Properties of ITF Questions in Hindi

(B) दिया गया समीकरण: $\cot \frac{2x}{3} + \tan \frac{x}{3} = \csc \frac{kx}{3}$.
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ और $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos(2x/3)}{\sin(2x/3)} + \frac{\sin(x/3)}{\cos(x/3)} = \frac{\cos(2x/3)\cos(x/3) + \sin(2x/3)\sin(x/3)}{\sin(2x/3)\cos(x/3)}$.
$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ सूत्र का उपयोग करने पर,अंश $\cos(2x/3 - x/3) = \cos(x/3)$ हो जाता है।
अतः,व्यंजक $\frac{\cos(x/3)}{\sin(2x/3)\cos(x/3)} = \frac{1}{\sin(2x/3)} = \csc \frac{2x}{3}$ प्राप्त होता है।
$\csc \frac{kx}{3}$ के साथ तुलना करने पर,$k = 2$ प्राप्त होता है।
हमें $\tan^{-1}(\tan 2)$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $2$ रेडियन दूसरे चतुर्थांश में स्थित है $(\pi/2 < 2 < \pi)$,इसलिए $\tan^{-1}(\tan 2)$ का मुख्य मान $2 - \pi$ है।

(D) माना $\sqrt{x} = \sin \theta$,जिसका अर्थ है $x = \sin^2 \theta$.
चूंकि $0 < x < \frac{1}{2}$,इसलिए $0 < \sin^2 \theta < \frac{1}{2}$,अर्थात $0 < \sin \theta < \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$.
अतः,$\sqrt{1-x} = \sqrt{1-\sin^2 \theta} = \cos \theta$.
साथ ही,$2\sqrt{x(1-x)} = 2\sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$.
इन मानों को $y$ के समीकरण में रखने पर:
$y = 2\sin^{-1}(\cos \theta) + \sin^{-1}(\sin 2\theta)$.
चूंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\frac{\pi}{4} < 2\theta < \frac{\pi}{2}$,अतः $\sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta$.
साथ ही,$\sin^{-1}(\cos \theta) = \sin^{-1}(\sin(\frac{\pi}{2} - \theta)) = \frac{\pi}{2} - \theta$.
इस प्रकार,$y = 2(\frac{\pi}{2} - \theta) + 2\theta = \pi - 2\theta + 2\theta = \pi$.
चूंकि $y = \pi$ एक अचर है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = 0$ होगा।

(B) माना $S_n = \sum_{r=1}^n \tan^{-1} \left( \frac{4}{4r^2 + 3} \right)$.
हम $\tan^{-1}$ फलन के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{4}{4r^2 + 3} = \frac{(r + 1/2) - (r - 1/2)}{1 + (r + 1/2)(r - 1/2)}$.
अतः,$\tan^{-1} \left( \frac{4}{4r^2 + 3} \right) = \tan^{-1} \left( r + \frac{1}{2} \right) - \tan^{-1} \left( r - \frac{1}{2} \right)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S_n = \sum_{r=1}^n \left[ \tan^{-1} \left( r + \frac{1}{2} \right) - \tan^{-1} \left( r - \frac{1}{2} \right) \right] = \tan^{-1} \left( n + \frac{1}{2} \right) - \tan^{-1} \left( \frac{1}{2} \right)$.
जैसे ही $n \to \infty$,$\tan^{-1} \left( n + \frac{1}{2} \right) \to \frac{\pi}{2}$.
अतः,योग $\frac{\pi}{2} - \tan^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = \cot^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = \tan^{-1} (2)$ है।
अंत में,$\cot \left( \tan^{-1} (2) \right) = \frac{1}{2}$।

(D) हम जानते हैं कि $\cos^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(y)$ और $\sin^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1}(y)$.
दिया गया है $f(x) = \cos^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापन लेने पर,हमें $\frac{2x}{1+x^2} = \sin(2\theta)$ और $\frac{1-x^2}{1+x^2} = \cos(2\theta)$ प्राप्त होता है।
$x \ge 1$ के लिए,$f(x) = \left(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)\right) + \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right)$.
$x \ge 1$ के लिए,$\sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) = \pi - 2\tan^{-1}(x)$ और $\cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) = 2\tan^{-1}(x)$.
अतः,$f(x) = (\pi - 2\tan^{-1}(x)) + (2\tan^{-1}(x)) = \pi$,जहाँ $x \ge 1$.
इसलिए,$f(1) = \pi$ और $f(2) = \pi$.
अतः,$f(1) + f(2) = \pi + \pi = 2\pi$.

(C) दिया गया है कि $\log_{\pi}x > 0$ है। चूंकि आधार $\pi > 1$ है,इसका अर्थ है कि $x > 1$ है।
हम $\sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$ के लिए सर्वसमिका जानते हैं:
$x > 1$ के लिए,$\sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) = \pi - 2\tan^{-1}x$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\log_{\pi}\left( \sin^{-1}\frac{2x}{1+x^2} + 2\tan^{-1}x \right) = \log_{\pi}\left( (\pi - 2\tan^{-1}x) + 2\tan^{-1}x \right)$।
लघुगणक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\log_{\pi}(\pi) = 1$ प्राप्त होता है।

(B) माना $u = \tan^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \right)$ और $v = \sin^{-1}(x)$ है।
$x = \sin(\theta)$ प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ $\theta = \sin^{-1}(x)$ है।
तब,$u = \tan^{-1} \left( \frac{\sin(\theta)}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \right) = \tan^{-1}(\tan(\theta)) = \theta$ प्राप्त होता है।
चूँकि $v = \sin^{-1}(x) = \theta$ है,इसलिए $u = v$ है।
अतः,$u$ का $v$ के सापेक्ष अवकलज $\frac{du}{dv} = \frac{d}{dv}(v) = 1$ होगा।

(A) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = \tan^{-1}\left(\frac{1}{x^2 + (2r-1)x + (r^2-r+1)}\right)$ है,जहाँ $r = 1, 2, \dots, n$ है।
इसे $T_r = \tan^{-1}\left(\frac{(x+r) - (x+r-1)}{1 + (x+r)(x+r-1)}\right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ सूत्र का उपयोग करने पर,हमें $T_r = \tan^{-1}(x+r) - \tan^{-1}(x+r-1)$ प्राप्त होता है।
$n$ पदों तक योग करने पर:
$y = [\tan^{-1}(x+1) - \tan^{-1} x] + [\tan^{-1}(x+2) - \tan^{-1}(x+1)] + \dots + [\tan^{-1}(x+n) - \tan^{-1}(x+n-1)]$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए $y = \tan^{-1}(x+n) - \tan^{-1} x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (x+n)^2} - \frac{1}{1 + x^2}$।

