Probability distribution Questions in Hindi

(C) दिया गया प्रायिकता वितरण:
माध्य $m = \sum p_i x_i = (0 \times \frac{1}{3}) + (1 \times \frac{1}{2}) + (2 \times 0) + (3 \times \frac{1}{6})$
$m = 0 + \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 1$
प्रसरण $\sigma^2 = \sum p_i (x_i - m)^2$
$\sigma^2 = \frac{1}{3}(0 - 1)^2 + \frac{1}{2}(1 - 1)^2 + 0(2 - 1)^2 + \frac{1}{6}(3 - 1)^2$
$\sigma^2 = \frac{1}{3}(1) + \frac{1}{2}(0) + 0 + \frac{1}{6}(4)$
$\sigma^2 = \frac{1}{3} + 0 + 0 + \frac{4}{6} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$
अतः,$m = 1$ और $\sigma^2 = 1$,इसलिए $m = \sigma^2 = 1$.

(D) मान लीजिए $X$ दो पासों पर आने वाली संख्याओं का योग है। $X$ के लिए संभावित मान $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$ हैं।
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
$P(X=2) = \frac{1}{36}, P(X=3) = \frac{2}{36}, P(X=4) = \frac{3}{36}, P(X=5) = \frac{4}{36}, P(X=6) = \frac{5}{36}, P(X=7) = \frac{6}{36}, P(X=8) = \frac{5}{36}, P(X=9) = \frac{4}{36}, P(X=10) = \frac{3}{36}, P(X=11) = \frac{2}{36}, P(X=12) = \frac{1}{36}$.
माध्य $E(X)$,$\sum X_i P(X_i)$ द्वारा दिया जाता है:
$E(X) = 2(\frac{1}{36}) + 3(\frac{2}{36}) + 4(\frac{3}{36}) + 5(\frac{4}{36}) + 6(\frac{5}{36}) + 7(\frac{6}{36}) + 8(\frac{5}{36}) + 9(\frac{4}{36}) + 10(\frac{3}{36}) + 11(\frac{2}{36}) + 12(\frac{1}{36})$
$E(X) = \frac{2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12}{36} = \frac{252}{36} = 7$.

(B) यहाँ $n = 2000$ और $p = 0.001$ है।
पॉइसन वितरण का उपयोग करते हुए,प्राचल $\lambda = np = 2000 \times 0.001 = 2$ है।
$X$ व्यक्तियों को प्रतिक्रिया होने की प्रायिकता $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ द्वारा दी जाती है।
हमें $P(X > 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ ज्ञात करना है।
व्यक्तिगत प्रायिकताओं की गणना:
$P(X=0) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} = e^{-2}$
$P(X=1) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = 2e^{-2}$
$P(X=2) = \frac{e^{-2} 2^2}{2!} = 2e^{-2}$
इनका योग: $P(X \le 2) = e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = 5e^{-2}$।
अतः,$P(X > 2) = 1 - 5e^{-2} = 1 - \frac{5}{e^2}$।

(B) भूतल को छोड़कर बाहर निकलने के लिए उपलब्ध मंजिलों की संख्या $6$ है।
प्रत्येक $5$ व्यक्ति स्वतंत्र रूप से $6$ मंजिलों में से किसी को भी चुन सकते हैं।
इसलिए,$5$ व्यक्तियों के बाहर निकलने के कुल तरीके $6^5$ हैं।
$5$ व्यक्तियों के $5$ अलग-अलग मंजिलों पर बाहर निकलने के तरीकों की संख्या $^6P_5$ है।
$^6P_5 = \frac{6!}{(6-5)!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720$.
कुल परिणामों की संख्या $6^5 = 7776$ है।
संभावना $\frac{^6P_5}{6^5} = \frac{720}{7776}$ है।
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{720}{7776} = \frac{5}{54}$.

(C) प्रति पृष्ठ त्रुटियों की औसत संख्या $\lambda_{page} = \frac{250}{500} = 0.5$ है।
$n = 2$ पृष्ठों के नमूने के लिए,पॉइसन वितरण का पैरामीटर $\lambda = n \times \lambda_{page} = 2 \times 0.5 = 1$ हो जाता है।
नमूने में $X$ त्रुटियाँ होने की प्रायिकता पॉइसन सूत्र $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ द्वारा दी जाती है।
कोई त्रुटि न होने के लिए,हम $k = 0$ रखते हैं:
$P(X=0) = \frac{e^{-1} \times 1^0}{0!} = \frac{e^{-1} \times 1}{1} = e^{-1}$.

(C) मान लीजिए $H$ चित को और $T$ पट को दर्शाता है। प्रत्येक $H$ के लिए,$+2$ अंक मिलते हैं और प्रत्येक $T$ के लिए,$-1$ अंक का नुकसान होता है।
जब तीन सिक्के उछाले जाते हैं,तो चित $(n_H)$ और पट $(n_T)$ की संख्या के लिए संभावित परिणाम इस प्रकार हैं:
$1$. तीन पट $(0H, 3T)$: स्कोर $X = 0(2) + 3(-1) = -3$.
$2$. दो पट और एक चित $(1H, 2T)$: स्कोर $X = 1(2) + 2(-1) = 2 - 2 = 0$.
$3$. एक पट और दो चित $(2H, 1T)$: स्कोर $X = 2(2) + 1(-1) = 4 - 1 = 3$.
$4$. तीन चित $(3H, 0T)$: स्कोर $X = 3(2) + 0(-1) = 6$.
अतः,कुल स्कोर $X$ के संभावित मान $\{-3, 0, 3, 6\}$ हैं।
इसलिए,$X$ का परिसर $\{-3, 0, 3, 6\}$ है।

