Properties of ITF Questions in Hindi

माना कि $\sin ^{-1} \frac{5}{13} = x$.
तब,$\sin x = \frac{5}{13}$,जिसका अर्थ है कि $\cos x = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
अतः,$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$,इसलिए $x = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$.
इस प्रकार,$\sin ^{-1} \frac{5}{13} = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$ $\ldots (1)$.
माना कि $\cos ^{-1} \frac{3}{5} = y$.
तब,$\cos y = \frac{3}{5}$,जिसका अर्थ है कि $\sin y = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
अतः,$\tan y = \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$,इसलिए $y = \tan ^{-1} \frac{4}{3}$.
इस प्रकार,$\cos ^{-1} \frac{3}{5} = \tan ^{-1} \frac{4}{3}$ $\ldots (2)$.
अब,दायां पक्ष ($R$.$H$.$S$.) पर विचार करें:
$\sin ^{-1} \frac{5}{13} + \cos ^{-1} \frac{3}{5} = \tan ^{-1} \frac{5}{12} + \tan ^{-1} \frac{4}{3}$.
सूत्र $\tan ^{-1} a + \tan ^{-1} b = \tan ^{-1} (\frac{a+b}{1-ab})$ का उपयोग करते हुए:
$= \tan ^{-1} (\frac{\frac{5}{12} + \frac{4}{3}}{1 - \frac{5}{12} \times \frac{4}{3}}) = \tan ^{-1} (\frac{\frac{15+48}{36}}{1 - \frac{20}{36}}) = \tan ^{-1} (\frac{63/36}{16/36}) = \tan ^{-1} \frac{63}{16}$.
$= L.H.S.$
अतः,सर्वसमिका सिद्ध होती है।

(N/A) $L$.$H$.$S$ = $\tan ^{-1} \frac{1}{5}+\tan ^{-1} \frac{1}{7}+\tan ^{-1} \frac{1}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{8}$
सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करते हुए,हम पदों को समूहित करते हैं:
$= \left( \tan ^{-1} \frac{1}{5} + \tan ^{-1} \frac{1}{7} \right) + \left( \tan ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1} \frac{1}{8} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{5} + \frac{1}{7}}{1 - \frac{1}{5} \times \frac{1}{7}} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{8}} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{12}{35}}{\frac{34}{35}} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{11}{24}}{\frac{23}{24}} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{12}{34} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{11}{23} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{6}{17} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{11}{23} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{6}{17} + \frac{11}{23}}{1 - \frac{6}{17} \times \frac{11}{23}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{138 + 187}{391}}{\frac{391 - 66}{391}} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{325}{325} \right) = \tan ^{-1} (1) = \frac{\pi}{4} = R.H.S$

माना $x = \tan^2 \theta$ है।
तब $\sqrt{x} = \tan \theta$,जिसका अर्थ है $\theta = \tan^{-1} \sqrt{x}$।
व्यंजक $\frac{1-x}{1+x}$ पर विचार करें। $x = \tan^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \cos(2\theta)$।
अब,दायां पक्ष $(RHS)$ पर विचार करें:
$RHS = \frac{1}{2} \cos^{-1} \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$
$= \frac{1}{2} \cos^{-1} (\cos 2\theta)$
$= \frac{1}{2} \times 2\theta = \theta$।
चूंकि $\theta = \tan^{-1} \sqrt{x}$,इसलिए $RHS = \tan^{-1} \sqrt{x} = LHS$।
अतः,सर्वसमिका सिद्ध हुई।

माना $y = \frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर,अंश और हर को $(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x})$ से गुणा करने पर:
$y = \frac{(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x})^2}{(\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x})(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x})}$
$y = \frac{(1+\sin x) + (1-\sin x) + 2\sqrt{(1+\sin x)(1-\sin x)}}{(1+\sin x) - (1-\sin x)}$
$y = \frac{2 + 2\sqrt{1-\sin^2 x}}{2\sin x} = \frac{2 + 2\cos x}{2\sin x} = \frac{1+\cos x}{\sin x}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1+\cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2}$ और $\sin x = 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{2\cos^2 \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}} = \cot \frac{x}{2}$
अतः,$\cot^{-1}(y) = \cot^{-1}(\cot \frac{x}{2}) = \frac{x}{2}$,जो $R.H.S.$ है।

(A) माना $x = \cos 2\theta$,तब $\theta = \frac{1}{2} \cos ^{-1} x$.
$L.H.S. = \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\right)$
$x = \cos 2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\cos 2\theta}-\sqrt{1-\cos 2\theta}}{\sqrt{1+\cos 2\theta}+\sqrt{1-\cos 2\theta}}\right)$
सर्वसमिकाओं $1+\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta$ और $1-\cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{2\cos^2 \theta}-\sqrt{2\sin^2 \theta}}{\sqrt{2\cos^2 \theta}+\sqrt{2\sin^2 \theta}}\right)$
$= \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos \theta - \sqrt{2}\sin \theta}{\sqrt{2}\cos \theta + \sqrt{2}\sin \theta}\right)$
अंश और हर को $\sqrt{2}\cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$= \tan ^{-1}\left(\frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}\right)$
सूत्र $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$ का उपयोग करने पर:
$= \tan ^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)\right)$
$= \frac{\pi}{4} - \theta$
$\theta = \frac{1}{2} \cos ^{-1} x$ रखने पर:
$= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos ^{-1} x = R.H.S.$

(A) $L.H.S. = \frac{9 \pi}{8} - \frac{9}{4} \sin^{-1} \frac{1}{3}$ पर विचार करें।
व्यंजक से $\frac{9}{4}$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$L.H.S. = \frac{9}{4} \left( \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \frac{1}{3} \right)$.
सर्वसमिका $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \frac{1}{3} = \cos^{-1} \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$L.H.S. = \frac{9}{4} \cos^{-1} \frac{1}{3}$.
माना $\cos^{-1} \frac{1}{3} = \theta$. तब $\cos \theta = \frac{1}{3}$.
चूंकि $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$,इसलिए $\sin^2 \theta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
अतः,$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$.
इसलिए,$\theta = \sin^{-1} \frac{2 \sqrt{2}}{3}$.
इसे वापस व्यंजक में रखने पर,$L.H.S. = \frac{9}{4} \sin^{-1} \frac{2 \sqrt{2}}{3} = R.H.S.$

(B) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1} \frac{1-x}{1+x}=\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
सर्वसमिका $\tan ^{-1} a - \tan ^{-1} b = \tan ^{-1} \frac{a-b}{1+ab}$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $\tan ^{-1} 1 - \tan ^{-1} x = \frac{1}{2} \tan ^{-1} x$.
चूंकि $\tan ^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}$,समीकरण $\frac{\pi}{4} - \tan ^{-1} x = \frac{1}{2} \tan ^{-1} x$ बन जाता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{\pi}{4} = \tan ^{-1} x + \frac{1}{2} \tan ^{-1} x = \frac{3}{2} \tan ^{-1} x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $\frac{2}{3}$ से गुणा करने पर,$\tan ^{-1} x = \frac{\pi}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$x = \tan \frac{\pi}{6}$.
अतः,$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

