Variable separable type differential equations Questions in Hindi

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-3y+5}{6x-9y+7}$ है।
माना $v = 2x-3y$ है। तब $\frac{dv}{dx} = 2 - 3\frac{dy}{dx}$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(2 - \frac{dv}{dx})$ प्राप्त होता है।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{3}(2 - \frac{dv}{dx}) = \frac{v+5}{3v+7}$।
$2 - \frac{dv}{dx} = \frac{3v+15}{3v+7} \implies \frac{dv}{dx} = 2 - \frac{3v+15}{3v+7} = \frac{6v+14-3v-15}{3v+7} = \frac{3v-1}{3v+7}$।
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{3v+7}{3v-1} dv = \int dx$।
$\int (1 + \frac{8}{3v-1}) dv = \int dx \implies v + \frac{8}{3} \log |3v-1| = x + c$।
$v = 2x-3y$ रखने पर: $(2x-3y) + \frac{8}{3} \log |3(2x-3y)-1| = x + c$।
$x - 3y + \frac{8}{3} \log |6x-9y-1| + c = 0$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos y \frac{dy}{dx} = e^x e^{\sin y} + x^2 e^{\sin y}$.
दोनों पक्षों को $e^{\sin y}$ से विभाजित करने पर: $e^{-\sin y} \cos y \frac{dy}{dx} = e^x + x^2$.
माना $u = \sin y$,तो $\frac{du}{dx} = \cos y \frac{dy}{dx}$.
समीकरण $e^{-u} \frac{du}{dx} = e^x + x^2$ बन जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int e^{-u} du = \int (e^x + x^2) dx$.
$-e^{-u} = e^x + \frac{x^3}{3} + C_1$.
$u = \sin y$ वापस रखने पर: $-e^{-\sin y} = e^x + \frac{x^3}{3} + C_1$.
$f(x) + e^{-\sin y} = C$ के रूप में व्यवस्थित करने पर: $e^x + \frac{x^3}{3} + e^{-\sin y} = C$.
इसे $f(x) + e^{-\sin y} = C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = e^x + \frac{x^3}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + y = \frac{x f(xy)}{f'(xy)}$
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(xy) = x \frac{dy}{dx} + y$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{d(xy)}{dx} = \frac{x f(xy)}{f'(xy)}$.
चर $xy$ और $x$ को अलग करने पर: $\frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = x dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = \int x dx$.
इससे प्राप्त होता है: $\ln |f(xy)| = \frac{x^2}{2} + C$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $|f(xy)| = e^{\frac{x^2}{2} + C} = e^C \cdot e^{x^2 / 2}$.
माना $k = e^C$,तो हमें प्राप्त होता है: $|f(xy)| = k e^{x^2 / 2}$.

(D) दिया गया समीकरण: $(x+y)^{2} \frac{d y}{d x}=a^{2}, a \neq 0$
माना $x+y=t$. तब $1+\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}$,जिसका अर्थ है $\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}-1$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$t^{2}(\frac{d t}{d x}-1)=a^{2}$
$t^{2} \frac{d t}{d x} = a^{2}+t^{2}$
चरों का पृथक्करण करने पर:
$\frac{t^{2}}{a^{2}+t^{2}} d t = d x$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{t^{2}+a^{2}-a^{2}}{t^{2}+a^{2}} d t = \int d x$
$\int (1 - \frac{a^{2}}{t^{2}+a^{2}}) d t = x + C'$
$t - a^{2} \cdot \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{t}{a}) = x + C'$
$t - a \tan^{-1}(\frac{t}{a}) = x + C'$
$t = x+y$ वापस रखने पर:
$(x+y) - a \tan^{-1}(\frac{x+y}{a}) = x + C'$
$y - C' = a \tan^{-1}(\frac{x+y}{a})$
$\frac{y-C'}{a} = \tan^{-1}(\frac{x+y}{a})$
$\tan(\frac{y-C'}{a}) = \frac{x+y}{a}$
माना $C = -C'$. अतः व्यापक हल $\tan(\frac{y+C}{a}) = \frac{x+y}{a}$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+y)^{2} \frac{dy}{dx} = a^{2}$.
माना $v = x+y$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
इन मानों को मूल समीकरण में रखने पर: $v^{2} (\frac{dv}{dx} - 1) = a^{2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $v^{2} \frac{dv}{dx} = v^{2} + a^{2}$,इसलिए $\frac{dv}{dx} = \frac{v^{2} + a^{2}}{v^{2}}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{v^{2}}{v^{2} + a^{2}} dv = dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{v^{2}}{v^{2} + a^{2}} dv = \int dx$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\int (1 - \frac{a^{2}}{v^{2} + a^{2}}) dv = x + C'$.
