Properties of ITF Questions in Hindi

(A) दिया गया व्यंजक: ${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{y}} \right) - {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{x - y}}{{x + y}}} \right)$
दूसरे पद के अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:
${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{y}} \right) - {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - y/x}}{{1 + y/x}}} \right)$
सूत्र ${\tan ^{ - 1}}A - {\tan ^{ - 1}}B = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{A - B}}{{1 + AB}}} \right)$ का उपयोग करने पर:
${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - y/x}}{{1 + 1 \cdot (y/x)}}} \right) = {\tan ^{ - 1}}(1) - {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)$
इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{y}} \right) - \left( {\frac{\pi }{4} - {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)} \right)$
चूंकि ${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right) = {\cot ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{y}} \right)$:
${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{y}} \right) + {\cot ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{y}} \right) - \frac{\pi }{4}$
सर्वसमिका ${\tan ^{ - 1}}\theta + {\cot ^{ - 1}}\theta = \frac{\pi }{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4}$.

(D) हम सूत्र $2{\tan ^{ - 1}}(x) = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{2x}}{{1 - {x^2}}}} \right)$ का उपयोग करेंगे,जहाँ $|x| < 1$ है।
सबसे पहले,$2{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{3}} \right)$ को सरल करें:
$2{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{3}} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{2(1/3)}}{{1 - {{(1/3)}^2}}}} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{2/3}}{{1 - 1/9}}} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{2/3}}{{8/9}}} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{2}{3} \times \frac{9}{8}} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{3}{4}} \right)$.
अब,${\tan ^{ - 1}}(x) + {\tan ^{ - 1}}(y) = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}}} \right)$ सूत्र का उपयोग करके शेष पद को जोड़ें:
${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{3}{4}} \right) + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{7}} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{3/4 + 1/7}}{{1 - (3/4)(1/7)}}} \right)$.
अंश और हर की गणना करें:
अंश: $\frac{3}{4} + \frac{1}{7} = \frac{{21 + 4}}{{28}} = \frac{{25}}{{28}}$.
हर: $1 - \frac{3}{{28}} = \frac{{28 - 3}}{{28}} = \frac{{25}}{{28}}$.
अतः,${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{25/28}}{{25/28}}} \right) = {\tan ^{ - 1}}(1) = \frac{\pi }{4}$.

(D) हमें दिया गया व्यंजक है: $\cos^{-1}\left(\frac{15}{17}\right) + 2\tan^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)$.
सबसे पहले,$2\tan^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)$ को $\cos^{-1}$ रूप में बदलने के लिए सूत्र $2\tan^{-1}(x) = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$ का उपयोग करें:
$2\tan^{-1}\left(\frac{1}{5}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1 - (1/5)^2}{1 + (1/5)^2}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1 - 1/25}{1 + 1/25}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{24/25}{26/25}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$.
अब,व्यंजक $\cos^{-1}\left(\frac{15}{17}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$ बन जाता है।
सूत्र $\cos^{-1}(x) + \cos^{-1}(y) = \cos^{-1}\left(xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$\cos^{-1}\left(\frac{15}{17} \times \frac{12}{13} - \sqrt{1 - \left(\frac{15}{17}\right)^2} \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2}\right)$
$= \cos^{-1}\left(\frac{180}{221} - \sqrt{1 - \frac{225}{289}} \sqrt{1 - \frac{144}{169}}\right)$
$= \cos^{-1}\left(\frac{180}{221} - \sqrt{\frac{64}{289}} \sqrt{\frac{25}{169}}\right)$
$= \cos^{-1}\left(\frac{180}{221} - \frac{8}{17} \times \frac{5}{13}\right)$
$= \cos^{-1}\left(\frac{180}{221} - \frac{40}{221}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{140}{221}\right)$.
चूंकि $\cos^{-1}\left(\frac{140}{221}\right)$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(A) माना $\theta = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$. तब $\sin \theta = \frac{3}{5}$.
सर्वसमिका $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin ^2 \theta}} = \frac{3/5}{\sqrt{1 - (3/5)^2}} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$ का उपयोग करते हुए.
अतः,$\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
अब,व्यंजक $\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$ हो जाता है।
सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ ($xy < 1$ के लिए) का उपयोग करते हुए:
$\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{7}}{1 - \frac{3}{4} \times \frac{1}{7}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{21+4}{28}}{1 - \frac{3}{28}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{25/28}{25/28}\right) = \tan ^{-1}(1) = \frac{\pi }{4}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1}(1 + x) + \tan^{-1}(1 - x) = \frac{\pi}{2}$
हम जानते हैं कि $\tan^{-1}(A) + \tan^{-1}(B) = \frac{\pi}{2}$ का अर्थ है $AB = 1$ (जहाँ $A, B > 0$ हो)।
यहाँ,$A = 1 + x$ और $B = 1 - x$ है।
अतः,$(1 + x)(1 - x) = 1$
$1 - x^2 = 1$
$-x^2 = 0$
$x^2 = 0$
इसलिए,$x = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $S = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{xy}}{{zr}}} \right) + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{yz}}{{xr}}} \right) + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{zx}}{{yr}}} \right)$.
सर्वसमिका ${\tan ^{ - 1}}A + {\tan ^{ - 1}}B + {\tan ^{ - 1}}C = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{A + B + C - ABC}}{{1 - (AB + BC + CA)}}} \right)$ का उपयोग करते हुए:
$A = \frac{{xy}}{{zr}}, B = \frac{{yz}}{{xr}}, C = \frac{{zx}}{{yr}}$.
यहाँ $AB + BC + CA = \frac{{xy^2z}}{{xr^2}} + \frac{{yz^2x}}{{yr^2}} + \frac{{zx^2y}}{{zr^2}} = \frac{{y^2 + z^2 + x^2}}{{r^2}} = \frac{{r^2}}{{r^2}} = 1$.
चूँकि हर $1 - (AB + BC + CA) = 1 - 1 = 0$ है,इसलिए ${\tan ^{ - 1}}$ का तर्क $\infty$ की ओर जाता है।
अतः,$S = {\tan ^{ - 1}}(\infty) = \frac{\pi }{2}$.