(A) हम सूत्र $\tan ^{-1} A - \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A-B}{1+AB} \right)$ का उपयोग करेंगे।
माना $A = \frac{x}{y}$ और $B = \frac{x-y}{x+y}$ है।
$\tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{x+y}\right) = \tan ^{-1}\left[\frac{\frac{x}{y}-\frac{x-y}{x+y}}{1+\left(\frac{x}{y}\right)\left(\frac{x-y}{x+y}\right)}\right]$
$= \tan ^{-1}\left[\frac{\frac{x(x+y)-y(x-y)}{y(x+y)}}{\frac{y(x+y)+x(x-y)}{y(x+y)}}\right]$
$= \tan ^{-1}\left(\frac{x^{2}+xy-xy+y^{2}}{xy+y^{2}+x^{2}-xy}\right)$
$= \tan ^{-1}\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right) = \tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(A) दिया गया है $y = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$.
माना $x = \tan \theta$,तो $\theta = \tan^{-1} x$.
व्यंजक में $x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = \sin^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}\right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$y = \sin^{-1}(\sin 2\theta)$
चूंकि $|x| < 1$,$2\theta$ का मान $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ के अंतराल में है,इसलिए $y = 2\theta$.
$\theta = \tan^{-1} x$ वापस रखने पर:
$y = 2 \tan^{-1} x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)$
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{2}{1+x^2}$.

(A) दिया गया है $y = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$.
माना $x = \tan \theta$,जहाँ $\theta = \tan^{-1} x$ है। चूँकि $0 < x < 1$,इसलिए $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ है।
$x = \tan \theta$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \cos^{-1}\left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 2\theta = \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$y = \cos^{-1}(\cos 2\theta)$
चूँकि $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 < 2\theta < \frac{\pi}{2}$ है।
अतः,$y = 2\theta = 2 \tan^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)$
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{2}{1+x^2}$.

(A) दिया गया है $y = \cos^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$.
माना $x = \tan \theta$,जहाँ $\theta = \tan^{-1} x$ है। चूँकि $-1 < x < 1$,इसलिए $-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}$ है।
तब $\frac{2x}{1+x^2} = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \sin(2\theta)$ है।
अतः,$y = \cos^{-1}(\sin(2\theta)) = \cos^{-1}(\cos(\frac{\pi}{2} - 2\theta))$ है।
चूँकि $-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $-\frac{\pi}{2} < 2\theta < \frac{\pi}{2}$ है,जिसका अर्थ है कि $0 < \frac{\pi}{2} - 2\theta < \pi$ है।
इस प्रकार,$y = \frac{\pi}{2} - 2\theta = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1} x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 - 2 \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{-2}{1+x^2}$.

(A) दिया गया है $y = \sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})$.
माना $x = \sin \theta$,तब $\theta = \sin^{-1} x$.
चूँकि $-\frac{1}{\sqrt{2}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}$ है।
तब $y = \sin^{-1}(2 \sin \theta \sqrt{1-\sin^2 \theta}) = \sin^{-1}(2 \sin \theta \cos \theta) = \sin^{-1}(\sin 2\theta)$.
चूँकि $-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $-\frac{\pi}{2} < 2\theta < \frac{\pi}{2}$ है।
अतः,$y = 2\theta = 2\sin^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$.

(B) दिया गया है $y = \sec^{-1}\left(\frac{1}{2x^2 - 1}\right)$.
सर्वसमिका $\sec^{-1}(u) = \cos^{-1}(1/u)$ का उपयोग करने पर:
$y = \cos^{-1}(2x^2 - 1)$.
माना $x = \cos \theta$,तो $2x^2 - 1 = 2\cos^2 \theta - 1 = \cos(2\theta)$.
चूंकि $0 < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$,जिससे $\frac{\pi}{2} < 2\theta < \pi$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta = 2\cos^{-1}x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \left(\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{-2}{\sqrt{1-x^2}}$.

(A) दिया गया है $y = \sin^{-1}x + \sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$.
माना $x = \sin\theta$,तब $\theta = \sin^{-1}x$. चूँकि $-1 \le x \le 1$,इसलिए $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ है।
तब $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{\cos^2\theta} = |\cos\theta|$.
चूँकि $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos\theta \ge 0$,अतः $|\cos\theta| = \cos\theta$.
इस प्रकार,$y = \sin^{-1}(\sin\theta) + \sin^{-1}(\cos\theta) = \theta + \sin^{-1}(\sin(\frac{\pi}{2} - \theta))$.
जब $x \in [0, 1]$,तब $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$,इसलिए $y = \theta + (\frac{\pi}{2} - \theta) = \frac{\pi}{2}$.
जब $x \in [-1, 0]$,तब $-\frac{\pi}{2} \le \theta < 0$,इसलिए $\cos\theta = \sin(\frac{\pi}{2} + \theta)$.
$y = \theta + \sin^{-1}(\sin(\frac{\pi}{2} + \theta))$. चूँकि $\frac{\pi}{2} + \theta \in [0, \pi]$,हम सर्वसमिका $\sin^{-1}(\sin A) = \pi - A$ का उपयोग करते हैं।
$y = \theta + \pi - (\frac{\pi}{2} + \theta) = \frac{\pi}{2}$.
दोनों स्थितियों में,$y = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2}) = 0$.

(C) हमारे पास $S_{k} = \sum_{r=1}^{k} \tan^{-1}\left(\frac{6^{r}}{2 \cdot 2^{2r} + 3 \cdot 3^{2r}}\right)$ है।
अंश और हर को $3^{2r}$ से विभाजित करने पर:
$S_{k} = \sum_{r=1}^{k} \tan^{-1}\left(\frac{(2/3)^r}{2 \cdot (2/3)^{2r} + 3}\right)$.
इस पद को $\frac{(2/3)^r - (2/3)^{r+1}}{1 + (2/3)^r \cdot (2/3)^{r+1}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S_{k} = \sum_{r=1}^{k} \left( \tan^{-1}((2/3)^r) - \tan^{-1}((2/3)^{r+1}) \right)$.
$S_{k} = \tan^{-1}(2/3) - \tan^{-1}((2/3)^{k+1})$.
जब $k \rightarrow \infty$,तब $(2/3)^{k+1} \rightarrow 0$.
इसलिए,$S_{\infty} = \tan^{-1}(2/3) = \cot^{-1}(3/2)$.