(D) दिया गया समीकरण: $2 \tan^{-1}(\cos x) = \tan^{-1}(\csc^2 x)$ है।
सूत्र $2 \tan^{-1}(\theta) = \tan^{-1}\left(\frac{2\theta}{1-\theta^2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{2 \cos x}{1 - \cos^2 x}\right) = \tan^{-1}(\csc^2 x)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$,समीकरण इस प्रकार होगा:
$\tan^{-1}\left(\frac{2 \cos x}{\sin^2 x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sin^2 x}\right)$।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
$\frac{2 \cos x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x}$।
चूंकि $\sin^2 x \neq 0$ है,हम दोनों पक्षों से $\sin^2 x$ को हटा सकते हैं:
$2 \cos x = 1$।
$\cos x = \frac{1}{2}$।
अतः,$x = \frac{\pi}{3}$।

(D) हमें व्यंजक $f(x) = 2 \tan^{-1} x + \sin^{-1} (\frac{2x}{1+x^2})$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $2 \tan^{-1} x$ के लिए $\sin^{-1}$ के रूप में सूत्र इस प्रकार है:
$2 \tan^{-1} x = \begin{cases} \sin^{-1} (\frac{2x}{1+x^2}) & \text{यदि } |x| \leq 1 \\ \pi - \sin^{-1} (\frac{2x}{1+x^2}) & \text{यदि } x > 1 \\ -\pi - \sin^{-1} (\frac{2x}{1+x^2}) & \text{यदि } x < -1 \end{cases}$
जब $x = 1$ है,तब $2 \tan^{-1} (1) = 2(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$ और $\sin^{-1} (\frac{2(1)}{1+1^2}) = \sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$. अतः,$f(1) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$.
जब $x > 1$ है,तब $\sin^{-1} (\frac{2x}{1+x^2}) = \pi - 2 \tan^{-1} x$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$f(x) = 2 \tan^{-1} x + (\pi - 2 \tan^{-1} x) = \pi$.
अतः,सभी $x \geq 1$ के लिए,व्यंजक का मान $\pi$ है।

(B) दिया गया है,$\alpha = \tan ^{-1}\left(\tan \frac{5 \pi}{4}\right)$.
चूंकि $\frac{5 \pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan \frac{5 \pi}{4} = \tan \frac{\pi}{4}$ होता है।
अतः,$\alpha = \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}$।
इससे $4 \alpha = \pi$ प्राप्त होता है $(1)$।
दिया गया है,$\beta = \tan ^{-1}\left(-\tan \frac{2 \pi}{3}\right)$.
चूंकि $\tan \frac{2 \pi}{3} = \tan \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\tan \frac{\pi}{3}$,इसलिए $-\tan \frac{2 \pi}{3} = \tan \frac{\pi}{3}$ होता है।
अतः,$\beta = \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$।
इससे $3 \beta = \pi$ प्राप्त होता है $(2)$।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमारे पास $4 \alpha = \pi$ और $3 \beta = \pi$ है।
इसलिए,$4 \alpha = 3 \beta$,जिसका अर्थ है कि $4 \alpha - 3 \beta = 0$।

(C) माना $f(x) = (\sin^{-1} x)^3 + (\cos^{-1} x)^3$. हम जानते हैं कि $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = (\sin^{-1} x + \cos^{-1} x)^3 - 3(\sin^{-1} x)(\cos^{-1} x)(\sin^{-1} x + \cos^{-1} x)$
$f(x) = (\frac{\pi}{2})^3 - 3(\sin^{-1} x)(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x)(\frac{\pi}{2})$
$f(x) = \frac{\pi^3}{8} - \frac{3\pi}{2}(\sin^{-1} x)(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x)$
$f(x) = \frac{\pi^3}{8} - \frac{3\pi^2}{4}(\sin^{-1} x) + \frac{3\pi}{2}(\sin^{-1} x)^2$
$\sin^{-1} x$ में द्विघात पद के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$f(x) = \frac{3\pi}{2} [(\sin^{-1} x)^2 - \frac{\pi}{2}(\sin^{-1} x) + \frac{\pi^2}{16} - \frac{\pi^2}{16}] + \frac{\pi^3}{8}$
$f(x) = \frac{3\pi}{2}(\sin^{-1} x - \frac{\pi}{4})^2 - \frac{3\pi^3}{32} + \frac{4\pi^3}{32} = \frac{3\pi}{2}(\sin^{-1} x - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi^3}{32}$
चूंकि $\sin^{-1} x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,न्यूनतम मान $\sin^{-1} x = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है,जो $\frac{\pi^3}{32}$ है।
अधिकतम मान सीमा $\sin^{-1} x = -\frac{\pi}{2}$ पर प्राप्त होता है:
$f(-\frac{\pi}{2}) = \frac{3\pi}{2}(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi^3}{32} = \frac{3\pi}{2}(-\frac{3\pi}{4})^2 + \frac{\pi^3}{32} = \frac{3\pi}{2}(\frac{9\pi^2}{16}) + \frac{\pi^3}{32} = \frac{27\pi^3}{32} + \frac{\pi^3}{32} = \frac{28\pi^3}{32} = \frac{7\pi^3}{8}$.

(D) हम जानते हैं कि $\cos^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $[0, \pi]$ है।
दिया गया अंतराल $\pi \leq x \leq 2 \pi$ है।
हम गुणधर्म $\cos(2 \pi - x) = \cos x$ का उपयोग करते हैं।
चूंकि $\pi \leq x \leq 2 \pi$,इसलिए $-\pi \geq -x \geq -2 \pi$ प्राप्त होता है।
सभी पक्षों में $2 \pi$ जोड़ने पर,हमें $2 \pi - \pi \geq 2 \pi - x \geq 2 \pi - 2 \pi$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\pi \geq 2 \pi - x \geq 0$ हो जाता है।
अतः,$0 \leq 2 \pi - x \leq \pi$,जो मुख्य परिसर $[0, \pi]$ के भीतर स्थित है।
इसलिए,$\cos^{-1}(\cos x) = \cos^{-1}(\cos(2 \pi - x)) = 2 \pi - x$.