(A) दुकान पर आने वाले ग्राहकों की संख्या पॉइसन वितरण (Poisson distribution) का पालन करती है,जहाँ पैरामीटर $\lambda = 4$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $2$ से अधिक ग्राहकों के आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो कि $P(X > 2)$ है।
$P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$.
मान रखने पर:
$P(X=0) = \frac{4^0 e^{-4}}{0!} = e^{-4}$.
$P(X=1) = \frac{4^1 e^{-4}}{1!} = 4e^{-4}$.
$P(X=2) = \frac{4^2 e^{-4}}{2!} = \frac{16e^{-4}}{2} = 8e^{-4}$.
अतः,$P(X > 2) = 1 - [e^{-4} + 4e^{-4} + 8e^{-4}] = 1 - 13e^{-4}$.
इसे $1 - \frac{13}{e^4} = \frac{e^4 - 13}{e^4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum_{x=1}^{\infty} P(X=x) = 1$.
दिया गया है $P(X=x) = c\left(\frac{2}{3}\right)^x$.
$x$ के मान रखने पर: $c\left(\frac{2}{3}\right) + c\left(\frac{2}{3}\right)^2 + c\left(\frac{2}{3}\right)^3 + \ldots = 1$.
$c$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $c \left[ \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^3 + \ldots \right] = 1$.
कोष्ठक के अंदर का पद एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $a = \frac{2}{3}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{2}{3}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$c \left[ \frac{2/3}{1 - 2/3} \right] = 1$.
$c \left[ \frac{2/3}{1/3} \right] = 1$.
$c(2) = 1$.
इसलिए,$c = \frac{1}{2}$.

(A) औसत आगमन दर,$\lambda$,$240 \text{ वाहन/घंटा} = \frac{240}{3600} \text{ वाहन/सेकंड} = \frac{1}{15} \text{ वाहन/सेकंड}$ है।
$t = 30 \text{ सेकंड}$ के समय अंतराल के लिए,अपेक्षित आगमन संख्या $\mu = \lambda t = \frac{1}{15} \times 30 = 2$ है।
पॉइसन वितरण के अनुसार,$n$ आगमन की प्रायिकता $P(n) = \frac{\mu^n e^{-\mu}}{n!}$ है।
हमें दो से अधिक वाहनों के आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,अर्थात $P(n > 2) = 1 - [P(0) + P(1) + P(2)]$।
व्यक्तिगत प्रायिकताओं की गणना:
$P(0) = \frac{2^0 e^{-2}}{0!} = e^{-2}$
$P(1) = \frac{2^1 e^{-2}}{1!} = 2e^{-2}$
$P(2) = \frac{2^2 e^{-2}}{2!} = \frac{4e^{-2}}{2} = 2e^{-2}$
इन प्रायिकताओं का योग: $P(n \leq 2) = e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = 5e^{-2}$।
अतः,$P(n > 2) = 1 - 5e^{-2} = 1 - \frac{5}{e^2} = \frac{e^2 - 5}{e^2}$।

(A) दिया गया प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=n) = \frac{k(n+1)}{3^n}$ है,जहाँ $n \in \{0, 1, 2, \dots\}$ है।
चूंकि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,इसलिए $\sum_{n=0}^{\infty} P(X=n) = 1$ है।
$k \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{3^n} = k \left( \frac{1}{3^0} + \frac{2}{3^1} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots \right) = 1$ है।
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है जिसमें $a=1$,$d=1$,और $r=\frac{1}{3}$ है।
श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} + \frac{dr}{(1-r)^2} = \frac{1}{1-1/3} + \frac{1 \cdot (1/3)}{(1-1/3)^2} = \frac{3}{2} + \frac{1/3}{4/9} = \frac{3}{2} + \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$ है।
अतः,$k \cdot \frac{9}{4} = 1 \implies k = \frac{4}{9}$ है।
हमें $P(X < 2) = P(X=0) + P(X=1)$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = k \cdot \frac{0+1}{3^0} = k \cdot 1 = \frac{4}{9}$ है।
$P(X=1) = k \cdot \frac{1+1}{3^1} = k \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$ है।
$P(X < 2) = \frac{4}{9} + \frac{8}{27} = \frac{12+8}{27} = \frac{20}{27}$ है।

(A) पॉइसन वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $P(X=3) = P(X=5)$,इसलिए $\frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^5}{5!}$।
दोनों पक्षों से $e^{-\lambda}$ और $\lambda^3$ को हटाने पर,हमें $\frac{1}{6} = \frac{\lambda^2}{120}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda^2 = \frac{120}{6} = 20$,जिसका अर्थ है कि $\lambda = \sqrt{20}$।
अब,हमें $P(X=4) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!}$ ज्ञात करना है।
$\lambda = \sqrt{20}$ और $\lambda^2 = 20$ रखने पर,हमें $P(X=4) = \frac{e^{-\sqrt{20}} (20)^2}{24} = \frac{400}{24 e^{\sqrt{20}}} = \frac{50}{3 e^{\sqrt{20}}}$ प्राप्त होता है।

(B) पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ है।
दिया गया है कि $\frac{P(X=5)}{P(X=2)} = \frac{1}{7500}$,इसलिए $\frac{\frac{e^{-\lambda} \lambda^5}{5!}}{\frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!}} = \frac{\lambda^3}{5 \times 4 \times 3} = \frac{\lambda^3}{60} = \frac{1}{7500}$ है।
अतः,$\lambda^3 = \frac{60}{7500} = \frac{1}{125}$ है।
घनमूल लेने पर,$\lambda = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
दूसरी शर्त की जाँच करने पर: $\frac{P(X=5)}{P(X=3)} = \frac{\frac{e^{-\lambda} \lambda^5}{5!}}{\frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!}} = \frac{\lambda^2}{5 \times 4} = \frac{\lambda^2}{20}$ है।
$\lambda = \frac{1}{5}$ रखने पर,$\frac{(1/5)^2}{20} = \frac{1/25}{20} = \frac{1}{500}$ प्राप्त होता है।
यह शर्त संतुष्ट होती है। अतः,वितरण का माध्य $\lambda = \frac{1}{5}$ है।

