Properties of ITF Questions in Hindi

(A) माना $x^2 = \cos 2\theta$,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x^2$।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\tan^{-1} \left[ \frac{\sqrt{1+\cos 2\theta} + \sqrt{1-\cos 2\theta}}{\sqrt{1+\cos 2\theta} - \sqrt{1-\cos 2\theta}} \right]$
सर्वसमिका $1+\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta$ और $1-\cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \tan^{-1} \left[ \frac{\sqrt{2}\cos \theta + \sqrt{2}\sin \theta}{\sqrt{2}\cos \theta - \sqrt{2}\sin \theta} \right]$
अंश और हर को $\sqrt{2}\cos \theta$ से भाग देने पर:
$= \tan^{-1} \left[ \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta} \right]$
सूत्र $\tan(\frac{\pi}{4} + \theta) = \frac{\tan \frac{\pi}{4} + \tan \theta}{1 - \tan \frac{\pi}{4} \tan \theta}$ का उपयोग करने पर:
$= \tan^{-1} \left[ \tan \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) \right] = \frac{\pi}{4} + \theta$
$\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x^2$ वापस रखने पर:
$= \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cos^{-1} x^2$।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin^{-1}x - \cos^{-1}x = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
हम जानते हैं कि $\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
अतः,समीकरण हो जाता है: $\sin^{-1}x - \cos^{-1}x = \frac{\pi}{6}$.
हम सर्वसमिका भी जानते हैं: $\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$.
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(\sin^{-1}x - \cos^{-1}x) + (\sin^{-1}x + \cos^{-1}x) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}$.
$2\sin^{-1}x = \frac{\pi + 3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.
$\sin^{-1}x = \frac{\pi}{3}$.
$x = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि हमें $x$ का केवल एक मान प्राप्त हुआ है,इसलिए समीकरण का अद्वितीय हल है।

(A) हमें दिया गया है $\sum\limits_{m = 1}^n {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{2m}}{{{m^4} + {m^2} + 2}}} \right)} $
$= \sum\limits_{m = 1}^n {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{2m}}{{1 + ({m^2} + m + 1)({m^2} - m + 1)}}} \right)} $
$= \sum\limits_{m = 1}^n {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{({m^2} + m + 1) - ({m^2} - m + 1)}}{{1 + ({m^2} + m + 1)({m^2} - m + 1)}}} \right)} $
$= \sum\limits_{m = 1}^n {[{{\tan }^{ - 1}}({m^2} + m + 1) - {{\tan ^{ - 1}}({m^2} - m + 1)]} }$
$= ({\tan ^{ - 1}}3 - {\tan ^{ - 1}}1) + ({\tan ^{ - 1}}7 - {\tan ^{ - 1}}3) + ({\tan ^{ - 1}}13 - {\tan ^{ - 1}}7) + \dots + [{\tan ^{ - 1}}({n^2} + n + 1) - {\tan ^{ - 1}}({n^2} - n + 1)]$
$= {\tan ^{ - 1}}({n^2} + n + 1) - {\tan ^{ - 1}}1$
$= {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{({n^2} + n + 1) - 1}}{{1 + ({n^2} + n + 1)(1)}}} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{{n^2} + n}}{{{n^2} + n + 2}}} \right)$.

(A) दिया गया समीकरण $2\cos^{-1}x + \sin^{-1}x = \frac{11\pi}{6}$ है।
हम जानते हैं कि सभी $x \in [-1, 1]$ के लिए $\cos^{-1}x + \sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\cos^{-1}x + (\cos^{-1}x + \sin^{-1}x) = \frac{11\pi}{6}$।
सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $\cos^{-1}x + \frac{\pi}{2} = \frac{11\pi}{6}$।
$\cos^{-1}x$ के लिए हल करने पर: $\cos^{-1}x = \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = \frac{11\pi - 3\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}$।
चूंकि $\cos^{-1}x$ का परिसर $[0, \pi]$ है,और $\frac{4\pi}{3} > \pi$ है,इसलिए $x$ का ऐसा कोई मान नहीं है जो इस समीकरण को संतुष्ट करे।
अतः,इस समीकरण का कोई हल नहीं है।

(A) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1}x + \tan^{-1}y + \tan^{-1}z = \pi$ है।
तीन प्रतिलोम स्पर्शज्या (inverse tangents) के योग के सूत्र का उपयोग करने पर: $\tan^{-1}\left( \frac{x+y+z-xyz}{1-xy-yz-zx} \right) = \pi$।
दोनों पक्षों का स्पर्शज्या (tangent) लेने पर: $\frac{x+y+z-xyz}{1-xy-yz-zx} = \tan(\pi)$।
चूँकि $\tan(\pi) = 0$,इसलिए: $\frac{x+y+z-xyz}{1-xy-yz-zx} = 0$।
इसका अर्थ है कि अंश शून्य होना चाहिए: $x+y+z-xyz = 0$।
अतः: $x+y+z = xyz$।

(A) हम सूत्र $2{\tan ^{ - 1}}x = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)$ का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $x = \sqrt {\frac{{a - b}}{{a + b}}} \tan \frac{\theta }{2}$.
तब $2{\tan ^{ - 1}}\left[ {\sqrt {\frac{{a - b}}{{a + b}}} \tan \frac{\theta }{2}} \right] = {\cos ^{ - 1}}\left[ {\frac{{1 - \left( {\frac{{a - b}}{{a + b}}} \right){{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}{{1 + \left( {\frac{{a - b}}{{a + b}}} \right){{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}} \right]$
$= {\cos ^{ - 1}}\left[ {\frac{{(a + b) - (a - b){{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}{{(a + b) + (a - b){{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}} \right]$
$= {\cos ^{ - 1}}\left[ {\frac{{a(1 - {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}) + b(1 + {{\tan }^2}\frac{\theta }{2})}}{{a(1 + {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}) + b(1 - {{\tan }^2}\frac{\theta }{2})}}} \right]$
अंश और हर को $(1 + {\tan ^2}\frac{\theta }{2})$ से विभाजित करने पर:
$= {\cos ^{ - 1}}\left[ {\frac{{a\left( {\frac{{1 - {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}} \right) + b}}{{a + b\left( {\frac{{1 - {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}} \right)}}} \right]$
सर्वसमिका $\cos \theta = \frac{{1 - {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{a\cos \theta + b}}{{a + b\cos \theta }}} \right)$.