(D) हमें समीकरण दिया गया है: $\sin(\cot^{-1}(1 + x)) = \cos(\tan^{-1} x)$.
सबसे पहले,दाहिने पक्ष को सरल करें: मान लीजिए $\tan^{-1} x = \theta$,तो $x = \tan \theta$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$,इसलिए $\cos(\tan^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
अब,बाएं पक्ष को सरल करें: मान लीजिए $\cot^{-1}(1 + x) = \phi$,तो $1 + x = \cot \phi$.
चूंकि $\sin \phi = \frac{1}{\csc \phi} = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \phi}}$,इसलिए $\sin(\cot^{-1}(1 + x)) = \frac{1}{\sqrt{1 + (1 + x)^2}}$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $\frac{1}{\sqrt{1 + (1 + x)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1 + (1 + x)^2 = 1 + x^2$.
$(1 + x)^2 = x^2$.
$1 + 2x + x^2 = x^2$.
$1 + 2x = 0$.
$x = -\frac{1}{2}$.

(C) दी गई असमिका: ${\cot ^{ - 1}}\frac{n}{\pi } > \frac{\pi }{6}$.
चूंकि फलन $f(x) = {\cot ^{ - 1}}x$ एक निरंतर ह्रासमान (strictly decreasing) फलन है,इसलिए दोनों पक्षों का कोटिस्पर्शज्या (cotangent) लेने पर असमिका का चिह्न बदल जाएगा:
$\frac{n}{\pi } < \cot \left( \frac{\pi }{6} \right)$
हम जानते हैं कि $\cot \left( \frac{\pi }{6} \right) = \sqrt{3}$.
अतः,$\frac{n}{\pi } < \sqrt{3}$.
दोनों पक्षों को $\pi$ से गुणा करने पर:
$n < \pi \sqrt{3}$.
अनुमानित मान $\pi \approx 3.14159$ और $\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर:
$n < 3.14159 \times 1.732 \approx 5.44$.
चूंकि $n \in N$ (प्राकृत संख्या) है,इसलिए $n < 5.44$ को संतुष्ट करने वाला $n$ का अधिकतम पूर्णांक मान $5$ है।

(A) माना ${x^2} = \cos 2\theta$,जिसका अर्थ है $2\theta = {\cos ^{ - 1}}{x^2}$ या $\theta = \frac{1}{2}{\cos ^{ - 1}}{x^2}$।
${x^2} = \cos 2\theta$ को व्यंजक में रखने पर:
${\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{\sqrt {1 + \cos 2\theta } + \sqrt {1 - \cos 2\theta } }}{{\sqrt {1 + \cos 2\theta } - \sqrt {1 - \cos 2\theta } }}} \right]$
सर्वसमिका $1 + \cos 2\theta = 2{\cos ^2}\theta$ और $1 - \cos 2\theta = 2{\sin ^2}\theta$ का उपयोग करने पर:
${\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{\sqrt {2{{\cos }^2}\theta } + \sqrt {2{{\sin }^2}\theta } }}{{\sqrt {2{{\cos }^2}\theta } - \sqrt {2{{\sin }^2}\theta } }}} \right] = {\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{\sqrt 2 \cos \theta + \sqrt 2 \sin \theta }}{{\sqrt 2 \cos \theta - \sqrt 2 \sin \theta }}} \right]$
अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर:
${\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{1 + \tan \theta }}{{1 - \tan \theta }}} \right] = {\tan ^{ - 1}}\left[ {\tan \left( {\frac{\pi }{4} + \theta } \right)} \right]$
$= \frac{\pi }{4} + \theta = \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}{\cos ^{ - 1}}{x^2}$।

(A) माना $\lambda = \cot^{-1}(1+x)$,तो $\cot \lambda = 1+x$। आधार $(1+x)$ और लंब $1$ वाले समकोण त्रिभुज से,कर्ण $\sqrt{(1+x)^2 + 1^2} = \sqrt{x^2 + 2x + 2}$ है। अतः,$\sin \lambda = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}}$।
माना $\beta = \tan^{-1}x$,तो $\tan \beta = x$। लंब $x$ और आधार $1$ वाले समकोण त्रिभुज से,कर्ण $\sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{x^2 + 1}$ है। अतः,$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$।
दिए गए समीकरण $\sin \lambda = \cos \beta$ से:
$\frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2 + 2x + 2 = x^2 + 1$
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर:
$2x + 2 = 1$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$

(C) दिया गया फलन $f(x) = 2 \tan^{-1} x + \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right)$ है,जहाँ $x > 1$ है।
हम जानते हैं कि $x > 1$ के लिए,$\sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right)$ का सूत्र $\pi - 2 \tan^{-1} x$ होता है।
इस मान को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = 2 \tan^{-1} x + (\pi - 2 \tan^{-1} x)$
$f(x) = \pi$.
चूँकि $x > 1$ के लिए $f(x)$ एक अचर फलन है,इसलिए $f(5) = \pi$ होगा।

(D) कथन $II$ के लिए: हम जानते हैं कि $\sin^{-1} x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
सभी पक्षों से $\frac{\pi}{4}$ घटाने पर,हमें $-\frac{3\pi}{4} \le \sin^{-1} x - \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
असमिका का वर्ग करने पर,हमें $0 \le (\sin^{-1} x - \frac{\pi}{4})^2 \le \frac{9\pi^2}{16}$ प्राप्त होता है। अतः,कथन $II$ सत्य है।
कथन $I$ के लिए: मान लीजिए $u = \sin^{-1} x$ है। तब $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$ होगा। समीकरण $u^3 + (\frac{\pi}{2} - u)^3 = a\pi^3$ बन जाता है।
इसका विस्तार करने पर,$u^3 + \frac{\pi^3}{8} - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{3\pi}{2}u^2 - u^3 = a\pi^3$ प्राप्त होता है।
$\frac{3\pi}{2}u^2 - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{\pi^3}{8} - a\pi^3 = 0$ है।
$\frac{3\pi}{2}$ से भाग देने पर,$u^2 - \frac{\pi}{2}u + \frac{\pi^2}{12} - \frac{2a\pi^2}{3} = 0$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(u - \frac{\pi}{4})^2 - \frac{\pi^2}{16} + \frac{\pi^2}{12} - \frac{2a\pi^2}{3} = 0$ है।
$(u - \frac{\pi}{4})^2 = \frac{2a\pi^2}{3} - \frac{\pi^2}{48} = \frac{\pi^2}{48}(32a - 1)$ है।
चूंकि $0 \le (u - \frac{\pi}{4})^2 \le \frac{9\pi^2}{16}$ है,इसलिए $0 \le \frac{\pi^2}{48}(32a - 1) \le \frac{9\pi^2}{16}$ होगा।
$0 \le 32a - 1 \le 27$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{32} \le a \le \frac{7}{8}$ है।
चूंकि समीकरण का हल केवल $a \in [\frac{1}{32}, \frac{7}{8}]$ के लिए ही संभव है,इसलिए यह कथन कि इसका सभी $a \ge \frac{1}{32}$ के लिए हल है,असत्य है।

