વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx} = frac{xy}{x^2 + y^2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ છે.આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ હોવાથી,આપણે $y = vx$ આદેશ લઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{d

Vedclass · Accepted Answer

$ay^2 = e^{x^2/y^2}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ છે.આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ હોવાથી,આપણે $y = vx$ આદેશ લઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2 + (vx)^2} = \frac{vx^2}{x^2(1 + v^2)} = \frac{v}{1 + v^2}$.હવે,$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1 + v^2} = -\frac{v^3}{1 + v^2}$.ચલને અલગ કરતા: $\frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\frac{dx}{x}$,જેનું સાદું રૂપ $(\frac{1}{v^3} + \frac{1}{v}) dv = -\frac{dx}{x}$ થાય છે.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\int \frac{1}{x} dx$.આથી $-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$ મળે છે.$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln(\frac{y}{x}) = -\ln|x| + C$.$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C$,જેનું સાદું રૂપ $\ln|y| - \frac{x^2}{2y^2} = C$ થાય છે.તેથી $\ln|y| = \frac{x^2}{2y^2} + C$,એટલે કે $y = e^{\frac{x^2}{2y^2} + C} = k e^{\frac{x^2}{2y^2}}$.બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $y^2 = k^2 e^{\frac{x^2}{y^2}}$. જો $a = k^2$ લઈએ,તો $ay^2 = e^{x^2/y^2}$ મળે છે.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ નો ઉકેલ શું છે?

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(x^2+y^2) dx - 5xy dy = 0$,$y(1)=0$ નો ઉકેલ શોધો :

આપેલ શરતનું પાલન કરતો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો:
$x^{2} dy + (xy + y^{2}) dx = 0$; $y = 1$ જ્યારે $x = 1$.

વિકલ સમીકરણ $x \cdot \sin \left(\frac{y}{x}\right) dy = \left[y \cdot \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x\right] dx$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $y \sin \left(\frac{x}{y}\right) dx = \left\{x \sin \left(\frac{x}{y}\right) - y\right\} dy$ નો ઉકેલ,જે $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ નું સમાધાન કરે છે,તે શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(x^2 - y^2) \, dx + 2xy \, dy = 0$ નું સમાધાન કરતો અને બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતો વક્ર કયો છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module