(D) दिया गया समीकरण: $2 \tan^{-1}(\cos x) = \tan^{-1}(\csc^2 x)$.
सूत्र $2 \tan^{-1}(\theta) = \tan^{-1}\left(\frac{2\theta}{1-\theta^2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{2 \cos x}{1 - \cos^2 x}\right) = \tan^{-1}(\csc^2 x)$.
चूंकि $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$,समीकरण इस प्रकार होगा:
$\frac{2 \cos x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x}$.
यदि $\sin^2 x \neq 0$ है,तो दोनों पक्षों से $\sin^2 x$ को हटाने पर:
$2 \cos x = 1$.
$\cos x = \frac{1}{2}$.
अतः,$x = \frac{\pi}{3}$.

(C) माना $x = \sin A$ और $\sqrt{x} = \sin B$ है।
अतः $A = \sin^{-1} x$ और $B = \sin^{-1} \sqrt{x}$ होगा।
व्यंजक $y = \sin^{-1}(\sin A \cos B + \sin B \cos A)$ बन जाता है।
सर्वसमिका $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें $y = \sin^{-1}(\sin(A + B)) = A + B$ प्राप्त होता है।
मान वापस रखने पर,$y = \sin^{-1} x + \sin^{-1} \sqrt{x}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) + \frac{d}{dx}(\sin^{-1} \sqrt{x})$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x - x^2}}$।

(C) दिया गया है $y = \tan^{-1} \left( \frac{4x}{1 + 5x^2} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{2 + 3x}{3 - 2x} \right)$.
पहले पद को सरल करने पर: $\tan^{-1} \left( \frac{5x - x}{1 + 5x \cdot x} \right) = \tan^{-1}(5x) - \tan^{-1}(x)$.
दूसरे पद को सरल करने पर: $\tan^{-1} \left( \frac{\frac{2}{3} + x}{1 - \frac{2}{3} \cdot x} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2}{3} \right) + \tan^{-1}(x)$.
इन दोनों को जोड़ने पर,$y = \tan^{-1}(5x) - \tan^{-1}(x) + \tan^{-1} \left( \frac{2}{3} \right) + \tan^{-1}(x) = \tan^{-1}(5x) + \tan^{-1} \left( \frac{2}{3} \right)$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [\tan^{-1}(5x)] + \frac{d}{dx} [\tan^{-1} \left( \frac{2}{3} \right)]$.
चूँकि $\tan^{-1} \left( \frac{2}{3} \right)$ एक स्थिरांक है,इसका अवकलन $0$ होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (5x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(5x) = \frac{5}{1 + 25x^2}$.

(A) दिया गया व्यंजक: $y = \sec^{-1}\left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \right) + \sin^{-1}\left( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \right)$
हम जानते हैं कि $\sec^{-1}(z) = \cos^{-1}\left( \frac{1}{z} \right)$.
अतः,$\sec^{-1}\left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \right) = \cos^{-1}\left( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \right)$.
इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \cos^{-1}\left( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \right) + \sin^{-1}\left( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \right)$
सर्वसमिका $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = \frac{\pi}{2}$
चूंकि $\frac{\pi}{2}$ एक अचर है,इसलिए $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन होगा:
$\frac{dy}{dx} = 0$

(A) माना $y = \sin^{-1}(3x - 4x^3)$ है।
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $\theta = \sin^{-1} x$ है।
तब,$y = \sin^{-1}(3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta)$ होगा।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $y = \sin^{-1}(\sin 3\theta) = 3\theta$ प्राप्त होता है।
$\theta = \sin^{-1} x$ वापस रखने पर,हमें $y = 3 \sin^{-1} x$ प्राप्त होता है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{3}{\sqrt{1 - x^2}}$।

(A) दिया गया है $y = \tan^{-1} \left( \frac{x^{1/3} + a^{1/3}}{1 - x^{1/3}a^{1/3}} \right)$.
सूत्र $\tan^{-1} \left( \frac{u + v}{1 - uv} \right) = \tan^{-1} u + \tan^{-1} v$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = \tan^{-1}(x^{1/3}) + \tan^{-1}(a^{1/3})$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [\tan^{-1}(x^{1/3})] + \frac{d}{dx} [\tan^{-1}(a^{1/3})]$.
चूंकि $a$ एक स्थिरांक है,$\frac{d}{dx} [\tan^{-1}(a^{1/3})] = 0$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$\frac{d}{dx} [\tan^{-1}(x^{1/3})] = \frac{1}{1 + (x^{1/3})^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^{1/3})$.
$= \frac{1}{1 + x^{2/3}} \cdot \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}(1 + x^{2/3})}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3x^{2/3}(1 + x^{2/3})}$.

(B) दिया गया है $y = \cot^{-1} \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)$.
हम जानते हैं कि $\frac{1 + x}{1 - x} = \tan \left( \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x \right)$.
अतः,$y = \cot^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x \right) \right)$.
$\cot^{-1} \theta = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} \theta$ का उपयोग करने पर,$y = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x \right) \right)$.
$y = \frac{\pi}{2} - \left( \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x \right) = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{4} - \tan^{-1} x \right) = 0 - \frac{1}{1 + x^2} = -\frac{1}{1 + x^2}$.

