Rolle’s theorem, Lagrange's mean value theorem Questions in Hindi

(D) दिया गया है कि $f(x)$,$[0,4]$ पर सतत है और $(0,4)$ पर अवकलनीय है।
चूंकि $g(x) = \frac{f(x)}{x+2}$,इसलिए $g(x)$ भी $[0,4]$ पर सतत है और $(0,4)$ पर अवकलनीय है क्योंकि $x \in [0,4]$ के लिए $x+2 \neq 0$ है।
अंत बिंदुओं पर $g(x)$ के मानों की गणना करें:
$g(0) = \frac{f(0)}{0+2} = \frac{4}{2} = 2$
$g(4) = \frac{f(4)}{4+2} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem) के अनुसार,कम से कम एक $c \in (0,4)$ ऐसा मौजूद है कि $g^{\prime}(c) = \frac{g(4)-g(0)}{4-0}$ हो।
मान रखने पर:
$g^{\prime}(c) = \frac{-\frac{1}{3} - 2}{4} = \frac{-\frac{7}{3}}{4} = -\frac{7}{12}$.

(B) दिया गया है $f(x)=x^3+2x^2-x$।
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद फलन है,यह $[-1,2]$ पर सतत है और $(-1,2)$ पर अवकलनीय है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $C \in (-1,2)$ मौजूद है कि $f'(C) = \frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}$।
सबसे पहले,$f(2) = 2^3 + 2(2^2) - 2 = 8 + 8 - 2 = 14$।
फिर,$f(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - (-1) = -1 + 2 + 1 = 2$।
अब,$f'(x) = 3x^2 + 4x - 1$।
अतः,$3C^2 + 4C - 1 = \frac{14-2}{3} = \frac{12}{3} = 4$।
$3C^2 + 4C - 5 = 0$।
द्विघात सूत्र $C = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$C = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(3)(-5)}}{2(3)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16+60}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{76}}{6}$।
सरल करने पर,$C = \frac{-4 \pm 2\sqrt{19}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{19}}{3}$।
चूंकि $C \in (-1,2)$,हम धनात्मक मान लेंगे: $C = \frac{-2+\sqrt{19}}{3}$।

(A) दिया गया है $f(x) = x(x-1)(x-2) = x^3-3x^2+2x$.
अवकलज $f'(x) = 3x^2-6x+2$ है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,एक ऐसा $c \in (0, 1/2)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = \frac{f(1/2)-f(0)}{1/2-0}$ है।
गणना करने पर $f(1/2) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2) = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2}) = \frac{3}{8}$ और $f(0) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f'(c) = \frac{3/8 - 0}{1/2} = \frac{3}{4}$।
$3c^2-6c+2 = 3/4$ रखने पर,हमें $12c^2-24c+5 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$c = \frac{24 \pm \sqrt{576-240}}{24} = \frac{24 \pm \sqrt{336}}{24} = 1 \pm \frac{4\sqrt{21}}{24} = 1 \pm \frac{\sqrt{21}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c \in (0, 1/2)$,हम $c = 1 - \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$ चुनते हैं।

(D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & 1 < x \leq 2 \end{cases}$.
रोले के प्रमेय के लागू होने के लिए,$f(x)$ को $[0, 2]$ पर सतत होना चाहिए,$(0, 2)$ पर अवकलनीय होना चाहिए,और $f(0) = f(2)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करें:
$LHL = \lim_{x \to 1^-} x = 1$.
$RHL = \lim_{x \to 1^+} (2-x) = 2 - 1 = 1$.
$f(1) = 1$.
चूंकि $LHL = RHL = f(1)$,इसलिए $f(x)$ $x = 1$ पर सतत है।
अब,$x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
$f'(1^-) = \frac{d}{dx}(x) = 1$.
$f'(1^+) = \frac{d}{dx}(2-x) = -1$.
चूंकि $f'(1^-) \neq f'(1^+)$,फलन $f(x)$ $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
इसलिए,रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है क्योंकि $f(x)$ अंतराल $(0, 2)$ पर अवकलनीय नहीं है।