(C) माना $f(x) = (\sin^{-1} x)^3 + (\cos^{-1} x)^3$.
हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
माना $u = \sin^{-1} x$. तो $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$.
चूंकि $x \in [-1, 1]$,इसलिए $u \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
अब,$f(u) = u^3 + (\frac{\pi}{2} - u)^3 = u^3 + \frac{\pi^3}{8} - 3u^2(\frac{\pi}{2}) + 3u(\frac{\pi^2}{4}) - u^3 = \frac{3\pi^2}{4}u - \frac{3\pi}{2}u^2 + \frac{\pi^3}{8}$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $f(u) = \frac{3\pi}{2}(u - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi^3}{32}$.
$u \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,न्यूनतम मान $u = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है,जो $f_{min} = \frac{\pi^3}{32}$ है।
अधिकतम मान सीमा $u = -\frac{\pi}{2}$ पर प्राप्त होता है,जो $f_{max} = \frac{3\pi}{2}(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi^3}{32} = \frac{7\pi^3}{8}$ है।

(A) माना $f(x) = (\sin^{-1} x)^3 + (\cos^{-1} x)^3$ जहाँ $x \in [-1, 1]$ है।
हम जानते हैं कि $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$ होता है। माना $u = \sin^{-1} x$,जहाँ $u \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
तब $f(u) = u^3 + (\frac{\pi}{2} - u)^3 = u^3 + \frac{\pi^3}{8} - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{3\pi}{2}u^2 - u^3 = \frac{3\pi}{2}u^2 - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{\pi^3}{8}$ है।
यह $u$ में एक द्विघात समीकरण है। इसका शीर्ष $u = -\frac{b}{2a} = \frac{3\pi^2/4}{3\pi} = \frac{\pi}{4}$ पर है।
चूँकि $u \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है,न्यूनतम मान $u = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है:
$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{3\pi}{2}(\frac{\pi^2}{16}) - \frac{3\pi^2}{4}(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi^3}{8} = \frac{3\pi^3}{32} - \frac{3\pi^3}{16} + \frac{\pi^3}{8} = \frac{\pi^3}{32}$ है।
अधिकतम मान सीमा $u = -\frac{\pi}{2}$ पर प्राप्त होता है:
$f(-\frac{\pi}{2}) = (-\frac{\pi}{2})^3 + (\pi)^3 = -\frac{\pi^3}{8} + \pi^3 = \frac{7\pi^3}{8}$ है।
अतः,$f(x)$ का परिसर $[\frac{\pi^3}{32}, \frac{7\pi^3}{8}]$ है।
दिया गया है कि $a < \frac{1}{32}$,इसलिए $a\pi^3 < \frac{\pi^3}{32}$ है।
चूँकि व्यंजक का न्यूनतम मान $\frac{\pi^3}{32}$ है,इसलिए जब $a < \frac{1}{32}$ हो तो $f(x) = a\pi^3$ के लिए $x$ का कोई मान संभव नहीं है।
अतः,हलों की संख्या $0$ है।

(A) हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए,सर्वसमिका $\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ सत्य है।
इस मान को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\pi}{2} + \tan^{-1}x$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan^{-1}x$ का प्रांत $(-\infty, \infty)$ है,इसलिए $\tan^{-1}x$ का परिसर $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है।
अतः,$-\frac{\pi}{2} < \tan^{-1}x < \frac{\pi}{2}$।
असमानता के प्रत्येक भाग में $\frac{\pi}{2}$ जोड़ने पर,हमें $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + \tan^{-1}x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
इसका सरलीकरण $0 < \frac{\pi}{2} + \tan^{-1}x < \pi$ है।
इसकी तुलना $k \le \sin^{-1}x + \cos^{-1}x + \tan^{-1}x \le K$ से करने पर,हमें $k = 0$ और $K = \pi$ प्राप्त होता है।

(A) हमें समीकरण दिया गया है: ${({\tan ^{ - 1}}x)^2} + {({\cot ^{ - 1}}x)^2} = \frac{{5{\pi ^2}}}{8}$.
सर्वसमिका ${\tan ^{ - 1}}x + {\cot ^{ - 1}}x = \frac{\pi }{2}$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि ${\cot ^{ - 1}}x = \frac{\pi }{2} - {\tan ^{ - 1}}x$.
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
${({\tan ^{ - 1}}x)^2} + {(\frac{\pi }{2} - {\tan ^{ - 1}}x)^2} = \frac{{5{\pi ^2}}}{8}$.
माना $u = {\tan ^{ - 1}}x$. तब समीकरण इस प्रकार होगा:
$u^2 + (\frac{\pi }{2} - u)^2 = \frac{{5{\pi ^2}}}{8}$.
वर्ग का विस्तार करने पर:
$u^2 + \frac{{{\pi ^2}}}{4} - \pi u + u^2 = \frac{{5{\pi ^2}}}{8}$.
$2u^2 - \pi u + \frac{{{\pi ^2}}}{4} - \frac{{5{\pi ^2}}}{8} = 0$.
$2u^2 - \pi u - \frac{{3{\pi ^2}}}{8} = 0$.
हर को हटाने के लिए $8$ से गुणा करने पर:
$16u^2 - 8\pi u - 3{\pi ^2} = 0$.
द्विघात सूत्र $u = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$ का उपयोग करके $u$ के लिए हल करने पर:
$u = \frac{{8\pi \pm \sqrt {{{( - 8\pi )}^2} - 4(16)( - 3{\pi ^2})} }}{{32}} = \frac{{8\pi \pm \sqrt {64{\pi ^2} + 192{\pi ^2}} }}{{32}} = \frac{{8\pi \pm \sqrt {256{\pi ^2}} }}{{32}} = \frac{{8\pi \pm 16\pi }}{{32}}$.
अतः,$u = \frac{{24\pi }}{{32}} = \frac{{3\pi }}{4}$ या $u = \frac{{ - 8\pi }}{{32}} = - \frac{\pi }{4}$.
चूंकि ${\tan ^{ - 1}}x$ का परिसर $(-\frac{\pi }{2}, \frac{\pi }{2})$ है,इसलिए हमें $u = - \frac{\pi }{4}$ लेना होगा।
अतः,${\tan ^{ - 1}}x = - \frac{\pi }{4} \Rightarrow x = \tan( - \frac{\pi }{4}) = - 1$.

(C) दिया गया है कि $\tan(x + y) = 33$,इसलिए $x + y = \tan^{-1}(33)$.
चूंकि $x = \tan^{-1}(3)$,हम लिख सकते हैं कि $y = \tan^{-1}(33) - x = \tan^{-1}(33) - \tan^{-1}(3)$.
सूत्र $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A - B}{1 + AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{33 - 3}{1 + (33 \times 3)}\right)$.
$y = \tan^{-1}\left(\frac{30}{1 + 99}\right)$.
$y = \tan^{-1}\left(\frac{30}{100}\right)$.
$y = \tan^{-1}(0.3)$.