(C) त्रुटियों की संख्या $\lambda = n \times p_{error}$ पैरामीटर के साथ पॉइसन वितरण का पालन करती है।
यहाँ $n = 40$ पृष्ठ हैं और त्रुटि की दर प्रति $10$ पृष्ठों पर $1$ है,इसलिए त्रुटियों की औसत संख्या $\lambda = 40 \times \frac{1}{10} = 4$ है।
$X$ त्रुटियाँ होने की प्रायिकता $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ द्वारा दी जाती है।
हमें प्रायिकता ज्ञात करनी है कि त्रुटियाँ अधिकतम $2$ हैं,जो $p = P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ है।
$p = e^{-4} \left( \frac{4^0}{0!} + \frac{4^1}{1!} + \frac{4^2}{2!} \right) = e^{-4} (1 + 4 + 8) = 13 e^{-4}$.
हमें $e^2 p$ का मान ज्ञात करना है।
$e^2 p = e^2 \times 13 e^{-4} = 13 e^{-2}$.

(B) माना $X$ निकाले गए खराब अंडों की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। अंडों की कुल संख्या $12$ है और हम बिना प्रतिस्थापन के $3$ अंडे निकालते हैं। $X$ के लिए संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
प्रायिकता वितरण की गणना इस प्रकार की जाती है:
$P(X=0) = \frac{{}^{10}C_3}{{}^{12}C_3} = \frac{120}{220} = \frac{12}{22}$
$P(X=1) = \frac{{}^{10}C_2 \times {}^{2}C_1}{{}^{12}C_3} = \frac{45 \times 2}{220} = \frac{90}{220} = \frac{9}{22}$
$P(X=2) = \frac{{}^{10}C_1 \times {}^{2}C_2}{{}^{12}C_3} = \frac{10 \times 1}{220} = \frac{10}{220} = \frac{1}{22}$
अब,हम माध्य $E(X) = \sum x_i P_i$ की गणना करते हैं:
$E(X) = (0 \times \frac{12}{22}) + (1 \times \frac{9}{22}) + (2 \times \frac{1}{22}) = \frac{9+2}{22} = \frac{11}{22} = \frac{1}{2}$
इसके बाद,हम $E(X^2) = \sum x_i^2 P_i$ की गणना करते हैं:
$E(X^2) = (0^2 \times \frac{12}{22}) + (1^2 \times \frac{9}{22}) + (2^2 \times \frac{1}{22}) = \frac{9+4}{22} = \frac{13}{22}$
अंत में,प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ द्वारा प्राप्त होता है:
$Var(X) = \frac{13}{22} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{13}{22} - \frac{1}{4} = \frac{26-11}{44} = \frac{15}{44}$

(A) यहाँ कुल संदेशों की संख्या $n = 500$ है और संदेश के सही ढंग से प्रसारित होने की प्रायिकता $0.98$ है।
इसलिए,संदेश के गलत तरीके से प्रसारित होने की प्रायिकता $p = 1 - 0.98 = 0.02$ है।
चूँकि $n$ बड़ा है और $p$ छोटा है,हम पॉइसन वितरण का उपयोग करेंगे जहाँ पैरामीटर $\lambda = np = 500 \times 0.02 = 10$ है।
गलत तरीके से प्रसारित संदेशों $X$ के लिए प्रायिकता $P(X=r) = \frac{\lambda^r e^{-\lambda}}{r!}$ द्वारा दी जाती है।
हमें अधिकतम एक संदेश के गलत तरीके से प्रसारित होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,अर्थात $P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1)$।
$P(X=0) = \frac{10^0 e^{-10}}{0!} = e^{-10}$।
$P(X=1) = \frac{10^1 e^{-10}}{1!} = 10 e^{-10}$।
अतः,$P(X \leq 1) = e^{-10} + 10 e^{-10} = 11 e^{-10} = \frac{11}{e^{10}}$।

(B) मान लीजिए $X$ प्रति घंटे की गई कॉल की संख्या है। चूंकि कॉल की औसत संख्या $5$ है,$X$ एक पॉइसन वितरण का पालन करता है जिसका पैरामीटर $\lambda = 5$ है।
$X$ कॉल की लागत $2X$ है। हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि लागत $Rs. 4$ से अधिक हो,अर्थात $P(2X > 4) = P(X > 2)$।
$P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$।
पॉइसन सूत्र $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X=0) = e^{-5} \frac{5^0}{0!} = e^{-5}$।
$P(X=1) = e^{-5} \frac{5^1}{1!} = 5e^{-5}$।
$P(X=2) = e^{-5} \frac{5^2}{2!} = \frac{25}{2} e^{-5}$।
इनका योग करने पर: $P(X \leq 2) = e^{-5} (1 + 5 + 12.5) = 18.5 e^{-5} = \frac{37}{2} e^{-5}$।
अतः,$P(X > 2) = 1 - \frac{37}{2 e^5} = \frac{2 e^5 - 37}{2 e^5}$।