(C) दिया गया है,$f(x)=\sqrt{x-2}$ जहाँ $x \in [2,6]$ है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (2,6)$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ हो।
यहाँ,$a=2$ और $b=6$ है।
$f(a) = f(2) = \sqrt{2-2} = 0$.
$f(b) = f(6) = \sqrt{6-2} = \sqrt{4} = 2$.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x-2}) = \frac{1}{2\sqrt{x-2}}$.
अतः,$f'(c) = \frac{1}{2\sqrt{c-2}}$.
इन मानों को प्रमेय के सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{2\sqrt{c-2}} = \frac{2-0}{6-2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2\sqrt{c-2}} = \frac{1}{2}$.
$\sqrt{c-2} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$c-2 = 1$,जिससे $c = 3$ प्राप्त होता है।
चूँकि $3 \in (2,6)$,इसलिए $c$ का मान $3$ है।

(D) मध्यमान प्रमेय $(MVT)$ के अनुसार,यदि फलन $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है,तो $(a, b)$ में कम से कम एक बिंदु $t$ ऐसा होता है कि $f^{\prime}(t) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
चूंकि $f$ अंतराल $[a, b]$ से $[c, d]$ तक एक निरंतर वर्धमान फलन है,इसलिए $f(a) = c$ और $f(b) = d$ है।
इन मानों को $MVT$ सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{\prime}(t) = \frac{d - c}{b - a}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{d - c}{b - a}$ अंतराल $(a, b)$ में किसी बिंदु $t$ पर वक्र $y = f(t)$ की स्पर्श रेखा की ढाल को दर्शाता है।

(D) लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय कहता है कि यदि कोई फलन $f(x)$,$[a,b]$ पर सतत है और $(a,b)$ पर अवकलनीय है,तो कम से कम एक $c \in (a,b)$ ऐसा मौजूद होता है कि $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ हो।
$A. f(x) = |x-1|$. यह फलन $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है,जो अंतराल $[1,3]$ का अंतिम बिंदु है। अतः,$LMVT$ लागू नहीं होता है। हालाँकि,यदि हम छेदक रेखा की ढाल लें,तो $\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{2-0}{2} = 1$। $x > 1$ के लिए,$f'(x) = 1$। कोई भी $c \in (1,3)$ इसे संतुष्ट करता है। विकल्पों को देखते हुए,$A-II$ अभीष्ट मिलान है।
$B. f(x) = \log x$. $f'(c) = \frac{\log 3 - \log 1}{3-1} = \frac{\log 3}{2} = \log 3^{1/2} = \log \sqrt{3}$। चूँकि $f'(x) = 1/x$,इसलिए $1/c = \log \sqrt{3} \implies c = 1/\log \sqrt{3} = \log_3 e^2$। अतः,$B-III$।
$C. f(x) = x^2+x+1$. $f'(c) = \frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{(9+3+1)-(1+1+1)}{2} = \frac{13-3}{2} = 5$। चूँकि $f'(x) = 2x+1$,इसलिए $2c+1 = 5 \implies 2c = 4 \implies c = 2$। अतः,$C-II$।
$D. f(x) = e^x$. $f'(c) = \frac{e^3-e^1}{3-1} = \frac{e^3-e}{2}$। चूँकि $f'(x) = e^x$,इसलिए $e^c = \frac{e^3-e}{2} \implies c = \log \left(\frac{e^3-e}{2}\right)$। अतः,$D-V$।
मिलान: $A-II, B-III, C-II, D-V$।

(B) माना $f(x) = 2^x + 5^x - 3^x - 4^x = 0$ है।
हम देख सकते हैं कि $x=0$ एक हल है क्योंकि $2^0 + 5^0 = 1 + 1 = 2$ और $3^0 + 4^0 = 1 + 1 = 2$ है।
साथ ही,$x=1$ भी एक हल है क्योंकि $2^1 + 5^1 = 2 + 5 = 7$ और $3^1 + 4^1 = 3 + 4 = 7$ है।
अन्य हलों की जांच करने के लिए,$g(x) = 5^x - 4^x$ और $h(x) = 3^x - 2^x$ पर विचार करें। समीकरण $g(x) = h(x)$ है।
मीन वैल्यू थ्योरम का उपयोग करके या अवकलजों का विश्लेषण करके,यह दिखाया जा सकता है कि यहाँ केवल दो वास्तविक हल $x=0$ और $x=1$ हैं।
चूंकि $x=0$ एक शून्य हल है,इसलिए केवल एक शून्येतर वास्तविक हल $x=1$ है।