(D) दिया गया समीकरण $\sin^{-1} x = 2 \tan^{-1} x$ है।
माना $\tan^{-1} x = \theta$,तो $x = \tan \theta$.
समीकरण में मान रखने पर,$\sin^{-1}(\tan \theta) = 2\theta$.
दोनों तरफ $\sin$ लेने पर,$\tan \theta = \sin(2\theta)$.
सर्वसमिका $\sin(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,$\tan \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$.
अतः $\tan \theta (1 - \frac{2}{1 + \tan^2 \theta}) = 0$.
इसलिए,$\tan \theta = 0$ या $1 + \tan^2 \theta = 2$,जिसका अर्थ है $\tan^2 \theta = 1$.
यदि $\tan \theta = 0$,तो $x = 0$.
यदि $\tan^2 \theta = 1$,तो $\tan \theta = 1$ या $\tan \theta = -1$,इसलिए $x = 1$ या $x = -1$.
इन मानों को मूल समीकरण में जाँचने पर:
$x = 0$ के लिए: $\sin^{-1}(0) = 0$ और $2 \tan^{-1}(0) = 0$. (मान्य)
$x = 1$ के लिए: $\sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$ और $2 \tan^{-1}(1) = 2(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$. (मान्य)
$x = -1$ के लिए: $\sin^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{2}$ और $2 \tan^{-1}(-1) = 2(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi}{2}$. (मान्य)
इस प्रकार,कुल $3$ हल प्राप्त होते हैं: $x \in \{-1, 0, 1\}$.

(A) हम सर्वसमिका $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x - y}{1 + xy} \right)$ का उपयोग करेंगे।
श्रेणी का प्रत्येक पद $\tan^{-1} \left( \frac{1}{1 + k(k+1)} \right) = \tan^{-1}(k+1) - \tan^{-1}(k)$ के रूप में है।
माना $f(k) = \tan^{-1}(k+1) - \tan^{-1}(k)$ है।
दिया गया योग $S = \sum_{k=n}^{n+19} \tan^{-1} \left( \frac{1}{1 + k(k+1)} \right)$ है।
$S = \sum_{k=n}^{n+19} (\tan^{-1}(k+1) - \tan^{-1}(k))$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S = (\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n)) + (\tan^{-1}(n+2) - \tan^{-1}(n+1)) + \dots + (\tan^{-1}(n+20) - \tan^{-1}(n+19))$ है।
$S = \tan^{-1}(n+20) - \tan^{-1}(n)$ है।
सूत्र $\tan S = \tan(\tan^{-1}(n+20) - \tan^{-1}(n)) = \frac{(n+20) - n}{1 + (n+20)n}$ का उपयोग करने पर।
$\tan S = \frac{20}{1 + n^2 + 20n} = \frac{20}{n^2 + 20n + 1}$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई असमिका $\sin^{-1} x > \cos^{-1} x$ है,जहाँ $x \in (0, 1)$ है।
हम जानते हैं कि $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$ होता है।
इसे असमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^{-1} x > \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$
$2 \sin^{-1} x > \frac{\pi}{2}$
$\sin^{-1} x > \frac{\pi}{4}$
चूँकि साइन फलन अंतराल $[0, 1]$ पर निरंतर वर्धमान है,इसलिए दोनों पक्षों में साइन लेने पर:
$x > \sin\left( \frac{\pi}{4} \right)$
$x > \frac{1}{\sqrt{2}}$
डोमेन $x \in (0, 1)$ को देखते हुए,हल समुच्चय $x \in \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, 1 \right)$ है।

(A) दिया गया है कि $\cos^{-1}\left(\frac{2}{3x}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{3}{4x}\right) = \frac{\pi}{2}$.
हम जानते हैं कि $\cos^{-1}(A) + \cos^{-1}(B) = \cos^{-1}\left(AB - \sqrt{1-A^2}\sqrt{1-B^2}\right)$.
अतः,$\cos^{-1}\left(\frac{2}{3x} \cdot \frac{3}{4x} - \sqrt{1-\frac{4}{9x^2}}\sqrt{1-\frac{9}{16x^2}}\right) = \frac{\pi}{2}$.
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर,$\frac{6}{12x^2} - \sqrt{\frac{9x^2-4}{9x^2}}\sqrt{\frac{16x^2-9}{16x^2}} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.
$\frac{1}{2x^2} = \frac{\sqrt{9x^2-4}\sqrt{16x^2-9}}{12x^2}$.
$12x^2$ से गुणा करने पर,हमें $6 = \sqrt{9x^2-4}\sqrt{16x^2-9}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$36 = (9x^2-4)(16x^2-9) = 144x^4 - 81x^2 - 64x^2 + 36$.
$144x^4 - 145x^2 = 0$.
$x^2(144x^2 - 145) = 0$.
चूंकि $x > \frac{3}{4}$,इसलिए $x^2 \neq 0$,अतः $144x^2 = 145$,जिससे $x = \frac{\sqrt{145}}{12}$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $\sin^{-1}(\sin \theta)$ का मुख्य मान परिसर $[-\pi/2, \pi/2]$ है।
यहाँ $3\pi \approx 9.42$ और $10$ अंतराल $(2\pi, 3\pi)$ में स्थित है,इसलिए हम गुणधर्म $\sin^{-1}(\sin \theta) = 3\pi - \theta$ का उपयोग करते हैं।
अतः,$x = \sin^{-1}(\sin 10) = 3\pi - 10$.
$y = \cos^{-1}(\cos 10)$ के लिए,मुख्य मान परिसर $[0, \pi]$ है।
चूँकि $3\pi < 10 < 4\pi$ है,हम $\cos^{-1}(\cos \theta) = 4\pi - \theta$ का उपयोग करते हैं।
इसलिए,$y = 4\pi - 10$.
अतः,$y - x = (4\pi - 10) - (3\pi - 10) = \pi$.