(B) हम जानते हैं कि $1 + \cos x = 2 \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cos^{-1} \sqrt{\frac{2 \cos^2 (x/2)}{2}} = \cos^{-1} \sqrt{\cos^2 (x/2)} = \cos^{-1} \left( \cos \frac{x}{2} \right)$.
मुख्य मान शाखा को मानते हुए,$\cos^{-1} (\cos \theta) = \theta$.
अतः,व्यंजक का सरलीकृत रूप $\frac{x}{2}$ है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{2}$.

(C) दिया गया है $y = \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{a} - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{a}\sqrt{x}} \right)$.
सूत्र $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left( \frac{A - B}{1 + AB} \right)$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$y = \tan^{-1}(\sqrt{a}) - \tan^{-1}(\sqrt{x})$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan^{-1}(\sqrt{a})) - \frac{d}{dx}(\tan^{-1}(\sqrt{x}))$.
चूंकि $\sqrt{a}$ एक स्थिरांक है,इसका अवकलज $0$ है।
$\tan^{-1}(\sqrt{x})$ के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए:
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{1 + (\sqrt{x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})$.
$\frac{dy}{dx} = - \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$\frac{dy}{dx} = - \frac{1}{2(1 + x)\sqrt{x}}$.

(A) दिया गया है $y = \sec^{-1}\left( \frac{x + 1}{x - 1} \right) + \sin^{-1}\left( \frac{x - 1}{x + 1} \right)$.
हम जानते हैं कि $\sec^{-1}(z) = \cos^{-1}\left( \frac{1}{z} \right)$.
इसलिए,$\sec^{-1}\left( \frac{x + 1}{x - 1} \right) = \cos^{-1}\left( \frac{x - 1}{x + 1} \right)$.
इस मान को $y$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \cos^{-1}\left( \frac{x - 1}{x + 1} \right) + \sin^{-1}\left( \frac{x - 1}{x + 1} \right)$.
सर्वसमिका $\sin^{-1}(u) + \cos^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = \frac{\pi}{2}$.
चूंकि $y$ एक स्थिरांक है,इसलिए $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$.

(D) हम जानते हैं कि $x \in (0, \pi)$ के लिए $\tan^{-1}(\cot x) = \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{2} - x)) = \frac{\pi}{2} - x$ होता है।
इसी प्रकार,$x \in (0, \pi)$ के लिए $\cot^{-1}(\tan x) = \cot^{-1}(\cot(\frac{\pi}{2} - x)) = \frac{\pi}{2} - x$ होता है।
अतः,व्यंजक $\frac{d}{dx}[(\frac{\pi}{2} - x) + (\frac{\pi}{2} - x)]$ बन जाता है।
$= \frac{d}{dx}[\pi - 2x]$.
$= 0 - 2 = -2$.

(A) हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ होती है,जहाँ $\theta \in [-1, 1]$ है।
दिया गया है $y = \sin^{-1}\left(\frac{19}{20}x\right) + \cos^{-1}\left(\frac{19}{20}x\right)$.
$\theta = \frac{19}{20}x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\frac{\pi}{2}$ एक अचर (constant) है,इसलिए $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन $0$ होगा।
अतः,$\frac{dy}{dx} = 0$.

(B) दिया गया है $y = \tan^{-1}\sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 + \cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2})$ और $1 - \cos x = 2\sin^2(\frac{x}{2})$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1}\sqrt{\frac{2\cos^2(x/2)}{2\sin^2(x/2)}}$
$y = \tan^{-1}\sqrt{\cot^2(x/2)}$
$y = \tan^{-1}(\cot(x/2))$
चूंकि $\cot(x/2) = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2})$,इसलिए:
$y = \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}))$
$y = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2}) - \frac{d}{dx}(\frac{x}{2})$
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.

(A) दिया गया है $y = \cot^{-1} \left[ \frac{\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x}}{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x}} \right]$.
हम जानते हैं कि $1 + \sin x = (\cos(x/2) + \sin(x/2))^2$ और $1 - \sin x = (\cos(x/2) - \sin(x/2))^2$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$y = \cot^{-1} \left[ \frac{(\cos(x/2) + \sin(x/2)) + (\cos(x/2) - \sin(x/2))}{(\cos(x/2) + \sin(x/2)) - (\cos(x/2) - \sin(x/2))} \right]$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर: $y = \cot^{-1} \left[ \frac{2\cos(x/2)}{2\sin(x/2)} \right] = \cot^{-1} [\cot(x/2)]$.
अतः,$y = x/2$.
इसलिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}$.

(A) माना $y = \tan^{-1} \left( \frac{a - x}{1 + ax} \right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan^{-1} \left( \frac{A - B}{1 + AB} \right) = \tan^{-1} A - \tan^{-1} B$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = \tan^{-1} a - \tan^{-1} x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\tan^{-1} a) - \frac{d}{dx} (\tan^{-1} x)$.
चूंकि $\tan^{-1} a$ एक स्थिरांक है,इसलिए इसका अवकलज $0$ है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{1 + x^2} = -\frac{1}{1 + x^2}$.

(C) दिया गया है $y = \cos^{-1}\left( \frac{3}{5}\cos x + \frac{4}{5}\sin x \right)$.
माना $\frac{3}{5} = \sin \alpha$ और $\frac{4}{5} = \cos \alpha$,जहाँ $\alpha = \sin^{-1}\left( \frac{3}{5} \right)$.
तब $y = \cos^{-1}(\sin \alpha \cos x + \cos \alpha \sin x)$.
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $y = \cos^{-1}(\sin(x+\alpha))$.
चूँकि $\cos^{-1}(\sin \theta) = \frac{\pi}{2} - \theta$,इसलिए $y = \frac{\pi}{2} - (x+\alpha) = \frac{\pi}{2} - x - \alpha$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2} - x - \alpha) = 0 - 1 - 0 = -1$.