(A) माना $f(x) = \frac{a_{3} x^{4}}{4} + \frac{a_{2} x^{3}}{3} + \frac{a_{1} x^{2}}{2} + a_{0} x$.
$f(0) = 0$.
$f(1) = \frac{a_{3}}{4} + \frac{a_{2}}{3} + \frac{a_{1}}{2} + a_{0} = 0$ (दिया गया है)।
चूंकि $f(0) = f(1) = 0$,रोले के प्रमेय के अनुसार,$(0, 1)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = 0$ हो।
$f'(x) = a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$.
अतः,समीकरण $a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} = 0$ का अंतराल $[0, 1]$ में कम से कम एक वास्तविक मूल है।

(B) दिया गया है कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $|f^{\prime}(x)| \leq 5$ है।
माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,किसी भी $x$ के लिए,$0$ और $x$ के बीच एक ऐसा $c$ मौजूद है कि $f(x) - f(0) = f^{\prime}(c)(x - 0)$।
चूंकि $f(0) = 0$,हमारे पास $f(x) = f^{\prime}(c) \cdot x$ है।
$x = 1$ के लिए,$f(1) = f^{\prime}(c) \cdot 1 = f^{\prime}(c)$।
चूंकि $|f^{\prime}(c)| \leq 5$,इसलिए $|f(1)| \leq 5$ होता है।
वैकल्पिक रूप से,समाकलन का उपयोग करते हुए:
$\int_{0}^{1} -5 \, dx \leq \int_{0}^{1} f^{\prime}(x) \, dx \leq \int_{0}^{1} 5 \, dx$
$-5 \leq f(1) - f(0) \leq 5$
चूंकि $f(0) = 0$,हमें $-5 \leq f(1) \leq 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(1) \in [-5, 5]$।

(B) दिया गया है कि $f:[1,3] \rightarrow R$ अंतराल $[1,3]$ पर सतत है और $(1,3)$ में अवकलनीय है,जहाँ $f^{\prime}(x)=|f(x)|^{2}+4$ है।
लाग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू करने पर,कम से कम एक बिंदु $c \in (1,3)$ ऐसा विद्यमान है कि:
$\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = f^{\prime}(c)$
$\frac{f(3)-f(1)}{2} = |f(c)|^{2} + 4$
चूंकि $|f(c)|^{2} \geq 0$,इसलिए $|f(c)|^{2} + 4 \geq 4$ होता है।
अतः,$\frac{f(3)-f(1)}{2} \geq 4$,जिसका अर्थ है कि $f(3)-f(1) \geq 8$।
इस प्रकार,कथन $f(3)-f(1)=5$ असत्य है।

(A) एक फलन $g(x) = e^{-x} f(x)$ को परिभाषित करें।
चूंकि $f(x)$,$[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है,इसलिए $g(x)$ भी $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय है।
दिया गया है कि $f(a)=0$ और $f(b)=0$,इसलिए $g(a) = e^{-a} f(a) = 0$ और $g(b) = e^{-b} f(b) = 0$ है।
रोल के प्रमेय (Rolle's Theorem) के अनुसार,$(a, b)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा मौजूद है कि $g^{\prime}(c) = 0$ हो।
अब,$g^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} (e^{-x} f(x)) = e^{-x} f^{\prime}(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x} (f^{\prime}(x) - f(x))$ है।
$g^{\prime}(c) = 0$ रखने पर,हमें $e^{-c} (f^{\prime}(c) - f(c)) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि किसी भी $c$ के लिए $e^{-c} \neq 0$ है,इसलिए $f^{\prime}(c) - f(c) = 0$ या $f^{\prime}(c) = f(c)$ सिद्ध होता है।