समाकलन करने पर प्राप्त होता है: $v - a \tan^{-1}(\frac{v}{a}) = x + C'$.
$v = x+y$ रखने पर: $(x+y) - a \tan^{-1}(\frac{x+y}{a}) = x + C'$.
सरल करने पर: $y - a \tan^{-1}(\frac{x+y}{a}) = C'$.
व्यवस्थित करने पर: $\frac{y-C'}{a} = \tan^{-1}(\frac{x+y}{a})$.
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर: $\tan(\frac{y-C'}{a}) = \frac{x+y}{a}$.
$-C' = C$ मानने पर,हमें $\frac{x+y}{a} = \tan(\frac{y+C}{a})$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\log_{e}\left(\frac{dy}{dx}\right) = x + y$.
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,हम इसे लिख सकते हैं: $\frac{dy}{dx} = e^{x+y}$.
घातांक के नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{dy}{dx} = e^x \cdot e^y$.
चरों को अलग करने पर: $e^{-y} dy = e^x dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-y} dy = \int e^x dx$.
इससे प्राप्त होता है: $-e^{-y} = e^x + C_1$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $e^x + e^{-y} = -C_1$.
माना कि $-C_1 = C$,अतः व्यापक हल है: $e^x + e^{-y} = C$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \, dy - y \, dx = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x \, dy = y \, dx$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,हमारे पास $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x} + C$ प्राप्त होता है।
इसका परिणाम $\ln|y| = \ln|x| + \ln|c|$ है,जहाँ $\ln|c|$ समाकलन स्थिरांक है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर,$\ln|y| = \ln|cx|$,जिसका अर्थ है $y = cx$।
समीकरण $y = cx$ मूल बिंदु से होकर जाने वाली एक सरल रेखा को दर्शाता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = e^{y+x} + e^{y-x}$.
दाहिनी ओर को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{dy}{dx} = e^y(e^x + e^{-x})$.
चरों को पृथक करने पर: $e^{-y} dy = (e^x + e^{-x}) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-y} dy = \int (e^x + e^{-x}) dx$.
इससे प्राप्त होता है: $-e^{-y} = e^x - e^{-x} + c$.
$-1$ से गुणा करने पर: $e^{-y} = e^{-x} - e^x + c$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d y}{d x}=\frac{x+y+1}{2 x+2 y+1}$
माना $x+y=v$. तब $1+\frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x}$,अतः $\frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x}-1$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{d v}{d x}-1=\frac{v+1}{2 v+1}$
$\frac{d v}{d x}=\frac{v+1}{2 v+1}+1 = \frac{v+1+2 v+1}{2 v+1} = \frac{3 v+2}{2 v+1}$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{2 v+1}{3 v+2} d v=d x$
अंश को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{\frac{2}{3}(3 v+2)-\frac{1}{3}}{3 v+2} d v=d x$
$\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3(3 v+2)}\right) d v=d x$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3(3 v+2)}\right) d v = \int d x + C'$
$\frac{2}{3} v - \frac{1}{9} \log |3 v+2| = x + C'$
$v=x+y$ रखने पर: $\frac{2}{3}(x+y) - \frac{1}{9} \log |3 x+3 y+2| = x + C'$
$9$ से गुणा करने पर: $6(x+y) - \log |3 x+3 y+2| = 9 x + 9 C'$
$6 x + 6 y - 9 x - \log |3 x+3 y+2| = C$
$-3 x + 6 y - \log |3 x+3 y+2| = C$
$-1$ से गुणा करने पर: $3 x - 6 y + \log |3 x+3 y+2| = C$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + y = x \frac{f(xy)}{f'(xy)}$.
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(xy) = x \frac{dy}{dx} + y$.
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{d(xy)}{dx} = x \frac{f(xy)}{f'(xy)}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = x dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = \int x dx$.
परिणाम प्राप्त होता है: $\ln |f(xy)| = \frac{x^2}{2} + k$,जहाँ $k$ समाकलन स्थिरांक है.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $|f(xy)| = e^{\frac{x^2}{2} + k} = e^k \cdot e^{\frac{x^2}{2}}$.
मान लीजिए $C = e^k$,अतः: $|f(xy)| = Ce^{\frac{x^2}{2}}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $16(\sqrt{x+9\sqrt{x}})(4+\sqrt{9+\sqrt{x}}) \cos y \, dy = (1+2 \sin y) \, dx$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{\cos y}{1+2 \sin y} \, dy = \int \frac{dx}{16(\sqrt{x+9\sqrt{x}})(4+\sqrt{9+\sqrt{x}})}$.