(C) माना $y = \cos^{-1} \left( \frac{x - \frac{1}{x}}{x + \frac{1}{x}} \right) = \cos^{-1} \left( \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \right)$.
$x = \cot \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$x^2 = \cot^2 \theta$ प्राप्त होता है।
$y = \cos^{-1} \left( \frac{\cot^2 \theta - 1}{\cot^2 \theta + 1} \right) = \cos^{-1} \left( - \frac{1 - \cot^2 \theta}{1 + \cot^2 \theta} \right) = \cos^{-1} (- \cos 2\theta)$.
सर्वसमिका $\cos^{-1}(-z) = \pi - \cos^{-1}(z)$ का उपयोग करने पर,$y = \pi - \cos^{-1}(\cos 2\theta) = \pi - 2\theta$.
चूंकि $x = \cot \theta$,इसलिए $\theta = \cot^{-1} x$.
अतः,$y = \pi - 2 \cot^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 - 2 \left( - \frac{1}{1 + x^2} \right) = \frac{2}{1 + x^2}$.

(A) माना $y = \cos^{-1} \left( \sqrt{\frac{1+x}{2}} \right)$.
$x = \cos(2\theta)$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x)$.
तब,$\sqrt{\frac{1+x}{2}} = \sqrt{\frac{1+\cos(2\theta)}{2}} = \sqrt{\frac{2\cos^2(\theta)}{2}} = \cos(\theta)$.
अतः,$y = \cos^{-1}(\cos(\theta)) = \theta$.
$\theta$ का मान वापस रखने पर,हमें $y = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x)$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = -\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}$.

(C) माना $x = \cos \theta$. तब $\theta = \cos^{-1} x$.
सर्वसमिकाओं $1 + \cos \theta = 2\cos^2(\frac{\theta}{2})$ और $1 - \cos \theta = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$y = \sin^{-1} \left[ \frac{\sqrt{2}\cos(\frac{\theta}{2}) + \sqrt{2}\sin(\frac{\theta}{2})}{2} \right]$
$y = \sin^{-1} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\frac{\theta}{2}) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\frac{\theta}{2}) \right]$
चूंकि $\sin(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,हम लिख सकते हैं:
$y = \sin^{-1} \left[ \sin(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{\theta}{2}) + \cos(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\theta}{2}) \right]$
$y = \sin^{-1} \left[ \sin(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}) \right]$
$y = \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}$
$\theta = \cos^{-1} x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \frac{1}{2}\cos^{-1} x + \frac{\pi}{4}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = -\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}$.

(A) माना ${y_1} = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{{2x}}{{1 - {x^2}}} \right)$ और ${y_2} = {\sin ^{ - 1}}\left( \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}} \right)$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ $\theta = {\tan ^{ - 1}}x$.
अतः,${y_1} = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} \right) = {\tan ^{ - 1}}(\tan 2\theta) = 2\theta = 2{\tan ^{ - 1}}x$.
इसी प्रकार,${y_2} = {\sin ^{ - 1}}\left( \frac{{2\tan \theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }} \right) = {\sin ^{ - 1}}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2{\tan ^{ - 1}}x$.
अब,हमें अवकलज $\frac{{d{y_1}}}{{d{y_2}}}$ ज्ञात करना है।
चूँकि ${y_1} = 2{\tan ^{ - 1}}x$ और ${y_2} = 2{\tan ^{ - 1}}x$,इसलिए ${y_1} = {y_2}$ है।
अतः,$\frac{{d{y_1}}}{{d{y_2}}} = \frac{d}{{d{y_2}}}({y_2}) = 1$.

(B) हमारे पास $y = \tan^{-1}\left( \frac{\log e - \log x^2}{\log e + \log x^2} \right) + \tan^{-1}\left( \frac{3 + 2\log x}{1 - 6\log x} \right)$ है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$\log e = 1$ और $\log x^2 = 2\log x$,इसलिए:
$y = \tan^{-1}\left( \frac{1 - 2\log x}{1 + 2\log x} \right) + \tan^{-1}\left( \frac{3 + 2\log x}{1 - 6\log x} \right)$.
सूत्र $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left( \frac{A-B}{1+AB} \right)$ का उपयोग करते हुए:
$y = (\tan^{-1} 1 - \tan^{-1}(2\log x)) + (\tan^{-1} 3 + \tan^{-1}(2\log x))$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$y = \tan^{-1} 1 + \tan^{-1} 3$.
चूंकि $y$ एक अचर पद है,इसलिए $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन शून्य होगा:
$\frac{dy}{dx} = 0$.
अतः,किसी भी $n \ge 1$ के लिए,$n$-वां अवकलज:
$\frac{d^n y}{dx^n} = 0$ होगा।

(D) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) + \csc ^{-1}\left(\frac{5}{4}\right) = \frac{\pi}{2}$
हम जानते हैं कि $\csc ^{-1}(z) = \sin ^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)$। इसलिए,$\csc ^{-1}\left(\frac{5}{4}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) + \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \frac{\pi}{2}$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$
सर्वसमिका $\sin ^{-1}(y) + \cos ^{-1}(y) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$।
अतः,$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$।
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए,$\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$ को $\sin ^{-1}$ में बदलें। चूँकि $\cos \theta = \frac{4}{5}$,सम्मुख भुजा $\sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ है,इसलिए $\sin \theta = \frac{3}{5}$।
इस प्रकार,$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$।
तुलना करने पर,$\frac{x}{5} = \frac{3}{5}$,जिससे $x = 3$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1} y = \tan ^{-1} x + \tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right)$.
चूंकि $|x| < \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए सूत्र $\tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right) = 2 \tan ^{-1} x$ की शर्त पूरी होती है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan ^{-1} y = \tan ^{-1} x + 2 \tan ^{-1} x$
$\tan ^{-1} y = 3 \tan ^{-1} x$
सर्वसमिका $3 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2} \right)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $|x| < \frac{1}{\sqrt{3}}$:
$\tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2} \right)$
अतः,$y = \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}$.