(A, C) फलन $h(x) = e^{g(x)} f(x)$ पर विचार करें।
चूंकि $f$ और $g$ अंतराल $I$ पर अवकलनीय हैं,इसलिए $h(x)$ भी $I$ पर अवकलनीय है।
दिया गया है कि $f(a) = 0$ और $f(b) = 0$,इसलिए $h(a) = e^{g(a)} f(a) = 0$ और $h(b) = e^{g(b)} f(b) = 0$ है।
रोल के प्रमेय के अनुसार,$(a, b)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा विद्यमान है कि $h^{\prime}(c) = 0$ हो।
$h^{\prime}(x) = e^{g(x)} g^{\prime}(x) f(x) + e^{g(x)} f^{\prime}(x) = e^{g(x)} [f^{\prime}(x) + f(x) g^{\prime}(x)]$।
चूंकि $e^{g(x)} \neq 0$,इसलिए $h^{\prime}(c) = 0$ का अर्थ है कि $f^{\prime}(c) + f(c) g^{\prime}(c) = 0$ है।
अतः,विकल्प $(a)$ सही है।
इसी प्रकार,विकल्प $(c)$ के लिए,$m(x) = e^{kx} g(x)$ पर विचार करें।
चूंकि $g(a) = 0$ और $g(b) = 0$,इसलिए $m(a) = 0$ और $m(b) = 0$ है।
रोल के प्रमेय के अनुसार,$(a, b)$ में $c$ ऐसा विद्यमान है कि $m^{\prime}(c) = 0$ हो।
$m^{\prime}(x) = e^{kx} g^{\prime}(x) + k e^{kx} g(x) = e^{kx} [g^{\prime}(x) + k g(x)]$।
चूंकि $e^{kx} \neq 0$,इसलिए $m^{\prime}(c) = 0$ का अर्थ है कि $g^{\prime}(c) + k g(c) = 0$ है।
अतः,विकल्प $(c)$ भी सही है।

(B) दिया गया है कि $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$ है।
अंतराल $[0, 1]$ पर रोले के प्रमेय के अनुसार,चूंकि $f(0)=f(1)=0$ है,इसलिए कम से कम एक बिंदु $d \in (0, 1)$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(d)=0$ हो।
अब,हमारे पास $f^{\prime}(0)=0$ और $f^{\prime}(d)=0$ है जहाँ $d \in (0, 1)$ है।
अंतराल $[0, d]$ पर फलन $f^{\prime}(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू करने पर,चूंकि $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(d)=0$ है,इसलिए कम से कम एक बिंदु $c \in (0, d)$ ऐसा मौजूद होना चाहिए कि $f^{\prime \prime}(c)=0$ हो।
अतः,किसी $c \in R$ के लिए $f^{\prime \prime}(c)=0$ है।

(C) माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,$[2, 7]$ में अवकलनीय फलन $f(x)$ के लिए,कोई $c \in (2, 7)$ मौजूद है जिसके लिए $f^{\prime}(c) = \frac{f(7) - f(2)}{7 - 2}$ होता है।
यह दिया गया है कि $(2, 7)$ में सभी $x$ के लिए $f^{\prime}(x) \leq 5$ है,इसलिए $f^{\prime}(c) \leq 5$ होगा।
दिए गए मान $f(2) = 3$ और अंतराल $[2, 7]$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{f(7) - 3}{7 - 2} \leq 5$
$\frac{f(7) - 3}{5} \leq 5$
$f(7) - 3 \leq 25$
$f(7) \leq 28$.
अतः,$f(7)$ का अधिकतम संभव मान $28$ है।

(A) माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,किसी भी $x \in (0, 5]$ के लिए,एक ऐसा $c \in (0, x)$ मौजूद है कि $f^{\prime}(c) = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ हो।
दिया गया है कि $f(0) = 0$,इसलिए $f^{\prime}(c) = \frac{f(x)}{x}$ प्राप्त होता है।
निरपेक्ष मान लेने पर,$|f^{\prime}(c)| = \left|\frac{f(x)}{x}\right| = \frac{|f(x)|}{|x|}$ होता है।
चूंकि $(0, 5)$ में सभी $x$ के लिए $|f^{\prime}(x)| \leq \frac{1}{5}$ है,इसलिए $|f^{\prime}(c)| \leq \frac{1}{5}$ होगा।
अतः,$\frac{|f(x)|}{x} \leq \frac{1}{5}$,जिसका अर्थ है कि $|f(x)| \leq \frac{x}{5}$।
यहाँ $x \in [0, 5]$ है,इसलिए $\frac{x}{5}$ का अधिकतम मान $\frac{5}{5} = 1$ है।
अतः,$[0, 5]$ में सभी $x$ के लिए $|f(x)| \leq 1$ सत्य है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = 2 + (x - 1)^{2/3}$ अंतराल $[0, 2]$ पर है।
सबसे पहले,हम सांतत्य की जाँच करते हैं: फलन $(x - 1)^{2/3}$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए संतत है,इसलिए $f(x)$,$[0, 2]$ पर संतत है।
आगे,हम अवकलनीयता की जाँच करते हैं: $f'(x) = \frac{2}{3}(x - 1)^{-1/3} = \frac{2}{3(x - 1)^{1/3}}$.
$x = 1$ पर,$f'(x)$ अपरिभाषित है क्योंकि हर शून्य हो जाता है। अतः,$f$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है,जो अंतराल $(0, 2)$ में स्थित है।
चूंकि $f$,$(0, 2)$ में अवकलनीय नहीं है,इसलिए रोल का प्रमेय $[0, 2]$ पर लागू नहीं होता है।
अंत बिंदुओं पर मानों की जाँच करने पर: $f(0) = 2 + (0 - 1)^{2/3} = 2 + 1 = 3$ और $f(2) = 2 + (2 - 1)^{2/3} = 2 + 1 = 3$. अतः,$f(0) = f(2)$.
इसलिए,कथन '$f$,$(0, 2)$ में अवकलनीय नहीं है' सत्य है,'$f$,$[0, 2]$ में संतत है' सत्य है,'$f(0) = f(2)$' सत्य है,और 'रोल का प्रमेय $[0, 2]$ पर लागू होता है' कथन गलत है।