(C) दी गई अभिव्यक्ति $S = \tan ^{ - 1}\left(\frac{{{c_1}x - y}}{{{c_1}y + x}}\right) + \tan ^{ - 1}\left(\frac{{{c_2} - {c_1}}}{{1 + {c_2}{c_1}}}\right) + \tan ^{ - 1}\left(\frac{{{c_3} - {c_2}}}{{1 + {c_3}{c_2}}}\right) + ... + \tan ^{ - 1}\left(\frac{1}{{{c_n}}}\right)$ है।
सबसे पहले,पहले पद को फिर से लिखें: $\tan ^{ - 1}\left(\frac{{{c_1}x - y}}{{{c_1}y + x}}\right) = \tan ^{ - 1}\left(\frac{\frac{x}{y} - \frac{1}{c_1}}{1 + \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{c_1}}\right) = \tan ^{ - 1}\left(\frac{x}{y}\right) - \tan ^{ - 1}\left(\frac{1}{c_1}\right)$.
अब,सर्वसमिका $\tan ^{ - 1} a - \tan ^{ - 1} b = \tan ^{ - 1}\left(\frac{a - b}{1 + ab}\right)$ का उपयोग करके बाद के पदों को व्यक्त करें:
$\tan ^{ - 1}\left(\frac{{{c_2} - {c_1}}}{{1 + {c_2}{c_1}}}\right) = \tan ^{ - 1}\left(\frac{1}{c_1}\right) - \tan ^{ - 1}\left(\frac{1}{c_2}\right)$.
$\tan ^{ - 1}\left(\frac{{{c_3} - {c_2}}}{{1 + {c_3}{c_2}}}\right) = \tan ^{ - 1}\left(\frac{1}{c_2}\right) - \tan ^{ - 1}\left(\frac{1}{c_3}\right)$.
इस पैटर्न को जारी रखते हुए,सामान्य पद $\tan ^{ - 1}\left(\frac{1}{c_{k-1}}\right) - \tan ^{ - 1}\left(\frac{1}{c_k}\right)$ है।
इन सबका योग करने पर:
$S = \left[\tan ^{ - 1}\left(\frac{x}{y}\right) - \tan ^{ - 1}\left(\frac{1}{c_1}\right)\right] + \left[\tan ^{ - 1}\left(\frac{1}{c_1}\right) - \tan ^{ - 1}\left(\frac{1}{c_2}\right)\right] + ... + \left[\tan ^{ - 1}\left(\frac{1}{c_{n-1}}\right) - \tan ^{ - 1}\left(\frac{1}{c_n}\right)\right] + \tan ^{ - 1}\left(\frac{1}{c_n}\right)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला है जहाँ सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं:
$S = \tan ^{ - 1}\left(\frac{x}{y}\right) - \tan ^{ - 1}\left(\frac{1}{c_n}\right) + \tan ^{ - 1}\left(\frac{1}{c_n}\right) = \tan ^{ - 1}\left(\frac{x}{y}\right)$.

(D) हम जानते हैं कि किसी भी $x \in [-1, 1]$ के लिए,सर्वसमिका ${{\sin }^{ - 1}}x + {{\cos }^{ - 1}}x = \frac{\pi }{2}$ सत्य है।
दी गई अभिव्यक्ति $\sin \left\{ {{\sin }^{ - 1}}\frac{1}{2} + {{\cos }^{ - 1}}\frac{1}{2} \right\}$ है।
सर्वसमिका में $x = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
${{\sin }^{ - 1}}\frac{1}{2} + {{\cos }^{ - 1}}\frac{1}{2} = \frac{\pi }{2}$.
अतः,अभिव्यक्ति $\sin \left( \frac{\pi }{2} \right)$ हो जाती है।
चूंकि $\sin \left( \frac{\pi }{2} \right) = 1$,इसलिए अंतिम उत्तर $1$ है।

(A) हमें व्यंजक दिया गया है: ${\sin ^{ - 1}}\frac{4}{5} + 2{\tan ^{ - 1}}\frac{1}{3}$.
सबसे पहले,${\sin ^{ - 1}}\frac{4}{5}$ को $\tan^{-1}$ रूप में बदलें। मान लीजिए ${\sin ^{ - 1}}\frac{4}{5} = \theta$,तो $\sin \theta = \frac{4}{5}$.
सर्वसमिका $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}} = \frac{4/5}{\sqrt{1 - 16/25}} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$ का उपयोग करते हुए.
अतः,${\sin ^{ - 1}}\frac{4}{5} = {\tan ^{ - 1}}\frac{4}{3}$.
अब,$2{\tan ^{ - 1}}\frac{1}{3}$ के लिए सूत्र $2{\tan ^{ - 1}}x = {\tan ^{ - 1}}\frac{2x}{1 - x^2}$ का उपयोग करें:
$2{\tan ^{ - 1}}\frac{1}{3} = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{2(1/3)}{1 - (1/3)^2} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{2/3}{1 - 1/9} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{2/3}{8/9} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{2}{3} \times \frac{9}{8} \right) = {\tan ^{ - 1}}\frac{3}{4}$.
अब,व्यंजक ${\tan ^{ - 1}}\frac{4}{3} + {\tan ^{ - 1}}\frac{3}{4}$ बन जाता है।
चूंकि $x > 0$ के लिए ${\tan ^{ - 1}}x + {\tan ^{ - 1}}\frac{1}{x} = \frac{\pi }{2}$,इसलिए ${\tan ^{ - 1}}\frac{4}{3} + {\tan ^{ - 1}}\frac{3}{4} = \frac{\pi }{2}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) व्यंजक $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x$ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का एक मूलभूत गुणधर्म है।
किसी भी $x \in [-1, 1]$ के लिए,प्रतिलोम ज्या (inverse sine) और प्रतिलोम कोज्या (inverse cosine) फलनों का योग हमेशा $\frac{\pi}{2}$ के बराबर होता है।
अतः,$\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$।

(B) हम सूत्र $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x + y}{1 - xy} \right)$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $xy < 1$ है।
यहाँ $x = \frac{1}{2}$ और $y = \frac{1}{3}$ है,इसलिए $xy = \frac{1}{6} < 1$ है।
मान रखने पर:
$\tan^{-1} \frac{1}{2} + \tan^{-1} \frac{1}{3} = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}} \right)$
$= \tan^{-1} \left( \frac{\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{6}} \right)$
$= \tan^{-1} \left( \frac{5/6}{5/6} \right)$
$= \tan^{-1} (1)$
$= \frac{\pi}{4}$.

