यदि $X$ माध्य $3$ वाला एक पॉइसन यादृच्छिक चर है,तो $P(|X-3| < 2) =$

एक खेल में,$3$ सिक्के उछाले जाते हैं। यदि किसी व्यक्ति को सभी चित (heads) या सभी पट (tails) मिलते हैं,तो उसे ₹ $7$ का भुगतान किया जाता है; और यदि उसे एक चित या दो चित मिलते हैं,तो उसे ₹ $3$ का भुगतान करना पड़ता है। प्रति खेल उसके द्वारा औसतन जीतने की अपेक्षित राशि ₹ है

यदि फलन $f$ जो $f(x) = \begin{cases} K(x-x^2) & \text{यदि } 0 < x < 1 \\ 0 & \text{अन्यथा} \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,एक यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता घनत्व फलन (p.d.f.) है,तो $P(X < \frac{1}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक चर $0, 1, 2, ..., n$ मान लेता है जिनकी आवृत्तियाँ द्विपद गुणांकों $^nC_0, ^nC_1, ..., ^nC_n$ के समानुपाती हैं,तो बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $P[X = x] = \begin{cases} \frac{K \cdot 2^x}{x!}, & x = 0, 1, 2, 3 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$ एक प्रायिकता द्रव्यमान फलन (p.m.f.) बनाता है,तो $K$ का मान है:

यदि एक पॉइसन वितरण का माध्य $6$ है,तो $P(X \geq 3)=$