(C) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,एक फलन $f$ के लिए जो $[2, 4]$ पर सतत है और $(2, 4)$ पर अवकलनीय है,कम से कम एक $c \in (2, 4)$ ऐसा मौजूद होता है कि $f^{\prime}(c) = \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2}$ हो।
यह दिया गया है कि सभी $x \in [2, 4]$ के लिए $f^{\prime}(x) \geq 6$,इसलिए $f^{\prime}(c) \geq 6$ होगा।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{f(4) - (-4)}{2} \geq 6$।
$f(4) + 4 \geq 12$।
$f(4) \geq 8$।

(B) दिया गया है $f^{\prime}(x) = [f(x)]^2 + 4$.
चूँकि $f(x)$ अंतराल $[1, 3]$ पर संतत है और $(1, 3)$ पर अवकलनीय है,माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,एक ऐसा $c \in (1, 3)$ विद्यमान है जिसके लिए $f^{\prime}(c) = \frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{f(3)-f(1)}{2}$ है।
इसे दिए गए अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{f(3)-f(1)}{2} = [f(c)]^2 + 4$.
इससे $f(3)-f(1) = 2[f(c)]^2 + 8$ प्राप्त होता है।
चूँकि $[f(c)]^2 \ge 0$,इसलिए $f(3)-f(1) \ge 8$.
अतः,$f(3)-f(1)=5$ सत्य नहीं हो सकता है।

(A) एक फलन $g(x) = e^{-x} f(x)$ को परिभाषित करें।
चूंकि $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है,इसलिए $g(x)$ भी $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय है।
हमें प्राप्त होता है $g(a) = e^{-a} f(a) = e^{-a} \cdot 0 = 0$ और $g(b) = e^{-b} f(b) = e^{-b} \cdot 0 = 0$.
चूंकि $g(a) = g(b) = 0$,रोले के प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक बिंदु $c \in (a, b)$ ऐसा मौजूद है जिसके लिए $g^{\prime}(c) = 0$ है।
अवकलन करने पर: $g^{\prime}(x) = -e^{-x} f(x) + e^{-x} f^{\prime}(x) = e^{-x} (f^{\prime}(x) - f(x))$.
$g^{\prime}(c) = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $e^{-c} (f^{\prime}(c) - f(c)) = 0$.
किसी भी वास्तविक $c$ के लिए $e^{-c} \neq 0$ होता है,इसलिए $f^{\prime}(c) - f(c) = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि कम से कम एक $c \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime}(c) = f(c)$ है।

(B) रोले के प्रमेय के लिए फलन $f(x)$ का एक बंद अंतराल $[a, b]$ पर परिभाषित,$[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय होना आवश्यक है।
यहाँ,प्रांत $D = [0, 1] \cup [2, 4]$ एक एकल बंद अंतराल नहीं है। यह दो अलग-अलग बंद अंतरालों का संघ है।
रोले के प्रमेय को लागू करने के लिए,प्रांत को एक एकल जुड़ा हुआ बंद अंतराल $[a, b]$ होना चाहिए।
चूँकि प्रांत $D$ असंबद्ध है,इसलिए $f$ के लिए $D$ में रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।