(A) हम जानते हैं कि $\sum_{p=1}^n 2p = 2 \times \frac{n(n+1)}{2} = n^2 + n$ होता है।
अतः,योग के अंदर का पद $\cot^{-1}(1 + n^2 + n) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1 + n(n+1)}\right)$ है।
सर्वसमिका $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$\tan^{-1}\left(\frac{(n+1) - n}{1 + n(n+1)}\right) = \tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n)$।
अब,योग इस प्रकार होगा:
$\sum_{n=1}^{19} (\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n)) = (\tan^{-1} 2 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 2) + \dots + (\tan^{-1} 20 - \tan^{-1} 19)$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,जो सरल होकर $\tan^{-1} 20 - \tan^{-1} 1$ हो जाती है।
सूत्र $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} 20 - \tan^{-1} 1 = \tan^{-1}\left(\frac{20-1}{1+20 \times 1}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)$।
अंत में,हमें $\cot(\tan^{-1}(19/21)) = \cot(\cot^{-1}(21/19)) = \frac{21}{19}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\cos \alpha = \frac{3}{5}$। चूँकि $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$,इसलिए $\sin \alpha = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$ होगा।
हमें $\tan \beta = \frac{1}{3}$ दिया गया है।
सूत्र $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}}{1 + (\frac{4}{3})(\frac{1}{3})} = \frac{1}{1 + \frac{4}{9}} = \frac{1}{\frac{13}{9}} = \frac{9}{13}$।
अब,यदि $\tan(\alpha - \beta) = \frac{9}{13}$ है,तो $\sin(\alpha - \beta) = \frac{9}{\sqrt{9^2 + 13^2}} = \frac{9}{\sqrt{81 + 169}} = \frac{9}{\sqrt{250}} = \frac{9}{5\sqrt{10}}$ होगा।
अतः,$\alpha - \beta = \sin^{-1}\left(\frac{9}{5\sqrt{10}}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) माना $\alpha = \sin^{-1} \left( \frac{12}{13} \right)$ और $\beta = \sin^{-1} \left( \frac{3}{5} \right)$ है।
तब $\sin \alpha = \frac{12}{13} \implies \cos \alpha = \sqrt{1 - \left( \frac{12}{13} \right)^2} = \frac{5}{13}$ है।
और $\sin \beta = \frac{3}{5} \implies \cos \beta = \sqrt{1 - \left( \frac{3}{5} \right)^2} = \frac{4}{5}$ है।
सूत्र $\sin^{-1} x - \sin^{-1} y = \sin^{-1} (x \sqrt{1 - y^2} - y \sqrt{1 - x^2})$ का उपयोग करने पर:
$\sin^{-1} \left( \frac{12}{13} \right) - \sin^{-1} \left( \frac{3}{5} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{12}{13} \times \frac{4}{5} - \frac{3}{5} \times \frac{5}{13} \right)$
$= \sin^{-1} \left( \frac{48}{65} - \frac{15}{65} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{33}{65} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\sin^{-1} \left( \frac{33}{65} \right) = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left( \frac{33}{65} \right)$ है।
वैकल्पिक रूप से,$\cos^{-1} x = \sin^{-1} \sqrt{1 - x^2}$ का उपयोग करने पर,$\sin^{-1} \left( \frac{33}{65} \right) = \cos^{-1} \sqrt{1 - \left( \frac{33}{65} \right)^2} = \cos^{-1} \left( \frac{56}{65} \right) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \left( \frac{56}{65} \right)$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(N/A) माना $x = \sin \theta$. तब $\theta = \sin^{-1} x$.
चूँकि $-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $-\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है $-\frac{\pi}{2} \leq 2\theta \leq \frac{\pi}{2}$.
अब,व्यंजक $\sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})$ पर विचार करें।
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sin^{-1}(2\sin \theta \sqrt{1-\sin^2 \theta})$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin^{-1}(2\sin \theta \sqrt{\cos^2 \theta}) = \sin^{-1}(2\sin \theta |\cos \theta|)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $-\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\cos \theta \geq 0$,जिसका अर्थ है $|\cos \theta| = \cos \theta$.
अतः,व्यंजक $\sin^{-1}(2\sin \theta \cos \theta) = \sin^{-1}(\sin 2\theta)$ बन जाता है।
चूँकि $2\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,इसलिए $\sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta$.
$\theta = \sin^{-1} x$ वापस रखने पर,हमें $2\sin^{-1} x$ प्राप्त होता है।

माना $x = \cos \theta$. तब $\theta = \cos ^{-1} x$.
दिए गए अंतराल $\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$ के लिए,$\cos \frac{\pi}{4} \leq \cos \theta \leq \cos 0$ है,जिसका अर्थ है $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$.
अतः,$0 \leq 2\theta \leq \frac{\pi}{2}$.
अब,व्यंजक में $x = \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}}) = \sin ^{-1}(2 \cos \theta \sqrt{1-\cos ^{2} \theta})$
$= \sin ^{-1}(2 \cos \theta \sin \theta)$
$= \sin ^{-1}(\sin 2 \theta)$
चूँकि $0 \leq 2\theta \leq \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\sin ^{-1}(\sin 2 \theta) = 2 \theta$.
$\theta = \cos ^{-1} x$ वापस रखने पर,हमें $2 \cos ^{-1} x$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}}) = 2 \cos ^{-1} x$ सिद्ध होता है।

(A) हम सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करेंगे।
दिया गया है $L.H.S. = \tan ^{-1} \frac{1}{2} + \tan ^{-1} \frac{2}{11}$.
$x = \frac{1}{2}$ और $y = \frac{2}{11}$ के साथ सूत्र लागू करने पर:
$L.H.S. = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{2} + \frac{2}{11}}{1 - (\frac{1}{2} \times \frac{2}{11})} \right)$.
अंश का सरलीकरण: $\frac{1}{2} + \frac{2}{11} = \frac{11 + 4}{22} = \frac{15}{22}$.
हर का सरलीकरण: $1 - \frac{2}{22} = 1 - \frac{1}{11} = \frac{10}{11}$.
अतः,$L.H.S. = \tan ^{-1} \left( \frac{15/22}{10/11} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{15}{22} \times \frac{11}{10} \right)$.
$L.H.S. = \tan ^{-1} \left( \frac{15}{2 \times 10} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{15}{20} \right) = \tan ^{-1} \frac{3}{4}$.
चूंकि $L.H.S. = R.H.S.$,अतः यह सिद्ध हुआ।