माना $u = 1+2 \sin y$,तब $du = 2 \cos y \, dy$,अतः $\int \frac{\cos y}{1+2 \sin y} \, dy = \frac{1}{2} \ln |1+2 \sin y|$.
दाहिनी ओर के लिए,माना $t = 4+\sqrt{9+\sqrt{x}}$। तब $t-4 = \sqrt{9+\sqrt{x}}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(t-4)^2 = 9+\sqrt{x}$,अतः $\sqrt{x} = (t-4)^2 - 9$।
$t = 4+\sqrt{9+\sqrt{x}}$ का अवकलन करने पर,$dt = \frac{1}{2\sqrt{9+\sqrt{x}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = \frac{dx}{4\sqrt{x(9+\sqrt{x})}} = \frac{dx}{4\sqrt{x+9\sqrt{x}}}$।
अतः,$\frac{dx}{\sqrt{x+9\sqrt{x}}} = 4 \, dt$।
समाकलन इस प्रकार होगा: $\frac{1}{2} \ln |1+2 \sin y| = \int \frac{4 \, dt}{16t} = \frac{1}{4} \ln |t| + C = \frac{1}{4} \ln |4+\sqrt{9+\sqrt{x}}| + C$।
$y(256) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर: $\frac{1}{2} \ln(1+2 \sin \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+\sqrt{256}}) + C \implies \frac{1}{2} \ln 3 = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+16}) + C = \frac{1}{4} \ln 9 + C = \frac{1}{2} \ln 3 + C$। अतः $C = 0$।
अब,$y(49) = \alpha$ के लिए: $\frac{1}{2} \ln(1+2 \sin \alpha) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+\sqrt{49}}) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{16}) = \frac{1}{4} \ln 8 = \frac{1}{4} \ln(2^3) = \frac{3}{4} \ln 2$।
अतः $\ln(1+2 \sin \alpha) = \frac{3}{2} \ln 2 = \ln(2^{3/2}) = \ln(2\sqrt{2})$।
इसलिए,$1+2 \sin \alpha = 2\sqrt{2}$,जो हमें $2 \sin \alpha = 2\sqrt{2}-1$ देता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$.
दोनों पक्षों को $x^{2}$ से विभाजित करने पर ($x > 0$ है): $\frac{x dy - y dx}{x^{2}} = \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2}} dx$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $d\left(\frac{y}{x}\right) = \sqrt{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^{2}} \cdot \frac{1}{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{d(\frac{y}{x})}{\sqrt{1 + (\frac{y}{x})^{2}}} = \int \frac{1}{x} dx$.
मानक समाकलन $\int \frac{du}{\sqrt{1 + u^{2}}} = \ln|u + \sqrt{1 + u^{2}}| + C$ का उपयोग करने पर: $\ln\left(\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}\right) = \ln x + C$.
$y(1) = 0$ दिया गया है,इसलिए $x = 1, y = 0$ रखने पर: $\ln(0 + \sqrt{1 + 0}) = \ln(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} = x$.
$x$ से गुणा करने पर: $y + \sqrt{x^{2} + y^{2}} = x^{2}$.
$y(3)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 3$ रखने पर: $y + \sqrt{9 + y^{2}} = 9$.
$\sqrt{9 + y^{2}} = 9 - y$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $9 + y^{2} = 81 - 18y + y^{2}$.
$18y = 72 \Rightarrow y = 4$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = e^{x-y}$ है।
घातांक के नियम का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{e^y}$।
चरों को अलग करने पर,हमें $e^y \, dy = e^x \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int e^y \, dy = \int e^x \, dx$।
इससे $e^y = e^x + C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $e^x - e^y = -C$ प्राप्त होता है,जिसे $e^x - e^y = c$ के रूप में लिखा जा सकता है (जहाँ $c = -C$ एक स्वेच्छ अचर है)।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = e^{x+y} = e^x \cdot e^y$ है।
चरों को पृथक करने पर,हमें $e^{-y} \, dy = e^x \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int e^{-y} \, dy = \int e^x \, dx$ प्राप्त होता है।
इसका परिणाम $-e^{-y} = e^x + C'$ है,जहाँ $C'$ समाकलन स्थिरांक है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $e^x + e^{-y} = -C'$ प्राप्त होता है।
यदि $C = -C'$ मान लिया जाए,तो व्यापक हल $e^x + e^{-y} = C$ होगा।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + \sin x) \frac{dy}{dx} + (y + 1) \cos x = 0$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y+1} = -\frac{\cos x}{1+\sin x} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y+1} = -\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx$ प्राप्त होता है।
इससे $\ln|y+1| = -\ln|1+\sin x| + C$ प्राप्त होता है,जिसे $\ln|y+1| + \ln|1+\sin x| = C$ लिखा जा सकता है।
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करने पर,$(y+1)(1+\sin x) = K$ प्राप्त होता है,जहाँ $K = e^C$ है।
प्रारंभिक शर्त $y(0) = 0$ का उपयोग करने पर,$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर: $(0+1)(1+\sin 0) = K$,जिससे $1(1+0) = K$,अर्थात $K = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,विशिष्ट हल $(y+1)(1+\sin x) = 1$ है।
यदि वक्र $(\alpha, -\frac{1}{2})$ से होकर गुजरता है,तो $x = \alpha$ और $y = -\frac{1}{2}$ रखने पर:
$(-\frac{1}{2} + 1)(1+\sin \alpha) = 1$.