(A) दिया गया है कि $f(0) = f(1) = 0$ है।
रोल के प्रमेय के अनुसार,अंतराल $(0, 1)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(c) = 0$ हो।
हमें यह भी दिया गया है कि $f^{\prime}(0) = 0$ है।
अब,अंतराल $[0, c]$ पर फलन $f^{\prime}(x)$ पर विचार करें।
चूंकि $f$ दो बार सतत अवकलनीय है,इसलिए $f^{\prime}$ अंतराल $[0, c]$ पर सतत है और $(0, c)$ पर अवकलनीय है।
साथ ही,$f^{\prime}(0) = 0$ और $f^{\prime}(c) = 0$ है।
अंतराल $[0, c]$ पर $f^{\prime}(x)$ के लिए रोल का प्रमेय लागू करने पर,$(0, c)$ में कम से कम एक बिंदु $c_1$ ऐसा मौजूद है कि $(f^{\prime})^{\prime}(c_1) = f^{\prime \prime}(c_1) = 0$ हो।
अतः,किसी $c_1 \in (0, 1)$ के लिए $f^{\prime \prime}(c_1) = 0$ होगा।

(C) फलन $g(x) = e^{kx} f(x)$ पर विचार करें। चूंकि $f(x)$,$[a, b]$ पर अवकलनीय है और $e^{kx}$ हर जगह अवकलनीय है,इसलिए $g(x)$,$[a, b]$ पर अवकलनीय है।
दिया गया है कि $f(a) = 0$ और $f(b) = 0$,इसलिए $g(a) = e^{ka} f(a) = 0$ और $g(b) = e^{kb} f(b) = 0$ है।
चूंकि $g(a) = g(b) = 0$ है और $g(x)$,$[a, b]$ पर सतत है तथा $(a, b)$ पर अवकलनीय है,रोले के प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (a, b)$ ऐसा मौजूद है कि $g'(c) = 0$ हो।
अब,$g'(x) = \frac{d}{dx} (e^{kx} f(x)) = k e^{kx} f(x) + e^{kx} f'(x) = e^{kx} (f'(x) + k f(x))$ है।
चूंकि $g'(c) = 0$ है,इसलिए $e^{kc} (f'(c) + k f(c)) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि किसी भी $c$ के लिए $e^{kc} \neq 0$ होता है,इसलिए $f'(c) + k f(c) = 0$ होना चाहिए।
अतः,कम से कम एक $c \in (a, b)$ के लिए $J(c) = 0$ है।

(B) दिया गया है कि $f(0)=0$ और $f(1)=0$ है। रोले के प्रमेय के अनुसार,$(0, 1)$ में कम से कम एक $c_1$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(c_1)=0$ हो।
हमें $f^{\prime}(0)=0$ भी दिया गया है।
अब,अंतराल $[0, c_1]$ पर फलन $f^{\prime}(x)$ पर विचार करें।
चूंकि $f$ दो बार सतत अवकलनीय है,इसलिए $f^{\prime}$ अंतराल $[0, c_1]$ पर सतत है और $(0, c_1)$ पर अवकलनीय है।
हमारे पास $f^{\prime}(0)=0$ और $f^{\prime}(c_1)=0$ है।
अंतराल $[0, c_1]$ पर $f^{\prime}(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू करने पर,$(0, c_1)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime \prime}(c)=0$ हो।
चूंकि $(0, c_1) \subset (0, 1)$,इसलिए $(0, 1)$ में कोई $c$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime \prime}(c)=0$ हो।

(C) दिया गया है कि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है,जहाँ $f(a)=0$ और $f(b)=0$ है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (a, b)$ ऐसा विद्यमान है कि $f^{\prime}(c)=0$ है।
चूँकि $f^{\prime}(a)=0$ और $f^{\prime}(c)=0$ है,और $f^{\prime}$ अंतराल $[a, c]$ पर सतत है तथा $(a, c)$ पर अवकलनीय है,इसलिए हम अंतराल $[a, c]$ पर $f^{\prime}$ के लिए रोले का प्रमेय लागू कर सकते हैं।
अतः,कम से कम एक $k \in (a, c)$ ऐसा विद्यमान है कि $f^{\prime \prime}(k)=0$ है।
चूँकि $(a, c) \subset (a, b)$,इसलिए किसी $x \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime \prime}(x)=0$ होगा।