(B) हमें $x \ge 0$ के लिए व्यंजक $\theta = \sin^{-1}x + \cos^{-1}x - \tan^{-1}x$ दिया गया है।
सर्वसमिका $\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ ($x \in [-1, 1]$ के लिए) का उपयोग करते हुए,व्यंजक सरल होकर हो जाता है:
$\theta = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}x$.
चूंकि $x \ge 0$,$\tan^{-1}x$ का परिसर $0 \le \tan^{-1}x < \frac{\pi}{2}$ है।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $-\frac{\pi}{2} < -\tan^{-1}x \le 0$ प्राप्त होता है।
सभी भागों में $\frac{\pi}{2}$ जोड़ने पर,हमें $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}x \le \frac{\pi}{2} - 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$0 < \theta \le \frac{\pi}{2}$।
इसलिए,सही अंतराल $0 < \theta \le \frac{\pi}{2}$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\sin^{-1} \theta$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ होता है।
चूंकि तीन पदों का योग $\frac{3\pi}{2}$ है,इसलिए प्रत्येक पद को अपना अधिकतम मान प्राप्त करना होगा।
अतः,$\sin^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,$\sin^{-1} y = \frac{\pi}{2}$,और $\sin^{-1} z = \frac{\pi}{2}$।
इसका अर्थ है $x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,$y = 1$,और $z = 1$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $1^{100} + 1^{100} + 1^{100} - \frac{9}{1^{101} + 1^{101} + 1^{101}}$।
$= 1 + 1 + 1 - \frac{9}{1 + 1 + 1} = 3 - \frac{9}{3} = 3 - 3 = 0$।

(D) माना $\cot ^{ - 1}(1/2) = \theta$ है। तब $\cot \theta = 1/2$ होगा।
चूंकि $\cot \theta = 1/2$,हम एक समकोण त्रिभुज की कल्पना कर सकते हैं जिसमें आसन्न भुजा $1$ और सम्मुख भुजा $2$ है।
कर्ण की लंबाई $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ होगी।
अतः,$\sin \theta = 2/\sqrt{5}$।
अब,दिया गया समीकरण $\tan (\cos ^{ - 1}x) = \sin \theta = 2/\sqrt{5}$ है।
माना $\cos ^{ - 1}x = \phi$,इसलिए $\cos \phi = x$।
तब $\tan \phi = 2/\sqrt{5}$।
एक समकोण त्रिभुज में जहाँ $\tan \phi = 2/\sqrt{5}$ है,सम्मुख भुजा $2$ और आसन्न भुजा $\sqrt{5}$ है।
कर्ण की लंबाई $\sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$ होगी।
इसलिए,$\cos \phi = \text{आसन्न भुजा} / \text{कर्ण} = \sqrt{5}/3$।
अतः,$x = \sqrt{5}/3$।

(C) दिया गया है कि $A = \tan^{-1} 2$ और $B = \tan^{-1} 3$ है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज $ABC$ में,$A + B + C = \pi$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\tan^{-1} 2 + \tan^{-1} 3 + C = \pi$ प्राप्त होता है।
जब $xy > 1$ हो,तो सूत्र $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \pi + \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} 2 + \tan^{-1} 3 = \pi + \tan^{-1} \left( \frac{2+3}{1-2 \times 3} \right) = \pi + \tan^{-1} \left( \frac{5}{-5} \right) = \pi + \tan^{-1}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
अब,$\frac{3\pi}{4} + C = \pi$।
अतः,$C = \pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$।

(A) हमें दिया गया है $\cos^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{y}{b}\right) = \alpha$।
सर्वसमिका $\cos^{-1} A + \cos^{-1} B = \cos^{-1} \left( AB - \sqrt{1-A^2} \sqrt{1-B^2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\cos^{-1} \left[ \frac{x}{a} \cdot \frac{y}{b} - \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}} \right] = \alpha$।
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर:
$\frac{xy}{ab} - \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}} = \cos \alpha$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{xy}{ab} - \cos \alpha = \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\left( \frac{xy}{ab} - \cos \alpha \right)^2 = \left( 1 - \frac{x^2}{a^2} \right) \left( 1 - \frac{y^2}{b^2} \right)$।
$\frac{x^2 y^2}{a^2 b^2} - \frac{2xy}{ab} \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 - \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} + \frac{x^2 y^2}{a^2 b^2}$।
दोनों पक्षों से $\frac{x^2 y^2}{a^2 b^2}$ को हटाने पर:
$-\frac{2xy}{ab} \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 - \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2}$।
आवश्यक व्यंजक प्राप्त करने के लिए व्यवस्थित करने पर:
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{2xy}{ab} \cos \alpha + \frac{y^2}{b^2} = 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$।