(A) दी गई श्रेणी $\sum_{n=1}^{100} \cot^{-1}(2n^2)$ है।
सर्वसमिका $\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(\frac{1}{x})$ का उपयोग करने पर,हमें $\sum_{n=1}^{100} \tan^{-1}(\frac{1}{2n^2})$ प्राप्त होता है।
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर,$\sum_{n=1}^{100} \tan^{-1}(\frac{2}{4n^2})$ प्राप्त होता है।
इसे $\sum_{n=1}^{100} \tan^{-1}(\frac{(2n+1)-(2n-1)}{1+(2n+1)(2n-1)})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}(\frac{x-y}{1+xy})$ सूत्र का उपयोग करने पर,योग $\sum_{n=1}^{100} (\tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1))$ हो जाता है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $(\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 5 - \tan^{-1} 3) + \dots + (\tan^{-1} 201 - \tan^{-1} 199)$.
पदों के कटने के बाद,हमारे पास $\tan^{-1} 201 - \tan^{-1} 1$ शेष बचता है।
पुनः सूत्र का उपयोग करने पर,$\tan^{-1}(\frac{201-1}{1+201 \times 1}) = \tan^{-1}(\frac{200}{202}) = \tan^{-1}(\frac{100}{101})$.
अतः $\cot^{-1}(\alpha) = \tan^{-1}(\frac{101}{100})$,जिसका अर्थ है $\alpha = \frac{101}{100} = 1.01$।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1}(x+1)+\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x-1}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{8}{31}\right)$.
गुणधर्म $\cot ^{-1}(u) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{u}\right)$ (जब $u > 0$) का उपयोग करते हुए,यदि $x > 1$ है तो $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x-1}\right) = \tan ^{-1}(x-1)$ होता है।
यदि $x > 1$ है,तो $\tan ^{-1}(x+1) + \tan ^{-1}(x-1) = \tan ^{-1}\left(\frac{8}{31}\right)$.
$\tan(A+B)$ सूत्र के अनुसार: $\frac{(x+1)+(x-1)}{1-(x+1)(x-1)} = \frac{8}{31} \Rightarrow \frac{2x}{2-x^2} = \frac{8}{31}$.
$4x^2 + 31x - 8 = 0$ को हल करने पर,$x = \frac{1}{4}$ या $x = -8$ प्राप्त होता है। चूँकि दोनों मान $x \leq 1$ हैं,यह धारणा गलत है।
यदि $x < 1$ है,तो $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x-1}\right) = \pi + \tan ^{-1}(x-1)$ होता है।
अतः $\tan ^{-1}(x+1) + \pi + \tan ^{-1}(x-1) = \tan ^{-1}\left(\frac{8}{31}\right)$.
$\tan ^{-1}\left(\frac{2x}{2-x^2}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{8}{31}\right) - \pi$.
दोनों तरफ $\tan$ लेने पर: $\frac{2x}{2-x^2} = \frac{8}{31}$,जिसका सरलीकरण $4x^2 + 31x - 8 = 0$ है।
जाँच करने पर,केवल $x = -8$ ही संभव है। अतः $x$ के संभावित मानों का योग $-8$ है।

(C) दिया गया है कि $\frac{\sin ^{-1} x}{a} = \frac{\cos ^{-1} x}{b} = \frac{\tan ^{-1} y}{c} = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
तब $\sin ^{-1} x = ak$,$\cos ^{-1} x = bk$,और $\tan ^{-1} y = ck$ है।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
मान रखने पर,$ak + bk = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $k(a + b) = \frac{\pi}{2}$,या $a + b = \frac{\pi}{2k}$।
अब,हमें $\cos \left(\frac{\pi c}{a + b}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
$a + b = \frac{\pi}{2k}$ रखने पर,हमें $\cos \left(\frac{\pi c}{\frac{\pi}{2k}}\right) = \cos (2ck)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan ^{-1} y = ck$,इसलिए $\cos (2ck) = \cos (2 \tan ^{-1} y)$।
सूत्र $\cos (2\theta) = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = \tan ^{-1} y$,हमें $\cos (2 \tan ^{-1} y) = \frac{1 - y^2}{1 + y^2}$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि $\frac{1}{4} \sin ^{-1} \frac{\sqrt{63}}{8} = \theta$.
तब,$\sin 4\theta = \frac{\sqrt{63}}{8}$.
चूंकि $\cos^2 4\theta = 1 - \sin^2 4\theta = 1 - \frac{63}{64} = \frac{1}{64}$,इसलिए $\cos 4\theta = \frac{1}{8}$.
सूत्र $\cos 4\theta = 2\cos^2 2\theta - 1$ का उपयोग करने पर,$2\cos^2 2\theta - 1 = \frac{1}{8}$,जिसका अर्थ है $2\cos^2 2\theta = \frac{9}{8}$,अतः $\cos^2 2\theta = \frac{9}{16}$.
इस प्रकार,$\cos 2\theta = \frac{3}{4}$.
सूत्र $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर,$2\cos^2 \theta - 1 = \frac{3}{4}$,जिसका अर्थ है $2\cos^2 \theta = \frac{7}{4}$,अतः $\cos^2 \theta = \frac{7}{8}$.
तब $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$.
इसलिए,$\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1/8}{7/8} = \frac{1}{7}$.
अतः,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{7}}$.

(B) माना $x = 2 \cot^{-1}(5) + \cos^{-1}(\frac{4}{5})$ है।
हम जानते हैं कि $\cot^{-1}(5) = \tan^{-1}(\frac{1}{5})$ होता है।
अतः,$2 \cot^{-1}(5) = 2 \tan^{-1}(\frac{1}{5}) = \tan^{-1}(\frac{2(1/5)}{1-(1/5)^2}) = \tan^{-1}(\frac{2/5}{24/25}) = \tan^{-1}(\frac{5}{12})$।
साथ ही,$\cos^{-1}(\frac{4}{5}) = \tan^{-1}(\frac{3}{4})$ क्योंकि यदि $\cos \theta = \frac{4}{5}$,तो $\tan \theta = \frac{3}{4}$ होता है।
इस प्रकार,व्यंजक $\operatorname{cosec}[\tan^{-1}(\frac{5}{12}) + \tan^{-1}(\frac{3}{4})]$ बन जाता है।
सूत्र $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1}(\frac{A+B}{1-AB})$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}(\frac{5/12 + 3/4}{1 - (5/12)(3/4)}) = \tan^{-1}(\frac{14/12}{33/48}) = \tan^{-1}(\frac{56}{33})$।
अंत में,$\operatorname{cosec}(\tan^{-1}(\frac{56}{33}))$। यदि $\theta = \tan^{-1}(\frac{56}{33})$,तो $\tan \theta = \frac{56}{33}$।
$\operatorname{cosec} \theta = \sqrt{1 + \cot^2 \theta} = \sqrt{1 + (33/56)^2} = \sqrt{\frac{3136 + 1089}{3136}} = \sqrt{\frac{4225}{3136}} = \frac{65}{56}$।

(B) दिया गया है $a = (\sin ^{-1} x)^{2}-(\cos ^{-1} x)^{2}$.
सर्वसमिका $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$a = (\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x)(\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x)$.
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,इसलिए:
$a = \frac{\pi}{2}(\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x)$.
$\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a = \frac{\pi}{2}(\frac{\pi}{2} - 2 \cos ^{-1} x)$.
$\frac{2a}{\pi} = \frac{\pi}{2} - 2 \cos ^{-1} x$.
$2 \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \frac{2a}{\pi}$.
दोनों पक्षों का कोसाइन (cosine) लेने पर:
$\cos(2 \cos ^{-1} x) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2a}{\pi})$.
सर्वसमिका $\cos(2 \theta) = 2 \cos^2 \theta - 1$ और $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$2 x^2 - 1 = \sin(\frac{2a}{\pi})$.