(D) हम सूत्र $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $xy < 1$ है।
दिया गया व्यंजक: $\tan^{-1}\left(\frac{1}{11}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{2}{12}\right)$।
यहाँ $x = \frac{1}{11}$ और $y = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ है।
$\tan^{-1}\left(\frac{\frac{1}{11} + \frac{1}{6}}{1 - \frac{1}{11} \times \frac{1}{6}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{6+11}{66}}{1 - \frac{1}{66}}\right)$।
$= \tan^{-1}\left(\frac{\frac{17}{66}}{\frac{65}{66}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{17}{65}\right)$।
चूंकि $\tan^{-1}\left(\frac{17}{65}\right)$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(C) दिया गया समीकरण: ${\tan ^{ - 1}}x + 2{\cot ^{ - 1}}x = \frac{{2\pi }}{3}$
हम जानते हैं कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए ${\tan ^{ - 1}}x + {\cot ^{ - 1}}x = \frac{\pi }{2}$ होता है।
दिए गए समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$({\tan ^{ - 1}}x + {\cot ^{ - 1}}x) + {\cot ^{ - 1}}x = \frac{{2\pi }}{3}$
सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{\pi }{2} + {\cot ^{ - 1}}x = \frac{{2\pi }}{3}$
दोनों पक्षों से $\frac{\pi }{2}$ घटाने पर:
${\cot ^{ - 1}}x = \frac{{2\pi }}{3} - \frac{\pi }{2}$
${\cot ^{ - 1}}x = \frac{{4\pi - 3\pi }}{6} = \frac{\pi }{6}$
दोनों पक्षों का कोटिस्पर्शज्या (cotangent) लेने पर:
$x = \cot \left( \frac{\pi }{6} \right)$
चूंकि $\cot \left( \frac{\pi }{6} \right) = \sqrt 3 $,इसलिए $x = \sqrt 3 $ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: ${\sin ^{ - 1}}x + {\cot ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{\pi }{2}$.
हम जानते हैं कि ${\sin ^{ - 1}}x + {\cos ^{ - 1}}x = \frac{\pi }{2}$.
साथ ही,${\cot ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{2}} \right) = {\tan ^{ - 1}}(2)$.
मान लीजिए ${\tan ^{ - 1}}(2) = \theta$,तो $\tan \theta = 2$.
त्रिभुज विधि का उपयोग करते हुए,यदि सम्मुख भुजा $2$ है और आसन्न भुजा $1$ है,तो कर्ण $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ होगा।
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$,जिसका अर्थ है $\theta = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{\sqrt{5}}} \right)$.
इस मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: ${\sin ^{ - 1}}x + {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{\sqrt{5}}} \right) = \frac{\pi }{2}$.
इसकी तुलना ${\sin ^{ - 1}}x + {\cos ^{ - 1}}x = \frac{\pi }{2}$ से करने पर,हमें $x = \frac{1}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।

(B) हमें समीकरण $4\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \pi$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
दिए गए समीकरण को $3\sin^{-1}x + (\sin^{-1}x + \cos^{-1}x) = \pi$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$3\sin^{-1}x + \frac{\pi}{2} = \pi$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $\frac{\pi}{2}$ घटाने पर,$3\sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
$3$ से भाग देने पर,$\sin^{-1}x = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का साइन लेने पर,$x = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $\sin^{-1} C = \sin^{-1} \frac{3}{5} + \cos^{-1} \frac{12}{13}$.
माना $\alpha = \sin^{-1} \frac{3}{5}$ और $\beta = \cos^{-1} \frac{12}{13}$.
तब $\sin \alpha = \frac{3}{5}$,जिसका अर्थ है $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
और $\cos \beta = \frac{12}{13}$,जिसका अर्थ है $\sin \beta = \sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$.
हमें प्राप्त होता है $\sin^{-1} C = \alpha + \beta$,इसलिए $C = \sin(\alpha + \beta)$.
सर्वसमिका $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ का उपयोग करने पर:
$C = (\frac{3}{5} \times \frac{12}{13}) + (\frac{4}{5} \times \frac{5}{13})$
$C = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65}$.

(B) माना कि दिया गया व्यंजक $E = \sin \left[ {{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{2x}}} \right) + {{\cos }^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right) \right]$ है।
$x = \tan \theta$ रखने पर,जिसका अर्थ है $\theta = \tan^{-1} x$।
व्यंजक इस प्रकार होगा:
$E = \sin \left[ {{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - {{\tan }^2}\theta }}{{2\tan \theta }}} \right) + {{\cos }^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - {{\tan }^2}\theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }}} \right) \right]$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cot 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{2 \tan \theta}$ और $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$E = \sin \left[ {{\tan }^{ - 1}}(\cot 2\theta ) + {{\cos }^{ - 1}}(\cos 2\theta ) \right]$
चूंकि $\cot 2\theta = \tan(\frac{\pi}{2} - 2\theta)$:
$E = \sin \left[ {{\tan }^{ - 1}}\left( \tan \left( \frac{\pi}{2} - 2\theta \right) \right) + {{\cos }^{ - 1}}(\cos 2\theta ) \right]$
$E = \sin \left[ \left( \frac{\pi}{2} - 2\theta \right) + 2\theta \right]$
$E = \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$.

(C) दिया गया है कि ${\cos ^{ - 1}}x + {\cos ^{ - 1}}y + {\cos ^{ - 1}}z = 3\pi $.
हम जानते हैं कि ${\cos ^{ - 1}}x$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $[0, \pi ]$ है।
इसलिए,$0 \le {\cos ^{ - 1}}x \le \pi $,$0 \le {\cos ^{ - 1}}y \le \pi $,और $0 \le {\cos ^{ - 1}}z \le \pi $.
तीन मानों का योग,जिनमें से प्रत्येक अधिकतम $\pi $ है,केवल तभी $3\pi $ हो सकता है यदि प्रत्येक व्यक्तिगत मान $\pi $ के बराबर हो।
अतः,${\cos ^{ - 1}}x = \pi $,${\cos ^{ - 1}}y = \pi $,और ${\cos ^{ - 1}}z = \pi $.
इसका तात्पर्य है कि $x = \cos \pi = -1$,$y = \cos \pi = -1$,और $z = \cos \pi = -1$.
इन मानों को व्यंजक $xy + yz + zx$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$xy + yz + zx = (-1)(-1) + (-1)(-1) + (-1)(-1) = 1 + 1 + 1 = 3$.

(B) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के लिए सर्वसमिका जानते हैं: $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$,जहाँ $x \in [-1, 1]$ है।
दिए गए व्यंजक में,मान लीजिए $x = -\frac{1}{7}$ है।
चूँकि $-\frac{1}{7} \in [-1, 1]$,हम इस सर्वसमिका का उपयोग कर सकते हैं:
$\cos^{-1}\left( -\frac{1}{7} \right) + \sin^{-1}\left( -\frac{1}{7} \right) = \frac{\pi}{2}$.
इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \left[ \cos^{-1}\left( -\frac{1}{7} \right) + \sin^{-1}\left( -\frac{1}{7} \right) \right] = \cos \left( \frac{\pi}{2} \right)$.
हम जानते हैं कि $\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$,इसलिए अंतिम उत्तर $0$ है।

(D) माना $\alpha = \sin^{-1} \left( \frac{3}{5} \right)$। तब $\sin \alpha = \frac{3}{5}$,इसलिए $\tan \alpha = \frac{3}{\sqrt{5^2 - 3^2}} = \frac{3}{4}$। अतः,$\alpha = \tan^{-1} \left( \frac{3}{4} \right)$।
माना $\beta = \cos^{-1} \left( \frac{3}{\sqrt{13}} \right)$। तब $\cos \beta = \frac{3}{\sqrt{13}}$,इसलिए $\tan \beta = \frac{\sqrt{(\sqrt{13})^2 - 3^2}}{3} = \frac{\sqrt{13-9}}{3} = \frac{2}{3}$। अतः,$\beta = \tan^{-1} \left( \frac{2}{3} \right)$।
अब,व्यंजक $\tan(\alpha + \beta) = \tan \left( \tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{2}{3} \right)$ हो जाता है।
सूत्र $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{3}{4} + \frac{2}{3}}{1 - \left( \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \right)} = \frac{\frac{9+8}{12}}{1 - \frac{6}{12}} = \frac{\frac{17}{12}}{\frac{6}{12}} = \frac{17}{6}$।