(B) खराब प्रतिक्रिया होने की प्रायिकता $p = 0.01$ है और लोगों की संख्या $n = 300$ है।
चूंकि $n$ बड़ा है और $p$ छोटा है,इसलिए हम द्विपद वितरण के सन्निकटन के रूप में पॉइसन वितरण का उपयोग करेंगे।
माध्य $\mu = n \times p = 300 \times 0.01 = 3$ है।
पॉइसन वितरण का सूत्र $P(X = x) = \frac{e^{-\mu} \cdot \mu^x}{x!}$ है।
$x = 2$ के लिए,$P(X = 2) = \frac{e^{-3} \cdot 3^2}{2!} = \frac{9}{2 e^3}$ प्राप्त होता है।

(A) जब $3$ सिक्के उछाले जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $2^3 = 8$ परिणाम होते हैं: $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$.
मान लीजिए $H$ चितों की संख्या है और $T$ पटों की संख्या है। शुद्ध लाभ $X = 10T - 5H$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $H + T = 3$,इसलिए $T = 3 - H$ है।
अतः,$X = 10(3 - H) - 5H = 30 - 15H$.
प्रत्येक परिणाम के लिए $X$ की गणना:
- $HHH (H=3): X = 30 - 15(3) = -15$
- $HHT, HTH, THH (H=2): X = 30 - 15(2) = 0$
- $HTT, THT, TTH (H=1): X = 30 - 15(1) = 15$
- $TTT (H=0): X = 30 - 15(0) = 30$
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$x$	$-15$	$0$	$15$	$30$
$P(x)$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

माध्य $E(X) = \Sigma x P(x) = (-15 \times \frac{1}{8}) + (0 \times \frac{3}{8}) + (15 \times \frac{3}{8}) + (30 \times \frac{1}{8})$
$E(X) = \frac{-15 + 0 + 45 + 30}{8} = \frac{60}{8} = \frac{15}{2}$.

(D) मान लीजिए $X_1, X_2, X_3$ तीन पासों पर आने वाली संख्याओं को दर्शाने वाले यादृच्छिक चर हैं।
प्रत्येक $X_i$ समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ से समान प्रायिकता $P(X_i = k) = \frac{1}{6}$ के साथ मान ले सकता है।
एक पासे का माध्य (अपेक्षित मान) $E[X_i] = \sum_{k=1}^{6} k \cdot P(X_i = k) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$ है।
मान लीजिए $S$ तीन पासों पर आने वाली संख्याओं का योग है,इसलिए $S = X_1 + X_2 + X_3$ है।
प्रत्याशा की रैखिकता के गुणधर्म के अनुसार,योग का माध्य $E[S] = E[X_1 + X_2 + X_3] = E[X_1] + E[X_2] + E[X_3]$ होगा।
एक पासे के माध्य का मान रखने पर,हमें $E[S] = 3.5 + 3.5 + 3.5 = 10.5$ प्राप्त होता है।
अतः,संख्याओं के योग का माध्य $10.5$ है।

(D) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
दोनों पासों पर संख्याओं का योग सम या विषम हो सकता है।
सम योग वाले परिणामों की संख्या $18$ है,और विषम योग वाले परिणामों की संख्या $18$ है।
अतः,$P(\text{योग सम}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ और $P(\text{योग विषम}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$।
मान लीजिए $X$ वह यादृच्छिक चर है जो $A$ द्वारा प्राप्त अंकों को दर्शाता है।
यदि योग सम है,तो $X = \frac{1}{2}$ प्रायिकता $\frac{1}{2}$ के साथ।
यदि योग विषम है,तो $X = 1$ प्रायिकता $\frac{1}{2}$ के साथ।
$X$ का अंकगणितीय माध्य (अपेक्षित मान) $E(X) = \sum x_i p_i = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}) + (1 \times \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ है।

(B) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए: $\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $c \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+3}{3^k} = 1$.
मान लीजिए $S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+3}{3^k} = 3 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{3^k} + 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k}{3^k}$.
पहला भाग एक गुणोत्तर श्रेणी है: $3 \times \frac{1}{1 - 1/3} = 3 \times \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$.
दूसरा भाग एक अंकगणितीय-गुणोत्तर श्रेणी है: $\sum_{k=0}^{\infty} k x^k = \frac{x}{(1-x)^2}$. $x = 1/3$ के लिए,यह $\frac{1/3}{(1-1/3)^2} = \frac{1/3}{4/9} = \frac{3}{4}$ है।
अतः,$S = \frac{9}{2} + 2 \times \frac{3}{4} = \frac{9}{2} + \frac{3}{2} = 6$.
चूंकि $c \times S = 1$,इसलिए $c = 1/6$.
अब,$P(X=3) = \frac{(2(3)+3)c}{3^3} = \frac{9c}{27} = \frac{c}{3}$.
$c = 1/6$ रखने पर,हमें $P(X=3) = \frac{1/6}{3} = \frac{1}{18}$ प्राप्त होता है।

(C) चरण $1$: $k$ का मान ज्ञात कीजिए। प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$3k + k + k + 2k + k = 1 \implies 8k = 1 \implies k = \frac{1}{8}$.
चरण $2$: माध्य $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ की गणना करें।
$E(X) = 2(3k) + 3(k) + 5(k) + 7(2k) + 12(k) = 6k + 3k + 5k + 14k + 12k = 40k$.
चूंकि $k = \frac{1}{8}$,$E(X) = 40 \times \frac{1}{8} = 5$.
चरण $3$: $E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i)$ की गणना करें।
$E(X^2) = 2^2(3k) + 3^2(k) + 5^2(k) + 7^2(2k) + 12^2(k) = 12k + 9k + 25k + 98k + 144k = 288k$.
चूंकि $k = \frac{1}{8}$,$E(X^2) = 288 \times \frac{1}{8} = 36$.
चरण $4$: प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ की गणना करें।
$Var(X) = 36 - (5)^2 = 36 - 25 = 11$.
चरण $5$: मानक विचलन $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{11}$।

(A) एक असतत यादृच्छिक चर के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $3k^3 + 2k^2 + (7 - 19k) = 1$.
$3k^3 + 2k^2 - 19k + 6 = 0$.
मानों की जाँच करने पर,यदि $k = \frac{1}{3}$ है,तो $3(\frac{1}{27}) + 2(\frac{1}{9}) - 19(\frac{1}{3}) + 6 = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} - \frac{57}{9} + \frac{54}{9} = 0$.
अतः,$k = \frac{1}{3}$ एक मूल है।
अब,$P(X=3) = 7 - 19k = 7 - 19(\frac{1}{3}) = 7 - \frac{19}{3} = \frac{21 - 19}{3} = \frac{2}{3}$.

