(1, 0) માંથી પસાર થતા વક્રનું સમીકરણ શોધો,જેન | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે. $P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{dy}{dx}$ છે. $P$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{m} = -\frac{dx}{dy}$ છે.$P(x, y)$ આ

Vedclass · Accepted Answer

$x^2 + y^2 = x^4$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે. $P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{dy}{dx}$ છે. $P$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{m} = -\frac{dx}{dy}$ છે.$P(x, y)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $Y - y = -\frac{dx}{dy} (X - x)$ છે.$x$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$Y = 0$ મૂકો:$-y = -\frac{dx}{dy} (X - x) \implies X - x = y \frac{dy}{dx} \implies X = x + y \frac{dy}{dx}$.$P$ નો યામ $x$ છે. અભિલંબનો $x$-અંતઃખંડ $X = x + y \frac{dy}{dx}$ છે.$P$ નો ત્રિજ્યા સદિશ $\sqrt{x^2 + y^2}$ છે,તેથી તેનો વર્ગ $x^2 + y^2$ થાય.પ્રશ્ન મુજબ,યામ અને $x$-અંતઃખંડનો ગુણાકાર ત્રિજ્યા સદિશના વર્ગના બમણા જેટલો છે:$x \left( x + y \frac{dy}{dx} \right) = 2(x^2 + y^2)$.$x^2 + xy \frac{dy}{dx} = 2x^2 + 2y^2 \implies xy \frac{dy}{dx} = x^2 + 2y^2$.આ એક સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.$x(vx) (v + x \frac{dv}{dx}) = x^2 + 2(vx)^2 \implies x^2 v (v + x \frac{dv}{dx}) = x^2(1 + 2v^2)$.$v^2 + vx \frac{dv}{dx} = 1 + 2v^2 \implies vx \frac{dv}{dx} = 1 + v^2$.$\frac{v}{1 + v^2} dv = \frac{1}{x} dx$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{1}{2} \ln(1 + v^2) = \ln x + C \implies \ln(1 + v^2) = \ln x^2 + 2C \implies 1 + v^2 = k x^2$,જ્યાં $k = e^{2C}$.$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $1 + \frac{y^2}{x^2} = k x^2 \implies x^2 + y^2 = k x^4$.વક્ર $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1^2 + 0^2 = k(1)^4 \implies k = 1$.આમ,સમીકરણ $x^2 + y^2 = x^4$ છે.

Similar Questions

જો $x^\alpha \frac{dy}{dx} = y^\beta(\gamma \log x + \delta \log y + 1)$ એ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ હોય,તો

વિકલ સમીકરણ $(3y - 7x + 7)dx + (7y - 3x + 3)dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

$\frac{d y}{d x}=\frac{y^2}{x y-x^2}$ નો ઉકેલ શોધો.

જો $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ એ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ (homogeneous differential equation) હોય,તો $f(x, y)$ નું સામાન્ય સ્વરૂપ શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module