(D) हम सूत्र $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x - y}{1 + xy} \right)$ का उपयोग करेंगे।
दी गई अभिव्यक्ति: $\tan \left( \tan^{-1} \frac{1}{2} - \tan^{-1} \frac{1}{3} \right)$।
$x = \frac{1}{2}$ और $y = \frac{1}{3}$ के साथ सूत्र लागू करने पर:
$= \tan \left[ \tan^{-1} \left( \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{1 + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3})} \right) \right]$
$= \tan \left[ \tan^{-1} \left( \frac{\frac{3-2}{6}}{1 + \frac{1}{6}} \right) \right]$
$= \tan \left[ \tan^{-1} \left( \frac{1/6}{7/6} \right) \right]$
$= \tan \left[ \tan^{-1} \left( \frac{1}{7} \right) \right]$
$= \frac{1}{7}$.

(D) माना $\alpha = \cos^{-1} \sqrt{p},$ $\beta = \cos^{-1} \sqrt{1-p},$ और $\gamma = \cos^{-1} \sqrt{1-q}.$
तब $\cos \alpha = \sqrt{p},$ $\cos \beta = \sqrt{1-p},$ और $\cos \gamma = \sqrt{1-q}.$
परिणामस्वरूप,$\sin \alpha = \sqrt{1-p},$ $\sin \beta = \sqrt{p},$ और $\sin \gamma = \sqrt{q}.$
दिया गया समीकरण $\alpha + \beta + \gamma = \frac{3\pi}{4}$ है।
इसका अर्थ है $\alpha + \beta = \frac{3\pi}{4} - \gamma.$
दोनों पक्षों में कोसाइन लेने पर: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\left(\frac{3\pi}{4} - \gamma\right).$
$\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \cos\left(\pi - \left(\frac{\pi}{4} + \gamma\right)\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4} + \gamma\right).$
$\sqrt{p} \sqrt{1-p} - \sqrt{1-p} \sqrt{p} = -\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \gamma - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \gamma\right).$
$0 = -\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{1-q} - \sqrt{q}).$
अतः,$\sqrt{1-q} = \sqrt{q}.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1-q = q,$ जिससे $2q = 1$ प्राप्त होता है,अर्थात $q = \frac{1}{2}.$

(A) दिया गया है: $\cot^{-1}[(\cos \alpha)^{1/2}] - \tan^{-1}[(\cos \alpha)^{1/2}] = x$
सर्वसमिका $\cot^{-1}(y) = \tan^{-1}(\frac{1}{y})$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}[\frac{1}{\sqrt{\cos \alpha}}] - \tan^{-1}[\sqrt{\cos \alpha}] = x$
सूत्र $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}(\frac{A-B}{1+AB})$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}[\frac{\frac{1}{\sqrt{\cos \alpha}} - \sqrt{\cos \alpha}}{1 + (\frac{1}{\sqrt{\cos \alpha}})(\sqrt{\cos \alpha})}] = x$
$\tan^{-1}[\frac{\frac{1-\cos \alpha}{\sqrt{\cos \alpha}}}{1+1}] = x$
$\tan x = \frac{1-\cos \alpha}{2\sqrt{\cos \alpha}}$
अब,हमें $\sin x$ ज्ञात करना है। एक समकोण त्रिभुज का उपयोग करके जहाँ सम्मुख भुजा $1-\cos \alpha$ और आसन्न भुजा $2\sqrt{\cos \alpha}$ है:
कर्ण = $\sqrt{(1-\cos \alpha)^2 + (2\sqrt{\cos \alpha})^2} = \sqrt{1 - 2\cos \alpha + \cos^2 \alpha + 4\cos \alpha} = \sqrt{1 + 2\cos \alpha + \cos^2 \alpha} = \sqrt{(1+\cos \alpha)^2} = 1+\cos \alpha$
अतः,$\sin x = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{2\sin^2(\alpha/2)}{2\cos^2(\alpha/2)} = \tan^2(\frac{\alpha}{2})$.

(B) दिया गया है: ${\tan ^{ - 1}}x + {\tan ^{ - 1}}y + {\tan ^{ - 1}}z = \pi $
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर:
${\tan ^{ - 1}}x + {\tan ^{ - 1}}y = \pi - {\tan ^{ - 1}}z$
सूत्र ${\tan ^{ - 1}}A + {\tan ^{ - 1}}B = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
${\tan ^{ - 1}}\left( \frac{x+y}{1-xy} \right) = \pi - {\tan ^{ - 1}}z$
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर:
$\frac{x+y}{1-xy} = \tan(\pi - {\tan ^{ - 1}}z)$
चूंकि $\tan(\pi - \theta) = -\tan \theta$:
$\frac{x+y}{1-xy} = -z$
$x + y = -z(1 - xy)$
$x + y = -z + xyz$
$x + y + z = xyz$
दोनों पक्षों को $xyz$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{xyz} + \frac{y}{xyz} + \frac{z}{xyz} = \frac{xyz}{xyz}$
$\frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{xy} = 1$
अतः,$\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}} = 1$.

(C) माना $a = \tan \theta$ है। अतः $\theta = \tan^{-1}(a)$।
व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\tan \left[ {\frac{1}{2}{{\sin }^{ - 1}}\left( {\frac{{2\tan \theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }}} \right) + \frac{1}{2}{{\cos }^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - {{\tan }^2}\theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }}} \right)} \right]$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ और $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करते हुए:
$= \tan \left[ {\frac{1}{2}{{\sin }^{ - 1}}(\sin 2\theta ) + \frac{1}{2}{{\cos }^{ - 1}}(\cos 2\theta )} \right]$
$2\theta$ के मुख्य मान परिसर को ध्यान में रखते हुए:
$= \tan \left[ {\frac{1}{2}(2\theta ) + \frac{1}{2}(2\theta )} \right]$
$= \tan (\theta + \theta) = \tan 2\theta$
$\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$= \frac{2a}{1 - a^2}$