(B) हम जानते हैं कि वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,अर्थात $\Sigma P(X = x_i) = 1$.
$\therefore 2k^2 + k + k + k^2 = 1$
$\Rightarrow 3k^2 + 2k - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(3k - 1)(k + 1) = 0$.
इससे $k = \frac{1}{3}$ या $k = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रायिकता $P(X = x_i)$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए,इसलिए $k = \frac{1}{3}$ ही एकमात्र सही समाधान है।
$X$ का माध्य $E(X) = \Sigma x_i P(X = x_i)$ द्वारा दिया जाता है।
$E(X) = (1 \times 2k^2) + (2 \times k) + (3 \times k) + (5 \times k^2)$
$E(X) = 2k^2 + 2k + 3k + 5k^2 = 7k^2 + 5k$
$k = \frac{1}{3}$ रखने पर:
$E(X) = 7(\frac{1}{3})^2 + 5(\frac{1}{3}) = 7(\frac{1}{9}) + \frac{5}{3} = \frac{7}{9} + \frac{15}{9} = \frac{22}{9}$.

(D) हम जानते हैं कि वितरण में प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
$\Sigma P(X=x) = K + 2K + 3K^2 + K^2 = 1$
$4K^2 + 3K - 1 = 0$
$(4K - 1)(K + 1) = 0$
चूंकि $P(X=x) \geq 0$,इसलिए हम $K = -1$ को अस्वीकार करते हैं। अतः,$K = \frac{1}{4}$ है।
वितरण इस प्रकार है:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X=x & 2 & 3 & 5 & 9 \\\hline P(X=x) & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{16} & \frac{1}{16} \\\hline\end{array}$
$E(X) = \Sigma x P(x) = (2 \times \frac{1}{4}) + (3 \times \frac{1}{2}) + (5 \times \frac{3}{16}) + (9 \times \frac{1}{16}) = \frac{8}{16} + \frac{24}{16} + \frac{15}{16} + \frac{9}{16} = \frac{56}{16} = \frac{7}{2}$
$E(X^2) = \Sigma x^2 P(x) = (4 \times \frac{1}{4}) + (9 \times \frac{1}{2}) + (25 \times \frac{3}{16}) + (81 \times \frac{1}{16}) = 1 + \frac{9}{2} + \frac{75}{16} + \frac{81}{16} = \frac{16 + 72 + 75 + 81}{16} = \frac{244}{16} = \frac{61}{4}$
$\text{प्रसरण} = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{61}{4} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{61}{4} - \frac{49}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

(D) प्रायिकता वितरण में प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
$3K^2 + K + K^2 + 2K = 1$
$4K^2 + 3K - 1 = 0$
$(4K - 1)(K + 1) = 0$
चूँकि $P(X=x) \geq 0$,$K$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $K = \frac{1}{4}$।
वितरण इस प्रकार है:

$X=x$	$1$	$3$	$5$	$2$
$P(X=x)$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{2}$

माध्य $\mu = E(X) = \sum x_i P(x_i) = 1(\frac{3}{16}) + 3(\frac{1}{4}) + 5(\frac{1}{16}) + 2(\frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + \frac{12}{16} + \frac{5}{16} + \frac{16}{16} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$।
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 1^2(\frac{3}{16}) + 3^2(\frac{1}{4}) + 5^2(\frac{1}{16}) + 2^2(\frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + \frac{36}{16} + \frac{25}{16} + \frac{32}{16} = \frac{96}{16} = 6$।
प्रसरण $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = 6 - (\frac{9}{4})^2 = 6 - \frac{81}{16} = \frac{96 - 81}{16} = \frac{15}{16}$।

(C) पॉइसन वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई शर्त $3 P(X=2) = P(X=4)$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $3 \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!}$.
दोनों पक्षों से $e^{-\lambda}$ को हटाने और फैक्टोरियल को सरल करने पर: $\frac{3 \lambda^2}{2} = \frac{\lambda^4}{24}$.
दोनों पक्षों को $24$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है $36 \lambda^2 = \lambda^4$.
चूंकि $\lambda > 0$,इसलिए $\lambda^2 = 36$,जिसका अर्थ है $\lambda = 6$.
अब,हमें $P(X=6) = \frac{e^{-6} \cdot 6^6}{6!}$ ज्ञात करना है।
मान की गणना करने पर: $P(X=6) = \frac{e^{-6} \cdot 46656}{720} = \frac{46656}{720 e^6} = \frac{324}{5 e^6}$.

(C) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है:
$\Sigma P(X = x) = 0.15 + 0.23 + k + 0.10 + 0.20 + 0.08 + 0.07 + 0.05 = 1$
$0.88 + k = 1$
$k = 0.12$
घटना $E$ में $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ के बीच की अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए $E = \{2, 3, 5, 7\}$.
घटना $F$ में $4$ से छोटी संख्याएँ हैं,इसलिए $F = \{1, 2, 3\}$.
अतः $E \cup F = \{1, 2, 3, 5, 7\}$.
प्रायिकता $P(E \cup F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=5) + P(X=7)$
$P(E \cup F) = 0.15 + 0.23 + 0.12 + 0.20 + 0.07 = 0.77$.