(D) मान लीजिए $g(x) = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$ है।
$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,$(x + \frac{\pi}{4}) \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ होता है।
अतः,$g(x) \in [1, \sqrt{2}]$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(x) = \tan^{-1}(g(x))$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $f(x)$ का परिसर $[\tan^{-1}(1), \tan^{-1}(\sqrt{2})] = [\frac{\pi}{4}, \tan^{-1}(\sqrt{2})]$ होगा।
इसलिए,$m = \frac{\pi}{4}$ और $M = \tan^{-1}(\sqrt{2})$ है।
हमें $\tan(M - m) = \tan(\tan^{-1}(\sqrt{2}) - \frac{\pi}{4})$ का मान ज्ञात करना है।
सूत्र $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(M - m) = \frac{\sqrt{2} - 1}{1 + \sqrt{2}(1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$ प्राप्त होता है।
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 - 2\sqrt{2}$।

(D) माना $\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ और $\beta = \sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)$ है।
हमें $\tan(2\alpha + \beta)$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$\beta$ को $\tan^{-1}$ रूप में बदलें: चूँकि $\sin \beta = \frac{5}{13}$,इसलिए $\tan \beta = \frac{5}{\sqrt{13^2 - 5^2}} = \frac{5}{12}$। अतः,$\beta = \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)$।
अब,$2\alpha = 2\tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2 \cdot \frac{3}{5}}{1 - (\frac{3}{5})^2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{6/5}{1 - 9/25}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{6/5}{16/25}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{6}{5} \cdot \frac{25}{16}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{15}{8}\right)$।
अब हमें $\tan(2\alpha + \beta) = \tan\left(\tan^{-1}\left(\frac{15}{8}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)\right)$ ज्ञात करना है।
सूत्र $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$= \tan\left(\tan^{-1}\left(\frac{\frac{15}{8} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{15}{8} \cdot \frac{5}{12}}\right)\right) = \frac{\frac{45+10}{24}}{1 - \frac{75}{96}} = \frac{55/24}{21/96} = \frac{55}{24} \cdot \frac{96}{21} = \frac{55 \cdot 4}{21} = \frac{220}{21}$।

(B) दी गई संक्रिया $x * y = x^{2} + y^{3}$ है।
सबसे पहले,$(x * 1) * 1 = x * (1 * 1)$ का मूल्यांकन करें:
$(x * 1) = x^{2} + 1^{3} = x^{2} + 1$.
अतः,$(x * 1) * 1 = (x^{2} + 1) * 1 = (x^{2} + 1)^{2} + 1^{3} = (x^{2} + 1)^{2} + 1$.
अब,$x * (1 * 1)$ का मूल्यांकन करें:
$(1 * 1) = 1^{2} + 1^{3} = 2$.
अतः,$x * (1 * 1) = x * 2 = x^{2} + 2^{3} = x^{2} + 8$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
$(x^{2} + 1)^{2} + 1 = x^{2} + 8$
$x^{4} + 2x^{2} + 1 + 1 = x^{2} + 8$
$x^{4} + x^{2} - 6 = 0$.
माना $t = x^{2}$,तो $t^{2} + t - 6 = 0$,जिसके गुणनखंड $(t + 3)(t - 2) = 0$ हैं।
चूँकि $x^{2} = t$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x^{2} = 2$.
अब $x^{2} = 2$ को $2 \sin^{-1}\left(\frac{x^{4} + x^{2} - 2}{x^{4} + x^{2} + 2}\right)$ में प्रतिस्थापित करें:
$x^{4} = (x^{2})^{2} = 2^{2} = 4$.
व्यंजक $= 2 \sin^{-1}\left(\frac{4 + 2 - 2}{4 + 2 + 2}\right) = 2 \sin^{-1}\left(\frac{4}{8}\right) = 2 \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.
चूँकि $\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$,इसलिए मान $2 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ है।

(B) दिया गया है $y = \tan^{-1}(\sec x^3 - \tan x^3)$.
$y = \tan^{-1}\left(\frac{1 - \sin x^3}{\cos x^3}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1 - \cos(\frac{\pi}{2} - x^3)}{\sin(\frac{\pi}{2} - x^3)}\right)$.
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए,$1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ और $\sin \theta = 2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$,हमें प्राप्त होता है:
$y = \tan^{-1}\left(\tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x^3}{2})\right)$.
चूंकि $\frac{\pi}{2} < x^3 < \frac{3\pi}{2}$,इसलिए $-\frac{3\pi}{4} < -\frac{x^3}{2} < -\frac{\pi}{4}$.
$\frac{\pi}{4}$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} - \frac{x^3}{2} < 0$.
अतः,$y = \frac{\pi}{4} - \frac{x^3}{2}$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = -\frac{1}{2} \cdot 3x^2 = -\frac{3}{2}x^2$.
$y'' = -\frac{3}{2} \cdot 2x = -3x$.
$y = \frac{\pi}{4} - \frac{x^3}{2}$ से,हमारे पास $x^3 = \frac{\pi}{2} - 2y$ है।
साथ ही,$x^2 = -\frac{2}{3} y'$.
$y'' = -3x$ में $x^2$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $x^2 y'' = x^2 (-3x) = -3x^3 = -3(\frac{\pi}{2} - 2y) = -\frac{3\pi}{2} + 6y$.
इसलिए,$x^2 y'' - 6y + \frac{3\pi}{2} = 0$.

(A) माना $f(x) = (\tan^{-1} x)^3 + (\cot^{-1} x)^3$.
हम जानते हैं कि $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
माना $u = \tan^{-1} x$. तब $\cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$.
चूंकि $x \in \mathbb{R}$,$u \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
अब,$f(x) = u^3 + (\frac{\pi}{2} - u)^3 = u^3 + \frac{\pi^3}{8} - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{3\pi}{2}u^2 - u^3 = \frac{3\pi}{2}u^2 - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{\pi^3}{8}$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $f(x) = \frac{3\pi}{2}(u^2 - \frac{\pi}{2}u) + \frac{\pi^3}{8} = \frac{3\pi}{2}(u - \frac{\pi}{4})^2 - \frac{3\pi}{2}(\frac{\pi^2}{16}) + \frac{\pi^3}{8} = \frac{3\pi}{2}(u - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi^3}{32}$.
चूंकि $u \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,$(u - \frac{\pi}{4})^2$ का परिसर $[0, (-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4})^2) = [0, \frac{9\pi^2}{16})$ है।
अतः,$f(x)$ का परिसर $[\frac{\pi^3}{32}, \frac{3\pi}{2}(\frac{9\pi^2}{16}) + \frac{\pi^3}{32}) = [\frac{\pi^3}{32}, \frac{27\pi^3}{32} + \frac{\pi^3}{32}) = [\frac{\pi^3}{32}, \frac{28\pi^3}{32}) = [\frac{\pi^3}{32}, \frac{7\pi^3}{8})$ है।
दिया गया है कि $f(x) = k \pi^3$,इसलिए $k \in [\frac{1}{32}, \frac{7}{8})$।