(D) दिया गया व्यंजक: $\tan ^{-1} \left( \frac{\cos x}{1-\sin x} \right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$,$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$,और $1 = \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \tan ^{-1} \left[ \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} \right]$
$= \tan ^{-1} \left[ \frac{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2} \right]$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}} \right)$
अंश और हर को $\cos \frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर:
$= \tan ^{-1} \left( \frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}} \right) = \tan ^{-1} \left[ \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) \right]$
$= \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$

(A) माना $x = \tan \theta$. तब $\theta = \tan ^{-1} x$.
$R.H.S.$ पर विचार करें:
$\tan ^{-1}\left(\frac{3 x-x^{3}}{1-3 x^{2}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3 \tan \theta - \tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta}\right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan 3\theta = \frac{3 \tan \theta - \tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \tan ^{-1}(\tan 3 \theta) = 3 \theta$
चूँकि $3\theta = \theta + 2\theta$,हम लिख सकते हैं:
$= \tan ^{-1} x + 2 \tan ^{-1} x$
$|x| < 1$ के लिए सूत्र $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$= \tan ^{-1} x + \tan ^{-1} \left(\frac{2x}{1-x^2}\right) = L.H.S.$
अतः,सर्वसमिका सिद्ध हुई।

(C) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के लिए सर्वसमिका जानते हैं: $|x| \geq 1$ के लिए $\sec ^{-1} x + \csc ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
इस मान को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \left(\sec ^{-1} x + \csc ^{-1} x\right) = \cos \left(\frac{\pi}{2}\right)$.
चूँकि $\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ होता है,इसलिए व्यंजक का मान $0$ है।

(N/A) $3 \sin ^{-1} x = \sin ^{-1}(3 x - 4 x^{3})$ सिद्ध करने के लिए,जहाँ $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.
माना $x = \sin \theta$. तब,$\theta = \sin ^{-1} x$.
चूँकि $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$,हमारे पास $\sin \theta \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ है,जिसका अर्थ है $\theta \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$.
$3$ से गुणा करने पर,हमें $3\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ प्राप्त होता है।
अब,दायाँ पक्ष ($R$.$H$.$S$.) लें:
$\sin ^{-1}(3 x - 4 x^{3}) = \sin ^{-1}(3 \sin \theta - 4 \sin ^{3} \theta)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin ^{3} \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \sin ^{-1}(\sin 3 \theta)$
चूँकि $3\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,हम गुणधर्म $\sin ^{-1}(\sin \alpha) = \alpha$ का उपयोग कर सकते हैं,जहाँ $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
$= 3 \theta$
$= 3 \sin ^{-1} x = \text{बायाँ पक्ष (L.H.S.)}$
अतः,सर्वसमिका सिद्ध हुई।

$x \in [\frac{1}{2}, 1]$ के लिए $3 \cos ^{-1} x = \cos ^{-1} (4 x^{3} - 3 x)$ सिद्ध करने के लिए।
माना $x = \cos \theta$. तब $\theta = \cos ^{-1} x$ है।
चूँकि $x \in [\frac{1}{2}, 1]$,इसलिए $\cos \theta \in [\frac{1}{2}, 1]$,जिसका अर्थ है कि $\theta \in [0, \frac{\pi}{3}]$।
$3$ से गुणा करने पर,हमें $3\theta \in [0, \pi]$ प्राप्त होता है।
अब,$R.H.S$ पर विचार करें:
$\cos ^{-1} (4 x^{3} - 3 x)$
$= \cos ^{-1} (4 \cos ^{3} \theta - 3 \cos \theta)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 3\theta = 4 \cos ^{3} \theta - 3 \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \cos ^{-1} (\cos 3\theta)$
चूँकि $3\theta \in [0, \pi]$,इसलिए $\cos ^{-1} (\cos 3\theta) = 3\theta$ होता है।
$= 3 \cos ^{-1} x = L.H.S$.
अतः,सर्वसमिका सिद्ध हुई।

हम सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करेंगे।
$L.H.S. = \tan ^{-1} \left( \frac{2}{11} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{7}{24} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{2}{11} + \frac{7}{24}}{1 - (\frac{2}{11} \times \frac{7}{24})} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{48 + 77}{264}}{\frac{264 - 14}{264}} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{125}{250} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = R.H.S.$

$L$.$H$.$S$ $= 2 \tan ^{-1} \frac{1}{2} + \tan ^{-1} \frac{1}{7}$
सूत्र $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \frac{2x}{1-x^2}$ का उपयोग करने पर:
$= \tan ^{-1} \left( \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - (\frac{1}{2})^2} \right) + \tan ^{-1} \frac{1}{7}$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} \right) + \tan ^{-1} \frac{1}{7}$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{1}{\frac{3}{4}} \right) + \tan ^{-1} \frac{1}{7} = \tan ^{-1} \frac{4}{3} + \tan ^{-1} \frac{1}{7}$
अब,सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करने पर:
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{4}{3} + \frac{1}{7}}{1 - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{7}} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{28+3}{21}}{\frac{21-4}{21}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{31}{17} \right) = R.H.S$.

(D) माना कि दिया गया व्यंजक $y = \tan ^{-1} \left( \frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x} \right)$ है।
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $\theta = \tan ^{-1} x$.
अतः,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$y = \tan ^{-1} \left( \frac{\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}-1}{\tan \theta} \right)$
सर्वसमिका $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan ^{-1} \left( \frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta} \right)$
$\sin \theta$ और $\cos \theta$ में बदलने पर:
$y = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{\cos \theta} - 1}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} \right)$
अर्ध-कोण सूत्रों $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \left( \frac{\theta}{2} \right)$ और $\sin \theta = 2 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \cos \left( \frac{\theta}{2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan ^{-1} \left( \frac{2 \sin^2 \left( \frac{\theta}{2} \right)}{2 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \cos \left( \frac{\theta}{2} \right)} \right)$
$y = \tan ^{-1} \left( \tan \left( \frac{\theta}{2} \right) \right) = \frac{\theta}{2}$
$\theta = \tan ^{-1} x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = \frac{1}{2} \tan ^{-1} x$.