(C) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X = x_{i}) = 0.1 + k + 0.2 + 2k + 3k + k = 1$
$7k + 0.3 = 1 \Rightarrow 7k = 0.7 \Rightarrow k = 0.1$.
अब,हम माध्य $\mu = E(X) = \sum x_{i} P(x_{i})$ की गणना करते हैं:
$\mu = (-2)(0.1) + (-1)(0.1) + (0)(0.2) + (1)(0.2) + (2)(0.3) + (3)(0.1)$
$\mu = -0.2 - 0.1 + 0 + 0.2 + 0.6 + 0.3 = 0.8$.
इसके बाद,हम $E(X^2) = \sum x_{i}^2 P(x_{i})$ की गणना करते हैं:
$E(X^2) = (-2)^2(0.1) + (-1)^2(0.1) + (0)^2(0.2) + (1)^2(0.2) + (2)^2(0.3) + (3)^2(0.1)$
$E(X^2) = 4(0.1) + 1(0.1) + 0 + 1(0.2) + 4(0.3) + 9(0.1)$
$E(X^2) = 0.4 + 0.1 + 0 + 0.2 + 1.2 + 0.9 = 2.8$.
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ द्वारा दिया जाता है।
$Var(X) = 2.8 - (0.8)^2 = 2.8 - 0.64 = 2.16$.

(C) कुल गेंदों की संख्या $5 + 3 = 8$ है। दो गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। $2$ गेंदें निकालने के कुल तरीके ${}^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ हैं।
माना $X$ निकाली गई सफेद गेंदों की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। $X$ के संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
$P(X = 0) = \frac{{}^5C_2}{{}^8C_2} = \frac{10}{28}$.
$P(X = 1) = \frac{{}^5C_1 \times {}^3C_1}{{}^8C_2} = \frac{5 \times 3}{28} = \frac{15}{28}$.
$P(X = 2) = \frac{{}^3C_2}{{}^8C_2} = \frac{3}{28}$.
$X$ का माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times P(X = 0) + 1 \times P(X = 1) + 2 \times P(X = 2)$ द्वारा दिया जाता है।
$E(X) = 0 \times \frac{10}{28} + 1 \times \frac{15}{28} + 2 \times \frac{3}{28} = 0 + \frac{15}{28} + \frac{6}{28} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}$.

(B) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है। इसलिए,$\sum_{r=0}^{\infty} P(X=r) = 1$.
दिया गया है $P(X=r) = k(1+r) 3^{-r}$,अतः $k \sum_{r=0}^{\infty} (1+r) \left(\frac{1}{3}\right)^r = 1$.
माना $S = \sum_{r=0}^{\infty} (1+r) x^r$ जहाँ $x = \frac{1}{3}$.
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है: $S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots$.
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर: $xS = x + 2x^2 + 3x^3 + \ldots$.
दोनों को घटाने पर: $S(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots = \frac{1}{1-x}$.
अतः,$S = \frac{1}{(1-x)^2}$.
$x = \frac{1}{3}$ के लिए,$S = \frac{1}{(1 - 1/3)^2} = \frac{1}{(2/3)^2} = \frac{9}{4}$.
इसलिए,$k \times \frac{9}{4} = 1 \implies k = \frac{4}{9}$.
अब,$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = k \left[ (1+0)3^0 + (1+1)3^{-1} + (1+2)3^{-2} \right]$.
$= \frac{4}{9} \left[ 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{9} \right] = \frac{4}{9} \left[ 1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \right] = \frac{4}{9} \times 2 = \frac{8}{9}$.

(D) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए:
$\sum P(X=x) = 0 + k + 2k + 5k^2 + 2k^2 + 3k = 1$
$7k^2 + 6k - 1 = 0$
$7k^2 + 7k - k - 1 = 0$
$7k(k + 1) - 1(k + 1) = 0$
$(k + 1)(7k - 1) = 0$
चूंकि प्रायिकता के लिए $k$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $k = \frac{1}{7}$।
माध्य $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ द्वारा दिया जाता है:
$E(X) = (0 \times 0) + (2 \times k) + (4 \times 2k) + (6 \times 5k^2) + (8 \times 2k^2) + (10 \times 3k)$
$E(X) = 0 + 2k + 8k + 30k^2 + 16k^2 + 30k$
$E(X) = 46k^2 + 40k$
$k = \frac{1}{7}$ रखने पर:
$E(X) = 46(\frac{1}{7})^2 + 40(\frac{1}{7})$
$E(X) = \frac{46}{49} + \frac{40}{7} = \frac{46 + 280}{49} = \frac{326}{49}$
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(D) पॉइसन वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $P(X=2) = P(X=3)$,इसलिए:
$\frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!}$
$\frac{1}{2} = \frac{\lambda}{6} \implies \lambda = 3$.
अब,हमें दिया गया है कि $\frac{5}{3} k = P(X=2) = \frac{e^{-3} 3^2}{2!} = \frac{9 e^{-3}}{2}$.
अतः,$\frac{5}{3} k = \frac{9 e^{-3}}{2} \implies e^{-3} = \frac{10}{27} k$.
हमें $P(X=5) = \frac{e^{-3} 3^5}{5!} = \frac{e^{-3} \times 243}{120} = \frac{81}{40} e^{-3}$ ज्ञात करना है।
$e^{-3} = \frac{10}{27} k$ का मान रखने पर:
$P(X=5) = \frac{81}{40} \times \frac{10}{27} k = \frac{3}{4} k$.