(A) हम जानते हैं कि $\tan ^{-1} \left(\frac{x-y}{1+xy}\right) = \tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y$ होता है।
दिए गए पद $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+n+n^{2}}\right)$ को हम इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\tan ^{-1}\left(\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}\right) = \tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1} n$।
अब,योगफल पर विचार करें:
$\sum\limits_{n=1}^{50} \left(\tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1} n\right) = (\tan ^{-1} 2 - \tan ^{-1} 1) + (\tan ^{-1} 3 - \tan ^{-1} 2) + \dots + (\tan ^{-1} 51 - \tan ^{-1} 50)$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$\tan ^{-1} 51 - \tan ^{-1} 1$।
सूत्र $\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$\tan ^{-1} 51 - \tan ^{-1} 1 = \tan ^{-1} \left(\frac{51-1}{1+51 \times 1}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{50}{52}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{25}{26}\right)$।
अंत में,हमें $\cot \left(\tan ^{-1} \left(\frac{25}{26}\right)\right)$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\cot(\tan ^{-1} x) = \frac{1}{x}$ होता है,इसलिए:
$\cot \left(\tan ^{-1} \left(\frac{25}{26}\right)\right) = \frac{26}{25}$।

(C) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मानों का उपयोग करके प्रत्येक पद का मूल्यांकन करते हैं:
$1$. $\sin ^{-1}\left(\sin \frac{2 \pi}{3}\right)$ के लिए:
चूंकि $\frac{2 \pi}{3}$ मुख्य परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में नहीं है,हम लिखते हैं $\sin \frac{2 \pi}{3} = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{3}$.
अतः,$\sin ^{-1}\left(\sin \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$.
$2$. $\cos ^{-1}\left(\cos \frac{7 \pi}{6}\right)$ के लिए:
चूंकि $\frac{7 \pi}{6}$ मुख्य परिसर $[0, \pi]$ में नहीं है,हम लिखते हैं $\cos \frac{7 \pi}{6} = \cos(2\pi - \frac{5\pi}{6}) = \cos \frac{5 \pi}{6}$.
अतः,$\cos ^{-1}\left(\cos \frac{5 \pi}{6}\right) = \frac{5 \pi}{6}$.
$3$. $\tan ^{-1}\left(\tan \frac{3 \pi}{4}\right)$ के लिए:
चूंकि $\frac{3 \pi}{4}$ मुख्य परिसर $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ में नहीं है,हम लिखते हैं $\tan \frac{3 \pi}{4} = \tan(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\tan \frac{\pi}{4} = \tan(-\frac{\pi}{4})$.
अतः,$\tan ^{-1}\left(\tan(-\frac{\pi}{4})\right) = -\frac{\pi}{4}$.
इन मानों का योग करने पर:
$\frac{\pi}{3} + \frac{5 \pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi + 10\pi - 3\pi}{12} = \frac{11 \pi}{12}$.

(B) दिया गया है कि $\frac{\sin ^{-1} x}{\alpha}=\frac{\cos ^{-1} x}{\beta} = k$ है।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
मान रखने पर,$k \alpha + k \beta = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है कि $k(\alpha + \beta) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $k = \frac{\pi}{2(\alpha + \beta)}$।
$\sin ^{-1} x = k \alpha$ से,हमें $\alpha = \frac{\sin ^{-1} x}{k} = \frac{2(\alpha + \beta) \sin ^{-1} x}{\pi}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\alpha}{\alpha + \beta} = \frac{2 \sin ^{-1} x}{\pi}$।
हमें $\sin \left(\frac{2 \pi \alpha}{\alpha + \beta}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
अनुपात रखने पर,$\sin \left(2 \pi \cdot \frac{2 \sin ^{-1} x}{\pi}\right) = \sin (4 \sin ^{-1} x)$।
सूत्र $\sin(4\theta) = 4 \sin \theta \cos \theta (1 - 2 \sin^2 \theta)$ का उपयोग करने पर।
माना $\theta = \sin ^{-1} x$,तो $\sin \theta = x$ और $\cos \theta = \sqrt{1 - x^2}$।
इन मानों को रखने पर,हमें $4 x \sqrt{1 - x^2} (1 - 2 x^2)$ प्राप्त होता है।

(B) माना व्यंजक $E = \tan \left(2 \tan ^{-1} \frac{1}{5} + 2 \tan ^{-1} \frac{1}{8} + \sec ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}\right)$ है।
सबसे पहले,$\sec ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}$ को सरल करें। माना $\theta = \sec ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}$,तो $\sec \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$. अतः,$\tan \theta = \sqrt{(\sqrt{5}/2)^2 - 1} = \sqrt{5/4 - 1} = \sqrt{1/4} = \frac{1}{2}$. इसलिए,$\sec ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2} = \tan ^{-1} \frac{1}{2}$.
अब,$E = \tan \left(2 \left(\tan ^{-1} \frac{1}{5} + \tan ^{-1} \frac{1}{8}\right) + \tan ^{-1} \frac{1}{2}\right)$.
$\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\tan ^{-1} \frac{1}{5} + \tan ^{-1} \frac{1}{8} = \tan ^{-1} \left(\frac{1/5 + 1/8}{1 - 1/40}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{13/40}{39/40}\right) = \tan ^{-1} \frac{1}{3}$.
अतः,$E = \tan \left(2 \tan ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1} \frac{1}{2}\right)$.
$2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $2 \tan ^{-1} \frac{1}{3} = \tan ^{-1} \left(\frac{2/3}{1-1/9}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{2/3}{8/9}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{2}{3} \times \frac{9}{8}\right) = \tan ^{-1} \frac{3}{4}$.
अब,$E = \tan \left(\tan ^{-1} \frac{3}{4} + \tan ^{-1} \frac{1}{2}\right) = \tan \left(\tan ^{-1} \left(\frac{3/4 + 1/2}{1 - (3/4)(1/2)}\right)\right) = \frac{5/4}{1 - 3/8} = \frac{5/4}{5/8} = \frac{5}{4} \times \frac{8}{5} = 2$.