(B) दिया गया समीकरण ${x^4} - {x^3}\sin 2\beta + {x^2}\cos 2\beta - x\cos \beta - \sin \beta = 0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$S_1 = \Sigma {x_1} = \sin 2\beta$
$S_2 = \Sigma {x_1}{x_2} = \cos 2\beta$
$S_3 = \Sigma {x_1}{x_2}{x_3} = \cos \beta$
$S_4 = {x_1}{x_2}{x_3}{x_4} = - \sin \beta$
हम जानते हैं कि ${\tan ^{ - 1}}{x_1} + {\tan ^{ - 1}}{x_2} + {\tan ^{ - 1}}{x_3} + {\tan ^{ - 1}}{x_4} = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{S_1 - S_3}}{{1 - S_2 + S_4}}} \right)$।
मान रखने पर:
$= {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sin 2\beta - \cos \beta }}{{1 - \cos 2\beta - \sin \beta }}} \right)$
$= {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{2\sin \beta \cos \beta - \cos \beta }}{{1 - (1 - 2\sin^2 \beta) - \sin \beta }}} \right)$
$= {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\cos \beta (2\sin \beta - 1)}}{{2\sin^2 \beta - \sin \beta }}} \right)$
$= {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\cos \beta (2\sin \beta - 1)}}{{\sin \beta (2\sin \beta - 1)}}} \right)$
$= {\tan ^{ - 1}}(\cot \beta ) = {\tan ^{ - 1}}\left[ {\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \beta } \right)} \right] = \frac{\pi }{2} - \beta $.

(B) हम जानते हैं कि $|y| \le 1$ के लिए ${\sin ^{ - 1}}y + {\cos ^{ - 1}}y = \frac{\pi }{2}$ होता है।
दिए गए समीकरण ${\sin ^{ - 1}}\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{4} - \dots} \right) + {\cos ^{ - 1}}\left( {{x^2} - \frac{{{x^4}}}{2} + \frac{{{x^6}}}{4} - \dots} \right) = \frac{\pi }{2}$ से यह निष्कर्ष निकलता है कि दोनों प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के तर्क समान होने चाहिए।
माना $y = x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{4} - \dots$। यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = x$ और सार्व अनुपात $r = -x/2$ है। इसका योग $\frac{x}{1 - (-x/2)} = \frac{x}{1 + x/2} = \frac{2x}{2 + x}$ है।
इसी प्रकार,दूसरा व्यंजक $x^2 - \frac{{{x^4}}}{2} + \frac{{{x^6}}}{4} - \dots$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a = x^2$ और $r = -x^2/2$ है,जिसका योग $\frac{x^2}{1 + x^2/2} = \frac{2x^2}{2 + x^2}$ है।
दोनों को बराबर रखने पर: $\frac{2x}{2 + x} = \frac{2x^2}{2 + x^2}$।
चूंकि $x \neq 0$,हम $2x$ से विभाजित कर सकते हैं: $\frac{1}{2 + x} = \frac{x}{2 + x^2}$।
तिर्यक गुणा करने पर $2 + x^2 = 2x + x^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $2 = 2x$ अर्थात $x = 1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $\sec^{-1} x = \csc^{-1} y$ है।
हम जानते हैं कि $\sec^{-1} x = \cos^{-1} \frac{1}{x}$ और $\csc^{-1} y = \sin^{-1} \frac{1}{y}$ होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $\cos^{-1} \frac{1}{x} = \sin^{-1} \frac{1}{y}$ प्राप्त होता है।
हम सर्वसमिका $\sin^{-1} \theta + \cos^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ जानते हैं,जिसका अर्थ है कि $\sin^{-1} \frac{1}{y} = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \frac{1}{y}$।
इस मान को अपने समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\cos^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \frac{1}{y}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\cos^{-1} \frac{1}{x} + \cos^{-1} \frac{1}{y} = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $a = \tan \theta$,$b = \tan \phi$,और $x = \tan \psi$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin ^{ - 1}(\sin 2\theta) - \cos ^{ - 1}(\cos 2\phi) = \tan ^{ - 1}(\tan 2\psi)$
$2\theta - 2\phi = 2\psi$
$\theta - \phi = \psi$
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर:
$\tan(\theta - \phi) = \tan \psi$
सूत्र $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan \theta - \tan \phi}{1 + \tan \theta \tan \phi} = \tan \psi$
$a, b, x$ के मान वापस रखने पर:
$\frac{a - b}{1 + ab} = x$

(A) हम जानते हैं कि $|u| \geq 1$ के लिए $\sec^{-1}(u) = \cos^{-1}(\frac{1}{u})$ होता है।
दिया गया है $y = \sin^{-1}\left(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right) + \sec^{-1}\left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right)$।
सर्वसमिका $\sec^{-1}\left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right)$ का उपयोग करने पर।
इस मान को $y$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = \sin^{-1}\left(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|\theta| \leq 1$ के लिए $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ होता है,और यहाँ सभी $x$ के लिए $\left|\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right| < 1$ है,इसलिए $y = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y$ एक स्थिरांक है,इसलिए इसका अवकलन $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2}) = 0$ होगा।