(A) किसी भी प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X = x_i) = 10k + 9k + 8k + 8k + 6k + 5k + 4k + 3k + k = 54k = 1$.
इसलिए,$k = \frac{1}{54}$.
घटना $A$ में $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ में से अभाज्य संख्याएँ शामिल हैं,जो $\{2, 3, 5, 7\}$ हैं।
$P(A) = P(2) + P(3) + P(5) + P(7) = 9k + 8k + 6k + 4k = 27k$.
घटना $B$ में $x_i > 5$ वाले मान शामिल हैं,जो $\{6, 7, 8, 9\}$ हैं।
$P(B) = P(6) + P(7) + P(8) + P(9) = 5k + 4k + 3k + k = 13k$.
प्रतिच्छेदन $A \cap B$ में वे मान शामिल हैं जो अभाज्य भी हैं और $5$ से बड़े भी हैं,जो $\{7\}$ है।
$P(A \cap B) = P(7) = 4k$.
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = 27k + 13k - 4k = 36k$.
$k = \frac{1}{54}$ रखने पर,हमें $P(A \cup B) = 36 \times \frac{1}{54} = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) यह प्रश्न पॉइसन वितरण का पालन करता है क्योंकि परीक्षणों की संख्या $n = 2000$ बड़ी है और सफलता की संभावना $p = 0.001$ बहुत कम है।
पॉइसन वितरण के लिए,पैरामीटर $\lambda$ को $\lambda = n \times p$ द्वारा दिया जाता है।
$\lambda = 2000 \times 0.001 = 2$।
पॉइसन वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{x!}$ है।
हमें ठीक $x = 3$ व्यक्तियों के लिए प्रायिकता ज्ञात करनी है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $P(X = 3) = \frac{e^{-2} \times 2^{3}}{3!}$।
$P(X = 3) = \frac{e^{-2} \times 8}{6} = \frac{4}{3 e^{2}}$।

(C) माध्य '$m$' वाले पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(x = k) = \frac{m^k \cdot e^{-m}}{k!}$ है,जहाँ $k = 0, 1, 2, \dots$ है।
हमें $P(x > 0)$ ज्ञात करना है।
पूरक नियम का उपयोग करते हुए,$P(x > 0) = 1 - P(x = 0)$।
सूत्र में $k = 0$ रखने पर,हमें $P(x = 0) = \frac{m^0 \cdot e^{-m}}{0!} = \frac{1 \cdot e^{-m}}{1} = e^{-m}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(x > 0) = 1 - e^{-m} = 1 - \frac{1}{e^m}$।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $P(x > 0) = \frac{e^m - 1}{e^m}$ प्राप्त होता है।

(C) एक यादृच्छिक चर के लिए सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 1$
$3c^3 + (4c - 10c^2) + (5c - 1) = 1$
$3c^3 - 10c^2 + 9c - 2 = 0$
त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(c - 1)(c - 2)(3c - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $0 \le P(X) \le 1$,हम मानों की जांच करते हैं। यदि $c = 1$ है,तो $P(X = 2) = 5(1) - 1 = 4$,जो असंभव है। यदि $c = 2$ है,तो $P(X = 2) = 5(2) - 1 = 9$,जो असंभव है। अतः,$c = \frac{1}{3}$.
अब,$P(X = 0) = 3(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{9}$,$P(X = 1) = 4(\frac{1}{3}) - 10(\frac{1}{3})^2 = \frac{4}{3} - \frac{10}{9} = \frac{2}{9}$,और $P(X = 2) = 5(\frac{1}{3}) - 1 = \frac{2}{3}$.
हमें $P(0 < X \le 2) = P(X = 1) + P(X = 2)$ ज्ञात करना है।
$P(0 < X \le 2) = \frac{2}{9} + \frac{2}{3} = \frac{2}{9} + \frac{6}{9} = \frac{8}{9}$.

(A) एक असतत प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
$\sum_{x=1}^{\infty} P(X = x) = 1$
$\sum_{x=1}^{\infty} 5r^x = 1$
$5(r + r^2 + r^3 + \dots) = 1$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = r$ और सार्व अनुपात $r$ है। अनंत श्रेणी का योग $|r| < 1$ के लिए $\frac{a}{1-r}$ होता है।
$5 \left( \frac{r}{1 - r} \right) = 1$
$5r = 1 - r$
$6r = 1$
$r = \frac{1}{6}$

(D) किसी भी प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
$\sum_{x=0}^{7} P(x) = 1$
$\Rightarrow 0.01 + 0.10 + 0.26 + 0.33 + 0.18 + 0.06 + K + 0.04 = 1$
$\Rightarrow 0.98 + K = 1$
$\Rightarrow K = 1 - 0.98 = 0.02$
अब,हमें $P(X \geq 3) - P(X < 6)$ की गणना करनी है।
$P(X \geq 3) = P(3) + P(4) + P(5) + P(6) + P(7) = 0.33 + 0.18 + 0.06 + 0.02 + 0.04 = 0.63$
$P(X < 6) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = 0.01 + 0.10 + 0.26 + 0.33 + 0.18 + 0.06 = 0.94$
अतः,$P(X \geq 3) - P(X < 6) = 0.63 - 0.94 = -0.31$.