(A) दिया गया व्यंजक: $\tan ^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\right), |x|>1$
माना $x = \sec \theta$,तब $\theta = \sec^{-1} x$.
चूंकि $|x| > 1$,$\theta \in (0, \pi/2) \cup (\pi/2, \pi)$.
$x = \sec \theta$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \tan ^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{\sec^{2} \theta - 1}}\right)$
$= \tan ^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{\tan^{2} \theta}}\right)$
$= \tan ^{-1} \left(\frac{1}{|\tan \theta|}\right)$
$x > 1$ के लिए,$\theta \in (0, \pi/2)$,इसलिए $\tan \theta > 0$,अतः $|\tan \theta| = \tan \theta$.
$= \tan ^{-1} \left(\frac{1}{\tan \theta}\right) = \tan ^{-1} (\cot \theta)$
$= \tan ^{-1} \left(\tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\right)$
$= \frac{\pi}{2} - \theta$
$= \frac{\pi}{2} - \sec^{-1} x$.

(A) व्यंजक $\tan ^{-1}\left(\frac{3 a^{2} x-x^{3}}{a^{3}-3 a x^{2}}\right)$ पर विचार करें।
माना $x = a \tan \theta$,जिसका अर्थ है $\frac{x}{a} = \tan \theta$ या $\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$।
$x = a \tan \theta$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan ^{-1}\left(\frac{3 a^{2} (a \tan \theta) - (a \tan \theta)^{3}}{a^{3} - 3 a (a \tan \theta)^{2}}\right)$
$= \tan ^{-1}\left(\frac{3 a^{3} \tan \theta - a^{3} \tan ^{3} \theta}{a^{3} - 3 a^{3} \tan ^{2} \theta}\right)$
$= \tan ^{-1}\left(\frac{a^{3}(3 \tan \theta - \tan ^{3} \theta)}{a^{3}(1 - 3 \tan ^{2} \theta)}\right)$
$= \tan ^{-1}\left(\frac{3 \tan \theta - \tan ^{3} \theta}{1 - 3 \tan ^{2} \theta}\right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan 3\theta = \frac{3 \tan \theta - \tan ^{3} \theta}{1 - 3 \tan ^{2} \theta}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \tan ^{-1}(\tan 3 \theta)$
चूंकि $\frac{-a}{\sqrt{3}} \leq x \leq \frac{a}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{-1}{\sqrt{3}} \leq \tan \theta \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है $-\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$,अतः $-\frac{\pi}{2} \leq 3\theta \leq \frac{\pi}{2}$।
अतः,$\tan ^{-1}(\tan 3 \theta) = 3 \theta = 3 \tan ^{-1} \frac{x}{a}$।

(B) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $a$ के लिए,प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का योग निम्नलिखित सर्वसमिका द्वारा दिया जाता है: $\tan ^{-1} a + \cot ^{-1} a = \frac{\pi}{2}$.
इस सर्वसमिका को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cot \left(\tan ^{-1} a + \cot ^{-1} a\right) = \cot \left(\frac{\pi}{2}\right)$.
चूंकि $\cot \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$,इसलिए व्यंजक का मान $0$ है।

(D) माना $x = \tan \alpha$. तब $\alpha = \tan^{-1} x$.
$\sin^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{2 \tan \alpha}{1+\tan^2 \alpha} \right) = \sin^{-1} (\sin 2\alpha) = 2\alpha = 2 \tan^{-1} x$.
माना $y = \tan \beta$. तब $\beta = \tan^{-1} y$.
$\cos^{-1} \left( \frac{1-y^2}{1+y^2} \right) = \cos^{-1} \left( \frac{1-\tan^2 \beta}{1+\tan^2 \beta} \right) = \cos^{-1} (\cos 2\beta) = 2\beta = 2 \tan^{-1} y$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan \frac{1}{2} [2 \tan^{-1} x + 2 \tan^{-1} y] = \tan [\tan^{-1} x + \tan^{-1} y]$.
सूत्र $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करने पर:
$= \tan [\tan^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)] = \frac{x+y}{1-xy}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\sin \left(\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x\right)=1$
हम जानते हैं कि $\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ होता है। अतः,हम लिख सकते हैं:
$\sin ^{-1} \frac{1}{5} + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
हम सर्वसमिका $\sin ^{-1} \theta + \cos ^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ जानते हैं,जहाँ $\theta \in [-1, 1]$ है।
$\sin ^{-1} \frac{1}{5} + \cos ^{-1} x = \sin ^{-1} \frac{1}{5} + \cos ^{-1} \frac{1}{5}$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{1}{5}$

(B) दिया गया है: $\tan ^{-1} \frac{x-1}{x-2}+\tan ^{-1} \frac{x+1}{x+2}=\frac{\pi}{4}$
सूत्र $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} \left[ \frac{\frac{x-1}{x-2}+\frac{x+1}{x+2}}{1-\left( \frac{x-1}{x-2} \right) \left( \frac{x+1}{x+2} \right)} \right] = \frac{\pi}{4}$
$\tan ^{-1} \left[ \frac{(x-1)(x+2)+(x+1)(x-2)}{(x-2)(x+2)-(x-1)(x+1)} \right] = \frac{\pi}{4}$
$\tan ^{-1} \left[ \frac{x^2+x-2+x^2-x-2}{x^2-4-(x^2-1)} \right] = \frac{\pi}{4}$
$\tan ^{-1} \left[ \frac{2x^2-4}{-3} \right] = \frac{\pi}{4}$
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर:
$\frac{2x^2-4}{-3} = \tan \frac{\pi}{4}$
$\frac{2x^2-4}{-3} = 1$
$2x^2-4 = -3$
$2x^2 = 1$
$x^2 = \frac{1}{2}$
$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

(A) माना कि $\sin ^{-1} \frac{3}{5} = x$.
तब $\sin x = \frac{3}{5}$.
चूंकि $\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$,इसलिए $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.
अतः,$\sin ^{-1} \frac{3}{5} = \tan ^{-1} \frac{3}{4}$.
साथ ही,$\cot ^{-1} \frac{3}{2} = \tan ^{-1} \frac{2}{3}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\tan \left(\tan ^{-1} \frac{3}{4} + \tan ^{-1} \frac{2}{3}\right)$.
सूत्र $\tan ^{-1} a + \tan ^{-1} b = \tan ^{-1} \left(\frac{a+b}{1-ab}\right)$ का उपयोग करने पर:
$= \tan \left(\tan ^{-1} \left(\frac{\frac{3}{4} + \frac{2}{3}}{1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}}\right)\right)$.
$= \tan \left(\tan ^{-1} \left(\frac{\frac{9+8}{12}}{1 - \frac{6}{12}}\right)\right) = \tan \left(\tan ^{-1} \left(\frac{17/12}{6/12}\right)\right)$.
$= \tan \left(\tan ^{-1} \frac{17}{6}\right) = \frac{17}{6}$.