(A) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1}(x+2) + \tan^{-1}(x-2) = \tan^{-1}(\frac{1}{2})$
सूत्र $\tan^{-1}(A) + \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}(\frac{A+B}{1-AB})$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}(\frac{(x+2) + (x-2)}{1 - (x+2)(x-2)}) = \tan^{-1}(\frac{1}{2})$
$\tan^{-1}$ फलन के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{2x}{1 - (x^2 - 4)} = \frac{1}{2}$
$\frac{2x}{5 - x^2} = \frac{1}{2}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$4x = 5 - x^2$
$x^2 + 4x - 5 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x+5)(x-1) = 0$
अतः,$x = 1$ या $x = -5$ है।
मानों की जाँच करने पर:
यदि $x = -5$ है,तो $\tan^{-1}(-3) + \tan^{-1}(-7)$ प्राप्त होता है,जो ऋणात्मक है,जबकि $\tan^{-1}(\frac{1}{2})$ धनात्मक है। अतः,$x = -5$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
यदि $x = 1$ है,तो $\tan^{-1}(3) + \tan^{-1}(-1) = \tan^{-1}(\frac{1}{2})$ प्राप्त होता है। यह मान्य है।
केवल $x = 1$ मान्य है। अतः $x$ के मानों का योग $1$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\sin 2 = 2 \sin 1 \cos 1$ और $\cos 2 = \cos^2 1 - \sin^2 1$। साथ ही,$1 = \sin^2 1 + \cos^2 1$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\tan^{-1} \left( \frac{2 \sin 1 \cos 1 - (\sin^2 1 + \cos^2 1)}{\cos^2 1 - \sin^2 1} \right)$
$= \tan^{-1} \left( \frac{-(\cos 1 - \sin 1)^2}{(\cos 1 - \sin 1)(\cos 1 + \sin 1)} \right)$
$= \tan^{-1} \left( \frac{\sin 1 - \cos 1}{\cos 1 + \sin 1} \right)$
अंश और हर को $\cos 1$ से विभाजित करने पर:
$= \tan^{-1} \left( \frac{\tan 1 - 1}{1 + \tan 1} \right)$
$= \tan^{-1} \left( \tan(1 - \frac{\pi}{4}) \right)$
$= 1 - \frac{\pi}{4}$

(C) श्रेणी का सामान्य पद $T_k = \tan^{-1} \frac{1}{1+k(k+1)}$ है।
सर्वसमिका $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ का उपयोग करते हुए:
$T_k = \tan^{-1} \frac{(k+1)-k}{1+k(k+1)} = \tan^{-1}(k+1) - \tan^{-1}(k)$.
$k=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} (\tan^{-1}(k+1) - \tan^{-1}(k))$
$= (\tan^{-1} 2 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 2) + \dots + (\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1} n)$
$= \tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1} 1$.
सूत्र $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ का उपयोग करते हुए:
$S_n = \tan^{-1} \frac{(n+1)-1}{1+(n+1)(1)} = \tan^{-1} \frac{n}{n+2}$.
दिया गया है कि $S_n = \tan^{-1} \theta$,इसलिए $\theta = \frac{n}{n+2}$.

(D) हम जानते हैं कि $2 \tan^{-1} x = \tan^{-1} \frac{2x}{1-x^2}$ होता है।
सबसे पहले,$2 \tan^{-1} \frac{1}{5}$ की गणना करें:
$2 \tan^{-1} \frac{1}{5} = \tan^{-1} \frac{2(1/5)}{1-(1/5)^2} = \tan^{-1} \frac{2/5}{24/25} = \tan^{-1} \frac{5}{12}$.
अब,$4 \tan^{-1} \frac{1}{5} = 2(2 \tan^{-1} \frac{1}{5}) = 2 \tan^{-1} \frac{5}{12}$ की गणना करें:
$2 \tan^{-1} \frac{5}{12} = \tan^{-1} \frac{2(5/12)}{1-(5/12)^2} = \tan^{-1} \frac{10/12}{1-25/144} = \tan^{-1} \frac{5/6}{119/144} = \tan^{-1} \left( \frac{5}{6} \times \frac{144}{119} \right) = \tan^{-1} \frac{120}{119}$.
अंत में,$\tan^{-1} \frac{1}{239}$ घटाएं:
$\tan^{-1} \frac{120}{119} - \tan^{-1} \frac{1}{239} = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{120}{119} - \frac{1}{239}}{1 + \frac{120}{119} \times \frac{1}{239}} \right)$,
सूत्र $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ का उपयोग करते हुए।
$= \tan^{-1} \left( \frac{28680 - 119}{28441 + 120} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{28561}{28561} \right) = \tan^{-1} (1) = \frac{\pi}{4}$.

(C) मान लीजिए $x = \tan^{-1} \frac{3}{4}$,तो $\tan x = \frac{3}{4}$. $\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ का उपयोग करते हुए,$\cos(2 \tan^{-1} \frac{3}{4}) = \frac{1 - (3/4)^2}{1 + (3/4)^2} = \frac{1 - 9/16}{1 + 9/16} = \frac{7/16}{25/16} = \frac{7}{25}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $y = \cot^{-1} \frac{1}{2}$,तो $\cot y = \frac{1}{2}$,अर्थात $\tan y = 2$. $\sin 2y = \frac{2 \tan y}{1 + \tan^2 y}$ का उपयोग करते हुए,$\sin(2 \cot^{-1} \frac{1}{2}) = \frac{2(2)}{1 + 2^2} = \frac{4}{5} = \frac{20}{25}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $\tan^{-1} [\frac{7}{25} + \frac{20}{25}] = \tan^{-1} [\frac{27}{25}]$.
चूँकि $\frac{27}{25} > 1$,इसलिए $\tan^{-1}(\frac{27}{25}) > \tan^{-1}(1)$ होगा,जो कि $\frac{\pi}{4}$ है।
अतः,मान $\frac{\pi}{4}$ से अधिक है।

(C) माना $x = \cos \theta$ है। चूँकि $0 < x < 1$,इसलिए $\theta \in (0, \pi/2)$ होगा।
व्यंजक में $x = \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\cot ^{-1}\left( \frac{2\cos ^2 \theta - 1}{2\cos \theta \sqrt{1 - \cos ^2 \theta}} \right)$
$= \cot ^{-1}\left( \frac{\cos 2\theta}{2\cos \theta \sin \theta} \right)$
$= \cot ^{-1}\left( \frac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta} \right)$
$= \cot ^{-1}(\cot 2\theta)$
चूँकि $\theta \in (0, \pi/2)$ है,इसलिए $2\theta \in (0, \pi)$ होगा।
अतः,$\cot ^{-1}(\cot 2\theta) = 2\theta = 2\cos ^{-1}x$।