(B) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{2 x}\right)=\frac{\pi}{3}$.
चूँकि $y > 0$ के लिए $\cot ^{-1}(y) = \tan ^{-1}(\frac{1}{y})$ होता है,इसलिए $\frac{1-x^2}{2x} > 0$ अर्थात $x(1-x^2) > 0$ के लिए $\cot ^{-1}(\frac{1-x^2}{2x}) = \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2})$ होगा।
स्थिति $I$: $x(1-x^2) > 0$. यह $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$ के लिए सत्य है।
यदि $x \in (0, 1)$ है,तो $\frac{2x}{1-x^2} > 0$,अतः $2 \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = \frac{\pi}{3} \Rightarrow \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = \frac{\pi}{6}$.
अतः $\frac{2x}{1-x^2} = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x^2 + 2\sqrt{3}x - 1 = 0$. $x > 0$ के लिए हल करने पर,$x = 2 - \sqrt{3}$.
स्थिति $II$: $x(1-x^2) < 0$. यह $x \in (-1, 0)$ के लिए सत्य है।
तब $\cot ^{-1}(\frac{1-x^2}{2x}) = \pi + \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2})$ होगा।
समीकरण $2 \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) + \pi = \frac{\pi}{3} \Rightarrow 2 \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = -\frac{2\pi}{3} \Rightarrow \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = -\frac{\pi}{3}$.
अतः $\frac{2x}{1-x^2} = \tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{3}x^2 - 2x - \sqrt{3} = 0$. $x < 0$ के लिए हल करने पर,$x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
हलों का योग $(2 - \sqrt{3}) + (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2 - \frac{4}{\sqrt{3}}$ है।
$\alpha - \frac{4}{\sqrt{3}}$ से तुलना करने पर,$\alpha = 2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $a_1, a_2, \ldots, a_{2022}$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ हैं,इसलिए $a_{k+1} - a_k = 1$ सभी $k \ge 1$ के लिए।
चूंकि $a_1 = 1$,इसलिए $a_2 = 2, a_3 = 3, \ldots, a_{2022} = 2022$ है।
श्रेणी का सामान्य पद $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+ a _k a _{k+1}}\right)$ है।
चूंकि $a_{k+1} - a_k = 1$,हम पद को $\tan ^{-1}\left(\frac{a_{k+1} - a_k}{1+ a _k a _{k+1}}\right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करते हुए,श्रेणी इस प्रकार हो जाती है:
$\sum_{k=1}^{2021} (\tan ^{-1} a_{k+1} - \tan ^{-1} a_k) = (\tan ^{-1} a_2 - \tan ^{-1} a_1) + (\tan ^{-1} a_3 - \tan ^{-1} a_2) + \ldots + (\tan ^{-1} a_{2022} - \tan ^{-1} a_{2021})$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,जो सरल होकर $\tan ^{-1} a_{2022} - \tan ^{-1} a_1$ बन जाती है।
$a_{2022} = 2022$ और $a_1 = 1$ मान रखने पर,हमें $\tan ^{-1}(2022) - \tan ^{-1}(1) = \tan ^{-1}(2022) - \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $\sin^{-1}(\sin \theta) - \cos^{-1}(\sin \theta) > 0$.
$\cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(x)$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\sin^{-1}(\sin \theta) - (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\sin \theta)) > 0$.
$2 \sin^{-1}(\sin \theta) > \frac{\pi}{2} \Rightarrow \sin^{-1}(\sin \theta) > \frac{\pi}{4}$.
इसका अर्थ है $\sin \theta > \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\theta \in (0, 2\pi)$ के लिए,$\sin \theta > \frac{1}{\sqrt{2}}$ अंतराल $\theta \in (\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$ में सत्य है।
अतः,$(a, b) = (\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$,जिससे $b - a = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
दिया गया है $\alpha - \beta = b - a = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\beta = \alpha - \frac{\pi}{2}$.
समीकरण $\alpha x^2 + \beta x + \sin^{-1}((x-3)^2 + 1) + \cos^{-1}((x-3)^2 + 1) = 0$ है।
चूंकि $\sin^{-1}(y) + \cos^{-1}(y) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $y = (x-3)^2 + 1$ के लिए,$(x-3)^2 + 1 = 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x = 3$.
$x = 3$ को समीकरण में रखने पर: $\alpha(3)^2 + \beta(3) + \frac{\pi}{2} = 0$.
$9\alpha + 3(\alpha - \frac{\pi}{2}) + \frac{\pi}{2} = 0$.
$12\alpha - \pi = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{12}$.

(B) दिया गया समीकरण: $\cos ^{-1}(2 x)-2 \cos ^{-1} \sqrt{1-x^2}=\pi$.
चूंकि $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$,मान लीजिए $x = \sin \theta$,जहाँ $\theta \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$.
तब $\sqrt{1-x^2} = \cos \theta$. चूंकि $\theta \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$,$\cos \theta \geq 0$,इसलिए $\cos^{-1}(\sqrt{1-x^2}) = \cos^{-1}(\cos \theta) = |\theta|$.
स्थिति $1$: $x \geq 0 \implies \theta \in [0, \frac{\pi}{6}]$. समीकरण $\cos^{-1}(2x) - 2\theta = \pi$ बन जाता है,जो संभव नहीं है.
स्थिति $2$: $x < 0 \implies \theta \in [-\frac{\pi}{6}, 0)$. समीकरण को हल करने पर $x = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है.
$x = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ के लिए,$x^2 - 1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$2\sin^{-1}(x^2-1) = 2\sin^{-1}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{2\pi}{3}$.

(C) दी गई शर्त $0 < x < 1$ है।
समीकरण $2 \tan^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$ है।
मान लीजिए $x = \tan \theta$ है। चूँकि $0 < x < 1$,इसलिए $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $x = \tan \theta$ रखने पर:
$2 \tan^{-1}\left(\frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)$.
सर्वसमिका $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$ और $\cos 2\theta = \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$2 \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} - \theta)) = \cos^{-1}(\cos 2\theta)$.
चूँकि $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 < \frac{\pi}{4} - \theta < \frac{\pi}{4}$ और $0 < 2\theta < \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$2(\frac{\pi}{4} - \theta) = 2\theta$.
$\frac{\pi}{2} - 2\theta = 2\theta \implies 4\theta = \frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{8}$.
इसलिए $x = \tan(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{2} - 1 \approx 0.414$ है।
चूँकि $0.414 < 0.5$,इसलिए $n(S) = 1$ और अवयव $\frac{1}{2}$ से कम है।

(C) माना $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{x+1}{\sqrt{(x+1)^2+1}}\right) - \sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right) = \frac{\pi}{4}$.
माना $\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{x+1}{\sqrt{(x+1)^2+1}}\right)$ और $\beta = \sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)$.
तब $\sin \alpha = \frac{x+1}{\sqrt{(x+1)^2+1}}$ और $\sin \beta = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
चूँकि $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2+1}}$ और $\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$,हमें प्राप्त होता है $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2+1}\sqrt{x^2+1}}$.
दिया है $\alpha - \beta = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\sin(\alpha - \beta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\frac{1}{\sqrt{(x+1)^2+1}\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies ((x+1)^2+1)(x^2+1) = 2$.
$(x^2+2x+2)(x^2+1) = 2 \implies x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 2 = 2 \implies x(x+1)(x^2+x+2) = 0$.
वास्तविक हल $x=0$ और $x=-1$ प्राप्त होते हैं।
$S = \{-1, 0\}$.
$x=0$ के लिए,$\sin(5\pi/2) - \cos(5\pi) = 1 - (-1) = 2$.
$x=-1$ के लिए,$\sin(5\pi/2) - \cos(5\pi) = 1 - (-1) = 2$.
योग $= 2 + 2 = 4$.