(D) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$.
$x=0$ पर सांतत्य: $LHL = \lim_{x \rightarrow 0^-} x \sin \frac{1}{x} = 0$ और $RHL = \lim_{x \rightarrow 0^+} x \sin \frac{1}{x} = 0$. चूंकि $LHL = RHL = f(0)$,इसलिए $f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर सतत है।
$x=0$ पर अवकलनीयता: $f'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \sin(1/h)$. यह सीमा अस्तित्व में नहीं है क्योंकि यह $-1$ और $1$ के बीच दोलन करती है। अतः,$f(x)$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है।
रोले के प्रमेय के लिए $f(a) = f(b)$ और $(a, b)$ पर अवकलनीयता आवश्यक है। चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है,इसलिए यह $[-1, 1]$ या $[0, 1]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट नहीं करता है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के लिए $[a, b]$ पर सांतत्य और $(a, b)$ पर अवकलनीयता आवश्यक है। अंतराल $[0, 1]$ के लिए,$f(x)$ अंतराल $[0, 1]$ पर सतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है। इसलिए,यह $[0, 1]$ पर $LMVT$ की शर्तों को पूरा करता है।

(C) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,$c \in (a, b)$ का अस्तित्व इस प्रकार है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
यहाँ $[0, h]$ अंतराल में $f(x) = \cos x$ दिया गया है,इसलिए $f'(c) = \frac{\cos h - \cos 0}{h - 0}$ होगा।
चूँकि $c = \theta h$ जहाँ $0 < \theta < 1$ है,इसलिए $f'(\theta h) = \frac{\cos h - 1}{h}$ होगा।
$f'(x) = -\sin x$ होने के कारण,$-\sin(\theta h) = \frac{\cos h - 1}{h}$ प्राप्त होता है।
टेलर श्रेणी विस्तार $\cos h \approx 1 - \frac{h^2}{2}$ का उपयोग करने पर,$-\sin(\theta h) \approx \frac{1 - \frac{h^2}{2} - 1}{h} = -\frac{h}{2}$ मिलता है।
अतः,$\sin(\theta h) \approx \frac{h}{2}$ होता है।
छोटे $h$ के लिए,$\sin(\theta h) \approx \theta h$ होता है,इसलिए $\theta h \approx \frac{h}{2}$ होगा।
अतः,$\theta \approx \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
जब $h \rightarrow 0^{+}$ की सीमा लेते हैं,तो $\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \theta = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) अंतराल $[a, b]$ पर किसी फलन $f(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$(i)$ $f(x)$ को $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए।
(ii) $f(x)$ को $(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
(iii) $f(a) = f(b)$ होना चाहिए।
आइए अंतराल $[-2, 2]$ के लिए विकल्पों की जाँच करें:
$(A)$ $f(x) = x^{3} \Rightarrow f(-2) = -8, f(2) = 8$. चूँकि $f(-2) \neq f(2)$,इसलिए रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
$(B)$ $f(x) = 4x^{4} \Rightarrow f(-2) = 4(-2)^{4} = 64$ और $f(2) = 4(2)^{4} = 64$. चूँकि $f(-2) = f(2)$ है और फलन एक बहुपद है (जो हर जगह सतत और अवकलनीय होता है),इसलिए रोले का प्रमेय लागू होता है।
$(C)$ $f(x) = 2x^{3} + 3 \Rightarrow f(-2) = 2(-8) + 3 = -13, f(2) = 2(8) + 3 = 19$. चूँकि $f(-2) \neq f(2)$,इसलिए रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
$(D)$ $f(x) = \pi|x|$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है,जो $(-2, 2)$ के भीतर स्थित है। अतः,रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) रोले का प्रमेय बताता है कि किसी फलन $f(x)$ के अंतराल $[a, b]$ पर लागू होने के लिए,उसे तीन शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है।
$2$. $f(x)$ अंतराल $(a, b)$ पर अवकलनीय है।
$3$. $f(a) = f(b)$।
$f(x) = e^{\cos x}$ के लिए,फलन हर जगह सतत और अवकलनीय है।
हम दिए गए विकल्पों के लिए शर्त $f(a) = f(b)$ की जाँच करते हैं:
विकल्प $A$ के लिए: $f(\frac{\pi}{2}) = e^{\cos(\pi/2)} = e^0 = 1$ और $f(\frac{3\pi}{2}) = e^{\cos(3\pi/2)} = e^0 = 1$।
चूँकि $f(\frac{\pi}{2}) = f(\frac{3\pi}{2})$,इसलिए रोले का प्रमेय अंतराल $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ पर लागू होता है।