$\frac{1}{2}(1+\sin \alpha) = 1$.
$1+\sin \alpha = 2$.
$\sin \alpha = 1$.
इसलिए,$\alpha = \frac{\pi}{2}$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (1+x^2)(1-y^2)$ है।
चरों को अलग करने पर,$\int \frac{dy}{1-y^2} = \int (1+x^2) dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\frac{1}{2} \ln|\frac{1+y}{1-y}| = x + \frac{x^3}{3} + C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर,$C = \frac{1}{2} \ln(3)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\ln|\frac{1+y}{1-y}| = 2(x + \frac{x^3}{3}) + \ln(3)$।
$x=1$ पर,$\ln|\frac{1+y(1)}{1-y(1)}| = \frac{8}{3} + \ln(3)$।
इस प्रकार,$\frac{1+y(1)}{1-y(1)} = 3e^{8/3}$।
$k = 3e^{8/3}$ लेने पर,$y(1) = \frac{k-1}{k+1}$ प्राप्त होता है।
$2y(1)-1 = \frac{k-3}{k+1}$ होता है।
$k$ का मान रखने पर,यह व्यंजक हाइपरबोलिक फलन $\tanh$ के रूप में बदल जाता है,जो अंततः $\tan$ के रूप में परिणत होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{y} = (2 + \ln x) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int (2 + \ln x) dx$.
$\ln y = 2x + (x \ln x - x) + C = x \ln x + x + C$.
चूंकि वक्र बिंदु $(1, e)$ से गुजरता है,$x = 1$ और $y = e$ प्रतिस्थापित करने पर: $\ln e = 1 \ln 1 + 1 + C$.
$1 = 0 + 1 + C$,जिससे $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,वक्र का समीकरण $\ln y = x \ln x + x$ है।
$f(e)$ ज्ञात करने के लिए,$x = e$ प्रतिस्थापित करने पर: $\ln f(e) = e \ln e + e = e(1) + e = 2e$.
इसलिए,$f(e) = e^{2e}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (1+x^2)(1-y+y^2)$ है।
चरों को अलग करने पर,$\int \frac{dy}{y^2-y+1} = \int (1+x^2) dx$ प्राप्त होता है।
हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर: $y^2-y+1 = (y-1/2)^2 + 3/4$.
अतः,$\int \frac{dy}{(y-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = x + \frac{x^3}{3} + C$.
सूत्र $\int \frac{du}{u^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a})$ का उपयोग करने पर,$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left(\frac{2y-1}{\sqrt{3}}\right) = x + \frac{x^3}{3} + C$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y(0) = 1/2$ दिया गया है,$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(0) = 0 + 0 + C$,जिसका अर्थ है $C = 0$.
अतः,$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left(\frac{2y-1}{\sqrt{3}}\right) = x + \frac{x^3}{3}$.
$x = 1$ पर,$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left(\frac{2y(1)-1}{\sqrt{3}}\right) = 1 + 1/3 = 4/3$.
$\tan^{-1} \left(\frac{2y(1)-1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
इसलिए,$\frac{2y(1)-1}{\sqrt{3}} = \tan \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$,जिससे $2y(1)-1 = \sqrt{3} \tan \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{y} = (2 + \log_e x) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int (2 + \log_e x) dx$.
$\log_e y = 2x + (x \log_e x - x) + C = x \log_e x + x + C$.
चूंकि वक्र बिंदु $(1, e)$ से गुजरता है,$x = 1$ और $y = e$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\log_e e = 1 \cdot \log_e 1 + 1 + C$.
$1 = 0 + 1 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,वक्र का समीकरण $\log_e y = x \log_e x + x$ है।
$y(e)$ ज्ञात करने के लिए,$x = e$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\log_e y = e \log_e e + e = e(1) + e = 2e$.
इसलिए,$y = e^{2e}$.