(B) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1}(x) + \tan ^{-1}(2x) = \frac{\pi}{4}$ जहाँ $x > 0$ है।
सर्वसमिका $\tan ^{-1}(A) + \tan ^{-1}(B) = \tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1}\left(\frac{x + 2x}{1 - x(2x)}\right) = \frac{\pi}{4}$
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर:
$\frac{3x}{1 - 2x^2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$
$\Rightarrow 3x = 1 - 2x^2$
$\Rightarrow 2x^2 + 3x - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$
चूंकि हमें $x > 0$ की आवश्यकता है,हम ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करते हैं:
$x = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}$
चूंकि $\sqrt{17} > 3$,यह मान धनात्मक है। अतः,$x$ का केवल $1$ धनात्मक वास्तविक मान प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $\sin^{-1}(\sin x) = x - 2n\pi$ जहाँ $x \in [2n\pi - \frac{\pi}{2}, 2n\pi + \frac{\pi}{2}]$ है।
चूँकि $5$ रेडियन $[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$ अंतराल में स्थित है,इसलिए $a = \sin^{-1}(\sin 5) = 5 - 2\pi$ होगा।
हम जानते हैं कि $\cos^{-1}(\cos x) = 2n\pi - x$ जहाँ $x \in [(2n-1)\pi, 2n\pi]$ है।
चूँकि $5$ रेडियन $[\pi, 2\pi]$ अंतराल में स्थित है,इसलिए $b = \cos^{-1}(\cos 5) = 2\pi - 5$ होगा।
अब,$a^2 + b^2$ की गणना करते हैं:
$a^2 + b^2 = (5 - 2\pi)^2 + (2\pi - 5)^2$
$= (5 - 2\pi)^2 + (5 - 2\pi)^2$
$= 2(5 - 2\pi)^2$
$= 2(25 - 20\pi + 4\pi^2)$
$= 50 - 40\pi + 8\pi^2$
$= 8\pi^2 - 40\pi + 50$.

(D) दिया गया समीकरण: $\cot ^{-1} 3+\cot ^{-1} 4+\cot ^{-1} 5+\cot ^{-1} n=\frac{\pi}{4}$.
$x > 0$ के लिए $\cot ^{-1} x = \tan ^{-1} (1/x)$ का उपयोग करके $\tan ^{-1}$ में बदलने पर:
$\tan ^{-1} \frac{1}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{4}+\tan ^{-1} \frac{1}{5}+\tan ^{-1} \frac{1}{n}=\frac{\pi}{4}$.
सबसे पहले,$\tan ^{-1} \frac{1}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{4} = \tan ^{-1} \left(\frac{1/3+1/4}{1-(1/3)(1/4)}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{7/12}{11/12}\right) = \tan ^{-1} \frac{7}{11}$ प्राप्त करते हैं।
अब,$\tan ^{-1} \frac{1}{5}$ जोड़ने पर: $\tan ^{-1} \frac{7}{11}+\tan ^{-1} \frac{1}{5} = \tan ^{-1} \left(\frac{7/11+1/5}{1-(7/11)(1/5)}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{46/55}{48/55}\right) = \tan ^{-1} \frac{46}{48} = \tan ^{-1} \frac{23}{24}$.
अतः,$\tan ^{-1} \frac{23}{24} + \tan ^{-1} \frac{1}{n} = \frac{\pi}{4}$.
$\tan ^{-1} \frac{1}{n} = \tan ^{-1} 1 - \tan ^{-1} \frac{23}{24} = \tan ^{-1} \left(\frac{1-23/24}{1+(1)(23/24)}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{1/24}{47/24}\right) = \tan ^{-1} \frac{1}{47}$.
इस प्रकार,$n = 47$।

(A) हमें समीकरण $2 \sin ^{-1} x + 3 \cos ^{-1} x = \frac{2 \pi}{5}$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$, जिसका अर्थ है कि $\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x$.
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(\frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x) + 3 \cos ^{-1} x = \frac{2 \pi}{5}$
$\pi - 2 \cos ^{-1} x + 3 \cos ^{-1} x = \frac{2 \pi}{5}$
$\pi + \cos ^{-1} x = \frac{2 \pi}{5}$
$\cos ^{-1} x = \frac{2 \pi}{5} - \pi$
$\cos ^{-1} x = -\frac{3 \pi}{5}$
चूंकि $\cos ^{-1} x$ के मुख्य मान शाखा का परिसर $[0, \pi]$ है, इसलिए $-\frac{3 \pi}{5}$ इस परिसर से बाहर है।
अतः, $x$ का कोई भी वास्तविक मान नहीं है जो इस समीकरण को संतुष्ट करता हो।
इसलिए, वास्तविक हलों की संख्या $0$ है।

(C) अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{i=1}^{\infty} x^{i+1} = \frac{x^2}{1-x}$,$\sum_{i=1}^{\infty} (\frac{x}{2})^i = \frac{x}{2-x}$,$\sum_{i=1}^{\infty} (-\frac{x}{2})^i = \frac{-x}{2+x}$,और $\sum_{i=1}^{\infty} (-x)^i = \frac{-x}{1+x}$.
दिया गया समीकरण $A=B$ में परिवर्तित हो जाता है।
$\frac{x^2}{(1-x)(2-x)} = \frac{x}{(1+x)(2+x)}$
$x=0$ एक हल है। अन्य हल के लिए $x^3+2x^2+5x-2=0$ प्राप्त होता है।
$f(x) = x^3+2x^2+5x-2$ के लिए $f(0)=-2$ और $f(1/2) > 0$ है,अतः अंतराल $(0, 1/2)$ में एक हल है।
कुल $2$ हल प्राप्त होते हैं।

(A) माना $x = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$. अतः $\tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
दिए गए त्रिभुज से,$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+\pi^2}}$,इसलिए $\cos ^{-1} \sqrt{\frac{2}{2+\pi^2}} = \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
अब,$\sin ^{-1} \left( \frac{2 \sqrt{2} \pi}{2+\pi^2} \right) = \sin ^{-1} \left( \frac{2(\pi/\sqrt{2})}{1+(\pi/\sqrt{2})^2} \right)$ पर विचार करें।
चूंकि $x = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \approx \frac{3.14}{1.414} > 1$,हम सूत्र $\sin ^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right) = \pi - 2 \tan ^{-1} x$ का उपयोग करते हैं।
अतः,$\sin ^{-1} \left( \frac{2 \sqrt{2} \pi}{2+\pi^2} \right) = \pi - 2 \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
साथ ही,$\tan ^{-1} \frac{\sqrt{2}}{\pi} = \cot ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
व्यंजक $= \frac{3}{2} \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} + \frac{1}{4} \left( \pi - 2 \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} \right) + \cot ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
$= \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \right) \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} + \frac{\pi}{4} + \cot ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
$= \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} + \cot ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} + \frac{\pi}{4}$.
$= \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
$\pi \approx 3.14159$ लेने पर,$\frac{3 \times 3.14159}{4} \approx 2.356$. अतः,मान लगभग $2.35$ है।