(D) किसी फलन $f(x)$ के लिए $[a, b]$ अंतराल में रोले का प्रमेय लागू होने के लिए निम्नलिखित शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. $f(x)$ को $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए।
$2$. $f(x)$ को $(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
$3$. $f(a) = f(b)$ होना चाहिए।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ $f(x)=|x|$,$x=0$ पर अवकलनीय नहीं है,जो $(-2, 2)$ के भीतर आता है। अतः,रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
$(B)$ $f(x)=\tan x$,$x=\frac{\pi}{2}$ पर सतत नहीं है,जो $[0, \pi]$ के भीतर आता है। अतः,रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
$(C)$ $f(x)=1+(x-2)^{\frac{2}{3}}$,$x=2$ पर अवकलनीय नहीं है,जो $(1, 3)$ के भीतर आता है क्योंकि $f'(x) = \frac{2}{3}(x-2)^{-\frac{1}{3}}$। अतः,रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
$(D)$ $f(x)=x(x-2)^2$ एक बहुपद फलन है,इसलिए यह $[0, 2]$ पर सतत है और $(0, 2)$ पर अवकलनीय है। साथ ही,$f(0) = 0(0-2)^2 = 0$ और $f(2) = 2(2-2)^2 = 0$। चूँकि $f(0) = f(2)$,सभी शर्तें पूरी होती हैं। इसलिए,रोले का प्रमेय लागू होता है।

(B) किसी फलन $f(x)$ के लिए अंतराल $[a, b]$ पर रोल का प्रमेय लागू होने के लिए निम्नलिखित शर्तें पूरी होनी चाहिए:
$1$. $f(x)$ को $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए।
$2$. $f(x)$ को $(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
$3$. $f(a) = f(b)$ होना चाहिए।
आइए अंतराल $[-1, 1]$ के लिए विकल्पों की जाँच करें:
- $f(x) = x$ के लिए,$f(-1) = -1$ और $f(1) = 1$ है। चूँकि $f(-1) \neq f(1)$,इसलिए रोल का प्रमेय लागू नहीं होता है।
- $f(x) = x^2$ के लिए,$f(x)$ एक बहुपद फलन है,इसलिए यह $[-1, 1]$ पर सतत है और $(-1, 1)$ पर अवकलनीय है। साथ ही,$f(-1) = (-1)^2 = 1$ और $f(1) = (1)^2 = 1$ है। चूँकि $f(-1) = f(1)$,इसलिए रोल का प्रमेय लागू होता है।
- $f(x) = 2x^3 + 3$ के लिए,$f(-1) = 2(-1)^3 + 3 = 1$ और $f(1) = 2(1)^3 + 3 = 5$ है। चूँकि $f(-1) \neq f(1)$,इसलिए रोल का प्रमेय लागू नहीं होता है।
- $f(x) = |x|$ के लिए,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है,जो अंतराल $(-1, 1)$ के भीतर स्थित है। इसलिए,रोल का प्रमेय लागू नहीं होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) एक फलन $g(x) = (1-x) \int_0^x f(t) dt$ को परिभाषित करें।
चूंकि $f$ अंतराल $[0, 1]$ पर अवकलनीय है,यह $[0, 1]$ पर सतत है,और इसलिए समाकल $\int_0^x f(t) dt$ अवकलनीय है।
हम देखते हैं कि $g(0) = (1-0) \int_0^0 f(t) dt = 1 \times 0 = 0$ है।
साथ ही,$g(1) = (1-1) \int_0^1 f(t) dt = 0 \times \int_0^1 f(t) dt = 0$ है।
चूंकि $g(x)$ अंतराल $[0, 1]$ पर सतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है तथा $g(0) = g(1) = 0$ है,रोले के प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (0, 1)$ ऐसा मौजूद है जिसके लिए $g'(c) = 0$ है।
अवकलन करने पर: $g'(x) = -1 \int_0^x f(t) dt + (1-x) f(x)$ प्राप्त होता है।
$g'(c) = 0$ रखने पर,हमें $-(1-c) f(c) + \int_0^c f(t) dt = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\int_0^c f(t) dt = (1-c) f(c)$ है।