(A) मास्क के खराब होने की प्रायिकता $p = \frac{1}{500} = 0.002$ है।
$n = 100$ मास्क के एक पैकेट में,खराब मास्क की अपेक्षित संख्या $\lambda = np = 100 \times 0.002 = 0.2$ है।
पॉइसन वितरण का उपयोग करते हुए,एक पैकेट में $r$ खराब मास्क होने की प्रायिकता $P(X = r) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!}$ है।
पैकेट में कोई भी खराब मास्क न होने के लिए,हम $r = 0$ रखते हैं:
$P(X = 0) = \frac{e^{-0.2} (0.2)^0}{0!} = e^{-0.2}$.
$10,000$ पैकेट की खेप में,बिना खराब मास्क वाले पैकेटों की संख्या $10,000 \times P(X = 0) = 10,000 \times e^{-0.2} = \frac{10,000}{e^{0.2}}$ है।

(D) दिया गया प्रायिकता फलन $P(X=r) = K r^2$ है,जहाँ $r \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ है।
चूँकि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,इसलिए:
$\sum P(X=r) = 1$
$K((-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2) = 1$
$K(4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9) = 1$
$19K = 1 \Rightarrow K = \frac{1}{19}$
हमें प्रसरण $\sigma^2$ और माध्य के वर्ग $\mu^2$ का योग ज्ञात करना है। हम जानते हैं कि $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$,इसलिए $\sigma^2 + \mu^2 = E(X^2)$ होगा।
$E(X^2) = \sum r^2 P(X=r) = \sum r^2 (K r^2) = K \sum r^4$
$E(X^2) = K((-2)^4 + (-1)^4 + 0^4 + 1^4 + 2^4 + 3^4)$
$E(X^2) = K(16 + 1 + 0 + 1 + 16 + 81) = K(115)$
$K = \frac{1}{19}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E(X^2) = \frac{115}{19}$
अतः,$\sigma^2 + \mu^2 = \frac{115}{19}$।

(B) पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $P(X = 2) = 2 \cdot P(X = 1)$।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^2}{2!} = 2 \cdot \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^1}{1!}$।
दोनों पक्षों को $e^{-\lambda} \cdot \lambda$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $\lambda \neq 0$):
$\frac{\lambda}{2} = 2 \cdot 1$।
$\lambda = 4$।
पॉइसन वितरण में,प्रसरण (variance) प्राचल $\lambda$ के बराबर होता है,इसलिए $\sigma^2 = \lambda = 4$।
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\lambda} = \sqrt{4} = 2$ है।

(C) हम जानते हैं कि एक वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होता है।
$\sum P(X = x) = 0 + k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + 7k^2 + k = 1$
$10k^2 + 9k - 1 = 0$
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
चूंकि प्रायिकता हमेशा धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $k = \frac{1}{10}$।
हमें $P(0 < X < 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)$ ज्ञात करना है।
$P(0 < X < 4) = k + 2k + 2k = 5k$।
$k = \frac{1}{10}$ रखने पर,$P(0 < X < 4) = 5 \times \frac{1}{10} = \frac{1}{2}$।

(B) पॉइसन वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $p(x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x = 0, 1, 2, \dots$ है।
$x$ का वह मान ज्ञात करने के लिए जिसके लिए $p(x)$ अधिकतम है,हम अनुपात $\frac{p(x)}{p(x-1)}$ की जाँच करते हैं।
$\frac{p(x)}{p(x-1)} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x / x!}{e^{-\lambda} \lambda^{x-1} / (x-1)!} = \frac{\lambda}{x}$।
$p(x)$ के अधिकतम होने के लिए,हमें $\frac{p(x)}{p(x-1)} \geq 1$ और $\frac{p(x+1)}{p(x)} \leq 1$ की आवश्यकता है।
इसका अर्थ है $\frac{\lambda}{x} \geq 1 \implies x \leq \lambda$ और $\frac{\lambda}{x+1} \leq 1 \implies x+1 \geq \lambda$।
अतः,मोड $x$ शर्त $\lambda - 1 \leq x \leq \lambda$ को संतुष्ट करता है।
दिया गया है $\lambda = 3.725$,इसलिए $3.725 - 1 \leq x \leq 3.725$,जिसका अर्थ है $2.725 \leq x \leq 3.725$।
चूंकि $x$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $x$ का वह मान जो $p(x)$ को अधिकतम करता है,$3$ है।

(B) हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $\sum P(X=x_i) = 1$.
$0.1 + 0.15 + 0.3 + 0.25 + k + k = 1$
$0.8 + 2k = 1 \implies 2k = 0.2 \implies k = 0.1$.
अब,हम माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ और $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ की गणना करते हैं:

$x_i$	$P(x_i)$	$x_i P(x_i)$	$x_i^2 P(x_i)$
$1$	$0.1$	$0.1$	$0.1$
$2$	$0.15$	$0.3$	$0.6$
$3$	$0.3$	$0.9$	$2.7$
$4$	$0.25$	$1.0$	$4.0$
$5$	$0.1$	$0.5$	$2.5$
$6$	$0.1$	$0.6$	$3.6$
कुल	$1.0$	$3.4$	$13.5$

प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ द्वारा दिया जाता है।
$Var(X) = 13.5 - (3.4)^2 = 13.5 - 11.56 = 1.94$.

(C) पॉइसन वितरण के लिए,प्रसरण (variance) प्राचल $\lambda$ के बराबर होता है। दिया गया है कि प्रसरण $3$ है,इसलिए $\lambda = 3$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=r) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!}$ द्वारा दिया जाता है।
पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता $P(X=r)$ अधिकतम होती है जब $r = \lfloor \lambda \rfloor$ यदि $\lambda$ एक पूर्णांक नहीं है,और यदि $\lambda$ एक पूर्णांक है तो यह $r = \lambda$ और $r = \lambda - 1$ पर दो अधिकतम मान लेती है।
यहाँ,$\lambda = 3$ है,जो एक पूर्णांक है।
इसलिए,$P(X=r)$ का मान $r = 3$ और $r = 3 - 1 = 2$ पर अधिकतम है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$r=2$ और $r=3$ दोनों मान्य हैं,लेकिन चूंकि विकल्पों में $r=2$ दिया गया है,इसलिए यह एक सही मान है।