(C) दिया गया समीकरण: $\cos (2\sin ^{ - 1}x) = \frac{1}{9}$
माना $\sin ^{ - 1}x = \theta,$ तो $\sin \theta = x.$
समीकरण $\cos (2\theta) = \frac{1}{9}$ हो जाता है।
सर्वसमिका $\cos (2\theta) = 1 - 2\sin ^2\theta$ का उपयोग करने पर:
$1 - 2\sin ^2\theta = \frac{1}{9}$
$1 - 2x^2 = \frac{1}{9}$
$2x^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$
$x^2 = \frac{4}{9}$
$x = \pm \frac{2}{3}.$
चूंकि $\sin ^{ - 1}x$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है,इसलिए $2\sin ^{ - 1}x$ का मान $[-\pi, \pi]$ में स्थित है। कोसाइन फलन इस परिसर में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मानों के लिए परिभाषित है,इसलिए $x = \frac{2}{3}$ और $x = -\frac{2}{3}$ दोनों मान्य हल हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $2\tan^{-1}(\cos x) = \tan^{-1}(2\csc x)$.
सूत्र $2\tan^{-1}(\theta) = \tan^{-1}\left(\frac{2\theta}{1-\theta^2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{2\cos x}{1-\cos^2 x}\right) = \tan^{-1}(2\csc x)$.
चूंकि $1-\cos^2 x = \sin^2 x$,यह सरल होकर निम्न रूप लेता है:
$\frac{2\cos x}{\sin^2 x} = 2\csc x$.
$\csc x = \frac{1}{\sin x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2\cos x}{\sin^2 x} = \frac{2}{\sin x}$.
यदि $\sin x \neq 0$ है,तो दोनों पक्षों को $\sin^2 x$ से गुणा करने पर:
$2\cos x = 2\sin x$.
$2\cos x$ से विभाजित करने पर (यदि $\cos x \neq 0$ है):
$\tan x = 1$.
अतः,$x = \frac{\pi}{4}$.

(D) हम सूत्र $2\tan^{-1}(x) = \tan^{-1}\left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$ का उपयोग करेंगे।
सबसे पहले,$2\tan^{-1}\left( \frac{1}{5} \right)$ की गणना करें:
$2\tan^{-1}\left( \frac{1}{5} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{2(1/5)}{1-(1/5)^2} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{2/5}{1-1/25} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{2/5}{24/25} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{2}{5} \times \frac{25}{24} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{5}{12} \right)$.
अब,इस मान को व्यंजक में रखें:
$\tan \left[ \tan^{-1}\left( \frac{5}{12} \right) - \frac{\pi}{4} \right] = \tan \left[ \tan^{-1}\left( \frac{5}{12} \right) - \tan^{-1}(1) \right]$.
सूत्र $\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ का उपयोग करते हुए:
$\tan \left[ \tan^{-1}\left( \frac{5/12 - 1}{1 + (5/12)(1)} \right) \right] = \frac{5/12 - 1}{1 + 5/12} = \frac{-7/12}{17/12} = -\frac{7}{17}$.

(B) माना कि $x = {\tan ^2}\theta$,जिसका अर्थ है $\sqrt{x} = \tan \theta$,इसलिए $\theta = {\tan ^{ - 1}}\sqrt x $.
दिए गए व्यंजक में $x = {\tan ^2}\theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}{\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right) = \frac{1}{2}{\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - {{\tan }^2}\theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }}} \right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 2\theta = \frac{{1 - {{\tan }^2}\theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2}{\cos ^{ - 1}}(\cos 2\theta)$
$= \frac{1}{2}(2\theta) = \theta$
$\theta = {\tan ^{ - 1}}\sqrt x $ वापस रखने पर:
$= {\tan ^{ - 1}}\sqrt x $.
अतः,सही विकल्प $B$ है.

(B) माना $\theta = \tan^{-1} \frac{1}{3}$,तो $\tan \theta = \frac{1}{3}$ है।
हमें $\sin(4\theta)$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{2(1/3)}{1 - (1/9)} = \frac{2/3}{8/9} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{8} = \frac{3}{4}$ की गणना करें।
अब,$\sin(4\theta) = \sin(2(2\theta)) = \frac{2 \tan(2\theta)}{1 + \tan^2(2\theta)}$ की गणना करें।
$\tan(2\theta) = \frac{3}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin(4\theta) = \frac{2(3/4)}{1 + (3/4)^2} = \frac{3/2}{1 + 9/16} = \frac{3/2}{25/16} = \frac{3}{2} \times \frac{16}{25} = \frac{24}{25}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) हम जानते हैं कि $\tan 3\theta$ के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका इस प्रकार है:
$\tan 3\theta = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}$
मान लीजिए $\tan \theta = a$,तो $\theta = \tan^{-1} a$ होगा।
इस मान को सर्वसमिका में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan 3(\tan^{-1} a) = \frac{3a - a^3}{1 - 3a^2}$
दोनों पक्षों में $\tan^{-1}$ लेने पर,हमें मिलता है:
$3 \tan^{-1} a = \tan^{-1} \left( \frac{3a - a^3}{1 - 3a^2} \right)$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $3{\sin ^{ - 1}}\frac{{2x}}{{1 + {x^2}}} - 4{\cos ^{ - 1}}\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}} + 2{\tan ^{ - 1}}\frac{{2x}}{{1 - {x^2}}} = \frac{\pi }{3}$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $\theta = {\tan ^{ - 1}}x$.
मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$\sin 2\theta = \frac{{2\tan \theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }}$,$\cos 2\theta = \frac{{1 - {{\tan }^2}\theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }}$,और $\tan 2\theta = \frac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }}$.
समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$3(2\theta ) - 4(2\theta ) + 2(2\theta ) = \frac{\pi }{3}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$6\theta - 8\theta + 4\theta = \frac{\pi }{3}$.
$2\theta = \frac{\pi }{3} \Rightarrow \theta = \frac{\pi }{6}$.
चूंकि $\theta = {\tan ^{ - 1}}x$,इसलिए ${\tan ^{ - 1}}x = \frac{\pi }{6}$.
अतः,$x = \tan \frac{\pi }{6} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

(B) माना व्यंजक $E = \sin \left( {2{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{1}{3}} \right)} \right) + \cos ({\tan ^{ - 1}}(2\sqrt 2 ))$ है।
सबसे पहले,सूत्र $2\tan^{-1}(x) = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ का उपयोग करें।
$x = \frac{1}{3}$ के लिए,$2\tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2/3}{1-1/9}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2/3}{8/9}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ प्राप्त होता है।
अब,$\sin(\tan^{-1}(3/4))$: यदि $\tan(\theta) = 3/4$ है,तो $\sin(\theta) = 3/5$ होगा।
आगे,$\cos(\tan^{-1}(2\sqrt{2}))$ के लिए: यदि $\tan(\phi) = 2\sqrt{2}$ है,तो $\sec^2(\phi) = 1 + \tan^2(\phi) = 1 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 8 = 9$ होगा।
अतः,$\sec(\phi) = 3$,जिसका अर्थ है कि $\cos(\phi) = 1/3$ होगा।
इन मानों को जोड़ने पर: $E = \frac{3}{5} + \frac{1}{3} = \frac{9+5}{15} = \frac{14}{15}$।

