $d=0$ है,तो	$(1)$ $h$ एकैकी (one-one) है
$(Q)$ यदि $a=1, b=0, c=0$ और $d=0$ है,तो	$(2)$ $h$ आच्छादक (onto) है
$(R)$ यदि $a=0, b=0, c=1$ और $d=0$ है,तो	$(3)$ $h$ $R$ पर अवकलनीय है
$(S)$ यदि $a=0, b=0, c=0$ और $d=1$ है,तो	$(4)$ $h$ का परिसर $[0,1]$ है
	$(5)$ $h$ का परिसर $\{0,1\}$ है

सही विकल्प है