(A) हम जानते हैं कि $\cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x$.
इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर:
$(\tan^{-1} x)^2 + (\frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x)^2 = \frac{5\pi^2}{8}$.
मान लीजिए $t = \tan^{-1} x$. तब समीकरण इस प्रकार होगा:
$t^2 + (\frac{\pi}{2} - t)^2 = \frac{5\pi^2}{8}$.
वर्ग का विस्तार करने पर:
$t^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi t + t^2 = \frac{5\pi^2}{8}$.
$2t^2 - \pi t + \frac{\pi^2}{4} - \frac{5\pi^2}{8} = 0$.
$2t^2 - \pi t - \frac{3\pi^2}{8} = 0$.
हर को हटाने के लिए $8$ से गुणा करने पर:
$16t^2 - 8\pi t - 3\pi^2 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(4t - 3\pi)(4t + \pi) = 0$.
अतः,$t = \frac{3\pi}{4}$ या $t = -\frac{\pi}{4}$.
चूंकि $\tan^{-1} x$ का परिसर $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है,इसलिए हमें $\tan^{-1} x = -\frac{\pi}{4}$ लेना होगा.
अतः,$x = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$.

(D) माना $y = \log(x^2)$. तब $\log(e/x^2) = 1 - y$ और $\log(ex^2) = 1 + y$.
कथन-$2$: व्यंजक ${\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{1 + y}}{{1 - y}}} \right]$ है। सूत्र ${\tan ^{ - 1}}A + {\tan ^{ - 1}}B = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{A + B}}{{1 - AB}}} \right)$ का उपयोग करने पर,${\tan ^{ - 1}}1 + {\tan ^{ - 1}}y = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{1 + y}}{{1 - y}}} \right)$ प्राप्त होता है। अतः,कथन-$2$ सत्य है।
कथन-$1$: माना $u = \frac{1-y}{1+y}$. व्यंजक ${\cot ^{ - 1}}(u) + {\cot ^{ - 1}}(1/u)$ है। हम जानते हैं कि $u > 0$ के लिए ${\cot ^{ - 1}}(u) = {\tan ^{ - 1}}(1/u)$ होता है। यदि $u > 0$ है,तो ${\tan ^{ - 1}}(1/u) + {\tan ^{ - 1}}(u) = \frac{\pi}{2}$। कथन-$2$ इन पदों के सरलीकरण के लिए आधार प्रदान करता है। अतः,कथन-$1$ सत्य है और कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

(D) दिया गया है $f(n) = \tan^{-1} \left( \frac{e-1}{e^{-n} + e^{n+1}} \right)$.
अंश और हर को $e^n$ से गुणा करने पर:
$f(n) = \tan^{-1} \left( \frac{e^n(e-1)}{1 + e^{2n+1}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{e^{n+1} - e^n}{1 + e^{n+1} \cdot e^n} \right)$.
सर्वसमिका $\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ का उपयोग करने पर:
$f(n) = \tan^{-1}(e^{n+1}) - \tan^{-1}(e^n)$.
अब,यह योग एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S_N = \sum_{n=1}^N f(n) = (\tan^{-1}(e^2) - \tan^{-1}(e)) + (\tan^{-1}(e^3) - \tan^{-1}(e^2)) + \dots + (\tan^{-1}(e^{N+1}) - \tan^{-1}(e^N))$.
$S_N = \tan^{-1}(e^{N+1}) - \tan^{-1}(e)$.
जैसे $N \to \infty$,$e^{N+1} \to \infty$,इसलिए $\tan^{-1}(e^{N+1}) \to \frac{\pi}{2}$.
अतः,$\sum_{n=1}^\infty f(n) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(e) = \cot^{-1}(e) = \tan^{-1}(\frac{1}{e})$.

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1 + r(r+1)}\right)$ है।
सर्वसमिका $\tan ^{-1}(x) - \tan ^{-1}(y) = \tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $T_r = \tan ^{-1}(r+1) - \tan ^{-1}(r)$।
$r=1$ से $r=5$ तक योग करने पर:
$S = \sum_{r=1}^{5} (\tan ^{-1}(r+1) - \tan ^{-1}(r)) = (\tan ^{-1} 2 - \tan ^{-1} 1) + (\tan ^{-1} 3 - \tan ^{-1} 2) + \dots + (\tan ^{-1} 6 - \tan ^{-1} 5)$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए $S = \tan ^{-1} 6 - \tan ^{-1} 1$।
$S = \tan ^{-1}\left(\frac{6-1}{1+6 \times 1}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{5}{7}\right)$।
अतः,$p = 5$ और $q = 7$। चूँकि $p$ और $q$ सापेक्ष अभाज्य हैं,$p + q = 5 + 7 = 12$।

(A) माना $g(x) = |\sin^{-1}|\sin x|| - |\cos^{-1}|\cos x||$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी $x \in R$ के लिए,$|\sin x| \in [0, 1]$ और $|\cos x| \in [0, 1]$ होता है।
अतः,$\sin^{-1}|\sin x| \in [0, \frac{\pi}{2}]$ और $\cos^{-1}|\cos x| \in [0, \frac{\pi}{2}]$ होता है।
चूंकि दोनों पद गैर-ऋणात्मक हैं,हम $g(x) = \sin^{-1}|\sin x| - \cos^{-1}|\cos x|$ लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\sin^{-1} \theta + \cos^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,$\sin^{-1}|\sin x| = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1}|\sin x|$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$\cos^{-1}|\cos x| = \sin^{-1} \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sin^{-1}|\sin x|$ होता है।
इसलिए,$g(x) = \sin^{-1}|\sin x| - \sin^{-1}|\sin x| = 0$।
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $g(x) = 0$ है,इसलिए फलन $f(x) = \sqrt{0} = 0$ है।
अतः,फलन का परिसर $\{0\}$ है।