(D) माना $f(x) = \cos ^{ - 1}\left( \frac{3 + 5\cos x}{5 + 3\cos x} \right)$.
सूत्र $\cos x = \frac{1 - \tan ^2(x/2)}{1 + \tan ^2(x/2)}$ का उपयोग करते हुए,हम प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{3 + 5\left( \frac{1 - \tan ^2(x/2)}{1 + \tan ^2(x/2)} \right)}{5 + 3\left( \frac{1 - \tan ^2(x/2)}{1 + \tan ^2(x/2)} \right)} = \frac{3(1 + \tan ^2(x/2)) + 5(1 - \tan ^2(x/2))}{5(1 + \tan ^2(x/2)) + 3(1 - \tan ^2(x/2))}$
$= \frac{3 + 3\tan ^2(x/2) + 5 - 5\tan ^2(x/2)}{5 + 5\tan ^2(x/2) + 3 - 3\tan ^2(x/2)} = \frac{8 - 2\tan ^2(x/2)}{8 + 2\tan ^2(x/2)} = \frac{4 - \tan ^2(x/2)}{4 + \tan ^2(x/2)}$.
माना $t = \tan(x/2)$. तब व्यंजक $\cos ^{ - 1}\left( \frac{4 - t^2}{4 + t^2} \right) = \cos ^{ - 1}\left( \frac{1 - (t/2)^2}{1 + (t/2)^2} \right)$ है।
सर्वसमिका $\cos ^{ - 1}\left( \frac{1 - u^2}{1 + u^2} \right) = 2\tan ^{ - 1}u$ ($u \ge 0$ के लिए) का उपयोग करने पर,हमें $2\tan ^{ - 1}\left( \frac{t}{2} \right) = 2\tan ^{ - 1}\left( \frac{1}{2}\tan \frac{x}{2} \right)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos^{-1} x - \cos^{-1} \frac{y}{2} = \alpha$ है।
मान लीजिए $\cos^{-1} x = A$ और $\cos^{-1} \frac{y}{2} = B$ है।
अतः $x = \cos A$ और $\frac{y}{2} = \cos B$,जिससे $y = 2 \cos B$ प्राप्त होता है।
समीकरण $A - B = \alpha$ बन जाता है।
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर: $\cos(A - B) = \cos \alpha$।
सूत्र $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$x \cdot \frac{y}{2} + \sqrt{1 - x^2} \sqrt{1 - (\frac{y}{2})^2} = \cos \alpha$।
$\sqrt{1 - x^2} \sqrt{1 - \frac{y^2}{4}} = \cos \alpha - \frac{xy}{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(1 - x^2)(1 - \frac{y^2}{4}) = (\cos \alpha - \frac{xy}{2})^2$।
$1 - \frac{y^2}{4} - x^2 + \frac{x^2 y^2}{4} = \cos^2 \alpha - xy \cos \alpha + \frac{x^2 y^2}{4}$।
$1 - x^2 - \frac{y^2}{4} = \cos^2 \alpha - xy \cos \alpha$।
पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर:
$4 - 4x^2 - y^2 = 4 \cos^2 \alpha - 4xy \cos \alpha$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4 - 4 \cos^2 \alpha$।
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4(1 - \cos^2 \alpha)$।
चूंकि $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$,इसलिए:
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4 \sin^2 \alpha$।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \frac{\pi}{4}$.
सूत्र $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x + y}{1 - xy} \right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan^{-1} \left( \frac{x + y}{1 - xy} \right) = \frac{\pi}{4}$.
दोनों पक्षों का टेंजेंट (tangent) लेने पर:
$\frac{x + y}{1 - xy} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right)$.
चूंकि $\tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$,इसलिए:
$\frac{x + y}{1 - xy} = 1$.
दोनों पक्षों को $(1 - xy)$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है:
$x + y = 1 - xy$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + y + xy = 1$.

(C) दिया गया समीकरण: $\sin^{-1}(1 - x) - 2\sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sin^{-1}(1 - x) = \frac{\pi}{2} + 2\sin^{-1}x$
दोनों पक्षों में $\sin$ लेने पर: $1 - x = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\sin^{-1}x\right)$
सर्वसमिका $\sin(\frac{\pi}{2} + \theta) = \cos \theta$ का उपयोग करने पर: $1 - x = \cos(2\sin^{-1}x)$
सर्वसमिका $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta$ का उपयोग करने पर: $1 - x = 1 - 2\sin^2(\sin^{-1}x)$
सरल करने पर: $1 - x = 1 - 2x^2$
$2x^2 - x = 0$
$x(2x - 1) = 0$
अतः,$x = 0$ या $x = 1/2$।
$x = 1/2$ की जाँच करने पर: $\sin^{-1}(1 - 1/2) - 2\sin^{-1}(1/2) = \sin^{-1}(1/2) - 2(\pi/6) = \pi/6 - \pi/3 = -\pi/6 \neq \pi/2$।
$x = 0$ की जाँच करने पर: $\sin^{-1}(1 - 0) - 2\sin^{-1}(0) = \sin^{-1}(1) - 0 = \pi/2$।
अतः,केवल $x = 0$ ही हल है।

(C) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में $\angle A = 90^\circ$ है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$a^2 = b^2 + c^2$,जहाँ $a$ कर्ण है।
हमें $\tan^{-1}\left(\frac{c}{a+b}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{b}{a+c}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
सूत्र $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करने पर:
$= \tan^{-1}\left[ \frac{\frac{c}{a+b} + \frac{b}{a+c}}{1 - \left(\frac{c}{a+b}\right)\left(\frac{b}{a+c}\right)} \right]$
$= \tan^{-1}\left[ \frac{c(a+c) + b(a+b)}{(a+b)(a+c) - bc} \right]$
$= \tan^{-1}\left[ \frac{ac + c^2 + ab + b^2}{a^2 + ac + ab + bc - bc} \right]$
चूंकि $b^2 + c^2 = a^2$,इसलिए अंश $ac + ab + a^2$ हो जाता है।
$= \tan^{-1}\left[ \frac{a^2 + ab + ac}{a^2 + ab + ac} \right]$
$= \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(D) दिया गया समीकरण: $\sin^{-1} x - \sin^{-1} 2x = \pm \frac{\pi}{3}$.
दोनों पक्षों में $\sin$ लेने पर:
$\sin(\sin^{-1} x - \sin^{-1} 2x) = \sin(\pm \frac{\pi}{3}) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
सूत्र $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,जहाँ $A = \sin^{-1} x$ और $B = \sin^{-1} 2x$ है:
$x \sqrt{1 - (2x)^2} - 2x \sqrt{1 - x^2} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$x \sqrt{1 - 4x^2} - 2x \sqrt{1 - x^2} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x \sqrt{1 - 4x^2} - 2x \sqrt{1 - x^2})^2 = \frac{3}{4}$.
$x^2(1 - 4x^2) + 4x^2(1 - x^2) - 4x^2 \sqrt{(1 - 4x^2)(1 - x^2)} = \frac{3}{4}$.
$x^2 - 4x^4 + 4x^2 - 4x^4 - 4x^2 \sqrt{1 - 5x^2 + 4x^4} = \frac{3}{4}$.
$5x^2 - 8x^4 - \frac{3}{4} = 4x^2 \sqrt{1 - 5x^2 + 4x^4}$.
$x^2 = \frac{1}{4}$ रखने पर:
$5(\frac{1}{4}) - 8(\frac{1}{16}) - \frac{3}{4} = \frac{5}{4} - \frac{1}{2} - \frac{3}{4} = 0$.
$4(\frac{1}{4}) \sqrt{1 - 5(\frac{1}{4}) + 4(\frac{1}{16})} = 1 \sqrt{1 - \frac{5}{4} + \frac{1}{4}} = 1 \sqrt{0} = 0$.
चूँकि $0 = 0$,अतः $x = \pm \frac{1}{2}$ सही हल है।

