2{tan ^{ - 1}}left[ {sqrt {frac{{a - b}}{{a + | vedclass

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Question

(A) हम सूत्र $2{	an ^{ - 1}}x = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} ight)$ का उपयोग करते हैं।मान लीजिए $x = \sqrt {\frac{{a - b}

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${\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{a\cos 	heta + b}}{{a + b\cos 	heta }}} ight)$

Vedclass · Answer

(A) हम सूत्र $2{	an ^{ - 1}}x = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} ight)$ का उपयोग करते हैं।मान लीजिए $x = \sqrt {\frac{{a - b}}{{a + b}}} 	an \frac{	heta }{2}$.तब $2{	an ^{ - 1}}\left[ {\sqrt {\frac{{a - b}}{{a + b}}} 	an \frac{	heta }{2}} ight] = {\cos ^{ - 1}}\left[ {\frac{{1 - \left( {\frac{{a - b}}{{a + b}}} ight){{	an }^2}\frac{	heta }{2}}}{{1 + \left( {\frac{{a - b}}{{a + b}}} ight){{	an }^2}\frac{	heta }{2}}}} ight]$$= {\cos ^{ - 1}}\left[ {\frac{{(a + b) - (a - b){{	an }^2}\frac{	heta }{2}}}{{(a + b) + (a - b){{	an }^2}\frac{	heta }{2}}}} ight]$$= {\cos ^{ - 1}}\left[ {\frac{{a(1 - {{	an }^2}\frac{	heta }{2}) + b(1 + {{	an }^2}\frac{	heta }{2})}}{{a(1 + {{	an }^2}\frac{	heta }{2}) + b(1 - {{	an }^2}\frac{	heta }{2})}}} ight]$अंश और हर को $(1 + {	an ^2}\frac{	heta }{2})$ से विभाजित करने पर:$= {\cos ^{ - 1}}\left[ {\frac{{a\left( {\frac{{1 - {{	an }^2}\frac{	heta }{2}}}{{1 + {{	an }^2}\frac{	heta }{2}}}} ight) + b}}{{a + b\left( {\frac{{1 - {{	an }^2}\frac{	heta }{2}}}{{1 + {{	an }^2}\frac{	heta }{2}}}} ight)}}} ight]$सर्वसमिका $\cos 	heta = \frac{{1 - {{	an }^2}\frac{	heta }{2}}}{{1 + {{	an }^2}\frac{	heta }{2}}}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$= {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{a\cos 	heta + b}}{{a + b\cos 	heta }}} ight)$.

$2{\tan ^{ - 1}}\left[ {\sqrt {\frac{{a - b}}{{a + b}}} \tan \frac{\theta }{2}} \right] = $

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$\tan \left[ {\frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}{{\cos }^{ - 1}}\frac{a}{b}} \right] + \tan \left[ {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}{{\cos }^{ - 1}}\frac{a}{b}} \right] = $

यदि $S = \{x \in R : \sin^{-1}\left(\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}\right) - \sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right) = \frac{\pi}{4}\}$,तो $\sum_{x \in S} \left(\sin\left((x^2+x+5)\frac{\pi}{2}\right) - \cos((x^2+x+5)\pi)\right)$ का मान $........$ है।

मान ज्ञात कीजिए: ${\tan ^{ - 1}}x + {\cot ^{ - 1}}(x + 1)$

यदि $\sin ^{-1}\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{4}-\ldots \infty\right) + \cos ^{-1}\left(x^2-\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{4}-\ldots \infty\right)=\frac{\pi}{2}$ और $0 < x < \sqrt{2}$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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