(B) माना $\cos \alpha = \frac{12}{13}$ और $\sin \alpha = \frac{5}{13}$ है। तब $\tan \alpha = \frac{5}{12}$,अर्थात $\alpha = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$ है।
दिया गया व्यंजक $\cos ^{-1}(\cos x \cos \alpha + \sin x \sin \alpha)$ है।
सर्वसमिका $\cos(x - \alpha) = \cos x \cos \alpha + \sin x \sin \alpha$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\cos ^{-1}(\cos(x - \alpha))$ हो जाता है।
चूंकि $\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3 \pi}{4}$ और $\alpha = \tan ^{-1} \frac{5}{12} \approx 22.6^\circ$ है,इसलिए $x - \alpha \in [\frac{\pi}{2} - \alpha, \frac{3 \pi}{4} - \alpha]$ प्राप्त होता है।
चूंकि $0 \leq x - \alpha \leq \pi$ है,इसलिए व्यंजक का सरलीकरण $x - \alpha$ होता है।
$\alpha$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x - \tan ^{-1} \frac{5}{12}$ प्राप्त होता है।

(D) माना दिया गया व्यंजक $S = \cot ^{-1}\left\{\beta+\frac{1+\beta^2}{\alpha-\beta}\right\}+\cot ^{-1}\left\{\gamma+\frac{1+\gamma^2}{\beta-\gamma}\right\}+\cot ^{-1}\left\{\alpha+\frac{1+\alpha^2}{\gamma-\alpha}\right\}$ है।
$\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(1/x)$ का उपयोग करने पर:
$S = \tan^{-1}\left(\frac{\alpha-\beta}{1+\alpha\beta}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{\beta-\gamma}{1+\beta\gamma}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{\gamma-\alpha}{1+\gamma\alpha}\right)$.
$\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ सूत्र के अनुसार:
$S = (\tan^{-1}\alpha - \tan^{-1}\beta) + (\tan^{-1}\beta - \tan^{-1}\gamma) + (\tan^{-1}\gamma - \tan^{-1}\alpha + \pi) = \pi$.

(B) माना $x = \sin^{-1} \frac{3}{5}$,$y = \sin^{-1} \frac{5}{13}$,और $z = \sin^{-1} \frac{33}{65}$ है।
$\tan^{-1}$ रूप में बदलने पर:
$x = \tan^{-1} \frac{3}{4}$,$y = \tan^{-1} \frac{5}{12}$,और $z = \tan^{-1} \frac{33}{56}$ प्राप्त होता है।
अब,$\tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{5}{12} = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{3}{4} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{12}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{14/12}{33/48} \right) = \tan^{-1} \frac{56}{33}$ होता है।
अतः,व्यंजक $\cos \left( \tan^{-1} \frac{56}{33} + \tan^{-1} \frac{33}{56} \right)$ बन जाता है।
चूंकि $\tan^{-1} \frac{33}{56} = \cot^{-1} \frac{56}{33}$,इसलिए $\cos \left( \tan^{-1} \frac{56}{33} + \cot^{-1} \frac{56}{33} \right)$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\tan^{-1} \theta + \cot^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,$\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना $y = \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x+\frac{1}{2} \sqrt{1-x^2}\right)$.
दिया है $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$,माना $x = \sin \theta$. अतः $\theta = \sin ^{-1} x$.
चूँकि $-\frac{1}{2} < \sin \theta < \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $-\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
$x = \sin \theta$ को व्यंजक में रखने पर:
$y = \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta\right)$
$y = \sin ^{-1}\left(\sin \theta \cos \frac{\pi}{6} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{6}\right)$
$y = \sin ^{-1}\left(\sin \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)\right)$.
चूँकि $-\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 < \theta + \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{12}$ प्राप्त होता है।
$\sin ^{-1}$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है और $0 < \theta + \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{12}$ इस परिसर के भीतर है,इसलिए $\sin ^{-1}(\sin(\theta + \frac{\pi}{6})) = \theta + \frac{\pi}{6}$ होगा।
अतः,$y = \sin ^{-1} x + \frac{\pi}{6}$।

(A) माना $f(x) = \cot ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\tan ^2 x}-1}{\tan x}\right)$ है। चूँकि $2$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\sec 2 < 0$,इसलिए $\sqrt{1+\tan^2 2} = |\sec 2| = -\sec 2$ होगा। अतः,पहला पद $\cot ^{-1}\left(\frac{-\sec 2 - 1}{\tan 2}\right) = \cot ^{-1}\left(\frac{-(1+\cos 2)}{\sin 2}\right) = \cot ^{-1}\left(-\cot 1\right) = \pi - \cot ^{-1}(\cot 1) = \pi - 1$ है।
दूसरे पद के लिए,चूँकि $1/2$ पहले चतुर्थांश में है,$\sec(1/2) > 0$,इसलिए $\sqrt{1+\tan^2(1/2)} = \sec(1/2)$ होगा। अतः,दूसरा पद $\cot ^{-1}\left(\frac{\sec(1/2) + 1}{\tan(1/2)}\right) = \cot ^{-1}\left(\frac{1+\cos(1/2)}{\sin(1/2)}\right) = \cot ^{-1}\left(\cot(1/4)\right) = 1/4$ है।
दोनों को घटाने पर,हमें $(\pi - 1) - 1/4 = \pi - 5/4$ प्राप्त होता है।

(D) माना $y = \tan^{-1}\left(\frac{6x\sqrt{x}}{1-9x^3}\right)$ है।
हम $\tan^{-1}$ के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{2(3x\sqrt{x})}{1-(3x\sqrt{x})^2}\right)$।
सूत्र $2\tan^{-1}(\theta) = \tan^{-1}\left(\frac{2\theta}{1-\theta^2}\right)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = 3x\sqrt{x} = 3x^{3/2}$,हमें प्राप्त होता है:
$y = 2\tan^{-1}(3x^{3/2})$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+(3x^{3/2})^2} \cdot \frac{d}{dx}(3x^{3/2})$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1+9x^3} \cdot (3 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2})$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1+9x^3} \cdot \frac{9}{2} \sqrt{x} = \frac{9\sqrt{x}}{1+9x^3}$।
दिया गया है कि $\frac{dy}{dx} = \sqrt{x} \cdot g(x)$,इसलिए $\sqrt{x} \cdot g(x) = \frac{9\sqrt{x}}{1+9x^3}$।
अतः,$g(x) = \frac{9}{1+9x^3}$।

(B) दिया गया है $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ और $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{2 \cos^2 \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}}}$
$y = \tan^{-1} \sqrt{\cot^2 \frac{x}{2}}$
$y = \tan^{-1} \left( \cot \frac{x}{2} \right)$
चूंकि $\cot \frac{x}{2} = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2} \right)$,इसलिए:
$y = \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2} \right) \right)$
$y = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2} \right) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.