(A) हम सर्वसमिका $3 \sin^{-1}(x) = \sin^{-1}(3x - 4x^3)$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $|x| \leq \frac{1}{2}$ है।
यहाँ,$x = \frac{1}{5}$,जो शर्त को संतुष्ट करता है।
$\sin \left[ 3 \sin^{-1} \left( \frac{1}{5} \right) \right] = \sin \left[ \sin^{-1} \left( 3 \left( \frac{1}{5} \right) - 4 \left( \frac{1}{5} \right)^3 \right) \right]$
$= \sin \left[ \sin^{-1} \left( \frac{3}{5} - \frac{4}{125} \right) \right]$
$= \sin \left[ \sin^{-1} \left( \frac{75 - 4}{125} \right) \right]$
$= \sin \left[ \sin^{-1} \left( \frac{71}{125} \right) \right] = \frac{71}{125}$.

(D) माना $y = \cot ^{ - 1}\left[ \frac{\sqrt {1 - \sin x} + \sqrt {1 + \sin x}}{\sqrt {1 - \sin x} - \sqrt {1 + \sin x}} \right]$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$y = \cot ^{ - 1}\left[ \frac{(\sqrt {1 - \sin x} + \sqrt {1 + \sin x})^2}{(\sqrt {1 - \sin x})^2 - (\sqrt {1 + \sin x})^2} \right]$
अंश और हर का विस्तार करने पर:
$y = \cot ^{ - 1}\left[ \frac{(1 - \sin x) + (1 + \sin x) + 2\sqrt {(1 - \sin x)(1 + \sin x)}}{(1 - \sin x) - (1 + \sin x)} \right]$
$y = \cot ^{ - 1}\left[ \frac{2 + 2\sqrt {1 - \sin ^2 x}}{-2\sin x} \right] = \cot ^{ - 1}\left[ \frac{2(1 + \cos x)}{-2\sin x} \right]$
अर्ध-कोण सूत्रों $1 + \cos x = 2\cos ^2(x/2)$ और $\sin x = 2\sin(x/2)\cos(x/2)$ का उपयोग करने पर:
$y = \cot ^{ - 1}\left[ \frac{2(2\cos ^2(x/2))}{-2(2\sin(x/2)\cos(x/2))} \right] = \cot ^{ - 1}\left[ -\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} \right]$
$y = \cot ^{ - 1}\left( -\cot(x/2) \right) = \cot ^{ - 1}\left( \cot(\pi - x/2) \right) = \pi - \frac{x}{2}$.

(C) दिया गया है कि $\theta = \tan^{-1} a$ और $\phi = \tan^{-1} b$ जहाँ $ab = -1$ है।
दिए गए समीकरणों से,हमें $\tan \theta = a$ और $\tan \phi = b$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $ab = -1$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\tan \theta \tan \phi = -1$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\tan \theta = -\frac{1}{\tan \phi} = -\cot \phi$.
हम जानते हैं कि $-\cot \phi = \tan(\phi + \frac{\pi}{2})$ या $\tan(\phi - \frac{\pi}{2})$ होता है।
चूंकि $\tan^{-1}$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है,इसलिए अंतर $\theta - \phi$ का मान $\pm \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
विशेष रूप से,$\theta - \phi = \tan^{-1} a - \tan^{-1} b$। सर्वसमिका $\tan^{-1} a - \tan^{-1} b = \tan^{-1}(\frac{a-b}{1+ab})$ का उपयोग करने पर,चूंकि $ab = -1$ है,हर $0$ हो जाता है,जो $\frac{\pi}{2}$ या $-\frac{\pi}{2}$ के मान को दर्शाता है।
अतः,$\theta - \phi = \pm \frac{\pi}{2}$।

(A) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के लिए सर्वसमिका जानते हैं: $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,जहाँ $x \in [-1, 1]$ है।
दिया गया है कि $\sin^{-1} x = \frac{\pi}{5}$ है।
इस मान को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{\pi}{5} + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$।
अतः,$\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}$।
$2$ और $5$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $10$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\cos^{-1} x = \frac{5\pi - 2\pi}{10} = \frac{3\pi}{10}$।

(B) दिया गया है कि $\cos^{-1} p + \cos^{-1} q + \cos^{-1} r = \pi$ है।
माना $\cos^{-1} p = A$,$\cos^{-1} q = B$,और $\cos^{-1} r = C$ है।
तब $A + B + C = \pi$,जिसका अर्थ है $A + B = \pi - C$।
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर: $\cos(A + B) = \cos(\pi - C) = -\cos C$।
सूत्र $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$pq - \sqrt{1 - p^2} \sqrt{1 - q^2} = -r$।
$pq + r = \sqrt{1 - p^2} \sqrt{1 - q^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(pq + r)^2 = (1 - p^2)(1 - q^2)$।
$p^2q^2 + r^2 + 2pqr = 1 - p^2 - q^2 + p^2q^2$।
$p^2 + q^2 + r^2 + 2pqr = 1$।

(B) माना कि $\theta = \frac{1}{2}{\cos ^{ - 1}}\frac{a}{b}$.
अतः,$2\theta = {\cos ^{ - 1}}\frac{a}{b}$,जिसका अर्थ है कि $\cos 2\theta = \frac{a}{b}$.
व्यंजक $\tan \left( {\frac{\pi }{4} + \theta } \right) + \tan \left( {\frac{\pi }{4} - \theta } \right)$ बन जाता है।
सूत्र $\tan (A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ और $\tan (A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\tan \frac{\pi }{4} = 1$:
$= \frac{1 + \tan \theta }{1 - \tan \theta } + \frac{1 - \tan \theta }{1 + \tan \theta }$
$= \frac{{(1 + \tan \theta )^2 + (1 - \tan \theta )^2}}{{(1 - \tan \theta )(1 + \tan \theta )}}$
$= \frac{{1 + {{\tan }^2}\theta + 2\tan \theta + 1 + {{\tan }^2}\theta - 2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }}$
$= \frac{{2(1 + {{\tan }^2}\theta )}}{{1 - {{\tan }^2}\theta }}$
$= \frac{2}{{\frac{{1 - {{\tan }^2}\theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }}}}$
$= \frac{2}{{\cos 2\theta }}$
चूँकि $\cos 2\theta = \frac{a}{b}$,इसलिए व्यंजक का मान $\frac{2}{{a/b}} = \frac{{2b}}{a}$ है।