माना $\sin ^{-1} \frac{3}{5} = x$ और $\sin ^{-1} \frac{8}{17} = y$ है।
तब,$\sin x = \frac{3}{5}$ और $\sin y = \frac{8}{17}$ होगा।
चूंकि $\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x}$,इसलिए $\cos x = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$।
इसी प्रकार,$\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - (\frac{8}{17})^2} = \sqrt{1 - \frac{64}{289}} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$।
सर्वसमिका $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ का उपयोग करने पर:
$\cos(x - y) = (\frac{4}{5})(\frac{15}{17}) + (\frac{3}{5})(\frac{8}{17}) = \frac{60}{85} + \frac{24}{85} = \frac{84}{85}$।
अतः,$x - y = \cos^{-1} \frac{84}{85}$।
$x$ और $y$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin^{-1} \frac{3}{5} - \sin^{-1} \frac{8}{17} = \cos^{-1} \frac{84}{85}$।

(C) दिया गया व्यंजक: $\tan ^{-1}\left[\frac{a \cos x-b \sin x}{b \cos x+a \sin x}\right]$
अंश और हर को $b \cos x$ से विभाजित करने पर:
$= \tan ^{-1}\left[\frac{\frac{a \cos x}{b \cos x} - \frac{b \sin x}{b \cos x}}{\frac{b \cos x}{b \cos x} + \frac{a \sin x}{b \cos x}}\right]$
$= \tan ^{-1}\left[\frac{\frac{a}{b} - \tan x}{1 + \frac{a}{b} \tan x}\right]$
सूत्र $\tan ^{-1} A - \tan ^{-1} B = \tan ^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $A = \frac{a}{b}$ और $B = \tan x$ है:
$= \tan ^{-1}\left(\frac{a}{b}\right) - \tan ^{-1}(\tan x)$
$= \tan ^{-1}\left(\frac{a}{b}\right) - x$

माना कि $\sin ^{-1} \frac{3}{5} = x$. तब $\sin x = \frac{3}{5}$.
चूंकि $\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
इसलिए,$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.
इसका अर्थ है कि $x = \tan ^{-1} \frac{3}{4}$,अतः $\sin ^{-1} \frac{3}{5} = \tan ^{-1} \frac{3}{4}$.
अब,बायां पक्ष ($L$.$H$.$S$.) पर विचार करें:
$2 \sin ^{-1} \frac{3}{5} = 2 \tan ^{-1} \frac{3}{4}$.
सूत्र $2 \tan ^{-1} A = \tan ^{-1} \left( \frac{2A}{1 - A^2} \right)$ का उपयोग करते हुए:
$2 \tan ^{-1} \frac{3}{4} = \tan ^{-1} \left( \frac{2 \times \frac{3}{4}}{1 - (\frac{3}{4})^2} \right)$.
$= \tan ^{-1} \left( \frac{3/2}{1 - 9/16} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{3/2}{7/16} \right)$.
$= \tan ^{-1} \left( \frac{3}{2} \times \frac{16}{7} \right) = \tan ^{-1} \frac{24}{7}$.
अतः,बायां पक्ष = दायां पक्ष।

माना $\sin ^{-1} \frac{8}{17}=x$. तब,$\sin x=\frac{8}{17}$.
चूंकि $\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{1-(\frac{8}{17})^2}=\sqrt{\frac{289-64}{289}}=\frac{15}{17}$,अतः $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{8}{15}$.
अतः,$\sin ^{-1} \frac{8}{17}=\tan ^{-1} \frac{8}{15}$ $...(1)$
माना $\sin ^{-1} \frac{3}{5}=y$. तब,$\sin y=\frac{3}{5}$.
चूंकि $\cos y=\sqrt{1-\sin^2 y}=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\sqrt{\frac{25-9}{25}}=\frac{4}{5}$,अतः $\tan y=\frac{\sin y}{\cos y}=\frac{3}{4}$.
अतः,$\sin ^{-1} \frac{3}{5}=\tan ^{-1} \frac{3}{4}$ $...(2)$
अब,$L.H.S.$ लेने पर:
$\sin ^{-1} \frac{8}{17}+\sin ^{-1} \frac{3}{5} = \tan ^{-1} \frac{8}{15}+\tan ^{-1} \frac{3}{4}$
सूत्र $\tan ^{-1} a + \tan ^{-1} b = \tan ^{-1} \left(\frac{a+b}{1-ab}\right)$ का उपयोग करने पर:
$= \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{8}{15}+\frac{3}{4}}{1-\frac{8}{15} \times \frac{3}{4}}\right)$
$= \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{32+45}{60}}{\frac{60-24}{60}}\right)$
$= \tan ^{-1} \left(\frac{77}{36}\right) = R.H.S.$

(A) माना $\cos ^{-1} \frac{4}{5} = x$. तब $\cos x = \frac{4}{5}$.
चूँकि $\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \frac{3}{5}$,इसलिए $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.
अतः,$\cos ^{-1} \frac{4}{5} = \tan ^{-1} \frac{3}{4}$ $\dots (1)$.
अब,माना $\cos ^{-1} \frac{12}{13} = y$. तब $\cos y = \frac{12}{13}$.
चूँकि $\sin y = \sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2} = \frac{5}{13}$,इसलिए $\tan y = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$.
अतः,$\cos ^{-1} \frac{12}{13} = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$ $\dots (2)$.
सूत्र $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A + B}{1 - AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$L.H.S = \tan ^{-1} \frac{3}{4} + \tan ^{-1} \frac{5}{12} = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{3}{4} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{3}{4} \times \frac{5}{12}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{56/48}{33/48} \right) = \tan ^{-1} \frac{56}{33}$.
$\tan ^{-1} \frac{56}{33}$ को $\cos ^{-1}$ रूप में बदलने पर,हमें $\cos ^{-1} \frac{33}{65} = R.H.S$ प्राप्त होता है।